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1. Cinemática
Samuel da Silva
Professor Associado
UNESP - Universidade Estadual Paulista
Departamento de Engenharia Mecânica
Ilha Solteira, SP, Brasil
[email protected]
™https://www.samueldasilva.org/
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 1 / 19

2. Escopo
1
Denições
2
Velocidade e aceleração
3
Cinemática de corpo/partícula transladando
4
Cinemática de corpo/partícula girando
5
Considerações nais
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 1 / 19

3. Cinemática de partículas e corpo rígido
Em dinâmica, a
movimento de corpos ou partículas.
Análise do movimento é feita de maneira descritiva.
Não importa conhecer e saber quem são os esforços que causam o
movimento.
No geral, as trajetórias são funções temporais de ângulos ou
orientação de vetores no espaço.
O resultado fornece os vetores posição, de velocidade e aceleração.
Fundamental denir bem os sistemas de referência.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 2 / 19

4. Cinemática de partículas e corpo rígido
SistemaIdescrito pelos eixos xos(x; y; z)com origem emO.
Posso denir um vetor posição deOatéA, dado porrOA
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 3 / 19

5. Cálculo da velocidade do pontoA
O vetor posição deOatéAno sistemaIé dado por:
IrOA=
8
<
:
xA
yA
zA
9
=
;
=xA(t)^i+yA(t)^j+zA(t)
^
k
A velocidade do pontoAé a taxa de variação deste vetor:
IvA=
d
dt
(IrOA) =
8
<
:
_xA
_yA
_zA
9
=
;
= _xA(t)^i+ _yA(t)^j+ _zA(t)
^
k
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 4 / 19

6. Cálculo da aceleração do pontoA
A aceleração do pontoAé a taxa de variação do vetor velocidade:
IaA=
d
2
dt
2
(IvA) =
d
2
dt
2
(IrOA) =
8
<
:
xA
yA
zA
9
=
;
=
= xA(t)^i+ yA(t)^j+ zA(t)
^
k
Em cinemática as funçõesxA(t),yA(t)ezA(t)podem ou não ser
conhecidas.
Em geral são funções de ângulos e orientações do vetor posição no
espaço.
Seus valores em cada instantetsão dependentes, as vezes, dos
esforços que causam o movimento.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 5 / 19

7. Sistema de referência móvel transladando
A partir de um sistemaI, tenho os eixos transladando(x1; y1; z1)
CC BY: $
\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 6 / 19

8. Cálculo da velocidade
O vetor posição deOatéBno sistemaIé dado por:
IrOB=IrOA+T
T
BrAB
|{z}
IrAB
A velocidade do pontoBé a taxa de variação deste vetor:
IvB=
d
dt
(IrOB) =
d
dt

IrOA+T
T
BrAB

=
=
d
dt
(IrOA)
|{z}
IvA
+
d
dt

T
T

|{z}
=0
BrAB+T
T
d
dt
(BrAB)
|{z}
BvAB
=
=IvA+T
T
BvAB=IvA+IvAB
IvABé o termo de velocidade relativa.
IvAé o termo de velocidade da origem do sistemaB.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 7 / 19

9. Cálculo da aceleração
A aceleração do pontoBé dada por:
IaB=
d
2
dt
2
(IrOB) =
d
dt
(IvB) =
d
dt

IvA+T
T
BvAB

=
=
d
dt
(IvA)
|{z}
IaA
+
d
dt

T
T

|{z}
=0
BvAB+T
T
d
dt
(BvAB)
|{z}
BaAB
=
=IaA+T
T
BaAB=IaA+IaAB
d
dt

T
T

=0, pois a matrizTé invariante para o caso de só ter
translação.
IaABé o termo de aceleração relativa.
IaAé o termo de velocidade da origem do sistemaB.
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10. Transformação de velocidade e aceleração
Uma vez calculados os vetores de velocidade e aceleração, estes
podem ter mudada a sua representação da baseIparaBusando a
matriz de transformaçãoT:
BvB=TIvBouIvB=T
T
BvB
BaB=TIaBouIaB=T
T
BaB
Importante observar que apesar da representação ser diferente, o
módulo se preserva:
jBvBj=jIvBj
jBaBj=jIaBj
Vetor representado em base móvelBcostuma ser mais simples.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 9 / 19

11. Sistema de referência móvel girando
A partir de um sistemaI, tenho os eixos girando(x1; y1; z1)
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 10 / 19

12. Cálculo da velocidade
A velocidade do pontoBé a taxa de variação do vetorIrOB.
IvB=
d
dt
(IrOB) =
d
dt

IrOA+T
T
BrAB

=
d
dt
(IrOA+IrAB)
Porém, agoraTnão é invariante.
Note que o vetorIrABpode variar em termos de amplitude e direção.
Assim:
IvB=
d
dt
IrOA
|{z}
IvA
+
d
dt

T
T


|{z}
6=0
BrAB+T
T

d
dt
(BrAB)
|{z}
BvAB
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 11 / 19

13. Cálculo da velocidade
Pode-se mostrar que:
d
dt

T
T


BrAB=I

T
T
BrAB

SendoIo vetor velocidade angular do sistema de referência usado.
O símbolodenota a operação de.
Assim a velocidade do pontoBpode ser descrita por:
IvB=IvA+I

T
T
BrAB

|{z}
IrAB
+T
T

d
dt
(BrAB)
| {z}
IvAB
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 12 / 19

14. Entendendo o vetor velocidade
O vetor velocidade do pontoBrepresentado na baseIé:
IvB=IvA+IIrAB+IvAB
sendo:
IvAé a B.
IIrABé a taxa de variação da direção do vetor posiçãoIrAB.
Este termo só existe ser houver.
IvABa Bem relação ao pontoA.
A velocidade do pontoBtambém pode ser representada na baseB
como:
BvB=BvA+BBrAB+BvAB6=
d
dt
(BrOB)
Por queBvB6=
d
dt
(BrOB)?
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15. Cálculo da aceleração
A aceleração do pontoBé a taxa de variação do vetorIvB.
IaB=
d
dt
(IvB) =
d
dt
0
B
B
@
IvA+
d
dt

T
T


BrAB
| {z }
IIrAB
+T
T

d
dt
(BrAB)
1
C
C
A
=
=IaA+
d
dt

IT
T
BrAB

+
d
dt

T
T

d
dt
(BrAB)

IaAé a aceleração da origem do sistemaB.
Analisando os outros termos separadamente:
d
dt

IT
T
BrAB

=
d
dt
(I)
|{z}
I
_

T
T
BrAB
|{z}
IrAB
+I

d
dt

T
T


BrAB

| {z }
IIrAB
+
+I

T
T

d
dt
(BrAB)

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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 14 / 19

16. Cálculo da aceleração
Continuando....
d
dt

IT
T
BrAB

=I
_
IrAB+I(IIrAB)+IIvAB
e o último termo da aceleração:
d
dt

T
T

d
dt
(BrAB)

=
d
dt

T
T

d
dt
(BrAB)
| {z }
IT
T

BvAB
+T
T

d
2
dt
2
(BrAB)
| {z }
IaAB
=
=IIvAB+IaAB
Assim, somando as parcelas, a aceleração é dada por:
IaB=IaA+I
_
IrAB+I(IIrAB)+2IIvAB+IaAB
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 15 / 19

17. Entendendo o vetor aceleração
A aceleração do pontoBrepresentada na baseIé:
IaB=IaA+I
_
IrAB+I(IIrAB)+2IIvAB+IaAB
sendo:
IaAé a B.
I
_
IrABé a.
I(IIrAB)é a.
2IIvABé a.
IaABé a.
A aceleração do pontoBtambém pode ser representada na baseB
através de:
BaB=BaA+B
_
BrAB+B(BBrAB)+2BBvAB+BaAB
Lembrando queBaB6=
d
2
dt
2(BrOB).
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18. Questões importantes
Existe diferença entre derivar um vetor na base móvelBe inercialI,
ou seja, quase sempre vale que:
IvB6=
d
dt
(BrAB)
IaB6=
d
2
dt
2
(BrAB)
Quando se deriva um vetor se obtém duas informações:
Informação sobre variação de amplitude.
Informação sobre variação de direção. Esta questão é muito mais
preocupando quando existem vetores que giram no espaço.
Derivar vetor em base móvel se perde informação de variação de
direção, assim:
BvB=
d
dt
(BrOB)
|{z}
variação de amplitude
+BBrOB
|{z}
variação de direção
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19. Considerações nais
Vetores diversos como posição, velocidade e aceleração são
descritos/representados em referencialIou móvelB.
Preciso conhecer e saber transformar vetores representados em bases
móveisBe base inercialIe vice-versa.
Erros na denição das basesIeBcomprometerá toda a análise
dinâmica.
Deve-se ter muito cuidado no momento de derivar vetores, pois, a
base que eles são descritos pode comprometer os resultados.
No geral a representação de vetores em bases móveis conduzirá a
equações de movimento
Facilitará a integração numérica das.
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 18 / 19

20. Como Citar este Material?
S. da Silva,Cinemática, Universidade Estadual Paulista UNESP, Ilha
Solteira, SP, Brasil, 2022.
Estas notas podem ser distribuídas com licença Creative
Commons BY-NC-ND 4.0,para finalidades educacionais.
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‡https://github.com/shm-unesp
uhttps://www.youtube.com/c/SamueldaSilva13
¡https://www.instagram.com/samuel.dasilva.ilha/
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\ = Samuel (UNESP) Dinâmica Outubro, 2022 19 / 19