Circunferência, circulo - seus elementos e propriedades.ppt

Circunferência e círculo

1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Fundamental, 7º ano
Circunferência, círculo
seus elementos e propriedades

2. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
A circunferência possui características não
comumente encontradas em outras figuras planas,
como o fato de ser a única figura plana que pode ser
rodada em torno de um ponto sem modificar sua
posição aparente. É também a única figura que é
simétrica em relação a um número infinito de eixos de
simetria.
A IMPORTÂNCIA DA CIRCUNFERÊNCIA
h
tt
p
:
/
/
w
w
w
.c
e
ib
a
l.
e
d
u
.
u
y
/
U
s
e
r
F
ile
s
/
P
0
0
0
1
/
O
D
E
A
/
O
R
I
G
IN
A
L
/
1
0
0
2
0
8
_
c
ir
c
u
lo
_
c
ir
c
u
n
f
.e
lp
/
a
p
e
_
c
o
m
p
a
_
a
n
im
.g
if
A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento
como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura,
Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas
residências das pessoas.

3. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Linha do Equador
h
tt
p
:
/
/
3
.b
p
.
b
lo
g
s
p
o
t
.c
o
m
/
-
h
4
b
7
C
jO
G
6
P
0
/
T
n
E
m
b
E
r
z
X
J
I/
A
A
A
A
A
A
A
A
D
w
Y
/
jx
r
a
iX
5
n
3
N
g
/
s
1
6
0
0
/
L
in
h
a
_
d
o
_
E
q
u
a
d
o
r
.
jp
g
h
tt
p
:
/
/
c
u
o
r
e
c
a
r
d
io
lo
g
ia
.
c
o
m
.
b
r
/
b
lo
g
-
d
r
-
c
u
o
r
e
/
w
p
-
c
o
n
t
e
n
t
/
u
p
lo
a
d
s
/
2
0
1
2
/
0
6
/
c
.b
m
p
VentiladorCircunferência Abdominal
Disco
h
tt
p
s
:
/
/
c
a
t
r
a
c
a
liv
r
e
.c
o
m
.b
r
/
w
p
-
c
o
n
t
e
n
t
/
u
p
lo
a
d
s
/
2
0
1
1
/
1
1
/
J
o
g
o
s
-
O
l%
C
3
%
A
D
m
p
ic
o
s
-
d
iv
u
lg
a
%
C
3
%
A
7
%
C
3
%
A
3
o
.
g
if
Bandeira Olímpica
h
tt
p
:
/
/
m
lb
-
s
1
-
p
.m
ls
t
a
ti
c
.c
o
m
/
1
9
1
4
0
-
M
L
B
2
0
1
6
6
7
0
5
4
7
7
_
0
9
2
0
1
4
-
O
.jp
g
Moeda
OS OBJETOS CIRCULARES ESTÃO PRESENTES NO NOSSO DIA-A-DIA
h
tt
p
:
/
/
2
.b
p
.
b
lo
g
s
p
o
t
.
c
o
m
/
-
l-
8
w
J
M
9
B
-
6
s
/
T
o
O
T
S
G
P
y
2
w
I/
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
c
/
s
m
G
V
7
F
z
6
o
6
A
/
s
1
6
0
0
/
v
e
n
ti
la
d
o
r
-
t
u
f
a
o
.
jp
g
h
tt
p
:
/
/
3
.
b
p
.
b
lo
g
s
p
o
t
.
c
o
m
/
-
m
8
Z
6
7
L
u
V
N
E
w
/
T
o
O
S
8
s
S
1
3
J
I
/
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
U
/
Q
b
q
L
iQ
Z
0
b
r
k
/
s
1
6
0
0
/
C
%
2
5
C
3
%
2
5
B
3
p
ia
+
d
e
+
6
0
0
p
x
-
C
D
_
a
u
t
o
le
v
_
c
r
o
p
.jp
g

4. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão
localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da
circunferência (ponto O).
O
A
B
C
D
E
P
r
r
r
r
r
r
CIRCUNFERÊNCIA

5. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
h
t
t
p
:
/
/
w
w
w
.
u
a
n
t
o
f
.
c
l/
e
s
t
u
d
io
m
a
t
/
e
x
t
e
n
s
io
n
/
r
o
n
d
a
/
z
ir
k
e
l.
g
if
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta
com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num
ponto qualquer da circunferência.
http://www.prof2000.pt/users/ildacabral/
Circunfer%C3%AAncia_raio.gif

6. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Corda: Corda de uma circunferência
é um segmento de reta cujas
extremidades pertencem à
circunferência.
h
tt
p
:
/
/
w
w
w
.
p
r
o
f
2
0
0
0
.p
t
/
u
s
e
r
s
/
ild
a
c
a
b
r
a
l/
C
ir
c
u
n
f
e
r
%
C
3
%
A
A
n
c
ia
_
c
o
r
d
a
.g
if
Diâmetro: Diâmetro de uma
circunferência (ou de um círculo) é uma
corda que passa pelo centro da
circunferência. Observamos que o diâmetro
é a maior corda da circunferência.
h
tt
p
:
/
/
w
w
w
.
p
r
o
f
2
0
0
0
.p
t
/
u
s
e
r
s
/
ild
a
c
a
b
r
a
l/
C
ir
c
u
n
f
e
r
%
C
3
%
A
A
n
c
ia
_
d
i
%
C
3
%
A
2
m
e
t
r
o
.g
if

7. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Uma relação importante que podemos notar é que a medida do
diâmetro (d) é igual ao dobro da medida do raio (r), ou seja, diâmetro = 2r.
h
tt
p
:
/
/
m
a
t
.a
b
s
o
lu
t
a
m
e
n
t
e
.n
e
t
/
h
u
m
o
r
/
r
a
io
.p
n
g
h
t
t
p
:
/
/
w
w
w
.
f
o
t
o
s
d
a
h
o
r
a
.
c
o
m
.
b
r
/
g
if
s
_
a
n
im
a
d
o
s
/
g
if
s
/
1
6
O
b
je
t
o
s
/
/
la
m
p
a
d
a
_
id
e
ia
.
g
if

8. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
PERÍMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
A extensão da circunferência, ou seja, seu perímetro, C, pode ser calculada através da
equação:
C = 2r
Onde:
C é o comprimento da circunferência;
 é uma constante ( 3,14);
r é o raio da circunferência.
h
tt
p
s
:
/
/
u
p
lo
a
d
.w
ik
im
e
d
ia
.
o
r
g
/
w
ik
ip
e
d
ia
/
c
o
m
m
o
n
s
/
6
/
6
7
/
2
p
i-
u
n
r
o
lle
d
.g
if

9. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
O pi é a 16ª letra do alfabeto grego e corresponde ao som fonético “p” no alfabeto
latino. Ele é, também, a inicial da palavra grega periphéreia, que significa circunferência.
Por isso passou a ser usado para designar a divisão (razão) entre o valor da circunferência
de um círculo e o seu diâmetro (o comprimento da reta que atravessa o seu centro), onde
sempre vamos obter um número bastante próximo a 3,14159. O matemático Arquimedes
(cerca de 280 a. C. - a cerca de 211 a. C.), foi o primeiro a estabelecer o valor do pi.
h
tt
p
:
/
/
w
w
w
.a
ju
d
a
a
lu
n
o
s
.
c
o
m
/
Q
u
iz
_
m
a
t
/
c
ir
c
u
lo
_
h
t
m
l/
im
a
g
e
n
s
/
c
ir
c
u
lo
_
p
i4
.g
if
https://
upload.wikimedia.org/
wikipedia/commons/
thumb/2/2e/Pi-symbol.svg/
588px-Pi-symbol.svg.png
O QUE É O PI?

10. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um
ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o
círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto
de pontos localizados dentro da mesma.
O
r
CÍRCULO

11. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA
A
B
O
P
 O ponto A é interno à circunferência
d
OA
< r
 O ponto B pertence à circunferência
d
OB
= r
 O ponto P é exterior à circunferência
d
OP
> r
r

12. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
h
tt
p
:
/
/
w
w
w
.
g
if
s
s
.c
o
m
/
e
s
c
o
la
r
e
s
/
e
s
t
u
d
ia
n
t
e
-
5
.
g
if

13. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
B
Todos os pontos de C
1
são externos a C
2
r
d
AB > r + R
⇔
A R
C
1
C
2
C
1
é externa C
2
Circunferências exteriores: quando todos os pontos do respectivo círculo são
exteriores a outro. Duas circunferências são exteriores se, e somente se, a distância
entre os centros de duas circunferências exteriores é maior que a soma dos
respectivos raios.

14. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
B
C
1
e C
2
têm um só ponto comum e
não têm ponto interior comum
r
d
AB = r + R
⇔
A R
C
1
C
2
C
1
e C
2
são tangentes
externamente em P
P
Circunferências tangentes exteriormente: quando as circunferências possuem um
só ponto em comum e todos e todos os demais pontos dos respectivos círculos são
externos ao outro. Duas circunferências são tangentes exteriormente se, e somente
se, a distância entre os centros de duas circunferências exteriores é igual à soma dos
respectivos raios.

15. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
B
Têm dois pontos comuns
r
R – r < d
AB < R + r
⇔
A
R
C
1
C
2
C
1
e C
2
são secantes
Circunferências secantes: quando as duas circunferências possuem dois pontos em
comum. Duas circunferências são secantes se, e somente se, a distância entre os
centros de duas circunferências exteriores é menor que a soma dos respectivos raios e
maior que a sua diferença.

16. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
B
Têm um só ponto comum e os demais
pontos de C
1 são interiores a C
2
P
d
AB
= R – r
⇔
A
C
1
C
2
C
1
e C
2
são tangentes internamente
em P
Circunferências tangentes interiormente: quando as duas circunferências possuem
um único ponto em comum e todos os pontos internos são comuns. Duas
circunferências são tangentes interiormente se, e somente se, a distância entre os dois
centros é igual à diferença dos respectivos raios.

17. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
B
Todos os pontos de C
1 são interiores a C
2
0 ≤ d
AB
< R – r⇔
A
C
1
C
2
C
1 é interna a C
2
Circunferências interiores: quando as duas circunferências não possuem pontos em
comum e todos os pontos do círculo menor são interiores ao círculo maior. Duas
circunferências são interiores se, e somente se, a distância dos centros é menor que a
diferença dos respectivos raios.

18. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Um ângulo central tem a mesma medida do arco correspondente.
AÔB é ângulo central
m(AÔB) = m(AB) = 
O
A
B


19. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Sendo o comprimento do arco AB = l e  o ângulo central correspondente ao arco,
medido em graus, podemos montar uma regra de três entre o contorno do arco e seu
valor de ângulo (em graus).
Comprimento Grau
2r  360
l  
 
 
BO
A
l


20. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Grau: A medida em graus de uma circunferência consiste em dividi-la em 360 partes
congruentes entre si, dessa forma, cada parte equivalerá a um arco de medida igual a
1 (um grau).
UNIDADES PARA MEDIR ARCOS E ÂNGULOS
No entanto, é necessário saber também que:
1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos de grau);
1’ = 60’’(1 minuto de grau equivale a 60 segundos de
grau).
http://
pessoal.sercomtel.com.br/
matematica/trigonom/
z_tri41.png

21. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da
circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade
tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por
1 rad.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/z_rad.png

22. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
ÂNGULO INSCRITO
Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo vértice é
um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele.
APB é ângulo inscrito
m(APB) =  =
O
A
B

P
AB
2

23. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
P1. Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes.
Os ângulos inscritos de vértices P, Q e R são congruentes.
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =
AB
2
P
A
B
Q
R
ÂNGULO INSCRITO – PROPRIEDADES

24. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
EXTRAS
GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para construir círculos, arcos e setores
circulares.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

25. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
EXERCÍCIOS
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif
1º) Determine o comprimento de uma circunferência que tem 9 cm de raio.
2º) Qual é o comprimento r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?
3º) Uma circunferência tem 10,5 cm de diâmetro. Nessas condições, qual é o comprimento dessa
circunferência?
4º) Uma pista circular tem 25 m de raio. Quantos metros percorre uma pessoa que dá 20 voltas em torno
dessa pista?
5º) Ao percorrer uma distância de 6280m, uma roda dá 2000 voltas completas. Qual é o raio dessa roda?
6º) Se uma pessoa der 10 voltas completas em torno de um jardim circular, ela percorrerá 2198 m. Qual
é o diâmetro desse jardim?
7º) Qual é a medida de uma correia acoplada a duas rodas iguais de 10cm de raio e cujos centros estão a
5 cm de distância um do outro?

26. Matemática, 7º ano, Circunferência, círculo - seus
elementos e propriedades
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.mundoeducacao.com/matematica/posicao-relativa-entre-duas-
circunferencias.htm
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geom-circ.htm
http://www.matematicamuitofacil.com/circunferencia.html
http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia
Livros:
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1: ensino médio
– São Paulo : FTD, 2009.
I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática :
volume único – São Paulo : Atual, 2002.