Circunferencias

1. Circunferência
1
Circunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquerCircunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquer
Slides
Resolução de triângulos quaisquer:
lei dos senos e lei dos cossenos
Internet
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Áreas: medidas de superfície
Trigonometria
Resolução de triângulos quaisquer:
resolução de triângulos retângulos

2. CircunferênciaCircunferência
2
Posições relativas entre retas e circunferênciasPosições relativas entre retas e circunferências
RETAS TANGENTES:
-Tem um único ponto em
comum com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é igual ao raio
d
c,t
= raio
RETAS SECANTES:
-Tem dois pontos em comum
com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é menor que o raio
d
c,t
< raio
RETAS EXTERNAS:
- Não tem nenhum ponto em
comum com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é maior que o raio
d
c,t
> raio

3. 3
CircunferênciaCircunferência
Posições relativas entre duas circunferênciasPosições relativas entre duas circunferências
Pontos comunsPosição relativaDistância entre os centros em
função dos raios
Figura
2 Secantes r
1
– r
2
< d < r
1
+ r
2
1
Tangentes
internas d = r
1
– r
2

1
Tangentes
externas d = r
1
+ r
2

0
Internas
concêntricas d = 0
0
Internas não
concêntricas d < r
1
– r
2
0 Externas d > r
1
+ r
2

4. 4
CircunferênciaCircunferência
Ângulos em uma circunferênciaÂngulos em uma circunferência
Ângulo central:
É um ângulo que tem
como vértice o centro
da circunferência e
seus lados passam
por pontos
pertencentes a ela.
Ângulo inscrito: É um
ângulo que tem como vértice
um ponto da circunferência e
cujos lados passam por dois
outros pontos da
circunferência, determinando
nela duas cordas.
Ângulo de segmento:
É um ângulo que tem como
vértice um ponto da
circunferência, um lado
secante à circunferência e
outro tangente a ela.
Se um ângulo central e um
ângulo inscrito em uma
circunferência tem o mesmo
arco, então a medida do
ângulo central é o dobro da
medida do ângulo inscrito.

5. 5
CircunferênciaCircunferência
Relações métricas na circunferênciaRelações métricas na circunferência
Cruzamento de
duas cordas:
Dois segmentos
secantes a partir de
um mesmo ponto:
× = ×PA PB PC PD
Segmento secante e
segmento tangente
a partir de um
mesmo ponto:
( )× =
2
PA PB PT

6. 6
CircunferênciaCircunferência
Polígonos regulares inscritos na circunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos
os ângulos congruentes.
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da
circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também
equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade
no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
=
3
r
a
2
=
4
r 2
a
2
=
6
r 3
a
2
=
3
r 3l =
4
r 2l =
6
rl

7. 7
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramoÁrea do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado Retângulo Paralelogramo
×A=bh ×A=bh
2
A=l

8. 8
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do triânguloÁrea do triângulo
Área do
triângulo
Área do
triângulo sendo
conhecido os
três lados
Área do
triângulo
equilátero
Área do
triângulo com
o auxílio da
trigonometria
×
= = × ×
b h 1
A b h
2 2
( )( )( )= × - × - × -
+ +
=
A p p a p b p c
a b c
p
2
= × × ×
1
A a b sen α
2
×
=
2
3
A
4
l

9. 9
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losangoÁrea do trapézio e do losango
Trapézio Losango
( )+ ×B b h
A=
2
×Dd
A=
2

10. 10
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área de polígonos regularesÁrea de polígonos regulares
(l) lado do polígono
(a) apótema
(n) número de lados do polígono
(p) semiperímetro
= ×A pa
.×
=
n
p
2
l

11. 11
Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circularÁrea do círculo e do setor circular
Círculo Setor circular
= ×
2
Aπr
a
× × ×
graussetor
2
A
= =
π r 360º 2π r
l

12. 12
Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulosResolução de triângulos retângulos
= +
= =
= =
= =
2 2 2
a b c
cateto oposto b
senα
hipotenusa a
cateto adjacente c
cosα
hipotenusa a
cateto oposto b
tgα
cateto adjacente c
a = hipotenusa
b = cateto oposto ao ângulo a
c = cateto adjacente ao ângulo a
30º 45º 60º
sen
cos
tg
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
3
31

13. 13
Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Seno e cosseno de ângulos obtusosSeno e cosseno de ângulos obtusos
É necessário saber que:
sen 90º = 1 e cos 90º = 0
Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais
aos senos dos suplementos desses ângulos:
sen x = sen (180º - x)
Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos
cossenos dos suplementos desses ângulos:
cos x = - cos (180º - x)

14. 14
Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer
Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos
Lei dos senos:
Lei dos cossenos:
ˆ ˆ ˆ
= = = ×
a b c
2 R
sen A sen B sen C
ˆ
ˆ
ˆ
= + - × × ×
= + - × × ×
= + - × × ×
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cosA
b a c 2 a c cosB
c a b 2 a b cosC