Clase 02 Electrostática en el vacío - Distribuciones continuas de carga v4.1.pdf

electrostatica en el vacio

1. Física II (62.03 –82.02)
Josefina M. Silveyra
Electrostática  en el vacío
Distribuciones continuas de carga-0 6LOYH\UD F

2. Repaso •4 Fuerzas  básicas  de la Naturaleza
•Temas de calor y termodinámica  en FII
•Electrostática  en el vacío
•Carga eléctrica
•Principio de conservación de la carga
•Ley de Coulomb
•Carga del electrón
•Prefijos del Sistema  Internacional
•Principio de superposición
•Campo,  campo electrostático generado por una distribución discreta  de cargas en el vacío
•Líneas  de ca
mpo-0 6LOYH\UD F

3. Ejemplo:Campo eléctrico de un dipolo •Hallaremos  el campo eléctrico  generado en todo el espacio por una configuración formada por dos 
cargas puntuales +q y –q, separadas  por una distancia d; un dipolo.
@/2
F@/2M
6
LFM
M
5
LEM F
F
y
z
x
'
N&L
1
4??
4
M
5
N&FN
5
′
N&FN
5
′
7
E
M
6N&FN
6
′
N&FN
6
′
7
Observación: Nos den o no el sistema de referencia, siempre somos  libres  de elegir el sistema de  referencia que deseemos.
Eventualmente, si nos dieron un sistema de referencia distinto al que queremos usar,  después  
transformamos  nuestro resultado para el sistema dado.
N
5
′ N
6
′-0 6LOYH\UD F

4. •Nos interesa  calcular el campo en todo el espacio,  así que:
N&LT ̂EU ̂EV G?
Observación: Si solo hubiésemos querido hallar  el campo en el eje z:
N&L0 ̂E0 ̂EV G?
Punto campo
N
5
′LE@ 2⁄ G?
N
6
′LF@ 2⁄ G?
Calculamos:
N&FN
5
′LT̂EU ̂E
VF@ 2⁄G?
•Las cargas son:M
5
LEM
M
6
LFM
Puntos fuente
•Nos fijamos dónde están ubicadas las cargas:
N&FN
6
′LT̂EU ̂E
VE@ 2⁄G?
'
N&L
1
4??
4
M
5
N&FN
5
′
N&FN
5
′
7
E
M
6N&
FN
6
′
N&FN
6
′
7
⇒
N&FN
5
′L 
T
6
EU
6
E
VF@ 2⁄
6
⇒
N&FN
6
′L 
T
6
EU
6
E
VE@ 2⁄
6
@/2
F@/2M
6
LFM
M
5
LEM F
F
y
z
x
N
5′ N
6
′-0 6LOYH\UD F

5. •Reemplazamos en la expresión inicial:
'
N&L
M
4??
4
T̂EU ̂E
VF@ 2⁄G?
T
6
EU
6
E
VF@ 2⁄
67/6
F
T̂EU ̂E
VE@ 2⁄G?
T
6
EU
6
E
VE@ 2⁄
67/6
'
N&L
M
4??
4
???E
VF@ 2⁄G?
?
6
E
VF@ 2⁄
67/6
F
???E
VE@ 2⁄G?
?
6
E
VE@ 2⁄
67/6
'
N&
L
1
4??
4
M
5
N&FN
5
′
N&
FN
5
′
7
E
M
6N&
FN
6
′
N&
FN
6
′
7
Obs.: Hallamos el campo en variables cartesianas  (T?U?V ) y en componentes cartesianas  (??̂?G?). 
Podríamos  haber utilizado variables cilíndricas (?,?,V) y coordenadas  cartesianas  (??̂?G?):
'
N&L
M
4??
4
? ?KO? ̂E? OAJ? ̂E
VF@ 2⁄G?
?
6
E
VF@ 2⁄
67/6
F
? ?KO? ̂E? OAJ? ̂E
VE@ 2⁄G?
?
6
E
VE@ 2⁄
67/6
O variables cilíndricas (?,?,V) y componentes cilíndricas (??,??,G?):
Podríamos  incluso haber trabajado con variables y/o componentes esféricas 
(lo dejaremos para otra oportunidad) 
+ ‐
•y obtenemos:
Repaso: Apuntes “Expresiones útiles en los sistemas de coordenadas ortogonales más  usuales” (Silveyra), Conversión de sistemas de coordenadas (cátedra),  clase práctica.-0 6LOYH\UD F

6. Campo eléctrico generado por una distribución continua de cargas
'
N&L
1
4??
4
?
@M′
N&FN&′
6
N&FN&′ N&FN&′
???? ??
???????
•Lineal@M′ L ?
N&′ @H′
Observación: la carga es una magnitud  escalar, por lo que dltambién lo es 
(¡NO ponerle versor!).
•Superficial@M′ L ?
N&′ @O′
•Volumétrica@M′ L ?
N&′ @R′
Observación: la carga puntual y las densidades  lineal y superficial de carga darán  lugar a 
discontinuidades o divergencias de campo en donde están ubicadas.
NO importa: en FII solo analizamos  problemas  desde el punto de vista macroscópico y por lo tanto 
no nos importa qué pasa justo donde está la partícula de carga.
Es la forma más general de escribir el campo 
(la densidad es nula donde no ha
 cargas)* '
N&L
1
4??
4
??
N&′
N&FN&′ N&FN
&
′
7
@R′
*https://en.wikipedia.org/wiki/Charge_density#Discrete_charges
?L%/I ?L%/I
6
?L%/I
7
Modelos de carga distribuida•Recordando el campo eléctrico  generado por 
una distribución discreta  de cargas:
'
N&L
1
4??
4
?
M
?
′
N&FN
?
′
6
N&FN
?
′
N&FN
?
′
?
?@5
•Extendemos la sumatoria  a una integral  para 
una distribución continua de cargas:-0 6LOYH\UD F

7. Ejemplo:Campo eléctrico de un hilo corto
./2
F./2
F
F
y
z
x
•Hallaremos  el campo eléctrico  generado en todo el espacio por una distribución de cargas 
lineal,  recta, de longitud finita L, y lambda uniforme.
'
N&L
1
4??
4
?
@M′
N&FN&′
6
N&FN&′ N&FN&′
???? ??
???????
'
N&
Observación:Hay  simetría  de rotación en ?(me muevo  en ?y veo lo mismo).
Por lo tanto, el campo solo dependerá  de ?y de V:
L'
?,?,V L '
?,V-0 6LOYH\UD F

8. •Queremos calcular el campo en todo el espacio:
N&LT ̂EU ̂EV G? Punto campo
N&L? ?KO? ̂E? OAJ? ̂EVG?
Variables  cilíndricas y componentes cartesianas
N&L???EVG?
Variables  y componentes cilíndricas
Variables  y versorescartesianos
y
z
x
?
?
G?
?
?
G?
O bien:
O bien:
Variables  y componentes (versores) cartesianas
Variables                       cilíndricos
y
z
x
?
??
??
G?
??
G?
??
y versores-0 6LOYH\UD F

9. •Las cargas están ubicadas en el eje z:
@M′ L ?
N&′ @H′ •Densidad de carga lineal:
?
N&′ L ? •Densidad de carga uniforme:
•Parametrizamos @H′
y definimos los límites  de integración:
@H′ L @V′F
.
2
QV′Q
. 2
N′
LV′ G? Punto fuente
O bien:
•Luego calculamos:T̂EU ̂E
VFV′G?
T
6
EU
6
E
VFV′
6
N&FN&′ L ? ?KO? ̂E? OAJ? ̂E
VFV′G?
N&FN&′ L
?
6
?KO
6
?E?
6
OAJ
6
?E
VFV′
6
L
?
6
E
VFV′
6
O bien:
N&FN&′ L ? ? ?E
VFV′G?
N&FN&′L
?
6
E
VFV′
6
N&FN&′ L N&FN&′ L
./2
F./2
F
F
y
z
x-0 6LOYH\UD F

10. •Por lo tanto:
'
N&L
1
4??
4
?
?@V′
? ??E
VFV′G?
?
6
E
VFV′
67/6
>
?
6 ?
?
6
•Tenemos una integral  por cada componente:
'

?,V L
1
4??
4
?
?@V′?
?
6
E
VFV′
67/6
>
?
6 ?
?
6
Por sustitución:
QLVFV′
@Q L F@V
?
'

?,V L F
??
4??
4
?
@Q
?
6
EQ
6
7
6
??
?
6 ?>
?
6
?
@Q
?
6
EQ
67/6
L
Q
?
6
?
6
EQ
6
E%
Por tabla de integrales:
'

?,V L
?
4??
4
?
./2FV 
?
6
E
VF./2 
6
E
./2EV 
?
6
E
VE./2 
6
'
N&L
1
4??
4
?
@M′
N&FN&′
6
N&FN&′ N&FN&′
???? ??
???????
L
??
4??
4
?
@V′
?
6
E
VFV′
67/6
>
?
6 ?
?
6
⇒ @V
?
LF@Q
LF
??
4??
4
VF./2 
?
6
?
6
E
VF./2 
6
F
VE./2 
?
6
?
6
E
VE./2 
6
./2
F./2
F
F
y
z
x
Obs.: En lugar de cambiar los  límites  de integración en función 
de Q, podríamos volver a la variable 
V′después  de hallar  la primitiva y 
antes de “hacer Barrow”.-0 6LOYH\UD F

11. '

?,V L 0
'
?
?,V L
1
4??
4
?
?@V′
VFV′
?
6
E
VFV′
67/6
>
?
6 ?
?
6
Por sustitución:
QLVFV′
@Q L F@V
?
⇒ @V
?
LF@Q?
Q@Q
?
6
EQ
67/6
LF
1
?
6
EQ
6
E%
Por tabla de integrales:
'
?
?,V L F
?
4??
4
?
Q@Q
?
6
EQ
6
7
6
??
?
6 ?>
?
6
•Finalmente:
'
?,V L
?
4??
4
?
./2FV 
?
6
E
VF./2 
6
E
./2EV 
?
6
E
VE./2 
6
??E
E
?
4??
4
1
?
6
E
VF./2 
6
F
1
?
6
E
VE./2 
6
G?
Observación:En  la mayoría de los libros se utiliza una parametrización más “rara” del espacio para  resolver  este problema,  que logra  que las cuentas  sean menos  engorrosas (ver  prob. 1.04 del Facebook).
L
?
4??
4
?
VFV′@V′
?
6
E
VFV′
67/6
>
?
6 ?
?
6
L
?
4??
4
1
?
6
E
VF./2 
6
F
1
?
6
E
VE./2 
6
Obs.: Notamos que,  como habíamos  predicho, ' no depende de la variable ?.-0 6LOYH\UD F

12. http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizati
ons/electrostatics/LineField/LineField.htm
•Applet interactivo del hilo corto
[Massachusetts InstituteofTechnology]-0 6LOYH\UD F

13. Ejemplo:Campo eléctrico de un hilo infinito •Hacemos tender L a infinito (o bien,  nos alejamos de los bordes:|z|<<L):
'

Llim
?→?
?
4??
4
?
./2FV 
?
6
E
VF./2 
6
E
./2EV 
?
6
E
VE./2 
6
'

Llim
?→?
?
4??
4
?
1
?
6
E
VF./2 
6
./2FV
E
1
?
6
E
VE./2 
6
./2EV
'

Llim
?→?
1
4??
4
?
1
?
./2FV
6
E1
E
1
?
./2EV
6
E1
0
0
'

L
?
4??
4
?
2
'

L
?
2??
4
?-0 6LOYH\UD F

14. •Hacemos lo mismo  con la otra coordenada:
'
?
Llim
?→?
?
4??
4
1
?
6
E
VF./2 
6
F
1
?
6
E
VE./2 
6
0
0
'
?
L
?
4??
4
0
'
?
L0
•Finalmente:
'
?L
?
2??
4
?
??
Observación:Es lógico que,  en este caso, ' tampoco 
dependa de z, pues  hay simetría  de traslación  en V
(me muevo  en Vy veo lo mismo).
Vista frontal=lateral
Vista superior-0 6LOYH\UD F

15. Problema:¿Qué fuerza experimenta el hilo debido a la carga puntual?
?
.
M
@-0 6LOYH\UD F