CLASE 2.1 UNIT 2 - Función biyectiva e inversa.docx

Funcion biyectiva e inversa

1. FUNCIÓN INYECTIVA:
Una función es inyectiva si “para elementos del dominio siempre le corresponde imágenes
diferentes”.
Desde el punto de vista matemático (como una forma de evadir el símbolo ≠ en la
definición) esta afirmación es equivalente a lo siguiente

� �� ??????�����????????????� ↔(∀ � ∈??????�� �){�(�
�
)=�(�
�
)→�
�
=�
�
}


GRÁFICAMENTE.- Cualquier recta horizontal que corte a la gráfica lo deberá hacer en un
solo punto.

2. FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Una función es sobreyectiva cuando “todos los elementos del conjunto de llegada (B) son
imágenes de algún elemento del conjunto de partida (A)”. Esto equivale a establecer que
son sobreyectivas las funciones cuyo rango es igual al conjunto de llegada por lo tanto:
� �� ���������????????????� ↔ ∀�∈�,∃�∈��(�)⁄ =�


Gráficamente.- Se puede afirmar que todas las funciones cuya grafica abarca la totalidad
del eje y corresponde a la función sobreyectiva.
Ejemplo 1:


El recorrido de la función es el mismo
que el conjunto final Y, por lo que la f es
sobreyectiva.


Ejemplo 2:


El recorrido de la función son los números
reales mayores que -1, por lo que no
coincide con el conjunto final Y. La f no
es sobreyectiva.

3. FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función es biyectiva cuando cumple con ser inyectiva y sobreyectiva al mismo
tiempo.
� �� �??????����????????????� ↔� �� ??????�����????????????�∧� �� ���������????????????�
f es biyectiva ya que cumple las dos condiciones


GRÁFICAMENTE.- Se reconocen porque su grafica es cortada por cualquier recta
paralela al eje x en un y solo en un punto.
Ejemplo 1:
Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.

4. Ejemplo 2:
Sea la función f(x) = x
2
-1. Esta función no es biyectiva.


OBSERVACIÓN




FUNCIÓN INVERSA
???????????? �:�⟶� �� �????????????���??????��,�������� �� ����� ��������� �
−1
:�⟶� �
−1
��� ����??????�� �� �????????????���??????��

Sea una función f de dominio Dom(f); si f es biyectiva, entonces f tiene función inversa,
que expresamos por f
-1
, y que está definida por:


Observa que para la función inversa se cumple que:
Dom(f
-1
) = Im(f) y que Im(f
-1
) = Dom(f)
a) Para que una función sea sobreyectiva, si no lo fuera, se restringe el conjunto de llegada
b) Para que una función sea inyectiva, si no lo es, se restringe el conjunto de salida

5. Proceso para hallar la inversa de una función f(x)
Para hallar la inversa de una función f debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ver si f es biyectiva mediante la graficación.
2. Despejar la variable x de la ecuación: y = f(x)
3. Intercambiar las variables x e y para obtener f
-1
(x)
4. Graficar la función inversa
Ejemplo de hallar la inversa de una función
Dada una función f, vamos a hallar su función inversa:
a) f(x) = 3x + 2
Primero vemos si es biyectiva:
f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 + 2= 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2

Luego sí es biyectiva.
En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación: y = f(x)

Por último, intercambiamos las variables:

6. b) f(x) = x
2

Esta función no es inyectiva: f(-2) = f(2) = 4 , dos elementos distintos tienen la misma
imagen.
Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:
f(x) = y ⇔ x
2
= y ⇔ x = +√y ⇔ y = +√x ⇔ f
-1
(x) = +√x


La función inversa presenta restricciones:
Las funciones f(x) = x
2
y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el
intervalo [0 , ∞)


Si no hubiésemos puesto la condición x > 0 tendríamos que la inversa de f(x) = x
2
sería
f
-1
= ± √x, que no es función.