CLASE-2-POLINOMIO-SERIES-TAYLOR (1).pptx

Análisis numérico

1. Polinomios y series de Taylor.          

2. Polinomio de Taylor

3. Introducción Utilizaremos las funciones polinómicas como aproximación de otras funciones elementales. Para hallar una función polinómica que aproxime a otra función , empezamos eligiendo un numero en el dominio de en el que tomara el mismo valor, es decir .  

4. Observaciones Las gráficas de y pasan por Se dirá que la aproximación polinómica esta centrada en . Exigir significa obligar a la grafica de a que pase por .  

5. Observaciones Hay muchos polinomios que satisfacen esa condición . Nuestro objetivo es encontrar uno cuya gráfica sea parecida a la de en las proximidades de ese punto. Una forma de lograrlo consiste en imponer la condición adicional de que la pendiente de la función polinómica sea la misma que la de en el punto .  

6. Observaciones Esto significa que . Luego ambas graficas tienen la misma pendiente en . Con esos dos requisitos obtenemos una aproximación lineal simple de .  

7. Polinomio de Taylor Cuando deseamos construir aproximaciones centradas en algún otro valor de , conviene escribir los polinomios de esta forma: Así las sucesivas derivadas dan como resultado:  

8. Polinomio de Taylor Haciendo obtenemos: , , , ,  

9. Polinomio de Taylor Como los valores de y de sus primeras derivadas coinciden con los de y sus derivadas en , se sigue que: Con estos coeficientes llegamos a la definición de los polinomios de Taylor.  

10. Definición. Si tiene derivadas en , el polinomio se llama polinomio de Taylor de grado de en . Si , entonces se llamará polinomio de Maclaurin de grado de .  

11. Serie de Taylor

12. Introducción Supongamos que c y que tiene un intervalo de convergencia con un radio de convergencia distinto de cero. Como se estudió en Sucesiones y serie, dentro del intervalo de convergencia una serie de potencias es una función continua que posee derivadas de todos los ordenes.  

13. Introducción También se trabajó la idea de utilizar una serie de potencias para representar una función determinada sobre un intervalo. Ahora entenderemos de manera adicional la noción de representar una función mediante una serie de potencias. Problema clave: Supóngase que contamos con una función con derivadas de todos los ordenes en un intervalo abierto . Sera posible encontrar una serie de potencias que representa a sobre ?  

14. Introducción Traduciendo esto: Podemos expandir una función diferenciable infinitamente en una serie de potencias que converge al valor correcto de la función para toda en algún intervalo abierto donde ?.  

15. Serie de Taylor para una función   Recordando que una función que es infinitamente diferenciable sobre puede representarse mediante una serie de potencias sobre ese intervalo. La diferenciación repetida de produce:  

16. Serie de Taylor para una función   Esto a su vez se escribirá como. llamada serie de Taylor centrada en . La serie de Taylor centrada en recibe el nombre de serie de Maclaurin.  

17. Observación. Será posible expandir una función infinitamente diferenciable en una serie de Taylor? Respuesta: No es tan simple expandir una función con estas condiciones en una serie de Taylor . Se hace necesario que los coeficientes y la serie en si se obtuvieron bajo la suposición de que era representada por una serie de potencias centrada en .  

18. Observación. Si no conocemos a priori que esa función infinitamente diferenciable tiene una representación en serie de potencias, entonces debemos considerar la serie de potencias de Taylor o de Maclaurin como un resultado formal, en otras palabras, la serie de potencias es simplemente generada por la función . No sabemos si la serie generada de esta manera converge o, incluso si lo hace a  

19. Teorema de Taylor

20. Teorema Sea una función tal que existe para toda en el intervalo que contiene el número . Entonces para todo en el intervalo   Valor exacto Valor aproximado Resto Pol. centrado en c Forma de Lagrange

21. Teorema Donde El número yace entre y .  

22. Convergencia Suponga que es una función que posee derivadas de todos los ordenes sobre un intervalo centrado en el numero . Si para toda en entonces la serie de Taylor generada por converge a  

23. Convergencia Suponga que es una función que posee derivadas de todos los ordenes sobre un intervalo centrado en el numero . En la practica, la prueba de que depende muchas veces del hecho de que porque se sabe que esta serie es absolutamente convergente en .  

24. Misión cumplida