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Ajuste de curvas métodos numéricos

1. LICENCIATURA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN

PROFESORADO DE INFORMÁTICA
ANALISIS NUMÉRICOS / MÉTODOS COMPUTACIONALES
Ing. Lilia Palomo de Roldán
Facultad Ciencias Exactas y Tecnológicas

2. Fundamentos matemáticos
Regresión Lineal: Algoritmo para la
regresión y sus implicancias estadísticas
Interpolación: Diferencias Divididas,
Polinomios de Lagrange.
Ajuste de curvas

3. Fundamentos Matemáticos

6. Es la estimación de la
relación lineal
entre 2 variables
Coeficiente de Correlación

7. Coeficiente de Correlación

8. Ajuste de Curvas
La estrategia es encontrar una curva
simple que represente el comportamiento
general de los datos.
La curva se diseña de tal manera que siga
un patrón sobre los puntos tomados como
un todo.
El “ajuste de curvas” se puede realizar
mediante interpolación o regresión

9. Análisis de Regresión es el método para
estudiar la relación entre dos o más
variables y para poder predecir valores
en una de ellas.
Los datos muestran un grado
significativo de error o ruido
Regresión

15. Regresión Lineal - Formulación

16. Ejercicio

17. Ejercicio

18. Ejercicio

20. Ejercicio

21. Regresión Lineal
Que logramos con este método?
Del número infinito de rectas de regresión
que se pueden generar, hemos generado
aquella cuya
entre los valores reales y estimados (Y
i-Y
i),
sea la menor de todas.
Suma de cuadrados de las distancias

22. Problemas al Ajustar un Modelo
de Regresión Lineal Simple
Al ajustar un modelo de regresión lineal simple
se pueden presentar diferentes problemas
porque:
•no existe una relación lineal entre las variables
•no se verifican las hipótesis estructurales que
se asumen en el ajuste del modelo.

23. Estos problemas son los
siguientes
Falta de Linealidad,
porque la relación entre las dos variables no es
lineal o porque variables explicativas relevantes
no han sido incluidas en el modelo.
Existencia de valores atípicos e influyentes
existen datos atípicos que se separan de la nube
de datos muestrales e influyen en la estimación
del modelo.
Falta de Normalidad
los residuos del modelo no se ajustan a una
distribución normal.

24. •Dados n + 1 puntos
(x
0,y
0 ), (x
1,y
1),..., (x
n,y
n )
en los cuales x
0 , x
1 ,..., x
n son números
distintos,
•Dado un entero no negativo m,
Con m < n ,
se trata de encontrar un polinomio
p
m(x ) = a
0 +a
1x +... +a
mx
m
Regresión Polinomial

25. •La suma de cuadrados sea mínima
Regresión Polinomial
•El criterio mediante el cual se elige el polinomio
p
m(x) es conocido como criterio de los mínimos
cuadrados.
•El polinomio p
m(x) existe y es único;
•Se denomina polinomio de ajuste según
mínimos cuadrados para los datos dados.

26. •Este tipo de aproximación mediante el polinomio de
ajuste p
m(x) se conoce como ajuste polinomial.

•Aunque el ajuste polinomial según mínimos
cuadrados es el caso más usado, también se
considera el caso de ajuste exponencial, logarítmico
y de potencia según mínimos cuadrados.
Regresión Polinomial

27. El método para obtener los polinomios que mejor se
ajustan según mínimos cuadrados se llama
Regresión polinomial.
p
m(x ) = a
0 +a
1x +... +a
mx
m
, con m<n
Tal que la función
sea mínima
Regresión Polinomial

28. Una condición necesaria para la existencia de un
mínimo relativo de esta función es que las
derivadas parciales de S (a
0, a
1,..., a
m) con
respecto a a
j, j = 0,1,...,m sean cero.
Regresión Polinomial

29. Se genera un mínimo S, entonces las ecuaciones se
expresan así:
Regresión Polinomial
Ecuaciones Normales

Se pueden resolver simultáneamente

30. EJERCICIO

31. EJERCICIO

32. Ejemplos – Casos Reales
 La tendencia en una serie de datos obtenidos a través de un
largo período. Por ejemplo, el PBI, el precio del petróleo o el
valor de las acciones, han aumentado o decrementado en un
determinado período.
 En medicina, las primeras evidencias relacionando la
mortalidad con el fumar tabaco vinieron de estudios que
utilizaban la regresión lineal.
 Predecir la humedad contenida en la materia prima.
 Predecir el peso de un animal luego de un período de
engorde, en función del peso al inicio del experimento y el
alimento consumido durante dicho período.