Clase 4 Razones, proporciones y porcentajes.pptx

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1. MATEMATICA APLICADA I Clase n°4: Razones, proporciones y porcentajes

2. Índice Razones y Proporciones Serie de Razones Repartos Proporcionales Proporción Directa Proporción Inversa Porcentajes

3. Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera. Su notación es: a b ó a : b y se lee: “ a es a b ” a : antecedente, b : consecuente Razones

4. Razones

5. Es la igualdad de dos razones: b a d = c ó a : b = c : d y se lee: “ a es a b como c es a d ” Además, a y d : extremos c y b : medios Ejemplo: 4 3 20 = 15 P roporciones

6. El producto de los medios es igual al producto de los extremos. b a d = c ad = bc ad = bc a : b = c : d Ejemplo: 4 5 20 = 25 Es una proporción ya que 5 ∙ 20 = 4 ∙ 25 = 100 Teorema fundamental de las proporciones

7. Ejemplo 2: La razón entre el número de Chocolates que tiene Vicente y el número de Chocolates que tiene su hermano es 3 : 5. Si Vicente tiene 18 chocolates, ¿cuántos chocolates tiene su hermano? Solución: Si x es el número de chocolates del hermano, entonces: Chocolates de Vicente x 5 = 3 x 18 5 = 3 3x = 90 x = 30 Por lo tanto, su hermano tiene 30 chocolates.

8. Es la igualdad de 2 o más razones. b a = d c = f e = ……… = k 2 1 = 4 2 = 6 3 = ……… = 0,5 = 8 4 = 10 5 ó a : c: e: … = b : d: f : … Ejemplo 1: k: valor de la razón o constante de proporcionalidad k  IR (Constante de Proporcionalidad) Serie de Razones

9. Ejemplo 2: a : b : c = 3 : 5 : 6 a + b + c = 42 Si , determinar a, b y c. Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces: Si = 5 b = 6 c = k 3 a Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42 14k = 42 k = 42 14 k = 3 Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18 (Constante de proporcionalidad)

10. Es la igualdad de 2 o más razones. b a = d c = f e = ……… = k 2 1 = 4 2 = 6 3 = ……… = 0,5 = 8 4 = 10 5 ó a : c: e: … = b : d: f : … Ejemplo 1: k: valor de la razón o constante de proporcionalidad k  IR (Constante de Proporcionalidad) REPARTOS PROPORCIONALES

11. Dos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (disminuye), en la misma proporción. y es directamente proporcional a x si x y = k , k: constante Ejemplo: Un automóvil recorre aproximadamente 120 km en 2 hrs a una velocidad constante, ¿Cuántos km recorre en 7 horas?  Para desarrollar cualquier tipo de proporción es recomendable seguir tres pasos: 1° definir las variables : distancia (km) y tiempo ( hrs ) 2° analizar la proporción: si la distancia aumenta, ¿el tiempo aumenta o disminuye? En este caso, el tiempo también aumenta, por lo que se trata de una proporción directa. km hrs 3° Completar la proporción y resolver Proporcionalidad Directa

12. km hrs 120 2 x 7 El auto recorre 420 km en 7 horas   Como es una proporción directa, multiplico cruzado y divido por el que está sólo

13. Dos variables son inversamente proporcionales, si al aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa) en la misma proporción. y es inversamente proporcional a x si y ∙ x = k , k: constante Ejemplo: Dos grúas mueven 50 contenedores en 1 hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover los 50 contenedores en media hora? Para desarrollar cualquier tipo de proporción es recomendable seguir tres pasos: 1° definir las variables : Grúas y tiempo ( hrs ) 2° analizar la proporción: si el tiempo aumenta, ¿se necesitan más o menos grúas?. En este caso, para trabajar más rápido se necesitan más vehículos, por lo que se trata de una proporción inversa. hrs Grúas 3° Completar la proporción y resolver Proporcionalidad Inversa

14. hrs grúas 1,5 2 1 x Al ser una proporción inversa , invertimos el orden de la segunda parte de la proporción antes de desarrollarla hrs grúas 1,5 x 1 2 Se necesitan 3 grúas para hacer el mismo trabajo en menos tiempo.  

15. Pasteleros tortas días 5 400 7 14 x 9 Para plantear la ecuación, seguimos el camino marcado por las flechas Por lo tanto 14 pasteleros pueden producir 1440 tortas en 9 días Nota: Si alguna de las proporciones resulta ser inversa, en vez de cruzar las flechas se mantienen horizontales, y se sigue el camino definido por las flechas.  

16. Porcentajes Un porcentaje es una razón cuyo denominador en 100 Es una comparación en relación a 100 unidades Se utiliza el símbolo % Se puede interpretar el porcentaje como una proporción directa Ejemplo: En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca, si los alumno becados son 50, ¿cuántos alumnos tiene el colegio? Procedemos a desarrollar como un ejercicio de proporcionalidad, en el que siempre tendremos las mismas variables (número y porcentaje) y siempre será directa. Se sabe que 50 alumnos corresponden al 5%, se necesita saber el total de alumnos, lo que corresponde al 100%: alumnos % 50 5 x 100 El colegio tiene 1000 alumnos  

17. Porcentajes Ejemplo: En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica operarios % 120 100 18 x 15% El 15% de los operarios presentó licencia médica  

18. V ariaciones Porcentuales

19. V ariaciones Porcentuales

20. Porcentaje de Crecimiento/Decrecimiento

21. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. a·a·a·a·a = a 5 Ejemplo: La potencia de base 3 y exponente 5 es: 3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 BASE EXPONENTE EXPONENTE BASE Potencias

22. Propiedades de potencias          

23. Potencias Especiales Aplicando la definición de potencia y simplificando Aplicando la propiedad del cociente de potencias de igual base Si los dos resultados han de ser iguales debe ser:

24. Los ejemplos anteriores permite ver que es necesario definir las potencias de exponente negativo (que ya no consisten en multiplicar un número por sí mismo) de manera que además sigan cumpliendo las propiedades que ya conocemos. Las potencias de exponente entero se definen así: ► a n = a . a . a . ... . a , para n natural y mayor que 1. ► a 1 = a ► a = 1 ► a –n = para n natural y n > 0 1 a n

25. Ejercicios

26. Raíces En general llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que elevado a n nos da el primero. radical radicando Índice Arriba hemos visto ejemplos de radicales de índice 2 (cuadráticos) y de índice 3 (cúbicos). Observa que, en el caso de los cuadráticos, el índice no se escribe. b = a  b n = a n Se escribe

27. Propiedades de las Raíces                

28. Propiedades de las Raíces

29. Ejercicios