Clase de fundamento de señales y sistemas - Números Complejos.pdf

Diapositivas acerca de números complejos

1. Objetivo Desarrollo Conclusión
FUNDAMENTOS DE SEÑALES Y SISTEMAS
UNIDAD I: Números Complejos
Dr. Edison Moreno-Cardenas
Ingeniería Electrónica
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Fundamentos de Señales y Sistemas 1 / 43

2. Objetivo Desarrollo Conclusión
1
Objetivo
2
Desarrollo
3
Conclusión
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3. Objetivo Desarrollo Conclusión
1
Objetivo
2
Desarrollo
3
Conclusión
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4. Objetivo Desarrollo Conclusión
Objetivo
Comprender los conceptos fundamentales de los números
complejos, sus representaciones algebraica, polar y exponencial, así
como sus operaciones básicas, potencias y raíces. Además, analizar
su interpretación geométrica y la identificación de regiones en el
plano complejo, con aplicaciones en ingeniería.
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5. Objetivo Desarrollo Conclusión
1
Objetivo
2
Desarrollo
3
Conclusión
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6. Objetivo Desarrollo Conclusión
Introducción a los Números Complejos
•Contexto:El concepto de los números complejos surge en el siglo
XVI en el contexto de la resolución de ecuaciones polinómicas.
Matemáticos como Rafael Bombelli y Carl Friedrich Gauss con-
tribuyeron al desarrollo formal del sistema de números complejos.
•Aplicaciones en ingeniería:
•En circuitos eléctricos y electrónicos (impedancias en AC).
•En procesamiento de señales y telecomunicaciones (representación
de señales en el dominio de Fourier).
•En sistemas de control y modelado de sistemas dinámicos.
•Importancia en el análisis de señales y sistemas:
•Facilitan la representación de ondas sinusoidales.
•Permiten una mejor manipulación de transformadas matemáticas
como Fourier y Laplace.
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7. Objetivo Desarrollo Conclusión
Números Complejos
Los números complejos,z, se pueden definir como pares ordenados
(x,y)de números realesxey.
Con las operaciones
L
,
J
se define el campo de los números
complejos (C,+,·), tal que siz1= (x1,y1)yz2= (x2,y2)pertenecen a
C, entonces:
z1+z2= (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2)
z1z2= (x1,y1)(x2,y2) = (x1x2−y1y2,x1y2+y1x2)
Geometricamente un númeroz= (x,y)se representa en el planox-y,
donde el ejexrepresentará el ejeRe y el ejeyrepresentará el ejeIm.
Así diremos quexes la parte realz,Re(z)=xeyserá la parte imagina
dez,Im(z).
La interpretación geométrica de
L
y
J
se detalla en los siguientes
gráficos:
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8. Objetivo Desarrollo Conclusión
Números ComplejosZ1 + Z2
x1 + x2
y1 + y2
z1
z2
y1
y2
x1 x2
X
Y -y1 y2 x2
X
Y
-x1 x2
x1 y2
y1 x2
z2
z1yz2se pueden representar como dos
vectores en el planox-y. Por lo tanto,
z1+z2representará la resultante entrez1y
z2(ley del paralelógramo para suma
vectorial). Ahora,
z1z2= (x1,y1)(x2,y2)
= (x1x2,x1y2) + (−y1y2,y1x2)
= (x1x2,x1y2) + (0,1)(y1x2,y1y2)
Este productoz1z2se puede interpretar como
la suma de una prolongación dez2enx1>0
unidades(x1x2,x1y2)y una rotación de la
prolongación(y1x2,y1y2)en
π
2
radianes en
sentido positivo.
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9. Objetivo Desarrollo Conclusión
Números Complejos
De esta manera el producto(0,1)(x,y)rota el númeroz= (x,y),
π
2
rad. en sentido positivo:(0,1)(x,y) = (−y,x).
De esta manera, un número de la forma(x,0)representará un número
real y los números de la forma(0,y)representarán los números
imaginarios puros. En particular, al imaginario(0,1)se lo denota
como,i, y obsérvese que:
i
2
= (0,1)(0,1) = (−1,0)
y denotando(x,0) =x∈R,i
2
=−1. Así también:
z= (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) =x+y i
o su equivalente:z=x+yi
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10. Objetivo Desarrollo Conclusión
Lecturas sugeridas
•Bibliografía básica
•MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA VOL
I Kreyszig Editorial Limusa Wiley 2003. 3ł Edición.
•VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES. Churchil Brown
Mc Graw Hill 1990. 5a edición
•Bosch Roig, Ignacio, Señales y sistemas, teoría y problemas,
Ed. Universitat Politècnica de Valencia
•Ashok ambardar, Procesamiento de señales analógicas y
digitales, 2da edición, Ed Thomson
•Bibliografía complementaria
•Douglas K. LINDNER D. Introducción a las Señales y
Sistemas. Mc Graw Hill. 2002.
•SOLIMÁN, SAMIR, AND MANDYAM D. SRINATH. Señales y
sistemas: continuos y discretos. Pearson Educación, 1999.
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11. Objetivo Desarrollo Conclusión
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