Clases de estadística, tablas de frecuencia

tabla para comenzar el estudio de las tablas de distribucion de frecuencias

1. ESTADÍSTICA
MARCELO OSSES BASCUR.
PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN.
LICENCIADO EN EDUCACION.

2. CLASE 1
TABLAS DE FRECUENCIA

3. Recordemos…
Si tenemos un grupo de datos, se pueden calcular
medidas de tendencia central (MTC), estas son:
•Promedio o media aritmética ( ??????)
•Mediana (Me)
•Moda (Mo)

4. Medidas de tendencia central (MTC).
•Promedio o media aritmética ( ??????)
Para calcular el promedio de un grupo de datos se deben sumar todos los datos y el
resultado de dicha suma se divide por la cantidad total de datos.
•Mediana (Me)
La mediana corresponde al dato que está al medio si la cantidad total de datos es
impar.
En el caso que la cantidad total de datos sea un número par, la mediana se calcula
promediando estos dos datos centrales.
•Moda (Mo)
La moda es el dato que se repite más veces.

5. Ejemplos
Observa la siguiente tabla con 10 datos
??????=
3+4+3+7+3+2+4+5+3+6
10
Mo = 3 porque es el dato que se repite más veces
Antes de calcular la mediana, se deben ordenar los datos en forma creciente, es decir:
2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7.
Como al medio hay dos datos, la mediana es el promedio entre ellos.
Me =
3+4
2
=
7
2
= 3,5
3 4 3 7 3
2 4 5 3 6

6. Tablas de frecuencia
Cuando se tiene una cantidad elevada de datos que se quieren organizar, es conveniente
realizar una tabla de frecuencias. Observemos los siguientes datos que organizaremos en
una tabla de frecuencias:
2 4 5 3 7 8 9 8 6 4
3 4 3 6 7 2 8 9 5 2
4 3 5 3 2 3 1 2 3 5
3 7 8 9 8 7 8 9 5 6
7 6 5 8 4 3 6 5 4 9
5 9 6 5 7 6 8 9 3 1
4 3 6 7 5 7 5 7 5 6
4 8 6 5 6 3 2 1 1 3

7. Tablas de frecuencia
Datos (x) Frecuencia
absoluta (f)
Frecuencia
acumulada (fa)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Los números iguales han
sido pintados del mismo
color para facilitar el conteo.
2453789864
3436728952
4353231235
3789878956
7658436549
5965768931
4367575756
4865632113

8. Tablas de frecuencia
Datos (x) Frecuencia
absoluta (f)
Frecuencia
acumulada (fa)
1 4
2 6
3 13
4 8
5 13
6 11
7 9
8 9
9 7
2453789864
3436728952
4353231235
3789878956
7658436549
5965768931
4367575756
4865632113
La frecuencia absoluta es la
cantidad de veces que se
repite un dato.

9. Tablas de frecuencia
Datos (x) Frecuencia
absoluta (f)
Frecuencia
acumulada (fa)
1 4 4
2 6 10
3 13 23
4 8 31
5 13 44
6 11 55
7 9 64
8 9 73
9 7 80
2453789864
3436728952
4353231235
3789878956
7658436549
5965768931
4367575756
4865632113
La frecuencia absoluta
acumulada se obtiene
sumando las frecuencias
absolutas hasta la fila
correspondiente.

10. Tablas de frecuencia
Datos (x) Frecuencia
absoluta (f)
Frecuencia
acumulada (fa)
1 4 4
2 6 10
3 13 23
4 8 31
5 13 44
6 11 55
7 9 64
8 9 73
9 7 80
La última frecuencia
absoluta acumulada
indica la cantidad total
de datos (n)80

11. Tablas de frecuencia
x f faFrecuencia
relativa (fr)
1 4 4 4/80 = 0,05
2 6 10 6/80 = 0,075
3 13 2313/80 = 0,1625
4 8 31 8/80 = 0,1
5 13 4413/80 = 0,1625
6 11 5511/80= 0,1375
7 9 64 9/80 = 0,1125
8 9 73 9/80 = 0,1125
9 7 80 7/80= 0,0875
La frecuencia
relativa es igual al
cuociente entre la
frecuencia absoluta
y el número total de
datos.
Fr = f/n

12. Tablas de frecuencia
x f faFrecuencia
(fr)
Frecuencia
acumulada(fra)
1 4 4 4/80 = 0,05 4/80 = 0,05
2 6 10 6/80 = 0,075 10/80 = 0,125
3 13 23 13/80 = 0,1625 23/80 = 0,2875
4 8 31 8/80 = 0,1 31/80 = 0,3875
5 13 44 13/80 = 0,1625 44/80 = 0,55
6 11 55 11/80= 0,1375 55/80 = 0,6875
7 9 64 9/80 = 0,1125 64/80= 0,8
8 9 73 9/80 = 0,1125 73/80 = 0,9125
9 7 80 7/80= 0,087580/80 =
La frecuencia relativa
acumulada se
obtiene sumando las
frecuencias relativas
hasta la fila
correspondiente.
La última frecuencia
relativa acumulada
siempre resulta ser 1
1

13. Tablas de frecuencia
x f fa fr fra Frecuencia
porcentual (f%)
1 4 4 4/80 = 0,05 4/80 = 0,05 5%
2 6 10 6/80 = 0,075 10/80 = 0,125 7,5%
3 13 2313/80 = 0,162523/80 = 0,2875 16,25%
4 8 31 8/80 = 0,1 31/80 = 0,3875 10%
5 13 4413/80 = 0,162544/80 = 0,55 16,25%
6 11 5511/80= 0,137555/80 = 0,6875 13,75%
7 9 64 9/80 = 0,1125 64/80= 0,8 11,25%
8 9 73 9/80 = 0,112573/80 = 0,9125 11,25%
9 7 80 7/80= 0,0875 80/80 = 1 8,75%
La frecuencia porcentual se obtiene al multiplicar por 100 la frecuencia relativa.

14. Tablas de frecuencia
x f fa fr fra Frecuencia
porcentual (f%)
Frecuencia porcentual
acumulada (f%a)
1 4 4 4/80 = 0,05 4/80 = 0,05 5% 5%
2 6 10 6/80 = 0,07510/80 = 0,125 7,5% 12,5%
3 13 2313/80 = 0,162523/80 = 0,2875 16,25% 28,75%
4 8 31 8/80 = 0,131/80 = 0,3875 10% 38,75%
5 13 4413/80 = 0,162544/80 = 0,55 16,25% 55%
6 11 5511/80= 0,137555/80 = 0,6875 13,75% 68,75%
7 9 64 9/80 = 0,1125 64/80= 0,8 11,25% 80%
8 9 73 9/80 = 0,112573/80 = 0,9125 11,25% 91,25%
9 7 80 7/80= 0,0875 80/80 = 1 8,75% 100%
La frecuencia porcentual acumulada se obtiene al sumar las frecuencias acumuladas hasta la fila
correspondiente.

15. Tablas de frecuencia
x f fa fr fra f% F%a
1 4 4 4/80 = 0,05 4/80 = 0,05 5% 5%
2 6 10 6/80 = 0,07510/80 = 0,1257,5% 12,5%
3 13 2313/80 = 0,162523/80 = 0,287516,25%28,75%
4 8 31 8/80 = 0,131/80 = 0,387510% 38,75%
5 13 4413/80 = 0,162544/80 = 0,5516,25% 55%
6 11 5511/80= 0,137555/80 = 0,687513,75%68,75%
7 9 64 9/80 = 0,1125 64/80= 0,811,25% 80%
8 9 73 9/80 = 0,112573/80 = 0,912511,25%91,25%
9 7 80 7/80= 0,0875 80/80 = 1 8,75% 100%
La última
frecuencia
porcentual
acumulada
siempre
corresponderá al
100%
100
%

16. Primer taller evaluado: Tabular los siguientes
datos en la tabla de frecuencias.
2 5 3 7 6 5 3 2 6 6
3 4 3 8 8 5 4 4 7 9
3 5 9 8 7 5 5 2 2 8
5 6 5 7 1 5 6 6 9 9
9 4 3 2 7 5 5 5 6 9
4 5 9 8 9 1 8 9 1 5
4 5 4 3 6 7 7 3 2 1
5 6 7 1 2 5 9 6 1 5
5 9 8 5 3 4 8 7 3 4
9 8 5 6 3 3 1 8 4 3
x f fa fr fra f% f%a

17. CLASE 2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC) PARA
DATOS TABULADOS

18. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PARA DATOS TABULADOS.
Si tenemos una tabla de frecuencias, se pueden calcular las medidas de tendencia
central (promedio, moda, mediana), a partir de algunas columnas de la tabla.

19. PROMEDIO PARA DATOS TABULADOS.
Para calcular el promedio en una tabla de
frecuencias, se debe multiplicar los datos y su
frecuencia (x • f) en una nueva columna, luego
sumar estos productos y el resultado de la suma, se
debe dividir por el total de datos.
??????=
416
80
=5,2
El promedio es 5,2
xf fa x• f
14 4 4
26 10 12
313 23 39
48 31 32
513 44 65
611 55 66
79 64 63
89 73 72
97n=80
63
Suma de x • f416

20. MODA PARA DATOS TABULADOS.
La moda en una tabla de frecuencias corresponde al dato
con mayor frecuencia.
En esta tabla, hay dos datos con mayor frecuencia 13, por
lo tanto, existen dos modas.
Mo = 3 y 5
En un grupo de datos puede haber una moda, más de una
moda, o simplemente, no haber moda en el caso de que
todos los datos tengan la misma frecuencia.
x f
1 4
2 6
3
13
4 8
5
13
611
7 9
8 9
9 7

21. MEDIANA PARA DATOS TABULADOS.
Antes de calcular la mediana, debemos analizar la posición central según la
cantidad total de datos.
•Si el total de datos (n) es un número impar, la posición central será
�+1
2
Por ejemplo: si el total de datos es 7, la posición central será
7+1
2
=
8
2
= 4
Posición Posición Posición Posición
(central)
Posición Posición Posición

22. MEDIANA PARA DATOS TABULADOS.
Antes de calcular la mediana, debemos analizar la posición central según
la cantidad total de datos.
•Si el total de datos (n) es un número par, habrá dos posiciones
centrales, estas serán
�
2
y
�
2
+ 1
Por ejemplo: si el total de datos es 8, las posiciones centrales serán
8
2
= 4 y
su sucesor 5
Posición
1
Posición
2
Posición
3
Posición
4
(central)
Posición
5
(central)
Posición
6
Posición
7
Posición
8

23. MEDIANA PARA DATOS TABULADOS.
En una tabla de frecuencias, las posiciones se
pueden deducir de las frecuencias absolutas
acumuladas como muestra la tabla.
Para calcular la mediana se deben calcular las
posiciones centrales (dos en este caso porque hay
80 datos, una cantidad par)
Posiciones centrales:
80
2
= 40 y su sucesor 41
Las posiciones centrales son 40 y 41
xf fa Posiciones
(Pos)
14 4 1al 4
26 10 5al 10
313 23 11al 23
48 31 24 al 31
513 44 32al 44
611 55 45al 55
79 64 56al 64
89 73 65al 73
97n=80 74al 80

24. MEDIANA PARA DATOS TABULADOS.
Las posiciones centrales 40 y 41,
deben ubicarse en la tabla,
específicamente en la columna de las
frecuencias absolutas acumuladas.
En nuestra tabla, las posiciones
centrales se ubican en la misma fila,
por lo tanto, la mediana es 5.
xf fa Posiciones
(Pos)
14 4 1al 4
26 10 5al 10
313 23 11al 23
48 31 24 al 31
5
13 44 32al 44
611 55 45al 55
79 64 56al 64
89 73 65al 73
97n=80 74al 80 Me = 5

25. MEDIANA PARA DATOS TABULADOS.
Enelcasoquelasposicionescentralesseencuentrenendosfilas
diferentes,sedebenpromediarlosdatoscorrespondientesaestasfilaspara
calcularlamediana.Veamoselejemplo:
xf fa Posiciones
(Pos)
14 4 1al 4
26 10 5al 10
3
12 22 11al 22
4
9 31 23 al 31
513 44 32 al 44
Enlatablaadjunta,lasposicionescentrales
son
44
2
=22ysusucesor23
Lamedianaseríael
promedioentre3y4,es
decir
3+4
2
=
7
2
=3,5
Me = 3,5

26. Segundotallerevaluado:Calcularlasmedidasde
tendencia(promedio,modaymediana)centralparalas
siguientestablasdefrecuencia
x f
1 4
2 6
4 4
6 7
8 2
9 7
x f
1 5
3 7
4 8
7 6
8 5
107
x f
1 2
2 6
3 7
4 9
5 4
6 4
x f
5 3
6 5
7 9
8 8
9 6
104

27. CLASE 3
TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS
AGRUPADOS POR INTERVALO

28. OBSERVEMOS EL SIGUIENTE GRUPO DE DATOS
Cuando los datos son muy dispersos o numerosos, se debe utilizar una tabla
de frecuencias por intervalos o clases
200 500 3000 7000 6500 5500 300 3 60 6
30 40 300 8000 80 5 45 40 75 95
3990 5500 9990 8350 7430 5620 5000 2300 1 80
5 65 5600 760 150 50 650 680 910 90
9000 4500 3650 2990 7530 5460 5800 5750 6900 10000
4990 5690 9980 8780 9340 110 8450 910 140 510
4550 5590 4930 3110 6320 7140 7520 360 240 100
5570 670 730 1450 2560 5840 9540 6650 1560 5680
5720 9670 8570 5780 3670 400 890 7120 340 3
9150 8980 5900 6000 30 3 10 80 400 3

29. CONCEPTOS BÁSICOS QUE SE DEBEN CONOCER
ANTES DE TABULAR
•Rango de datos: diferencia (resta) entre el mayor valor y el menor de
un conjunto de datos.
•Amplitud de clase: tamaño de la clase o intervalo, se calcula mediante
el cuociente (división) entre el rango de datos y la cantidad de clases
que se desea realizar. A=
�??????���
�°��??????����??????????????????��
siendo el número de
intervalos un divisor de el rango para que el cuociente sea entero.
•Marca de clase: promedio entre los extremos de cada intervalo, es
decir entre el menor y el mayor valor de cada intervalo.

30. OBSERVEMOS EL SIGUIENTE GRUPO DE DATOS
2005003000700065005500300 3 60 6
30 40300800080 5 45 40 75 95
39905500999083507430562050002300 1 80
5 65560076015050650680910 90
90004500365029907530546058005750690010000
499056909980878093401108450910140 510
4550559049303110632071407520360240 100
55706707301450256058409540665015605680
572096708570578036704008907120340 3
915089805900600030 3 10 80400 3
El rango de datos es la
diferencia entre el mayor
y el menor valor, es decir,
10000 -1.
R = 9999
Con este rango se pueden
hacer 9 clases de
amplitud 1111 ya que
9999 : 9 = 1111
También se pueden hacer 11 clases de amplitud 909, o 3 clases de amplitud
3333, etc.

31. ¿Cuántas intervalos realizaremos?
2005003000700065005500300 3 60 6
30 40300800080 5 45 40 75 95
39905500999083507430562050002300 1 80
5 65560076015050650680910 90
90004500365029907530546058005750690010000
499056909980878093401108450910140 510
4550559049303110632071407520360240 100
55706707301450256058409540665015605680
572096708570578036704008907120340 3
915089805900600030 3 10 80400 3
11 o 9 intervalos es una
buena cantidad.
Para nuestro ejemplo
utilizaremos 9 intervalos
de amplitud 1111

32. Tabla de frecuencias por intervalos
2005003000700065005500300 3 60 6
30 40300800080 5 45 40 75 95
39905500999083507430562050002300 1 80
5 65560076015050650680910 90
90004500365029907530546058005750690010000
499056909980878093401108450910140 510
4550559049303110632071407520360240 100
55706707301450256058409540665015605680
572096708570578036704008907120340 3
915089805900600030 3 10 80400 3
Para nuestro ejemplo utilizaremos 9 intervalos de amplitud 1111
Intervalo f
[1-1112[ 45
[1112-2223[ 2
[2223-3334[5
[3334–4445[3
[4445–5556[8
[5556–6667[16
[6667–7778[7
[7778–8889[5
[8889–10000]9

33. Análisis de la notación de intervalos
Intervalo f
[1-1112[ 45
[1112-2223[ 2
[2223-3334[5
[3334–4445[3
[4445–5556[8
[5556–6667[16
[6667–7778[7
[7778–8889[5
[8889–10000]9
Si la paréntesis cuadrada apunta hacia el número,
entonces dicho número pertenece al intervalo.
Si la paréntesis cuadrada no apunta al número, este
número no pertenece al intervalo.
Por ejemplo: 8889 pertenece al intervalo de color rosado
En el último intervalo se toma
en cuenta el dato mayor

34. Tercer taller evaluado: completa la tabla de
frecuencias de datos agrupados por intervalos.
Intervalo
Marca
de clase
y
f fa fr fraf% f%a
Intervalo f
[1-1112[ 45
[1112-2223[ 2
[2223-3334[5
[3334–4445[3
[4445–5556[8
[5556–6667[16
[6667–7778[7
[7778–8889[5
[8889–10000]9

35. CLASE 4
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA
DATOS AGRUPADOS POR INTERVALO

36. Completemos la tabla de la clase anterior
Intervalo Marca
de clase
y
ffa frfraf%f%a y • f
[1-1112[ 556,545450,450,4545%45%25042,5
[1112-2223[ 1667,52470,020,472%47% 3335
[2223-3334[2778,55520,050,525%52% 13892
[3334–4445[3889,53550,030,553%55%11668,5
[4445–5556[5000,58630,080,638%63% 40004
[5556–6667[6111,516790,160,7916%79% 97784
[6667–7778[7222,57860,070,867%86%50557,5
[7778–8889[8333,55910,050,915%91%41667,5
[8889–10000]9444,591000,091 9%100%85000,5
A la tabla
realizada en el
taller anterior, le
agregaremos una
columna con el
producto entre la
marca de clase y
la frecuencia
absoluta:
y • f

37. Completemos la tabla de la clase anterior
Intervalo Marca
de clase
y
ffa frfraf%f%a y • f
[1-1112[ 556,545450,450,4545%45%25042,5
[1112-2223[ 1667,52470,020,472%47% 3335
[2223-3334[2778,55520,050,525%52% 13892
[3334–4445[3889,53550,030,553%55%11668,5
[4445–5556[5000,58630,080,638%63% 40004
[5556–6667[6111,516790,160,7916%79% 97784
[6667–7778[7222,57860,070,867%86%50557,5
[7778–8889[8333,55910,050,915%91%41667,5
[8889–10000]9444,591000,091 9%100%85000,5
A la tabla
realizada en el
taller anterior, le
agregaremos una
columna con el
producto entre la
marca de clase y
la frecuencia
absoluta:
y • f

38. Intervalo Marca
de clase
y
ffa frfraf%f%a y • f
[1-1112[ 556,545450,450,4545%45%25042,5
[1112-2223[ 1667,52470,020,472%47% 3335
[2223-3334[2778,55520,050,525%52% 13892
[3334–4445[3889,53550,030,553%55%11668,5
[4445–5556[5000,58630,080,638%63% 40004
[5556–6667[6111,516790,160,7916%79% 97784
[6667–7778[7222,57860,070,867%86%50557,5
[7778–8889[8333,55910,050,915%91%41667,5
[8889–10000]9444,591000,091 9%100%85000,5
Para calcular las
medidas de
tendencia central,
necesitamos
solamente las
columnas de color
naranjo.
Medidas de tendencia central para datos
tabulados por intervalos

39. Promedio o media aritmética para datos tabulados por intervalos ( ??????)
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[1-1112[ 556,5454525042,5
[1112-2223[ 1667,5247 3335
[2223-3334[2778,5552 13892
[3334–4445[3889,535511668,5
[4445–5556[5000,5863 40004
[5556–6667[6111,51679 97784
[6667–7778[7222,578650557,5
[7778–8889[8333,559141667,5
[8889–10000]9444,5910085000,5
Suma de y • f368951,5
??????=
??????�����,�
���
??????=3689,515
Para calcular el promedio en una tabla de
frecuencias, se debe multiplicar la marca de
clase y la frecuencia correspondiente (y • f) en
una nueva columna, luego sumar estos
productos y el resultado de la suma, se debe
dividir por el total de datos.

40. Moda para datos tabulados por intervalos (Mo)
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[1-1112[ 556,5454525042,5
[1112-2223[ 1667,5247 3335
[2223-3334[2778,5552 13892
[3334–4445[3889,535511668,5
[4445–5556[5000,5863 40004
[5556–6667[6111,51679 97784
[6667–7778[7222,578650557,5
[7778–8889[8333,559141667,5
[8889–10000]9444,5910085000,5
Suma de y • f368951,5
Antes de calcular la moda
debemos identificar la clase
modal que es aquella que tiene
mayor frecuencia.
En nuestra tabla, la clase modal
está en la primera fila.

41. Moda para datos tabulados por intervalos (Mo)
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[1-1112[ 556,5454525042,5
[1112-2223[ 1667,5247 3335
[2223-3334[2778,5552 13892
[3334–4445[3889,535511668,5
[4445–5556[5000,5863 40004
[5556–6667[6111,51679 97784
[6667–7778[7222,578650557,5
[7778–8889[8333,559141667,5
[8889–10000]9444,5910085000,5
Suma de y • f368951,5
La moda se calcula como sigue:
Mo=??????+
??????
1
??????
2
+??????
1
•??????
Donde:
L: extremo inferior de la clase modal.
D
1: Diferencia entre la frecuencia de
la clase modal y la anterior.
D
2: Diferencia entre la frecuencia de
la clase modal y la siguiente
A: Amplitud de clase
Mo=1+
45
43+45
•1111
Mo = 569,125

42. Mediana para datos tabulados por intervalos (Me)
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[1-1112[ 556,5454525042,5
[1112-2223[ 1667,5247 3335
[2223-3334[2778,5552 13892
[3334–4445[3889,535511668,5
[4445–5556[5000,5863 40004
[5556–6667[6111,51679 97784
[6667–7778[7222,578650557,5
[7778–8889[8333,559141667,5
[8889–10000]9444,5910085000,5
Suma de y • f368951,5
Antes de calcular la mediana
debemos identificar la clase
mediana que es aquella en la que
se ubica la o las posiciones
centrales.
En nuestra tabla, las posiciones
centrales son 50 y 51, entonces
la clase mediana está en la
tercera fila.

43. Mediana para datos tabulados por intervalos (Me)
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[1-1112[ 556,5454525042,5
[1112-2223[ 1667,5247 3335
[2223-3334[2778,5552 13892
[3334–4445[3889,535511668,5
[4445–5556[5000,5863 40004
[5556–6667[6111,51679 97784
[6667–7778[7222,578650557,5
[7778–8889[8333,559141667,5
[8889–10000]9444,5910085000,5
Suma de y • f368951,5
La mediana se calcula como sigue:
Me=??????+
??????
2
−fa
1
�
•??????Donde:
L: extremo inferior de la clase mediana.
n: total de datos.
fa
1: frecuencia absoluta acumulada hasta la
clase anterior a la mediana.
f: Frecuencia absoluta de la clase mediana
A: Amplitud de clase
Me=2223+
100
2
−47
5
•1111
Me = 2889,6

44. Cuarto taller evaluado
Intervalo Marca
de clase
y
ffa y • f
[50-100[ 10
[100-150[ 14
[150 -200[ 5
[200 -250[ 14
[250-300[ 15
[300–350[ 20
[350–400] 7
1)Completa las columnas de la
tabla.
2)¿Cuál es el rango de datos?
3)¿Cuál es la amplitud de
clase?
4)¿Cuántos datos hay en total?
5)Calcula el promedio
6)Calcula la moda
7)Calcula la mediana