Clasificación de los numeros naturales.pptx

Clasificación de los números reales, numeros racionales y numeros irracionales

1. matemáticas Discretas m.c JOSÉ SAMUEL PONCIANO REYES

2. Sistemas numéricos 1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal) 1.2 Conversiones entre sistemas numéricos 1.3 Operaciones básicas (Suma, Resta, Multiplicación y División) 1.4 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación TEMARIO Y MATRIZ DE EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1 Actividad Ponderación Fecha de entrega Examen escrito. 40 % El alumno realizara trabajos en clase y de tarea 50 % Asistencia 10 % 26 de Febrero 2024

3. Objetivo de la asignatura Esta asignatura aporta al perfil del egresado los conocimientos lógico-matemáticos para entender, inferir, aplicar y desarrollar modelos matemáticos tendientes a resolver problemas en el área de las ciencias computacionales.

4. Los números reales Competencia: comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer y de segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numérica real. El calculo sustenta su estudio en el conjunto de los números reales. 1.- conjunto de los números naturales. 2.- conjunto de los números enteros. 3.- conjunto de los números racionales. 4.- conjunto de los números irracionales.

5. subconjuntos

6. Números naturales Los números naturales son los números que en la historia del hombre sirvieron primero para contar los objetos y también para ordenarlos. Estos números se inician a partir del número 1. No hay una cantidad total o final de números naturales, son infinitos. [1] Propiedades: 1< n para todo n pertenece a los números naturales. Si k pertenece a los números naturales se define su asesor como k+1 y además k+1 pertenece a n. Si k pertenece a los números naturales se define su antecesor como k-1 y además k-1 pertenece a los números Naturales.

7. Números enteros positivos Los números enteros positivos son aquellos números naturales, incluyendo el cero. Ejemplo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

8. Números enteros Los números enteros abarcan a los números naturales, incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). 

9. Números racionales Los números racionales se definen como el cociente de números enteros, la condición es que el denominador sea diferente de cero. Todo numero racional puede expresarse como una expansión decimal finita o como una expansión decimal infinita periódica.

10. Números irracionales Se definen números irracionales como al conjunto de todos los números que no son racionales. No se pueden representar en fracción.

11. Números Naturales: Su símbolo es , y son los números que nos sirven para contar 0,1,2,3,…, . Números Enteros: Su símbolo es y está formado por los números naturales y por sus negativos, que son sus inversos aditivos. Números Racionales: Su símbolo es , y es el conjunto de todos los números que se pueden escribir como el cociente entre dos números enteros. Números Irracionales: Su símbolo es , y es el conjunto de todos los números que no se pueden escribir como la razón entre dos enteros. Número Reales: Su símbolo es y es el conjunto que resulta de la unión de los números Racionales con los números Irracionales.  

12. Sistemas numéricos que conforman los números reales (naturales, enteros, racionales irracionales) Note que:          

13. Actividad Interactiva Clasifique los siguientes números según el conjunto al cual pertenecen.            

14. Retroalimentación Clasifique los siguientes números según el conjunto al cual pertenecen.                            

15. Sobre el conjunto de los números reales se definen dos operaciones: una suma y una multiplicación, ambas operaciones binarias. EJEMPLO Operaciones de Suma y Multiplicación.            

16. PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN . PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN Clausurativa Conmutativa Asociativa Modulativa es el módulo para la suma 1 es el módulo para la multiplicación Invertiva El inverso aditivo de es El inverso multiplicativo de es EL 0 no tiene inverso. Propiedad distributiva El producto distribuye con respecto a la suma. PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN Clausurativa Conmutativa Asociativa Modulativa Invertiva Propiedad distributiva Si entonces:  

17. Las anteriores propiedades son las leyes, las reglas, las normas que gobiernan el conjunto de los números reales. Tener una buena conceptualización de ellas ayudará a no cometer errores de tipo algebraico. A partir de ellas se pueden demostrar más propiedades de los números reales. Por ejemplo a partir de ellas se puede mostrar que todo número multiplicado por 0 es igual a 0.   NOO!!!

18. A partir de ellas se pueden demostrar más propiedades de los números reales. Por ejemplo a partir de ellas se puede mostrar que todo número multiplicado por 0 es igual a 0. Veamos: Teorema: Demostración: Propiedad Modulativa a  

19. Actividad Interactiva Para cada una de las siguientes expresiones mencione la propiedad de los número reales que se usa: EXPRESIÓN PROPIEDAD EXPRESIÓN PROPIEDAD

20. Retroalimentación EXPRESIÓN PROPIEDAD Conmutativa para la suma Conmutativa para la multiplicación Distributiva Invertiva para la multiplicación Distributiva EXPRESIÓN PROPIEDAD Conmutativa para la suma Conmutativa para la multiplicación Distributiva Invertiva para la multiplicación Distributiva

21. La sustracción o resta es una suma y la división es una multiplicación. Dados números reales: La resta se define como : Es decir se define como más el inverso aditivo de Y la división se define como : Es decir se define como multiplicado por el inverso multiplicativo de ¡ Ahora es claro no se puede dividir entre 0 porque 0 no tiene inverso multiplicativo.!   Sustracción y división

22.   Propiedades de los números negativos

23. Recta real y relación de orden El conjunto de todos los números reales se puede representar geométricamente sobre una recta que se conoce como la recta real. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y viceversa a cada punto sobre la recta le corresponde un único número real. Para construir la recta real se procede de la siguiente manera: Se toma una recta horizontal y se elige un punto sobre esa recta en el cual se ubicará el 0.

24. 2. Luego se toma una longitud y se mide esta longitud desde el 0 hacia la derecha para ubicar el número 1. 3. Se sigue midiendo esta longitud hacia la derecha del 1 y se ubica el 2, sucesivamente el 3,4,5,…, y hacia la izquierda del 0 los números negativos. 4. Para ubicar un número racional se divide la unidad en partes y se toman unidades a la derecha si es positivo y a la izquierda si es negativo. Por ejemplo:   1 1 2 -1 -2 1 2 -1 -2    

25. Para ubicar números irracionales el proceso seria más complejo, se tendría que utilizar su expansión decimal, ubicar el entero, luego las décimas, las centésimas, las milésimas, etc , es un proceso que no terminaría. Con la ayuda de la geometría (Concretamente Teorema de Pitágoras) se pueden ubicar exactamente algunos irracionales. En el siguiente video pueden encontrar más información. https://www.youtube.com/watch?v=yegWVJZCrxk 1 2 -1 -2        

26. Actividad Interactiva Ubique los siguientes números en la recta real:   1 2 -1 -2

27. Retroalimentación. Ubique los siguientes números en la recta real:   1 2 -1 -2 -3 - 3/2 8/6  

28. Relación de orden en el conjunto de los números reales Dados se define la siguiente relación de orden: es no negativo Geométricamente significa que está a la Izquierda de en la recta numérica o que  

29. Relación de orden en el conjunto de los números reales Ley de Tricotomia :  

30. Por ejemplo: 1 2 -1 -2 -3 - 3/2 8/6            

31. EJERCICIOS INTERACTIVOS Coloque el símbolo  

32. RETROALIMENTACIÓN EJERCICIOS INTERACTIVOS Coloque el símbolo  

33. Intervalos ¿Qué es un intervalo? Un intervalo es la representación de un subconjunto de números reales de la recta numérica.

34. Clasificación, notación y nomenclatura de los tipos de intervalos.

35. Ejemplos

36. Ejercicios:

37. Ejercicios: Escriba cada enunciado en términos de desigualdades x es positiva t es menor que 4 a es menor que 0 o igual que pi x es menor que 6 y es mayor igual que -5 la distancia después de p hasta 3 es cuando mucho 5

38. OPERACIONES CON INTERVALOS Unión de A con B . Contiene todos los elementos de A más todos los elementos de B.   -4 -3 2 3 Ejemplo: A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular       UNIÓN DE INTERVALOS

39. OPERACIONES CON INTERVALOS Intersección de A con B . Contiene todos los elementos que son comunes a A y a B.   -4 -3 2 3 Ejemplo: A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular       INTERSECCIÓN DE INTERVALOS

40. OPERACIONES CON INTERVALOS Diferencia A menos B . Contiene todos los elementos que están en A, pero que no se encuentran en B.   -4 -3 2 3 Ejemplo: A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular       DIFERENCIA DE INTERVALOS Nota:  

41. OPERACIONES CON INTERVALOS Complemento de A . Contiene todos los elementos que no se encuentran en A. También puede definirse como -A.   -4 2 Ejemplo: A=[-4;2) Calcular         COMPLEMENTO DE INTERVALOS

42. OPERACIONES CON INTERVALOS A diferencia simétrica de B . Contiene todos los elementos que pertenecen a A-B o B-A.   Ejemplo: DIFERENCIA SIMÉTRICA A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular   -4 -3 2 3      

43. OPERACIONES CON LOS EXTREMOS DE LOS INTERVALOS Fuente: http://guillermoquinonesdiaz.blogspot.pe/2014/05/operaciones-con-intervalos-reunion.html

44. Resolver los siguientes ejercicios: A-b B-a A n b  

45. EJERCICIO: 1. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) b) c) C-D  

46. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1) Expresar el siguiente conjunto en forma de intervalo, y represéntalo gráficamente. F = [-8;6[ – {0; 5}

47. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 4) Dados los conjuntos Hallar:  

48. Definiciones Fundamentales y Ejemplos

49. Definición de Inecuación Una inecuación es una desigualdad que contiene variables.

50. Reflexión … Una desigualdad expresa cantidades que no son iguales . Si dos cantidades no son iguales entonces una es mayor o menor que la otra . Los símbolos matemáticos que se usan para indicar cantidades que no son iguales son: > significa “mayor que” < significa “ menor que”  significa “ menor o igual ”  significa “mayor o igual ”

51. Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x  3 x  3 -3 < x < 3 -3  x  3 -3 < x  3 -3  x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Cuando temenos  ó  se ennegrece el punto ya que se incluye ese valor. Si dice > ó < no incluye el valor, por tanto no se ennegrece.

52. Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x  3 x  3 -3 < x < 3 -3  x  3 -3 < x  3 -3  x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Compara la forma que tiene la gráfica de la solución de una doble inecuación y la forma de una inecuación sencilla.

53. Gráfica de la solución de una inecuación x > 3 x < 3 x  3 x  3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación sencilla necesitamos tener la variable en el lado izquierdo, de manera que se pueda leer el valor de la variable.

54. Gráfica de la solución de una inecuación -3 < x < 3 -3  x  3 -3 < x  3 -3  x < 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación doble necesitamos tener la variable en el centro, de manera que se pueda leer el valor de la variable. Se lee “x está entre -3 y 3”, “sin incluir a”, si solo es “ menor que ” o “ incluyendo a ” si es “ menor o igual ”.

55. Propiedades de las Desigualdades

56. Aditiva de la Desigualdad: Si a < b y c es cualquier número Real , entonces : a + c < b + c Multiplicativa de la Desigualdad: Si a < b y c es positivo , entonces : a . c < b . c Si a < b y c es negativo , entonces : a . c > b . c Observa que cuando se multiplica o divide por un negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección . Si es > cambia a < . Si es < cambia a >.

57. Cómo se resuelven las inecuaciones

58. Ejemplo 1: Resuelve y traza la gráfica 4x – 4  8 4x  8 + 4 4x  12 4x  12 4 4 x  3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

59. Ejemplo 2: Resuelve y traza la gráfica -2x + 8  6 -2x  6 – 8 -2x  -2 -2x  -2 -2 -2 x  1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

60. Ejemplo 3: Resuelve y traza la gráfica 1 < x - 8 < 4 1 + 8 < x < 4 + 8 9 < x < 12 6 7 8 9 10 11 12 13 14

61. Ejemplo 4: Resuelve y traza la gráfica 25 > -5x > 10 25 > -5x > 10 -5 -5 -5 -5 < x < -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

62. Ejemplo 5: Resuelve y traza la gráfica 2  2x + 6  4 2 – 6  2x  4 – 6 -4  2x  - 2 -4  2x  - 2 2 2 2 -2  x  -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

63. Ejercicios: Resuelve las siguientes inecuaciones y traza la gráfica. 1 . x + 3 >-1 * 2. 3 (x – 2) > 5x + 8 * 3. ½ (4x + 14) < 3x – 6 4. 4 – 2y > 2y -3 3 3 5. 1 < x + 5 < 7 6. -3 2x – 7 < 7 *