Clasificación y operaciones de matrices

Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL “El bienestar del hombre proviene de la Ciencia” Algebra Lineal Jonathan Lopez

2. Es una matriz cuadrada donde los elementos ubicados en la parte inferior de la diagonal son nulos. Sea la Matriz ssi :   Es una matriz cuadrada donde los elementos ubicados en la p arte superior de la diagonal s on nulos. Sea la Matriz ssi :   Matriz triangular Superior Matriz triangular Inferior Tipos de Matrices

3. Es una matriz de cualquier orden que tiene todos sus elementos nulos. Sea la matriz , ssi :   Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. Sea la matriz , ssi :   Nula Diagonal Tipos de Matrices

4. Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Sea la matriz ssi También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Sea la matriz. ssi Escalar Identidad Tipos de Matrices   I =  

5. Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A  a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas o viceversa. Se representa por   A t   ó  A T Sea la matriz   Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. Sea la matriz A = A t   , a ij   = a ji   Transpuesta Simétrica Tipos de Matrices  

6. Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A=(-1)A t   ,  a ij =- a ji   Necesariamente  a ii = 0    Sea la matriz ,   Antisimétrica Tipos de Matrices A= 0 1 -2 1 0 5 -2 5 0   1 -2 1 0 5 -2 5 0 0 -1 2 -1 0 -5 2 -5 1    

7. Operaciones con Matrices Suma de matrices Producto de un escalar por una matriz Producto entre matrices

8. Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro:   A + 0 = A , Donde  O  es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A  + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A Propiedades Suma de Matrices Si las matrices  A= ( a ij ) mxn  y  B= (b ij ) mxn  tienen el mismo orden, la matriz suma es: A+B= ( a ij +b ij ) mxn La  matriz suma  se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, A y B . Ejemplo:  

9. Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz     y un número real( ), se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por . Propiedades:  

10. Producto de un escalar por una matriz(ejemplo)

11. Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables; si y solo si, el número de columnas de A coincide con el número de columnas de filas de B . La matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la fila A por cada elemento de la columna j de la matriz B . Recordar verificar: Nº de columnas de A = Nº de filas de B Nº de filas de AB = Nº de filas de A Nº de columnas de AB = Nº de columnas de B Propiedades:

12. -2 -1 3 5 5 8 4 -1 3 4 (-1*-2)+(3*3)+(4*0) (-1*0)+(3*5)+(4*8) (-1*-1 )+(3*5 )+(4*4) 5 -2 (0*-2)+(5*3)+(-2*0) ( 0*0)+( 5*5)+(-2*8) (0*-1)+(5*5)+(-2*4) Producto de matrices (ejemplo) 1 47 32 15 9 17