Cociente incremental

2. Objetivos
Que el alumno sea capaz de:
Construir el concepto de derivada de una función
en un punto a partir de un enfoque físico.
Reconocer algunas aplicaciones que tiene la
derivada.
Adquirir niveles de expresión claros y formales.

3. Contenidos
Velocidad media
Cociente incremental
Pendiente de una recta secante
Velocidad en un instante
Pendiente de la recta tangente
Derivada de una función

4. Contenidos Previos
Función lineal y función cuadrática. Representación
gráfica y análisis de las mismas
Pendiente de una recta
Razones trigonométricas
Velocidad
MRU y MRUV
Limite, concepto
Manejo de la planilla de cálculo de Excel

5. Destinatarios
Alumnos de sexto año del nivel secundario de la
provincia de Buenos Aires

6. Cociente incremental

7. Situación problemática
Dos automovilistas partieron de Buenos Aires y llegaron a Mar del Plata
al mismo tiempo. Los siguientes gráficos representan la distancia
recorrida en cada instante por cada uno de los móviles:

8. Para pensar...
¿Por qué los dos gráficos son diferentes si tardaron
lo mismo en llegar a Mar del Plata?
Varía la
velocidad
Varía la distancia

9. Analicemos con detalle cada de las funciones…
Para el móvil que se desplaza con
MRU, la velocidad del mismo
coincide con la pendiente de la
recta, la cual llamaremos velocidad
media:
Velocidad media = Δy/Δx

10. A partir de ahora …
A la velocidad media de un móvil la
denominaremos cociente incremental:
Δy/Δx = Cociente incremental
Estecocientenosindicaelincremento
delavariableYconrespectoaX.

11. En el caso del móvil que viaja con
MRU:
El cociente incremental, ¿qué nos indica?
La variación del
espacio con
respecto al tiempo
Cómo varía la
velocidad con
respecto al tiempo

12. ¿Cómo determinamos el cociente incremental dados
dos puntos cualesquiera de una función?
Entre los puntos (x
0, f(x
0)) y (x
1, f(x
1)) de una
función cualquiera, el cociente incremental es:
Otro

13. Interpretación geométrica del
cociente incremental:
La variación promedio o cociente
incremental de una función:
¿Tiene alguna relación con el ángulo
que forma la recta con el eje de las
abscisas?
¿Cuál será esa relación?

14. Analicemos una función lineal cualquiera…
A partir de la función: Quedando así:
Tomamos dos puntos
cualesquiera de la recta:
(x
0, y
0) y (x
1, y
1)
Construimos un triángulo
rectángulo, de tal manera que
los catetos del mismo
coincidan con los incrementos
y de los puntos elegidos y la
hipotenusa coincida con la
recta dibujada.

15. Teniendo presentes las razones
trigonométricas:

16. Entonces…
El cociente incremental o pendiente
es igual a:

17. Trabajemos con el gráfico que modeliza la situación del
automovilista que se desplaza con MRU
Si queremos determinar la amplitud del ángulo
sombreado, ¿cuál será?

18. Para ir cerrando …
A partir de una situación problemática definimos
el cociente incremental como la velocidad media
de un móvil.
Y por último vimos que la pendiente de la recta
desde el punto de vista geométrico lo podemos
vincular con la tangente del ángulo.
Pero todavía nos falta mucho por recorrer en esta
aventura…