Coeficientes Indeterminados

Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales por el metodo de coeficientes indeterminados

1. Solución general por el método de coeficientes indeterminados

1.- senxeyy
x
48´3´´
3

Paso 1- La ecuación auxiliar de 0´3´´yy y obtener c
y
3
0
0)3(
03
2
1
2
m
m
mm
mm
x
c
eCCy
3
21

Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener p
y

El operador de senxe
x
48
3 es 0)1)(3(
2
DD ,
Por lo tanto imm
m
54
3
3
senxCxCxeCy
x
p 54
3
3
cos


Paso 3- Se obtiene ´´y

y ´y

se sustituye en la ecuación
senxeyy
x
48´3´´
3
xCsenxCeCxeCy
xx
cos3
54
3
3
3
3
senxCxCeCxeCy
xx
54
3
3
3
3
cos69

senxexCsenxCsenxCxCxeC
xx
48cos33cos3
3
5454
3
3

Se igualan coeficientes 43
03
83
45
54
3
CC
CC
C Se obtiene 5
2
5
6
3
8
5
4
3
C
C
C

Paso 4- La solución general

senxxxeeCCy
xx
5
2
cos
5
6
3
8
33
21

2. Solución general por el método de coeficientes indeterminados

2.- xxxyy coscos´´

Paso 1- La ecuación auxiliar de 0´´yy y obtener c
y
imm
m
m
m
21
2
2
1
1
01
se obtiene senxCxCy
c 21
cos

Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener p
y

El operador de xxx coscos

es 0)1()1(
222
DD ,

Por lo tanto immmm
6543
senxxCxxCxsenxCxxCy
p
2
6
2
543
coscos


Paso 3- Se obtiene ´´y

y ´y

se sustituye en la ecuación xxxyy coscos´´

xsenxCxxCxxCsenxxCsenxCxxCxCxsenxCy
6
2
65
2
54433
2coscos2coscos
senxCxxC
senxxCxCxsenxCxxCxCxenxsCsenxCxxCy
66
2
655
2
54433
2cos4
cos24coscos22cos
xxxsenxCxxCxCxsenxCxCsenxC coscos2cos4cos24cos22
665543

Se igualan coeficientes 14
04
122
022
6
5
54
63
C
C
CC
CC Se obtiene 4
1
0
2
1
4
1
6
5
4
3
C
C
C
C

Paso 4- La solución general

senxxxsenxxxsenxCxCy
2
21
4
1
2
1
cos
4
1
cos

3. Solución general por el método de coeficientes indeterminados

3.- 83cos44´´ senxxyy

Paso 1- La ecuación auxiliar de 04´´yy y obtener c
y
imm
m
m
m
2
4
4
04
21
2
2
se obtiene xsenCxCy
c
22cos
21

Paso 2- Aplicar el operador anulador y obtener p
y

El operador de 83cos4 senxx

es 0)1)(1(
22
DDD ,

Por lo tanto immmm
m
7654
3
0
xsenxCxxCsenxCxCCy
p 76543
coscos


Paso 3- Se obtiene ´´y

y ´y

se sustituye en la ecuación 83cos44´´ senxxyy

senxCxxCxCxsenxCxCsenxCy
776654
coscoscos
xCxenxsCsenxCxxCsenxCxCy cos22coscos
776654

83cos44cos232cos33cos3
3776654
senxxCxCxenxsCsenxCxxCsenxCxC

Se igualan coeficientes 03
03
323
423
84
7
6
65
74
3
C
C
CC
CC
C Se obtiene 0
0
1
3
4
2
7
6
5
4
3
C
C
C
C
C

Paso 4- La solución general

senxxxsenCxCy cos
3
4
222cos
21