Combinacion y Lineal

Presentación sobre la combinación lineal, conjunto generador y espacio generado.

1. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Algebra Lineal Combinacion Lineal

2. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matematicas, Fsica y Estadstica
Universidad de La Sabana
Algebra Lineal Combinacion Lineal

3. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
En esta presentacion, se mencionan los conceptos de espacio generado,
conjunto generador e independencia lineal, dando las deniciones basicas y
algunos ejemplos.
Algebra Lineal Combinacion Lineal

4. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Denicion Seanv1,v2,v3, ,vnvectores en un espacio vectorialV. Entonces
cualquier vector de la forma:
1v1+2v2+3v3+ +nvn
donde1,2,3, ,nson escalares, recibe el nombre de una
combinacion lineal v1,v2,v3, ,vn.
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5. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Se debe tener en cuenta que solo se debe combinar elementos para tener
unos nuevos elementos que pertenezcan al mismo espacio. As, se pueden
tener los siguientes ejemplos:
EnR
3
:
0
@
4
8
10
1
A= 2
0
@
2
1
4
1
A+ 1
0
@
8
6
2
1
A
As,1= 2 y2= 1.
Algebra Lineal Combinacion Lineal

6. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
EnM23:

3 2 8
1 9 3

=3

1 0 4
115

+ 2

0 1 2
2 36

As,1=3 y2= 2.
EnPn(x), todo polinomio se puede escribir como una combinacion
lineal de los monomios 1,x,x
2
,x
3
, ,x
n
.
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7. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Denicion Se dice que los vectoresv1,v2,v3, ,vnde un espacio vectorialVgenera
aVsi todo vector enVse puede escribir como una combinacion lineal de
los mismos. Es decir, para todov2V, existen escalares1,2,3, ,
ntales que:
v=1v1+2v2+3v3+ +nvn:
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8. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Algunos conjuntos generadores son:
Los vectores de la matriz identidadIm.
El conjuntoKdado por
K=

1 0
0 0

;

0 1
0 0

;

0 0
1 0

;

0 0
0 1

:
genera aM22.
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9. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
PREGUNTA
>Algun polinomio de grado nito genera aP?
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10. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Denicion Seanv1,v2,v3, ,vk,kvectores de un espacio vectorialV. El
generado fv1; v2; ; vkg, es el conjunto de combinaciones linealesv1,
v2, ,vk. Es decir:
genfv1; v2; ; vkg=fv:v=1v1+2v2+ +nvng
donde1,2, ,kson escalares arbitrarios.
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11. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Corolario El espacio generado por vectores, es un espacio vectorial.Corolario El espacio generado por dos vectores diferentes de 0 enR
3
que no son
paralelos es un plano que pasa por el origen.
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12. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Seanv1= (2;1;4) yv2= (4;1;6). Entonces:
H= genfv1; v2g=fv:v=1(2;1;4) +2(4;1;6)g:
Siv= (x; y; z)2H, entonces:
x= 21+ 42;
y=11+ 12;
z= 41+ 62:
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13. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Si el vector (x; y; z) es jo, entonces, se puede resolver un sistema de tres
ecuaciones con dos incognitas. Al resolver se tiene:
0
@
1 1jy
2 4 jx
4 6 jz
1
A!
0
@
1 0j
x
6

2y
3
0 1j
x
6
+
y
3
0 0j
5x
3
+
2y
3
+z
1
A
Se sabe que el sistema tiene una solucion unicamente si
5x
3
+
2y
3
+z= 0.
As:
5x2y3z= 0
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14. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Combinacion
Espacio Generado
Dados los siguientes vectores enP2:v1= 2t
2
+t+ 2,v2=t
2
2t,
v3= 5t
2
5t+ 2,v4=t
2
3t2. Determinar si el vector
u=t
2
+t+ 22genfv1; v2; v3; v4g.
1v1+2v2+3v3+4v4=u
y resolver el sistema de ecuaciones.
Observacion Para conlcuir espacios generados, se debe analizar la consistencia o
inconsistencia del sitema de ecuaciones lineales que se plantea.
Algebra Lineal Combinacion Lineal

15. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos
puede ser escrito con una combinacion lineal de los restantes. La
dependencia e independencia lineal es util para encontrar soluciones
generales a ecuaciones diferenciales que tienen miles de aplicaciones:
Ingeniera, fsica, qumica, etc.
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16. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
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Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Denicion Seanv1; v2; ; vn, n vectores en un espacio vectorialV. Entonces, se dice
que los vectores son nescalares
c1; c2; ; cn,
c1v1+c2v2+c3v3+ +cnvn= 0:
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son
linealmente independientes.
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17. Combinacion
Lineal
Algebra
Lineal
Combinacion
Lineal y
Espacio
Genera-
do
Combinacion
Espacio
Generado
Linealidad
Combinacion Lineal y Espacio Generado
Linealidad
Determinacion de dependencia o independecia lineal El procedimiento para determinar so los vectoresv1; v2; ; vnson
linealmente dependientes o linealmente independiente es:
1Se plantea la ecuacion de la denicion, para llegar a un sistema
homogeneo.
2Si el sistema homogeneo posee solo la solucion trivial, entonces los
vectores dados son; si tiene una solucion
no trivial, entonces los vectores son.
Algebra Lineal Combinacion Lineal