Combinatoria

1. Fatorial
1
Análise CombinatóriaAnálise Combinatória
Slides
Xadrez - www.ser.com.br
Permutação com repetição
Princípio fundamental da contagem
Permutação simples
Arranjos simples
Combinações simples
Números binomiais
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton

2. FatorialFatorial
2
Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:
- Para n=0: 0!=1
- Para n=1: 1!=1
- Para n=2: 2!=2×1=2
- Para n=3: 3!=3×2×1=6
- Para n=4: 4!=4×3×2×1=24
- Para n=5: 5!=5×4×3×2×1=120
Generalizando:
n! = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ... × 2 × 1, sendo n pertencente ao
conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.

3. 3
Princípio fundamental da contagem ou princípio Princípio fundamental da contagem ou princípio
da multiplicaçãoda multiplicação
Acompanhe o raciocínio da resolução do
problema a seguir:
Uma pessoa vai a um restaurante e na
promoção ela deve montar a sua refeição
escolhendo uma entrada, um prato
principal e uma sobremesa.
No cardápio constam 3 tipos de entradas,
5 tipos de pratos quentes e 4 tipos de
sobremesa. De quantas formas diferentes
essa pessoa pode montar a sua refeição?
salada
sopa
patês
bife
massa
torta
frango
peixe
bolo
fruta
mousse
pudim
3 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades
A quantidade de refeições é obtida
multiplicando-se todas as
possibilidades. Sendo assim:
3 × 5 × 4 = 60 refeições

4. Permutação simplesPermutação simples
4
Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a
ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos.
Observe os exemplos:
1) Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos formar utilizando os
algarismos 3, 5 e 7?
Note o uso da palavra “distintos”, ou
seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:
357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Podemos representar também em um
“diagrama de árvore”:
5 7
3
7 5
3 7
5
7 3
3 5
7
5 3
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos:
3 × 2 × 1 = 6 possibilidades
3 possibilidades2 possibilidades1 possibilidade

5. 5
Permutação simplesPermutação simples
2) Quantos anagramas existem da
palavra azul?
Anagramas são todas as palavras
formadas, com ou sem sentido,
pelas letras da palavra dada,
embaralhando a sua ordem.
A maneira mais fácil de construir
todas as possibilidades é pelo
“diagrama de árvores”. Observe:
u l
z l u
z l
a u l z
z u
l u z
u l
a l u
a l
z u l a
a u
l u a
z l
a l z
a l
u z l a
a z
l z a
u z
a z u
a u
l z u a
a z
u z a
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos:
4 × 3 × 2 × 1 = 24 possibilidades
Concluímos que para n termos a
expressão ficaria:
P
n
= n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 × 1 = n!

6. 6
Permutação com repetiçãoPermutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se
trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve
mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” .
Assim, seguimos o raciocínio:
n
1 2 3
P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!
151200
P P P 2!3!2! 2 3!2
× × × × × × ×
= = =
× × × × × ×
Onde P
n
é a permutação das dez letras da palavra matemática,
P
1
é o número de letras “m” que são repetidas, P
2
é o número de
letras “a” repetidas e P
3
é o número de letras “t” repetidas.
Generalizando:
, ,
n
n!
P
! ! !
a b g
=
a b g

7. 7
Arranjo simplesArranjo simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual
a ordem destes importa. Assim temos a relação:
n,p
n!
A
(n p)!
=
-
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras,
com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras?
1º modo de resolver:
a
9 8 7 6
a 1 casa como foi usado um dois termos fo ram usado
pode ter termo na primeira foram usados,
nove termos casa, sobraram oito restando sete
para escolher na para escolher
segunda casa um para esta casa
× × ×
5
15120
s quatro termos
3 termos dos usados. Restaram
nove, restando cinco nesta casa
seis para esta para selecionar
casa
× =
2º modo de resolver:
9,5
9! 9 8 7 6 5 4!
A 15120
(9 5)! 4!
× × × × ×
= = =
-
n p³

8. 8
Combinações simplesCombinações simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual
a ordem destes não importa. Assim temos a relação:
n,p
n n!
C
p p!(n p)!
æ ö
= =
ç ÷
-è ø
Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão
chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes poderá
ser formado o grupo para a reunião?
9,5
9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6
C 126
5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1
æ ö × × × × × × ×
= = = = =
ç ÷
- × × ×è ø
n p³

9. 9
Números binomiaisNúmeros binomiais
Chama-se número binomial o número com tal que,
n
p
æ ö
ç ÷
è ø
n p³
n n!
p p!(n p)!
æ ö
=
ç ÷
-è ø
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
Números binomiais iguais: Se, então:
9 9
5 x
æ ö æ ö
=
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
x 5
ou
x 5 9 x 4
=ì
ï
í
ï
+ = Þ =
î

10. 10
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
É uma forma de dispor números binomiais. Observe a sequência:
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n
...
0 1 2 3 n
æ ö
ç ÷
è ø
æ öæ ö
ç ÷ç ÷
è øè ø
æ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö æ
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø è
ö
ç ÷
ø
ou
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
onde
+
+
De modo geral:
n 1 n 1 n
p 1 p p
- -æ ö æ ö æ ö
+ =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
-è ø è ø è ø

11. 11
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:
0
1
2
3
4
0
1 2
0
1 1
1 1 2 2
0 1
2 2 2
1 2 1 4 2
0 1 2
3 3 3 3
1 3 3 1 8 2
0 1 2 3
4 4 4 4 4
1 4 6 4 1 16 2
0 1 2 3 4
De modo geral, t
æ ö
= =
ç ÷
è ø
æ ö æ ö
+ = + = =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
+ + = + + = =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + = + + + = =
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + + = + + + + = =
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
p n
n
p 0
emos
n n n n n n
... 2
p 0 1 2 3 n
=
=
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
= + + + + + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
å
:

12. 12
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
Outras propriedades:
p p 1 p 2 n n 1
p p p p p 1
+ + +æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
+è ø è ø è ø è ø è ø
K
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n
...
0 1 2 3 n
æ ö
ç ÷
è ø
æ öæ ö
ç ÷ç ÷
è øè ø
æ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö æ
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø è
ö
ç ÷
ø
+
+
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
+
+

13. 13
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
n n 1 n 2 n p n p 1
0 1 2 p p
+ + + + +æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
K
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n
...
0 1 2 3 n
æ ö
ç ÷
è ø
æ öæ ö
ç ÷ç ÷
è øè ø
æ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ öæ ö
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè øè ø
æ öæ öæ öæ ö æ
ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
è øè øè øè ø è
ö
ç ÷
ø
+
Outras propriedades:
+
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
+
+

14. 14
Binômio de NewtonBinômio de Newton
Toda potência da forma (x+y)
n
, sendo n um número natural, é conhecido como
binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns.
( )
( )
( )
( )
0
1
2
2 2
3
3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
x y 1
x y x y
x y x 2xy y
x y x 3x y 3xy y
(x y) x 4x y 6x y 4xy y
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
Para desenvolver estes binômios, podemos generalizar como segue:
( )
0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0
0 1 2 2 1
n
n n n n n n
n n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y
n n n
- - - - -æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
+ = + + + + + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
- -è ø è ø è ø è ø è ø è ø
K
Exemplo:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 0
2 5 2 2 2 2 2 2
2 5 5 4 2 3 4 2 6 8 10
5 5 5 5 5 5
(2x 3y ) 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y
0 1 2 3 4 5
(2x 3y ) 32x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
+ = + + + + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
+ = + + + + +

15. 15
Binômio de NewtonBinômio de Newton
Termo geral do binômio de Newton é o desenvolvimento de
apenas um dos termos de todo o desenvolvimento. Assim...
n
n p p
p 1
...para (x y) , o desenvolvimento de apenas um dos
termos pode ser feito pelo termo geral a seguir...
n
T = x y
p
-
+
+
æ ö
ç ÷
è ø