Complemento matemático 2 Ed. Punto Fijo

Cuaderno de trabajo
Autor: Armando Casarrubias
Ediciones Punto Fijo

1. PRESENTACION
El principal obietivo de este cuaderno de traba¡o dirig¡do a tos alumnos det Segundo Grado de
Ia Escue¡a Secundaria, es facilitar e¡ proceso enseñanza-aprendizaje por med¡o de una serie
graduada de acüvidades basadas en el análisis y deducciones propias del desa¡rollo mental del
alumno, que reside en 3u apt¡tud para comprender nuevas s¡tuac¡ones, resotviendo problemas
y superando obstáculos.
Es bueno que acept* que las itatemát¡cas no sóto sirven para resolver problemas, sino que
además' son ¡nteresantes y divertidas; como lo comprobarás en las secciones de act¡vac¡ón det
pensam¡ento por medio de iuegos matemáticoa como tareas de aprendizaje, de acuerdo con los
lineamientos de evaluación propuestos por GENEVAL y por ENLACE.
E! ¡azonamiento de los problemas te ocasiona el principal obstáculo en el aprendizaje de las
atemáticas. Un gran descub¡imiento es !a solución de un problema, esfuérzate en poner en
iuego tus facultades inventivas, si !o resuelves por tus propios medios, sentirás el encanto det
descubrimiento y e! goce del triunfo, anímate a ser de los mejores de tu grupo.
¡sí se puedet
La didácticá empleada en este cuaderno de trabajo te perm¡te una motivación del proceso
enseñanza-aprendizaje de las ilatemáticas med¡ante act¡vidades sencillas, relacionando los
problemas con otras ciencias como: Historia, civismo, Geografia, Biología, Física y euímica.
Participa sin temor en el desarrotlo de la clase, un gran amigo es tu profesor de grupo, él tiene
gran ¡nterés en tu superación y que seas de los mejores de su clase, reflexiona y analiza
criticamente que las mejores calificaciones también son para tí. Repasa en tu casa los
éierc¡cios y problemas que realizas en clase para que integres el aprendizaje individual con el
aprendizaje grupgl.
Pala el maestro de grupo el cuaderno de trabaio sirve como auxiliar didáctico, ya que contiene
todos y cada uno de los contenidos del aprendizaje marcados en el programa de la Secretaria
de Educación Pública (RES) faci!¡tándole la evaluación del desarrollo cognitivo y actividades
personales de sus alumnos para comprobar sus avances escolares, al observar sus ac¡ertos y,
a! mismo tiempo, cumplir con la misión formativa al favorecer lá adquisición de habilidades y
destrczas que más tarde puedan ser aplicados en la vida de los futuros c¡udadanos de nuest.o
País, convirtiéndose así en un promotor del aprendizaje, ya que, de acuerdo con la d¡dáct¡ca
critica y part¡cipat¡va:
"ENSENAR ES PROMOVER EL APRENDIZAJE"
AUTORES.

2. NUEVA PROPUESTA CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
El propósito de mejorar la currícula es una parte importante, en el caso de
MATEMATICAS, como en la mayoría de las otras asignaturas. No se trata de una ruptura
con la propuesta anterior. sino de un proceso de mejora cont¡nua.-
El proceso de elaboración de esta propuesta curricular de MATEMÁT|CAS se guió bajo
tres criterios fundamentales que son los siguientes:
Primero: Lograr mayor vinculación entre los tres niveles que conforman la educación
básica. (preescolar, primaria y secundaria)
segundo: Mejorar la distribución de contenidos y favorecer un mavor nivel de
profundización.
Tercero: Lograr la mayor claridad posible en el diseño de la propuesta.
CRITERIOS DE ELABORACIÓN
Se decidió agrupar los contenidos que se estudian a lo largo de la educación básica en
sólo tres ejes cuyos títulos son:
SENTIDO NUMÉRICO y pENSAMTENTO
ALGEBRATCO. (aritmética y átgebra)
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA (aritmética, átgebra y geometría)
MANEJO DE LA INFORMACION. (aritmética, átgebra, geometría, probabilidad y
estadística)
EI PriMEr EJE SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO, hACE TEfETENCiA A
dos aspectos sustanciales del estudio de la ARIrMÉTlcA y el ÁLGEBRA, por un lado
encontrar el sentido del lenguaje matemático, a nivel oral y escrito; y por otro lado tender
un puente entre ambas ramas de la matemática, en el sentido de que hay contenidos de
álgebra en la primaria, que se profundizan y se consolidan en la secundaria.
El eje FORMA ESPACIO Y MEDIDA encierra los tres aspectos esenciales alrededor de los
cuales gira el estudio de la GEoMETníl y ta medición en la educación básica.
El eje MANEJO DE LA lNFoRMAclóN t¡ene un significado muy amplio; pero a la vez
precisa la necesidad de que la educación básica proporcione a los alumnos las
herramientas para que puedan recabar, organizar, analizar, interpretar y presentar
distintos tipos de información.
La organización de los conten¡dos en tres ejes no deja de lado que se trata del estudio de
las MATEMATICAS y no de tres cursos paralelos. De hecho ñay temas que lo mismo
pugden estar en un eje que en otro y aunque su ubicación fue resultado de un profundo
análisis, no deja de ser arbitraria. Pero el aspecto posit¡vo de esto es que se pueden
establecer múltiples conexiones entre contenidos de distintos ejes, lo cual es
fundamental para el desarrollo de habilidades por parte de los alumnos,
LOS AUTORES
3

3. CONT
ENLACE 7
_
ENIDOS
Jerarquía de las operaciones. 49
BLOQUE TEMATICO I 9 Uso de paréntesis
50
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO Multiplicación dé moñomios y polinom¡os.5l
i _
M-{!ip!i_c!90 !!,e
po I ¡
!
om ios. 52
qe ra murup cacton con Divis¡ón de monomios. 53
numeros enteros. loDivisión de 5tt
ruun¡pllqgcron de números con g¡gno. 11
Ery Ele,m§ !!!rl!p!!94iv99, 56
qe-
ng!!-e-Los re!! s¡gno 12
Problemas mult¡ 13
EOR!['!ALE§I ACIO Y IUIEDIDA.
ad¡t¡vos. l5
aloebraicas. 17Cuerpos Sggqt!!4Sot 58
Flq4gllgg,q
g_ rlfl1gx D_!ps
iqq 4seb
ra ica.l8Desarrollo Dtano del 59
Monom¡os v pol¡montos- '19.Secc¡ones planas. 62
¡ ermtnos 20 V_olqlnqfr o g_q¡§!!as y prrám¡des. 64
§uma oe elllg1gEllggPra¡cas.
Resta ¿e_ exÉré§ioles alge!raicas
qs9_q9!9qqSls, q!qe!r¡cg9.
-.- __
FOTRMA.ESPACIO¡/ n¡ eOl On
21 El cubo y la arista.
22 Reíáciones Ae var¡ac¡ón
r _ItltANE¡o oE L,¡A ]t!F-oRMÁe¡óñ.
Probtemas oe cómoáraG¡On Ae razorrcs.
68
69
70
Definición_ de á¡gulo. _
S¡stema_ sexagestmal.
.
Resoluc¡on de Droblemas.
m-aqnituo oe un angulo. -
___
Medidas de te¡{.¡S!a central.
4 Mqüdas oe oispefsién.
25 .
Datos agrupaOos.
27 Gráficas.
2A
71
74
77
7S
i =l!gg!e!.selr|rrelE
y seg.lnento. _ )z!_ lqtLv3q¡e! del ¡q¡saELeqtg.
i Bosición-de
dos
Igctqg el_L9l1!qqo.- i3o
eyS!C_a"¡0n ,ietsCSC¡.ao plg_qug,
80
8l
, Anguros OpUeStOs por el vertrce y
t_ eqyecqnre". _ _lCr BLOQUE Trco lll 83
. . Anglllo§ quq--s-ejqr]ne4 entre dos rectas
__ Dara¡etas cortadas por un transv-rsal.- 32 sENnDo nuuEnrco y pet¡sallllanro
I
Suma de los ángulos ¡nteriores de un ALGEBRAICO:
I úranquto. 35
- Suma de lor ángClggjn,Ler¡or".". ! q -'
Secuenc¡as de números con siqno. 8¡t
cuaontalefo. 36 Regla oue genera una secuencia de
., !11tEeleq.qo!§!g-!!e. 86
MANE.'(' UE LA INFUKMAG
Ecuaciones de la forma: ax + b = c 88
!:sqrü!nyel9e.
Problemas de orqpS4!9!a!!qCq_¡¡!Itp!9
37
39
Ecuatlg_rles ig]elqM3i !x + 6
= 6¡ + d
Ecuaciones oe la forma: a(x +b)
= c
89
90
Problemas de conteo. __ 41 Resolución de problemas.
9l
Diaqramas y potigonos de frecuencia. 43 Ecuac¡ones de ta torma:
ax+bX+C=dX+ex+f 93
Activac¡ón del pensamiento. 45Ecuaciones de la forma: ax + b = d
c
Reqqlución de problemas.
96
97
Resolución funcional. 99
BLOQUE TEMATICO II 48
FORMA ESPACIO Y MEDIDA
§tsNIIDQ NUMERICO Y PENSAMIENTO 49 Suma de los ánqulos interiores de un
AL(itsBf(AIGO 50 pgli
104
5

4. CONTEN¡DOS
Recubrimiento del plano. 106 Resoluc¡ón de problemas. 150
Gratlcas de relaciones lineales. 107
Graf¡cas !¡neales de la forma yE mx + b 108 FORMA ESPACIO Y MEDIDA.
Activación del pqrsamiento. ll0Movimiento de figuras:
Evaluación del tercer bloque. 111
Iraslación. 154
BLOOUE TEi|IATICO IV 113 Rotación. 156
S¡metría ax¡al: 158
SENTIDO NUMERICO Y PENSAIUIENTO Simetría central. 160
Reflex¡ón respecto a dos ejes paralelos. '162
Reflex¡ón respecto a dos eies
Potenc¡as, 114 perpendiculares 163
Notación científica. ll6
Orden de magnitud. 118 MANEJO DE LA INFORMACION
El ajedrez y las potencias oe 2. 121
Gráficas:
FORIUA ESPACIO Y MEDIDA.
Sistemas cons¡stentes. 165
l;ongfuencra oe tr¡ángulos. 123 S¡stemas dependientes.
,t
66
Rectaa de un tr¡ángulo, 125 Sistemas inconsrstentes. 16'7
[razo de la meiliatriz. 126
Trazo de la b¡sectr¡z. 128 Anal¡s¡s de la información:
Trazo de altufas. r30
Trazo de med¡anas. 131 Eventos mutuamente excluyentes. 168
Probab¡l¡dad de ocurrencta. 170
MANEJO DE LA INFORMACIOÑ.
Activación del pensamiento. 172
Probab¡lidad de ocurrencia de dos o más Evaluación del quinto btoque. 173
eventos independientes, 133
_l4eryjglegión
de gráf¡cas 't 36
Examen de exploración de conoc¡m¡entos,
Act¡vación del pensam¡ento. 139 para aplicarlo al ¡nicio del año escolar 175
Evaluac¡ón del cuarto bloque 140
BLOQUE TEMATICO V 142
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO.
S¡stemas de ecuacrones lineales 143
Métodos de resoluciénie
écuac¡ones l¡neales:
Método de sustitución. 144
Método de reducc¡ón. 147
6

5. ENLACE
Para comenza¡ el estudio de las Mat
necesitarás recordar los conocimientos que recibiste en primer
Grado. Gomo su
ngmfrg lo indica, esta parte es un enlace entre los conoc¡mientos y habilidades que
adquiriste anter¡ormente:
Al 275
B) 294
c) 398
D) 512
E) 596
1. En la s^ucesión 8,32, 12g,...
¿que ,,¡rn"rq
sigue?
A)
B)
c)
D)
E)2. ¿Cuál es el s¡guiente número de la suces¡ón?
34, 27, 20, 13,
A) 15
B) 12
c)e
D)6
6. Jorge t¡ene tres docenas y media de canicas;
al jugar pierde l8 y postedormente le regalan
una docena. ¿Cuántas le quedaron?
A) 54
B) 45
c) 36
D) 27
E) 18
3. Observa el siguiente patrón numérico:
123456789 x 9 = ll{ 111'101
123456789 x 18 = 222 222 2Oz
123456789 x27= 333 333303
¿Cuál será el resultado de
123456789 x 72?
kl 777 777 707
B) 888 888 S08
c) 999 999 909
D) I 888 88S 808
El 7 777 777 707
7. Si 4 paquetes de früol cuestan $ 61.60, ¿cuán-
to pagarás por 6 paquetes?
$ r25.60
$ r14.20
$ r08.40
$ 92.40
$ 80.20
A)
B)
c)
D)
E)
8. Para hornear un pavó se considera que
por cada l/ 2 kg se requieren 3/ 4 de ho-
ra a fuego. ¿Durante cuánto tiempo se
debe hornear un pavo de 5 Kg?
A) 6 horas 30 minutos
B) 6 horas 45 minutos
C) 7 horas
D) 7 horas 15 m¡nutos
E) 7 horas 30 minutos
Observa los sigu¡entes triángulos.
Ex¡ste una relación entre los números
que están fuera del triángulo con los
que están dentro del triángulo.
¿Cuál es el valor de x?
9. El diámetro de la Tierra mide aproximadamente
'1,3 x 104 km. ¿Cómo se expresa esta d¡stan-
cia sin utilizar la notación científica?
A) 13 000 000
B) I 300 000
c) r30 000
D) 13 000
E) r 300

6. 'tt
0. Una üenda de apantoa e!éctricoJ ofruce un de
, cuento del 20% sobre el precio de lista en loe I
, levisoros. §i el preclo rebajado de un telev¡3or
, de $ I 200, ¿cuál es ct precio de llsta?
A) s{900
B) Sr800
c) ¡1700
D) $r600
E) $l5oo
1. Alberto camina 32 kilómetros en 4 horas y su
r primo Luis camina 2l k¡lómetros en 3 horas. Des
i pués de caminar 7 horas, ¿a
qué distanc¡a se en-
I
cuentra Alberto de Luis?
I
A) l0km
I B) 9km
I c) 8km
I D) 7km
I E) 6km
2. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa cán-
ILHK
I
"',)/
,. l
'.,.
4. Si una circuntercnc¡a m¡de 37.68 cm, ¿cuál ee
medida de su radio si fr = 3.14?
I
8.25
9.75
r0.50
12
A)
B)
c)
D)
E)
15. Observa la siguiente figura:
De acuerdo con sus datos, ¿cuánto debe medir
la superficie del área sombreadd?
A) 2l cm2
B) 18 cqz
C) 15 cml2
D) 10 cmi2
E) datos ¡ncompletos
6, Si se lanza un dado y una moneda, ¿cuál es el
total de combinaciones posibles que se puede
da¡?
A)8
B)s
c) 12
D) l5
E) 18
Qgsnyés
det corte,
¿cuántas caras tiene la sec-
clón de! sól¡do marcado con e! número l?
13. El siguiente d¡bu¡o muestra un prisma tr¡angu-
lar cortado en dos secciones por medio de un
plano:
A)4
B)s
cls
D)7
E)8
7. De una caia que cont¡ene S pañuelos verdes, 3
blancos y- 2 rojos, se saca sin ver un panráiá.
¿Qué¡robabilidad hay de sacar un pañuelo
verde?
er*
c)?+
orJ-,2
E)+
Al-l-
'10
8

7. EN ESTE BLoQUE APRENDERÁs n:
sEi§'TtDO ¡¡Ur¡Énrco y pe¡¡st
MIENTO ALGEBRAICO.
EJE.
FORMA, ESPACTO Y MEDIDA:
EJE.
MANEJo oE LA INFoRMacIÓ¡¡.
y uso de operac¡ones
.
Justificación dé h multiplica-
:
I ción con números enteros.
a
Multiplicac¡ón de números
, con srgno,
a
División de núrmeros con
:
s¡gno .
¡ Problemas mult¡plicat¡vos.
o Problemas aditivos.
¡.Expresiones algebraicas,
-
Elementos de una exore-
trpresión
algebraica.
O
.iionom¡os y pol¡nomios.
¡ Táminos semejantes. .
a §!¡m:
de expresiones
atgeofa¡cas
o
Rg"g de expresiones
algebrarcas.
a
Uso de modelos geomé-
tr¡cos.
Medida:
¡ Definición de ángulo.
o Sistema sexagesimal.
¡ Resolución de problemas.
¡
Magnitud de un ángulo.
Formas geométricas:
¡ Recta, semírrecta y segmento.
^
Posición de dos rectas en elt
plano.
a.Ángulos
opuestos por el vér-
ttce.
o,Ángulos que se forman entre
,
dos rectas paralelas cortadas
por una transversal,
¡S-uma
de los ángulos ¡nbriores
@ un triángulo.
¡,Suma de los ángulos inte-
irio¡es de un cuadr¡tátero_
Anál¡sis de la información:
a Factor inverso.
a Problemas de proporcio-
nal¡dad mútt¡pte.
O Problemas de conteo.
O Diagramas y polígonos
de frecuencia.
Activación del pensam¡ento.
He aquí la ltliatemática, h
, creación más original det
¡ngen¡o humano.
.R""j¡y?r problemac qr. ¡.p
o divisiones de números con signo.
' Jueüficar ra suma de ros áriguros intemos de cuarqu¡er triánguro o cua-
drilábro.
3. Resotver probremas de conteo med¡ante cálcuros numér¡cos.
4' Resorver probremas de vator fattante considerando más de dos conjun-
juntos de cant¡dades.
const¡uir de frecuencias.

8. JUSTIFICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN
CON NÚMEROS ENTER
Cons¡deremos:
. El movim¡ento de un tren que v¡aja a velocidad constante dd 40 km/h
. ( +
) el movimiento hac¡a la derecha del punto de partida, y
. ( -
) el que se realiza hacia la izquierda de dicho punto.
. Así mismoel tiempo futuro será ( +
) positivo y el t¡empo pasado ( -) negat¡vo.
1. s¡ el tren está en el punto de part¡da y va hac¡a la derecha, ¿dónde
""t"rá
d""pré-" d"
"i*ohoras?
Movimiento hacia la derecha por tiempo futuro:
ffi
(+a0) (+5) = 200 ffiN
-200 -160 -120 -80 -40 0 +40 +80 +12O +160 +2OO
El tren estará 200 kilómetros a la derecha, o sea en + 2OO
2. Si el tren está ahora en el punto de partida y marcha hac¡a la izquierda, ¿dónde estará 5 horas
después?
-Egt§
Movimiento hacia la izqu¡erda por tiempo futuro:
!ffi1é
J6ry) ( -40 ) (+ s) = -2oo
-200 -160 -120
El tren estará 200 kilómetros a la izquierda, es decir en -200
+160
3. Si el tren está ahora en el punto de partida y ha marchado hacia la derecha, ¿dónde estaba hace
5 horas?
Movimiento hacia la derecha por tiempo pasado:
1+40)(-5)=-200
-200 -160 +160 +200
El tren estaba a 200 kilómetros a la izquierda, es decir en -2OO
4. si el tren, está ahora en et punto de partida y ha marchado hacia la izquierda,
¿dónde estaba
hace 5 horas?
Mov¡m¡ento hacia la izquierda por tiempo pasado:
§etS,
p.m:)lEi
- l-40)(-5 )= +200 rffi
+120
El tren estaba a 200 ki a la derecha o sea en +200
Sentido numér¡co y pensam¡ento algebraico n¡ficado y uso de las operaciones
10

9. Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
MULT¡PLICAC¡óN DE NÚMEROS CON SIGNO
BEGLA DE LOS SIGNOS
LA MULTIPLICACION:
(+) (+)= +
(-) (+)= -
(+) (-)= -
(-) (-) = +
ENG$ (+6)
=u
(-2) (-18)
= 36
(+3)(-9)
=-n
(- a) (+8)
= -
sz
(-,) (+s) (-2)
= C3s) (-2)
= +7o
(D
primero multipücamos dos factores
(-6) (=1) (-3)
=
(-6) (13)
= -
18
primero multipücamos dos factores.
l) Efecnia las siguientos multiplicaciones:
a) (+8)(+e)= b) (-7)(-6):
c) (-5)(+4)= d) (+r)(-lo)=
e) ( - 2 )
( - 12 ) =
D (-8)(6)=
e) (e)(-7)=
h) (-lr)(-4)=
i) (-6)(+15)= j) (5)(-t2)=
k) (2)(-3)(4)= l) (-6)(2)(5)=
m) (-4)(s)(-3)= n) (-1)(3)(-4)(2)=
o) (s)(-2)(-1)(-8)= p) (6)(-3)(0)(-e):
o¡ (--L)(+)=
.l «frr-*r=
o (*),
+r=
q (-+)(+rr-fr=
2) Anota el factor que falta en cada una de las multiplicaciones:
a)( )(8)=-24 b)(-e)( )=-63 c)(-6)( )= 30
d)( )(2)= I e)( )(0.2¡=-6.60(0.2s)( )=-2
srrJrr
6
)-
20
.. 2 10
h)( )(-l)=12= i)(
t4
)(7)=B
3) Hallar el valor que representa cada Iiteral:
a)-9x= 72 x=-8 porque: (-9) (-€)
= 22
b) 7a=- 7
porque: c)-lf= 36 f=
porque:
d) 8y=-6a y= porque:
e) -6k=
42 k= F)rque:
0-3b=-ó0 b=
Porque: g) 5h=-80 h=
porque:

10. Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de tas operac¡ones
DEN EROS CON SIGNO
La divislSn de r imeros @n sigm @rsiste en Mene¡ urc cte 16 lúo,rls de la rul@iwitfut en la qte *
@t}cff,;e el otro lacw y d prodtcto. Ejemplos:
a) (+12) + (+6)
= + 2 po¡que: (+ó) (+2) =+12
c)(+18)+(-2)=-gyaque:(-2)(-9)=+tg
b) (-20) + (-5)
=
+ 4 porque: (-S) (+a)
= _20 d) (-Z) +- (+3)
= -
E ya que: (+3) (__E)
=
_ 24
(-2a)+G2)-
(-72)+(+8)=
a) (-2r)+(+3)=
c) (45)+(-e):
e) (-s0)+ (-s0)=
1
h)
(64)+ (-16):
(-75)+ (25)=d (-56)+(+la):
i) (+0.2a)+(-8)= j) (-0.a2)+(l):
k) (o)+(-0.62):
( 0.18 )+
( - 0.e ):
m) (+0.36)+ (-06)= n) (-0.4e)+ (o.z)=
ol (-*)* «-*l: p)«*l* «-*»:
o (+l* t-*)=
o (-*l* <-*t:
e (-+)* (-+): t) (á+ t*>
2) Encuentra el término que falta en cada una de las divisiones:
a)(-36)-r1
)=_a b) (-40)
=-(-8) = c)( )-+(-7) = 0
d)(-13)-(
)=_13 e) (-75) -r( )= 5 0( ).='(4)=-2s
s)(0.36)-+( )=-0.9 h)( )-+(0.6)=-0.7 i) ( )+(-l)=-4§
3) Calcula el valor que reprcsenta cada literal:
ü +=s
b) +=-7
q ?:-,
d) +- =-4
' -zq
"r
-11:-u
(e)( )=-2t

11. Sentido numér¡co
PROBLEMAS MULTIPLICATIVQS
Así nos divertimos ¡ugando a resolve¡ los problemas planteados por nuestros compañeios
de oruoo.
Planteam¡ento
Número: x
Por-7:-7(x)
Restar 49 : -7x -
49
Obtengo 0: - 7x -49=0
a) Alberto nos pregunta: pienso en un número, al multiplicarlo por
-7
y en seouida resto 49
cero. ¿De
qué número se trata? -
l-
Ecuación
-7x -49
= O
-7x=0+49
( -'l ) -7x =
+,09 ( -1)
7x=49
-_
49
7
!;:§¡ +t$=!
b) Karla nos dice: estoypensando en un número, cuando lo mu¡t¡pl¡co por
-9
y enseguida sumo 3g
obtengo dos. ¿De
qué número se trata?
Ecuac¡ón
-9x+38=2
€x=2-38
(-r) -9x= -36(-l)
,9x=+36
,= "S
x=¡l
c) Pedro comenta: ad¡v¡nen en qué número estoy pensando, si al multipl¡carlo por 4 y luego de
sumarle l6 obtengo ocho.
d)_llalB expnesa: amlso_§ estoy pensando en un número, s¡ ro mrrtipri;;;=;¡espues ¡" resto
25 obtengo cero. ¿Cuál es el número?
e) Roberto estima que al norte de un r¡o hay 12 veces más venados que al sur de! río. El último
conteo indica que hay cerca de 1 ¡[40 venados al norte del río. ¿cuántos venados hay al sur
del río" F--
13

12. flCró"i""-"* ¡*¡t"
"
cambiar de juego y pregunta: a ¿cuántos
grados Fahrenheit ("F) equivalen
-20 grados cent¡grados ('C)?
'F=r9'c*32
Resultado :a-4"F
'r =tt
-zol + 32 = -199+ 32 = -36 + 32= 4
g) Margar¡to dice: mi turno compañeros, a ¿cuántos
grados centigracics equivalen -31
grados Fahrenheit?
"c=$1.r-sz) Resultado:a-3s"G
"c =
$
1
-ar -rz ¡ =
!rt -63) =-ll9 = -35'
hlf Ah-" Silr¡"
"."
pregunta: a ¿Guántos
grados Fahrenheit equivalen -10
grados centígrados?
i) La pregunta de Felipe es: a ¿Cuántos
grados centígrados equivalen 14 grados Fahrenheit?
j) Parrlina presu"ta: a ¿cuántos
grados Fahrenheit equ¡valen -15
grados centígrados?
uso de las
14

13. PROBLEMAS ADITIVOS
a).Hugo se pone de pie y pregunta:
¿t" s
tres?
'l'.N: n
2".N: n+l
3".N: n+2
3n+3
$=f*l=n*t
b) Erika sonríe y pregunta:
¿ra suma de dos números consecut¡vos es d¡v¡sibre entre dos?
l".N: n 2n+1 /," 1 I
2'.N: n+l ---=T+i=n+i
2x+ 1
Resultado:
E
No es divisible
c) Eduardo se anima , O"n,"tp"t
divisible entre cinco?
n
n +l
n +2
n +3
n +4
5n+10
+=f*f =n*,
Resultado:
mr
Si es divisible
d) Thalía d¡ce es mi turrio:
¿la suma de
"rrlo
n¡ñ"ñ! consecut,vos es divisible
"ffii-z-
e) Jav¡er pregunta:
¿la suma de s¡ete números
"on""rrtiro" ".
air¡"iUl" e,rtáffi
Sentido numérico algebraico
Significado y uso de las operaciones
15

14. Sentido numér¡co y pensamiento algebraico ¡ficadouso de
f) Maribel sonriendo pregunta: ¿la suma de seis números consecutivos es div¡sible entre se¡s?
g) üiguel realiza la siguiente pregunta: ¿la suma de nueve números consecutivos es divisible
q@-
(,
h)
paola concluye: en general s¡ n es número natural, ¿en
qué casos las suma de n números
consecutivos es divisible entre n?
i) Garlos pasa al pizarrón.y nos dice: observen la regularidad que existe en las sumas:
a+45=101
b+445=100í
c+4445=10001
d+44445=100001
g +
-=
1ooo0000l
acuerdo con esto, ¿cuál número deberá escr¡b¡rse en el espacio en blanco?
j) Alic¡a nos explica: usando el cálculo mental, anoten los resultados de las sumas:
I t 9+ 9+ 9 =
99 + 99+ 99+ 99 =
999 + 999 + 999 + 999 =
¿Con
qué números los relac¡onaste para hacer más sencillas estas sumas?
l6

15. Sentido numér¡co y pensam¡ento algebra¡co
EXPRESION ES ALGEERAICAS
a+a+¡=3a
X +X +X +x =4x
y+y+y+y+y=5y
2x+3x= 5x
4¿+ a= 5a
.32+32= 62,
(x) (x) (¡)
= ¡t
(a) (a) (a) (a)
= a.
(y)(y)=f
l) Simplifica las siguicnes cxprcsiones:
b)5x=
c)?w=
e) l?.2=
D 15d=
3) §iryliñca cada expcsión:
4) Simpliñca las eqntsiorrcs:
s)\Escribc el significado de cada orpresión:
a)x+x+xÉ b)y+y
=
c) w+w+w+ wtw= d)z+z+z+z+z+2,=
ók+k= f)a+a+a+a+a=
g) f+ f+ f+ f+ f+ f= h)t+t+t+t=
2) Escribo ol sipiñcado dc cada orpresión:
a)(aXaXaXaXa) = b)(0(tX0 =
c)(xXxXxXx) = d)(yxy) =
c) (w)(w)(w)
= 0 (lXn)GXlXuXn)
=
g)(b)O)O)O)O)O)(b)
= h) (zXzXzXzXz)
=
a)x6 =(x)(x)(x)(x)(x)(x)= b)a3=
c)i = d)fi=
e)#= 0h7=
F,e= h)b¡=
i)ma=
Dd=
a) 3b=13)(b)=b+b+b
aI 2f+3f=(2+3)f:5f b)4x+5x =
Significado y uso de las operaciones
17

16. Sentido numér¡co y pensam¡ento algebraico
ELEMENTOS DE UNA EXPRESION ALGEBRA¡CA
Une expneeión de nrimer.oe y
litenales unklos por los sig-
noe de openacft5rr, nec¡be el
nombrt de cxprrrlón elge-
Término algebraioo Coeñcientc Parte lit€r¡l
g *yz 9 ryz
*3y2, I *'f
"
**"v'
!
,, *2*y3
O.5 x 0.5 x
.! -\.--.1. r_.
l) ConEsts ls! ¡ituicotca plq$ilú:
a) En la cxpresión tft ¿Crrántas
voccs csd rcpctido yt?
b) En cl t&mino 9x3lz
¿Crrfnus
veccs csú rcpctido xty¡z?
c) En 6wx3l ¿Cutlnus vc@s csrá ¡eptido rvx'yt
d) En pl Érmino algcbraico xtfz ¿Gránar vfu asÉ qcüdo x1,t?
c)
¿. Qnré
nombre rccibc cl ntlm quc indica las vcccs quc csÉ rcpcrid¡ la prrrc ütcnl?
:,
2) Identifica el coeñcienrc y la partc literal ca lo siguicnrs Érminoc algcb,rricoe.
Término algeb,raioo Coef,cicntc Prrto litcr¡l
a)2xv2 z
b)7x2 y
c) 15 x y2z3
d) 0.75 x
e)0.9xyz
D|
"v2,
g¡| tw x2
h)24rst2
i)o.8st2w3
j) 0.01 t2 wa x
5
Slgn¡f¡cado y uso de las operaciones

17. Sentido numéríco y pensam¡ento algebraico Slgnificado y uso de las operactones
MOOMIOS
Nr un sb
o ,tb úttútrÉ
El plironio
.qte
t¡ene dos térmil:os * ttanani¡s¡tai y d qre
ttes reibe el nonbrc de trinomlo.
a)m+2 ( ) b)5x ( )
.kt
c)2 (),[+)' (
)
Q3* +2y (
)
g 6lbrca ( )
g) efg (
) h)x2+4 (
)
í) x2 +h.+yz (
) i)a (
)
o&-* (
) t)4*
-2a3
+ aa ( )
m)t5e2fg6 (
) g+xz
-ey6 (
)
2) Completa el siguientc cuadro:ffieffi
Exprcsióo algebráicaN¡fmero
de
tén¡inos
Nmb¡e Bxprcsiút algebráicaN¡ime¡o
de
térmirDs
Nombre
6a3 I Mqlmio +*+t 2 Bimdo
2y +3y -9
3 Trinmiotf -g+z
gk2
-
tr3 .4 o2
too2 t3 a+b
x+bx+l
2d3 e+7&3
*2 y3 ,4
2ab+3bc-¿td
Eg2t3k-7 l2ax3 y
19

18. Sent¡do numérico y pensam¡ento algebraico
Si doe ténminoe tienen las
mismas litenales Qon ¡guales
exponentes se d¡ca qJ€
-srr
Significado y uso de las operaciones
Al simplifica¡ los polinomios es conveniente subraya¡ los términos
semejantes, para evitar confusiones.
6x-2y
-4x+5v
2x+3y
Ejemplos:
a)6x-2y-4x+ 5Y=2x+3Y
seme¡antes.
u)
ll'? -1[
+ ¡f - §f = 8f' - tor 3P- 4f
<$- «¡
la) 2a+4a=
L-,_--_-,
rb) 7x' -
4x' =
c) -6m2 + 3m2 =
o-9f -f =
e)h3+8h3=
i4f ++P-etz=
qx2 +L+z*
-gy,,6x2 --
+b'tl¡C+d+d¿f =
a) 8r + 2y -5x -4Y =
-2m2+3n-3m2+6n=
3x3 +Ñ+4a3 -gbz =
6¡4¡f +zx3 y-5x3 y-xy'=
-¿h3g3-3hg+5h3 t-ztc=
TERMINOS SEMEJANTES
iffi
3) Reduce los términos semejanrcs en las siguienes exprcsioncs:
l) Simpliñca los términos semejanes:
g)
-2ab -
?ab + 6ab =
h) ky + 5xy -4xY =
i*-1*--
f.*fr.=
b)ll+¿t-\+g=-+5Y
+h=69+
of"*ft-|"-|u=

19. Sentido numérico y pensamlento algebnlco Slgnlffcado y uso de Ias operaclones
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejempbo:
a) Sunur 2a, {a y -¡
2u-g=2"-7a=-5a
b) Sumar
-5x,
+4x y 3x
-5x +4x + 3x = -5x+7x=2x
c) §uor5a-2b con -
3¡ + 7b'
Sumando c¡r cot¡mn¡
-i:;*
2a+5b
1) Rcsuelve l¡s siguicntcs adicioncs dc mooomios.
r)2m+5m= b)-3¡-6¡=
c)ór-tx= O-5y+9y
e) 2t-5L+ 8k = f)-3h+ 2h-¡lh=
g) b-3b+ 6b-2b
= h)-5t+¿lt-t+ A=
D3f -;¡2+3tr= D-íP-?f+*P=
2) Suma los términoo scmcjrntcs cn cada polinoaio.
a) 5a-2b+ 4a+ 5l =
b)2m2 -3r--4^2 -2n=
o) -xy
3
+ 5¡2y a 3xy3 - 4x2y =
d)4*
-za+3-a-a2 +2=
e)-7g2 h3 -2gh2 +3g¡z ¡2Uz¡z =
D 8a2b+2ab-5
-3a2b-6ab+3
*2f -d +x
,zf +* -st
-?# +4f
-+ft?+ z&-ss
4* + ¡e¡n+ag
sÉ* - z*¡
» sxf+2¡lf-gx3y4
axf =t*f
+»3ya
xf +lx2f
-tx3
y1

20. Sgnt¡do numérico y pcnsem¡ento Significado y uso de las operac¡ones
RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejcmplos:
a) Del monomio 9x rpstu el monomio 5x
9x -
(+5x) * 9x -8=
4x
Forquc: 5x +4x= 9x
b) Dcl monomio 3cf rpstar cl monomio -2cP
3cP-1aP¡-r4¡+É=*P
c) Dcl polinomio 6xy -3x rcstr cl monomio ?x
6xy-3x-(lx)
= 6xy 3I-7x= 6xy- lQx
d) Del polinomio 8a -
6b restar cl polinomio 3a -
9b
8a- 6b{3a- 9b) =&'-
6b -lg
+ 9b
=
5a + 3b
e) Restar4x2 - 5t ¿" Zt' * S*
2¡r2 + 8x - (4* - 5x¡
= ¿z+ 8x -4x2 + 5x =-2x2 + l3x
) Efcctrt¡ l¡ rcsta dc mnomios:
2) Resuclve las siguicntes rtsus:
22

21. Senüdo numódco S¡gn¡f¡c.do y uso de taa operac¡onos
USO DE MODELOS GEOMETRICOS
El s¡gu¡ento modelo geomótrlco pemlte 6tablecer algunas identidades algebra¡cas
sencllla¡:
a+l
= 2(a+l)+2(a+l)
l. Anota la identidad algebraica que reprosenta et modelo geométrico que se indica en cada caso:
2r-_l
E)_
,l_lm-f
y+2
2
m+4
n+3
23

22. med¡da
Anqulo eg la g§¡lg comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto.
Estas rectas se llaman Eggg del ángulo y el punto común vértice.
d¡glg es la amptitud de rotación de una semir¡ecta que gira sobre un mismo plano
en torno de su or¡gen.
vé¡tlce
Posición lnlcial
La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o
separaclón que hay entre ellos. Los ángulos se miden con el transpoÉador, que es un
semiclrculo con doble graduación de 0o a 180
..
( El grado se divide en 60 minutos y el
minuto en 60 segundos):
Loc slmbolos par? estas un¡dados son: grado
o,
minutoly segundo"
Asl decimos que la ciudad de iléxlco está situada a lg" 21'de tat¡tud norte y 99' l1' de long¡tud
oeste.
2(e'
am
una
gue g¡ra en torno de su origen.
A. Circunferencia
(
) Es un semic¡rculo con doble graduación de 0. a
180' B. iiagnitud
(
) Punto común de los lados de un ánguto. C. Medir un ángulo
(
) Es la abertura comprendida entre dos lectas D, Grado
. trazadas desde el m¡smo punto.
E. Ángulo
( ) Depende de la abertura o separación que hay
entre los lados del ángulo. F. Vértice
(
) Se d¡vide eq60 minutos. G. Transportador
(
) Se considera dividida en 360 partes iguales,
cada división se tlama grado.
(
) Es compararlo con otro que se toma como
unidad,
24

23. Forma, es med¡da
SISTEMA SEXAGESIMAL
Nombre
Mes
El principio de las unidades angulares es Segundo
Medida
UNIDAOES DE TIEIIPO
Abreviatura
(d)
(h)
(a)
60 minutos
365 dlas
24 horas
(m) 30 días
(min) 60 segundos
(seg) 1/60 de minuto
63'
x60
3 780',
+ 24',
3 804',
3 804',
!' z. eipreéái + izá'i, en giao-a; min-uióa ,
segundos:
Operaciones
5 meses
30F6ilA¡E--
{ 6 días
2. Expresar 7 532 segundos en horas, minutos y
segundos:
72',.
60 Fm;-
178"
58"
3, A 360' restar 95' 32' 18"
Como: l. = 59, 60"
360'--) 3s9. ss' 60"
Resultado
l' 12', s8"
125 min
60 l7f32;;g-
153 seg
332 seg
32 seg
Resultado:
2 horas
5 m¡nutos
32 segundos
I min 20 seg
lh 7 min
ñ?h
24 h 8 min 20 seg
- 95" 32', 18" -950 32' 19"
264" 27'42"
23 h 67 min 80 se
i
I
I
"t
3. Resuelve la siguiente suma:
I h 45 min 27 seg
+6 h 9 min 18 seg
t h 13 min 35 seq
4. Resuelve la siguiente suma:
20' 43',19"
+ 76 " 25' 38"
194" 7',20" 20.
+ 76"
2 horas
60 I 125 min
25
290' 25',77:l

24. l. Realiza las conversiones de medidás angulares y de tiempo,
a) Expresar 71o l9' en minutos: b) Expresa 9E4 dias en años,
meses y d¡as:
c) Expresar 4 321" en gñedos,
minutos y segundos:
D) Realiza la suma:
34'l 25' 16"
70" 44' 3,,t"
e) Resuelve la resta:
65' 48' 24"
- 12' 35' 18"
f) Resuelve la resta:
900
- 27" 16' 38"
g) Expresar 8 640 segundos en
horas, minutos y segundos:
ñ) Resuelve la suma:
5h l3m¡n 27seg
+ l9h Smin l4seg
6h 40min 3lseq
i) Resuelve la resta:
32h 49m¡n 32seg
- l7h 28min 19seq
j) Resuelve la resta:
20h
- th 53min 37seq
k) Resuelve la suma:
45. '15' 23"
+ l,to 49' I
g"
l) Resuelve !a resta:
th l7m¡n 27seg
- 5h 34min 28seo
26

25. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pedro se levanta todos los días a las 5 horas 45 minutos, para ir a la
secundar¡a, tarda l3 minutos en bañarse, 12 minutos en vest¡rse, 20
minutos en desayunar y 7 minutos en lavarse los dientes. ¿A
qué
hora sale Pedro de su casa?
b) A las 23 horas 15 minutos hemos terminado de ver, sin
interrupción, una película cuya duración es una hora,
45 minutos.
¿A
qué hora hemos comenzado a verla?
c) Dos ángulos complementar¡os suman 90", si uno de los
ángulos mide 38' 2O' 17", ¿cuánto mide el otro ángulo
complementario?
ángulos complementar¡os
d) Dos ángulos suplementarios suman l BO., si uno de los
ángulos mide 72" 40' 11", ¿cuánto mide el otro ángulo
I e
e) Un reloj ha estado trabajando durante g
horas y en este momento marca
Ias 16 horas 35 m¡nutos, si se adelantó 3 m¡nutos y 5 segundos cada
hora, ¿qué hora debería de marcar el reloj en ese momento?
27

26. med¡da
MAGNTTUD DE uN Ár.¡our-o
RECTO
> 90" < 180"
GOLINEAL O LLANO
> 180" < 360"
Los ángulos se m¡den en grados por medio del TRANSPORTADOR:
2. Encuentra la suma o la resta de los ángulos
que se indican:
*roe = 25" a)
b)
c)
d)
e)
0
s)
h)
i)
i)
k)
+
4
+
+
a
+
+
+
+
+
+
++coE = 25"+4s"=70.
) j.roc
) §roo
+
+
+
BOE = 90'-65"=25"
Bor -*eo¡ =
COG +*cgl =
coH -* ro¡r =
Boc *{AoH
=
28

27. medida
Formas
RECT SEMIRRECTA Y SEGMENTO
RECTA
Toda línea recta es ilimitada en
extensión; esto es: se prolonga
indefinidamente en ambas
direcciones.
Las puntas de flecha indican que
la recta puede extenderse
indefinidamente en ambas
direcciones.
SEMIRRECTA
Si ímaginamos un rayo de luz
que parte de una estrella,
concebimos que se prolonga
¡ndef¡nidamente en un solo
sentido.
->
a--_
Op
.(---..----------.-.t-.+
GEF
El punto del cual parte la
sem¡rrecta, se llama vértice u
+
AB
-'
PO
+
EF
-)
EG
Segmento es la pañe de recta
comprendida entre dos puntos:
a) ¿Cuántos puntos cont¡ene una rectaT b) ¿Cuantas rectas pueden pasar por un punto
dado?
c) ¿Cuántas rectas pueden pasar por dos puntos
distintos?
d) ¿En cuántos puntos pueden
cortarse dos;rectas?
e) ¿Ouénombre recibe la parte de una recta, que
inicia en un origen y se prolonga
f) ¿Es igual la semirrecta AB que la
BA?
g) Si el punto C pertenece a la sem¡rrecta ABIE
encuentra entre los puntos A y
B, ¿también
pertenece a la semirrecta BA?
i) ¿Gon
qué ¡nstrumentos puedes trázar
h) ¿Qué
parte de la recta representa la a¡stanc¡a
más corta entre dos puntos?
j) Si un albañil va a colocar loseta én r¡n p¡so,
¿con que se auxilia' para trazar segmentos de
rccte?
29

28. Forma, v
POSICIÓN DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dos rectas son perpendiculares
cuando, al cortarse forman
ánoulos rectos.
Dos rectas son oblicuas
cuando, al cortarse no forman
ánoulos rectos.
PARALELAS
AB llcD
Dos rectas son paralelas
cuando, por mucho que se las
orolonoue no se cortan,
láproporciónesverdaderayunaFs¡|apropos¡cióne3
falsa.
) La
' rrpendicular es menor que cualquier obl¡cua.
) Las oblicuas cuyos pies equ¡distan del p¡e de la
perpendicular son iguales.
) De dos oblicuas, es menor la que se aparta más
del pie de la perpend¡cula
) Desde un punto exter¡or a una recta sólo se
pueden trazar dos obl¡cuas iguales.
) La mediatriz es la perpendicular trazada a este
segmento en su punto medio.
) Por un punto exterior a una recta, sólo se puede
trazar una paralela a esta recta.
) Si dos rectas son paralelas, toda recta que corta
una de ellas corta también a la otra.
) Dos rectas paralelas a una tercéra son paralelas
entre s¡,
) Dos rectas paralelas cortadas oblicuamente forman
ocho ángulos, de los cuales, cuatro son agudos e
iguales entre sí, y cuatro obtusos, tamb¡én ¡guales
medida Formas geométricas
30

29. medida
NGULOS OPUESTOS POR E[RTICE Y ADYACENTES
OPUESTOS POR EL
ULOS ADYACENTES
Dos. ángulos son opuestos por el vértice, cuando
los lados de uno son prolongaciones
¿e ios láAos
del otro.
Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un
lado común situado entre ellos, se ltamai
adyacentes.
)eoc ={eoo
H j(oor
=*HoE
l. Como los ángutos opuestos por el vérticeson-
rguales, anota el valor de los s¡guientes
2. Anota una V si el enunciado es vár¿aAero o
una F si es falso.
( ) Dos ángulos adyacentes no son
complementarios cuando suman 90..
( ) Dos ángulos adyacentes son
complementarios cuando suman 90. y
cada uno es complemento del otro.
( ) Dos ángulos cuya suma sea igual a dos
ángulos rectos, reciben el noñrbre de
suplementarios.
( ) Dos ángulos adyacentes no son
suplémentarios cuando suman l
g0.
( ) Si dos ángulos adyacentes son
, suplementar¡os, sus lados exter¡ores
están sobre una m¡sma línea recta.
( ) Dos ángulos adyacentes son
suplementarios cuando suman 1g0. y se
dice que cada uno es, el suplemento'dei
otro.
No todos los ángulos adyacentés
opuestos por el vértice son iguales.
El ángulo cuyos lados están en línea
recta, recíbe el nombre de ángulo llano.
3l

30. y mod¡da Fomas
Ár.rcur-os euE sE FoRMAN ENTRE Dos REcTAS
PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
OPUESTOS POR EL VERTICE CORRESPONDTENTES
Dos áqpbs @rrasfos ptelvétfu §onbs,/f/e D8 átlgubs @¡fapndbiles en iguates.
Dato:
{a =
39o
{u=
{"=
{a=
{"=
{r=
{s=
{n=
f) Dc gcrdo ¡ h ñ¡ura cccribc cn cl prüntcsis 1r lctn quc relaciona corrcctamentc ambas columnas.
t I
-("
= {r
1l 1'r':t"opuestosporelvértice E/
I iÍl = f:
B) Anguroscorrespondiente"
"
/
iÉr6
t l{" ={"
t l{" ={rt ,/
t l{t ={a ,/
( ){b={h .g/h
l iÍ: =Í:
D
,, Ob-*.l rt¡* d" l* á"grl* Sr" * Pi&"
E
E'r6.
A
39"
u
JA\
B
CC\D
\
\
\
32

31. Forma, espacio y medida
ALTERNOS INTERNOS ALTERNOS EXTERNOS
I-os át gpbs aneños mafl,os §n
Uuales.
l) Dc ¡ct¡c¡do a l¡ ñgUra escribc cn cl padoadr b tarr quc ¡pl¡ciona cú¡,"ta*c ¡6fus gstr¡rrrnrq
){t = {n
r{, = {t'
)<[x = {*
)iÉ= {r
){v = {z
){v = {m
l{¡={,
l{t< = {v
){m= {r
){* = {n
A) Ángulos opuestos por el vértice
B) Ángulos correspondientes
C) Ángulos alternos internos
D) Ángulos alternos externos
PQilRS
2) Ob¡cocrcl vrla & lor lngulos que se pidor:
Formas geomótricas
33

32. Forma, espacio y med¡da Formas §eométricas
ANGULOS COLATERALES
{S
+.{e
= 169" {a
+{c = isol
148"
Los áÍí/i/tos @tate/?¡les úen7os y bs á¡gülos @tate/áltes exten os en suptementalas.
l) De acucrdo a la ñgura cscribe en el parénte§s la letra que relaciona correcfamente ambas columnas.
){" =
){a =
){a
+
){u =
){r *
){e =
){" =
){r =
){t =
){r =
){b *
){e*
{a
{r
{" = teo'
{h
4 =tao'
{h
{h
{"
{s
{d
{¿ = rro"
ds = rao"
A
A) Ángulos opuestos Por el vértice
B) Ángulos correspondientes
C) Ángulos alternos internos
D) Ángulos alternos
"rt
rno"
C
E) Ángulos colaterales internos
F) Ángulos colaterales externos
ABIICD
2) Obtener el valor de los tlngulos que se piden:
{a=
{c=
{"=
{g
=
{¡ =
{r=
{m=
{o=
{u=
{d =_
{t =-
{tt=-
{=-
{t = ue'
{" =-
{o =-
34

33. Forma, espacio y medida
Formas geométricas
SUMA DE LOS Á¡,¡CUI.OS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
Si rcco¡tamos tos ángulos htcriorcs dc cada Eiángulo y lc rmimc
en un solo ángulo Enemos: )
Por lo bnb: gn @o üángub.b sutú de *s ár:{,|4§ fuñor§ a,igtd a ld
í"'\
a+b+c=1800
l) Encuentra el valor de los ángulos que se piden en cada caso.
9x = 180'

34. geométricas
'-
Forma, espacao y medída FormaS
suMA DE Los Át¡cul-os tNTERtoRES DE uN cueoRrlÁTERo
90ox4=360o 90cx4=360' 180ox2=360o
Por lo bnb: l@ áryul@ htffitÚ§ de ua d!útilirr/fg §/,/,,rá,n #
900 900
90.
9Oo
..
180"
I teo'
\
1E0!r2-3600
l)Encucntra la mcdide dc los riguientes ángutos ?w

35. FACTOR INVERSO
' 1;:Jj"r:::jriángulo
se reproduce con una escala de
f,
a"uat"" son sus medidas después de ta
30 x | = 4 = ¿O
¿Qué factor permite obtene¡ la f¡gura
J g
original a part¡r de la obtenida?
El factor
lnverso:
E
60
Resultado:
Sus medidas son 40. 60 v 80
albatiil se
asxl
= #
=.0
60xf
= ?
=ro
¡tox3
= f
=ro
60xt=Y=nt
80xl =
T
=rO
con una d;;' ¿cüáres del
de la reproducción?
¿qué factor permite obtener la figura original?
,.,
\a
3' La figura del plomero se reproduce con una escata de
3,
a"uar es la longitud de la llave después
de la reproducción?,
¿qué factor perm¡te obtener la figura original?
4. La figura der zapatero se reproduce con una escara de
rt
a"rar es ra rongitud der marti[o
después de ra reproducción?,
¿qué factor permite obtener ra f¡gura or¡ginaa?
cm
de la información
Análisis de la info¡mación
37

36. de la información Análisis de la información
5. El §¡gu¡ente rectángulo se reproduce con una.escala de 3 ¿cuáles son sus med¡das después de
2
la reproducción?, ¿
qué factor permite obtener la figura original?
6. El siguiente paralelogramo se reproduce con una escala de 4 ¿cuáles son sus medidas
3
después de la reproducción?, ¿qué factor permite obtener la f¡gura original?
5l cm
7. El siguiente triángulo se reproduce con una escala de § ¿cuáles son sus medidas después de la
6
reproducc¡ón?,
¿qué factor perm¡te obtener la figura original?
24m
8. El siguiente trapecio rectángulo se reproduce con una escala de §, ¿cuáles son sus medidas
4
después de la reproducción?,
¿qué factor permite obtener la figura original?
38

37. la infomaciónde Análisis de !a i nformaciór¡
IPROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD MI1LTIPI F
@
. ¿Qué
pas1
Sabiendo que el volumen de un prisma es proporcional a cada una de sus
d¡mensiones, resuelve los siguientes problemas.
ia con el volumen del pr¡sma que se muestra, si una de sus dimengiones se duplica?
na=#
¡A=J4)J3,1
lA= J3
2
AA= 6cm2
V=
[=
[=
Bh
Duplicamos
la altura:
Resultado:
E! volumen se dupllca
"ff{G
I
(6) ( s)
54 cm3
+
v =
(6) (18)
V = 108 cm3
a) ¿Qué sucede con el volumen del prisma si
base del triángulo se duplica y la altura se
tripl¡ca?
b) ¿Qué sucede con el volumen del prisma s¡ las
tres dimensiones se duplican?
2. ¿Qué
pasa con el volumen del siguiente pr¡sma hexagonal si una de su§ d¡mensiones se
triplica?
5cm
A
A
=.-B-
2
=
J!¡g)3)
2
=
120
2
= 60 cm2
V=
V=
V=
Bh
Triplicamos
la altura:
Resultado:
El votumen se tripl¡ca
3
600 lTEoo-
'
000
l0 cm
A
A
(60) (10)
600 cm3 V
=
1800 cm3
a) ¿Qué sucede con el volumen del pr¡sma
hexagonal s¡ las tres dimensiones se
duplican?
b) ¿aué
pasa con el volumen del pr¡sma hexagonal
s¡ las tres dimensiones se triplican?
39

38. de la lnformación Anállsis de la información
3. Se necegltan 20 lltros de agua diarios para cada 3 nlños que van a una excusión, ¿cuántos titros
¡e necesltan s¡ van 120 nlñoe durante 7 días?
20x
3-120
(3)(x)
=(20)(r20)
3x =
2 400
2100
x =__
x = 800
litros se necesatan sa van 75 n¡ños litros se necesitan si van 150 n¡ños
durante l5 dlas?
neces¡tan 30 kilogramos de prov¡siones ¿¡ar@
militar, ¿cuántos kilogramos se necesitan si van 96 soldados durante g
d-las?
a) ¿Cuántos kilogramos se necesitan si van
120 soldados durante 9 días?
b) ¿Cuántos kílogramos se neces¡tan si van fS2
soldados durante 12 dias?
40

39. 1. En un edif¡c¡o nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de
estacionamiento. se han hab¡tado dos departamentos, el de Rosa y el de caflos, que pueden
colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. ¿duáies son
todas las formas en que pueden estacionarse?. Represéntalo en un diagrama de áibol.
c E-l
c E-2
c E-3
C E-4
c E-5
5x2 =l0formas
2. Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los coches los
tres vecinos?, ¿resultan más o menos maneras que en el caso anter¡or? ( Termina el diagrama
de árbol).
Edificio
3. ¿Qué ocurrirá cuando todos los departamentos estén ocupados, s¡ todos los vecinos tienen
coche?, ¿cuántas maneras diferentes habrá de estacionarse? (Completa el diagrama de árbol)
IrIIr
Respues'Ías:
Edificio
E EEEE
41

40. 4. Se sabe que por dos puntos A y B sola línea recta, ¿Cuántas rectas pasan por clnco
puntosA\B¡C,DyE?
S¡ cueñta3 las puntas de todas las rectas
observarás que son 20 en total y como cada
recta t¡ene dos puntas; div¡dimos 20 entre
2 y obtenemos 10.
Resultado: pasan l0 rectas
5. ¿Cuántas rectás pasan por tres puntos A, B y G?
6. ¿Guántas rectas pasan por cuatro puntos A, B, C y D?
7. ¿Cuántas rectas pasan por seis puntos A, B, C, D, E y F?
E ¡ ¡D
F o ac
8, ¿Cuántas rectas pasan por siete puntos A, B, C, D, E, F y G?
.G
¡o oA
de la información Representación de la información
42

41. Manejo de la información
Representación de la información
DIAGRAMAS Y POLíGONOS OC TNECUEÑCIA
cuandg se quiere comparar dos con¡rntos áe aatosñ-eoiante sus grarlcas, se
recom¡enda rcpresentar ambas en un m¡smo plano cartes¡ano po, ñ,"O¡" é
polígonos de frecuencia.
Por ejempto: tas siguientes gráficas representan las tongitudes de salto obúenidas
por dos grupos de estud¡antes.
Con base en la infonración
las gráf¡cas, contesta las
Salto de long¡tud
Grupo?. "A"
Grupo 20. "8"
(!
4,,
tr
o
(,
o
180 190200 210
.
d¡stanc¡a ( cm)
220 2302q 250
,r¡ar !¡i§ r.l teftgtruo ae safio que mes
estudiantes lograron en el grupo A?
,r¡,rr rr§ rt trr¡tgtruo qe saEo que mas
estud¡antes lograron en ét grupo B?
grupos se losfó el menú
¿uuat es ta longitud de salto qué rnenos
estud¡antes lograron en el grupo A?
,\,ser
_riD
rq r(,ftgtEuq qg saEo que menos
estud¡antes lograton en el grupo B?
. ¿suantos estudiantes del grup-
¿uuantos estudiantesEl-g rupo
43

42. infomaciónde la de la información
Las siguientes gráficas rep.Bsentan los promed¡os de aprovecha-
miento obúen¡dos al finalizar el año escolar por dos grupos de
cstudiantes.
Aprorrecham¡ento
calificaciones
Con base en la infomación oue oroDorc¡onan las oráficas. conbsta las siou¡entes Drpountas:
--I-
Grupo?."A"
Grupo?.'-8"
:
o
tr
o
f
a,
o
l. ¿Cuál es el promedio de aprovechamiento que
más estudiantes lograron en el grupo A?
2. ¿Cuál es el promed¡o de aprovecham¡ento que
más esü¡dianEs lograrcn en el grupo B?
3. ¿En cuál de los dos grupos se logré el mayor
promedío?
4. ¿En cuál de Ios dos grupos se Iogró el menor
promedio?
5. ¿Cuál es el promedio de aprovecham¡ento que
menos estudiantes lograron en e! grupo A?
6. ¿Cuál es el promed¡o de aprovechamiento que
menos esü¡d¡antes lograron en el grupo B?
7. ¿Cuántos estud¡antes del grupo A lograrcn e¡
mayor promed¡o de apfovechamiento?
8. ¿Cuántos estud¡antes del grupo B lograron el
mayor promed¡o de aprovechamiento?
44

43. ¡uecos lulAren¡Áflcos colrto TRREAS DE APRENDTZAJE
EL PROBLEMA DE LOS DIEZ SOLDADOS
He aquí rm problema escrito con ca¡üón
en tma celda de un coade¡rado:
" Colocar diez sold¡dos en oinco filas
de modo que cada fila tenga tres
sold¡dos ".
¿Cómo resolverlas este problema, aparerternetrte imposible ?
45

44. EVALUACION DEL PRIMER BLOQUE
ESGUELA:
PROFESOR (A
)
ALUMNO (A)
ACIERTOS- CALIFICACIÓN
l. Encuentra el término que falta en cada una de las operaciones:
b) (-7) ( )=
-3s
a)(-24)+( ) =-6
d) ( ) + (-3) ='4.2c) ( ) (o.r¡ =
-s.s
o(
)-(t)='!t")(-3n)( )=i
2. Simplifica cada expresión algebraica:
b) 9a -5a
=ar3x+4x=
d) -6b -7b
=c)-8m+2m=
f) -0.8w + 0.6w =e) -lok + lsk =
3. Resuelve las s¡guientes operaciones:
180'
- 63' 41' 12"
4. Obtener el valor de los ángulos que se piden:
46

45. 5. Resuelve los siguientes problemas.
a) Pensé en un número, al multiplicarlo por
-6
y enseguida restar r 7 obtengo 13. ¿De qué número
se tralá?
bl u-11?lilig:!ado trabajando d.urante_ 7 horas y en este momento marca ras 23 horas, si se
aoeran¡o z m¡nutos y 5 segundos cada hora, ¿qué hora debería de marcar er reroj en ese
c) El siguiente triángulo se reproduce con una escala d
!e
!,ecuáles
son sus medidas después de
la reproducción?,
¿qué factor perm¡te obtener la figura original?
47

46. EN ESTE BLOQUE APRENDEnAS R:
TI
EJE:
MANEJO DE LA
sENTtDo t.¡umÉRrco v
PENSAMIENTO ALGEBRAICO ESPACIO Y MEDIDA
oJerarquía de las operaciones.
oUso de paréntesis.
a Mult¡pl¡cación de monómios
y polinomios.
o Multiplicac¡ón de polinomios.
¡División de monomios.
a División de polinomios.
o Problemas multiplicativos.
y uso de operaciones:
Formas Geométricas:
a Cuerpos geométricos.
a Desarrollo plano del cubo,
prisma y pirámide.
O Secc¡ones planas.
Medida:
a Volumen de prismas y
y pirámides.
o El cubo y la arista.
a Relaciones de variación.
Análisis de la información:
aProblemas de comparación de
razones.
Representación de la información:
a Medidas de tendencia central.
oMed¡das de dispersión.
a Datos agrupados.
O Gráficas.
La Matemática es el
abecedário del sabér.
ROGER BACON
. Evaluar, con o sin calculadora, expresiones numéricas con paréntesis y
exprésiones algebraicas, dados los valores de las literales.
2, Resolver problemas que ¡mpl¡quen operar o expresar resultados mediante
algebraicas.
3. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
4. Resolver problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los
términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides
rectos. Establecer relaciones de variac¡ón entre dichos términos.
5, Resolver problemas que ¡mplique comparar o igualar dos o más razones.
6. Resolver problemas que ¡mpliquen calcular e interpretar las medidas
tendencia central,
48

47. Sentido numérico Siqnificado v uso de las ooeraciones
JERARQUíA DE LAS OPERACIONES
Erika y Miguel realizan
"on
ETEEETIE]
En la pantalta de la calcutadora de Erika apareció Ed
En la pantatta de ta catcutadora de Miguet apareció [Ell
Miguel comentó que su calculadora es c¡entífica y que jerarquiza las
operaciones y ra de Er¡ka no ras jerarquiza. para jlrarqúizar ias operaciones
su calculadora procede así:
. Primero realiza las raíces o potencias.
. Luego las multiplicac¡ones o div¡s¡ones.
. Por últ¡mo las adiciones y sustracciones.
Encuentra los resultados de acuerdo con la jerarquía de las operaciones.
a)24-9 x2=24-18=6 b) 30 + 5 x 3=
c¡ 12 +22 +32 =1+4+g=14 d)32+42-52=
e¡{dT -z' +s =9 -B +s= I + 5 =G ffi+2ag2=
S)9-2x62 = h)50+10+50i2=
i)12-62+9= j)eO+S-3x22=
2=
l)19x5+27+3-32=
ml 72 +7 +52+ 5- 42+ 4
=
n)rl§ x 23 - 32 x 13 +7 x O=
ñ) 32+ 23+ 49 + 7-2 x 22 =
o)92+9+62+l-23+z=
p) 13+42+3-2x32=
q) 3 x7 + 32+ 4 -2 x g=
r) + x¡fi§--2 xr/E+ I xJET=
s)8x9 -2x33 +5x23=
g s xG§-2 xrl56+ 4 xrEB =
49

48. ñumérico y pensam¡ento algebtalco
uso de las
USO DE PARENTESIS
El uso de paréntesis permite una lectura más sencilla de las operaciones'
respetando la jerarquía planteada. Eiemplos:
(4x3) + (6+ 2¡ =12+ 3 = 15
(5x4)-(8+l¡=20-8=12
(3'¿x2) - 142+ 221= (9 x 2) -(16 + 4) ='t8 - 4 =
14
t.t t[,*[email protected]' eJ= s *[l x s ] - s)= s +[zo-sJ= 5 + 1f =
16
a
a
Primero las operaciones entre paréntesis internos.
Luego las operaciones entre paréntesis externos.
1. Encuentra el valor de cada expresión,
a)(3x4) - 7 = b) (8 + 2l + g2
=
c) S'?'( 36 + 9) = l) 4x(3-21+1=
e) (l2x 3) +(54 + 6) = f) (2 x 3)2 - 2s =
s)JET*l2a*22¡= h) (32 +4)- (18+ 3) =
i) (9 x 7) - (8 x 6) = i) (s'?-42¡+ 123 +33¡
=
o2+[4x3)x(tz+e¡]=
l)24 x
[s
x 4 + 18 .
sü =
")[,ñn,
-@'1. r..Ir,/§-ü- a =
n¡
{[rz
+ z¡- rl.
[rft.
x,rT¡ - s¡]]=
2. Resuelve las ecuaciones eliminando el paréntesis.
a) 2(x + 5¡ = 39
2x+12=30
2x=18
x=9
b) 3(x + 2) ='15 c) 4(x + 5¡ = 29
d) 5(x+3) =35 e) 6(x+l)=36 7(x+6)=49
50

49. Senüdo numérico y pen3am¡onto
atgebralco
Significado y uso de las operaciones
MULTIPLICACICíN
DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
Ejemplos:
-.
^r-
<l) (4mX3m¿ + 2m) = tl¡¡r .r- 9rn2
\=--z z,
-'i<:r
a)
b)
c)
(a3) (a')
= ¿3+2
=
"5
G3x'?) (4x)
=
+12x2'1
= 12x3r
G5m1 (2m3)
=
-{Q¡3+3= -1gIns
^^"
e) (-sf)@f2-
D = - rdfs + 5fa
l2m3 + 8m2
Klt-
-L{;)
-tof +s(/
l) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
2) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) (4x2)(-3x4)
= b) (-2a3x5a)
=
c) (-5e2X-€3)
= o)(¿ml«zmt=
q(<F)et2)=
D (-3hx-2h1=
s)e?y3r-)= h) (-8m3n)(mn2
) =
U t-+ah11-za3 u|
= D6w*X-2w21¿\=
k) (3xX-2xyX-ay)
= l) (-sab
3x-{ 2
bxr) =
mr «Jt|1-je=
'l
rlt3¡ 1] tz¡ =
a) (5x)(2x2 + 3x)
= b) (4a)(sa
- 3) =
c) (3mxm3
-
Zm) = q-4f(.2-3D=
e)Qf +ry¡Py¡=
D(a* +h)(:t)=
g)(4k3+3k2+2)3=
n)
-5b2
(-zu2
-3u
+ ¿)
=
irla tla+ j r= D(j'n2+f,r|,=
3) Multiplica en forma venical:
t) 2a+ 5
x3
b) z*-q
X2x
c) -4mz-5m
X3m
6f +2f-4
3f
e) -7h3-5h2+3h
x
-4h
9 Et%+ta3ú
X ¿arr
5l

50. Sentldo numérlco y pensamlento algebra¡co Significado y uso de laa operaciones
MULTIPLICACICJN DE POLINOMIOS
a) (á
-2X3x
+ s = tz* + iax- 6x -10 = l2x2 + t4x -to
i---Í V
X-rm-?
l2x2 + l4x- l0
-
15m+ lE
-t0rn'--m b) (5m
-6)(-2m -3) = -10m2 -l5m
+t2m +t 8
= -10m2 -3m
+tE
1) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a) (4a + 5[4a + 3)
=
b) (5m
-aXsm - 3) =
c) (-2x + 6X-3x -
4)
=
d) (-3h - 2x-4h - 6)
=
e) (6k + 4X2k -5) =
D (-5f- 8X-6f+ 3) =
e)QY -8)Qy
*2)=
2) Multiplica en forma vertical:
3x+7
X 4x-5
b) 5a-8
X 3t-2
) -óm- I
X -2m-S
3) Calcula el área de las siguientes figuras.
t- 4a--+ SJ l-3x--t-- 8-{
52

51. Sentldo numérlco y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaclones
DIVIS¡ÓN DE MONOMIOS
;""i':':;.=",
d
-#
=aa+rb3-2 ='3a3b
b) #=
sx5'2=5x3
o¡ S =8mr{n2'2 =B
l) Resuelve las siguientes divisiones:
. l8a4
a) --; =
.. - l5ms
b)-------;=
. l4h3 .. 2sÉ
o)-----;=
-4k"
. 32x6
e)- , =
8r- D-§! =
- 6y'
-
qzéa6
9-6r\=
.. ,Emanl
n)lñ-=
.. 56e4 h3
"7?F=
.. t#"a
»
".1fi=
2) Calcula el lado que sc desconoce en los siguientes rectángulos:
Calqular la altura del rcctángulo:
Calcula la base en el siguienrc recüngulo:
53

52. Se¡rüdo numérico y pensem¡onto algebra¡co Slgniflcado y uso de las openec¡ones
---------7-
D¡VISION DE POLINOMIOS
Ejemplos:
utf4c =rx3-4x2
a¡Ét#-É=ze+*-qt
l) Resuelve las siguientes divisiones:
",!qq#:2!dE
=4a2ú -
sab -7
2) Calcula el lado que so desconoce cn los siguienrcs rectárgulos:
. nf+nt
a¡---E-=
24x4-3?¡¡s
8x'
-"é."f
-.----=6f
)
-
3om5 -
4o¡n3
- 5m3
D
35wa+¡.cf
-7w2
zOf -*rs
e--ré-
.. -3oha+45h3
Lt
-15h"
tfE.saa-uaaé
-.-.---=
ta¿b
. . 12¡n5 n4- t8m4 i + 2¿trr3 n2
.z-----------------
6m" n'
-"t'
--r-"¡*r\.
l)----=
-{x"y
'"'"=l!*f
-
l8f 15a
l,ase =l;+l;
Base=6a+5
Basc=
54

53. Sentido numérico y pensamiento algebra¡co uso de las
Ahora vamos a realizar la división de un polinomio entre un binomio con un método
aná¡ogo al empleado en la div¡s¡ón de números.
Resuelve la división: l2x2
+ 5x + 3) + (x + 1) =
a) Se divide 2x2+ x = 2x
b) Se multiplica 2x (x + l), el resultado se
resta del dividendo:
r7z
x + ll2x+5x
-2x
c) Se baja el siguiente término (+ 3):
d) Se divide 3x =
x = 3; este es el
siguiente término del cociente:
+3
+3
-3x-3
00
7-u
2x+ 3
2x2 + 5x
-2x2 - x2
0 +3x
a)
"-1 [ffi;--
b)
m+3
c)
3f + I
d)
4h-r
F2h'*h;:-
e)
5x+2
0
2v -2
55

54. ,Sent¡do numér¡copensamlento algebraico y uso de las operaclonir
PROB-LEMAS MU LTI PLICATIVOS
a) Escribe con una expresión polinominal el área de! siguiente
/a
¡ =
,(,[ab2
+-6a2b¡Nab)
^-4a2bl+6a3b't'---
A=2a2b3+3a3ba
A=2a2b3+3atb'4ab2 + 6a2b3
Exp¡esa algebraicamente el perímetro del hexágono regular. Lasáreas de caOa
6x'¡/ y las alturas, 3xy.
Área del A
A=T b=ff =
2A =bh - _ l2x2v3
bti =2A "-liy-
O =ff
b=4xy2
p
= 6(4xf)
) Encuentra el perlmetro y et área oe ta sig;iente ngura, sabiendo que está construida con
rectángulos de largo 2a y ancho b,
d) Escribe en forma potinomial el perímetro y el área del siguiente cua¿raAo.
e) Expresa con un binomio la base del r""ting.lo,
"-ociendo
el ár.a y-iittñ
x
+
N
56

55. §ignificadouso de las operaciones
g) Escribe en forma polinomial la altura Oet sigu
) Escribe. con. una expresión potiño
rnangufo miden 8x.y' y las alturas 2xy..
i) Expresa con un trinomio et áréá dEG[uiéñG
J) Expresa con un tr¡nomio et@

56. Forma, espacio y medidaorma,
GUERPOS GEOITLÉTRICOS
Los cuerpos geométricos l¡mitados por supérficiesllánas se tlaman FE[|EEñóT.
vértice
CUBO es el poliedro que
todas sus aristas ¡guales.
E¿is caras del cubo
cuadrados.
El cubo se llama también
hexaedro regular
PRISMA es el poliedro que tiene
dos caras iguales y paralelas
(bases) y las caras laterales son
paralelogramos. Si los
paralelogramos son rectángulos,
el pr¡sma recibe el nombre de
prisma recto.
PIRÁMIDE es el poliedro que
tiene como base un polígono y
por caras laterales triángulos
que t¡enen un vért¡ce en común.
Si los triángulos son isósceles e
¡guales, es una pirámide recta.
vértice común
o cúspide
L ADIVINANZAS. Analiza, reflex¡ona y contesta con un si o con un no, s¡ ¡a adivinanza corresponde
al cuerpo geo_métrico qUe s.e o-¡ulta.
a) Tengo oculto un cuerpo con ocho vértices y con doce aristas iguales
¿crees
que es
una pirámide regular? NO
I
b) Tengo oculto un cuerpo con ocho vértices y con doce aristas ¡guales ¿será un
hexaedro regular? SI
c) Ahora oculto un poliedro con seis vértices y con seis caras¿será una pirámide
pentagonal?
d) Guardo oculto un poliedro con cinco caras y con seis vértices ¿crees
que se
trata de un prisma triangular?
e) Guardo oculto un poliedro con aristas y caras iguales¿será un prisma rectangular?
f) Tengo oculto un poliedro con se¡s caras laterales iguales con un vértice
común ¿será una pirámide hexagonal? F
g)Ahoraocultounpoliedrocondosbasesenro,,"o"ffi
laterales
¿es una pirámide octagonal?
I
I
h) Guardo entre mis manos un poliedro con una base en forma de triánguto, tiene
un vértice común ¿será una pirámide?
i) Tengo oculto un poliedro con dos bases en forma de pentágono y cinco caras
laterales ¿será un prisma pentagonal?
i) Ahora oculto un cuerpo con doce vértices y con se¡s caras laterales,
¿será un
prisma hexagonal?
58

57. ,l
Forml espacio y medida
Formas geométr¡cas
ii, 1 i ñ,"i1'i:_:
Desarrolla los planos de los siguientes cuerpos geométricos,
ármalos y compara tus respuestas con las adivininzas anteriores.
DESARROLLO Y ARMADO DEL cuBo: calca esta figura det cubo en una cartulina,
para armarlo se recortan los dibujos según las líneas de trazo cont¡nuo, se dobla por
las lfneas punteadas y se pegan los bordes.
a)

58. medida

60. Forma, espacio
Una secc¡ón Plana de un Prisma
o u
cortar el sólido con un Plano.
base triangular?
c) ¿En
qué cubo obtuviste un prisma
t¡
I
!
,vtv\'\__\:
pt"". p"rp""a¡"r|", - 1" b*" *rta al cubo
Yl^p]il"
paralelo a la base divide a ta pirániride eil
dos prismas rectos isuateJ.-;r";:i":;;;lá g
i1¡il;:
una pirámide semejante a la orisinal v'
-- -.- -^^.Á--,,,^
una p"ámide truncada' es decii; una pirámide siñ
@éí.bialioolosplanosquecortanacadacuboycontesta].
las siguientes Preguntas.
-^
CUBO'I
I
I
i- -¡'
CUBO 2
¡
I
I
L---
I
I
b--
octagonal?
se ob-ii"# rn o oilió,iiñ-'O'¿en qué cubo ta sección práná-áé"üñiiiáñluio7-,

61. Forma, espacio y medida
2. En el siguiente cuerpo los
paralelos:
Formas geométricas
3. Traza dos planos paralelos en el pr¡sma
hexagonal
5. Traza dos planos paralelos en la pirám¡de
pentagonal
planos son
a) ¿Cuántos
planos cortan al prisma?
b) ¿Cuántos nuevos prismas se formaron?
c, ¿Cuántas secciones planas se formaron?
d) ¿cómo son entre si tas seccíones plañas?
F) ¿Qué figura corresponde a la sección plana?
4)
a) ¿En cuántas secc¡ones quedó dividida
pirámide?
b) ¿Cuántas secciones planas se formaron?
á¡ ¿COmo son entre s¡ las secc¡ones planas?
d) ¿Qué figura corresponde a la sección plana?
la
\
\
I
t
I
I
I
-_1.
/i
/t
l,i
i
,
I
,
t-*-
63

62. VOLUMEN DE PRISMAS Y PIRAMIDES
El volumen de una pirámide es un terc¡o del
producto del área de la base por la altura de la
pirámide.
P
=
(1.5X5) = 7.5 m
e =?=
"?"3,
A=* =4.825m2
,=?=fag?@
,=lff=3.575m3
V
=
3.575 m3
El volumen de un es el producto del área
de la base por la altúra del Prisma.
A=ladoxlado
A=4.8x4.8
A =
23.04 m2
V=Bh
y
= J(23.04)
(9.6)
Y = 221.184 m3
állapirámideesconvenienteeltrasvasedearenao
;ü;n;;;;briá, el volumen de una pirám.iá9 e1
isu.a!
a la tercera parte del volumen de un
cuya base y altura son iguales que las de la pirámide.
l. Resuelve los s¡gu¡entes
a) Una cisterna tiene rorma de un prisma, la base es un cuadro cuyo lado mide 1.5 m y la altura_es
de 2.4 m ¿cuál es el volumen de la cisterna?. Si un metro cúb¡co es igual a I 000 litros, ¿cuántos
litros de agua contiene la cisterna cuando está llena?
b) Cierto refresco t¡ene su envase de cartón en forma de pirámide triangular. La base del envase
mide 8 cm y la altura 7 cm. Si ta altura de la pirámide es de 6 cm ¿Cuál es el volumen del envase?
8cm
64

63. Fofma, y méd¡da
c) g¡?rto mater¡al qu¡m¡co sg gu
al. Si uno de los
Iados de la base mide 5.s m, la apotema 3.ám y la altura 8.4 m icuat
""
ái ,üür"n det depósito?
8,4 m
d) Un frasco de loción
"n
form" dá
y la altura 7.3 cm ¿cuál es e! voiumen de'locióñ cuando está lleno el fraáco?'
3cm
e) Un depósito de semillas t¡ene foirna de prisma hexagonal. S¡ la apotema mide i.t ,, uno á" lo"
lados de la base mide 2.5 m y la altura del pr¡sma 4,6 m ¿cuál es el volumen del depbsíto de
semillas?
!1a..c1sa''pafaacampartienelaformadeunapirámidetrexag@
4.7 m,la apotema 2.9 m y la altura de la pirámide 5.8 m ¿Cuál es su volumen?
4.7 m
,l

64. y med¡da
g) Si el volumen de un prisma pentagonal
superficie de la base?
mide 226.32 m' y la altura 12.3 m ¿cuantom¡de la
Resultado:
V
=
226.32 m3
Despeje:
V=Bh
H=,
B =Y
Sustitución:
B=Y
.=4#
B = 18.4 m2
Operación:
12p
-_-l_E^4_
1226*3.2
r03 3
492
000
B =
lE.4 m2
12.3m
h) S¡ el volumen de una pirámide cuadrangular mide 205.84 dm3 y la superficie de la base 51.46 dm'
¿cuánto mide la altura?
Résultado:
y
=
205.84 dm3
Despeje:
v=+
3V=Bh
Sust¡tución:
. 3 f205.84)dm3
n = -t176¡ff-
. 617.52 dm3
h=.¡76¡#
Operación:
12
5r$6Gr7152
10292
00 00
h = 12 m
#=n
3V
h =E-
h ='l2 dm
B = 51.46 dm2
i) Si el volumen de un prisma triangular mide 612 cm3 y la superficie de la base 36 cm2, ¿cuánto
mide la altura del prisma?
V = 612 cm3
B=36cm2
i) Sabiendo que la altura de una pirámide triangular mide l4 m y que el volumen mide 329.28
¿cuánto mide la superficie de la base?
V = 329.28 m3
m"
Medida

65. Forma, espacio y medida
k) Si el volumen de un prisma cuaorangular es de
,l{g.04
la superficie de la base?
l) Sabiendo que el volumen de una pi pentágonal es de 632.4 y que la altura mide
B=?
) Si el volumen de un prisma hexagonal es de 793.8
mide la altura del prisma?
y el área de la base mide 52.92 m'z,¿cuánto
= 793.8 m3
n) Sab¡endo que el volumen de una p¡rárnide trexag
¿cuánto mide la altura de la pirámide?

66. Forma, espacio y medida Medida
EL CUBO Y LA ARISTA
125 Cm3, uñien¿o 6 caras óuadradás
Sust¡tuc¡ón
¿ =sr2s
l=5
Porque:
5x5x5--125
Resultado:
5cm
13=V
V7- =VV-
¿ =r/v
La raíz cúbica de un número menor que I 000 se busca entre los nueve pr¡meros numeros
naturales, aquél cuyo cubo sea igual o más se acerque al número dado, será la raíz cúbica del
número dado.
a) ¿Cuánto debe medir un tadó de una cara de un cubo si se desea que el volumen sea 343 m3 ?
V=343m3
b) Se quiere construir un cubo cuyo volumen sea 729 dm3, uniendo 6 caras cuadradas. ¿Cuánto
debe medir un lado de una cara?
c) Se desea construir un cubo cuyo volumen sea 2 197 cm3, uniendo 6 caras cuadradas, ¿Cuánto
debe medir un lado de una cara?
68

67. RELACIONE§ DE VARIACION
't.- c.rpffi ;;ñ"*" d" diá;¿;;r"r*
con igual volumen: .
PRISMA B c D E FciH J
BASE
48 t6 I 2
ALTURA 2 4 I 16 4Ñ
\
ru41
VOLUMEN
i
.qlln,
tlr"l
48 48 4A 48 48 48 48K]IV\v\
a) ¿Cómo varía el área de la base de un prisma en relación a su altura si el volumen es constante?
b) ¿Cuáles son las dos condiciones que se deben cumplir para que dos prismas de igual volumen
sean iguales?
2. Completa la siguiente tabia y observa las condiciones de diferentes pirámides
con ¡gual base:
PIRÁMIDE o R s T U v W x Y z
\
BASE
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
$PilI
ALTURA 1 2 5 8l0 12l520 2530\*lu= t
¡),
-{
D
VOLUMEN Rfl
\'0
a) ¿Cómo varía el volumen de una pirámide en relación a su aitura si et área de la báso no carnb¡a?
b) ¿Guántas veces aumenta el volumen en relación a la altura?
c) ¿Cuáles son las dos condiciones que se deben cumplir para que dos pirámides de igual volumen
sean iguales?
d) ¿Por
qué?
69

68. de la información
PROBLEMAS DE COMPARACION DE RAZONES
Una mezcla cont¡ene 2litros de anticongelante y 3 litros de agua. Otra m,
contiene 3litros de anticongelante y 4 de agua. ¿Cuál de las dos mezclas está
Segunda muestra:
ant¡conoelante
agua
2
i
= o'zs
Resultado:
Como:0.75>0.6
La segunda muestra
está más concentrada
a) 250 cm3 de petróleo pesan 200 g y 475 cm3 de gasolina pesan 332.5 g.
¿Cuál densidad es mayor
la del petróleo o la de la gasolina?
b) En una escuela de idiomas,3 de cada 4 alumnos hablan un idioma distinto del español, en
primer grado;4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero, ¿En cuál de los tres grados la
proporción de hablantes de un idioma distinto al español es mayor?
c) En un club deport¡vo 8 de cada l2 socios practican la natación, I de cada 15 socios practican el
fútbol y 10 de cada l8 soc¡os pract¡can el básquetbol. ¿Cuál es el deporte que más practican los
socios de dicho club?
d) 5 cms de oro pesan 154.4 g,11.4 cm3 de plomo pesan 1g3.8 g y 12.5 cm3 de mercurio pesan 170 g.
¿En cuál de los tres elementos la densidad es mayor?
70

69. de la información ntación de la información
ENDENCIA C RAL
Observa las calificaciones parciales de Matemáticas obtenidas por Alejandra:
MEDIA ARTTMETTCA (X)
O PROMEDIO
7, 8, 6,9,.5,8,7, 10,8
7 + 8 + 6+ 9 + 5 +8 + 7 +
x=
X=T =z.ssss
Í= 7.6
La media aritmética o promedio se obtiene dividiendo la suma de los
valores de todos los datos, entre el número de datos.
7.7. 6. 5
cuatro
calificaciones
8+7
\2
MODA (Mo)
Mdn = 7.5 ;
I
En las calificaciones anteriores, la que más se repite es I (son tres las
calificaciones de 8), por lo que la moda es 8.
Mo =8
La moda es el dato o datos que más se repiten. Hay casos en los que existen
dos o más modas
MEDIANA (Mdn) Anora ordenamos los datos (calificaciones) de mayor a menor o a ta
rnversa:
10. 9. 8. 8,
cuatro
cal¡ficaciones
El dato que queda en el centro se conoce como mediana.
Mdn=8
Cuando se tiene un número par de datos, se procede a ordenarlos y se
8, 7i 7, 6, 6, 5, 5,
ctnco
calificaciones
=E=''u
calificaciones
71

70. de la información l
Oqle¡.e¡!¡ mg¡!!a, med¡ana y moda de cada escuela.
Escuela ae nermelindo,
I
[=
Mdn
=
Mo=
T=
Mdn
=
Mo=
El número de alumnoé por grupo en
Enrique.es el siguiente:
Hermelindo: 38, 40, 35, 36, 37, 39, 39, 39
Enrique: 39, 38, 36, 32, 34, 3g, 39, 38
72
b) ¿Qué escuela tiene !a media mayor? c) ¿Qué equipo tiene la med¡ana menor?
d) ¿ Qué equipo tiene la moda menor? e) ¿Qué escuela tiene el mayor número
de alumnos?
f) A ¿cuál escuela pertenecen los aos grr¡pos cong) A ¿cuál escuela pertenecen los dos grupos cón
menor númeto de alumnos? mayor número de alumnos?

71. de la información
de la informacióh
estatura en metros de los equ¡pos de
basquetbol y obtiene la siguiente informac¡ón:
Pegasos: 1.75, 1.77, 1.O2, 1.O2, 1.85, 1.96, l.8Z
Búfalos: 1.60, 1.71, 1.t1, i.86, 1.96, 1.98, 1.99
¡l9alqqlCt !9 r¡9!E¿!!9q'!!ryf!9qq_de cada equipo
)(=
Mdn
=
Mo=
[=
Mdn
=
Mo=
b) ¿Qué equipo tiene la media mayor? c) ¿Qué equipo tiene la moda mayorZ
d) ¿Qué equipo tiene la mediana menor?- e) A ¿cuál equipo pertenecen los tres jugadores
, más aitos?
f) A ¿cuál equipo pertenecen los tré-Jugadores deg)
¿cuál equipo tiene la mediá rnás
representativa de la estatura
de los jugadores?
menor estatura?

72. de la información
MEDIDAS DE DISPERSI
Las medidas de dispersión nos indican qué tanto se agrupan o se alejan los
datos del valor central. Dos medidas de dispersión son et rango y Ia
desviación media.
EL RANGO: es la diferencia entre el mayor y e¡ menor de los datos.
Ejemplo: los aciertos obtenidos por un grupo de segundo grado
son los siguientes:
16, 17, 17, 19,
,lg,
19, 21, 22, 23, 26,
27, 28, 29, 29, 30, 30, 30, 33, 33, 35,
36, 36, 39, 40, 40, 42, 43, 43, 44, 45,
R=45-'16=29
R=29
LA
DEsvlAclÓN: equ¡vale a un promedio del desvío o dispersión de los datos con respecto
MEDIA a la med¡a aritmética.
Para los datos: 7, 8, 8, 9, 9, 10, la media aritmética es:
X-7+8+8+9+9+1
6
!=
#=t't
En este ejemplo la desviación media seria:
Se calcula el valor absoluto de la desviación de cada dato con respecto a la
media aritmética.
DM_
17-8.51 + t8-8.51 + t8-8.5t J t9-9.51 + l9-8.qt + H0-8.,51
O*=
Di,l _ 1.5 + 0.5 + 0.5 t 0,5 + 0.5 + l,S=Á=
0.g3
66
Dill = 0.83
La desviación med¡a es el promedio de las desviac¡ones absolutas.

73. La desviación med¡a es de gran importanc¡a, ya que al tener dos muestras
con la misma med¡a ar¡tmética nos ayuda a decid¡r cual muestra es de
mejor calidad.
de la información
al¿ calificaciones son mejores, las de b) Al terminar el año escolar Dav¡d y Anton¡o tienen
Olga o las de Laura?
Calificac¡ones dé Olga: 6, 8 y 10 la escuela?
Calificaciones de David: 9, 9, lO, lO, lO,
Calificaciones de Antonio: B, 10, 10, lO, lO,
Galificaciones de Laura: 7, 8 y 9
7+8+9
=-=
Calculamos la desv¡ac¡ón media
Olga:
DM=
16-81 +18-81 +110-8t
el mismo promedio,
¿a
quién debe otorgar el
primer lugar en aprovechamiento la dirección de
f ==lJ=T=,
?=t
DM
_ l-21 + l0l + l2l
3 =2+o+2
3
Laura:
Dil =
17-81 +18-81 +19-8t
DM=!3
Dfu=3
Dil
=
La mejor calificación es aquella cuya desviación
media es menor, por !o tanto las calificaciones
l-11 + l0l + l.t I _ I + o + I
33
de Lau¡a son de calidad.

74. de la información de la ¡nformación
Al terminar el año escolar las calificaciones de Juan son las siguientes:
6, 7, 7, 8, 9, 10, 8, 8, 9, 7, 'tO, 7
a) ¿Cuál es el promed¡o de las calificaciones d) ¿Cuál es el rango?
e) ¿Cuál es la desviación media de dichas
calificaciones?
b) ¿Cuál es la mediana de las catificaciones?i
c) ¿Cuál es la moda de las calificaciones?
76

75. de la información
Se aplica una encuesta anónima a jóvenes del bachillerato para
investigar a qué edad comenzaron a fumar c¡garr¡llos de tabaco,
esta es la información obten¡da:
14, 15, 12, 18, 13, 8, 1'1,14, 17,
g,
12, 10, 16, 11,11,13,20
lntervaloPunto medio
x
Frecuencia
f fx
18-20 19 il 2 2x'19 = 38
15-17 l6 ill3 48
12-14 '13 [{l 6
9-l { l0 lilt5 50
94 7 1 7
lrf =
17 EIX = 221
Cuando los datos están agrupados, la MEDIA ARITMÉTICA se
obt¡ene multiplicando cada punto medio por su frecuencia (fx), así
obtenemos:
X = la media
E =
la suma (letra
gr¡ega sigma)
X = el punto med¡o
N = el número total de
puntajes
i =8
N= # =*
X = 13
LA ftlEDlANA es el punto medio donde se ubica el valor o dato
med¡o. En este caso, será el punto medio al que pertenece el
noveno dato, como este se local¡za dentro del tercer intervalo, Iá
med¡ana tiene el valor de 13.
Por su parte, LA MODA también está en el tercer intervalo y su valor
es 13,
Ef RANGO de los fumadores es de: 20-8= 12
Por Io tanto: MEDIA ARITMEICA: 13
MEDIANA: 13
MODA: 13
RANGO: 12
DATOS AGRUPADOS
77

76. de Ia información Representación de
El reg¡stro del mes de metropolitano de la calidad del
aire (IMEGA) se presenta en los siguientes datos:
69, 156, 129, 168, ',t62, 14O, 150, 135, 151, 175,
122, 163, 139, 162, ',t41, 160, 149, 141, 147, 144,
40, 148, 154, 159, 155, {66, 160, 170, 145, 133,
De acuerdo con los datos anteriores, completa la siguiente tabla: (Puedes
usar calculadoral
lnterva¡o Punto medio
x
Frecuencia
Í fx
167-,,t75 171 IIII 4
158-166
149-'t57 153
140-148
131-139 135
122-130
N=30 ffX
=
a) ¿Cuál es la media aritmética?
b) En ¿qué intervalo se encuentra la mediana'l
c) ¿Cuál es la mediana?
d) En ¿qué ¡ntervalo 36 encuentra la moda?
e) ¿Guál es la moda?
f) ¿Cuál
es el rango?

77. de la información
Representación de la información
GRAFICAS
Cuando.sle desea comparar tas tendenc¡as de dos o más conjuntos a
través- del tiempo, se recomienda representarlos en gráficas di líneas
como las siguientes:
Por ejemplo: La precipitación pluvial media mensual en dos entidades
federativas, Michoacán y Nuevo León.
Precipitación pluvial mensual
100
E
€Bo
3
360
CL
:E
40
o
(!
'E
20
q,
tr
0
Michoacán
_=l_
Nuevo León
___l_
ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic
Meses
Observa y analiza la gráfica, después contesta las preguntas s¡guientes.
a) ¿Guál es el mes que rne.nos llu-eve eñ
ambas entidades?
b) ¿En
qué mes ta preólpiláEién piüVEffue--
¡gual en ambos estados?
c) Aproximadamente
¿de cuántos milimetios
es la precipitación pluvial en el mes de
agosto en Michoacán?
q,
¿ue cuanros m tmetros es la
precipitación pluvial en el mes de agosto
en Nuevo León?
e, ¿Guat de los dos estados es meft)s-
lluvioso?
r, ¿r,uat es et mes gue mas llueve en ambas
entidades federativas?
g,
¿ue cuan¡os m tme¡ros es la prec¡pitación
pluv¡al en el mes de septiembre
en illichoacán?
n, ¿De cuántos milímetios es iá--
precipitación pluvial en el mes de
septiembre en Nuevo León?
, ¿En
que meses la prectpltac¡on pluv¡al en
flllichoacán fue igual?
¡) ¿En
qué meses ta pieCipillCiiln
[IuvñIen
Nuevo León fue ¡gual?

78. ACTIVACIÓN DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
CON DOS CIFRAS
Al jugar con los números, Roberto preguntó a sus amigos:
¿Curíl
es el menor número entero que se puede escribir con dos cifras ?
Alfredo yCarlos mosharon dos procedimientos para expres¿u el menor número
entero positivo con dos cifras.
¿ Cuáes son los procedimientos ?

79. EVALUAC¡ÓN DEL SEGUNDO BLOOUE
ESCUELA:
PROFESOR:_
ALUMNO (A) :--
GRUPO
-
ACIERTOS CALIFICAGIÓN
I . Encuentra los resultados en las siguientes operaciones.
a)13+15+5-2x32=
b)iiI-23+24+6=
c) (6'z - 4'?) - (52 - 32¡ =
d) (!36-.Jre)+(!¿rri
121 t=
e) -3y(.4y'z - 2y + 1¡
=
0(2a+5)(3a2-+¡=
s)
h)40x3t' - 24x5v6
--i5-
¡) 4(f +5) =32 j) 9(h-3)=18
81

80. k) Encuentra el perímetro y el área del siguiente rectángulo.
l) Una c¡sterna tiene forma de un prisma, la base es un cuadrado cuyo lado mide 1.4 m y la
altula es de 2,3 m, ¿Cuál es el volumen de la cisterna?,
't.4m
m) Las calificaciones obtenidas por i,laría son las siguientes:
8, 9, 7, 10, 6, 9, I, 10, I
obtener la media, la mediana y la moda,.

81. EN ESTE BLoQUE APRENDERÁs e:
Elaborar sucesiones de números coñ s¡gno a
Resolver problemas que impriquen et uso do ecuaciones de ta forma:
ax + b = ax + d, donde Ios coeficientes son números entoros o fraccio-
narios, positivos o negativos.
Expresar mediante una función lineal ta retación de dependencia entre
dos coniuntos de cantidades.
Establecer y justificar la suma de los ángulos ¡nter¡ores de cuatquier
polígono.
Argumentar-las razones por las cuates una figura geométrica sirve
como modelo para recubrir un plano.
6. ldentificar los efectos de tos parámetros m y b de ia función:
y
= mx + b, en la qráfica que corresoonde.
SENTIDO NUMERICO Y
ESPACIO Y MEDIDA
Significado y uso de las
o Secuencias de números con
srgno.
¡ Regla que genera una secuen
cia de números con signo.
¡ Ecuaciones de la forma:
ax+b=c
ax+bc=cx+d
a(x+b)=6
o Resolución de problemas.
a Ecuac¡ones de la forma:
ax+bx+c=dx+ex+f
a(x+b)=c(x+6¡
o Resolución de problemas.
a Relación funcional.
Formas geométr¡cas
Osuma de los ángulos
de un polígono.
o Recubrimiento del plano.
o Gráficas de relaciones lin
ocráficas de la forma y
= mx + b
es
simple, la más perfecta y
la más antigua de las
ciencias.
JAQUE§ HADATI'IARD
Evaluación del tercer

82. Sentido numérico uso de las I
SECUENCIAS DE NUMEROS CON SIGNO
Las secuencias numéricas se utilizan para describir regularidades en su
a partir de una regla dada, en las s¡gu¡entes tablas de valores, los números por sust¡tuir
siguen un orden para obtener los valores de la segunda columna.
2. Anota el número que falta en el espacio vacío de cada f¡gura para que s¡ga ¡a misma
-6 -3I
-525
-9
64-1C100
54 305
497 3
5324
12-6 -7
-924-8
60 48-12
,-o.',6
.'€-
l. completa las tablas de acuerdo a la regla dada.
m 20-m2
I
I
-5
-6
-7
eb 2b2-34
0
-1
-2
-3
4

83. Sentido numéricopensamiento algebraico
3. Anota el número que falta para gue
",n"
," ,,=rrJ
""il*
a) ¿Qué número compteta ta secuencia
Significado y uso de las l¡terales
b) ¿Qué número continúa?
1024,256,64, 16,4.
,
e)d)
ü
c)
I
4, 6, 10, lg, 34, ?
En la serie:
6, 18, 21 ,63, 66,... el número siguiente
es:
En la sucesión 8,32, 128....
¿qué número s¡gue?
¿Cuál es el siguiente término de la
sucesión 0, 1, 3, 7, 15,_
¿Qué número sigue en esta progresión?
11,18,27,38,
-
k)En Ia serie 812,27s,98, ... el
número s¡guiente es:
e)
s)
3913r69
14
45
d) ¿Qué número continúa?
27 , 21, 18, 12, 9,
f) ¿Cuál es el siguiente número de la
sucesión?
g4, 27,20, 13,
h) Anota el número que falta en la siguiente
serie:
10, 15,25,45,
-,
165,
g2S,
i) Cuál es el número que sigue en esta
progresión?
y-1, 2y-2, 4y-4,8y-€,
-
l) En la serie 't8
, 18,18, la fracción siguiente
27 21 15
ñ,
+4a -10b 40b ¡324a+36a
-5b -12a -80b
+8n +2Om
+512n
85

84. Sentido numérico
uso de las literales'
REGLA QUE GENERA UNA SECUENCIA DE NÚMEROS CON SIGNO
Para el desarrollo de esta habilidad es ¡mportante que como alumno hagas un gran
esfuerzo para encontrar la regla que genera dicha secuencia de números con signo, tienes
la oportunidad de ensayar, corregir y valadar tus propuestas por medio de tu razonamiento,
recuerda que si se puede,
cncu-enrra ra regra que genera los números de la segunda columna éñ cada una
siguientes tablas. zsF-\
a)
c)
20
d) e)
0
s) h) i)
m
6 9
3 3
2
,|
0 -3
f
I 67
4 t9
-1 4
-6 39
h
9 28
7 22
-7 -20
-9 -26
b
I 27
5 20
3 7
2 3
d
6 34
3 l9
2 14
-5 -21
k
5 49
4 3l
2 7
-3 17
t
6 r08
2 12
-1 3
€ 75

85. Sc¡rtido numérico y pensamlento alqebraico S¡gn¡ficado v uso de las literales
2. Puedes gumar, restar, s
_9qll¡¡1qglg.sggqnlglyglg!_pqlq
elcontrar los resuttados.
l3
^\4
)@
h rD
l¿¡
Lr7Éz
Y.H
c)
15 7
t0
l0
¿y 8
/\
13
Regla: a+b+c
2
7
Regla:
\21
Regla: Regla: Regla:
3. EI primer término de una serie es ig, et
segundo 2a+ b, el tercero 2a+2b,",
"r"*2a+3b y asi sucesivamente.
4, El primer témino de una serie es 3x +2v, el
segundo 3x_+ 3v, el tercero 3x+4v.
el cuartc
3x+5v y así sucesivamente.
a)¿Cuál es entonces el término que va en el
lugar l0?
ia)
Guál es entonces el término que ocupa
el lugar 12?
b)¿Cuál es el tém¡no que ocupa el lugar 15?b)¿Cuál es el término que va en ellugar 27?
,c) ¿Guál es el término que va eniel lugar 32?c)¿ Cuál es el término que va en el lugar 49?
87

86. Sent¡do numér¡co y pensamiento algebraico Significado v uso de las literales
ECUACIONES DE LA FORMA: ax + b
=
G
a) Resolver la ecuación 3x -
E = 7 b) Resolvcr la ccuación - 8m- 5 = ll
3x-E=Z
3x-8+E=7+E
3x=15
3x_ 15
3-3
x=5
Comprobación
3x-E=7
-8m-5=ll
Em-5+5= ll +5
Comprobación
-8m-5 =
11
-8(-2)-5=ll3(5)-8=7 -8m=
16
15-E=7
7=7
tm 16 _ ,. 16_5=ll
-
E
=T(-1)-rn=2(-l)
-m=2 m=-2
ll = I'
l) Resuelve las siguientes ecuaciones
2z-9=-l 7m+n=-12 8b-5=19 7=12+5h
24-5w=9 -3t-15=-9 ll-6k=-13h) 2t=tb.-t'
i)
-z*- ts
= zo 3x+3=lG 2x+ 15 =61
-5x+600-425
88

87. Sentldo numér¡co y pensam¡ento algebralco
ECUACIONES DE LA FORMA: ax + b
=
cx + d
a) Resolver la ecuación 5x - 6 = 2x + 3
5x-6=2x+3
b) Resolver la ecuación -
3a + 8 = 5a + 24
-3a+8=5a+24
Comprobación
-3a+ 8= 5a+24
-j(-2)+ 8 = 5(-2)+24
6+8=-10+24
5*-8.=3
3x=9
o
-_¿
x=3
+6
Comprobación
5x - 6=2x +3
s(3)-6=2(3)+3
15-6=6+3
9=9
-3a-5a
-8a
(-r)- ga
8a
=24-8
=16 14=1
a=
16(-1)
ó
_16 8=-2
l) Resuelve las siguientes ecuaciones:
8x-5=6x-l
8y.+ ll = 2y -3
b)
zb-B=5b+4 h+9=-3h-7
8m+27 =2m-3
) 5t+24=t-E 9t-8=5t+4 _7d-5=-5d+l
-
4x+ 13=6x-7 3x-8=x + 4) 4x+20= 45-x
zn-l-=z^+!-
Significado y uso de las lite¡ales
89

88. Senüdo numórlco y penramlonto algebralco §lgnlflcado y uso de Iae l¡terales
ECUAC¡ONES DE LA FORMA: a(x + b)
=
c
a) Resolver la ecuación 8(x +2)=-24 b) Rcsolver la ecu¡ción -
3(a - 9) =
33
<-\
8(i +2)
= -u
8x+16=-24
Ex =-24-16
8x=-40
* --3q
8
x=-5
Comprobación
8(x+2)=-24
8(-S + 2) =-24
-40+16=-24
-fisl=r¡
-3a+7ll =33
-3a =33 -2i7
Comprobación
-3(-2-9\=33
6+27 =33
33 =33
-24= -
-3a=6
-_é
3
l) Resuelve las siguientes ecuaciones:
9(t+ 2) =9
1ó=4(m+2) 8(z-3)=U d)15=5(x-2)
-4(k-6)=-4 -18=9(d+l) 6(b+5)= l8
-?(h-4)=21
i) 2(3 -t) = - l0 4(x+5)=lf k) Qa+ 5)=42 4(6-,-)-n
90

89. Sentido numérlco v oensamlento aloeb¡alco Significado y uso de las l¡terales
RESOLUCIÓN DEPROBLEMAS
menos 1c es tguat a 37. ¿Cúáles
Gaby: x
4 veces : 4x
menos l5: 4x - 15
4x- 15 = 37 EdaddeGaby:
4x=37+15
4x=52
x=52
4
x = 13
¿Cuál es el número?
Número: x
8 veces: 8x
8x + 30 = 6x + 50 El número buscado
8x-6x=50-30 es el 10
Aumentado: 8x + 39 2x=20
6 veces: 6x
Aumentado: 6x + 50
?
o
que es
d)Enunaelecciónelcandidatoganadortriplicóto
¿Cuántos votos rec¡b¡ó el ganador?
¿Cuántos votos recibió el perdedor? 5:.._
9l

90. Sentido numér¡co y pensamiento algebraico
f) Karla tiene 7 cajas de chocolates y 5 sueltos. Si las cajas contienen el mismo número de chocolates y
en total son 68, ¿cuántos chocolates hay en cada caja? ¡----
g) Chachita pesa el doble de su esposo Camilo, quien a su vez pesa el doble de su hijo Tomás y entre
los tres pesan 154 kg. ¿Cuánto
pesa, respectivamente, cada miembro de la familia?
h) Ninel compró tres manzanas. Si pagó con un billete de $ 20.00 y le devolv¡eron $ 6.20 ¿Cuánto costó
cada manzana?
i) La suma de tres números enteros consecutivos es 84. ¿Cuáles son esos números?
j) El perímetro del siguiente rectángulo es ¡gual a 36 cm. ¿Cuánto mide la base?, ¿cuánto mide
la altura?
Significado y uso de las literales
92

91. Sentido numérico y pensamiento
algebra¡co
F^r ,
^ ^.-...
de ta§ literales
ECUAC¡ONES DE LA FORMA: ax + bi+ c = dx + ex + f
I
Ejemplos:
4x+2x+3=3x+x+7
6x+3=4x+7
6x-4x=7-3
2x= 4
tt
,=;
x=2
l. Resuelve las siguientes ecuaciones.
x-4-3x=6x-x-25
-2x-4=5x-25
-2x-5x=-25+4
(-r) - 7x = -21 (-ll
7x= 21
*=T
x=3
4x+x-5=7x-Sx+z
-Gx+2x+9=-2x+4-x
-9x-5+6x=-8x-7+3x
a) 5x-2x+4=4x-3x+6
c) 3x+9+2x=x-2x-3
e) 7 + 8x - 4x = 2x + l0 + 3x

92. uso
g)4a+3a'8=2a+a+4 h)-2b - 3b + 5 =-4b + b + 9
i)5m - 2m - 10 = 3m -m -6 i)7f - 6f + 5 = 5f - sr *s
.-ffi
k)gk -5k - 3 = 3k - k + l)-8t + 6t + 7 = 2t - 5t + 3
de las literales
94

93. Sontldo numódco y
y uro d. la. llterrhr
ECUACIONES DE LA FORMA: a(x + b)
=
c(x + d)
rñ)=16)r
Comprobación
4(x+2)=](aal¡
4(3+2)=2(3+7)
12+8 =6+
14
?.0=2.0
5(h+4)
= 3(a+9)
lOa+20
= 3a+Tl
10a- 3a
= Tl -20'
Comprobación
5(2a + 4) = !1¡.a 9¡
s t2(l) + 4l
= 3(l + 9)
5[2+4]=3+Zl
l0+Z)=30
30=30
' ¿**ñr¿
,_,/
4x-2x= 14 -8
2x=6
6
*=,
x=3
7a= 7
l) Resuelve las siguicntes ecuaciones:
á)
6(x-2)=11¡a
1¡ b) 4(3y -l)=2(2y+6)
9(2a-4) = 6\a+ 2)
3(b+l)=2(b+6) D S6r+z¡= 42y+»
g lo(s+2)=6(g+4)
6(a+3)=!(¿a11¡ 7(f+ 5)
= 9(f+ 3)
95

94. Sentido numérico y pensamiento algebralco S¡gn¡f¡cadouso de las literales
ECUACIONES DE LA FORMA:
#=t
x + 7 = 2 (6)
x+\7= 12
x= 12 -l
x=5
l) Resuelve las siguientes ecuaciones:
c) 2x-6
Ib) zf
=eu) f
rlo=-e
e) 7 x+!
6
c) 5a-4
-
1',
*it
= ,o
8x+2
l0
96

95. Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
RESOLUCION DE PROBLEMAS
3x
3x
I.a base de un rectángulo es el tripUae taá
ECUACIóN
RESI.JLTADO
Altura = 9 cm
Base = 27 cm
COMPROBACIóN
x+x+3x+3x=72
8x=72
8x 72
88
x=9
9+9+27+27=72
Altr¡ra = x
Base = 3x
Perímetro
=72 cm
P=x+x+3x+3x
a) La suma de dos númsros entercs pares consecutivos es 13E.
¿CuáIcs son esos
La suma de dos nrirneros es igual a
son esos números?
c) La altur¿ de un rcctángulo es 7 m menorq
d) En un triángulo el lado u *0" , * *
¿Cuáno mide cada lado si el pefmetro es iguat a 8l cñ?

96. Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las líterales
e) Un alpinista desea cortar una cuerda de 123 metros de longitud en tres tramos. Si cada tramo debe
tener dos metros más que el anterior, ¿cómo debe hacer los cortes?
f) La edad de Lupita y la de su hermana Rosita suman 36 años, s¡ a la edad de Lupita se le restan 6
años, se tiene la mitad de la edad de Rosita. ¿Cuántos años t¡ene Lupita y cuántos Rosita?
g) Una persona dispone de 28 metros de cerca para constru¡r un corraf rectangular. Si se desea que el
corral mida 6 metros más de longitud que de ancho, calcular sus dimensiones.
h) La suma de tres números enteros consecutivos es 84. ¿Cuáles son esosnúmeros?
i)Silviapidió100refrescosaunatienda'Losdenaranjaselosvendi@
pagó en total $ 560, ¿Cuántos refrescos de naranja pidió?
98

97. Sentido numérico
Significadouso de las literales
RELAC¡ÓN FUNCIONAL
ueDos apnender a reconocer c¡ertas situac¡ones dc ta v¡da cot¡d¡ad;n l-¿s
que ostá presente ra dependencia entre variabrea. Estas s¡tuaód; il;;,
r€prclsntarco en tablas o por.medio de gráficas y la rulación pr"Jé áipá-_
saee algebraicamente. Eiemplos:
1. Para convertir gra eng rennett usamos una
funcional entre ambas escalas:
b) Realiza las operaciones de acuerdo con
la relación funcional.
a) Completa la tabla:
Cent¡grados
x
Fahrenhert
v
3 37.4
14
37
42
69
81
-z
El-""p'"""nr"
ri
y
= 1.8 ('c+32
= 1.8 (3+32=5.4+32=37.4
la relación funcional en la
siguiente gráfica.
o
o
.E
IL
200
180
1
140
120
100
80
Centigrados
d) ¿Cuál es la variable independiente?
e) ¿Cuál es la variable dependiente?
Si haces pasar por los puntos obten
una recta,
¿pasará ésta por el origen
(0,0) del plano cartesiano?
S) Si representamos 1.8 con la letra a y
lo representamos con la letra b. ¿ Cuál
expresión algebraica modela esta
relación?

98. Sentido numérico Sign¡ficadouso de las literales
Al rentar un departamento René debe pagar una fianza de $ 3 000 y $ 2 5OO mensuales
de renta. Elaborar una tabla que describa al gasto en vivienda que hace René a través de
los meses. á
a) completa la tabla:
Meses
x
Gasto
v
1 5 500
3
6
I
l0
12
15
b) Realiza las operaciones de acuerdo con la
relación funcional.
Y= 1(2500)+3000
=2500
+3000=5500
Representa la relación funcional
en la siguiente gráfica.
o
o
o
(9
0icuando el valor do x pasa de 8 a 9.
¿
qué valor toma y?
15000
d) ¿Cuál es l. v.ri¡blc que trprcsenlá
cl gesto total oue h¡ce Renó?
e)¿'Cuál es ta variable que representa el
t¡empo en meees?
9) ¿Quá expres¡ón algebraica describe
100

99. Sentido numórico
una cisterna cont¡ene 80 litros de agua. Al abrir la llave le caen l2.s l¡tros por minuto.
Realizar una tabla que describa los litros por minuto que almacena !a cisterna.
b) Rleatiza tas operaciones de acuerdo con
la relación funcional.
y
=7 112.5 )
+ 80 =87. 5 + 80 =
0&-
c) Representa la relación funcional
en Ia siguiente gráfica. Y.
eoq
(!
o
aú
o
tt
o
o
L
5¡
50 q0
x
a)ftmpleta la tabla:
d) ¿Cuál es la variable que representa el
número de litros de agua almacenados
en la cisterna?
e) ¿ Cuál es la variable que representa el
t¡empo en m¡nutoa?
Cuando el valor de x pasa de 19 a 20,
¿
qué valor toma y?
Si representamos 12.5 con la Ietra 1y
lo representamos cort la letra b. ¿ Cuál
expre§ión algebraica modela esta
relación?
101

100. al Com
Años Kilogramos
4
5
6
7
8
9
l0
11
Un médico especialista en niños (pediatra
)
para calcular el peso de un niño
se auxilia de la siguiente relación funcional .
eta la tabla:
b) Realiza las operaciones de acuerdo /
con la relación funcional. I I
----ll
c) Reprceentr la rsl¡ción tuncloml y
en la sigulente gráñca: 30
27
24
21
o
E'8
E
-E
15
?,,
I
6
3
0
2.4 6 I l0 12
Años
x
d) ¿Cuál es la var¡ab¡e que
representa el peso en kilogramos?
e) ¿Cuál es !a variable que
representa la edad en años?
ff Cuando el valor,de x Pasa de 11 a
12, ¿qué valoi toma y?
g) Si rcprcsentamos 2 con la letra g
y 8 con Ia letra !. ¿Cuál
expres¡ón algebraico modela esta
rc!ación?
de las literales
102

101. Un.laxímelro registra un pago de $6.40 banderazo (b), y luego toma en cuenta
la distancia recorrida (x) para aplicar una cuota ae
'¡
¿.áo (al por kilómetro y
¡6
así obtiene el precio (y) det servicio prestado al usuario.
a
Minutos
x
Precios
v
2
16.00
5
I
l3
22
26
34
40
b) Realiza las operaciones de acuerdo
con la relación funcional.
y = 4.80 (?) + 6.40 = 9.60 + 6.40
= $16.00
c) Representa la relación funcional y
en ia siquiente gráfica.
1
1
,l
1
1
80
d) ¿Cuál es la variable que
50
representa la distancia recorrida?
q
a,
o
o.
20
60
40
0
7 14 21 28 35 ¡t0
Minutos X
e) ¿Guál es la variable que
representa el costo del viaje?
f) Cuando el valor de x pasa de
,13
a
19, ¿qué valor toma y?
g)
¿Cuál es la expresión algebraica
que modela esta relación?
103

102. suMA DE Los Át¡cu¡-os INTERToRES DE uN polícono
l. Completa la siguiente tabla.
de los ángulos interiores
8=10- 2
La suma oe los ángulos inbriores de un polígono.de n ladoé es:
2' lndica cuántos lados uenen los pot¡gonos cuyos ángulos interiores suman las
a) I 260"
7
lso h260
000 7 +2=9
9ladoc
U-¡ Polígono e!¡ convexo si cada ángulo interior mide menos de 180". Al trazar las
2
4lados3 lados S lados 6 lados 7 lados
104

103. 3. calcula la medida de un ángulo interior en los siguientes poligonoe regutarcs.
focuerda que todos los ántulos interiores ae u;pdigon" *s'rtii"á"iguales.
a) 9lados 180o
''x7
9- 2= 7 1260
140
9 ffi¡eu-
36
00
* = 140'
b ) S lados
+=
c) 6 lados
t'<D
§¡'
B
+=
d) 7 lados
+=
e) I lados
+=
fl l0 ladoe
+
4.Encuentra el valor de los ángulos señalados en tos siguientes pofigonos regulires.
*"=
{6=
+c=
<fa =
e=
C-
g=
[=
l¡=
l=
m=
11 =
w=
xE
y=
z=
105

104. Forma. esoacio v medida
RECUBR¡MIENTOS DEL PLANO
rSi unimos 6 ú¡ángulos
equiláteros de manera que
varios váfices coincidan
gn un punto.
Si juntamos 4 cuadrados de
esta forma:
También podemos unir
ast:
Para cubrir un plano con poligonos iguales, lasuma de ¡os ángulos ¡nteflores que concurt
a)¿Se podrá recubr¡r un piso con rombos
como el siguiente?
¿Por
qué?
b) ¿Se
podrá recubrir un piso con
pentágonos regulares?
",81
e)
¿Por
qué?
c) ¿Es
posible recubr¡r el plano con
trapecios como el siguiente?
¿Por
quá?
d)¿Es posible recubrir el plano con
trapezoides como el siguiente?
¿Por
qué?
'r06

105. GRAFICAS DE RELACIONES LINEALES
I
partir del estudio que hemos venido rearizándo con ra función rinear, untñiIi][-
i::,1* l^r::::-.J-?:l:1lI:I9
ar.sebraic;omo en ésre, es posibre or¡entar er trabajo
!i:r !isl*"engción
gfncl ¿" aIr.oá"i"nár"*J,
i.irl-tl',i"ri'i"],il'jfia'J
j¡lij,[
1.Se sabe que una temperatura de 0. C
equivale a 32' F y 0' F equivate
aprox¡madamente a -18" C. La gráfica que
modela esta situación es la siguiente:
c¡ ¿Cuál es la temperatura en grados
Fahrenheit cuando el termómetro
marca -5oC?
oF=
d) ¿ Cuál es la gráfica que modela esta
a)/ ¿ Cuál es la temperatura en grados
Fahrenheit cuando el termómetro marca
35'C?
.t=3""+32=1.8oc+32
b) ¿Cuálies la gráfica que modela esta
e) Al determinar dos valores cualesquiera
de x (' C) se puede saber qué pasa con
los valores de y (. F), si crecen, decrecen
o se mantienen constantes.
¿Qué sucede con los vatores de y que
obtuv¡ste en los incisos a) y c), crecen,
decrecen o se mantienen constantes?
107

106. de la información
GRÁFICAS LINEALES DE LA FORMA y = mx + b
PRIMER CASO : CUANDO SE MODIFICA EL VALOR DE b MIENTRAS EL VALOR DE M
( m es la pendiente) PERMANECE CONSTANTE.
l. Completa las tablas:
2.T¡aza las gráficas de las funciones lineales'
b
--2
I
-3i
a)¿ Las 4 rectas tienen la misma pendiente?
b) ¿ cuál es el valor de la pendiente?
c) ¿ Cómo son entre si las 4 rectas?
x
v
.2 -5
_rl
0
1
2
108

107. -t
Manejo de la información
Representación de Ia información
SEGUNDo CASo: cUANDo CAMB¡A EL VÁLoR DE m, MIENIilSETUToñ
DE b PERMANECE CONSTANTE.
1. Completa las tablas:
alv=x+2
2. f ¡aza la gráfica de cada una de las
cuatro funciones lineales.
Y
2.
6
5
4
1
0
-1clv=2x+2
d)y=-3x+2
x
v
-2 I
-1
0
1
2
a)¿ En que punto del plano cartes¡ano se cortan las 4
funciones !ineales?
b)¿ Cómo son entre s¡ las funciones lineales
y=x+2yy=-x+2?
c) En la función lineal y
=
- 3x + 2, ¿cuál es el valor de la
pendiente?
d)
iEn
la función lineal y
= 2x +2,¿suSies el valor ae Ia
'pendiente?
e)¿ Porqué noson paratéláffi
r09

108. ACTIVACION DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMÁTICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
¡ADIOS MrS r00 PALOMAS!
Ad¡os m¡s 100 palomas d¡jo un gav¡lán a una parvada de palomas.
- No somos 100 - contestó la patoma mayor, y agregó: éstas y otras tantas como éstas y la
mitad de éstas y la cuarta parte de éstas y usted señor gavilán, las 100 serán
¿ cuántas palomas
había en la parvada ?
tt
*.//J.,rr
Fr'
r?.)-
^
-iñ
110

109. EVALUACIÓNDEL TERCER BLOQUE
RROFESOR (A):
ALUMNO (A) :
GRUPO_ ACTERTOS cALtFtcActóN
L Anota el número que falta para que siga la misma secuencia:
a) 7, '14, 22, 31, 41
,_
el número que
sigue es:
b)9, 5, 2,0,-1,-'t, o,
que continúa es:
c) s, 19, 28,
sigue el :
36,43, en la suceóióñd) 8, 1,-5, -'t0, -14,
número es:
el siguiente
e)'11,13, 16,20,25,
continúa con el:
6, 18,21,63,
que sigue es:
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
4x+20=45-x 9(2a-4)=6(a+2)
cuyos ángulosinteriores suman 900".
un anqu
un polígono regular de l2 lados.
111

110. a) Completa las tablas:
Y =2x+
2
f ---f--v -l
ll
l-3 I I
12 I
Y=-2x+2
[--T-v
-l
t-2 I L
t3L I
lll
y
=ta+2
I'-T-r--l
l-1 I I
tll
tllt
ll
5. Representación de la información.
b) Traza la gráfica de cada una de las tres funciones
lineales.
"t
r
i
c) ¿En
qué punto del plano cartesiano se
cortan las 3 funciones lineales?
d) En la función
Y = 2x+ 2, ¿ Cuál es el valor
de la pendiente?
e) En la función
Y =
- 2x + 2, ¿ Cuál es el valor
de la pendiente?
f) En la función y
= 3x + 2, ¿ Cuál es el valor
de la pendiente?
g) ¿Por
qué no son paralelas las rectas
funciones?
h) ¿ Cómo son entre sí las tres rectas ?
112

111. EN ESTE BLoeuE ApRENDEnÁs e:
l. Regolver problemas que imptican e! uso de tas Ieyes ¿" ro"üpo*nG
y de la notación científica.
2. Resolver probremas geométricos qu.e imprican er uso de ras propieda-
,
dades de las arturas, medianas, méd¡atrites y bisectrices eni;iá;ilü".
3. lnterpretar y relacionar la información proporcionada por dos o más
gráficas de línea que representan diferentls caracteriáticas ae uniáno-
meno o situación.
4. Resolver probremas que impr¡can carcurar ra probabiridad de dos even-
tos independientes.
5. Relacionar adecuadamente et desarrolro de un fenómeno con su repre-
sentación gráfica formada por segmentos de recta. il
BLOET TIGO IV
IN
sENTIDo r.¡un¡ÉRrco v
PENSAMIENTO ALG
IoEMA,
ESPACTO Y MEDTDA
Significado y uso de las
operaciones
o Potenc¡as.
¡ Notación científica.
¡ Orden de magnitud.
¡,El ajedrez y las potenc¡as de 2.
Formas geométr¡cas:
o Congruencia de triángulos.
a Rectas en un triángulo.
a Trazo de la med¡atriz.
a Trazo de la bisectr¡z.
¡ Trazo de alturas.
o Probabilidad de ocurrencia de
dos o más eventos
independientes.
o lnterpretación
de gráficas.
Activación del pensamiento.
Evaluación del cuarto bloorrr
La Matemática es una ciencia
poderosa y bella, probtematiza
al mismo tiempo, la armonia
del Universo y la grandeza del
espíritu humano.
F. GÓMEZ TEIXETRA
113

112. Sentido numérico a y uso de las
POTENCIAS
Una potencia es una forma abreviada de escribir una mu
iguales . EjemPlos:
21 =2
22=2x2=4
22x23=22*3=25
2t x1a =
21
*a=2sl
2sx 26=2s+6-211
Itiplicación de fa
23 = 2x2x2 = 8
2a=2x2x2x2=16
..5troo*t*"
baserZ
(
E
1.
>..
ir
2"= 2xzxzxZxZ= 32
26 = 2x2x2x2x2x2= 64 l-_L"-¡-_r-..}
1. Calcula el número que se Pide.
a)30=3x3x3x3=81 b) 5
5
= 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3 125
c)43= d)62=
elTa= 083=
g)95= h) 11
1=
2. Escribe por medio de una sola potencia los siguientes productos:
a)84x82x83= 84+2+3 - I
e b)73x75x78= 7
3+a+s
-r
t'
c)23x25x22= d)31x35x32=
el 4a x4z 147 = f)53x56x5r=
g) 6
2x
6
3x
6
4
=
h) 95x9rx96=
POTENCIA DE 1O
Una potencia de 10 es un número que se obtiene al elevar 10 a una cantidad entera. El
número que resulta es un 1 seguido de la cantidad de ceros indicada por el exponente.
Ejemplos:
10o=1
101 = 10
102=10x10=100
103=10x10x10=1000
104= 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000
105= l0 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000
3. Resuelve las siguientes potencias.
a) 108 = IOO OOO 000 b) 107
=
c) 10e =
d) 1010
=
e) 1012 = 0
1015
=
114
operaciones

113. Senüdo numédco
Significadouso de las
tl. Completa la siguiente tabla.
5
5=
3125
En las potencias también existen los exponentes negativos,!áE cáñ6ffie signo ta
potencia se convierte en una fracción donde er numJrador áé u ,niááá. É¡empros :
lo
-'
=á= o.t
lo-2
= 6t ro=A
= o.ot
ro
{
=1¡T+ xm:=TJ¡Oi=
0.oor
5. Anota la potencia que se indica.
115

114. Sentido numér¡co Significado y uso de las
) La distancia aproximada del Sol a la Tierra es de 150 000 000 km.
qy=1'5xro8
i'\N
El punto se recorrió 8
cifras a la izquierda
entonces el exponente es
g.
b) Un virus cuya longitud aproximada es de 0.0000023 mm sólo puede ser
El punto decimal
se anota después
de la primera ci-
fra significativa.
El punto decimal
'
se anota después
de la primera ci-
fra significativa.
El punto se recorrió 6
cifras a la derecha, entonces
observado con un microscopio elecÍónico,
a..
oq}l3xlo'6
----
el exponente es -6.
l.Escribe los sigu¡entes números en notación cientifica.
5.68 x 10
5
i b) 0.0086 =8.6x104
I
id) 0.00027
0.019
h) 0.000006
i) 0.4
n) 0.345
568 000 =
1 000 000
43 000 =
75 000 000 =
i) 2 000 000 000 =
k) 601 000 000 =
10 800 000
=
957 000 =
q) 88 000 000 000 =
PI
¡I GTA.C¡ÜN ü¡ Eñ¡'TI F ¡CA
La notación científica es la notación exponencial expresada como producto de dos factoreq
En el primer factor el punto decimal se coloca después de la primera cifra significativa, el
ndo factor es una potencia de 10, Eiemplos:
116
320 000 000
=
0.0000000071 =

115. Sentido numéricopensamiento
uso de las
2. Anota el número que corresponde a cada notación cientifica.
a) 3.7xl02=370 b) 5.2 x 10
-3
=
Q.QQ§!
c) 2.9 x l0
c
= i d)O x,t0-2=
e)8 x l0
4=
fl'1.4 x 10-5
=
g) 5.r4x l0
6
=
^h)7.08 xlO-1 =
i) 4.9 x10r=
x l0
+
=
k)6 x l0
7
= 'l)8 xl0+=
.
--J--
n)2.5 xl0{=
m) 1.3 x l0
s
=
o)7 x 103
= P)3.6 x10-7=
q) 9.132x l0I
=
IIJ:5-2 -_
x- ro -f
¡
s) 2.48x l0ro
= i0 9.8 x l0
-ro=
3. Expresa las siguientes magnitudes en notación científica.
a) La distancia aproximada de la Tierra a la , b) El océano Pacífico tiene una extensión de
Luna es de 384 000 kilómetros. aproximadamente 167 000 000 km
2.
c) El Sistema Solar se originó hace
5 000 000 000 de años, aproximadamente.
d) La vida terrestre se orig¡nó hace
' 4 000 000 000 de años aproximadamente.
e) La superficie de los océanos es de
361 000 00 km
2,
aproximadamente.
f) La superficie de la Tierra es de
510 OOO 000 km2 , aprox¡madamente.
i) La superficie de-las tierras emergidas es de ¡j) El río Amazonas, en Sudamérica, ocupá uñá
149 000 000 km2, aproximadame;te. superficie de 7 0S0 OOO fmr,
, aproximadamente.
.i
11

116. §entido numérico S¡gnaf¡cado y uso de las
ORDEN DE MAGNITUD
I
El orden de magnitud de una cantidad es !a potenc¡a de l0 en que sel
I expresa ésta en notación científica. Ejemplos:
I
a) Distanc¡a de la Tierra al Sol = 150 0OO 000 km = 1.5 x 108 km
Por lo tanto : la distancia de la Tierra al Sol es del orden de lO8 km.
b) El cuerpo humano tiene alrededor de :
lO OOO OOO OOO 000 000 000 000 000 000 de átomos
I x 1u28
Luego: el número de átomos del cuerpo humano es del orden de 1
l. Determina el orden de magnitud de las siguiéntes,bant¡dades.
a) 2.7 x 105 @
b)3.4x l0-2 @
c) 1.8 x l0-rr d) 5.9 x lo't¡
e) 4.6 x 10r2 f) 8.5 x l0r8
9) 9.1 x,lo'zo h) 6.3 x lo'zs
l,l7.2 x 1030 j) 5.4 x 10-38
2. Anota el orden de magnitud de las cantidades.
a) Distancia de la Tierra a la Luna,
384 000 km.
b) Extensión del océano Pacifico,
167 OOO 000 km2.
c) La altura del monte Everest, que es
8 848 m.
d) La altura del lztaccíhuatl, que es 5 492 m.
e) L a superficie del lago Superior
(Canadá-EUA), 83 000 km'83 000 km'
f) La superficie d-el continente Amer¡canol
42 044 000 km'.
g) Longitud del rio Nilo: 6 671 km h) Superficie de Canadá: 9 970 fi)O km2
118

117. §ontido num{ico y pensamiento algebraico lSignificado y uso de las operaciones
El_orden de magnitud de una cantidad permiteáeg¡, las ,nid"d."
adecuadas para medir.
§n Astronomía donde se manejan números
con muchas cifras, y en Eiología donde se utilizan números con
muchas cifras decimales, se seleccionan unidades especiales para
,Una medición aDro6irr{. Fia¡ant^-,
UNIDADES ASTRONOMICAS UNIDADES MICROSCÓPGAS
p
= mtcra
10'3 mm ó 10'6 m
mJ¡ = m¡limicra
10-3 m¡r ó 10{ m
Á = angstrom
10'7 mm
U.A = unidad astronómica
1.5 x 108 km
Año Luz
9.S x 10r2 km
a¡¿cuátesetoffi
b) Cuál es ta medida queGquiGGTiá--
milésima de un parte de un milímetro?
c) ¿Qué medida equivale -ta diEGñCEñe-ffi
entre la Tierra y el Sol?
d) ¿Qué medida equivate á ta dEGñiiilfE
recorre la luz en un año?
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Si el grosor de un cabello es de 0.049 mm.
¿Cuál es el grosor del cabello en micras?
b) El virus de la polimiel¡tis t¡ene una
magnitud de 0.025 micras,¿Cuál es la
magnitud en mm?
d) Si un cometa pasa a dos años luz de una
estrella,
¿cuál es la distancia en
kilómetros?
c) Si un asteroide orbita a I SOO OOO OOO km
del Sol, ¿cuál es la distancia en unidades
astronómicas ?
119

118. Sentido. numérico y pensamiento algebraico
9¡sllllgfgo.l
us9- de
!9s_-opgracione¡
-:.T3.S_Tty{*l v.olumen det Sol, en metros cúbicos es de i0
27y
el de la
¿ cUánt€lS I lerras ¡rgabrían,'
en el Sol?
1027 = 1927
-2'r
= 10
6
= 1 OOO 0OO
1o-ar
" Cabrían un m¡llón de T¡erras
,,
Tierra es de l0
2r
1. Resuelve los siguientes problemas.a)
._ -',*_ .-
La superficie del fraccionamiento "Paraiso verde" es de 2
tu
hectáreas y se quiere fraccionar
en terrenos de 2
2
hectáreas,
¿ en cuántos terrenos se podrá fraccioná
,.paraíso
verde ?
ic) La magnitud del volumen del Sol en metros cúbicos es de1027 y el de Júpiter es de l0
2",
¿ cuántas veces es mayor el Sol en relación a Júpiter ?
ia¡
urd) un angstron es ¡gual a 10
-,
milímetros,¿ cuántos angstrons caben un milímetro i0" ?
120

119. Sentido numérico y uso de las operaciones
EL AJEDREZ YLAS POTENCIAS DE2
Guenta la leyenda que el Visir Sissa regaló al rey hindú un tablero cuadrado dividido en
sesenta y cuatro cuadros o casillas iguales. Sobre este tablero se colocaban dos series de
irgeniosas figuras que se repetían simétricamente y había reglas esenciales para mover las
piezas de dive¡sas maneras.
Al cabo de pocas horas el monarca, que había aprendido con rapidez todas las reglas del
juego, lograba ya derrotar a sus visires en una partida impecab!á.
Dijo el monarca: quiero recompensarte, amigo sissa por este maraviiloso regalo, dime pues
que es lo que deseas.
Nada más sencillo dijo sissa: me daréis un grano de trigo para la primera casilla del
!abler9, los
para segunda; cuatro para la tercera; ocho para la cuarta; y así sucesivamente
h?sta la última casilla del tablero:
1'. Casilla: I grano
2". Casilla: 2 granos
3'. Casilla: 4 granos
4". Casilla: 8 granos
y así doblando sucesivamente hasta ra úrtima casiila der tabrero.
2o 212z232t252627
¿con cuántos granos de trigo pudo el monarca corresponder a la promesa
que hizó a Sissa?
121

120. Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
El número de granos es l8 ¡146 744073 709 5S1 6ls
Para tener idea de la inmensidad de este número gigante, calculemos aproximada-
mente la magnitud que debería tener el granero capaz de almacenar semejante can
tidad de tr¡go.
sabido que un metro cúbico de trigo contiene cerca de 15 millones de granos,
este caso, la recompensa del inventor del ajedrez deberla ocupar un volumen
aproximado de 12 000 000 000 OO0 de metros cúbicos o lo que es lo mismo:
f 2 000 kilómetros cúbicos.
Si el granero tuviera 4 m de alto y l0 m de ancho, su longitud debería ser de
300 000 000 de kilómetros o sea el doble de la distancia que separa la Tierra del
Sol'
El Rey hindú, no podía entregar semejante recompensa.
1. Observa y anal¡za las potenc¡as en el tablero de ajedrez y contesta las preguntas.
a)¿Cuántos granos pidió en la casilla 8? b)¿Cuántos granos pidió en la casilla 10?
c) ¿ Cuántos granos habia recibido hasta la
casilla 8?
d) ¿ Cuántos granos había recibido hasta
la casilla 10?
e) ¿ Cuántos granos pid¡ó en la casilla 11? f) ¿ Cuántos granos pidió en la casilla 12?
g)
¿ Cuántos granos había recibido hasta la
casilla 11?
h)¿ Cuántos granos había recibido hasta ta
casilla 12?
i) ¿ Cuántos granos pidió en la casilla 13? J)¿ Cuántos granos había recibido hasta la
casilla 13?
Mi apreciable amigo:
¿cuál es la Potencia
de tu genética?
122

121. CONGRUENCIA DE TR!ÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes sial superponerse co¡nc¡¿ánffi
:if:q::"_:: 199es1io.co¡ocer
tas mLd¡áas de sus rres lados y sus rres ángulos pira
determinarsu congruencia, basta conocer los datos de tres elemántos. Estos elementos se
Á-E=FE
{e={a,
AABC:AA,B'c,
CRITERIO: ALA
GRITERIO: LLL
Ee
=
5¡;
aiE= fft;
Angc= Ae'e,c'
IE=r-8"
*a=4e'
rT=a-E
Aeec=Aa'g'c'
GRITERIO: LAL
Dos triángulos son con -
gruentes si los lados
correspondientes resultan
Dos triángulos son congruen
tes si los dos lados
dientes y el ángulo que
son congruentes.
gruentes si dos ángulos
correspondientes y el lado
común son congruentes.
l. Determina si los triángulos son congruentes y anota el criterio correspondiente,
HW
Y
medida Formas geométricas
123

122. Forma, espacio y medida Formas
!
I
I
I
I
I
jn
el siguiente triángulo isósceles
demuestra que los triángulos ADC y BDC
son congruentes.
,)$CO =-
Porque CD es bisectriz de
_
ACB.
b) AC = _
Por ser un triángulo
isósceles.
c) CD = Por ser lado común de los
triángulos ADC y BDC.
d) Entonces los triángulos ADC y BDC son
congruentes por el criterio:
¿. 3.Demuestra que la d¡agonal de un cuadrado
divide a éste en dos triángulos congruentes.
a) AiE =-Son lados opuestos de un
cuadrado.
b) A-d = Todo segmento es congruente
consigo mismo.
c) A-6 =-Son lados opuestos de un
cuad rado.
d) Entonces los triángulos ABC y ADC son
congruentes por el criterio:
D
4.Demuestra que la diagonal de un rectángulo
divide a éste en dos triángulos congruentes
E
c) EF=
a) EH = Son lados opuestos de un
rectángulo.
b) FH =- Todo segmento es congruent
consigo mismo.
Son lados opuestos de un
rectángulo.
d) Entonces los triángulos EFH y FGH son
congruentes por el criterio:
5. E,Ig fig¡'a BD es bisectriz del ángulo ABC
y AB = GB, demuestra que los triángulos
ABD y CBD son congruentes.
{aeo
=
ñ=-
ÁE=
Porque BD es bisectriz
del- ABC.
Es lado común de los
Triángulos ABD y BCD.
Por construcción.
a)
b)
c)
d) Entonces los triángulos ABD y CBD son
congruentes por el cr¡terio:
124

123. RECTAS EN UN TRIÁNGULO
Todo triángulo,tiene tres alturas, tres medianas, tres med¡atrices y tres bisectr¡ces.
¡ ALTURA es la perpendicurar a ra b"se o s, prolongación, f¡azada¿e"a"iliért-il
_=. opuesto.
I
I
I
I
I
I
MEDIANA es la recta gue une un vértice
"on "r
pun@
Ai
§,
.9r
ü.
t, ,t9'
MEDIATRIZ es la perpendicular trazada en el punto medio del lado opuesto.
BISECTRIZ es ta recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
med¡da
Formas
125

124. f'-r"
I
Forma, espac¡o y medida
-f
¿ffivt
_&\lÍA ^) "^y'^
Fofmas
\,N
fi
-Et,
o
i=
\
.@
\¿; ,ii
iatriz del
2, Se apoya el compás en Ay con un
un efco-
radio mayor que la m¡tad del segmento AB se traza
3. Apoyamos el compás en B y trazamos otro arco que corte al anterior en los puntos
4. Trazamos la recta que pase por los puntos C y D, ésta es la perpendicular mediatriz.
TRAZO DE MEDIATRICES EN UN TRIÁNGULO
Clrculo c¡rcunscrito
. .,,. .i, *
,,n, ,',,ta
Trazañio$ lqim.ediatriz del lado BC.2.
. . 3. El punto donde concurren las tres mediatrices se llama circuncentro y es el centro
r....
¡,'":1, rirde[§ílg-ulp _qlrcunscrito
al triángulo ABC.
""""''"
t'áfuffiaffipás en et circuncentro y con una abertura oA, se traza er círcuto
circunscrito que pasa por los tres vért¡ces ABC.
126

125. geométricas
127

126. TRAZO DE LA B¡SECTRIZ DE UN ANGULO
1. T¡aza¡ la bisectriz del ánqu
2. Se apoya el compás en Q con una abertura cualqu¡era, trazando los arcos que corten
a los lados en los M
4. Trazamos la recta QS, que es la bisectriz del ángulo PQR.
TRAZO DE B¡SECTRICES EN UN TR¡ÁNGÜ1,O"
'AB
l. Trazamos la bisectriz del lo ABC.
2. Trazamos la bisectriz del á BAC.
3, El punto de concurrencia de las tres bisectrices, se llama incentro y es el centro
"'"Y
128

127. 129

128. Forma, espacioy med¡da Fofmag qeométrii
TRAZO DE ALTURAS EN UN TRIÁNGULO
A
/^9
Dil\'.-_-..-.l,-E
.4_"Á M
%ffi
a) El compás se apoya en el vértice A y con una abertura mayor que la distancia al lado
opuesto BC se traza un arco DE. ( Si no se alcanzara a cortar se prolonga el lado)
se apoya el compás en D y con une abertura mayor que la mitad de la distancia DE se
traza un arco, con la misma abertura y apoyando el compás en E se corta el arco
anterior en el punto K.
b)
c) Apoyan_do ll pgla en el vértice A y en el punto K se traza la primera altura del
triángulo ABC.
d) Para trazar las otras dos alturas en los vértices B y C se realiza et mismo
procedimiento. El punto donde se cortan las tres alturas se llama ORTOCENTRO
L En cada triangulo traza las alturas y ubica el ortocentro.
a) b)
130

129. Forma, espacio
TRAZO DE MEDIANAS EN UN TRÉNGULO
Se apoya el compás én e y con rná
:;"¿X",:jL:::'if,§,"?:L
ra misma aberrura sá apoya er compás.n á-r¿rtí"" c y se
b) se apoya
!1
regla en ios puntos donde se cortaron los arcos y se obtiene D, el punto
medio del lado BC.
c) Se traza la primera mediana del vértice A at punto medio D.
d) De igual forma se obtienen las otras dos medianas, el punto donde se coñan las tres
medianas se llama BARICENTRO o centro de gravedad.
l.En cada triángulo traza las medianas y ubica el baricentro.
131

130. rnedida
l. De acuerdo con las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisecHces
f9.l_a_c-i91.te_q9."Ee-cjape!!.19..!?s_s!ssi9nlegc_o-lu_r¡3s:,
Rectas en un triángulo que se cortan en un punto que
equidista de los tres lados.
Lpf"-a
ggfgg:g._c-ortal las tres alturas de un triángulo _ : .8._ ,Med-¡anas_ -.- _.
t!99", c.
"[tl.e-dia!{q9.q.---
1
l
a 2 del vértice oouesto. '
o p. Bisectrices i
L t:l"S§:Slgilta ge
!og,tr€s
tados de un triánguro.
)
Rectas en un triángulo que se cortan en un punto lla-
'
mado ortocentro.
,l Punto que equidista de los tres vértices de un triángulo. H. Baricentro
2. Anota una V si la
Sgsrq$g¿mggrl.*lgJl9--p-o§:eir1!,ss_k!**
lquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que uno de sus lados.
E.. Circun-centJg.-_
G. Ortocentro
n segmento es una altura de un triángulo si y sóto si es el segmento
¡rp9¡!-i9u-ta,¡ §9sq9"gtr-9-qg-!o9-yét!sss*ele¡"ecla_ss.e-q9dig!9.§Uado egeslq, _ -
La altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado,
altullde un triángq9-is_¡ne.loj=qu.e ta.m.9d!3nq que coJrespoqdlatmlsqq
!g!_o,
n segmento es una mediana de un triángulo si y sólo si sus puntos extremos son
n vért¡ce del triángulo y el punto medio del ladó opuesto.
cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo es también mediatriz
de éste, el triángulo es isósceles.
Una bisectriz de un triángulo es un segmento que divide un ángulo del triángulo en
dos ángulos congruentes y tiene sus puntos extremos en un vértice y el lado
al ánoulo.
La mediana a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base.
Si la mediana de un triángulo también es altura, el triángulo es equilátero.
'132

131. .
FTR0BAHi¿-[3É{i O,,
"0""'r_*il-=.idai',e
}F *"3§ {:} h¡I.&s FVENTO§
La noción de independencra én situac¡ones de azar t¡ene varios matices y su estudío es
importante porque la intuición suele llevar a errores ante problemas relat¡vamente
rsimples.
Ejemplos :
de la información
lanzan cinco volados consecutivos y en todos caido
¿Guál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga
sol?
1er. lanzamienl6 P= ,
sol
: =
. águila, sol
2do. lanzamiento P =
sol
-
águila, sol
3er. lanzamienfe P = ;- -§o-L =
águila, sol
A menos que la moneda y las condiciones del lanzamiento sean
cambiadas, la probabilidad de obtener sol en una serie de volados
siempre es de %.
Los resultados de un lanzamiento y otro son eventos independientes'
es decir, la ocurrencia de uno y otro no afecta la ocurrencia del otro'
Poi lo tanto:
60,LanzamientoP=-.=-L
águila, sol
1. Calcula la probabilidad que se pide en cada evento.
alSe lanzan siete volados consecutivos y enbi§é'rrliár¿aáio un dado v ha caído el nv
1
2
1
2
1
2
_1
2
todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la
probabilidad de que en el décimo volado
también caiga águila?
c) Se ha lanzado un dado dos veces
consecutivas y en las dos ha caído un
número par.
¿Cuál es la probabilidad de
que en el quinto lanzamiento también
salga un número par?
5.¿Cuál es Ia probabilidad de que en el
siguiente lanzamiento también caiga el
número 5?
d) Se ha lanzado en varias ocasiones una
moneda en el primero, tercero, sexto y
octavo lanzamiento salió sol. ¿Cuál será la
probabilidad de que en el vigésimo
lanzamiento también caiga sol?
L--
r33

132. información
6H,
Se va a real¡zar una rifa con doscientos boletos que han sido
numerados del 'l al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto
ganador será el primero que se saque de una urna.
Maria compró los boletos 81, 82, 83 y 84. José adquirió los boletos 30,
60, 90 y 120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?
Algunos estudiantes podrían pensar que José tiene más posibilidades
de ganar, porque sus números están mejor distribuidos entre et total;
otros podrian pensar que María tiene mejores posibilidades porque sus
números son seguados.
Maria t-tP=oletPs
=
ZOO boletos
José r=Í¡ffi;=*
'En ambos casos, cada boleto; independientemente del número que
represente tiene la misma probabilidad de ser sacado.
1
50
2. Anota la probabilidad que se pide en cada evento.
a) En una urna se tienen los números del 1 al
6. ¿Qué números tienen mayor
probabilidad de salir en primer lugar, los
números pares o los números mayores
que 3?
) En el juego del dominó son.28 f¡chas con
cara hac¡a abajo. ¿Qué ficha tiene mayor
probabilidad de extraerse la (2 , 4l,la (5, f )
ola(6,0)?
c) En una urna se tienen los primeros cien
números naturales. ¿Qué números t¡enen
mayor probabilidad de salir en primer
lugar, los números naturales impares o los
números naturales pares?
g) En el juego del dominóequé ficha tiené
mayor probabilidad de extraerse la (0, 0),
(1, 1), la (2. z),la (3, 3), la (4, 4), ta (S,
o la (6, 6)?
134

133. de la ¡nfomac¡ón de la
Se Ianzan simultáneamente un dado y una moneda.
¿Guál es la
probabilidad de que caiga sol y el número 4?
Moneda(sot) P=agffik¡ = I
Dadol4) P= 4
=1-
1,2,3,4,5,6 6
Consideradas porseparado, las probabilidadesson
* t i
De manera que el asunto es averiguar como se retacionan estas dos
medidas. La probabilidad del evento (s,4) se obtiene aplicando !a regla r
producto.
P(sya)=P(s)xP(4)
=
P(sy4l=+-
1x I
=_12612
3.Aplicando la regla del producto P(A y B) =
P(A) x P(B) calcula la probabilidad que se pide.
a) Se lanzan simultáneamente una moneda
y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
que caiga águila y número par?
b) Una urna contiene 3 canicas azutes y 4
blancas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer
simultáneamente I canica azul y ,l
6¿¡¡6¿
iblanca?
c) Se lanzan simultáneamente una moneda
y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
que caiga sol y un número mayor que 4 ?
d)Una urna contiene 3 canicas verdes, 4 blan
cas y 5 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer simultáneamente I canica blanca y
'l canica roia?
13s

134. de la información
de la información
IN.If Eft PRETACIÓN DE G§{Á:r JÁ.:,
observa las siguientes gráficas que representan caracGrfiicaC aist¡ntas ¿á un ienome¡roi
situación para obtener información más
7 91011 12
!
Temperatura promedio mensual en Reynosa
ene feb
'mar
seP oct
'
nov
b) ¿Por
qué?
c) ¿ Es cierto que cuando en Reynosa hace más frío, llueve menos?
E
E
c
:9
o
aú
:1
C'
o
o-
4
Promedio mensual de precipitación en Reynosa
136
d) ¿ Justifica tu respuesta:

135. Además de los fenómenos o situaciones que se pueden modelar totalmente con una
función Iineal, exisGn otros fenómenos que admiten una modelación local por medio
de una función lineal; es decir, que la modelación se da a través de funciones lineales
por tramos o segmentos.
Por. ejemplo, analizar la siguiente gráfica.
Un recorrido
.
1000
(ú
fg
€E
.q5
9c
§8
E
t0 15 20 25
tiempo (minutos)
l. Observa, y analiza la situación que se modela con una función tineal, después
a)
¿Qué situación represenu¡ el gráfico? b) Aproximadamente
¿a
qué distancia de la
casa se encontraba a los diez minutos?
c) ¿En cuánto tiempo se llega al punto más
lejano de la casa?
d) A qué distancia de la casa se encontraba a
los 17.30 minutos del recorrido?
Si la persona salió a las 16.20 horas, ¿ a qué
hora llega al punto más lejano del recorrido?
e) Si la pensona salió a las 16.20 horas, ¿a
qué distancia de su casa estaba a las
16.45 horas?
¿A
qué hora inició el regreso del punto
más lejano a su cesa?
) ¿Qué üempo duró el recorrido desde el ini
cio hasta el regreso a su casa?
i) ¿A
qué hora se encontraba nuevamente en
su casa después de! recorrido?
¿Cuánto tiempo permaneció en el lugar más
aleiado antes de regresar?
de la información
de la información
137

136. de la información de la informacióni
Á
#ffij
Recorrido de un motociclista
o
E
tt
G
P
(,
o
(,
tiempo (segundos)
1. Observa y analiza la situación que sé presenta en la gráfica y contesta las siguientes
prequntas.
a) ¿Qué situación representa el gráfico? b) Partiendo del reposo ¿qué velocidad (m/s)
adquiere al cabo de 5 segundos?
c) ¿ Qué tiempo permanece en esa
velocidad?
d) Luego el motociclista frena hasta Ilegar ¿a
qué velocidad?
e) Después acelera para alcanzar
nuevamente ¿qué velocidad?
f) Finalmente: ¿cuantos segundos frena hasta
detenerse?
g)
¿Qué velocidad lleva a los 5 segundos
del recorrido?
h) ¿Qué velocidad lleva a los 17.50 segundos
del recorrido?
i) ¿Cuál es la velocidad que adquiere a los
20 segundos?
j)
¿En qué üempo termina el recorrido?
138

137. ACTIVACIÓN.DEL PENSAM¡ENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMÁTtcos como TAREAS DE ApEND tzAJE.
CON CINGO NUEVES
Al jugar con los números, Alberto preguntó a sus amigos:
¿ Cómo expresarías el número l0 utilizando cinco nueves?
Dos de sus amigos mostraron dos procedimientos para expresar el número l0
utilizando cinco nueves.
a)
b)
139

138. EVALUACION DEL GUARTO BLOQUE
l. Escribe por medio de una sola potencia los slguientes productos:
al73 xt' x72= b)9rx95x92=
c) 80x81 x82= d)67x66x65=
2. Escribe los siguienües números en notación cientlfica.
a) 360 000= b) 0.ü1079
=
c)
'[:|
000 000 = d) 0.00000005=
3, Anota e! número que corssponde a cada notac¡ón c¡entifica.
a) 2.6 x 103= b) 3.4 x l0{
=
c) 5.32 x 105
= cl 6.01 x lOa
=
4. T¡aza un círculo circunscrito en e! 5. Traza un c¡rculo inscrito en e¡ s¡gu¡ente

139. 6. Resuelve los siguientes problemas.
l"-ll Pf_ldq
un dado y ha caído et número 3, ¿Cuát es ta probabitidad de que e!
rercer tanzamiento también caiga el número 3?
-
b) En una urna se tienen ros números der 1 al 9,
¿ qué números t¡"n"n ,"i1.-
probabiridad de sarir en primer rugar, ros mriÉi[rds o;r;r* ;i;íüáá1" sz
c)Unaurnacontiene3canic.asazulesy2canicasul"nffi
extraer simultáneamente I canica azul y una canica blanc-a?
d) En el juego der dominó,
¿qué ficha tiene mayor probabiridad a" ertr"áo* l"Jg,l
)rla (1,4
) o la ( 0, 5 )?
141

140. EN ESTE BLOQUE APRENDERÁS E:
2. Determinar el tipo de transformac¡ón (traslació-n, rotación y/o simetría) que se
-
ápl¡ca a una figüra para obtener la figura transformada'
3.ldentificaryejecutarsimetríasaxialesyradiales,ycaracterizarsusefectossobre
rffiuso
de's¡§temas oe dos ecuac¡ones lineales
-
con dos incógnitas.
las figuras.
4. Resolver problemas que implican calcular la probab¡lidad de dos eventos que
son mutuamente excluyentes.
BLOQUE TEMATICO V
EJE:
MANEJO DE LA IN FORMAGIÓN
EJE:
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
EJE:
SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
a Gráficas.
o S¡stemas consistentes.
o Sistemas dependientes'
o Sistemas inconsistentes.
Análisis de la información
a Eventos mutuamente
excluyentes.
O Probab¡lidad de ocurrencia.
Activación del pensam¡ento.
Evaluación del quinto
nventor del Cálculo I
que comprende el
Cálculo Diferencial e lntegral.
Formuló la Ley de la
Gravitación Universal y
las tres leyes del movimiento.
ISAAC NEWTON AYSCOUGH
Transformaciones:
a Traslación.
a Rotación.
a Simetría axial.
o Simetría central.
o Reflexión respecto a dos ejes
paralelos.
o Reflexión respecto a dos ejes
perpendiculares.
Significado y uso de las
literales.
a Sistemas de ecuaciones
lineales.
o n létodo de sustitución.
e Método de reducción.
a Resolución de Problemas.
142

141. numenco
uso de las literales
1. Comprueba s¡ las ecuaciones son equivalentes.
valores: x=3, y=J
2(31 +1=7 3-2{11 =l
6+'l=7 3- 2=1
7=7 1= 1
Las ecuaciones son equivatentes
2x+y =7
valores: x=1, y=5
-9x+3y= 5
valores: x=2, y=-3
2x+3y=-5x-5y=17
valores: x=-1, y=6
4x-y=-1¡-5x+2Y=14
valores:x=-4, y=1
3x+4y=-gx-7Y=-'11
valores: x=5, y=-Z
5x+y=16
ciones se llama solución del sistema.
Un sistema de ecuaciones puede tener una sola solución, una infi_
nidad de soluciones, o no tener ninguna solución, dependiendo de
si las rectas que representan a las ecuaciones se cortan, coinciden
en una sola recta o son oaralelas-
143

142. ODOS DE RESOLUCION DE
METODO DE SUSTITUCION
f) 2x+y=7
2l 2x- Y=1
b) t) x+
2) -x+3y=17
Sentido numérico
en una vanaDle en una
y susütu¡r esta expres¡ónresultante en la otra ecuación:
zx+ y=ü
3x-2y=5
la variable y enla ecuación (l)
2x+y=3
fJ=jlE'Tl
Sustituimos el valor de y en la ecuación (2)
f,')'=5
3x-2(8-2x)-- 5
3x-16+4x=5
7x-16=5
7x=5+16
7x=21
*=t
I .=31
r Sust¡fu¡moa este valor
Y= 8-2x
y= 8- 2(S)
Y = 8-6
t r/= ,l
Siqnificadouso de las literales
La solución del sistema es:
x=3 y=2
Realizamos la comprobación :
En (r)
2x+y=g
2(3)+2=6
6 +2=3
8=8
En (2)
3x-2Y=5
3(3)-2(2)=5
9-4=5
5 =5
144

143. x+y=
x- y=
5x+2Y=9
3x+ y= 5
2x-Y =1
x+y=5
x' Y =
3
2x+lY =
12
x+ y =4
2x-3Y = 3
145

144. Sentido numérico y pensamientov ;Significado y uso de las literales
3x-2Y= -9
x +y= -8
5x+3Y= ll
4x+2Y= 6
k) 2x+ y= 7
3x +2Y =
12
-3x+2y=
2x' 2Y =
2
-4
m)6x-5Y=
2x +4Y=
8
14
n)4x-3Y = -2
2x+ 2y =
-8
146

145. Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los nrlmeros
METODO DE REDUCC!ÓN
Este método consiste en á
una sustracción.
2x+y =7
2x- Y=1
E,l valor de x es 2, para obtener el vator de y,
sustituimos el valor de x.en cualquiera
de las dos ecuaciones:
11 2x+ y
=7
2(2) +y
=7
4+Y=7
y=7-4
rFr
La solución del sistema
2x-y
=
1
2(21-y
= 1
4-Y
=1
'y =1-4
-y = -3
x=
('l) -y = -e t-ll
fT+] "
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por er método de reducción.
2x+ y =7
2x- v=1
4x 0=8
4x=8
,=3
4x+ 5Y =
2'1
-4x+8Y=-6
3x+ 2y =23
2x-2y = 2
2x- 4Y = -2
3x + 4y= 't'7
x+2y= 8
x+3y= 17

146. uso de las literalee
qlfl
2t
3x+§Y=17
3x+ 2y = 11
Per¡ restar ¡e cambla
flsigno al sustraendo:
[ecuación No.2]
Sust¡tuimos
Él vElor cto y
3x+5y-17
3x +5(t)= 17
3x+ 5 -17
3x
3x
+5y= 17
3x= 17-5
3x=12
x=I3
I x= 4
I
La solución del slstema es:
ffi
v=t
l02x+ 3y =23
2x + y=13
g,
5x + 4Y =zZ
'x+4Y=10
h)3x-4Y= 5
3x+ Y=
16
2x-3Y=-g
5x- 3Y= 7
3x+ y= 9
3x +4y
= l8
148

147. Sentido numérióo uao oo raa lfterelos
k) f) 4x-3Y= $
21 3x+2Y=13
5x-2Y='3
.2x - Y=-6
sust¡tuimos el valor de x
,2(4x-
3y)
= 2(6)
-
3(3x + 2y)
= 3(13)
8x-6y= 12
9x+6v= 39
17x 0=51
4(3)-3y=5
12- 3Y=§
- 3Y=6-12
' 3Y ='6
G1) ¡y=l-11-12
17¡ =
5l
x
=éL,
17
I x= 3 I
3Y-12
u=til,3
x=3 v=2
.3x-3Y=-19
4x -GY= 14
2x+ 4Y =26
4x- 2Y = lg
3x+ y=-9
4x-3Y= 1
x-2Y = 19
4x+4y= 4
149

148. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
al En un comat se t,"n"n *
fu
faisanes y cuántos conejos
"e
tí"n"níl piouie,ni crr¡no, zoo ánL";:l6i-'
«re
rz--
\A:ú
b) Se tienen $ 1500 en 19 billetes de $ 50 y $ lOO. ¿Cuántos biiletes son de $ S0 y cuántos
billetes son de $ 100?
c) Encontrar dos números cuya suma sea +9 y su difereñcñláá
Dos ángulos suplementarios suman lgO.. Sila diferencia de los ángulos es de 90o,
¿Cuánto mide cada ángulo?
uso de las
150

149. ¿Cuántos
É.
^E\
$4ffi
É.^ñ\
ffiSrEt
,t t------a
ffiffi
Sentido numérico v uso de las literales
e) Una fábrica de automóviles produce mensualmente 625 unidades, ( estándar y
automático ) ; la diferencia entre autos estándar y automático es de 55 unidades.
autos de cada tipo se producen en un mes?
f) La suma de dos números es de 75, y su diferencia es 34.8, ¿ Cuáles son esos números?
g) Un barco navega con una trayectoria de 4x + 3y = 11, otro barco navega con una
trayector¡a de 2x - 3y = 19.
¿En
qué punto del plano se encontrarán tos dos barcos?
h) El perímetro de un terreno rectangular es de 70 m. El triple del largo menos el doble del
. ancho es ¡gual a 30 m. ¿ cuáles son las dimensiones de! terreno?
151

150. Sentido numérico y pensamlento algebraico Significado y uso de las literales
El triple de la suma de doe números es 36. El doble del primer número sumado con el
del segundo número es ¡gual a 29, ¿Cuáles son esos dos números?
r) Kerla pagó $ 30 por una pasta de drentes v aoá¡@
dientes y tres jabones por $ 54. ¿Cuánto cuesta cada jabón y cada pasta?
cuestan $132. S¡ete refrescos y seis tortas cuestan
$ l57.
es el precio de una tolta y un refresco?
I) Se venden bicicletas ytriciclos. Jorge le pregunta a Raúl: ¿Cuántas bicicletas y cuántos
triciclos hay, si en total conté 50 pedales y 64 ruedas?
152

151. numenco nificadouso de las literales
m) un par qe zapatos y un suéter cuestan $ 565, si los zapatos cuestan $
g5
más que e!
suéter, ¿Guánto cuestan los zapatos?
ffi
¡=%:-
v2
n) En una función de teatro escolar se vendieron unosag30yotrosa
¿Cuántos boletos se vendieron de cada precio si el total de la venta fue de $ 3 500?
o) un granjero vendió 52 pollos de color blanco y caie en $ I 69s. si recibió $ 30 por cada
pollo blanco y 35 $ por cada pollo café. ¿ Cuántos pollos de cada cotor vendió ?
p) si la diferencia de un número con et triple de oro es 9, y ta suma del primero coñE
doble del segundo es de 19, ¿ Cuáles son esos númeroé?
153

152. TransformacionesFoma, espac¡o y medida
MOVIMIENTO DE FIGURAS
Los movimientos que puede tener una f¡gura en un plano, s¡n que sufra
¡tafarmar:ián son de dos clases: de TRASLACION v de ROTACION.
TRASLACION
Son movimientos de traslación, si todos los puntos de la figura describen
rectas paralelas iguales y del mismo sentido.
Son ejemplos de traslación los deslizamientos de la escuadra o de la regla T.
La siguiente figura representa la traslación del cuadrilátero ABGD hasta Ia
posición A'B'C'D'. A los puntos en que coinciden las figuras se les llama
puntos homólogos.
di rectriz_del m gvLm 1e!tg
_
c
amplitud = 10 cm A'
BB'
Són homólogos los puntos AyA', By B', C yC', Dy D'.
También son homólogos los lados AB y A'B'; BC y B'C'; CD y C'D'; DA y D'A';
yanálogamente son homólogos los ángulos AyA', By B', C yC', Dy D'.
La longitud del segmento que une dos puntos homólogos en la traslación se
le llama AMPLITUD del movimiento.
En la traslación todos los puntos del cuadrilátero ABCD describen trayecto-
torias que son segmentos ¡guales y paralelos entre sí.
154

153. esDac¡o
Escnoe dentro del paréntesis una v s¡ er enunciado es-áraaaero, o u¡áTli
el enunciado es falcrr
aEn
una traslac¡ón, todos los puntos de la figura móvil describen trayectoraas
,gye
s:.n segmentos rectilineos iguales, paralelos entre si y paralelos a la
a) ¿Cuánto mide la amplitud
del movimiento?
c) Son homólogos los puntos:
Ay
-
By
-e) Son homólogos los ángutos:
Ay
By
Gualquiera de las trayectorias puede servir como directriz det movimiento.
)
si oos fisyra¡,. EFG y E'F'G', coinciden mediante una traslación, a ros puntos
r en que coincjden se les llama puntos hgmólogos o correspondientes.
)fl;i:,:',:Íili#¿,H:"
recta no parateta a ra direcrriz se conserva pararera a
)?-o:l:_",F,=',.ituadas
en un.mismo plano, son paratetas si pueden hacerse
, cornctotr mediante un movimiento de traslación.
l. Realiza el trazo de ra trasración de acuerdo a ras indicaciones y anota ro que se p¡de,
K
b) ¿Cuánto mide la directriz
del movimiento?
d) Son homótogos los lados:
ABv
Bcy_
f) ¿Cómo son entre sí las posiciones
de cada parde lados homólogos?
c
155

154. y medida Transformaciones
Son movimientos de rotación, si todos los puntos de la figura describen
arcos concéntricos. de- igual número de grados alrededor de un mismo
centro.
Si se hace girar un segmento cualquiera OA en torno de uno de s-É-"
extremos una vuelta completa, el segmento determinará e¡ el plano un
círculo.
El segmento es el radio del círculo' El extremo fij-o es el centro del círculo' El
extremo libre del segmento engendra una circunferencia'
La figura siguiente representa la rotación del triángulo ABC hasta la posición
I
I
I
En la de l80o los puntos homólogos se encuentran a igual
distancia del centro O y alineados en una recta que pasa por dicho
centro.
Son homólogos los puntos AyA', B y B', C y C'.
También son homólogos los lados AB y A'B'; BC y B'C'; CA y C'A'.
Análogamente son homólogos los ángulos A y A', B y B', C y C'.
ROTACIÓN
156

155. Escribe dentro del paréntesis una v s¡ er enr¡nc¡a¿o es verdádáro, oIña F §
Al movimiento que se ejecuta en et plano, alrededor de un punto fijo, se Ie
llama movimiento de rotación central, el punto fijo es el centro de rotación.
')
Los puntos de la figura móvil recorren arcos de circunferencia cuyo centro
es el mismo centro de rotación.
si un rectángulo reariza una rotación de 360o tomando como eje uno de sus
lados genera un cilindro,
(
Los elementos de ambas posiciones, inicial y final, que coinciden meaiante
el movimiento, se llaman homólogos o correépondientes.
(
si un-triángulo rectánguro reariza una rotación de 360" tomando como eje
uno de sus catetos, genera un cono.
Dos puntos homólogos cuaresquiera están a iguar distancia der centro de
rotación.
(
Si un círculo realiza una rotación
genera una esfera.
de 360" tomando como eje un diámetro,(
L Completa el trazo de la rotación y contesta lo que se pide.
»,.4'
e
a) ¿De cuántos grados es la rotación
del cuadrilátero?
b) ¿Cómo es la distancia de los pun-
tos homólogos al centro O?
c) Son homólogos los puntos:
Ey _
Fy
-
d) ¿Son homólogos los lados:
EF y-
FGv
GH v-
HE y-_
e) Son homólogos los ángulos: f) ¿Cómo son entre si las posiciones
de cada par de lados homólogos?
Forma, medida
Transformaciones
157

156. real. respecto a la superficae del lago.
Forma, espaciomedida Transformaciones
SIMETRIA AX¡AL
figura se ve refle¡ada en el lago, la imagen es simétrica al objeto
de simetria
Si se tienen dos figuras simétricas con respecto a un eje, dos puntos
simétricos cualesquiera quedarán a igual distancia del eje y sobre una
perpendicular a é1.
Son simétricos los puntos AyA'; By B'; CyC'; Dy D'.
También son simétricos los lados AB y A'B'; BC y B'C'; CD y C'D'; DA y D'A .
Análogamente son simétricos los ángulos AyA'; B y B'; C y C'; D y D'.
En la simetría axial (relativo a un eje) cada uno de dos elementos (puntos,
segmentos o ángulos) simétricos es la reflexión o imagen del otro respecto a
una recta llamada eie de simetría.
158

157. Forma, espacio y medida
T¡ansformaciones
L Ubica los puntos simétricos de A, B, Cm
recta MN.
. I raza los segmenros stmetncos de AB, CD, EF, GH, lJ y KL, respecto a
recta PQ.
figuras simétricas de tas figuras ¡nA¡caOas¡especto a lá
159

158. SIMETRIA CENTRAL
Foma, y medida Transformaciones
Las siguientes parejas de figuras son simétricas con respecto a un punto.
Ejemplos:
Dos puntos simétricos con
respecto a un punto dado.
Ar
\
\
t
O--...
\
\
\
Dos segmentos simétr¡cos con
respecto a un punto dado,
B
/ \g/'''
-ttt
-t-
--\
AA'
Dos figuras simétricas con
respecto a un punto dado.
Son simétricos los puntos AyA'; B y B'; C y C'; D y D'.
También son simétricos los lados AB y A'B'; BC y B'C'; CD y C'D'; DA y D'A'.
Análogamente son simétricos los ángulos AyA'; B y B'; C yC'; Dy D'.
Dos figuras son simétricas con réspecto a un centro de simetria, cuando a
cada uno de los puntos de la primera le corresponde, en la segunda figura,
otro punto simétrico con respecto a dicho centro.
160

159. 1, T¡aza los elementos simétricos que se piden en cada caso.
a) Encuentra el punto simétrico
-
del punto A con respecto a O.
¡ A.
b) Ubica el centro de simetría de
lospuntosCyD.
a
o a
c
a
D
c) Construye el segmento simé-
trico de EF con respecto al
punto O.
EF'
o
a
d) Traza el segmento simétrico
de PQ con respecto al punto O.
f) Construye la figura simétrica de
DEFG con respecto a O.
e) Traza la figura simétr¡ca de
KLM con respecto a O.
r61

160. REFLEXION RESPECTO A DOS EJES PARALELOS
¿A
qué equivale una doble simetria axial de e¡es paralelos?
¿Cómo son Ios ejes de simetría?
¿Cómo son los triángulos ABC y A'B'C'?
¿Cómo son los triángulos ABC y A"B"C"?
c"
La doble simetría axial de eies paralelos equivale a:
En la traslación todos los Puntosdel triángulo ABC describen trayectorias
que son segmentos rectilíneos
entre sí,
162

161. REFLEXIÓN RESPECTO A DOS EJES PERPENDICULARES
¿A
qué equivale una doble simetría axial de ejes perpendiculares?
N
---t--
I
c'
--------.1---4---
¡l
!t¡
Pl,
I
i ¡B"
I
¿Cómo son los ejes de simetría?
M
¿Cómo son los triángulos ABC y A,B,C,?
a
I
¿Cómo son los triángulos ABC y A,'8"6,'?_
Art
,'11'
\
tr t..
\
1\
r\
\,\
t - i- -----
1\
/\
t.
\
\
t[ '. \
B
-"--".
t I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
\
.- I
'-."LQ
I
\'.,--'{8"i ...
,
La doble simetría de ejes perpendiculares equivale a:
'./
Una rotación de 180. equivale a una central.
163

162. Realiza el trazo de la doble simetría axial como se indica.
Con ejes paralelos:
b) Con ejes perpendiculares:
164

163. de Ia información
SISTEMAS CONSISTENTES
con dos incógnitas.
un $sErm¿ de dos ecuaciones de pnmer
Represenación gráfica
¡ l)x+Y=1P
2)x-Y =2
Pa¡a enconuar la solución, tracemos la represenución gráfica dc
las dos ecuaciones.
l)x+y=lo 2)x-y=),
y= 10-x x-2=t
y =x-2
Observa que el puno donde se cortan la.!l
rectas es (6, 4)
1)x+y=19
6+4=10
2)x-y =2
6-4=2
un soE &acbn: x - 6, y
= 4 se cl te qJe
es COútPATlBLE o lN DEIENDI ENTE.
Tabulación
x
3 7
4 6
5 5
6 4
7 3
x Y
3 I
4 2
5 1
6 4
7 5
l) Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
\
l)2x+Y=3
2)4x-y =4
De(1)y=3-2¡
y=
y=
De (2)
y=
y=
Ias rectas que reresentan lqs ecuaciones (l) y (2) se cortan en el puno
x v
I
2
3
x v
0
I
2
3
I-a solución es:
f65

164. tanólo dc la Información
SISTEMAS DEPENDIENTES
Tl¡cm la rtprescntación
cnonurr l¡ soh¡ción:
1) x+ y = 9
2)2x+2Y =
18
De(l)y=P-¡
Y =9- 1=8
! =9 -2=7
y
=9 -3 --6
r,-a)y=!*
18-2(O tE-12 6
-___a
'- z - 2 -2-"
t8 -2ll lt - 14 4
----i--a
t-
z - 2 -2-'
18-2(8) 18- 16 2
,- z ' z -2-'
En esrc caso las dos rectas se intcrsecan en tdos sus pl¡ntos.
en donde cada punto es solu-
ción del sistema.
un sistentá de ñ)aciitlP-s tiene un ñlmetu ¡ntinito de
es fama& Slslema lnds¡em¡nado ó OoFnd¡or¡to.
1) Rcsuelve gráñcamcntc cl siguienrc sistcm¡ dc ccuacioncs.
l)2x'+ZY =6
2) x+ y=3
De(1)y=-A
y=
y=
De(2)y=1,-¡
y=
y=
y=
I.os puntos que rc'prre.senan
!¡s.
ccuacimes (l) y (2) quedan rep,resentadas en-.._ en donde
cada
-
es solució¡r del sis¡em¡.
x v
-l
-2
-3
4
x v
4
5
6
7

165. S¡STEMAS INCONSISTENTES
¿ sistema€¡ de
hra contestar a esta prcgunt& E¡cemos la rrprcsentación gráñca dcl siguiena siseo¡:
l)2x+Y=6 I
2)2x+y =9
y=6-2(l)
=6-2=4
y = 6-2Q) =6-4=z
y=6_2(3)=6_6=0
y
= 6-2(4) =6-8= -Z
Obcerrra que la
gráfica resultó con
dos rectas paralelas.
En esE caso no
existe un puno dc
intcrsección quc
dotermine la
s0lución al sisbma-
De(2)y =§ -2¡
y=9-2(l) =9-2=7
y=9-2Q)=9-4=s
y =9
_2(3)
=9
_
6 =3
y=9-2(4)=9-8=l
1)2x-
Y = -7
2)2x -Y
=
-Z
De(1)y=f,a47
y=
y=
De (2)Y =)aa3
y=
y=
Observa que la gráfica rcsultó con
En e$e caso no existc un-- de inersección que detcrmine la
x
I 7
2 5
J 3
4 1
x J
-t
-2
-j
4
x v
-1
J
-j
4
Cuan& un s¡stema de ec¿,aciones no üene stuc¡ón es itanw
lncons¡stente o lnoompatible. n
l) Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
de la información
Representación de !a lnfomación
167

166. Manejo de la información Anál¡sis de la información
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, s¡ al ocurrir uno de los
eventos , excluye que ocurra e! otro.
Para determinar la forma en que se puede calcular !a probabilidad de ocu-
rrencia del evento A o del evento B, procedemos de la siguiente forma:
En una caja se tienen 4 canicas azules, 3 canicas verdes y 2
canicas blancas. Encuentra la probabilidad de que al sacar
una canica al aza¡:
a) Se obtenga una canica azul.
b) Se obtenga una canica blanca.
c) Se obtenga una canica azul o una canica blanca.
a) Como 4 de las 9 canicas son azules,
la probabilidad del evento A es :
Á
P(A)=-6.
b) Puesto que 2 de las 9 canicas son blancas,
la probabilidad del evento B es:
,
PIB)=-:-
I
c) Y como 6 de las 9 canicas son azules o blancas,
la probabilidad del evento C es:
P(c¡=+.
+
= +=+
168

167. Manejo de la información
Análisis de la información
1. La ca¡a contiene 2 fichas verdes, 3 fichas Olanéái y t frctra rolla.
a) ¿guat es la probabit¡dad de que al sacar
al azar una ficha sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar
al azar una ficha sea verde?
c, ¿Guál es !a probabilidad de que al sacar
al azar una ficha sea blarica o verde?
d) ¿Cuál es la probabilidad de qué alsacar
al azar una ficha sea blanca o roja?
2, Considera el experimento de lanzar un dado:
a) ¿Cuál es la probab¡l¡dad de que salga
un número par?
b) ¿Guál es la probabirldad de que saE6
un número impar?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga
un número par o impar?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que salga
un número par o menor que tres?
3. En et jueso det dominó son 28 fichas .on ,"
""."III[I
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la
ficha (5, 4) o la ficha (6, 3)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la
ficha (1, 1) o la ficha (3,2)?
4. En un volado ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un águ¡la o un sol?
169

168. PROBAB¡LIDAD DE OGURRENCIA
Para obtener la probabilidad de ocurrencia los eventos deben ser independientes,
es decir; la ocurrencia de uno no debe afectar la ocurrencia del otro. Ejemplos:
l. Al lanzar una moneda y un dado, los eventos posibles son:
(a, l), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6)
(s, l), (s, 2), (s, 3), (s, 4), (s, 5), (s, 6)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un cinco?
Los posibles eventos son 12 y sólo uno (a, 5) es el que se pide:
e1e¡=fr.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga sol y un número
menor que cuatro?
Como los posibles eventos son 12 y solamente (s, 1), (s, 2),
(s, 3) son los que se piden:
P Et=+=L
2' se lanzan simurtáneamente un par de dados, ros eventos posibles son:
\!, 1t,,
(, 2), (1, 3), (.1, 41, (1,5), (1, 6)
l?, l!, \?,
21, (2, 3l,, (2, 41, (2, Si, iZ, ei
(q,
,!1,
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, si, (s, ei
l!, 1!, \!,
2t, (4, 3), 14, 4t,
14, si, i¿, ei
{!,r),
(s,2), (5,3), (5,4), (5, Si, iS, e!
(6, l), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, Si, ie, si
a) ¿Cuál es la probabilidad de.que en et primer dado caiga dos y en
el segundo dado caiga seis?
Los eventos posibles son 36 y sólo uno (2, 6), es el que se pide:
P(E)=4
36
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer dado, caiga un número
menor que 2 y en el segundo dado caiga un número-mayor que 2?
Loseventos posiblesson36ysolamente(i,
3), (1, 4), (f, S), (1, 6)
son los que se piden:
P(E) =?b=-!-
Aná¡isis de la información
170

169. Manejo de la información
CaJcula la probabilidad de ocurrencia en los siguientes problemas.
l. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un
) ¿Cuál es la probabilidad de que caig- sófy un n que
a) ¿Cuál es la probabil¡d
dado caiga el número l?
2, Se lanzan simultáneamente un par de dados:
b) ¿Cuál es la probabilidad de
segundo dado caiga un número menorque 3?
Análisis de la información
171

170. ACTIVACIÓN DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
e¡- cínculo DEL RELoJ
a sua amtqos:
Dividan el círculo del reloj en seig partes, de tal modo que en cada
parte, la suma de Ios nÚmeros sea Ia misma.
Este problema tiene por objeto comprobar más que tu ingenio,
tu rapidez de comprensión.
CONTANDO EL D¡NERO
n dlnero a sus a su nuo s z5u,
el otro entregó al suyo $ 200. Resultó sin embargo, que ambos hijos
iuntos aumentaron su capital solamente en $ 250.
¿De
qué modo se explica esto?
§J

171. EVALUAcIÓT.I oeI QUINTo BLoQUE
i
PRoFR.
sistemag de ecuaciones
a) 2x+3Y= -g
3x-Y= 1¡
3x+5Y= -4
x+2y= I
2' E I perimetro de un terreno rectangular es de
g0
metros, el doute del largo
menos el triple del ancho es igual a 5 metros. ¿cuáles son tas dimensió-
nes del terréno?
173

172. 3. Realiza Ia traslación de!.cuadrilátero ABCD con una amplitud de movi-
miento de 7 centímetros.
4. Considera el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de
que salga un. número impar o menor que 4?
5. Al lanzar una moneda y un dado, ¿cuát es la probabilidad de que caiga
águila y el número 6?
174