Componentes de un vector

1. Componentes de un vector (posición estándar)

2. La componente de un vector , con un punto inicial P=(p 1 , p 2 ) y punto final Q= (q 1 , q 2 ), está dada por: PQ = < q 1 - p 1, q 2 - p 2 > = < v 1 , v 2 > = v La magnitud de v está dada por II v II = ) 2 =   Componentes de v

3. Determine las componentes y la magnitud del vector V que tiene como punto inicial (4,-7) y punto terminal (-1,5). v 1 = q 1 - p 1 = -1 -4 = -5 v 2 = q 2 - p 2 = 5 – (-7) = 12 Componentes v = < -5, 12 > Magnitud II v II = ) 2 = = 13  

4. Operaciones con vectores Suma PUNTO DE PARTIDA 4M D1 3M D2 ESTE NORTE D1+D2 5M a=(p 1 , p 2 ) y b= (q 1 , q 2 ) a + b = (p 1 + q 1 , p 2 + q 2 )

5. Resta de vectores u u - v u + (-v) v u – v = u + (-v)

6. Sea v= < -2,5 > y w= < 3,4 > determine los vectores A) 2v B) w – v C) v + 2w 1) u + v 2) u – v c) 2u – 3v a) u= < 2,3 > y v= < 4,0 > b) u= < 0,0 > y v= < 2,1 > c) u= i + j v= 2i – 3j d) u= -2i + j v= -i + 2j

7. Vector unitario u = = [ ] observe que “u” es un múltiplo escalar de “v” El vector “u” tiene magnitud 1 y la misma dirección de “v” “u” es entonces el vector unitario en la dirección de v. Los vectores unitarios < 1,0 > y < 0,1 > se denominan vectores unitarios estándar. Y se denotan por i = < 1,0 > y j = < 0, 1> j = < 0, 1 > i = < 1, 0 >  

8. Ejercicios Determine el vector unitario en la dirección de v = < -2, 5 > u = = [ ] = < -2, 5 > < , >  

9. Determine el vector unitario en la dirección del vector dado. 1) u = < 3,0 > 2) u = < 0, -2 > 3) v = < -2, 2 > 4) v = < 5, -12 > 5) v= 6i – 2j 6) v = i + j

10. Determine el vector v con la magnitud dada. Magnitud Dirección 1) II v II = 5 u = < 3, 3 > 2) II v II = 6 u = < -3 , 3 > 3) II v II = 9 u = < 2, 5 >

11. Sea “u” el vector con punto inicial (2,5) y punto terminal (-1, 3) . Escriba “u” como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j. u = < -1- 2 , 3- (-5) > -3i + 8j REALICE: PUNTO INICIAL PUNTO TERMINAL (-3,1 ) (4,5) (0,-2) (3,6) (-1,-5) (2,3) (-6,4) (0,1)

12. Ángulos de dirección x x = cos θ y= sen θ u u = < x, y > = < cos θ , sen θ > = ( cos θ )i + ( sen θ )j θ v = ai + bj = II v II ( cos θ )i + II v II ( sen θ )j Tg θ =   Tg θ =   Tg θ =  

13. Determine la magnitud y el ángulo de dirección del vector v . V = 3( Cos 60⁰ i + Sen 60⁰j) V = 8( Cos 135⁰ i + Sen 135⁰ j ) V = 6i – 6j V = -5i + 4j

14. Producto punto de dos vectores. Este producto produce un escalar, en lugar de un vector. Definición : el producto punto de u = < u 1 , u 2 > y v = < v 1 , v 2 > es u . v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Este valor (escalar) puede ser positivo, cero o negativo.

15. Determine los siguientes producto punto. a) < 4, 5 > . < 2, 3 > < 2, -1 > . < 1,2 > < 0, 3 > . < 4,-2 > Sea u = < -3, 1 > , v = < 2,4 > y w = < 1, -2 > Encuentre : a ) ( u.v ) w b ) u.2v

16. Angulo entre dos vectores θ u v Cos θ = IIuII IIvII Cos θ = u.v  

17. Determine el ángulo entre u = < 4, 3 > y v= < 3, 5 > u = < 1, 0 > y v= < 3, 2 > u = 3i + 4j y v= 2i – 3j

18. Vectores ortogonales Los términos ortogonal y perpendicular significan esencialmente lo mismo, los vectores de intersecan en ángulo recto. Los vectores u y v son ortogonales, si u.v = 0 Ejemplo: examine si u = < 2, -3 > y v= < 6, 4 > u . v = 2(6) + (-3)(4) = 0

19. Definición de componentes vectoriales

20. Proyección de u en v

21. Descomposición de un vector en componentes.