Computação Gráfica: Transformadas Geométricas 2
elainececiliagatto
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Mar 10, 2018
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Transformações geométricas em computação gráfica
Slide Content
TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS Parte 2
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
10/03/2018
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
1
GEOMÉTRICAS Parte 2
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
10/03/2018
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
1
CooordenadasHomogêneas e
Matrizes de Transformação
•Atranslaçãoétratadacomoumasomade
vetores,aescalaearotaçãosãotratadascomo
umamultiplicaçãodeumvetorporumamatriz.
•Paraquesepossacombinarfacilmenteessas
transformações,devemospodertratardomesmo
modotodasas3transformaçõesdeumaforma
consistente.
•AsoluçãoérepresentarospontosPdoespaço
atravésdetrêscoordenadas(coordenadas
homogêneas).
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2
Matrizes de Transformação
•Atranslaçãoétratadacomoumasomade
vetores,aescalaearotaçãosãotratadascomo
umamultiplicaçãodeumvetorporumamatriz.
•Paraquesepossacombinarfacilmenteessas
transformações,devemospodertratardomesmo
modotodasas3transformaçõesdeumaforma
consistente.
•AsoluçãoérepresentarospontosPdoespaço
atravésdetrêscoordenadas(coordenadas
homogêneas).
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CooordenadasHomogêneas e
Matrizes de Transformação
•Afimdepossibilitarmúltiplastransformações
noponto,utilizandocomposiçãodematrizes,
temosquefazercomqueasoperaçõesdas
matrizesdetransformaçãocomospontos
sejamconsistentes–todasdevemser
multiplicativasemrelaçãoàmatrizponto.
•Paraqueasoperaçõespossamser
multiplicativas,estasdevemserconvertidasde
cartesianasparaHOMOGENEAS
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Matrizes de Transformação
•Afimdepossibilitarmúltiplastransformações
noponto,utilizandocomposiçãodematrizes,
temosquefazercomqueasoperaçõesdas
matrizesdetransformaçãocomospontos
sejamconsistentes–todasdevemser
multiplicativasemrelaçãoàmatrizponto.
•Paraqueasoperaçõespossamser
multiplicativas,estasdevemserconvertidasde
cartesianasparaHOMOGENEAS
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CooordenadasHomogêneas e
Matrizes de Transformação
•Doispontosemcoordenadashomogêneas
(x, y, W) e (x’, y’, W’)
•RepresentamomesmopontoSEESOMENTESE
umémúltiplodooutroepelomenosumadas
coordenadashomogêneasdeveserdiferente
dezero
•Acoordenada(0,0,0)nãoépermitida
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Matrizes de Transformação
•Doispontosemcoordenadashomogêneas
(x, y, W) e (x’, y’, W’)
•RepresentamomesmopontoSEESOMENTESE
umémúltiplodooutroepelomenosumadas
coordenadashomogêneasdeveserdiferente
dezero
•Acoordenada(0,0,0)nãoépermitida
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CooordenadasHomogêneas e
Matrizes de Transformação
•Emsuma,umponto2Dpassaatertrês
coordenadasaoinvésdeapenasduas.
•Istopermitequecadapontotenhamuitas
representações
•Wéacoordenadahomogênea.
•HOMEGEIZARsignificadividirporWporxe
y.
•SeWéacoordenadanãozero,podemos
dividir(x,y,W)porela,obtendoomesmo
ponto(x/W,y/W,1).
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Matrizes de Transformação
•Emsuma,umponto2Dpassaatertrês
coordenadasaoinvésdeapenasduas.
•Istopermitequecadapontotenhamuitas
representações
•Wéacoordenadahomogênea.
•HOMEGEIZARsignificadividirporWporxe
y.
•SeWéacoordenadanãozero,podemos
dividir(x,y,W)porela,obtendoomesmo
ponto(x/W,y/W,1).
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5
CooordenadasHomogêneas e
Matrizes de Transformação
•x/Wey/Wsãoascoordenadascartesianas
dopontohomogêneo
•EXEMPLO:P(2,3,5)podeserrepresentadopor
P(2/5,35/,1)
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Matrizes de Transformação
•x/Wey/Wsãoascoordenadascartesianas
dopontohomogêneo
•EXEMPLO:P(2,3,5)podeserrepresentadopor
P(2/5,35/,1)
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TRANSLAÇÃO
•TRANSLAÇÃO:P’=T*P
�′
�′
1
=
10??????�
01??????�
001
∙
�
�
1
•Fazendoamultiplicaçãodamatriztemos:
�′
�′
1
=
1∗�+0∗�+(??????�+1)
0∗�+1∗�+(??????�∗1)
0∗�+0∗�+(1∗1)
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Equação 1
•TRANSLAÇÃO:P’=T*P
�′
�′
1
=
10??????�
01??????�
001
∙
�
�
1
•Fazendoamultiplicaçãodamatriztemos:
�′
�′
1
=
1∗�+0∗�+(??????�+1)
0∗�+1∗�+(??????�∗1)
0∗�+0∗�+(1∗1)
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Equação 1
TRANSLAÇÃO
•Logo:
�′
�′
1
=
�+0+??????�
0+�+??????�
0+0+1
•Portanto:
�′
�′
1
=
�+??????�
�+??????�
1
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•Logo:
�′
�′
1
=
�+0+??????�
0+�+??????�
0+0+1
•Portanto:
�′
�′
1
=
�+??????�
�+??????�
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TRANSLAÇÃO
•Istoé:
�
′
=�+??????�
y
′
=y+dy
w
′
=w
•Logo:
�′
�
=
�
�
+
�??????�
�
=
�
�
+??????�
�′
�
=
�
�
+
�??????�
�
=
�
�
+??????�
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•Istoé:
�
′
=�+??????�
y
′
=y+dy
w
′
=w
•Logo:
�′
�
=
�
�
+
�??????�
�
=
�
�
+??????�
�′
�
=
�
�
+
�??????�
�
=
�
�
+??????�
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TRANSLAÇÃO
•Aequação1podeserrepresentadadaseguinte
forma:
??????
′
=�??????�,??????�∙??????
•Onde:
�(??????�,??????�)=
10??????�
01??????�
001
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•Aequação1podeserrepresentadadaseguinte
forma:
??????
′
=�??????�,??????�∙??????
•Onde:
�(??????�,??????�)=
10??????�
01??????�
001
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TRANSLAÇÃO
•ATRANSLAÇÃOéADITIVA:transladarumobjetoem
(dx1,dy1)unidades,edepoisem(dx2,dy2)
unidades.
•Paratal,multiplicaropontoPpelamatrizde
translaçãoT1edepoispelamatrizdetranslaçãoT2
�=??????�1+??????�2,??????�1+??????�2
??????
′
=�
1??????�1,??????�1∙??????
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙??????′
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(a)
(b)
(c)
•ATRANSLAÇÃOéADITIVA:transladarumobjetoem
(dx1,dy1)unidades,edepoisem(dx2,dy2)
unidades.
•Paratal,multiplicaropontoPpelamatrizde
translaçãoT1edepoispelamatrizdetranslaçãoT2
�=??????�1+??????�2,??????�1+??????�2
??????
′
=�
1??????�1,??????�1∙??????
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙??????′
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(a)
(b)
(c)
TRANSLAÇÃO
•SubstituindoP’emP’’:
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙??????
′
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙�
1??????�1,??????�1∙??????
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙�
1??????�1,??????�1∙??????
•Asmatrizescorrespondentessão:
�1??????�1,??????�1=
10??????�1
01??????�1
001
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•SubstituindoP’emP’’:
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙??????
′
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙�
1??????�1,??????�1∙??????
??????
′′
=�
2??????�2,??????�2∙�
1??????�1,??????�1∙??????
•Asmatrizescorrespondentessão:
�1??????�1,??????�1=
10??????�1
01??????�1
001
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TRANSLAÇÃO
�2??????�2??????�2=
10??????�2
01??????�2
001
�1∗�2=
10??????�1
01??????�1
001
∙
10??????�2
01??????�2
001
�1∗�2=
1∗1+0∗0+(??????�1∗0) 1∗0+0∗1+(0∗0) 1∗??????�2+0∗??????�2+(??????�1∗1)
0∗1+1∗0+??????�1∗0 0∗0+1∗1+??????�1∗0 0∗??????�2+1∗??????�2+??????�1∗1
0∗1+0∗0+(1∗0) 0∗0+0∗1+1∗0 0∗??????�2+0∗??????�2+1∗1
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�2??????�2??????�2=
10??????�2
01??????�2
001
�1∗�2=
10??????�1
01??????�1
001
∙
10??????�2
01??????�2
001
�1∗�2=
1∗1+0∗0+(??????�1∗0) 1∗0+0∗1+(0∗0) 1∗??????�2+0∗??????�2+(??????�1∗1)
0∗1+1∗0+??????�1∗0 0∗0+1∗1+??????�1∗0 0∗??????�2+1∗??????�2+??????�1∗1
0∗1+0∗0+(1∗0) 0∗0+0∗1+1∗0 0∗??????�2+0∗??????�2+1∗1
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TRANSLAÇÃO
�1∗�2=
1+0+(0) 0+0+(0) ??????�2+0+(??????�1)
0+0+0 0+1+0 0+??????�2+??????�1
1+0+(0) 0+0+0 0+0+1
??????�∗??????�=
��??????��+??????��
��??????��+??????��
���
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Isto é o que chamados de TRANSFORMAÇÃO DE COMPOSIÇÃO!
�1∗�2=
1+0+(0) 0+0+(0) ??????�2+0+(??????�1)
0+0+0 0+1+0 0+??????�2+??????�1
1+0+(0) 0+0+0 0+0+1
??????�∗??????�=
��??????��+??????��
��??????��+??????��
���
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Isto é o que chamados de TRANSFORMAÇÃO DE COMPOSIÇÃO!
ESCALA
�=
??????�00
0??????�0
001
??????
′
=�∗??????
�′
�′
1
=
??????�00
0??????�0
001
∗
�
�
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�=
??????�00
0??????�0
001
??????
′
=�∗??????
�′
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=
??????�00
0??????�0
001
∗
�
�
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ESCALA
�′
�′
1
=
??????�∗�+0∗�+(0∗1)
0∗�+??????�∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
�′
�′
1
=
??????�∗�+0+(0)
0+??????�∗�+0
0+0+1
�′
�′
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=
??????�∗�
??????�∗�
1
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�′
�′
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=
??????�∗�+0∗�+(0∗1)
0∗�+??????�∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
�′
�′
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=
??????�∗�+0+(0)
0+??????�∗�+0
0+0+1
�′
�′
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=
??????�∗�
??????�∗�
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ESCALA
�
′
=??????�∗�
�
′
=??????�∗�
�
′
=�
FAZENDOUMACOMPOSIÇÃODEESCALA:
??????
′
=�??????�1,??????�1∙??????
??????′
′
=�??????�2,??????�2∙??????
′
??????′
′
=�??????�2,??????�2∙[�??????�1,??????�1∙??????]
′
??????′
′
=[�(??????�2,??????�2)∙�(??????�1,??????�1)]∙??????
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�
′
=??????�∗�
�
′
=??????�∗�
�
′
=�
FAZENDOUMACOMPOSIÇÃODEESCALA:
??????
′
=�??????�1,??????�1∙??????
??????′
′
=�??????�2,??????�2∙??????
′
??????′
′
=�??????�2,??????�2∙[�??????�1,??????�1∙??????]
′
??????′
′
=[�(??????�2,??????�2)∙�(??????�1,??????�1)]∙??????
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ESCALA
EMTERMOSMATRICIAIS:
??????�200
0??????�20
0 01
∙
??????�100
0??????�10
0 01
=
[??????�2∗??????�1+0∗0+0∗0][??????�2+0+0∗??????�1+0∗0][??????�2∗0+0∗0+0∗1]
[0∗??????�1+??????�2∗0+0∗0][0∗0+??????�2∗??????�1+0∗0][0∗0+??????�2∗0+0∗1]
[0∗??????�1+0∗0+1∗0][0∗0+0∗??????�1+1∗0][1∗0+1∗0+1∗1]
=
[??????�2∗??????�1+0+0] [0+0+0] [0+0+0]
[0+0+0] [0+??????�2∗??????�1+0][0+0+0]
[0+0+0] [0+0+0] [0+0+1]
=
??????��∗??????����
�??????��∗??????���
���
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EMTERMOSMATRICIAIS:
??????�200
0??????�20
0 01
∙
??????�100
0??????�10
0 01
=
[??????�2∗??????�1+0∗0+0∗0][??????�2+0+0∗??????�1+0∗0][??????�2∗0+0∗0+0∗1]
[0∗??????�1+??????�2∗0+0∗0][0∗0+??????�2∗??????�1+0∗0][0∗0+??????�2∗0+0∗1]
[0∗??????�1+0∗0+1∗0][0∗0+0∗??????�1+1∗0][1∗0+1∗0+1∗1]
=
[??????�2∗??????�1+0+0] [0+0+0] [0+0+0]
[0+0+0] [0+??????�2∗??????�1+0][0+0+0]
[0+0+0] [0+0+0] [0+0+1]
=
??????��∗??????����
�??????��∗??????���
���
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ROTAÇÃO
??????
′
=�.??????
�′
�′
1
=
cos??????−sin??????0
sin??????cos??????0
0 0 1
∙
�
�
1
=
�′
�′
1
=
cos??????∗�+−sin??????∗�+0∗1
sin??????∗�+cos??????∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
=
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??????
′
=�.??????
�′
�′
1
=
cos??????−sin??????0
sin??????cos??????0
0 0 1
∙
�
�
1
=
�′
�′
1
=
cos??????∗�+−sin??????∗�+0∗1
sin??????∗�+cos??????∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
=
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ROTAÇÃO
�′
�′
1
=
cos??????∗�+−sin??????∗�+0
sin??????∗�+cos??????∗�+0
0+0+1
=
�′
�′
1
=
cos??????∗�−sin??????∗�
sin??????∗�+cos??????∗�
1
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�′
�′
1
=
cos??????∗�+−sin??????∗�+0
sin??????∗�+cos??????∗�+0
0+0+1
=
�′
�′
1
=
cos??????∗�−sin??????∗�
sin??????∗�+cos??????∗�
1
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ROTAÇÃO
PORTANTO:
�
′
=cos??????�−sin??????�
�
′
=sin??????�+cos??????�
�
′
=�
�
′
=cos??????
�
�
−sin??????
�
�
�
′
=sin??????
�
�
+cos??????
�
�
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PORTANTO:
�
′
=cos??????�−sin??????�
�
′
=sin??????�+cos??????�
�
′
=�
�
′
=cos??????
�
�
−sin??????
�
�
�
′
=sin??????
�
�
+cos??????
�
�
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CISALHAMENTO
??????
′
=�??????∗??????
�′
�′
1
=
1??????ℎ�0
??????ℎ�10
0 01
∗
�
�
1
=
�′
�′
1
=
1∗�+??????ℎ�∗�+0∗1
??????ℎ�∗�+1∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
=
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??????
′
=�??????∗??????
�′
�′
1
=
1??????ℎ�0
??????ℎ�10
0 01
∗
�
�
1
=
�′
�′
1
=
1∗�+??????ℎ�∗�+0∗1
??????ℎ�∗�+1∗�+0∗1
0∗�+0∗�+1∗1
=
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CISALHAMENTO
�′
�′
1
=
�+??????ℎ�+0
??????ℎ�+�+0
0+0+1
=
�′
�′
1
=
�+??????ℎ�
??????ℎ�+�
1
�
′
=�+??????ℎ∗�
�
′
=??????ℎ∗�+�
��
′
=�
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�′
�′
1
=
�+??????ℎ�+0
??????ℎ�+�+0
0+0+1
=
�′
�′
1
=
�+??????ℎ�
??????ℎ�+�
1
�
′
=�+??????ℎ∗�
�
′
=??????ℎ∗�+�
��
′
=�
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ESPELHAMENTO
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OBSERVAÇÕES
•Umasequenciaarbitráriaderotações,
translaçõeseescalas,sãochamadasde
transformaçõesafins.
•AsTransformaçõesAfinspreservam
paralelismodelinhas,masnãocomprimentose
ângulos.
•MultiplicaçãodeMatrizesnãoécomutativa
•Ordemdasoperaçõesinfluenciadiretamente
•Rotaçãoseguidadetranslaçãoémuito
diferentedetranslaçãoseguidaderotação.
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•Umasequenciaarbitráriaderotações,
translaçõeseescalas,sãochamadasde
transformaçõesafins.
•AsTransformaçõesAfinspreservam
paralelismodelinhas,masnãocomprimentose
ângulos.
•MultiplicaçãodeMatrizesnãoécomutativa
•Ordemdasoperaçõesinfluenciadiretamente
•Rotaçãoseguidadetranslaçãoémuito
diferentedetranslaçãoseguidaderotação.
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