Concepto: Límite, notación, límites laterales y existencia

Cálculo Diferencial, se abordarán el concepto del límite de forma informal, para establecer la notación y la existencia del límite cuando sus límites laterales son iguales.

1. Unidad de Aprendizaje II Límites y Derivación Bloque Temático VI Concepto Límite y Notación Límites laterales Existencia del Límite Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez

2. Apertura: Evaluación Diagnóstica Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque temático.

3. APERTURA: Evaluación Diagnóstica Si , hallar: Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: 5 Trace la gráfica de la función, donde se observen las intersecciones de x, es decir cuando  

4. Competencia Específica Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

5. Introducción Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la compresión de q ué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos.

6. Idea intuitiva del límite Sea la función definida por la ecuación para toda Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2   X f(x) 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 X f(x) 2.75 2.5 2.25 2.1 2.01 2.001 2.0001

7. Idea intuitiva del límite De la gráfica puede observarse que, aunque la función no esta definida para , cuando x toma valores muy cercano a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:  

8. Definición 1 Escriba Que se expresa como: “el límite de cuando tiende , es igual a ” Si podemos acercar arbitrariamente los valores de a (tanto como desee) escogiendo una lo bastante cerca de , pero no igual a  

9. Definición 2 Definición informal Si puede hacerse arbitrariamente próximo al número al tomar suficientemente cerca de, pero diferente de un número , por la izquierda y por la derecha de , entonces el límite de cuando tiende a a es .  

10. Notación El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha representa la palabra tiende , entonces el simbolismo Indica que x tiende al número a por la izquierda Significa que x tiende a a por la derecha  

11. Límites Laterales

12. Límites por dos lados Si tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y tienen un valor común. Entonces:  

13. Existencia o no existencia La existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a , no depende de si f está definida en a , sino sólo de si está definida para x cerca del número a . Por ejemplo : Se observa aunque  

14. Límite no existe En general, el límite por los lados no existe cuando: Caso 1: Si alguno de los dos límites laterales o no existe. Caso 2: Si y , pero  

15. Actividad Determinar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función g, que se da a continuación:

16. Actividad La gráfica de la función definida por partes   1.9 1.99 1.999 1.9 1.99 1.999 2.1 2.01 2.001 2.1 2.01 2.001

17. Actividad La gráfica de la función definida por partes   4.9 4.99 4.999 4.9 4.99 4.999 5.1 5.01 5.001 5.1 5.01 5.001

18. Actividad Una forma indeterminada Se concluye:  

19. Actividad Un límite trigonométrico importante Se concluye:   ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 0.1 0.01 0.001 0.1 0.01 0.001

20. Actividad Un límite por la derecha Se concluye:   ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 0.1 0.01 0.001 0.1 0.01 0.001

21. Actividad Límite trigonométrico Se concluye:   ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001 0.1 0.01 0.001 0.1 0.01 0.001