Conceptos Básicos de Matemáticas

Presentación de la Unidad 2 de Matemáticas
Elaborado por Eliana Rivas, Sección CO0401

1. Conceptos
Básicos de
Matemáticas
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA
Elaborado por: Eliana Rivas
Sección: CO0401

2. OperacionesconConjuntos
Lasoperacionesconconjuntostambiénconocidascomoálgebrade
conjuntos,nospermitenrealizaroperacionessobrelosconjuntos
paraobtenerotroconjunto.Delasoperacionesconconjuntos
veremoslassiguientesunión,intersección,diferencia,diferencia
simétricaycomplemento.
Eslaoperaciónquenospermiteunirdosomásconjuntosparaformarotroconjunto
quecontendráatodosloselementosquequeremosunirperosinqueserepitan.Es
decirdadounconjuntoAyunconjuntoB,launióndelosconjuntosAyBseráotro
conjuntoformadoportodosloselementosdeA,contodosloselementosdeBsin
repetirningúnelemento.Elsímboloqueseusaparaindicarlaoperacióndeuniónes
elsiguiente:∪.CuandousamosdiagramasdeVenn,pararepresentarlaunióde
conjuntos,sesombreanlosconjuntosqueseunenoseformaunonuevo.Luegose
escribeporfueralaoperacióndeunión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Concepto
Unión o
Reunión de
conjuntos

3. Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F=
{x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B= {x/x
estudiantes que juegan
básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que
juegan fútbol o básquet}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados los dos conjuntos
A={3, 5, 6, 7} y B={unión
será AUB={3,5,6,7}. Usando
diagramas de Venn se
tendría
Eslaoperaciónquenospermiteformarunconjunto,sóloconloselementoscomunesinvolucradosenla
operación.EsdecirdadosdosconjuntosAyB,ladeinterseccióndelosconjuntosAyB,estaráformado
porloselementosdeAyloselementosdeBqueseancomunes,loselementosnocomunesAyB,será
excluidos.Elsímboloqueseusaparaindicarlaoperacióndeinterseccióneselsiguiente:∩.
Intersección de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F=
{x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B= {x/x
estudiantes que juegan
básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que
juegan fútbol o básquet}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:

4. Eslaoperaciónquenospermiteformarun
conjunto,endondededosconjuntoselconjunto
resultanteeselquetendrátodosloselementos
quepertenecenalprimeroperonoalsegundo.Es
decirdadosdosconjuntosAyB,ladiferenciadelos
conjuntosentraAyB,estaráformadoportodoslos
elementosdeAquenopertenezcanaB.Elsímbolo
queseusaparaestaoperacióneselmismoquese
usaparalarestaosustracción,queeselsiguiente:
-.
Diferencias de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será A-
B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será B-
A={6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será B-
A={6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

5. Eslaoperaciónquenospermiteformarunconjunto,endondededosconjuntoselconjunto
resultanteeselquetendrátodosloselementosquenoseancomunesaambosconjuntos.Esdecir
dadosdosconjuntosAyB,ladiferenciasimétricaestaráformadoportodosloselementosno
comunesalosconjuntosAyB.Elsímboloqueseusaparaindicarlaoperacióndediferencia
simétricaeselsiguiente:△
Diferencias Simétricas de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
simétrica de estos
conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos F={x/x
estudiantes que juegan
fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la
diferencia simétrica será F
△B={x/x estudiantes que
sólo juegan fútbol y
básquet}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

6. Eslaoperaciónquenospermiteformarun
conjuntocontodosloselementosdel
conjuntodereferenciaouniversal,queno
estánenelconjunto.Esdecirdadoun
conjuntoAqueestaincluidoenelconjunto
universalU,entonceselconjunto
complementodeAeselconjuntoformado
portodosloselementosdelconjunto
universalperosinconsideraraloselementos
quepertenezcanalconjuntoA.Enesta
operaciónelcomplementodeunconjuntose
denotaconunapostrofesobreelconjunto
queseopera,algocomoestoA'endondeel
elconjuntoAeselconjuntodelcualsehace
laoperacióndecomplemento.
Complementos de
de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado
por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dado el conjunto Universal
U={x/x estudiantes de un
colegio} y el conjunto
V={x/x estudiantes que
juegan vóley}, el conjunto
V' estará formado por los
siguientes elementos
V'={x/x estudiantes que no
juegan vóley}. Usando
diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

7. NúmerosReales
Sepuededefiniralosnúmerosrealescomo
aquellosnúmerosquetienenexpansióndecimal
periódicaotienenexpansióndecimalno
periódica.
a)3 es un número real ya que3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2 es un número real ya que2= 1,4142135623730950488016887242097
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un númeroreal.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real
Comopuedeversealgunostienen
expansióndecimalperiódicaa,bycyotros
tienenexpansióndecimalnoperiódicad,e,
fyg.Losnúmerosquetienenexpansión
decimalperiódicasellamannúmeros
Racionales(denotadosporQ)ylos
númerosquetienenexpansióndecimalno
periódicasellamanIrracionales
(denotadosporI).Enconsecuenciaa,byc
sonnúmerosracionalesyd,e,fygson
númerosirracionales
Comopuedeversealgunostienen
expansióndecimalperiódicaa,bycyotros
tienenexpansióndecimalnoperiódicad,e,
fyg.Losnúmerosquetienenexpansión
decimalperiódicasellamannúmeros
Racionales(denotadosporQ)ylos
númerosquetienenexpansióndecimalno
periódicasellamanIrracionales
(denotadosporI).Enconsecuenciaa,byc
sonnúmerosracionalesyd,e,fygson
númerosirracionales
Concepto
Ejemplos

8. NUMEROS
NATURALES (N)
•Los que usamos para
contar. Por ejemplo, 1,
2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10,
11, …
NUMEROS
ENTEROS (Z)
•Son los números
naturales, sus negativos
y el cero. Por ejemplo: -
3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
NUMEROS
FRACCIONARIOS
•son aquellos números
que se pueden expresar
como cociente de dos
números enteros, es
decir, son números de
la forma a/b Con a,b
enteros y b ≠ 0
NUMEROS
ALGEBRAICOS
•son aquellos que
provienen de la
solución de alguna
ecuación algebraica y se
representan por un
número finito de
radicales libres o
anidados. Por ejemplo
√3
NUMEROS
TRASCENDENTALES
•No pueden
representarse mediante
un número finito de
raíces libres o anidadas;
provienen de las
llamadas funciones
trascendentes:
trigonométricas,
logarítmicas y
exponenciales
Conjunto de los números Reales
Deacuerdoaloanteriormenteexpuesto,el
conjuntodelosnúmerosrealessedefine
comolaunióndedostiposdenúmeros,a
saber;losnúmerosracionales,losnúmeros
irracionales.
La recta real
Llamamosrectarealalarectadondecadapuntoquelaconformaesunnúmeroreal.Comocadapuntodeella
estáidentificadoconunnúmeroracionaloirracionalestarectaesunarectacompactadondenoquedaningún
“espaciolibre”entredospuntosdeella.Paratenerunaideadeestapropiedadimaginequedadosdosnúmeros
racionalessiempreesposibleencontrarunoentreellos.Estoessimpleconsiderandoquelasemisumadedos
númeroscualquierasiempreestáentreellosdos.Enlarectarealrepresentamostodoslosnúmeros(recuerde
quetodopuntodelarectaestaetiquetadoconunnúmeroreal)yenellapodemosvisualizarelordenenquese
ubican

9. Conmutativa
Operación: Suma y Resta
Definición: a+b = b+a
Que dice: El orden al sumar o multiplicar
reales no afecta el resultado.
Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedades de los números Reales
Asociativa
Operación:SumayMultiplicación
Definición:a + (b+c) = (a+b) + c------
a(bc)=(ab)c
Que dice: Puedes hacer diferentes
asociaciones al sumar o multiplicar reales
y nose afecta el resultado.
Ejemplo:7+(6+1)=(7+6)+1-2(4x7)=(-2x4)7
Identidad
Operación:SumayMultiplicación
Definición:a +0 =a------a x1= a
Que dice: Todo real sumado a 0 se queda
igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo
real multiplicado por 1 se queda igual; el
1 es la identidad multiplicativa.
Ejemplo: -11+0=1117x1=17
Inversos
Operación:SumayMultiplicación
Definición:a+(-a)=0------(a)1/a = 1
Que dice: La suma de opuestos es cero. El
producto de recíprocos es 1.
Ejemplos:15+(-15)=01/4(4) = 1

10. Distributiva
Operación: Suma a Multiplicación
Definición:a(b+ c) =ab+a c
Que dice: El factor se distribuye a cada
sumando.
Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Propiedades de los números Reales
Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los
miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39
+ 11Si a -b = c, entonces c = a –b Si x = y,
entonces y = x
Reflexiva
Establece que toda cantidad o expresión
es igual a sí misma.
Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen
unmiembro en común los otros dos
miembros también son iguales.
Ejemplo: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10,
entonces 4 + 6 = 5 + 5Si x + y = z y a + b =
z, entonces x + y = a + b Si m = n y n = p,
entonces m = p

11. Uniforme
Establece que si se aumenta o disminuye
la misma cantidad en ambos miembros,
la igualdad se conserva.
Ejemplo: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3)
= (7) (3)Si a = b, entonces a + x = b + x
Propiedades de los números Reales
Cancelativa
Dice que en una igualdad sepueden
suprimir dos elementos iguales enambos
miembros y la igualdad no se altera.
Ejemplos: Si (2 x 6) -4 = 12 -4, entonces 2
x 6 = 12Si a + b = c + b, entonces a = c

12. •2x − 1 < 7
Menorque
•2x − 1 ≤ 7
Menor o igual
que
•2x − 1 > 7
Mayor que
•2x − 1 ≥ 7
Menor o igual
que
Inecuaciones y Desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

13. Inecuaciones y Desigualdades
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1.Unarepresentación gráfica.
2.2. Un intervalo.
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
[4, ∞)

14. Inecuaciones Equivalentes Inecuaciones de primer grado
Sialosdosmiembrosdeunainecuaciónse
lessumaoselesrestaunmismonúmero,la
inecuaciónresultanteesequivalenteala
dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <1
Sialosdosmiembrosdeunainecuaciónse
lesmultiplicaodivideporunmismo
númeropositivo,lainecuaciónresultantees
equivalentealadada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Sialosdosmiembrosdeunainecuaciónse
lesmultiplicaodivideporunmismo
númeronegativo,lainecuaciónresultante
cambiadesentidoyesequivalenteala
dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x >−5
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
1º Quitar corchetes y paréntesis.
2ºQuitar denominadores.
3ºAgrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y
los términos independientes en el otro.
4ºEfectuar las operaciones
5ºSi el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6ºDespejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

15. Inecuaciones de segundo Grado
Consideremoslainecuación:x2−6x+8>0
Laresolveremosaplicandolossiguientespasos:
1ºIgualamoselpolinomiodelprimermiembroaceroy
obtenemoslasraícesdelaecuacióndesegundogrado.
x2− 6x + 8 = 0
2ºRepresentamosestosvaloresenlarectareal.
Tomamosunpuntodecadaintervaloyevaluamosel
signoencadaintervalo:
P(0) = 0²− 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 3²− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
p(5) = 5²− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞,2)(4,∞)
x²+ 2x +1 ≥ 0
x²+ 2x +1 = 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo
la soluciones
Solución
x²+ 2x +1 ≥ 0 (x + 1)²≥ 0
x²+ 2x +1 > 0 (x + 1)²> 0
x²+ 2x +1 ≤ 0 (x + 1)²≤ 0 x = − 1
x²+ 2x +1 < 0 (x + 1)²< 0
x²+ x + 1 > 0
x²+ x + 1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
Elsignoobtenidocoincideconeldeladesigualdad,lasolu
ciónes.El signo obtenido no coincide con el de la
desigualdad, no tiene solución.
x²+ x +1 ≥ 0 ®
x²+ x +1 > 0 Ø
x²+ x +1 ≤ 0Ø
x²+ x +1 < 0 Ø

16. Inecuaciones de Racionales
Lasinecuacionesracionalesseresuelvende
unmodosimilaralasdesegundogrado,
perohayquetenerpresentequeel
denominadornopuedesercero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del
denominador.
x − 2 = 0 x = 2x − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta
real, teniendo en cuenta que las raíces del
denominador, independientemente del
signo de la desigualdad, tienen que ser
abiertas.3ºTomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada
intervalo:

17. Valor Absoluto
Lanocióndevalorabsolutoseutilizaenelterrenodelasmatemáticaspara
nombraralvalorquetieneunnúmeromásalládesusigno.Estoquiere
decirqueelvalorabsoluto,quetambiénseconocecomomódulo,esla
magnitudnuméricadelacifrasinimportarsisusignoespositivoo
negativo.
Unadesigualdaddevalorabsolutoesunadesigualdadquetieneunsigno
devalorabsolutoconunavariabledentro.
Desigualdades con Valor Absoluto
Cuandoseresuelvendesigualdadesdevalorabsoluto,haydoscasosa
considerar.
Caso1:Laexpresióndentrodelossímbolosdevalorabsolutoespositiva.
Caso2:Laexpresióndentrodelossímbolosdevalorabsolutoesnegativa.
Lasolucióneslainterseccióndelassolucionesdeestosdoscasos.
Enotraspalabras,paracualesquieranúmerosrealesayb,si|a|<b,
entoncesa<bYa>-b.

18. Ejemplo1:
Resuelvaygrafique.
|x–7|<3
Pararesolverestetipode
desigualdad,
necesitamos
descomponerlaenuna
desigualdadcompuesta.
x–7<3Yx–7>–3
–3<x–7<3
Sume7encadaexpresión.
-3+7<x-7+7<3+7
4<x<10
Lagráficaseveríaasí:
Ejemplo2:
Resuelvaygrafique.
|x+2|≤4
Separe en dos
desigualdades.
Reste2decadaladoen
cadadesigualdad.
Lagráficaseveríaasí:
Desigualdades de
valor absoluto (<):
Desigualdades de
valor absoluto (>):

19. Seconocecomoplanocartesiano,coordenadascartesianasosistemacartesiano,adosrectas
numéricasperpendiculares,unahorizontalyotravertical,quesecortanenunpuntollamado
origenopuntocero.
Plano Numérico
Distancia entre puntos
Parapodercalcularladistanciaentredospuntos
primeramentedebemos conocerlas
coordenadasdeestospuntos.Tomaremosdos
puntoscualquierasparaluego,apartirdeestos
generaruncriterioparacualquieraseaelparde
puntosalosqueposteriormentecalculemosla
distancia.
SeanlospuntosA=(x,y)yB=(w,z),dospuntosque
pertenecenalprimercuadrantedelplano
cartesiano.Calcularladistanciaentreambos.
LadistanciadeloscatetosACserá(w-x)yladelcatetoBCserá(z-y),porlotanto,porteoremadePitágoras
definimoslosiguiente.

20. Punto Medio de un
Segmento
ElpuntomediodelsegmentoAB.Paraeso
utilizaremoselconceptodepromedio,paracalcular
ladistanciaintermediaentredoslongitudes
debemoscalcularelpromediodeestas.Siqueremos
sabercualesladistanciapromedioentre5y7,
sumamoslasvariablesydividimospor2,el
resultadoclaramentees6.Entoncesahorapara
calcularunadistanciamediaentredospuntosse
deberáocuparelmismoconcepto.Sedebeanalizar
porseparadocadaejecoordenadoyasísepoder
encontrarelpuntomedio,segúnlospuntos
encontradosparacadaejecoordenado.
SeanlospuntosA=(x,y)yB=(w,z),dospuntosquepertenecenal
primercuadrantedelplanocartesiano.Calcularelpuntomediodel
segmentoAB.
Calculamosladistanciamediaenambosejescoordenados,primeroen
eleje«x»yluegoeneleje«y».
Eneleje«x»elpromediodelaslongitudesserá\frac{x+w}{2}
Entanto,elpromedioenelejeyserá\frac{y+z}{2}
Finalmenteelpuntomedioes:
(\frac{x+w}{2},\frac{y+z}{2})

21. Representación Graficas
de las Crónicas
Unasuperficiecónicaestaengendradaporelgirodeuna
rectag,quellamamosgeneratriz,alrededordeotrarectae,
eje,conelcualsecortaenunpuntoV,vértice.
g=lageneratriz
e=eleje
V=elvértice
Elementos
Superficie-unasuperficiecónicaderevoluciónestáengendradaporlarotacióndeunarectaalrededordeotra
rectafija,llamadaeje,alaquecortademodooblicuo.
Generatriz-lageneratrizesunacualquieradelasrectasoblicuas.
Vértice-elvérticeeselpuntocentraldondesecortanlasgeneratrices.
Hojas-lashojassonlasdospartesenlasqueelvérticedividealasuperficiecónicaderevolución.
Sección-sedenominaseccióncónicaalacurvainterseccióndeunconoconunplanoquenopasaporsuvértice.
Enfuncióndelarelaciónexistenteentreelángulodeconicidad(\alpha)ylainclinacióndelplanorespectodeleje
delcono(\beta),puedenobtenersediferentesseccionescónicas.

22. Elipse
Laelipseeslasecciónproducidaenunasuperficiecónicade
revoluciónporunplanooblicuoaleje,quenoseaparaleloa
lageneratrizyqueformeconelmismounángulomayorque
elqueformanejeygeneratriz.
\alpha<\beta<90^o
Laelipseesunacurvacerrada.

23. Circunferencia
Lacircunferenciaeslasecciónproducidaporunplano
perpendicularaleje.
\beta=90^o
Lacircunferenciaesuncasoparticulardeelipse.

24. Parábola
Laparábolaeslasecciónproducidaenunasuperficiecónica
derevoluciónporunplanooblicuoaleje,siendoparaleloala
generatriz.
\alpha=\beta
Laparábolaesunacurvaabiertaqueseprolongahastael
infinito.

25. Hipérbola
Lahipérbolaeslasecciónproducidaenunasuperficiecónica
derevoluciónporunplanooblicuoaleje,formandoconél
unángulomenoralqueformanejeygeneratriz,porloque
incideenlasdoshojasdelasuperficiecónica.
\alpha>\beta
Lahipérbolaesunacurvaabiertaqueseprolonga
indefinidamenteyconstadedosramasseparadas.

26. EJERCICIO 1
Resolver esta operación con conjuntos
1.DeungrupodeestudiantesdelaUniversidadUPTAEB,sesabeque22
practicanfutbol,ydelos22varones,12practicansolofutbol.Delas
mujeres,14practicanfutbolyvóleyy4nopracticanesosdosdeportes.
¿Cuántosestudiantescomomínimosolopracticanvóley?
A)6B)7C)8 D)12 E)10
Solución
Varones
(20)
22) F V
2-Y
Mujeres 4
12
a
6
b
y
x
A + x + b = 14
A + x + y = 10 b –y = 4 b = 4 si y = 0 b = 4
Mínimo (b+6) = 10 Respuesta: E

27. EJERCICIO 2
Resolver la siguiente Ecuación con valor absoluto
2. El valor absoluto de x-1 es
Supongamos que x−3 es mayor o igual que 0:
Esto ocurre cuando x≥3
El valor absoluto de x−3 es x−3, así que
la ecuación que tenemos es
Supongamos ahora que x−3 es menor que 0
Esto ocurre cuando x<3.
El valor absoluto de x−3 es −(x−3), así
que la ecuación que tenemos es
La ecuación tiene dos soluciones: x=5 y x=1.