Condição de alinhamento de três pontos,equação geral da reta e área dos triângulos

Para quem quer aprender Matemática

1. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS
PONTOS
y



ya C
yb B
ya A


0 xa xb xc x

OS ANTIGOS MATEMÁTICOS, DESCOBRIRAM QUE É
POSSÍVEL, DETERMINAR SE TRÊS PONTOS ESTÃO
ALINHADOS SEM FAZER O DESENHO. COMO?
MONTANDO A MATRIZ COM ESSES PONTOS.

2. Xa Ya 1
D = Xb Yb 1 = 0
Xc Yc 1

SE MONTARMOS A MATRIZ COM ESTES VALORES E
O DETERMINANTE FOR IGUAL A ZERO ENTÃO OS
PONTOS ESTARÃO ALINHADOS.

Ex.: VERIFIQUE SE OS PONTOS ESTÃO ALINHADOS
A(4;2),B(3;4) e C(5;0).
X Y
4 2 1 4 2
D = 3 4 1 3 4 = 16 +10+0-20-0-6=
5 0 1 5 0
- - - + + +
= 26 -26=0 (estão alinhados)

3. Ex2: : VERIFIQUE SE OS PONTOS A(1;1), B(3;-2) e
C(5;2) ESTÃO ALINHADOS.
1 1 1 1 1
D = 3 -2 1 3 -2 = -2 + 5 + 6 +10 -2-3=
5 2 1 5 2
- - - + + +
21 -7= 14 (NÃO ESTÃO ALINHADOS)

VERIFIQUE SE OS PONTOS ESTÃO ALINHADOS
a) A(1;2), B(3;1) e C(5;0)
b) A(1;3), B(4;5) e C(-2;1)

1 2 1 1 2
3 1 1 3 1 = 1 + 10 + 0 – 5 -0 – 6 =
5 0 1 5 0 = 11 – 11= 0

1 3 1 1 3
4 5 1 4 5 = 5 – 6 + 4 + 10 - 1 -12
-2 1 1 -2 1 = 19 – 19 = 0

4. VERIFICAÇÃO DO PRIMEIRO EXEMPLO
y




4
2
0 3 4 5 x

VERIFICAÇÃO DO SEGUNDO EXEMPLO




2
1
0 1 3 5
-2

5. EQUAÇÃO DA RETA
AS RETAS POSSUEM UMA EQUAÇÃO COM A FORMA
ax + by + c =0 onde a,b,c Є R e a≠0
PARA MONTAR A EQUAÇÃO DA RETA USAMOS A
CONDIÇÃO DE ALINAHEMENTO DE TRÊS PONTOS,
POIS, SE É UMA RETA O SEU DETERMINATE PRECISA
SER IGUAL A ZERO.
REPRESENTAÇÃO :
x y 1
D = ax ay 1 = 0
bx by 1

Obs.: DEVEMOS LEMBRAR QUE BASTAM DOIS
PONTOS PARA DESENHAR UMA RETA.
EX.: DETERMINAR A EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA
PELOS PONTOS A(5;3) e B(-2;-1)
x y 1 x y
D = 5 3 1 5 3 = 0
-2 -1 1 -2 -1
- - - + + +
3 x- 2y - 5 + 6 + x - 5y=0 4x - 7y + 1 = 0

6. ÁREA DOS TRIÂNGULOS

NOS ACOSTUMAMOS A APRENDER A CALCULAR A
ÁREA DOS TRIÂNGULOS PELA RELAÇÃO BASE X
ALTURA E DIVIDIDA POR DOIS. MAS E QUANDO A
FORMA DO TRIÂNGULO FOR DEFINIDA POR PONTOS
NO PLANO CARTESIANO.
EXEMPLO: CALCULAR A ÁREA DO TRIÂNGULO DE
PONTOS A(2;2), B(-1;-3) e C(1;1).

7. PARA TAL BASTA CALCULAR O DETERMINANTE DA
MATRIZ QUADRDA FORMADA POR ESTES PONTOS.
APÓS ENCONTRAR ESTE VALOR DEVE -SE
DETERMINAR O SEU MÓDULO, QUE É O VALOR DO
NÚMERO IGNORANDO O SEU SINAL, E POR FIM
DIVIDIR POR 2.
A =
??????
2

8. 2 2 1 2 2
D = -1 -3 1 -1 -3 = -6 + 2 -1 + 3 -2 +2 = -2
1 1 1 1 1

A =
−2
2
= 1
CONCLUSÃO: A ÁREA DESTE TRIÂNGULO
É DE UMA UNIDADE.