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Fisica e seus ramos, Operacoes com vectores, Regras basicas de derivacao e integracao

1. Introdução à Física
Conteúdos:
0.1. Física e seus ramos
0.2 Elementos da Matemática
 Vectores
 Regras Básicas de Derivação e integração
1
MECÂNICA CLÁSSICA

2. O interesse do homem em desvendar os segredos da natureza levou
ao surgimento da ciência, da religião, da arte, etc.
Na antiga Grécia as ciências da natureza, designavam-se
simplesmente por “physis”, isto é, Física.
(Alguns autores consideram a Física junto da filosofia, a mãe de todas
as ciências da natureza, hoje já não é possível dizer isso da Física)
A ciência se divide em diversas áreas de conhecimento, estreitamente
interligadas entre si. Esta divisão, veio permitir um estudo mais
específico, mais direccionado dos fenómenos e sistemas complexos
da natureza.
Assim, existe:
• Biologia que estuda os organismos vivos,
• Química que estuda as interacções entre elementos e compostos,
• Geologia que estuda a terra,
• Astronomia que se ocupa com o sistema solar, e outras areas. E
mais. 2
0. Introdução

3. A Física é por sua vez a ciência da matéria e da energia,
das leis que regulam o movimento das partículas e
ondas e ainda das interacções das partículas.
A Física é, apesar da subdivisão das ciências, considerada
ciência fundamental, pois os seus princípios
proporcionam fundamentos à outros campos científicos.
Na vida quotidiana os engenheiros, músicos,
arquitectos, químicos, biólogos, médicos e muitos
outros, operam trivialmente com efeitos físicos como de
trocas térmicas, de escoamento de fluidos, de ondas
sonoras, de radioactividade, de tensões, etc na realização
de suas tarefas.

3
0. Introdução (cont)

4. 4
Tradicionalmente a Física tem vindo a ser ensinada como se
tratasse de um aglomerado de várias ciências, este aglomerado
corresponde às conhecidas partes da Física, como a Mecânica, a
Termodinâmica, a Electricidade e Magnetismo, a Óptica, a
Acústica e a Física Moderna.
A partir dos finais do último século assistiu-se a uma profunda
revolução conceitual, com suporte no aperfeiçoamento dos métodos
experimentais e de observação. Esta revolução teve como líder
Max Planck e Albert Einstein. Os seus pontos de vista sobre os
fenómenos naturais, em particular sobre a estrutura da matéria, deu
origem às teorias da relatividade e da mecânica quântica.
Essas novas teorias apresentam uma visão mais unificada dos
fenómenos naturais. Assim, a Física aparece dividida em partes
como Mecânica, Interacções e campos, ondas, Física quântica.
1. Divisão clássica da Física

5. Objecto de estudo da Física: A física é uma ciência cujo
objectivo é o estudo dos componentes da matéria, suas
propriedades e das suas interacções mutuas . Com
este estudo a Física explica todos os fenómenos da
natureza.
Fenómeno: Qualquer transformação que ocorre com um
corpo do universo
Ex: A queda de uma gota de água, crescimento de uma
planta, o funcionamento dum rádio, o aquecimento do solo,
etc.
Fenómenos Físicos: São transformações que se operam
na matéria em que a natureza da substância que constitui
o corpo não se altera.
Ex: o aquecimento do ferro, o movimento de uma bola de
futebol, o relâmpago, etc.
5
2. Objecto de estudo da Física e sua Relação com
outras Ciências

6. 6
CLASSIFICAÇÃO DOS FENÓMENOS FÍSICOS

7. 7
Categorias de estudo dos Fenómenos Físicos

8. Relação da Fisica com outras Ciências
•A Química se relaciona com a Física pois faz a
aplicação das leis físicas no estudo da
estrutura da formação das moléculas, as suas
interacções, bem como aos diferentes
processos de transformação das moléculas.
•A Biologia por sua vez precisa da Física e da
química para explicar os processos que
ocorrem nos sistemas vivos complexos.
8

9. As aplicações da Física a problemas práticos, a
investigação e técnica assim como a prática profissional
deu origem aos diferentes ramos da Engenharia. O
desenvolvimento da Engenharia seria impossível sem
um conhecimento sólido das noções fundamentais da
Física. A Física também precisa da Engenharia para o
seu desenvolvimento.
O Astrónomo necessita de técnicas de óptica, de
espectroscopia e de radio-transmissão.
O Geólogo recorre a métodos gravimétricos, acústicos,
nucleares e mecânicos.
Na Medicina são empregues os ultra-sons, o laser, a
ressonância magnética nuclear, etc.
9

10. A Física como todas outras ciências da natureza, encontram na
observação e na experimentação os métodos básicos de pesquisa.
A observação consiste num exame cuidadoso e critico de um
fenómeno, identificando, medindo e analisando os diferentes factores
e circunstancias que influem nos fenómenos, sem porém poder
influenciar as condições em que os fenómenos ocorrem.
A experiência, por seu lado, consiste numa observação do fenómeno
em condições previamente planificadas e controláveis. O cientista
pode variar as observações e direcciona-las ao objectivo da
experimentação.
Para alem da observação e da experiência o físico, usa o método
teórico para chegar a novos conhecimentos concebendo “modelos”
da situação da física em estudo. Mediante relações previamente
estabelecidas, aplica-se ao modelo um raciocínio lógico e dedutivo
usando a Matemática.
10
3. Os métodos de trabalho da física

11. Grandezas escalares e vectoriais

12. Grandezas escalares e vectoriais
Os vectores representam grandezas físicas que para alem do módulo (valor)
possuem uma direcção e um sentido.
Exemplos: deslocamento, velocidade, força, aceleração, campo eléctrico,
campo magnético, etc.
Grandezas que podem ser especificadas completamente apenas por um
numero e uma unidade, são chamadas grandezas escalares.
Exemplos: A massa 5kg, a temperatura100ºC, a energia 1kJ.

Um vector é um segmento orientado caracterizado por 4 elementos,
nomeadamente:
ponto de aplicação (A) que é origem do vector
direcção que neste exemplo é a direcção da recta (podendo ser por exemplo
horizontal, vertical ou obliqua)
sentido dado pela seta localizada na extremidade (B) do segmento(que pode
ser da esquerda para a direita ou de cima para baixo)
módulo que corresponde ao comprimento do vector segundo uma certa
escala.
Assim:
12
ABa

A
B
a


13. Operações com vectores
 
Adição de vectores  
(Método Geométrico)
Sejam dados dois vectores e por exemplo:
A soma dos dois vectores será igual à um outro
vector (vector soma).
Este vector soma pode ser obtido de duas maneiras:
 
1) método do paralelogramo
 
a

b

ba



13

14. Propriedades:
•Comutativa:
•Associativa:
abba




cbacba






14

15. 2) método do polígono



Se tivermos um terceiro vector o vector soma será a a ligação dos
3 vectores.

15
c

S


16. Método Geométrico
A subtracção de vectores será a operação inversa da adição dos
mesmos. Também se pode efectuar de duas maneiras:
a) unir os dois pontos de aplicação dos dois vectores e traçar o vector
subtracção da extremidade do vector subtractivo para a
extremidade do vector subtraendo.
 
b) considerando que então, pelo método do polígono
significará ligar na extremidade do primeiro vector , o segundo
vector com sentido oposto, ou seja
 
 
baba





a

b

b


bac


16
Subtracção de vectores

17. Representação analítica de vectores/componentes de um vector
Considerando um vector localizado numa superfície
(espaço bi- dimensional).
Se traçarmos um sistema de coordenadas cuja origem
coincide com a origem do vector, este pode ser decomposto
nas suas componentes ao longo das dimensões X e Y.
a

17

18. e são componentes cartesianos do vector . Os
componentes de um vector são também vectores.

e são as coordenadas do vector .
Os módulos das componentes do vector , ou as
coordenadas do vector podem ser encontradas a partir
das seguintes equações:
e

onde é o ângulo que faz com o eixo dos Xs.
 
•Conhecidos os módulos das componentes pode-se
determinar o módulo do vector aplicando o teorema de
Pitágoras.
E o ângulo obtém-se da razão ou
xa

y
a

a

xa
ya
yxaaa


a

a

a

cosaa
x
 asena
y

 a

22
yxaaa 
x
y
a
a
tg
adjacentec
opostoc
tg
.
.

18

19. No espaço tridimensional teremos 3 componentes do vector .
, e são componentes do vector sobre os eixos x, y e z.
As respectivas coordenadas são , e .
 
zyx
aaaa


a

xa

y
a

za

a

xa
ya
z
a
19

20. 20

21. 21

22. 22

23. 23

24. Multiplicação de vectores
Vamos considerar 3 operações diferente na multiplicação de vectores:
 
1 – Multiplicação de um vector por um escalar ou seja um numero.
•Quando se multiplica um vector com um escalar n o resultado é um
novo vector cujo módulo é n vezes o módulo de .
•O novo vector tem a direcção e sentido de se n for positivo, e
sentido oposto se n for negativo.
 
 2 – Multiplicação de dois vectores de forma que resulte um escalar
•O produto de dois vectores e deste carácter é escrito
e é denominado produto interno ou produto escalar.
an
 a

a

a

b

ba


24

25. O produto escalar de 2 vectores é dado pela expressão :
onde a e b são respectivamente os módulos de e , e é o
ângulo entre os dois vectores.
Se , . Então (condição de
perpendicularidade)
O produto interno e comutativo
Analiticamente (isto é com ajuda das componentes dos vectores)
escrevemos:
Nota:
Ângulo entre 2 vectores
cosabba

a

b


cosabba


ba


 0cos 0ba

abba




zzyyxx
babababa 


222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba








0 kjkiji

1 kkjjii

Que fique claro que
,
25

26. 26

27. 3.Multiplicação de dois vectores de forma que o resultado seja
um vector
A este produto dá-se o nome de produto externo ou produto vectorial e
representa-se por:

O seu módulo é dado por:
Onde é o ângulo entre e .
Se , logo
Que e tida como condição de paralelismo entre dois vectores
A direcção do vector , é definido como perpendicular ao plano
formado pelos vectores e e o seu sentido é dado pela regra da
mão direita, ou regra do saca-rolhas ou ainda regra do parafuso.
Trocando a ordem dos vectores teremos:
o produto vectorial não e comutativo.
cba




senabbac 

 a

b

cba


a

b

cbaab





0 000  senpoissenabbac 

0ba


27

28. 28

29. 29

30. 30

31. Dedução da formula:
Seja: e .kajaiaa
zyx

 kbjbibb
zyx


jbkaibkakbjaibjakbiajbiaba
yzxzzyxyzxyx



jkbaikbakjbaijbakibajibaba
yzxzzyxyzxyx



ibajbaibakbajbakbaba
yzxzzyxyzxyx



   kbabajbabaibababa
xyyxzxxzyzzy


31

32. ba



   
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
ba 



Outros procedimentos:
O produto vectorial pode também ser expresso por um determinante
de base 3 ou 3x3
32

33. Derivadas e Integrais
33

34. Elementos de Matemática
34
Derivadas
Exemplo: Qual é o coeficiente angular da curva da secante
que passa por e
x
y
1

30
1
307
7
7
30
7
7
30
103
310
3
1
10
1
1
1

















xx
yy
x
y
tg
3x 10
1x

35. 1.1. Derivadas (cont)
Chama-se derivada da função no ponto x, ao limite da
razão , quando tende para zero.
Condição: reduzir a secante para o mínimo.
O valor da derivada fornece o coeficiente angular da tangente MT até ao
gráfico da função no ponto x.
Exemplo: calcular a derivada de com o método do limite.
35
dx
dy
y' xfy
x
y


x
y
x
y




0
lim
'
xfy
x
2
xy
 
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xxx
x
xx
yy
xx
y
x
y



















1
2
1
222
1
22
1
1
2
0
lim2
0
lim
0
lim
0
lim
0
lim
'
 
 

xxx
x
yxx
xx
xxx
xx
xxx
x
22
0
lim
'2
0
lim2
0
lim2
0
lim
0
2














36. 1.1. Derivadas (cont)
Derivação por tabela
Exercícios: Calcule as derivadas de:
36

37. 1.2. Integrais
São dadas as figuras abaixo
W – área
A integração é a operação inversa da derivação.
37
F
d
F
d0
F
d
f
d0
f(d)
AdFW 
 


d
ii
di
i
ii
dfdfW
00
W
W

38. 1.2. Integrais (cont)
Regras principais da integração
1)Se então onde C é uma constante arbitraria
2) sendo
3).
4)Se e é diferencial, então
•Em particular para
38
xfxF
'
 
 CxFdxxf
 
 dxxfAdxxAf 0A
   
 dxxfdxxfdxxfxf
2121
 
 CxFdxxf xu  
 CuFduuf
   
 CbxaF
a
dxbxaf .
1
. 0a

39.  
 
 
 








































;
cosh
.18;cot.17
secln
42
ln
cos
.16;;cosh.15
cotcosln
2
ln.14cosh.13
cot.12;;
cos
.11
;cos.10;cos.9
0
ln
.8;0.7
0ln.6;0ln
2
1
.5
0ln
2
1
.4;0
1
.3
;ln.2;1,
1
.1
22
22
22
22
22
22
2222
1
ctghx
x
dx
cghx
xsenh
dx
cxtgxc
x
tg
x
dx
csenhxxdx
cgxecxc
x
tg
senx
dx
cxsenhxdx
cgx
xsen
dx
ctgx
x
dx
csenxxdxcxsenxdx
cedxeeac
a
a
dxaac
a
x
arsen
xa
dx
acaxx
ax
dx
ac
xa
xa
axa
dx
ac
ax
ax
aax
dx
ac
a
x
artg
aax
dx
cx
x
dx
nc
n
x
dxx
xx
x
x
n
n

Tabela de integrais

40. Integração mediante a introdução sob sinal de diferencial
Ex: seja
40
1.2. Integrais (cont)
 




 25
25
5
1
25 x
xd
x
dx
ux25

CxCuCuC
u
C
u
duu
u
ud



25
5
2
5
2
5
2
2
15
1
2
15
1
5
1
5
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1