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Cinematica do ponto material

1. MECÂNICA CLÁSSICA
Conferência 1
Conteúdos:
1.Cinemática
Conceitos
Grandezas cinemáticas
Classificação dos movimentos
Movimento e velocidade relativa
1

2. Divisao da Mecânica Classica
Mecânica
Estuda o movimento mecânico e as interacções que o
provocam e as condicoes de equilibrio dos corpos.
 
A mecânica Classica divide-se em três partes:
•Cinemática – estuda os movimentos dos corpos sem
ter em conta as causas que os provocam;
•Dinâmica – estuda os movimentos e as interacções
que os provocam. E a
•Estática – que discute as leis de composição de forças
e as condições de equilíbrio dos corpos
2

3. 2. Cinemática – Definição de conceitos
3
Posição: Dar a posição de uma partícula significa fornecer
elementos que permitem localizar a partícula a partir de
outro corpo adoptado como referência ou referencial.
Conceito de movimento e repouso:
Diz-se que um corpo está em movimento quando a sua posição
em relação a um segundo corpo tomado como referêncial varia
com o tempo.
Quando esta posição não varia com o tempo, o corpo estará em
repouso em relação ao corpo de referência.
Os conceitos de movimento e repouso não são absolutos, eles
são relativos.
Ex: Uma pessoa no interior de um autocarro em movimento, está
em movimento em relação aos edifícios, árvores, e outros
objectos que estejam fixos fora do autocarro e em repouso em
relação a outros passageiros e aos objectos fixos no interior do
autocarro.

4. 4
Sistema de referência
O sistema de referência é
constituído por um corpo
fixo, um sistema de
coordenadas cartesianas
solidário a este corpo e um
relógio para a medição do
tempo.
Referencial é o local onde
um observador fixa um
sistema de referência para, a
partir do qual, estudar o
movimento de objectos.
2. Cinemática – Definição de conceitos (cont)

5. 5
Ponto Material
Um corpo pode ser considerado ponto material se:
•As dimensões do corpo são desprezíveis em relação as demais
dimensões envolvidas no problema mas a sua massa não é
desprezível
Ex1: a distância percorrida pelo corpo comparativamente as
dimensões do corpo;
Ex2: a terra pode ser considerada como ponto material em relação
ao seu movimento de translação em torno do sol.
O Movimento pode ser descrito de duas maneiras: através do
vector posição e através das equações cartesianas obtidas da
trajectória e da lei horária do movimento sobre a trajectória,
Vector posição é o vector que une o ponto O (origem do sistema de
coordenadas) e o ponto P que indica a posição do corpo no instante t.
 Trajectória é linha (lugar geométrico) deixada pelo corpo ao passar pelas
sucessivas posições ao longo do seu movimento.

2. Cinemática – Definição de conceitos(cont)
r

 )(txx
r


6. 6
2. Cinemática – Grandezas Cinemáticas
Movimento ao longo de uma dimensão:
Deslocamento
Velocidade média e velocidade instantânea
 A velocidade é a grandeza física que mede a rapidez com que um corpo
se move e representa-se com o símbolo v.
 
Velocidade média: A velocidade média é a velocidade que um móvel
animado de um movimento variado teria se ela fosse constante.

todeslocamenx
xxxxx
txttxx
o



12
..1ISmx


m
v
ttt
txttx
t
x






velocidade média
t
x
v
m




7. 7
Velocidade instantânea
A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando
t tende para zero, e corresponde à tangente à trajectória no
ponto considerado.
Por outras palavras, velocidade instantânea é 1
a
derivada do
deslocamento.
2. Cinemática – Grandezas Cinemáticas (cont)


instcurva v
ttt
txttx
tt
x
t
tg 








0
lim
0
lim
Isto é primeira derivada do
deslocamento (x) em função do tempo (t).
Unidades no S.I.
dt
dx
vv
inst
 smv /1

8. 8
Aceleração média e instantânea
A aceleração é a grandeza física que nos dá a rapidez com que
a velocidade varia em função do tempo.
Aceleração média é a variação da velocidade pela variação do
tempo.
Aceleração instantânea será o limite da velocidade média quando
t tende para zero.

ou
segunda derivada do deslocamento em função do tempo ou primeira
derivada da velocidade em função do tempo.
2. Cinemática – Grandezas Cinemáticas (cont)

ttt
tvttv
t
v
a
m







ttt
tvttv
tt
v
t
a
inst








0
lim
0
lim
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dv
aa
inst 

9. 9
2. Cinemática - Classificação dos movimentos
Movimento rectilíneo uniforme
Exemplo: Movimento de uma bolha de ar no interior de um tubo
com água.
O MRU é caracterizado por uma velocidade constante e uma
trajectória rectilínea e como consequência, o móvel percorre
espaços iguais em intervalos de tempo iguais.
Consideremos onde deslocamento elementar
o deslocamento total é igual a soma dos
deslocamentos elementares. Se v = const. e t
o = 0
equação dos espaços no MRU
dt
dx
v dx


t
t
x
x
oo
dtvdxdtvdx
vtxxdtvdx
o
t
t
x
x
oo

vtxx
o


10. Gráficos do Movimento rectilíneo uniforme
10
x(m)
t(s)
v
3
v
2
v
1
v
4
x
o
0
v(m/s)
t(s)
v
2
v
1
v
4
0
a(m/s
2
)
t(s)
a
1
0
2. Cinemática - Classificação dos movimentos cont

11. Movimento rectilíneo uniformemente acelerado
11
O MRUA é caracterizado por uma aceleração constante (a = const.)
é variação elementar da velocidade.

equação da velocidade do MRUA
Se t
o
= 0
equação dos espaços no MRUA
dt
dv
a dv


t
t
v
v
oo
dtadvdtadv atvvdtavv
o
t
t
o
o

atvv
o

 

t
t
oo
t
t
x
x
ooo
dtatvxxdtvdx 

t
t
t
t
oo
oo
tdtadtvxx
2
2
at
tvxx
oo

2
2
at
tvxx
oo

2. Cinemática - Classificação dos movimentos

12. 12
Gráficos do Movimento rectilíneo uniformemente acelerado
x(m)
t(s)
MRUA
x
o
0
MRUA
MRUR
v(m/s)
t(s)
MRUA
v
o
0
MRUA
MRUR
a(m/s
2
)
t(s)
a > 0
0
a < 0
MRUA
MRUR
a
1
a
2
Velocidade em função da posição no MRUA v(x)
… equação de Torricelli
dxdt
dxdv
a
dx
dx
dt
dv
a



dx
dv
v
dx
dv
dt
dx
a  dvvdxa 
 
o
o
x
x
v
v
xxa
vv
dxadvv
oo

22
22
 
0
22
2 xxavv
o

xavv
o
 2
22

13. 13
Movimento de queda livre
Se tivermos um plano inclinado
, Se ,
Movimento de queda livre é aquele em que o corpo em queda está
sujeito apenas à força de gravidade.
O corpo move-se com aceleração constante, g = 9,8 m/s
2
, nas
proximidades da terra. As equações de movimento tomam o seguinte
aspecto:
Na queda livre, o corpo é abandonado e o movimento parte do
repouso na origem do referencial
α
v
o=0
0
y
gsena
º90 1º90sen
g

v

2
/8,9 smga
gtv
2
2
gt
y
00
0 yev
o

14. 14
Exercícios
1. Sobre uma linha recta, um móvel encontra-se na posição 3,0m da origem
passados 0,5s do seu movimento. Aos 1,5s encontra-se na posição 4,5m.
Calcule:
a) A velocidade média em cada intervalo de tempo considerado;
b) A velocidade média em todo percurso.
2. Um automóvel é acelerado durante alguns segundos de modo que a sua
posição ao longo da estrada seja dada em função do tempo pela expressão
x(t) = 0,5 + 0,5t + 0,2t
2
, sendo x em m e t em s. Determine:
a) A expressão para a velocidade;
b) A expressão para a aceleração;
c) A posição no instante t = 2s;
d) A velocidade no instante t = 2s.
3. A velocidade de um móvel a 10m da origem num MRA é descrita pela
expressão: v(t) = 4 – 2,5t
2
, com v em m/s e t em s. Determine:
a) A expressão para a aceleração;
b) A expressão para a posição num instante qualquer.

15. Movimento e Velocidade
Relativa

16. 1.6 Movimento e velocidade relativa
Consideremos dois móveis A e B e um observador. As
velocidades de A e B em relação ao observador são
respectivamente e .
A velocidade de A em relação a velocidade de B é:
A velocidade de B em relação a A é:
Logo, podemos concluir que:
O que significa que a velocidade de A em relação a B é igual
ao oposto da velocidade de B em relação a A.
 
A
v

B
v

BAAB
vvv


ABBA
vvv


BAAB
vv



18. Tomemos o exemplo de uma pequena embarcação com uma certa
velocidade em relação às águas do rio e que estas se movam
com uma velocidade em relação às margens.
Os módulos de serão:
1) Caso: Se a velocidade do barco em relação a agua coincide em
sentido e direcção com a velocidade da agua em relação a margem.

2)Caso: Se a velocidade do barco em relação agua coincide em
direcção com a velocidade da agua em relação a margem, mas tem
sentidos opostos.
3)Caso: Se a velocidade do barco em relação a agua forma um ângulo
com a velocidade da agua em relação a margem.

bav

am
v

bm
v

baambm vvv


ambabm vvv



19. Exemplo 1:
Um rio corre de oeste para leste com a velocidade escalar de
3m/s. Um garoto nada para norte, transversalmente à
corrente, com uma velocidade escalar de 2m/s em relação à
água.
a) Qual é a velocidade do garoto em relação às margem?
b) Qual é a direcção do vector velocidade do garoto em relação
à margem?

20. Exemplo 2:
Um barco a motor tem em relação à margem e no sentido da
corrente a velocidade de 16km/h e contra a corrente 10km/h.
a) Calcule a velocidade do barco em relação às águas.
b) Calcule a velocidade da corrente.