Congruencia de triángulos

1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

2. 1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulos opuestos a dichos lados son congruentes. A B C P Q R Entonces podemos afirmar: Por lo tanto:

3. 2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A ) Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes . a a q q CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

4. CASO: lado – ángulo – lado ( L A L ) Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. A B S N T C b b Si son congruentes los tres lados.

5. CASO: lado – lado – lado ( L L L ) Si son congruentes los tres lados.

6. Problemas resueltos: 1.Halla «x + y « Desarrollo: Estamos en caso LAL los triángulos Son congruentes entonces a ángulos iguales se oponen Lados i guales. X + 5 = 12 X = 7 2.En la figura encuentra el valor de «a»

7. Desarrollo: Si observamos estamos en un caso, ALA. Los triángulos son congruentes. A ángulos iguales se oponen lados iguales. a = 12 3.En la figura, halla «a + b» Desarrollo: Se observa que hay dos ángulos congruentes y un Lado común entre ellos .

8. Caso: ALA. A ángulos congruente lados iguales. A + b 10 + 4 =14 4.En la figura AM = BC Halla :

9. Desarrollo: x x 73° 107° 107° N De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triángulo BMC. Caso: LAL Resolviendo en el triángulo BMC se tiene: X = 39°

10. 5.En la figura halla MB Desarrollo: 45° a a b b El triángulo ABC es isósceles. Observando la figura ( ALA) : MB = 8

11. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

12. Conocimiento previo: DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO ( P ) A UNA RECTA . L P d Es la longitud ( d) de la perpendicular Trazada del punto ( P ) a la recta . DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN SEGMENTO ( AB) A B Q d L Es la longitud ( d ) de la perpendicular al segmento o a su prolongación. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO La mediatriz es una recta ( L ) perpendicular que pasa por el punto medio del segmento ( AB ) A B L

13. APLICACIONES: 1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo a a A B P Donde: AP = PB 2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO . A B P Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.

14. 3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se encuentra contenida en la mediatriz. M q q

15. BASE MEDIA Es el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo y mide la mitad de su longitud y se lo denomina base media. En un triángulo la base media genera 4 triángulos congruentes.

16. Ejemplos: 1.En la figura ABCD es un cuadrado, BH = 3m y DF = 5m .Halla HF Desarrollo: 3 5 a 90°- a a 90°- a 5 3 Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusa y ángulos agudos iguales. ( ALA ) AH = 5 + 3 = 8 m

17. 2.En la figura halla «x» si HB = HC. Desarrollo: Por propiedad de la bisectriz de un ángulo se tiene que: X = 20° 3. En la figura L es mediatriz y AB = MC Halla «x»

18. desarrollo 55° Los triángulos AMH y MHC son congruentes ( mediatriz de un segmento) 55° el triángulo ABM es isósceles. X = 70° H A C M

19. 4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y M los puntos medios de AB , BC y AC. S i PQ // AC Y Desarrollo: A B C M P Q 70° Halla por propiedad de base media: X = 70°