Conjunto ortonormal

Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL JONATHAN NARANJO GR4 GRUPO 5

2. Vectores Ortogonales

3. DEFINICIÓN Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ). Sean son ortogonales ssi: . Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de S son ortogonales  

4. OBSERVACIONES El Ov es ortogonal a cualquier vector pues . S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto ortogonal Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los vectores de S, para tener un conjunto S de vectores ortogonales. Si un conjunto es ortogonal entonces es LI Si es ortogonal, si a cada vector le multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser ortogonal.  

5. EJEMPLO: Dados los vectores que son ortogonales obtener un tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”. Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector  

6. Conjunto Ortogonal

7. DEFINICION Un conjunto de vectores es llamado ortogonal, si cada uno de sus elementos son vectores ortogonales, es decir, que son perpendiculares entre si o que su producto interno es igual a cero. Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial, definido con producto interno, T es un subconjunto de V. T es un conjunto ortogonal si y solamente si: Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos tienen que cumplir que su producto interno sea 0. )=0  

8. Propiedades Conjunto Ortogonal

9. PROPIEDADES: S es Ortogonal es L.I S = {ß 1 U 1, ß 2 U 2, …, ß n U n } => Es Ortogonal

10. Base Ortogonal

11. DEFINICIÓN Sea (V, k, +,*) en e.v . sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ) y S un sub espacio vectorial de V. Es una base ortogonal si: Sea S base de V Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos sus vectores ortogonales entre si. Sea LI

12. Norma de un Vector

13. DEFINICI ÓN La longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto interno del mismo vector . Es decir :  

14. OBSERVACIONES Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ). llamamos desigualdad triangular  

15. EJEMPLOS : Calcular la Norma de los siguientes vectores: u            

16. Conjunto Ortonormal

17. DEFINICION: Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ORTOGONAL y la NORMA de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición sólo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno.

18. EJEMPLOS CONJUNTOS ORTONORMALES

19. ¿CÓMO LOGRAR ORTONORMALIZACIÓN ? Usar el proceso de GRAM-SCHMIDT . Dada una base ortogonal de un espacio es trivial hallar una base ortonormal a partir de la primera dividiendo cada vector de la base ortogonal original por el valor de su norma .

20. Propiedades Conjunto Ortonormal

21. PROPIEDADES: S es Ortogonal S={w 1 , w 2 , …, w n } = 1  

22. Proceso de GRAM-SCHMIDT

23. DEFINICIÓN Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial en un campo k con producto interno y externo, W es subespacio vectorial de V. DimV =n, entonces W tiene una base ORTONORMAL. Todo subespacio V con producto interno tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal .

24. Si S={u 1; u 2 ;…;u n } es una base de V , entonces W={w 1 ;w 2 ;…; w n } es una base ortogonal donde:

25. Para calcular la base S 2 ortonormal partimos de la base S 1 ortogonal. Sea, S 2 ={r 1 ;r 2 ;…; r n } la base ortonormal buscada, entonces procedemos así:

26. Ejemplo: Encontrar una base B 1 ortogonal del sub espacio vectorial W . Primero encontramos una base de W

27. Tenemos S de la forma: B={u 1 ;u 2 ;…u n } Ahora aplicamos el proceso de Gram-Schmidt, para en contra una base B 1 ={w 1 ;w 2 ;…w n }

28. Bases Canónicas

29. PROPIEDADES Todas las bases canonícas son: a) Ortogonales b) orto normales Esta base tiene siempre que cumplir: a)LI b)Genera a e.v . c) Dim (B) = Dim ( e.v .)

30. ESPACIO VECTORIAL BASE CANONÍCA