Conjuntos matematicos

conjuntos matematicos, ejemplos, operaciones con conjuntos

1. Republica bolivariana de Venezuela.
Ministerio del poder popular para la educación.
UPTAEB.








Números reales y plano numérico.










Estudiante: Hernán Alejandro Meza Perez
Fecha: 01/02/2021
Aula: 0101
C.I. 28539728

2. CONJUNTOS MATEMATICOS.
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una
propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo
orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando
uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a
todos los elementos)
Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar conjuntos dentro de otros:
Unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los elementos que
pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para unión (en el caso de A y B, el
conjunto resultante será A U B);
Intersección: su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los elementos que tienen
en común los conjuntos dados;
Diferencia: partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A \, formado por los
elementos que solo se encuentren en A;
Complemento: si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el complemento de este
último será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a A;
Diferencia simétrica: su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los elementos que
pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados;
Producto cartesiano: el conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se consigue con pares
ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b).
Operaciones con conjuntos.
Unión.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá
a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un
conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de
A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪.
A B = {x U / x A ˅ x B}
Ejemplo: La unión del conjunto con el conjunto es el conjunto
, es decir,

Intersección.

3. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes,
los elementos no comunes A y B, será excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩.
S ∩ D = Ø.
Ejemplo: Dados A={a, b, 1, 2, 3} y B={3, 4}; se tiene que A ∩ B={3}

Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos
los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
A – B = { b, c, d }
Ejemplo: Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p,
9, Δ}

Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos
conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por
todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar
la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo: Diferencia simétrica de {2,5,3} y {4,2,3,7} es {4,5,7}.
Producto Cartesiano.
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el
primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento
pertenezca al segundo conjunto.
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2,
4),(2, 5)}

4. Números reales.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los
números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Se representa con la letra R.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz
cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de
efectos como los fenómenos eléctricos.

Valor Absoluto.
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física y las
Matemáticas, por ejemplo en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más
complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con
signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea
positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4
se representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto de 4 se representa como |4|, lo
cual también equivale a 4.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la distancia que existe de un punto
al origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia la
derecha, llegamos a −4
O a 4, respectivamente; el valor absoluto de cualquiera de dichos valores es 4.
Ejemplo:

5. El valor absoluto de −3 es 3
:

El valor absoluto de −8
es 8
:

El valor absoluto de x2
es x2
porque el cuadrado de cualquier número (real) es no negativo:

El valor absoluto de x2+1
es x2+1 porque x2+1 siempre es mayor o igual que 1
:

El valor absoluto de x−1
es

Es decir,

6. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
• Menor que <
• Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9

7. La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad
se mantiene.
• Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
• Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
• Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
• Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener
solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación.
Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
Ejemplo:

• Como este caso es una inecuación lineal, debes despejar la variable de la siguiente
forma:
(Transpones 1 al miembro derecho)
(Efectúas la sustracción)
(Despejas y efectúas la división)

8. Como el enunciado pide el conjunto solución, la respuesta se escribe así:


Desigualdades con valor absoluto.
El valor absoluto de un número o expresión es su distancia de 0 en la recta numérica.
Como el valor absoluto sólo expresa distancia, y no la dirección del número, siempre se
expresa como un número positivo o 0.
Por ejemplo, −4 y 4 ambos tienen un valor absoluto de 4 porque ambos están a 4
unidades del 0 en la recta numérica — aunque están localizados en direcciones opuestas a
partir del 0.
Cuando resuelvas valores absolutos en ecuaciones y desigualdades, debes considerar el
comportamiento del valor absoluto y las propiedades de la equidad y la desigualdad.