Conservacion de la_energia

4,275 views 48 slides May 27, 2021
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About This Presentation

Problemas fisica .Tipler Conservación energía


Slide Content

Conservación de la energía. Tipler. Capítulo 7.

Conservación de la energía mecánica.
1. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenientes de utilizar el principio de conservación de
la energía mecánica en lugar de las leyes de Newton para resolver problemas?
Trabajamos con magnitudes escalares, pero hay magnitudes que no se pueden
calcular, tiempo, trayectoria, …

2. Dos objetos de masas desiguales están conectados por una cuerda sin masa que pasa
por una polea sin rozamiento. Una vez liberados del reposo, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son ciertas? (U= energía potencial gravitatoria, Ec= energía cinética del
sistema).
a) ∆U<0 y ∆Ec>0.
b) ∆U=0 y ∆Ec>0.
c) ∆U<0 y ∆Ec=0.
d) ∆U=0 y ∆Ec=0.
e) ∆U>0 y ∆Ec<0.
Si no hay rozamiento y el sistema se mueve, al aumentar la energía cinética ha de
disminuir la potencial y al contrario, al aumentar la potencial ha de disminuir la
cinética. El proceso espontaneo es disminuir la potencial y aumentar la cinética.
Opción a.

3. Dos piedras se lanzan con la misma velocidad inicial y en el mismo instante desde el
tejado de un edificio. Una piedra se lanza bajo un ángulo de 30º por encima de la
horizontal; la otra se lanza horizontalmente. (Despreciar la resistencia del aire).
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) Las piedras chocan contra el suelo al mismo tiempo y con iguales velocidades.
b) Las piedras chocan contra el suelo al mismo tiempo y con diferentes velocidades.
c) Las piedras chocan contra el suelo en tiempos distintos y con velocidades iguales.
d) Las piedras chocan contra el suelo en tiempos distintos y con velocidades
diferentes.
Respuesta correcta la c. Al ser la misma la enrgia de salida ha de ser la misma la final.
La piedra vertical tiene componente vertical de la velocidad y por tanto llegará más
tarde.

4. Un bloque de masa m comprime un muelle hasta una distancia x y luego se deja en
libertad. El muelle proyecta el bloque a lo largo de una superficie horizontal sin
rozamiento con una velocidad v. El mismo muelle proyecta un segundo bloque de
masa 4m con una velocidad 3v. ¿A qué distancia se comprimió el muelle en este
último caso?
En el primer caso:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408535;
&#3627409360;
=
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408537;
&#3627409360;

En el segundo caso:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409362;∗&#3627408526;∗&#3627409367;∗&#3627408535;
&#3627409360;

Sustituyendo v de la primera situación:

&#3627408537;
&#3627409360;=&#3627409364;∗&#3627408537;

5. Una muchacha en bicicleta que circula por una carretera horizontal a 10 m/s deja de
pedalear cuando inicia una cuesta inclinada 30º con la horizontal. Ignorando las
fuerzas de rozamiento, ¿qué distancia recorrerá sobre la colina antes de detenerse?
a) 5,1 m b) 30 m c) 97 m d) 10,2 m
e) La respuesta depende de la masa de la muchacha.

&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408521;=
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;

&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627408521; ;&#3627408537;=
&#3627408521;
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
=
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
=
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409363;
=&#3627409367;&#3627409365;,&#3627409362; &#3627408526;
Respuesta c.

6. Un péndulo de longitud L con una lenteja de masa m se separa lateralmente hasta
que la lenteja se encuentra a una distancia L/4 por encima de su posición de
equilibrio. La lenteja se deja entonces en libertad. Determinar la velocidad de la
lenteja cuando sobrepasa la posición de equilibrio.

&#3627408526;∗&#3627408520;∗
&#3627408499;
&#3627409362;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;=√
&#3627408520;∗&#3627408499;
&#3627409360;

7. En una fiesta al aire libre, una niña se divierte lanzando balines de papel arrollado a
sus amigos con un juguete de muelle que ella se ha construido. Uno de estos
“proyectiles” de masa 200 g se apoya sobre el muelle cuya constante de fuerza es
300 N/m y éste se comprime 9 cm.
a) Determinar el trabajo realizado por la niña y por el muelle en el lanzamiento.
b) Si el balín sale despedido del muelle cuando éste se encuentra en su posición de
equilibrio, determinar la velocidad del balín en este punto.
c) Si el aparato está a 2,2 m sobre el césped, ¿Cuál será el alcance horizontal del
balín si su masa es de 200 g?
a) &#3627408510;
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=−∆&#3627408508;=−(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
)=−&#3627409358;,&#3627409363;∗&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409367;
&#3627409360;
=−&#3627409359;,&#3627409360;&#3627409359;&#3627409363; &#3627408497;
El trabajo de la niña será positivo y con el mismo valor.
b)
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408535;=√
&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627408526;
=√
&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409367;
&#3627409360;
&#3627409358;,&#3627409360;
=&#3627409361;,&#3627409362;&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;
c) Suponemos tiro horizontal.
&#3627409358;=&#3627408538;
&#3627408528;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408520;∗&#3627408533;
&#3627409360;

&#3627408533;=&#3627409358;,&#3627409364;&#3627409365; &#3627408532;
&#3627408537;=&#3627408535;∗&#3627408533;=&#3627409361;,&#3627409362;&#3627409367;∗&#3627409358;,&#3627409364;&#3627409365;=&#3627409360;,&#3627409361;&#3627409362; &#3627408526;
8. Un bloque de 3 kg se desliza a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento
con una velocidad de 7 m/s (figura). Después de recorrer una distancia de 2 m,
encuentra una rampa sin rozamiento inclinada un ángulo de 40º con la horizontal.
¿Qué distancia recorrerá el bloque en la rampa ascendente antes d detenerse?

&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;
Por trigonometría:
&#3627408521;=&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;
Por tanto:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;
&#3627408537;=
&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;
=
&#3627409365;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;
=&#3627409361;,&#3627409366;&#3627409367; &#3627408526;

9. Un objeto de 3 kg en reposo (figura) se deja libre a una altura de 5m sobre una
rampa curva y sin rozamiento. Al pie de la rampa existe un muelle cuya constante es
k=400 N/m. El objeto se desliza por la rampa y choca contra el muelle
comprimiéndole una distancia x antes de alcanzar momentáneamente el reposo.
a) Determinar x.
b) ¿Qué ocurre con el objeto después de alcanzar el reposo?

a) &#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408537;=√
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;
&#3627408524;
=√
&#3627409360;∗&#3627409361;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;
&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409363;&#3627409366; &#3627408526;
b) El cuerpo volverá a coger velocidad conforme se descomprime el muelle, pierde
energía potencial elástica y gana cinética. Al desacoplarse del muelle saldrá con
energía cinética igual a la inicial y llegar a la rampa, aquí la energía cinética se irá
convirtiendo en potencial gravitatoria, llegará a la altura final de 5 m, igual a la
inicial.
10. Un muelle vertical comprimido una distancia x se apoya sobre un suelo de hormigón.
Cuando un bloque de masa m1 se sitúa sobre el muelle y este se libera, el bloque se
proyecta hacia arriba hasta una altura h. Si un bloque de masa m2=2m1 se sitúa sobre
el muelle y éste se comprime de nuevo una distancia x y se libera, ¿a qué altura
llegará?
a) h/4 b) h/2 c) h/√&#3627409360; d) h
En el primer lanzamiento:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408521; ;&#3627408524;=
&#3627409360;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408537;
&#3627409360;

En el segundo lanzamiento:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;
&#3627408521;
&#3627409360;=
&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;
=
&#3627409360;∗&#3627408526;
&#3627409359;
∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408537;
&#3627409360;
∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;
=
&#3627408521;
&#3627409360;

Respuesta B.

11. Si el muelle del problema 10 se comprime una distancia 2 x y sobre él se coloca el
bloque de masa 2 m, ¿a qué altura llegará el bloque al liberar el muelle?

a) 2 h b) √&#3627409360; h c) h d) h/√&#3627409360;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗(&#3627409360;∗&#3627408537;)
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;
&#3627408521;
&#3627409360;=
&#3627408524;∗&#3627409362;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409362;∗&#3627408520;
=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408537;
&#3627409360;
∗&#3627409362;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;
=&#3627409360; &#3627408521;
Respuesta a.
12. Se lanza una pequeña pelota de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un
muelle cuya constante de fuerza es 600 N/m. El muelle puede comprimirse hasta 5
cm. ¿Qué altura puede alcanzar la pelota si se apunta verticalmente?
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408521;=
&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;
=
&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409363;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409359;&#3627409363;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
=&#3627409363;,&#3627409359;&#3627409358; &#3627408526;
13. Una piedra se lanza horizontalmente con una velocidad de 20 m/s desde un puente
de 16 m de altura sobre la superficie del agua. ¿Qué velocidad tiene la piedra al
chocar con el agua?
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408519;=√&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=√&#3627409360;&#3627409358;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409364;=&#3627409360;&#3627409364;,&#3627409365;&#3627409360; &#3627408526;/&#3627408532;
14. Una grúa de un puerto levanta un contenedor de 4000 kg hasta una altura de 30 m,
lo lleva oscilando sobre la cubierta de un buque y finalmente se deposita en la
bodega que está 8 m por debajo del nivel del suelo del puerto. ¿Cuánto trabajo ha
realizado la grúa? (Despreciar las perdidas por rozamiento)
&#3627408510;
&#3627408520;&#3627408531;ú&#3627408514;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408520;&#3627408531;ú&#3627408514;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408519;=&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(−&#3627409366;)=−&#3627409361;&#3627409359;&#3627409361; &#3627409367;&#3627409360;&#3627409358; &#3627408497;
15. Un muchacho de 16 kg sobre un columpio de jardín lleva una velocidad de 3,4 m/s
cuando el columpio de 6 m de longitud se encuentra en el punto más bajo de sus
oscilaciones. ¿Qué ángulo forma el columpio con la vertical cuando el niño se
encuentra en el punto más elevado?
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
Por trigonometría:

&#3627408521;=&#3627408499;− &#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527; ??????=&#3627409359;− (
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
)=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;(&#3627409359;−
&#3627409361;,&#3627409362;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;
)=&#3627409364;&#3627409362;,&#3627409362;
&#3627408528;

El ángulo pedido es el complementario: 90-64,4=25,6º

16. En 1983, Jacqueline De Creed, conduciendo un Ford Mustang 1967, dio un salto de 71
m, despegando de una rampa inclinada 30º con la horizontal. Si la masa del coche y
el conductor era de 900 kg, determinar la energía cinética Ec y la energía potencial U
del vehículo de De Creed en el punto más alto de su vuelo.

Como tenemos un salto de 71 m, tiro parabólico:
&#3627408538;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408533;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408520;∗&#3627408533;
&#3627409360;

&#3627408537;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408533;
Del punto de caída:
&#3627408533;=
&#3627408537;
&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????

&#3627409358;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗
&#3627408537;
&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408520;∗(
&#3627408537;
&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
)
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408528;=√
&#3627408520;∗&#3627408537;
&#3627409360;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
=√
&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409365;&#3627409359;
&#3627409360;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409358;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;
=&#3627409360;&#3627409366;,&#3627409361;&#3627409364; &#3627408526;/&#3627408532;
En el punto más alto el coche tendrá una velocidad v0x=vo*cos30
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409367;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409360;&#3627409366;,&#3627409361;&#3627409364;
&#3627409360;
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
&#3627409361;&#3627409358;=&#3627409360;&#3627409365;&#3627409359;&#3627409362;&#3627409362;&#3627409366; &#3627408497;
Para la energía potencial:
&#3627408508;=&#3627408492;
&#3627408516;&#3627408528;−&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
−&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409367;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409360;&#3627409366;,&#3627409361;&#3627409364;
&#3627409360;
−&#3627409360;&#3627409365;&#3627409359;&#3627409362;&#3627409362;&#3627409366;=&#3627409367;&#3627409358;&#3627409362;&#3627409366;&#3627409361; &#3627408497;

17. El sistema que se muestra en la figura está en reposo cuando se corta la cuerda
inferior. Determina la velocidad de los objetos cuando están a la misma altura.

&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
En la situación 1 tenemos únicamente energía potencial:
&#3627408508;
&#3627409359;=&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;=&#3627409361;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409363;+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(−&#3627409358;,&#3627409363;)=&#3627409362;,&#3627409367;&#3627409359; &#3627408497;
En la situación final tota la energía será cinética (h=0) y las dos velocidades son
iguales:
&#3627408492;
&#3627408516;&#3627409360;=&#3627408508;
&#3627409359;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408508;
&#3627409359;
&#3627408535;=√
&#3627409360;∗ &#3627408508;
&#3627409359;
(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)
=√
&#3627409360;∗&#3627409362;,&#3627409367;&#3627409359;
&#3627409363;
=&#3627409359;,&#3627409362;&#3627409358; &#3627408526;/&#3627408532;

18. Tres expedicionarios viajan por tierras del norte totalmente heladas. Uno de ellos
experimenta una ceguera producida por el reflejo de la nieve y otro le conduce
cogiéndole del brazo. Más atrás, el tercer compañero sufre una caída y se desliza por
la superficie sin rozamiento del valle de un río helado como se indica en la figura. Si
el punto Q está 4,5 m por encima del punto P, en donde el compañero está cayendo
a una velocidad vo por la pendiente, ¿cómo se describiría esta situación al
compañero ciego si
a) V0=2m/s b) vo=5 m/s
c)¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima para que el viajero que sufrió la caída
alcance el punto Q?


a) &#3627408492;
&#3627408526;&#3627408528;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408503;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;=√&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408529;=√&#3627409360;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;=&#3627409359;&#3627409358;,&#3627409359; &#3627408526;/&#3627408532;
b) &#3627408535;=√&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408529;=√&#3627409363;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;=&#3627409359;&#3627409359;,&#3627409359; &#3627408526;/&#3627408532;
c)
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408503;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408504;
&#3627408535;
&#3627408528;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;
&#3627408504;−&#3627408521;
&#3627408503;)=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627409367;,&#3627409363;−&#3627409363;)=&#3627409367;,&#3627409362;&#3627409358; &#3627408526;/&#3627408532;
19. Un bloque reposa sobre un plano inclinado como indica la figura. Por medio de una
polea, el bloque está conectado a un muelle del cual se tira hacia abajo con una
fuerza gradualmente creciente. El valor de µe es conocido. Determinar la energía
potencial U del muelle en el momento que el bloque comienza a moverse.

En el caso considerado:
&#3627408493;
&#3627408532;&#3627408529;=&#3627408519;
&#3627408532; &#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;+&#3627408503;
&#3627408537;=??????
&#3627408518;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
En el muelle:
&#3627408493;
&#3627408532;&#3627408529;=&#3627408524;∗&#3627408537;
De ello:
&#3627408537;=
??????
&#3627408518;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408524;

Para la energía potencial:
&#3627408508;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=
(&#3627408526;∗&#3627408520;∗(??????
&#3627408518;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????))
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408524;


20. Una muchacha se desliza sin remedio por una superficie helada arrastrando con ella
la cuerda de alpinismo. Un compañero que corre detrás de la muchacha consigue
atrapar la cuerda cuando ella está justamente sobre el borde de un precipicio e
intenta agarrarse a un árbol para evitar ser también arrastrado hacia el precipicio.
Sea U=0 la energía potencial en la posición de la muchacha que oscila al aire libre en
el extremo de la cuerda. Desgraciadamente la rama del árbol que mantiene a su
compañero se rompe.
a) Expresar la energía mecánica total de este sistema de dos cuerpos cuando la
muchacha ha descendido la distancia y.
b) Existe otro árbol que se encuentra 2 m más próximo del borde del acantilado que
el primero. ¿Qué velocidad lleva el joven cuando logra alcanzar este segundo
árbol?

a) &#3627408508;=−&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408538;
b) &#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627409360;=&#3627409358;
&#3627408535;=√
&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;
&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;

21. Un bloque de 2,4 kg se lanza desde una altura de 5,0 m sobre un muelle cuya
constante de fuerza es de 3955 N/m. Cuando el bloque alcanza momentáneamente
el reposo, el muelle se ha comprimido 25 cm. Determinar la velocidad del bloque
cuando la compresión del muelle es de 15,0 cm.

&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
El nivel h=0 lo cogemos en la posición final del muelle para compresión máxima. Para
la compresión máxima:
Para una compresión de 15,0 cm tenemos:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408537;)=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;=√
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627408526;
=√
&#3627409360;∗&#3627409360;,&#3627409362;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;,&#3627409359;&#3627409363;−&#3627409361;&#3627409367;&#3627409363;&#3627409363;∗&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409363;
&#3627409360;
&#3627409360;,&#3627409362;
=&#3627409366;,&#3627409358;&#3627409358; &#3627408526;/&#3627408532;

22. Una muchacha de masa m lleva una cesta de comida a su abuela. Para cruzar un
riachuelo ata una cuerda de longitud R a la rama de un árbol y comienza o oscilar
desde el reposo en el punto A que se encuentra a una distancia R/2 por debajo de la
rama(figura). ¿Cuál es la tensión mínima de rotura de la cuerda para que esta no se
rompa y la muchacha no caiga en el arroyo?

&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗
&#3627408505;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;=√&#3627408520;∗&#3627408505;
&#3627408507;−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408507;=&#3627408526;∗&#3627408520;+&#3627408526;∗
&#3627408520;∗&#3627408505;
&#3627408505;
=&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;

23. Una pelota en el extremo de una cuerda se mueve en un círculo vertical con energía
constante E. ¿Qué diferencia existe entre la tensión en la parte más baja del círculo y
la tensión en la parte más alta del mismo?
En el punto más bajo:

&#3627408492;=
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408535;=√
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408526;

&#3627408507;
&#3627408514;&#3627408531;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408515;&#3627408514;−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408507;
&#3627408514;&#3627408531;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408515;&#3627408514;=&#3627408526;∗&#3627408520;+&#3627408526;∗
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408526;∗&#3627408505;
=&#3627408526;∗&#3627408520;+
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408505;


En el punto más alto:
&#3627408492;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408505;;&#3627408535;=√
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408526;
−&#3627408520;∗&#3627409362;∗&#3627408505;
&#3627408507;
&#3627408514;&#3627408515;&#3627408514;&#3627408523;&#3627408528;+&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408507;
&#3627408514;&#3627408515;&#3627408514;&#3627408523;&#3627408528;=&#3627408526;∗
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408526;
−&#3627408520;∗&#3627409362;∗&#3627408505;
&#3627408505;
−&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408507;
&#3627408514;&#3627408515;&#3627408514;&#3627408523;&#3627408528;=
&#3627409360;∗&#3627408492;
&#3627408505;
−&#3627409363;∗&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408499;&#3627408514; &#3627408517;&#3627408522;&#3627408519;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408516;&#3627408522;&#3627408514;:
|∆&#3627408507;|=&#3627409364;∗&#3627408526;∗&#3627408520;

24. La vagoneta de una montaña rusa de masa 1500 kg parte de un punto situado a una
altura H de 23 m sobre la parte más baja de un rizo de 15 m de diámetro(figura). Si el
rozamiento es despreciable, la fuerza hacia debajo de los carriles sobre la vagoneta
cuando están cabeza abajo en lo alto del rizo es
a) 4,6 10
4
N b) 3,1 10
4
N c) 1,7 10
4
N d) 980 N e)1,6 10
3
N


&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408505;
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(??????−&#3627409360;∗&#3627408505;)

&#3627408493;
&#3627408527;+&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;

&#3627408493;
&#3627408527;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627409360;∗&#3627408520;∗(??????−&#3627409360;∗&#3627408505;)
&#3627408505;
−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(
&#3627409360;∗??????
&#3627408505;
−&#3627409363;)
&#3627408493;
&#3627408527;=&#3627409359;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(
&#3627409360;∗&#3627409360;&#3627409361;
&#3627409365;,&#3627409363;
−&#3627409363;)=&#3627409359;,&#3627409364;&#3627409365;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409362;
&#3627408501;
Respuesta c.

25. Una piedra se lanza hacia arriba bajo un ángulo de 53º por encima de la horizontal.
Su altura máxima durante la trayectoria es de 24 m. ¿Cuál fue la velocidad de la
piedra?
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗??????+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????
&#3627408535;=√
&#3627409360;∗&#3627408520;∗??????
&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????
=√
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;&#3627409362;
&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
&#3627409363;&#3627409361;
=&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409360; &#3627408526;/&#3627408532;

26. Una pelota de béisbol de masa 0,17 kg se lanza desde el tejado de un edificio situado
a 12 m por encima del suelo. Su velocidad inicial es de 30 m/s y el ángulo de
lanzamiento 40º sobre la horizontal.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la gravedad cuando la pelota se mueve desde el
tejada hasta su altura máxima?
c) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo?
a)

&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????+&#3627408526;∗&#3627408520;∗??????
??????=&#3627408521;
&#3627409359;+
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627408520;
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????)=&#3627409359;&#3627409360;+
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627409361;&#3627409358;
&#3627409360;
&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
&#3627409362;&#3627409358;)=&#3627409361;&#3627409359;,&#3627409358; &#3627408526;
b) &#3627408510;
&#3627408503;=−∆&#3627408508;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗(??????−&#3627408521;
&#3627409359;
)=&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409365;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627409359;&#3627409360;−&#3627409361;&#3627409359;,&#3627409358;)=−&#3627409361;&#3627409359;,&#3627409365; &#3627408497;
c) &#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;+&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409360;+&#3627409361;&#3627409358;
&#3627409360;
=&#3627409361;&#3627409361;,&#3627409365; &#3627408526;/&#3627408532;

27. Un péndulo de 80 cm de longitud con una lenteja de 0,6 kg se deja libre desde el
reposo cuando forma un ángulo inicial θo con la vertical. En la parte más baja de su
oscilación, la velocidad de la lenteja es 2,8 m/s.
a) ¿Cuál era el ángulo inicial del péndulo?
b) ¿Qué ángulo formará el péndulo con la vertical cuando la velocidad de la lenteja
sea de 1,4 m/s?

a) &#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;

&#3627408499;=&#3627408499;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408528;+&#3627408521; ;&#3627408521;=&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408528;)
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408528;
)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;

&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408528;=&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
; ??????
&#3627408528;=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
)
??????
&#3627408528;=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627409360;,&#3627409366;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409358;
)=&#3627409364;&#3627409358;,&#3627409358; º
b)
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=(&#3627409359;−
&#3627409359;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
∗(&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627409360;
))
??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627409359;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409358;
∗(&#3627409360;,&#3627409366;
&#3627409360;
−&#3627409359;,&#3627409362;
&#3627409360;
))=&#3627409363;&#3627409359;,&#3627409361;º

28. El puente Royal Gorge sobre el rio Arkansas tiene una altura aproximada L=310 m.
Un saltador de masa 60 kg tiene una cuerda elástica atada a sus pies de longitud d=
50 m. Suponer que la cuerda actúa como un muelle de constante de fuerza k. El
saltador se lanza, apenas toca el agua y después de numerosas subidas y bajadas se
detiene a una altura h sobre el agua.
a) Determinar h.
b) Determinar la velocidad máxima alcanzada por el saltador.
a)

Por el dibujo, en la situación de máxima elongación del muelle:
&#3627408499;=&#3627408517;+&#3627408521;+&#3627408537;
En la situación de elongación máxima h=0.
L=d+x ; xmax=310-50=260 m.
En la situación final:
&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408524;∗&#3627408537;
Por energías entre la situación inicial y el de máxima elongaciónl:
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408507;&#3627408528;&#3627408526;&#3627408514;&#3627408527;&#3627408517;&#3627408528; &#3627408528;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408520;&#3627408518;&#3627408527; &#3627408514;&#3627408525;&#3627408533;&#3627408534;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408532; &#3627408518;&#3627408527; &#3627408518;&#3627408525; &#3627408529;&#3627408534;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; &#3627408517;&#3627408518; &#3627408532;&#3627408514;&#3627408525;&#3627408522;&#3627408517;&#3627408514;:
&#3627409358;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
&#3627408524;=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
&#3627408537;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409360;∗&#3627409364;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409360;&#3627409364;&#3627409358;
&#3627409360;
=&#3627409363;,&#3627409362;&#3627409358; &#3627408501;/&#3627408526;
En el punto final tenemos equilibrio de fuerzas:
&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627408519;=&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408537;
&#3627408519;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
=
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
=
&#3627409360;&#3627409364;&#3627409358;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409361;&#3627409359;&#3627409358;
=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409367; &#3627408526;
Según el dibujo:
L=d+h+xf
&#3627408521;=&#3627408499;−&#3627408517;−&#3627408537;
&#3627408519;=&#3627409361;&#3627409359;&#3627409358;−&#3627409363;&#3627409358;−&#3627409359;&#3627409358;&#3627409367;=&#3627409359;&#3627409363;&#3627409359; &#3627408526;
b) Consideramos el punto inicial y el punto de máxima velocidad:
&#3627409358;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408517;+&#3627408537;)+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

Despejamos v
2
:
&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408517;+&#3627408537;)−
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408537;
&#3627409360;

La velocidad ha de ser máxima, por tanto, también la velocidad al cuadrado,
derivamos e igualamos a cero:
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408517;&#3627408537;
=&#3627409360;∗&#3627408520;−&#3627409360;∗
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408537;=&#3627409358;
&#3627408537;=
&#3627408520;∗&#3627408526;
&#3627408524;
=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409367; &#3627408526;
Substituimos en la expresión de v:
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408517;+&#3627408537;)−
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408537;
&#3627409360;
=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627409363;&#3627409358;+&#3627409359;&#3627409358;&#3627409367;)−
&#3627409363;,&#3627409362;&#3627409358;
&#3627409364;&#3627409358;
∗&#3627409359;&#3627409358;&#3627409367;
&#3627409360;
=&#3627409362;&#3627409363;,&#3627409361; &#3627408526;/&#3627408532;
29. Un péndulo está formado por una lenteja de 2 kg atada a una cuerda ligera de
longitud 3 m. La lenteja se golpea horizontalmente, de modo que alcanza una
velocidad horizontal de 4,5 m/s. En el punto en que la cuerda forma un ángulo de
30º con la vertical
a) ¿Cuál es la velocidad de la lenteja?
b) ¿Cuál es su energía potencial?
c) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
d) ¿Qué ángulo forma la cuerda con la vertical cuando la lenteja alcanza su máxima
altura?

a)
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
Altura cero en el punto 1.
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;
&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
=&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408499;−&#3627408499;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
&#3627408535;
&#3627409359;=√&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=√&#3627409362;,&#3627409363;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;)=&#3627409361;,&#3627409363;&#3627409360; &#3627408526;/&#3627408532;
b) &#3627408508;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;)=&#3627409365;,&#3627409366;&#3627409367; &#3627408497;
c) &#3627408507;−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408499;

&#3627408507;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+ &#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408499;
=&#3627409361;∗(&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;+
&#3627409361;,&#3627409363;&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627409361;
)=&#3627409360;&#3627409363;,&#3627409361; &#3627408501;
d) &#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;

e) &#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;

??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
)=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627409362;,&#3627409363;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;
)=&#3627409362;&#3627409367;,&#3627409358;
&#3627408528;


30. Un muchacho travieso está intentando matar ratones mediante un reloj de masa m
atado al extremo de una estaca ligera (sin masa) de 1,4 m de longitud que cuelga de
un clavo en la pared (figura). El extremo de la estaca con el reloj puede girar
alrededor del otro extremo en un círculo vertical. El muchacho eleva el reloj hasta
poner horizontalmente la estaca y cuando os ratones asoman su hocico por el
agujero de su madriguera, empuja el reloj con una velocidad hacia abajo v. Pero el
reloj falla el golpe y continúa su trayectoria circular con la energía suficiente para
completar el círculo y golpear al muchacho en su cabeza, mientras los ratones gritan
alborozados.
a) ¿Cuál fue el valor de v?
b) ¿Cuál fue la velocidad del reloj en la parte más baja de su oscilación?

a) Cogemos como origen de altura la parte inferior del círculo. Comparamos
el punto inicial con el punto superior del círculo y la velocidad mínima
para girar (T=0 en el punto superior):


&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
&#3627408499;
; &#3627408535;
&#3627409361;=√&#3627408499;∗&#3627408520;
Comparamos ahora el punto inicial y el superior:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408499;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;

&#3627408535;=√&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗??????∗??????=√&#3627408520;∗&#3627408499;+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;=√&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408499;=√&#3627409361;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;,&#3627409362;=&#3627409364;,&#3627409362;&#3627409360; &#3627408526;/&#3627408532;

b)
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409361;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;+&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408499;=√&#3627409363;∗&#3627408520;∗&#3627408499;=√&#3627409363;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;,&#3627409362;=&#3627409366;,&#3627409360;&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;


31. Un péndulo está formado por una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. La
cuerda se dispone en posición horizontal y se da a la lenteja la velocidad inicial
mínima para que el péndulo de una vuelta completa en el plano vertical.
a) ¿Cuál es la máxima energía cinética Ec de la lenteja?
b) ¿Cuál es en ese momento la tensión de la cuerda?

a) De la condición de velocidad mínima:
&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
&#3627408499;
; &#3627408535;
&#3627409361;=√&#3627408499;∗&#3627408520;
Comparamos punto 1 y punto 3:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408499;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409359;=√&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗??????∗??????=√&#3627408520;∗&#3627408499;+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;=√&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
La energía cinética es máxima en el punto inferior, tota energía mecáncia es
cinética:
&#3627408492;
&#3627408516;&#3627409360;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408499;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408499;
&#3627408492;
&#3627408516;&#3627409360;=&#3627409360;,&#3627409363;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
b) La velocidad en el punto 2 es:
&#3627408535;
&#3627409360;=√&#3627409363;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
Por dinámica:
&#3627408507;
&#3627409360;−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408507;=&#3627408526;∗&#3627408520;+&#3627408526;∗
&#3627409363;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
&#3627408499;
=&#3627409364;∗&#3627408526;∗&#3627408520;

32. Un muchacho de peso 360 N se balancea sobre una balsa de agua mediante una
cuerda atada a la rama de un árbol en el borde de la balsa. La rama está a 12 m por
encima del nivel del suelo y la superficie del agua de la balsa está a 1,8 m por debajo
del suelo. El muchacho con la cuerda en la mano, se sitúa en un punto a 10,6 m de la
rama y se mueve hacia atrás hasta que la cuerda forma un ángulo con la vertical de
23º. Entonces se lanza y cuando la cuerda está en posición vertical se suelta de la
cuerda y cae en la balsa. Determinar la velocidad del muchacho en el momento de
caer en el agua.

&#3627409359;&#3627409358;,&#3627409364;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409367;,&#3627409366; &#3627408526; ;&#3627409359;&#3627409358;,&#3627409364;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=&#3627409358;,&#3627409366;
12+1,8=10,6 +h ; h=3,2 m
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409361;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????))=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;


Comparando los puntos 1 y 3, despejamos v3 :
&#3627408535;
&#3627409361;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????))=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627409361;,&#3627409360;+&#3627409359;&#3627409358;,&#3627409364;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409360;&#3627409361;)=&#3627409366;,&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;

33. Paseando junto a un estanque, un muchacho encuentra una cuerda atada a la rama
de un árbol a 5,2 m del suelo y decide utilizarla para balancearse sobre el estanque.
La cuerda está algo deteriorada, pero soporta su peso. El muchacho estima que la
cuerda se romperá si la tensión supera en 80 N su propio peso. Agarra la cuerda en
un punto que está a 4,6 m de la rama y se mueve hacia atrás para balancearse sobre
el estanque.
a) ¿Cuál es el ángulo inicial máximo entre la cuerda y la vertical que permite al
muchacho balancearse con seguridad sin que se rompa la cuerda?
b) Si el muchacho comienza con este ángulo máximo y la superficie del estanque
está a1,2 m por debajo del nivel del suelo, ¿con qué velocidad entrará en el agua
si se suelta cuando ésta pasa por la posición vertical?
Suponer una masa de 66,3 kg para el muchacho.

a) Comparamos los puntos 1 y 2:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
; ??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;
)
Por la condición de rotura de la cuerda en el punto inferior:
&#3627408507;−&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627408499;

&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;
=
&#3627408499;
&#3627408526;
∗(&#3627408507;−&#3627408503;)=
&#3627409362;,&#3627409364;
&#3627409364;&#3627409364;,&#3627409361;
∗&#3627409366;&#3627409358;=&#3627409363;,&#3627409363;&#3627409363; &#3627408526;
&#3627409360;
/&#3627408532;
&#3627409360;

??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627409363;,&#3627409363;&#3627409363;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409362;,&#3627409364;
)=&#3627409360;&#3627409358;,&#3627409360;
&#3627408528;

b) Si miramos las alturas indicadas:
5,2+1,2=4,6+h; h=1,8 m
Comparamos los puntos 1 y 3:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409361;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409361;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627409359;,&#3627409366;+&#3627409362;,&#3627409364;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409360;&#3627409358;,&#3627409360;)
&#3627408535;
&#3627409361;=&#3627409364;,&#3627409361;&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;

34. Un péndulo de longitud L tiene una lenteja de masa m atada a una cuerda ligera y
conectada a un muelle de constante de fuerza k. Con el péndulo en la posición
indicada en la figura, el muelle se encuentra en su posición natural. Si ahora tiramos
lateralmente de la lenteja hasta que la cuerda forme un ángulo pequeño θ con la
vertical, ¿Cuál será la velocidad de la lenteja después de soltarla cuando pase por la
posición de equilibrio?

Comparamos la posición 1 y 2:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;

Para ángulo pequeño: &#3627408537;≈&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗(&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;

Por ser ángulo pequeño:
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????≈??????
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409359;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗??????
&#3627409360;

Por tanto:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408499;
&#3627409360;
∗??????
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗
&#3627409359;
&#3627409360;
∗??????
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409360;=??????∗√&#3627408499;∗(&#3627408498;∗&#3627408499;+&#3627409360;∗&#3627408520;)

35. Un péndulo está suspendido del techo y conectado a un muelle fijo en el extremo
opuesto justo por debajo del soporte del péndulo (figura). La masa de la lenteja es
m, la longitud del péndulo, L y la constante del muelle k. La longitud del muelle sin
deformar es L/2 y la distancia entre la parte más baja del muelle y el techo es 1,5 L.
el péndulo se desplaza lateralmente hasta formar un pequeño ángulo θ con la
vertical y después se deja en libertad desde el reposo. Obtener una expresión para la
velocidad de la lenteja cuando θ=0.

Consideramos los puntos 1 y 2, tomamos altura cero en el punto 2:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

Por Pitágoras en el triángulo inferior:
(&#3627408537;+&#3627408499;/&#3627409360;)
&#3627409360;
=&#3627408499;
&#3627409360;
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;
&#3627409360;
??????+(
&#3627408499;
&#3627409360;
+&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????))
&#3627409360;

(&#3627408537;+&#3627408499;/&#3627409360;)
&#3627409360;
=&#3627408499;
&#3627409360;
∗(&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;
&#3627409360;
??????+&#3627409359;&#3627409362;+&#3627409359;+&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????−&#3627409360;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627409360;∗
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????))
(&#3627408537;+&#3627408499;/&#3627409360;)
&#3627409360;
=&#3627408499;
&#3627409360;
∗(&#3627409359;+
&#3627409359;
&#3627409362;
+&#3627409359;−&#3627409360;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
(&#3627408537;+&#3627408499;/&#3627409360;)
&#3627409360;
=&#3627408499;
&#3627409360;
∗(
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627409362;
−&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
&#3627408537;=&#3627408499;∗[√
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627409362;
−&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????−&#3627409359;/&#3627409360;]
Considerando la conservación de energía inicial:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408499;
&#3627409360;
∗[√
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627409362;
−&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????−&#3627409359;/&#3627409360;]
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

Despejando v obtenemos la expresión pedida:
&#3627408535;=√
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408499;
&#3627409360;
∗[√
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627409362;
−&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????−
&#3627409359;
&#3627409360;
]
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)

Conservación de la energía

36. Verdadero o falso:
a) La energía total de un sistema no puede variar.
b) Cuando una persona salta en el aire, el suelo, trabaja sobre ella incrementando
su energía potencial.
a) Falso, si actúan fuerzas no conservativas la energía del sistema cambia.
b) Al saltar nuestro cuerpo hace una fuerza sobre el suelo y la fuerza de reacción
del suelo sobre nosotros produce el movimiento. En este sentido la afirmación es
correcta. En sentido energético nosotros gastamos energía al saltar y esta
energía se convierte en energía potencial.

37. Un hombre se encuentra de pie sobre patines de ruedas junto a una pared rígida.
Para iniciar el movimiento se apoya y empuja contra la pared. Analizar los cambios
energéticos que tienen lugar en esta situación.
La persona gasta energía haciendo una fuerza sobre la pared, la pared hace una
fuerza sobre nosotros y no devuelve esta energía en forma de energía cinética.

38. Analizar los cambios energéticos que tienen lugar cuando un parte del reposo y
acelera de modo que las ruedas no se deslizan. ¿qué fuerza externa acelera el coche?
¿Realiza trabajo esta fuerza?
La energía química del combustible (o de la batería si es eléctrico) se convierte en
energía cinética del vehículo. La fuerza que acelera el coche es la fuerza que hace el
suelo sobre las ruedas (reacción a la de las ruedas sobre el suelo). Esta fuerza si hace
trabajo.

39. Un cuerpo que cae a través de la atmósfera (la resistencia del aire está presente)
aumenta su energía cinética en 20 J. La cantidad de energía potencial gravitatoria
perdida es
a) 20 J b) más de 20 J c) menos de 20 J
d)imposible de conocer sin saber la masa del cuerpo
e)imposible de conocer sin saber la distancia recorrida por el cuerpo
Respuesta b. La energía potencial perdida se invierte en calor y energía cinética.

40. Supongamos que una persona puede suministrar energía a una tasa constante de
250 W. Estimar la rapidez con que puede subir cuatro tramos de escalera, cada uno
de ellos de 3,5 m de altura.
La altura total a subir son 4*3,5m=14 m
Si suponemos una masa de 70 kg la persona ha de ganar una energía de:
∆&#3627408492;
&#3627408529;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409365;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409362;=&#3627409359;&#3627409367;&#3627409360;&#3627409361; &#3627408497;
El tiempo mínimo para subir (si no hay fricciones):
∆&#3627408533;=
&#3627408510;
&#3627408503;
=
&#3627409359;&#3627409367;&#3627409360;&#3627409361;
&#3627409360;&#3627409363;&#3627409358;
=&#3627409365;,&#3627409365; &#3627408532;
En función de su masa:
∆&#3627408533;=
&#3627409359;&#3627409361;&#3627409365;,&#3627409361;&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409360;&#3627409363;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409363;∗&#3627408526; &#3627408532;
41. Un patinador de 70 kg, empujando contra la pared de una pista de patinaje, adquiere
una velocidad de 4 m/s.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el patinador?
b) ¿Cuál es la variación de energía mecánica del mismo?
c) Analizar el principio de conservación de la energía aplicada al patinador.
a) b) &#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409365;&#3627409358;∗&#3627409362;
&#3627409360;
=&#3627409363;&#3627409364;&#3627409358; &#3627408497;
c)La persona gasta energía que se convierte en energía cinética.

42. En una erupción volcánica se expulsó una masa de 4 km
3
de montaña con una
densidad de 1600 kg/m
3
hasta una altura media de 500 m.
a) ¿Cuánta energía en julios se liberó en esta erupción?
b) La energía liberada en una bomba termonuclear se mide en megatones de TNT,
siendo 1 megatón de TNT=4,2*10
15
J. Expresar la respuesta de a en megatones
de TNT.

a) ∆&#3627408492;
&#3627408529;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409222;∗&#3627408509;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409359;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409362;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409367;
∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;=&#3627409361;&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409367;∗ &#3627409359;&#3627409358;
&#3627409363;
&#3627408497;
b) &#3627409361;&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409367;∗ &#3627409359;&#3627409358;
&#3627409363;
&#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408520;&#3627408514;&#3627408533;ó&#3627408527;
&#3627409362;,&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409363;
&#3627408497;
=&#3627409365;,&#3627409363; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408520;&#3627408514;&#3627408533;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408518;&#3627408532;
43. Un estudiante de física de 80 kg sube a un monte de 120 m de altura.
a) ¿Cuál es el incremento de energía potencial gravitatoria del estudiante al llegar a
la cumbre del monte?
b) ¿De dónde procede esta energía?
c) El organismo del estudiante tiene un rendimiento del 20 por ciento, es decir por
cada 100 J de energía interna consumida, 20 J se convierten en energía mecánica
y 80 J se pierden en forma de calor. ¿Cuánta energía química es consumida por el
estudiante durante el ascenso al monte?
a) ∆&#3627408492;
&#3627408529;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409366;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409360;&#3627409358;=&#3627409367;&#3627409362;&#3627409359;&#3627409365;&#3627409364; &#3627408497;
b) Procede de la energía metabólica de la persona.
c) &#3627409367;&#3627409362;&#3627409359;&#3627409365;&#3627409364; &#3627408497;∗
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;&#3627409358;
=&#3627409362;&#3627409365;&#3627409358; &#3627409366;&#3627409366;&#3627409358; &#3627408497;

44. En 1993, Carl Fentham de Gran Bretaña levantó un barril de cerveza (masa 62 kg) a
una altura de unos 2 m, 676 veces en 6 h. Suponiendo que el trabajo se realizaba
solo cuando ascendía el barril, estimar cuántos barriles de cerveza debería beber
para recuperar la energía consumida en aquel ejercicio. (Un litro de cerveza tiene
una masa próxima a 1 kg y proporciona alrededor de 1,5 MJ de energía. Despreciar
en los cálculos la masa del barril vacío).
∆&#3627408492;
&#3627408529;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627409364;&#3627409365;&#3627409364;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;=&#3627409366;&#3627409360;&#3627409360;&#3627409361;&#3627409359;&#3627409361; &#3627408497;
&#3627409366;&#3627409360;&#3627409360; &#3627409361;&#3627409359;&#3627409361; &#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408500;&#3627408497;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;

&#3627409359; &#3627408499;
&#3627409359;,&#3627409363; &#3627408500;&#3627408497;

&#3627409359; &#3627408515;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408525;
&#3627409364;&#3627409360; &#3627408499;
=&#3627409358;.&#3627409358;&#3627409358;&#3627409366;&#3627409366; &#3627408515;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408525;&#3627408518;&#3627408532;

Rozamiento cinético

45. Analizar las implicaciones energéticas que tienen lugar al tirar de un bloque a lo largo
de una carretera rugosa.
Al tirar gastamos energía que trasladamos al cuerpo, esta energía se invierte en
energía cinética del bloque y calor que se disipa como consecuencia de la fricción.

46. Un coche de 2000 kg se mueve sobre una carretera horizontal con velocidad inicial
de 25 m/s. Se detiene a los 60 m por la acción de una fuerza de rozamiento
constante.
a) ¿Cuánto trabajo se realiza por la fuerza de rozamiento cinético?
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre los neumáticos y la
carretera?
a) &#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409360;&#3627409363;
&#3627409360;
=−&#3627409364;&#3627409360;&#3627409363; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408497;
b) ??????∗&#3627408501;∗∆&#3627408537;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409366;&#3627409358;=&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;; ??????=
−&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;
&#3627408501;∗∆&#3627408537;
=
−&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;
&#3627408503;∗∆&#3627408537;
=
&#3627409364;&#3627409360;&#3627409363; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409361;
47. Un trineo de 8 kg se encuentra inicialmente en reposo sobre una carretera
horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el trineo y la carretera es 0,4.
El trineo se empuja a lo largo de una distancia de 3 m con una fuerza de 40 N que
forma un ángulo de 30º con la horizontal.
a) Determinar el trabajo realizado por la fuerza aplicada.
b) Determinar la energía disipada por rozamiento.
c) Calcular la variación de energía cinética experimentada por el trineo.
d) Determinar la velocidad del trineo después de recorrer la distancia de 3m.

a)

&#3627408510;
&#3627408493;=&#3627408493;∗∆&#3627408537;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409362;&#3627409358;∗&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409362; &#3627408497;

b) &#3627408493;
&#3627408527;+&#3627408493;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627408526;∗&#3627408520; ; &#3627408493;
&#3627408527;=&#3627408526;∗&#3627408520;−&#3627408493;∗&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;??????
&#3627408510;
&#3627408493;&#3627408524;=&#3627408519;
&#3627408524;∗∆&#3627408537;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409366;&#3627409358;=− ??????∗(&#3627408526;∗&#3627408520;−&#3627408493;∗&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;??????)∗∆&#3627408537;
&#3627408510;
&#3627408493;&#3627408524;=−&#3627409358;,&#3627409362;∗(&#3627409366;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;−&#3627409362;&#3627409358;∗&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409358;)∗&#3627409361;=&#3627409365;&#3627409358;,&#3627409360; &#3627408497;
c) &#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
∆&#3627408492;
&#3627408516;=&#3627408510;
&#3627408493;+&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=&#3627408493;∗∆&#3627408537;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????− ??????∗(&#3627408526;∗&#3627408520;−&#3627408493;∗&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;??????)∗∆&#3627408537;
∆&#3627408492;
&#3627408516;=&#3627409362;&#3627409358;∗&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;−&#3627409358;,&#3627409362;∗(&#3627409366;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;−&#3627409362;&#3627409358;∗&#3627408532;&#3627408522;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409358;)∗&#3627409361;=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409362;−&#3627409365;&#3627409358;,&#3627409360;=&#3627409361;&#3627409361;,&#3627409366; &#3627408497;
d) ∆&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
; &#3627408535;
&#3627408519;=√
&#3627409360;∗∆&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627408526;
=√
&#3627409360;∗&#3627409361;&#3627409361;,&#3627409366;
&#3627409366;
=&#3627409360;,&#3627409367;&#3627409359; &#3627408526;/&#3627408532;

48. Suponer que las superficies del problema 8 poseen rozamiento y que el coeficiente
de rozamiento cinético entre el bloque y las superficies es 0,30. Determinar
a) La velocidad del bloque cuando alcanza la rampa y
b) La distancia que alcanzará el objeto en su deslizamiento antes de quedar
momentáneamente en reposo (Despreciar la energía disipada a lo largo de la
curva de transición).
a)
Distancia a la rampa 2 m
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408519;=√&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗??????∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;=√&#3627409365;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;=&#3627409364;,&#3627409359;&#3627409358; &#3627408526;/&#3627408532;
b) Consideramos el movimiento en la rampa:
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗∆&#3627408537;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

∆&#3627408537;=
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409362;&#3627409358;)
=
&#3627409364;,&#3627409363;&#3627409365;
&#3627409360;
(&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409362;&#3627409358;+&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409358;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409362;&#3627409358;)
=&#3627409360;,&#3627409359;&#3627409365; &#3627408526;/&#3627408532;
49. Un bloque de 2 kg situado a una altura de 3 m se desliza por una rampa curva y lisa
desde el reposo (figura). Resbala 9 m sobre una superficie horizontal rugosa antes de
llegar al reposo.

a) ¿Cuál es la velocidad del bloque en la parte inferior de la rampa?
b) ¿Cuánta energía se ha disipado por rozamiento?
c) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal?

a) La única fuerza que actúa es el peso, conservativa, por tanto, la energía mecánica
se conserva.
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;=&#3627409365;,&#3627409364;&#3627409365; &#3627408526;/&#3627408532;
b) Como el bloque al final está en reposo y la única fuerza no conservativa es la
fricción, toda la energía inicial se ha perdido por rozamiento.
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=−&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;=−&#3627409363;&#3627409366;,&#3627409367; &#3627408497;
c) −??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
??????=
&#3627408521;
∆&#3627408537;
=&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409361;

50. Una niña de 20 kg se desliza por un tobogán de 3,2 m de altura. Cuando alcanza su
parte inferior lleva una velocidad de 1,3 m/s.
a) ¿Cuánta energía se ha disipado por rozamiento?
b) Si el tobogán está inclinado 20º, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la
niña y la superficie de deslizamiento?
a) ∆&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627409359;,&#3627409361;
&#3627409360;
−&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;∗&#3627409361;,&#3627409360;=−&#3627409364;&#3627409359;&#3627409359; &#3627408497;


b) &#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗∆&#3627408532;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409366;&#3627409358;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗
∆&#3627408521;
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗
∆&#3627408521;
&#3627408533;&#3627408520;??????

??????=
−&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;∗&#3627408533;&#3627408520;??????
&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;
=
&#3627409364;&#3627409359;&#3627409359;∗&#3627408533;&#3627408520;&#3627409360;&#3627409358;
&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;,&#3627409360;
=&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409363;&#3627409362;

51. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 4 kg y la plataforma de la
figura es 0,35.
a) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando el bloque de 2 kg cae una
distancia y.

b) Calcular la energía mecánica total del sistema después de caer el bloque de 2 kg
la distancia y, suponiendo que inicialmente E=0.
c) Utilizar el resultado de b para determinar la velocidad de cualquiera de los
bloques después que el bloque de 2 kg cae 2 m.

a) &#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;
&#3627409359;∗&#3627408520;∗&#3627408538;=−&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409363;∗&#3627409362;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408538;=−&#3627409359;&#3627409361;,&#3627409365;∗&#3627408538;
b) &#3627408492;
&#3627408526;=[
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408538;]
c) &#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=−&#3627409359;&#3627409361;,&#3627409365;∗&#3627408538;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−&#3627409359;&#3627409361;,&#3627409365;∗&#3627408538;=[
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408538;]−&#3627409358;
&#3627408535;=√
&#3627409360;∗&#3627408538;∗(&#3627408526;
&#3627409360;∗&#3627408520;−&#3627409359;&#3627409361;,&#3627409365;)
(&#3627408526;
&#3627409359;+&#3627408526;
&#3627409360;
)
=√
&#3627409360;∗&#3627409360;∗(&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;−&#3627409359;&#3627409361;,&#3627409365;)
(&#3627409362;+&#3627409360;)
=&#3627409359;,&#3627409367;&#3627409366; &#3627408526;/&#3627408532;

52. Niels Lied, un meteorólogo australiano jugaba en una ocasión al golf sobre el hielo
de la Antártida y lanzó una pelota a una distancia horizontal de 2400 m. En una
primera estimación, supongamos que la pelota despegó según un ángulo de 45º,
recorrió una distancia horizontal de 200 m sin resistencia del aire y luego se deslizó
por el hielo sin rebotar con una velocidad igual a la componente horizontal de la
velocidad inicial. Estimar el coeficiente de rozamiento cinético µc entre el hielo y la
bola.
&#3627408537;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408533;
&#3627408538;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408533;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408520;∗&#3627408533;
&#3627409360;

Para la caída al suelo:
&#3627409358;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408533;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408520;∗&#3627408533;
&#3627409360;
;&#3627408533;=
&#3627409360;∗&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408520;

&#3627408537;
&#3627408506;&#3627408534;&#3627408518;&#3627408525;&#3627408528;=&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗
&#3627409360;∗&#3627408535;
&#3627408528;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408520;
; &#3627408535;
&#3627408528;=√
&#3627408537;
&#3627408506;&#3627408534;&#3627408518;&#3627408525;&#3627408528;∗&#3627408520;
&#3627409360;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????

Para el movimiento horizontal una vez ha caído:
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;)=&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????
??????∗&#3627408520;∗(&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;)=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408537;
&#3627408506;&#3627408534;&#3627408518;&#3627408525;&#3627408528;∗&#3627408520;
&#3627409360;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409360;
??????
??????=
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;∗&#3627408533;&#3627408520;??????∗(&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;)
=
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;∗(&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;)
=&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;&#3627409363;

53. Una partícula de masa m se mueve en un círculo horizontal de radio r sobre una
mesa rugosa. La partícula está sujeta a una curda fija en el centro del círculo. La
velocidad de la partícula es inicialmente vo. Después de completar una vuelta
alrededor del círculo la velocidad de la partícula es ½ vo.
a) Determinar el trabajo realizado por rozamiento durante una vuelta en función de
m, vo y r.
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético?
c) ¿Cuántas vueltas dará la partícula antes de alcanzar la situación de reposo?
a) &#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408535;
&#3627408528;)
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=−
&#3627409361;
&#3627409366;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

b) −??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627409221;∗&#3627408531;=−
&#3627409361;
&#3627409366;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

??????=−
&#3627409361;
&#3627409359;&#3627409364;

&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627409221;∗&#3627408520;∗&#3627408531;

c) −??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627409221;∗&#3627408531;∗&#3627408527;=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408527;=
&#3627409359;
&#3627409362;

&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
??????∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627409221;∗&#3627408531;
=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627409359;&#3627409364;
&#3627409361;∗&#3627409360;
=
&#3627409362;
&#3627409361;
&#3627408531;&#3627408518;&#3627408535;&#3627408528;&#3627408534;&#3627408516;&#3627408522;ó&#3627408527;
4/3 vueltas desde el principio, después de la primera vuelta 1/3 de vuelta hasta
pararse.

54. En 1987, el esquiador británico Grahan Wilkie alcanzó una velocidad de v=211 km/h
cuesta abajo. Suponiendo que después de alcanzar la máxima velocidad al final de la
pista de descenso hubiese continuado deslizándose sobre una superficie horizontal,
determinar la máxima distancia d que hubiera recorrido en esta superficie. Suponer
el coeficiente de rozamiento cinético µc es constante en todo el recorrido; despreciar
la resistencia del aire. Suponer que la colina tiene 225 m de altura con una pendiente
constante de 30º sobre la horizontal.
Considerando el final de la colina y el movimiento horizontal:
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408517;=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627408517;=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409360;
??????∗&#3627408520;

En la colina:
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408537;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
Por geometría en el plano inclinado: h=x*senθ.
??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗
&#3627408521;
&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
??????=
(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408520;∗&#3627408521;)∗&#3627408533;&#3627408520;??????
&#3627408520;∗&#3627408521;
=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408520;∗&#3627408521;
−&#3627408533;&#3627408520;??????
??????=(
&#3627409359;
&#3627409360;

(
&#3627409360;&#3627409359;&#3627409359;
&#3627409361;,&#3627409364;
)
&#3627409360;
&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;&#3627409360;&#3627409363;
−&#3627408533;&#3627408520;&#3627409361;&#3627409358;)=&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409358;
55. Durante el rodaje de una película, una pareja de cómicos han de empujar una estufa
de 80 kg por una rampa rugosa, inclinada un ángulo de 10º, para cargarla en un
camión. Comienzan por empujar la estufa sobre el suelo horizontal para coger
velocidad y cuando llegan a la rampa le dan un empuje final esperando que todo irá

bien. Desgraciadamente la estufa se detiene a corta distancia sobre la rampa y a
continuación se desliza hacia abajo, con lo cual los cómicos salen dando tumbos.
a) Si la estufa alcanza una velocidad de 3,0 m/s en la parte más baja de la rampa y
una velocidad de 0,8 m/s cuando está 2 m más arriba, ¿Cuál es la máxima altura
alcanzada?
b) ¿Cuál es la velocidad de la estufa cuando vuelve a pasar por el punto de 2 m?
c) ¿Cuánta energía se disipo por rozamiento durante el viaje de ida y vuelta al
fondo de la rampa?
a) De los datos en los dos puntos del enunciado:
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;)−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408537;=(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
)−&#3627408520;∗&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408537;

Substituimos valores con x= 2 m:
??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗(&#3627409367;−&#3627409358;,&#3627409366;
&#3627409360;
)−&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409358;∗&#3627409360;
=&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;
Comparando el punto inicial y la altura máxima:
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408537;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408537;=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????

&#3627408537;=
&#3627409361;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;+&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409358;)
=&#3627409360;,&#3627409359;&#3627409363; &#3627408526;
b) Comparamos el punto de altura máxima y el punto de 2 m al bajar (distancia
recorrida 0,15 m):
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗∆&#3627408537;=(&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
)−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408537;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;−&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;−??????∗∆&#3627408537;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409358;
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409363;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409358;−&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;∗&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409363;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409358;=&#3627409358;,&#3627409364;&#3627409361; &#3627408526;/&#3627408532;
c) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗∆&#3627408537;
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;∗&#3627409366;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409358;∗(&#3627409360;,&#3627409359;&#3627409363;∗&#3627409360;)=−&#3627409359;&#3627409361;&#3627409361; &#3627408497;

56. Un bloque de 2,4 kg posee una velocidad inicial de 3,8 m/s dirigida hacia arriba sobre
un plano rugoso inclinado 37º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético
entre el bloque y el plano es 0,30. ¿Qué distancia sobre el plano inclinado sube el
bloque? ¿Cuál es su velocidad cuando llega al punto de partida en el viaje de regreso
cuesta abajo?

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408499;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408499;=
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
=
&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)

&#3627408499;=
&#3627409361;,&#3627409366;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409365;+&#3627409358;,&#3627409361;&#3627409358;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409365;)
=&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363; &#3627408526;
Comparamos punto más alto y vuelta al punto inferior:
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408499;=(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
)−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409365;−&#3627409358;,&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409365;)= &#3627409360;,&#3627409362;&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;
57. Un bloque de masa m descansa sobre un plano rugoso inclinado θ grados sobre la
horizontal (figura). El bloque está unido a un muelle de constante k próximo a la
parte alta del plano. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el
bloque y el plano son µe y µc respectivamente. Tiramos del muelle lentamente hacia
arriba a lo largo del plano hasta que el bloque comienza a moverse.
a) Determinar una expresión para el alargamiento d del muelle en el momento que
el bloque se mueve.
b) Determinar el valor de µc tal que el bloque se detenga justo cuando el muelle se
encuentra en su condición natural, es decir, ni alargado, ni comprimido.



a) &#3627408493;
&#3627408526;&#3627408534;&#3627408518;&#3627408525;&#3627408525;&#3627408518;−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−??????
&#3627408518;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409358;

&#3627408524;∗&#3627408517;−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−??????
&#3627408518;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409358;
&#3627408517;=
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????
&#3627408518;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408524;
=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????
&#3627408518;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
b) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627408519;&#3627408522;&#3627408527;&#3627408514;&#3627408525;−&#3627408492;
&#3627408526;&#3627408528;
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408517;
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627408519;&#3627408522;&#3627408527;&#3627408514;&#3627408525;=&#3627408508;
&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;+&#3627408508;
&#3627408529;&#3627408528;&#3627408533;+&#3627408492;
&#3627408516;=&#3627409358;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;+&#3627409358;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408517;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627408528;=&#3627408508;
&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;+&#3627408508;
&#3627408529;&#3627408528;&#3627408533;+&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;
+&#3627409358;+&#3627409358;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408517;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408517;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;?????? −
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;

??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408517;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408517;
=
&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
−&#3627408533;&#3627408520;??????

Masa y energía

58. ¿Cuánta masa en reposo se consume en el núcleo de una central eléctrica de
combustible nuclear al producir
a) Un julio de energía térmica.
b) Suficiente energía para mantener encendida una bombilla luminosa de 100 W
durante 10 s.
a) &#3627408492;=&#3627408526;∗&#3627408516;
&#3627409360;
;&#3627408526;=
&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627409360;
=
&#3627409359; &#3627408497;
(&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409366;
)
&#3627409360;
=&#3627409359;,&#3627409359;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409365;
&#3627408498;&#3627408520;
b) &#3627408510;=&#3627408503;∗&#3627408533;=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409359;&#3627409358;=&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408497; ; ;&#3627408526;=
&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627409360;
=
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408497;
(&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409366;)
&#3627409360;
=&#3627409359;,&#3627409359;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409362;
&#3627408498;&#3627408520;
59. a) Calcular la energía en reposo que hay en 1 g de polvo.
b)Si se pudiera convertir esta energía en forma eléctrica y venderla a 10 céntimos el
kilovatio-hora, ¿Cuánto dinero se obtendría?
c) Sí con esta energía se encendiera una lámpara de 100 W, ¿durante cuánto tiempo
permanecería encendida?
a) &#3627408492;=&#3627408526;∗&#3627408516;
&#3627409360;
=&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409361;
&#3627408524;&#3627408520;∗(&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409366;
)
&#3627409360;
=&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627408497;
b) &#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408524;&#3627408510;−&#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;
&#3627409361;,&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;

&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409358; &#3627408518;&#3627408534;&#3627408531;&#3627408528;&#3627408532;
&#3627409359; &#3627408524;&#3627408510; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;
=&#3627409360;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408518;&#3627408534;&#3627408531;&#3627408528;&#3627408532;
c) &#3627408533;=
&#3627408510;
&#3627408503;
=
&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409361;
&#3627408497;
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408510;
=&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627408532; = 25000000 horas

60. Un muon tiene una energía en reposo de 105,7 MeV. Calcular su masa en reposo en
kilogramos.
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409363;,&#3627409365; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;∗
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408518;&#3627408509;
&#3627409359; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;

&#3627409359;,&#3627409364;&#3627409364; &#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409367;
&#3627408497;
&#3627409359; &#3627408518; &#3627408509;
=&#3627409359;,&#3627409364;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409359;
&#3627408497;
&#3627408526;=
&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627409360;
=
&#3627409359;,&#3627409364;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409359;
&#3627408497;
(&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409366;
)
&#3627409360;
=&#3627409359;,&#3627409366;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409360;&#3627409366;
&#3627408524;&#3627408520;

61. Con referencia a la reacción de fusión:
??????+??????
&#3627409359;
&#3627409361;
→??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
+ &#3627408527;
&#3627408528;
&#3627409359;

&#3627409359;
&#3627409360;

Calcular el número de reacciones por segundo que serían necesarias para obtener 1
kW de potencia (Energía en reposo:
??????
&#3627409359;
&#3627409360;
:&#3627409359;&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409360;&#3627409366; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; ; ??????:&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;&#3627409366;,&#3627409367;&#3627409362;&#3627409362; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; ; ??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
:&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367; ; &#3627408527;∶&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; )
&#3627409358;
&#3627409359;
&#3627409359;
&#3627409361;

&#3627408492;
&#3627408525;&#3627408522;&#3627408515;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408514;=&#3627409359;&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409360;&#3627409366;+&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;&#3627409366;,&#3627409367;&#3627409362;&#3627409362;−&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367;−&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361;=&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409363;&#3627409367; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408518; &#3627408509;
&#3627409359;,&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409367;
&#3627408497;

&#3627409359; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408518; &#3627408509;

&#3627409359; &#3627408531;&#3627408518;&#3627408514;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408522;ó&#3627408527;
&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409363;&#3627409367; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
=&#3627409361;,&#3627409363;&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409362;
&#3627408531;&#3627408518;&#3627408514;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408522;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408518;&#3627408532;

62. Calcular la energía necesaria para extraer un neutrón del ??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
convirtiéndose en
??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409361;
más un neutrón. ( la energía en reposo del ??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409361;
es 2808,41 MeV).
Energía en reposo: ??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
:&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; ; &#3627408527;∶&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
&#3627409358;
&#3627409359;

&#3627408492;
&#3627408527;&#3627408518;&#3627408516;&#3627408518;&#3627408532;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408514;=&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;&#3627409366;,&#3627409362;&#3627409359;+&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361;−&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367;=&#3627409360;&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409362; MeV

63. Un neutrón libre en reposo se desintegra en u protón más un electrón: &#3627408527;→&#3627408529;+&#3627408518; .
Calcular la energía liberada en este proceso. (Energías en reposo:
&#3627408527;∶&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; ; &#3627408529;
&#3627409359;
&#3627409359;
∶&#3627409367;&#3627409361;&#3627409366;,&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; ; &#3627408518;
&#3627409358;
−&#3627409359;
∶&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409359;&#3627409359;&#3627409358; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509; )
&#3627409358;
&#3627409359;


&#3627408492;
&#3627408525;&#3627408522;&#3627408515;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408514;=&#3627409367;&#3627409361;&#3627409367;,&#3627409363;&#3627409365;&#3627409361;−&#3627409367;&#3627409361;&#3627409366;,&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;−:&#3627409358;,&#3627409363;&#3627409359;&#3627409359;&#3627409358;=&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409366;&#3627409360; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;

64. En una reacción de fusión nuclear, dos núcleos de ??????
&#3627409359;
&#3627409360;
se combinan para producir
??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
.
a) ¿Cuánta energía se libera esta reacción?
b) ¿Cuántas reacciones de este tipo tienen lugar por segundo para producir 1 kW de
potencia?
(&#3627408492;&#3627408527;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408520;&#3627408522;&#3627408514;&#3627408532; &#3627408518;&#3627408527; &#3627408531;&#3627408518;&#3627408529;&#3627408528;&#3627408532;&#3627408528;: ??????&#3627408518;
&#3627409360;
&#3627409362;
:&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;¸??????
&#3627409359;
&#3627409360;
:&#3627409359;&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409360;&#3627409366; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;)

a) &#3627408492;
&#3627408525;&#3627408522;&#3627408515;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408514;=&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409366;&#3627409365;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409360;&#3627409366;−&#3627409361;&#3627409365;&#3627409360;&#3627409365;,&#3627409362;&#3627409358;&#3627409367;=23,847 MeV
b) &#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408518; &#3627408509;
&#3627409359;,&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
−&#3627409359;&#3627409367;
&#3627408497;

&#3627409359; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408518; &#3627408509;

&#3627409359; &#3627408531;&#3627408518;&#3627408514;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408522;ó&#3627408527;
&#3627409360;&#3627409361;,&#3627409366;&#3627409362;&#3627409365; &#3627408500;&#3627408518;&#3627408509;
=&#3627409360;,&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409362;
&#3627408531;&#3627408518;&#3627408514;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408522;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408518;&#3627408532;
65. Una gran central nuclear produce 3000 MW de potencia por fisión nuclear, que
convierte la masa m energía.
a) ¿Cuánta masa se convierte en energía al cabo de un año?
b) En una central térmica de carbón, cada kilogramo de carbón libera en la
combustión 31 MJ. ¿Cuántos kilogramos de carbón se necesitarán anualmente
para una central de 3000 MW?
a) &#3627409359; &#3627408514;ñ&#3627408528;∗
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409363; &#3627408517;&#3627408522;&#3627408514;&#3627408532;
&#3627409359; &#3627408514;ñ&#3627408528;

&#3627409360;&#3627409362; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408532;
&#3627409359; &#3627408517;&#3627408522;&#3627408514;

&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;
&#3627409359; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;
=&#3627409361;&#3627409359;&#3627409363;&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;
&#3627409361;&#3627409359;&#3627409363;&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;∗
&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
&#3627409359; &#3627408532;
=&#3627409367;,&#3627409362;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409364;
&#3627408497;
&#3627408526;=
&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627409360;
=
&#3627409367;,&#3627409362;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409364;
&#3627408497;
(&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409366;
)
&#3627409360;
=&#3627409359;,&#3627409358;&#3627409363; &#3627408524;&#3627408520;

b) &#3627409361;&#3627409359;&#3627409363;&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;∗
&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
&#3627409359; &#3627408532;

&#3627409359; &#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408524;&#3627408520;
&#3627409361;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
=&#3627409361;&#3627409358;&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409360;
&#3627408524;&#3627408520;

Problemas generales

66. Un bloque de masa m, inicialmente en reposo, se arrastra con una cuerda hacia
arriba por un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal (sin rozamiento). La
tensión en la cuerda es T y la cuerda es paralela al plano. Después de recorrer una
distancia L, la velocidad del bloque es v. El trabajo realizado por la tensión es
a) mgLsenθ.
b) mgLcosθ+1/2mv
2
.
c) mgLsenθ+1/2mv
2
.
d) mgLcosθ.
e) TLcosθ.
La única fuerza no conservativa es T:

&#3627408510;
&#3627408507;=&#3627408507;∗&#3627408499;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
Respuesta c.

67. Un bloque de masa m se desliza hacia abajo con velocidad constante v por un plano
inclinado un ángulo θ con la horizontal. Durante el intervalo de tiempo ∆t, ¿Cuál es la
magnitud de la energía disipada por rozamiento?
a) mgv∆t tgθ
b) mgv∆t senθ
c) ½ m v
3
∆t
d) La respuesta no puede determinarse sin conocer el coeficiente de rozamiento
cinético.
La única fuerza no conservativa es la de rozamiento.
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408535;∗∆&#3627408533;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
Respuesta b.

68. Suponer que, al aplicar los frenos, actúa una fuerza de rozamiento constante sobre
las ruedas de un coche. Si es así, resulta que
a) La distancia que el coche recorre antes de detenerse es proporcional a la
velocidad que el coche llevaba al aplicar los frenos.
b) La energía cinética del coche disminuye a ritmo constante.
c) La energía cinética del coche es inversamente proporcional al tiempo
transcurrido desde la aplicación de los frenos.
d) Ninguna de las respuestas anteriores es cierta.
a) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−&#3627408493;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;∗∆&#3627408537;=&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

La distancia no es proporcional a la velocidad.
b) La disminución de la energía cinética varia con el cambio de velocidad al
cuadrado.
El cambio de velocidad sí que es constante, la fuerza es constante, la aceleración
también, cada segundo cambia en el mismo valor la velocidad.
Por ejemplo, si a = 2 m/s
2
y v inicial es de 10 m/s, en el primer segundo pasamos
de 10 m/s a 8 m/s. El cambio de energía cinética será:
∆&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗(&#3627409366;
&#3627409360;
−&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409360;
)=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627409361;&#3627409364;
En el segundo siguiente la velocidad pasará de 8 a 6 m/s, el cambio d energía
cinética será:
∆&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗(&#3627409364;
&#3627409360;
−&#3627409366;
&#3627409360;
)=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627409360;&#3627409366;
Por tanto, no es constante.
c) La velocidad en un momento dado es:
&#3627408535;=&#3627408535;
&#3627408528;−&#3627408514;∗&#3627408533;
La energía cinética en un momento dado es:
&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗(&#3627408535;
&#3627408528;−&#3627408514;∗&#3627408533; )
&#3627409360;

Por tanto, varia con t al cuadrado.
d) Correcta.

69. Nuestro cuerpo convierte energía química interna en trabajo y calor a razón de unos
100 W, lo que se denomina potencia metabólica.
a) ¿Cuánta energía química interna utilizamos en 24 h?
b) La energía procede del alimento que comemos y usualmente se mide en
kilocalorías, siendo 1 kcal=4,185 kJ. ¿Cuántas kilocalorías de energía alimentaria
debemos ingerir diariamente si nuestra potencia metabólica es 100 W?
a) &#3627409360;&#3627409362; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408532;∗
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;
&#3627409359; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;

&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408497;
&#3627409359; &#3627408532;
=&#3627409366;,&#3627409364;&#3627409362;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
b) &#3627409366;,&#3627409364;&#3627409362;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;∗
&#3627409359; &#3627408524;&#3627408516;&#3627408514;&#3627408525;
&#3627409362;,&#3627409359;&#3627409366;&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408497;
=&#3627409360;&#3627409358;&#3627409364;&#3627409363; &#3627408524;&#3627408516;&#3627408514;&#3627408525;
70. Un bloque de 3,5 kg descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento en
contacto con un muelle de constante 6800 N/m. El muelle está fijo por el otro
extremo e inicialmente posee su longitud natural. Una fuerza horizontal constante
de 70 N aplicada al bloque comprime el muelle. Determinar la longitud comprimida
del muelle cuando el bloque está momentáneamente en reposo.
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408493;∗∆&#3627408537;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;

∆&#3627408537;=
&#3627409360;∗&#3627408493;
&#3627408524;
=
&#3627409360;∗&#3627409365;&#3627409358;
&#3627409364;&#3627409366;&#3627409358;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409364; &#3627408526;

71. La energía medida por unidad de tiempo y unidad de área que llega a la atmósfera
superior de la Tierra procedente del Sol, llamada constante solar, es 1,35 kW/m
2
.
Debido a la absorción y reflexión en la atmósfera, aproximadamente 1 kW/m
2

alcanza la superficie terrestre en un día despejado. ¿Cuánta energía se capta en 8 h
de luz al día por un panel solar de 1 m por 2 m de superficie sobre un montaje
rotatorio que se encuentra siempre en posición perpendicular a los rayos del Sol?
&#3627409366; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408532;∗&#3627409360; &#3627408526;
&#3627409360;

&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408532;
&#3627409359; &#3627408521;&#3627408528;&#3627408531;&#3627408514;
&#3627409359; &#3627408524; &#3627408497;
&#3627409359; &#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627409359; &#3627408532;
=&#3627409363;&#3627409365;,&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408524;&#3627408497;

72. Cuando el coche movido a reacción Spirit of America perdió el control durante unas
pruebas en Benneville Salt Flats, Utah, dejó sobre la pista unas marcas de patinaje de
9,5 km de longitud.
a) Si el coche estaba moviéndose inicialmente a una velocidad v=708 km/h, estimar
el coeficiente de rozamiento cinético µc.
b) ¿Cuál fue su energía cinética en el tiempo t= 60 s después de aplicar los frenos?
Tomar la masa del coche como 1250 kg.
a) &#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

??????=
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗∆&#3627408537;
=
(&#3627409365;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
/&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;)
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409367;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409358;&#3627409366;
b) −??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗&#3627408514;; &#3627408514;=−??????∗&#3627408520;
&#3627408535;=&#3627408535;
&#3627408528;−??????∗&#3627408520;∗∆&#3627408533;=
&#3627409365;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;
−&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;&#3627409358;
&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗(&#3627408535;
&#3627408528;−??????∗&#3627408520;∗∆&#3627408533;)
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409359;&#3627409360;&#3627409363;&#3627409358;∗(
&#3627409365;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;
−&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;&#3627409358;)
&#3627409360;
=&#3627409361;,&#3627409362;&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
73. Determinar la potencia necesaria de un motor para el funcionamiento de un telesquí
que permita subir a 80 esquiadores por una pista de 600 m, inclinada 15º sobre la
horizontal, a una velocidad de 2,5 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,06
y la masa media de cada esquiador 75 kg.

&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408493;+&#3627408510;
&#3627408519;&#3627408524;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408493;∗&#3627408525;−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408493;=
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408525;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
&#3627408503;=
&#3627408510;
&#3627408493;
∆&#3627408533;
=
(&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)∗&#3627408525;
∆&#3627408533;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)∗&#3627408535;
&#3627408503;=&#3627409366;&#3627409358;∗&#3627409365;&#3627409363;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409359;&#3627409363;+&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409364;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409363;)∗&#3627409360;,&#3627409363;=&#3627409362;&#3627409364;,&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;
74. Una caja de 2 kg se proyecta hacia arriba, con velocidad inicial de 3 m/s, por un
plano inclinado rugoso que forma un ángulo de 60º con la horizontal. El coeficiente
de rozamiento cinético es 0,3.
a) Relacionar todas las fuerzas que actúan sobre la caja.
b) ¿Qué distancia recorre la caja a lo largo del plano antes de que se detenga
momentáneamente?
c) Determinar la energía disipada por rozamiento cuando la caja se desliza hacia
arriba por el plano.
d) Determinar su velocidad cuando alcanza la posición inicial.
a) Sobre la caja actúan el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal (esta no
hace trabajo).
b)

&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=∆&#3627408492;
&#3627408526;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408525;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408525;=
&#3627408535;
&#3627409359;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
=
&#3627409361;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409364;&#3627409358;+&#3627409358;,&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409364;&#3627409358;)
=&#3627409358;,&#3627409362;&#3627409363;&#3627409359; &#3627408526;
c) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408525;=−&#3627409358;,&#3627409361;∗&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409364;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409362;&#3627409363;&#3627409359;=&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409361; &#3627408497;
d) Para la bajada:
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗&#3627408525;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408535;
&#3627408519;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408525;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=
√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409362;&#3627409363;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409364;&#3627409358;−&#3627409358;,&#3627409361;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409364;&#3627409358;)=&#3627409360;,&#3627409363;&#3627409360; &#3627408526;/&#3627408532;

75. Un elevador de 1200 kg accionado por un motor eléctrico puede transportar con
seguridad una carga máxima de 800 kg. ¿qué potencia suministra el motor cuando el
elevador asciende con la carga máxima a una velocidad de 2,3 m/s?
&#3627408503;=&#3627408493;∗&#3627408535;=(&#3627408526;∗&#3627408520;)∗&#3627408535;=&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;,&#3627409361;=&#3627409362;&#3627409363;,&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;

76. Para reducir el consumo de potencia de los motores de los elevadores, éstos utilizan
contrapesos conectados mediante un cable que pasa por una polea situada en la
parte superior del eje del elevador. Si el aparato del problema 75 posee un
contrapeso de masa 1500 kg, ¿Cuál es la potencia suministrada por el motor cuando
asciende a plena carga a una velocidad de 2,3 m/s? ¿qué potencia suministra el
motor cuando el elevador asciende vacío a 2,3 m/s?
&#3627408503;=&#3627408493;∗&#3627408535;=(&#3627408500;
&#3627408507;&#3627408528;&#3627408533;&#3627408514;&#3627408525;−&#3627408500;
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408529;&#3627408518;&#3627408532;&#3627408528;)∗&#3627408520;∗&#3627408535;=(&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409359;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;)∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;,&#3627409361;=
&#3627409359;&#3627409359;,&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;
En el caso de ir vacío:
&#3627408503;=&#3627408493;∗&#3627408535;=(&#3627408500;
&#3627408507;&#3627408528;&#3627408533;&#3627408514;&#3627408525;−&#3627408500;
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408529;&#3627408518;&#3627408532;&#3627408528;)∗&#3627408520;∗&#3627408535;=(&#3627409359;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409359;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;)∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;,&#3627409361;=
−&#3627409364;,&#3627409365;&#3627409365;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;

77. Un juguete de lanzar dardos posee un muelle cuya constante de fuerza es 5000 N/m.
Para cargar el disparador, el muelle se comprime 3 cm. El dardo disparado
verticalmente hacia arriba, alcanza una altura máxima de 24 m. Determinar la
energía disipada por el rozamiento del aire durante el ascenso del dardo. Estimar la
velocidad del proyectil cuando retorna a su punto de partida.
Masa del dardo: 70 g.
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;
=&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409365;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;&#3627409362;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409361;
&#3627409360;
=
−&#3627409358;,&#3627409364;&#3627409358;&#3627409360; &#3627408497;
Para la bajada:
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408535;
&#3627408519;=√&#3627409360;∗(&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;)/&#3627408526; =√&#3627409360;∗
(−&#3627409358;,&#3627409364;&#3627409358;&#3627409360;+&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409365;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409360;∗&#3627409360;&#3627409362;)
&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409365;
=&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409361; &#3627408526;/&#3627408532;

78. Un dardo de 0,050 kg se dispara verticalmente hacia arriba con un disparador de
muelle cuya constante de fuerza es 4000 N/m. Previamente, el muelle se comprime a
10,7 cm. Cuando el dardo se encuentra a 6,8 m por encima del disparador su

velocidad hacia arriba es de 28 m/s. Determinar la altura máxima alcanzada por el
dardo.
&#3627408510;
&#3627408527;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
− &#3627408493;
&#3627408519;∗∆&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;

Energía del muelle comprimido:
&#3627408492;
&#3627408529;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409358;&#3627409365;
&#3627409360;
=&#3627409360;&#3627409360;,&#3627409367; &#3627408497;
Energía en el punto indicado:
&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;
&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409363;&#3627409358;∗&#3627409360;&#3627409366;
&#3627409360;
+&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409363;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409367;&#3627409359;∗(&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409358;&#3627409365;+&#3627409364;,&#3627409366;)=&#3627409360;&#3627409360;,&#3627409367; &#3627408497;
No hay fuerza de rozamiento.
En el punto más alto:
&#3627408492;
&#3627408526;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521; ; ∆&#3627408521;=
&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408526;∗&#3627408520;
=
&#3627409360;&#3627409360;,&#3627409367;
&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409363;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
=&#3627409362;&#3627409364;,&#3627409365; &#3627408526;

79. En una erupción volcánica se expulsa verticalmente hacia arriba un trozo de 2 kg de
una roca volcánica con una velocidad inicial de 40 m/s, alcanzando una altura de 50
m antes de que comience a caer hacia la tierra.
a) ¿Cuál es la energía cinética inicial de la roca?
b) ¿Cuál es el incremento de energía térmica debido al rozamiento del aire durante
el ascenso?
c) Si el incremento de energía térmica debido al rozamiento del aire en el descenso
es el 70 % del que tuvo en el ascenso, ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando
vuelve a su posición inicial?
a) &#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;∗&#3627409362;&#3627409358;
&#3627409360;
=&#3627409359;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408497;
b) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;∗&#3627409362;&#3627409358;
&#3627409360;
=−&#3627409364;&#3627409359;&#3627409367; &#3627408497;
c) En el descenso el trabajo del rozamiento será:
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;↓=−&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409358;∗&#3627409364;&#3627409359;&#3627409367;=−&#3627409362;&#3627409361;&#3627409361;,&#3627409361; &#3627408497;
Al llegar al suelo:
&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;↓=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408519;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408535;
&#3627408519;=√
&#3627409360;∗&#3627408510;
&#3627408505;&#3627408528;&#3627408539;↓
&#3627408526;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=√
−&#3627409360;∗&#3627409362;&#3627409361;&#3627409361;,&#3627409361;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;&#3627409358;=&#3627409360;&#3627409361;,&#3627409362; &#3627408526;/&#3627408532;
80. Un bloque de masa m parte del reposo a una altura h y se desliza hacia abajo por un
plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo ϴ con la horizontal como indica
la figura. El bloque, después de deslizarse sobre el plano una distancia L, choca
contra un muelle de constante de fuerza k. Determinar la compresión del muelle
cuando el bloque se detiene momentáneamente.

Comparamos la situación inicial y la final:
&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409359;=&#3627408492;
&#3627408526;&#3627409360;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408521;=(&#3627408499;+&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408499;+&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;?????? =
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408537;−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627409358;
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
&#3627408537;=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????±√(&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)
&#3627409360;
+&#3627409362;∗&#3627408524;∗&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627409360;∗&#3627408524;

&#3627408537;=
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408524;
+√
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;
&#3627409360;
??????
&#3627408524;
&#3627409360;
+
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408524;


81. Un coche de 1500 kg de masa que se desplaza con una velocidad de 24 m/s se
encuentra al pie de una colina de 2,0 km de longitud y cuya altitud es de 120 m. En la
cima de la colina la velocidad del coche es de 10 m/s. Si se desprecian los efectos de
la fuerza de rozamiento, calcular la potencia media desarrollada por el motor del
coche.
&#3627408510;
&#3627408493;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408510;
&#3627408493;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

&#3627408510;
&#3627408493;=&#3627409359;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409360;
+&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409360;&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;&#3627409362;
&#3627409360;
)=&#3627409359;,&#3627409366;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
El tiempo de subida:
&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408514;∗∆&#3627408537;
&#3627408514;=
&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627409360;∗∆&#3627408537;
=
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409360;
−&#3627409360;&#3627409362;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
=−&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409359;&#3627409367; &#3627408526;/&#3627408532;
&#3627409360;

&#3627408535;=&#3627408535;
&#3627408528;+&#3627408514;∗∆&#3627408533;; ∆&#3627408533;=
&#3627408535;−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627408514;
=
&#3627409359;&#3627409358;−&#3627409360;&#3627409362;
−&#3627409358;,&#3627409359;&#3627409359;&#3627409367;
=&#3627409359;&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409364;&#3627409363; &#3627408532;
&#3627408503;=
&#3627408510;
&#3627408493;
∆&#3627408533;
=
&#3627409359;,&#3627409366;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627409359;&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409364;&#3627409363;
=&#3627409359;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;

82. En una nueva modalidad de saltos de esquí, se instala un rizo vertical como muestra
la figura. Este problema advierte sobre los requisitos físicos de esta modalidad.
Despreciar el rozamiento.
a) A lo largo de la pista de la rampa y el rizo, ¿en qué lugar las piernas del esquiador
soportan el máximo peso?
b) Si el bucle tiene un radio R, ¿dónde debería situarse la plataforma de salida
(indicada por h) para que la fuerza máxima sobre las piernas del esquiador sea 4
veces el peso de su cuerpo?

c) Con la plataforma de salida en la posición determinada en b, ¿sería capaz el
esquiador de completar el rizo? ¿Por qué sí o por qué no?
d) ¿Cuál debe ser la altura máxima de h para que el esquiador complete el rizo?
¿Cuál es la fuerza mínima que actuará sobre las piernas del esquiador partiendo
de esta altura?


a) En el punto más alto de la curva la fuerza normal cumplirá:
&#3627408501;+&#3627408503;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408501;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
–&#3627408503;
En el punto inferior de la curva:
&#3627408501;−&#3627408503;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
,&#3627408501;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
+&#3627408503;
En la rampa:
&#3627408501;=&#3627408503;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
El valor máximo se dará en el punto inferior de la curva.
b) En el punto inferior:
&#3627408501;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
+&#3627408503;
&#3627409362;∗&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
+&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408535;=√&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408505;
En el punto de salida:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408505;
&#3627408521;=
&#3627409361;
&#3627409360;
∗&#3627408505;
c) Para completar el rizo, en el punto superior:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408505;
&#3627408520;∗
&#3627409361;
&#3627409360;
∗&#3627408505;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408505;
&#3627409361;∗&#3627408520;∗&#3627408505;=&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627409362;∗&#3627408520;∗&#3627408505; ;&#3627408535;=√−&#3627408520;∗&#3627408505;
La velocidad es negativa, no podrá llegar.
d) La velocidad mínima es la que hace la normal cero en el punto superior.
&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
;&#3627408535;=√&#3627408520;∗&#3627408505;
Comparando el punto superior del rizo con el punto de salida:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408505;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408505;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409360;∗&#3627408505;
&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408505;+&#3627409360;∗&#3627408505;=&#3627409360;,&#3627409363;∗&#3627408505;

83. Se suspende una masa m del techo mediante un muelle que es libre de moverse
verticalmente en la dirección y como se indica en la figura. Sabemos que la energía
potencial en función de la posición es U=1/2k y
2
-mgy.
a) Representar U en función de y. ¿Qué valor de y corresponde a la condición no
deformada del muelle?
b) A partir de la expresión de U, determinar la fuerza neta hacia abajo que actúa
sobre m en cualquier posición y.
c) La masa se deja libre desde el reposo en y=0; si no hay rozamiento, ¿Cuál es el
valor máximo, ymax que alcanzará la masa? Indicar ymax en el esquema de la parte
a.
d) Considerar ahora el efecto de rozamiento. La masa finalmente se detiene en una
posición de equilibrio yeq. Determinar este punto en el esquema.
e) Determinar la cantidad de energía térmica producida por rozamiento desde el
comienzo de la operación hasta el equilibrio final.


a) Tomamos k=2 y mg=1.

La condición no deformada del muelle es y=0.
b) &#3627408493;=−
&#3627408517;&#3627408508;
&#3627408517;&#3627408538;
=−&#3627408524;∗&#3627408538;+&#3627408526;∗&#3627408520;
c) Comparamos el punto y=0 y el punto ymax.
&#3627409358;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408538;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408538;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;
&#3627408538;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;

PUNTO (1,00 ; 0,0)
d) En el equilibrio F=0.
&#3627409358;=−&#3627408524;∗&#3627408538;
&#3627408518;&#3627408530;+&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408538;
&#3627408518;&#3627408530;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;

Mínimo de la curva. y=0,5.
e) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=(
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408538;
&#3627408518;&#3627408530;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408538;
&#3627408518;&#3627408530;)−&#3627409358;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627408524;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;

&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627408524;

84. Una pistola lanza señales se carga comprimiendo el muelle una distancia d y dispara
una bengala de masa m dirigida verticalmente hacia arriba. La bengala tiene una
velocidad vo cuando abandona el muelle y alcanza una altura máxima h desde el
punto de lanzamiento. Los efectos de resistencia del aire son importantes. (Expresar
las respuestas en función de m, vo, d ,h y g, aceleración de la gravedad).
a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el muelle en el proceso de compresión?
b) ¿Cuál es el valor de la constante del muelle, k?
c) ¿Cuánta energía mecánica se convierte en energía térmica a causa de la fuerza
de arrastre del aire sobre la bengala durante el tiempo que transcurre entre el
disparo y la llegada a su altura máxima?
a) Si no hay fuerzas no conservativas, toda la energía suministrada aparecerá como
energía cinética al salir e inicialmente como potencial elástica del muelle.
&#3627408510;
&#3627408518;&#3627408537;&#3627408533;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;

b)
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408517;
&#3627409360;
; &#3627408524;=
&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627408517;
&#3627409360;

c) La energía térmica será la energía mecánica perdida entre los puntos inicial y
final:
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;


85. Una vagoneta de una montaña rusa de masa total (incluidos los pasajeros) 500 kg se
desplaza libremente por la pista sin rozamiento del aire indicada en la figura. Los
puntos A,E y G son secciones rectas horizontales, todas ellas de la misma altura de 10
m sobre el suelo. El punto C, que está a una altura de 10 m sobre el suelo pertenece
a una pendiente que forma un ángulo de 30º. El punto B está en lo alto de una
cuesta, mientras que el punto D pertenece a una hondonada que está a nivel del
suelo. El radio de curvatura de cada uno de estos puntos es 20 m. el punto F está en
el medio de una curva horizontal con peralte de radio de curvatura 30 m y a la misma
altura de 10 m sobre el suelo que los puntos A, E y G. En el punto A, la velocidad de
la vagoneta es 12 m/s.
a) Si la vagoneta es capaz de llegar justamente al punto B de la cuesta, ¿Cuál es la
altura de este punto sobre el suelo?
b) Si se cumple la condición a, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida sobre
la vagoneta en el punto B?

c) ¿Cuál es la aceleración de la vagoneta en el punto C?
d) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta
por la pista en el punto D?
e) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre la vagoneta
por la pista en el punto F?
f) Al llegar al punto G se aplica a la vagoneta una fuerza de frenado constante y se
alcanza la detención en una distancia de 25 m. ¿Cuál es la fuerza de frenado?


a) Comparando los puntos A y B:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408488;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408488;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408489;
&#3627408521;
&#3627408489;=&#3627408521;
&#3627408488;+
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408488;
&#3627409360;
&#3627408520;
=&#3627409359;&#3627409358;+
&#3627409359;
&#3627409360;

&#3627409359;&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
=&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409361; &#3627408526;
b) N=P =&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;=&#3627409362;&#3627409367;&#3627409358;&#3627409363; &#3627408501;
c) En el punto C, tenemos plano inclinado:

&#3627408514;=&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409358;=&#3627409362;,&#3627409367;&#3627409358;&#3627409363; &#3627408526;/&#3627408532;
&#3627409360;

d) En el punto D la velocidad será:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408488;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408488;
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408491;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408491;
&#3627409360;

&#3627408535;
&#3627408491;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;
&#3627408488;−&#3627408521;
&#3627408491;
)+&#3627408535;
&#3627408488;
&#3627409360;
=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409358;+&#3627409359;&#3627409360;
&#3627409360;
=&#3627409359;&#3627409366;,&#3627409362;&#3627409362; &#3627408526;/&#3627408532;

&#3627408505;=&#3627408501;−&#3627408503;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
=&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗
&#3627409360;∗&#3627408520;∗((&#3627408521;
&#3627408488;−&#3627408521;
&#3627408491;
)+&#3627408535;
&#3627408488;
&#3627409360;
&#3627408505;
=&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗
&#3627409359;&#3627409366;,&#3627409362;&#3627409362;
&#3627409360;
&#3627409360;&#3627409358;
=&#3627409366;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409359; &#3627408501;
&#3627408501;=&#3627408503;+&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
=&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;+&#3627409366;&#3627409363;&#3627409358;&#3627409359;=&#3627409359;&#3627409361;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409364;&#3627408501;
e)

&#3627408501;=&#3627408526;∗&#3627408520;=&#3627409362;&#3627409367;&#3627409358;&#3627409363; &#3627408501;
&#3627408493;=&#3627408526;∗
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627408505;
=&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗
&#3627409359;&#3627409360;
&#3627409360;
&#3627409361;&#3627409358;
=&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408501;
&#3627408505;=√&#3627408493;
&#3627409360;
+&#3627408501;
&#3627409360;
=√&#3627409362;&#3627409367;&#3627409358;&#3627409363;
&#3627409360;
+&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;
=&#3627409363;&#3627409362;&#3627409364;&#3627409359; &#3627408501;
Ángulo con la horizontal:
??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408533;&#3627408520;(
&#3627408501;
&#3627408493;
)=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408533;&#3627408520;(
&#3627409362;&#3627409367;&#3627409358;&#3627409363;
&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
)=&#3627409364;&#3627409362;
&#3627408528;

f) &#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408514;∗∆&#3627408537;
&#3627409358;
&#3627409360;
−&#3627409359;&#3627409360;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408514;∗&#3627409360;&#3627409363;
&#3627408514;=−&#3627409360;,&#3627409366;&#3627409366;
&#3627408526;
&#3627408532;
&#3627409360;

&#3627408493;=&#3627408526;∗&#3627408514;=−&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409360;,&#3627409366;&#3627409366;=&#3627409359;&#3627409362;&#3627409362;&#3627409358; &#3627408501;

86. Un ascensor (masa M=2000 kg) se mueve hacia abajo a vo=1,5 m/s. Un sistema de
frenado evita que la velocidad de descenso se incremente.
a) ¿A qué ritmo (en J/s) se convierte en el sistema de frenado la energía mecánica
en energía térmica?
b) Cuando el ascensor se mueve hacia abajo a vo=1,5 m/s, falla el sistema de
frenado y cae libremente a lo largo de una distancia d= 5 m antes de chocar
contra el tope de un gran muelle de seguridad con una constante de fuerza
k=1,5*10
4
N/m. Después del choque sobre el tope del muelle, queremos saber la
distancia ∆y que se comprimió éste antes de que la cabina dl ascensor quedara
en reposo. Expresar algebraicamente el valor de ∆y en función de las magnitudes
conocidas M, vo, g, k y d y sustituir los valores dados para hallar ∆y.

a) &#3627408503;
&#3627408519;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408528;=&#3627408493;
&#3627408519;&#3627408531;&#3627408518;&#3627408527;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408528;∗&#3627408535;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408535;=&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409359;,&#3627409363;=&#3627409360;&#3627409367;&#3627409362;&#3627409361;&#3627409358; &#3627408510;
b) Comparando energías:
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗∆&#3627408538;
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408517;+∆&#3627408538;)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗∆&#3627408538;
&#3627409360;

&#3627408524;∗∆&#3627408538;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408538;−&#3627408526;∗(&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408517;)=&#3627409358;
∆&#3627408538;=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;±√&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
+&#3627409362;∗&#3627408524;∗&#3627408526;∗(&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408517;)
&#3627409360;∗&#3627408524;

∆&#3627408538;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
±√
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627408524;
&#3627409360;
+
&#3627408526;∗(&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408517;)
&#3627408524;

Substituyendo valores:
∆&#3627408538;=
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
&#3627409359;,&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409362;
+√
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;
∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;
&#3627409360;
(&#3627409359;,&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409362;
)
&#3627409360;
+
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗(&#3627409359;.&#3627409363;
&#3627409360;
+&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409363;)
(&#3627409359;,&#3627409363;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409362;
)
=&#3627409363;,&#3627409359;&#3627409367; &#3627408526;

87. Para medir la fuerza de rozamiento sobre un coche en movimiento, un mecánico
apaga el motor y deja que el vehículo se deslice hacia abajo en pendientes
conocidas. El mecánico registra los siguientes datos:
1. Sobre una pendiente de 2,87º el coche se desliza uniformemente a 20 m/s.
2. Sobre una pendiente de 5,74º la velocidad constante de deslizamiento es 30 m/s.
La masa total del coche es 1000 kg.
a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento a 20 m/s (F20) y a 30 m/s (F30).
b) ¿Qué potencia útil debe suministrar el motor para que el coche circule sobre una
carretera horizontal a las velocidades estacionarias de 20 m/s (P20) y 30 m/s (P30).
c) A todo gas, el motor suministra 40 kW. ¿Cuál es el ángulo máximo de pendiente
hacia arriba para el cual el coche puede mantener una velocidad estacionaria de
20 m/s?
d) Suponer que el motor suministra el mismo trabajo útil total por cada litro de
combustible, cualquiera que sea su velocidad. A 20 m/s sobre una carretera
horizontal, el coche recorre 12,7 km/litro. ¿Cuántos kilómetros por litro
recorrerá si su velocidad es 30 m/s?
a)

Caso 1:
&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409360;,&#3627409366;&#3627409365;=&#3627409362;&#3627409367;&#3627409359; &#3627408501;
Caso 2:
&#3627408493;
&#3627409361;&#3627409358;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409363;,&#3627409365;&#3627409362;=&#3627409367;&#3627409366;&#3627409359; &#3627408501;
b) &#3627408503;
&#3627409360;&#3627409358;=&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627408535;=&#3627409362;&#3627409367;&#3627409359;∗&#3627409360;&#3627409358;=&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;
&#3627408503;
&#3627409361;&#3627409358;=&#3627408493;
&#3627409361;&#3627409358;∗&#3627408535;=&#3627409367;&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409361;&#3627409358;=&#3627409360;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627408510;

c) El motor habrá de suministrar una fuerza igual a la de rozamiento más la
componente del peso:

&#3627408493;=&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408503;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;=(&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)∗&#3627408535; ;&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527; ??????=(
&#3627408503;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;−&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627408535;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408535;
)
??????=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;(
&#3627408503;
&#3627408526;&#3627408514;&#3627408537;−&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627408535;
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408535;
)=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;(
&#3627409362;&#3627409358;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
−&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409360;&#3627409358;
)=&#3627409366;,&#3627409366;
&#3627408528;

d) &#3627408510;
&#3627408526;&#3627408528;&#3627408533;&#3627408528;&#3627408531;=&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;&#3627409358;
Para 30 m/s:
&#3627408510;
&#3627408526;&#3627408528;&#3627408533;&#3627408528;&#3627408531;=&#3627408493;
&#3627409361;&#3627409358;∗∆&#3627408537;
&#3627409361;&#3627409358;
Trabajamos distancias para 1 L de combustible:
&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;&#3627409358;=&#3627408493;
&#3627409361;&#3627409358;∗∆&#3627408537;
&#3627409361;&#3627409358;
∆&#3627408537;
&#3627409361;&#3627409358;=
&#3627408493;
&#3627409360;&#3627409358;∗∆&#3627408537;
&#3627409360;&#3627409358;
&#3627408493;
&#3627409361;&#3627409358;
=
&#3627409362;&#3627409367;&#3627409359;∗&#3627409359;&#3627409360;,&#3627409365; &#3627408524;&#3627408526;
&#3627409367;&#3627409366;&#3627409359;
=&#3627409364;,&#3627409361;&#3627409364; &#3627408524;&#3627408526;

88. Una barcaza de 50 000 kg es remolcada a lo largo de un canal a la velocidad
constante de 3 km/h por un tractor pesado. La cuerda de arrastre forma un ángulo
de 18º con el vector velocidad de la barcaza y soporta una tensión de 1200 N. Si esta
cuerda se rompe, ¿Cuánto tardará la barcaza en detenerse? Suponer que la fuerza de
arrastre entre la barcaza y el agua es independiente de la velocidad.
&#3627409361;
&#3627408524;&#3627408526;
&#3627408521;

&#3627409359; &#3627408521;
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;&#3627408532;

&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408526;
&#3627409359; &#3627408524;&#3627408526;
=&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409361; &#3627408526;/&#3627408532;
En las condiciones iniciales:
&#3627408507;
&#3627408537;−&#3627408493;
&#3627408519;=&#3627409358;
&#3627408493;
&#3627408519;=&#3627408507;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627409359;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409359;&#3627409366;=&#3627409359;&#3627409359;&#3627409362;&#3627409359;,&#3627409361; &#3627408501;
Una vez rota la cuerda:
&#3627408507;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????=&#3627408526;∗&#3627408514; ;&#3627408514;=
&#3627408507;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408526;
=
&#3627409359;&#3627409359;&#3627409362;&#3627409359;,&#3627409361;
&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
=&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409360;&#3627409361; &#3627408526;/&#3627408532;
&#3627409360;

&#3627408535;=&#3627408535;
&#3627408528;−&#3627408514;∗∆&#3627408533; ; ∆&#3627408533;=
&#3627408535;−&#3627408535;
&#3627408528;
−&#3627408514;
=
&#3627409358;−&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409361;
−&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409360;&#3627409361;
=&#3627409361;&#3627409364;,&#3627409359; &#3627408532;
La distancia:
&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
=&#3627409360;∗&#3627408514;∗∆&#3627408537; ; ∆&#3627408537;=
&#3627408535;
&#3627409360;
−&#3627408535;
&#3627408528;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408514;
=
&#3627409358;
&#3627409360;
−&#3627409358;,&#3627409366;&#3627409361;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409360;&#3627409361;
=&#3627409359;&#3627409363;,&#3627409358; &#3627408526;

89. Un bloque de 2 kg se deja libre sobre un plano inclinado hacia abajo, sin rozamiento,
a una distancia de 4 m de un muelle de constante k=100 N/m. El muelle está fijo a lo
largo del plano inclinado que forma un ángulo de 30º (figura).
a) Hallar la compresión máxima del muelle, admitiendo que crece de masa.
b) Si el plano inclinado no es liso, sino que el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano es 0,2, hallar la compresión máxima.
c) En el caso último del plano inclinado rugoso, ¿hasta qué punto subirá el bloque
por el plano después de abandonar el muelle?

a)

Sin rozamiento:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
;&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408499;+&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408537;−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408499;=&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409359;&#3627409367;,&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627408537;−&#3627409365;&#3627409366;,&#3627409362;&#3627409366;=&#3627409358;
&#3627408537;=&#3627409358;,&#3627409367;&#3627409366;&#3627409367; &#3627408526;

b) Con rozamiento:
&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗(&#3627408499;+&#3627408537;)=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408499;+&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
+&#3627408526;∗&#3627408520;∗(−&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)∗&#3627408537;+&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408499;∗(−&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)=&#3627409358;
&#3627409363;&#3627409358;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409364;,&#3627409362;&#3627409359;∗&#3627408537;−&#3627409360;&#3627409363;,&#3627409364;&#3627409363;=&#3627409358;
&#3627408537;=&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409366;&#3627409361; &#3627408526;
c)

&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????∗(&#3627408499;

+&#3627408537;)=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408499;

+&#3627408537;)∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408499;

=
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;∗(??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????+&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????)+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)
=−&#3627408537;+
&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????+??????∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????)

&#3627408499;

=− &#3627409358;,&#3627409365;&#3627409366;&#3627409361;+
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409366;&#3627409361;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗(&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;&#3627409361;&#3627409358;+&#3627409358;,&#3627409360;∗&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;&#3627409361;&#3627409358;)
=&#3627409359;,&#3627409363;&#3627409362; &#3627408526;
90. Un tren con masa total de 2 10
6
kg se eleva 707 m a lo largo de una distancia de 62
km con una velocidad media de 15,0 km/h. Si la fuerza de rozamiento es igual al 0,8
por ciento del peso,
a) Calcular la energía cinética del tren,
b) La variación total de energía potencial,
c) La energía disipada por rozamiento cinético, y
d) La potencia de la locomotora.
a) &#3627409359;&#3627409363;,&#3627409358;
&#3627408524;&#3627408526;
&#3627408521;

&#3627409359; &#3627408521;
&#3627409361;&#3627409364;&#3627409358;&#3627409358;&#3627408532;

&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358; &#3627408526;
&#3627409359; &#3627408524;&#3627408526;
=&#3627409362;,&#3627409359;&#3627409365; &#3627408526;/&#3627408532;
&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
∗&#3627409362;,&#3627409359;&#3627409365;
&#3627409360;
=&#3627409359;&#3627409365;,&#3627409362;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408497;
b) ∆&#3627408492;
&#3627408529;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗∆&#3627408521;=&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409365;&#3627409358;&#3627409365;=&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627408497;
c) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−
&#3627409358;,&#3627409366;
&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;
∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
=−&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409358;&#3627409366;∗&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
=−&#3627409367;,&#3627409365;&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409367;
&#3627408497;
d) &#3627408503;=
&#3627408510;
&#3627408525;&#3627408528;&#3627408516;
∆&#3627408533;
=
(−&#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;+∆&#3627408492;
&#3627408516;+∆&#3627408492;
&#3627408529;)
∆&#3627408532;
∗&#3627408535;=
&#3627409367;,&#3627409365;&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409367;
+&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;&#3627409360;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409361;
∗&#3627409362;,&#3627409359;&#3627409365;=&#3627409359;,&#3627409363;&#3627409367;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409364;
&#3627408510;

91. Parece ser que al acelerar se consume más energía que al conducir con velocidad
constante.
a) Calcular la energía necesaria para que un coche de 1200 kg alcance la velocidad
de 50 km/h despreciando el rozamiento.
b) Si los rozamientos de todo tipo dan lugar a una fuerza de rozamiento total de
300 N a la velocidad de 50 km/h, ¿Cuánta energía se necesita para desplazar el
coche una distancia de 300 m a una velocidad constante de 50 km/h?
c) Suponiendo que las pérdidas de energía por causa del rozamiento en la parte a
son el 75 % de las encontradas en la parte b, estimar la relación que existe entre
el consumo de energía para los dos casos considerados.
a) &#3627408510;
&#3627408527;&#3627408518;&#3627408516;&#3627408518;&#3627408532;&#3627408514;&#3627408531;&#3627408522;&#3627408528;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408500;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409359;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;∗(&#3627409363;&#3627409358;∗&#3627409361;,&#3627409364;)
&#3627409360;
=&#3627409359;,&#3627409359;&#3627409364;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409363;
&#3627408497;
b) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−&#3627408493;∗∆&#3627408537;=&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;∗&#3627409361;&#3627409358;&#3627409358;=&#3627409367;,&#3627409358;∗&#3627409359;&#3627409358;
&#3627409362;
&#3627408497;=&#3627408492;
c) &#3627408492;

=∆&#3627408492;
&#3627408526;+&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409363;∗&#3627408492;
&#3627408492;

&#3627408492;
=
∆&#3627408492;
&#3627408526;
&#3627408492;
+&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409363;=
&#3627409359;&#3627409359;&#3627409364;
&#3627409367;&#3627409358;
+&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409363;=&#3627409360;,&#3627409358;&#3627409362;

92. En un modelo de carrera deportiva, la energía se consume en el proceso de acelerar
y desacelerar las piernas. Si la masa de una pierna es m y la velocidad de la carrera es
v, la energía necesaria para acelerarla pierna desde el reposo es 1/2mv
2
y la misma
energía se necesita para desacelerar la pierna hasta el reposo para iniciar la siguiente
zancada. Así, la energía requerida en cada zancada es mv
2
. Supóngase que la masa
de la pierna de un hombre es 10 kg y que corre con una velocidad de 3 m/s, siendo la
distancia entre dos pisadas consecutivas de 1 m. Por tanto, la energía que debe
proporcionar a sus piernas cada segundo es 3*mv
2
. Calcular con este modelo el
consumo de energía del hombre por unidad de tiempo, suponiendo que sus
músculos tienen un rendimiento de 25 por ciento.
&#3627408503;=&#3627409361;∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627409361;∗&#3627409359;&#3627409358;∗&#3627409361;
&#3627409360;
=&#3627409360;&#3627409365;&#3627409358; &#3627408510;
&#3627408503;
&#3627408507;=&#3627409362;∗&#3627408503;=&#3627409359;&#3627409358;&#3627409366;&#3627409358; &#3627408510;

93. El 31 de julio de 1994 el saltador de pértiga Sergei Bukka alcanzó la marca de 6,14 m.
Si el atleta se mantuvo momentáneamente en reposo en la parte superior del salto y
toda la energía necesaria para elevar su cuerpo procedía de la energía cinética
justamente antes de plantar la pértiga, ¿Cuál era su velocidad en el momento justo
antes de despegar del suelo? Despreciar la masa de la pértiga. Si el saltador pudiera
mantener esta velocidad durante una carrera de 100 m, ¿en cuánto tiempo cubriría
dicha distancia? Como el record mundial de los 100 m está un poco por encima de los
9,8 s, ¿a qué conclusión llegaríamos sobre los saltadores de pértiga de nivel
olímpico?
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;
;&#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=√&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409364;,&#3627409359;&#3627409362;=&#3627409359;&#3627409358;,&#3627409367;&#3627409366; &#3627408526;/&#3627408532;
Suponiendo movimiento uniforme:
∆&#3627408533;=
∆&#3627408537;
&#3627408535;
=&#3627409367;,&#3627409359; &#3627408532;
El movimiento no es uniforme, y utiliza energía de su metabolismo para convertir en
energía cinética y energía potencial.

94. Un bloque de 5 kg se mantiene contra un muelle, cuya constante de fuerza es 20
N/cm, comprimiéndolo 3 cm. El bloque se libera y el muelle se extiende impulsando
el bloque a lo largo de una superficie horizontal rugosa. El coeficiente de rozamiento
entre la superficie y el bloque es 0,2.
a) Determinar el trabajo realizado sobre el bloque por el muelle al extenderse
desde su posición comprimida a su posición de equilibrio.
b) Determinar la energía disipada por rozamiento sobre el bloque mientras se
desplaza los 3 cm hasta la posición de equilibrio del muelle.
c) ¿Cuál es la velocidad del bloque al alcanzar el muelle su posición de equilibrio?
d) Si el bloque no estuviera sujeto al muelle, ¿qué distancia recorrería sobre la
superficie rugosa antes de detenerse?
a) &#3627408510;
&#3627408518;&#3627408525;&#3627408514;&#3627408532;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627409360;&#3627409358;∗&#3627409361;
&#3627409360;
=&#3627409367;&#3627409358; &#3627408497;
b) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;=−&#3627409358;,&#3627409360;∗&#3627409363;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409361;=−&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409367;&#3627409362; &#3627408497;
c) &#3627408510;
&#3627408531;&#3627408528;&#3627408539;=∆&#3627408492;
&#3627408526;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

Comparamos la situación inicial y la final al salir del muelle:
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;=
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408535;=√
&#3627408524;
&#3627408526;
∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗??????∗&#3627408520;∗&#3627408537;=√
&#3627409360;&#3627409358;
&#3627409363;
∗&#3627409361;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627409358;,&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409361;=&#3627409364;,&#3627409358; &#3627408526;/s
d) Comparando el momento de separarse del muelle con el momento de pararse:
−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;=&#3627409358;−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗&#3627408535;
&#3627409360;

−??????∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;=−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408526;∗ &#3627408535;
&#3627409360;
; &#3627408537;=
&#3627408535;
&#3627409360;
&#3627409360;∗??????∗&#3627408520;∗&#3627408537;
=
&#3627409364;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627409358;,&#3627409360;∗&#3627409367;,&#3627409366;&#3627409359;∗&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409361;
=&#3627409361;&#3627409358;&#3627409363;,&#3627409366; &#3627408526;
95. Un péndulo de longitud L tiene una lenteja de masa m. Se deja libre desde un cierto
ángulo ϴ1. La cuerda choca contra un clavo situado a una distancia x directamente
por debajo del propio pivote (figura) acortándose realmente la longitud del péndulo.
Determinar el ángulo máximo ??????
&#3627409360; que forman la cuerda y la vertical cuando la lenteja
está a la derecha del clavo.

&#3627408521;
&#3627409359;=&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409359;)
&#3627408521;
&#3627409360;=(&#3627408499;−&#3627408537;)∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409360;)
Igualando energías:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409359;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360;
&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409359;
)=(&#3627408499;−&#3627408537;)∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409360;)
&#3627408499;
(&#3627408499;−&#3627408537;)
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409359;
)=&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409360;
&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409360;=&#3627409359;−
&#3627408499;
(&#3627408499;−&#3627408537;)
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409359;
)
??????
&#3627409360;=&#3627408514;&#3627408531;&#3627408516;&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;(&#3627409359;−
&#3627408499;
(&#3627408499;−&#3627408537;)
∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627409359;
))
96. Un bloque de masa m se deja caer sobre la parte superior de un muelle vertical cuya
constante de fuerza es k. Si el bloque se suelta desde una altura h por encima del
muelle,
a) ¿Cuál es la energía cinética máxima del bloque?
b) ¿Cuál es la máxima compresión del muelle?
c) ¿Para qué compresión la energía cinética del bloque es la mitad de su valor
máximo?


a) Considerando la conservación de energías, tomando cono nivel de alturas 0
la posición inicial del muelle:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=&#3627408492;
&#3627408516;−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408492;
&#3627408516;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+&#3627408537;)−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

Para el valor máximo:
&#3627408517;&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627408517;&#3627408537;
=&#3627408526;∗&#3627408520;−&#3627408524;∗&#3627408537;=&#3627409358; ;&#3627408537;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;

Para ver si es un máximo:
&#3627408517;
&#3627409360;
&#3627408492;
&#3627408516;
&#3627408517;&#3627408537;
&#3627409360;
=−&#3627408524; <&#3627409358; ;&#3627408518;&#3627408525; &#3627408529;&#3627408534;&#3627408527;&#3627408533;&#3627408528; &#3627408516;&#3627408528;&#3627408527;&#3627408532;&#3627408522;&#3627408517;&#3627408518;&#3627408531;&#3627408514;&#3627408517;&#3627408528; &#3627408518;&#3627408532; &#3627408534;&#3627408527; &#3627408526;á&#3627408537;&#3627408522;&#3627408526;&#3627408528;.
&#3627408492;
&#3627408516;(
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408537;
)=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
)−
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗(
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
)
&#3627409360;
=&#3627408526;∗&#3627408520;∗(&#3627408521;+
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627409360;∗&#3627408524;
)

b) En el punto de compresión máxima y el punto inicial:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=&#3627409358;

&#3627408537;=
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;±√&#3627409362;∗&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
+&#3627409362;∗&#3627408524;∗&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627409360; &#3627408524;

&#3627408537;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
+√
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627408524;
&#3627409360;
+
&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408524;


c) En el punto considerado:
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;+&#3627408492;
&#3627408516;+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

Donde:
&#3627408492;
&#3627408516;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627409360;
∗(&#3627408521;+
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627409360;∗&#3627408524;
)
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;=−&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;+
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627409360;
∗(&#3627408521;+
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627409360;∗&#3627408524;
)+
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627408524;∗&#3627408537;
&#3627409360;
−&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408537;− &#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;+
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408524;
=&#3627409358;
&#3627408537;
&#3627409360;

&#3627409360;∗&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
∗&#3627408537;+(
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408524;
&#3627409360;

&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408524;
)=&#3627409358;
La solución positiva:
&#3627408537;=
&#3627408526;∗&#3627408520;
&#3627408524;
+√
&#3627408526;
&#3627409360;
∗&#3627408520;
&#3627409360;
&#3627409360;∗&#3627408524;
&#3627409360;
+
&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408521;
&#3627408524;

97. Se empuja hacia un lado la lenteja de un péndulo de longitud L de modo que la
cuerda forme con la vertical un ángulo ϴo y luego se suelta. Utilizando la segunda ley
de Newton se pretende demostrar el principio de conservación de la energía.
a) Demostrar que la componente tangencial de la segunda ley de Newton viene
dada por dv/dt=-g senϴ, donde v es la velocidad y ϴ el ángulo que forma la
cuerda con la vertical.
b) Demostrar que v se puede escribir en la forma v= L dϴ/dt.
c) Utilizar este resultado y la regla de derivación en cadena para obtener
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;&#3627408533;
=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;??????
=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;??????
&#3627408535;
&#3627408499;

d) Combinar los resultados a y c para obtener
&#3627408535; &#3627408517;&#3627408535;= −&#3627408520; &#3627408499; &#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;?????? &#3627408517;??????
e) Integrar el primer miembro de esta ecuación desde v=0 hasta la velocidad final v
y el segundo miembro desde ϴ=ϴo a ϴ=0 y demostrar que el resultado es
equivalente a &#3627408535;=√&#3627409360;&#3627408520;&#3627408521;, siendo h la altura original de la lenteja del péndulo
sobre el punto más bajo de su recorrido.
a)

&#3627408493;
&#3627408533;&#3627408514;&#3627408527;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
&#3627408526;∗&#3627408514;
&#3627408533;=&#3627408526;∗&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
Teniendo en cuenta la expresión de la aceleración tangencial ( &#3627408514;
&#3627408533;=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;&#3627408533;
⁄ :
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;&#3627408533;
=&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????
Expresión en módulo. La aceleración está dirigida hacia la parte inferior en el
mismo sentido que la fuerza tangencial.
b) Teniendo en cuenta &#3627408532;=&#3627408499;∗??????
&#3627408517;&#3627408532;
&#3627408517;&#3627408533;
=&#3627408499;∗
&#3627408517;??????
&#3627408517;&#3627408533;
; &#3627408535;=&#3627408499;∗
&#3627408517;??????
&#3627408517;&#3627408533;

c)
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;&#3627408533;
=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;??????

&#3627408517;??????
&#3627408517;&#3627408533;
=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;??????

&#3627408535;
&#3627408499;

Donde hemos utilizado:
&#3627408517;&#3627408532;
&#3627408517;&#3627408533;
=&#3627408535;=&#3627408499;∗
&#3627408517;??????
&#3627408517;&#3627408533;
;
&#3627408517;??????
&#3627408517;&#3627408533;
=
&#3627408535;
&#3627408499;

d) En modulo:
&#3627408520;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????=
&#3627408517;&#3627408535;
&#3627408517;??????

&#3627408535;
&#3627408499;

&#3627408535;∗&#3627408517;&#3627408535;=&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408517;??????
e) ∫&#3627408535;∗&#3627408517;&#3627408535;=−∫&#3627408520;∗&#3627408499;∗&#3627408532;&#3627408518;&#3627408527;??????∗&#3627408517;??????
&#3627409358;
??????
&#3627408528;
&#3627408535;
&#3627409358;

[
&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408535;
&#3627409360;
]
&#3627409358;
&#3627408535;
=&#3627408520;∗&#3627408499;∗[&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????]
??????
&#3627408528;
&#3627409358;

&#3627409359;
&#3627409360;
∗&#3627408535;
&#3627409360;
=&#3627408520;∗&#3627408499;∗(&#3627409359;−&#3627408516;&#3627408528;&#3627408532;??????
&#3627408528;
)=&#3627408520;∗&#3627408521; ; &#3627408535;=√&#3627409360;∗&#3627408520;∗&#3627408521;