Convergencia del metodo de bisección Metodos Numericos

Convergencia del metodo de bisección Metodos Numericos

1. CONVERGENCIA DEL
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
CON MATLAB
CLASE 3
28-ENERO-2015

2. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Sean�
??????,�
??????,�
??????losvaloresde�,�,�encadaiteración??????=
1,2,3,…..Respectivamente.
•Elmétododelabiseccióngeneraunasucesiónde
intervalos�,�,�
1,�
1,…..,�
??????,�
??????talesque�≤�
1≤
�
2…≤�
??????constituyenunasucesióncrecienteyb≤�
1≤
�…≤�
??????unasucesióndecrecientecon�
??????<&#3627408463;
??????.

3. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Ademaspordefinicióndelmétodo&#3627408464;
??????,&#3627408479;??????&#3627408462;
??????,&#3627408463;
??????encada
iteración??????
&#3627408462;
?????? &#3627408463;
??????
&#3627408464;
?????? &#3627408479;

4. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Sean&#3627408465;
??????=&#3627408463;
??????−&#3627408462;
??????longituddelintervalo&#3627408462;
??????,&#3627408463;
??????enla
iteración??????=1,2,3,…….
•&#3627408465;=&#3627408463;−&#3627408462;longituddelintervaloinicial

5. RECORRIDODELASITERACIONES
Iteración Longitud del intervalo
1 &#3627408465;
1=&#3627408465;/2
2
&#3627408465;
2=
&#3627408465;
1
2
=
&#3627408465;
2
2
3
&#3627408465;
3=
&#3627408465;
2
2
=
&#3627408465;
2
3
4
&#3627408465;
4=
&#3627408465;
3
2
=
&#3627408465;
2
4
… …
??????
&#3627408465;
??????=
&#3627408465;
2
??????

6. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Entonces
•
??????
2
??????
⟶0⟹
&#3627408465;
??????
??????→∞
⟶0⟹&#3627408462;
??????
⟶
??????⟶∞
&#3627408463;
??????⟹
&#3627408464;
??????⟶&#3627408479;
??????⟶∞
⟹
•∃??????>0&#3627408464;
??????−&#3627408479;<??????

7. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Suponerquesedeseaqueelultimovalorcalculado&#3627408464;
??????
tengaprecisión??????=0.001,entoncessielalgoritmo
terminacuando&#3627408463;
??????−&#3627408462;
??????<??????,secumpliráque&#3627408464;
??????−&#3627408479;<??????
y&#3627408464;
??????seráunaaproximaciónpara&#3627408479;conunerrormenorque
0.0001.

8. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Sepuedepredecirelnúmerodeiteracionesquesedeben
realizarconelmétododelaBisecciónparaobtenerla
respuestaconunaprecisiónrequeridaE:
•Enlaiteración??????:&#3627408465;
??????=&#3627408465;/2
??????
•Sedeseaterminarcuando:&#3627408465;
??????<??????
•Entoncessedebecumplir
??????
2
??????
<??????
•Dedondeseobtiene:??????>
????????????????????????/??????
log(2)

9. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Ejemplo.Laecuación&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408485;&#3627408466;
??????
−??????=0tieneunaraíz
realenelintervalo0,2.Determinecuantasiteraciones
debenrealizarseconelmétododelabisecciónpara
obtenerunresultadoconprecisión??????=0.0001

10. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Elnumerodeiteracionesquedeberánrealizarsees:
•??????>
??????????????????
2
0.001
log2
⟹??????>14.287⟹15??????&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408480;

11. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Algoritmodelmétododelabisección
•Calcularunaraíz&#3627408479;realdelaecuación&#3627408467;&#3627408485;=0con
precisión??????.&#3627408467;escontinuaenunintervalo&#3627408462;,&#3627408463;talque
&#3627408467;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408467;(&#3627408463;)tienensignosdiferentes.
1.Defina&#3627408467;,elintervaloinicial&#3627408462;,&#3627408463;ylaprecisión
requerida??????
2.Calculeelpuntocentraldelintervalo:&#3627408464;=(&#3627408462;+&#3627408463;)/2

12. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
3.Si&#3627408467;&#3627408464;=0,&#3627408464;eslaraízytermine.
4.Silaraízseencuentraenelintervalo&#3627408462;,&#3627408464;,sustituya
&#3627408463;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408464;
5.Silaraízseencuentraenelintervalo&#3627408464;,&#3627408463;sustituya
&#3627408462;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408464;
6.Repitalospasos2,3,4y5hastaquelalongituddel
intervalo&#3627408462;,&#3627408463;seamenorque??????.

13. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Elultimovalorcalculado&#3627408464;estaráalmenosaunadistancia
??????delaraíz.

14. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Ejemplo.Calculeunaraízrealde&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408485;&#3627408466;
??????
−??????=0en
elintervalo0,2conprecisión0.01
•Lafunción&#3627408467;escontinuayademás&#3627408467;0<0,&#3627408467;2>0,
porlotantolaecuación&#3627408467;&#3627408485;=0debeconteneralguna
raízenelintervalo0,2

15. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Cantidaddeiteraciones
•??????>
????????????????????????/??????
log(2)
=
??????????????????1/0,01
log(2)
=7,6439⟹8??????&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408480;

16. •Tabulacióndeloscálculosparaobtenerlaraízconel
métododeBisección
iteración &#3627408514;&#3627408515;&#3627408516;????????????&#3627408520;??????(&#3627408519;&#3627408514;)????????????&#3627408520;??????(&#3627408519;&#3627408516;)
inicio 0 2 1 - +
1 1 2 1.5 - +
2 1 1.5 1.25 - +
3 1 1.25 1.125 - +
4 1 1.125 1.0625 - -
5 1.0625 1.125 1.0938 - +
6 1.0625 1.0938 1.0781 - +
7 1.0625 1.0781 1.0703 - -
8 1.0703 1.0781 1.0742

17. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Enlaoctavaiteración
•&#3627408463;−&#3627408462;=1.0781−1.0703=0.0078⟹&#3627408479;−&#3627408464;<0.01
•&#3627408479;=1.074conerrormenorque0.01
•Enlaultimaiteraciónseobservaqueelintervaloque
contienealaraízsehareducidoa1.0703,1.0781,por
lotantoelultimovalorcalculadode&#3627408464;=1.074debeestar
cercade&#3627408479;conunadistanciamenorque0.01

18. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Eficienciadelmétododelabisección
•Suponerelcasomasdesfavorable,enelque&#3627408479;estamuy
cercadeunodelosextremosdelintervalo&#3627408462;,&#3627408463;
•Sean:
•??????
??????=&#3627408479;−&#3627408464;
??????:&#3627408466;&#3627408479;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408462;??????&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;??????ó&#3627408475;??????
•??????
??????+1=&#3627408479;−&#3627408464;
??????+1:&#3627408466;&#3627408479;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408475;??????&#3627408462;??????&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408464;??????ó&#3627408475;??????+1

19. ??????
??????
??????
??????+1
&#3627408462;
?????? &#3627408464;
??????
&#3627408462;
??????+1
&#3627408464;
??????+1
&#3627408463;
??????
&#3627408479;

20. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
•Encadaiteraciónlamagnituddelerrorsereduceenno
masdelamitadrespectodelerrorenlaiteraciónanterior:
??????
??????+1≤
1
2
??????
??????.Estaesunarelaciónlineal.Conlanotación
??????()sepuedeescribir:??????
??????+1=??????(??????
??????).Entonces,elmétodo
delaBiseccióntieneconvergencialinealodeprimer
orden.

21. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Calcularunaraíz&#3627408479;realdelaecuación&#3627408467;&#3627408485;=0.&#3627408467;es
continuaenunintervalo&#3627408462;,&#3627408463;talque&#3627408467;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408467;(&#3627408463;)tiene
signosdiferentes.
•Parainstrumentarelalgoritmodeestemétodose
escribiráunafunciónenMATLAB.Elnombreserá
bisección.Recibirácomoparámetros&#3627408467;,&#3627408462;,&#3627408463;yentregara&#3627408464;
comoaproximaciónalaraíz.

22. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Criterioparasalir:Terminarcuandolalongituddel
intervaloseamenorqueunvalorpequeño&#3627408466;especificado
comootroparámetroparalafunción.Entonceselúltimo
valor&#3627408464;estaráaproximadamenteaunadistancia&#3627408466;dela
raíz.

24. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Ejemplo2:DesdelaventanadecomandosdeMATLAB,
uselafunciónbisecciónparacalcularunaraízrealdela
ecuación&#3627408467;&#3627408485;=&#3627408485;&#3627408466;
??????
−??????=0.Suponerquesedeseaque
elerrorseamenorque0.0001.

26. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Otrocódigoparacorrerelejemplo2

28. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Ejemplo3:Encontrarlasinterseccionesenelprimer
cuadrantedelosgráficosdelasfunciones:
•&#3627408467;=4+cos&#3627408485;+1,&#3627408468;&#3627408485;=&#3627408466;
??????
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;(&#3627408485;)

29. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Primerosegraficanlasfuncionesparavisualizarlas
intersecciones

31. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
•Lasinterseccionessonlasraícesdelaecuación
•ℎ&#3627408485;=&#3627408467;&#3627408485;−&#3627408468;&#3627408485;=0
•Elcalculodelasraícesserealizaconelmétododela
bisecciónconunerrormenora0.0001