Coordenadas Polares (curvas e regiões planas)

Notas de aula sobre coordenadas polares.

1. 1/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
COORDENADAS POLARES
(a consulta a estas notas de aulan˜ao dispensaa leitura da bibliografia de referˆencia)
Prof. Ricardo Saldanha de Morais
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica de Minas Gerais
Departamento de Matem´atica ( http://www.dm.cefetmg.br)
II semestre de 2021

2. 2/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Sum´ario
1
Defini¸c˜ao e exemplos
2
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
3
Gr´aficos em coordenadas polares
4
Referˆencias

3. 3/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Defini¸c˜ao e exemplos
At´e aqui localizamos um ponto no
plano por suas coordenadascar-
tesianas(x, y).
Os valoresxey, chamados
abscissaeordenada, respec-
tivamente, s˜ao as medidas das
distˆanciasorientadasdo ponto
aos eixos coordenados.

4. 4/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Osistema de coordenadas polares´e um outro sistema de coordena-
das para o plano em rela¸c˜ao ao qual certas curvas ou regi˜oes planas s˜ao
mais facilmente descritas.
No sistema de coordenadas polares, usamos como referˆencias um ponto
fixoO, chamadopolo(ou origem), e uma semirreta fixa com origem em
O, denominadaeixo polar:

5. 5/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Para cada pontoPno plano,P̸=O, sejamra distˆancia entrePe
O, eθo ˆangulo entre o segmentoOPe o eixo polar, com lado inicial
coincidindo com o eixo polar.
O par (r, θ) ´eumarepresenta¸c˜ao deP(P̸=O) coordenadas po-
lares. Escrevemos,P= (r, θ)reθs˜ao, respectivamente, chamados
componente radialecomponente angular).
Para o polo, definimosO= (0, θ) θ´e uma medida angular
qualquer.

6. 6/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Adotamos tamb´em a conven¸c˜ao: a componente angular ´epositivaquando
o ˆangulo ´e tra¸cado no sentidoanti-hor´ario, e ´enegativase o ˆangulo
´e descrito no sentidohor´ario. Ou seja, a componente angular ´eorien-
tada.
Na figura, os ˆangulosαeβtˆem medidas positivas e o ˆanguloγpossui
medida negativa.
Em problemas que envolvem derivadas e integrais, a componente angular
deve ser expressa em radianos.

7. 7/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Por exemplo, relativamente `a figura abaixo, se a distˆancia entre o ponto
Pe o polo ´e 2
√
5, ent˜aoPpode ser representado por
`
2
√
5,
5π
3
´
ou
por
ı
2
√
5,−
π
3
ȷ
.
Na realidade, os pares
`
2
√
5,
5π
3
+ 2k π
´
e
ı
2
√
5,−
π
3
+ 2k π
ȷ
, em
quek∈Z, correspondem ao mesmo pontoPda figura.
Diferentemente do sistema cartesiano, um ponto admite infinitas repre-
senta¸c˜oes no sistema polar.

8. 8/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Podemos considerar (r, θ) comr <0. Neste caso, o ponto estar´a no
prolongamento oposto do lado final do ˆangulo, a uma distˆancia|r|do
polo:
A componente radialrrepresenta portanto uma distˆanciaorientada.

9. Exemplo
A=
`
−2,
4π
3
´
=
ı
2,
π
3
ȷ
=
`
−2,−
2π
3
´
,
B=
ı
5,−
π
3
ȷ
=
`
−5,−
4π
3
´
,
C=
`
6,−
5π
6
´
=
ı
−6,
π
6
ȷ
.
Ilustra¸c˜ao no GeoGebra:https://www.geogebra.org/m/ku4CUY6Z
Quaisquer que sejam reθ(rad), os pares ( r, θ) e
Γ
(−1)
k
r, θ+k π
∆
,em quek∈Z,representam o mesmo ponto.
9/43

10. Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Os sistemas polar e cartesiano
s˜aoindependentes. Contudo, ´e
poss´ıvel posicionar as referˆencias
no plano de modo a obter rela¸c˜oes
simples entre os dois tipos de co-
ordenadas, a saber:
o polo coincidindo com a origem
do sistema cartesiano,
o eixo polar coincidindo com o
semieixoxpositivo,
a semirreta correspondente a
θ=
π
2
coincidindo com o semi-
eixoypositivo.
F´ormulas de convers˜ao
(r, θ)→(x, y) :x=rcosθey=rsenθ .
(x, y)→(r, θ) :r
2
=x
2
+y
2
e tgθ=
y
x
sex̸= 0.
10/43

11. Prova: Dado um pontoPno plano,P̸=O, sejam (x, y) suas coordenadas
cartesianas e (r, θ) uma de suas representa¸c˜oes polares.
Ser >0, ent˜aoθ´e um ˆangulo
na posi¸c˜ao padr˜ao com lado final
coincidindo com o segmento azul
da figura. Decorre da defini¸c˜ao das
fun¸c˜oes seno e cosseno que
cosθ=
x
r
e senθ=
y
r
,ou
x=rcosθey=rsenθ(1)
Ser <0, ent˜ao|r|=−reθ´e um ˆangulo na posi¸c˜ao padr˜ao com lado final
coincidindo com o segmento verde da figura. Como antes, temos que
cosθ=
−x
−r
e senθ=
−y
−r
,oux=rcosθey=rsenθ.
Assim, parar <0,r= 0 P=O) r >0, s˜ao v´alidas as rela¸c˜oes (1).
11/43

12. Prova(cont.):
Qualquer que sejar, o Teorema de Pit´agoras garante quer
2
=x
2
+y
2
.
Ademais, sex̸= 0,vale tgθ=
senθ
cosθ
=
rsenθ
rcosθ
=
y
x
.
Exemplo 1
Encontre as coordenadas cartesianas do pontoPcujas coordenadas polares
s˜ao
`
−6,
7π
4
´
.
Solu¸c˜ao:
x=rcosθ=−6 cos
7π
4
=−6
√
2
2
=−3
√
2,
y=rsenθ=−6 sen
7π
4
=
−6
`
−
√
2
2
´
= 3
√
2.Logo, as co-
ordenadas cartesianas dePs˜ao
Γ
−3
√
2,3
√
2
∆
.
12/43

13. 13/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 2
Ache uma representa¸c˜ao polar (r, θ), comr <0 e 0⩽θ <2π, para o ponto
cujas coordenadas cartesianas s˜ao
Γ
−
√
3,−1
∆
.
Solu¸c˜ao:
Como a componente ra-
dial deve ser negativa,
r=−
q
Γ
−
√
3
∆
2
+ (−1)
2
=−2.
Ademais,
tgθ=
y
x
=
−1
−
√
3
=
1
√
3
=
√
3
3
e, como 0< θ <
π
2
,θ=
π
6
.
Assim,
ı
−2,
π
6
ȷ
´e a representa¸c˜ao polar procurada.

14. Exemplo 3
Dada a equa¸c˜ao polar
r
2
= 4 cos (2θ), (2)
ache a equa¸c˜ao cartesiana equivalente.
Solu¸c˜ao:
Como cos (2θ) = cos
2
θ−sen
2
θ, a equa¸c˜ao (2) pode ser escrita como
r
2
= 4 (cos
2
θ−sen
2
θ). (3)
Ser̸= 0, a equa¸c˜ao (3) ´e equivalente a
r
4
= 4
Θ
(rcosθ)
2
−(rsenθ)
2
Λ
.
Efetuando a substitui¸c˜aor
2
=x
2
+y
2
,x=rcosθey=rsenθna ´ultima
igualdade, obtemos
(x
2
+y
2
)
2
= 4(x
2
−y
2
). (4)
Cabe notar que podemos terr= 0, pois
ı
0,
π
4
ȷ
´e uma das solu¸c˜oes da
equa¸c˜ao (2). Masr= 0 corresponde `a origem, cujas coordenadas cartesianas
(x=y= 0)
equivalente cartesiano da equa¸c˜ao polar (2) r= 0 our̸= 0).
14/43

15. Exemplo 4
Determine uma equa¸c˜ao polar equivalente `a equa¸c˜ao cartesiana
x
2
+y
2
−6y= 0. (5)
Solu¸c˜ao:
Substituindox
2
+y
2
porr
2
eyporrsenθna equa¸c˜ao, vem
r
2
−6rsenθ= 0⇐⇒r(r−6 senθ) = 0⇐⇒r= 0 our= 6 senθ .
A igualdader= 0 corresponde `a origem. Ocorre que (0,0) ´e uma solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao
r= 6 senθ ,
poisr= 0 quandoθ= 0. Portanto, o correspondente polar de (5) ´e
r= 6 senθ .
Vale observar que
x
2
+y
2
−6y= 0⇐⇒x
2
+ (y
2
−6y+ 9) = 9⇐⇒x
2
+ (y−3)
2
= 9,
ou seja, a equa¸c˜ao dada representa um c´ırculo com centro em (0,3) e raio 3.
15/43

16. 16/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Gr´aficos em coordenadas polares
Defini¸c˜ao (Gr´afico)
Ogr´aficode uma equa¸c˜ao em coordenadas polaresreθconsiste em todos os
pontos que tˆem pelo menos um par de coordenadas satisfazendo a equa¸c˜ao.
Exemplo 1
Consideremos a equa¸c˜ao polar
r=
√
θ(espiral parab´olica).
SejaP= (−2,4 +π). Esse parn˜ao satisfaza equa¸c˜ao. No entanto,
a representa¸c˜ao (2,4), do mesmo ponto, satisfaz a equa¸c˜ao. Logo,P
pertence ao gr´afico der=
√
θ.
As coordenadas do pontoQ=
`
−
2
√
π
,−
3π
4
´
n˜ao satisfazema equa¸c˜ao
polarr
2
θ= 1. Contudo, o par
`
2
√
π
,
π
4
´
, que tamb´em representaQ,
verifica a equa¸c˜ao. Por isso, o pontoQest´a no gr´afico der
2
θ= 1.

17. 17/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 2
Equa¸c˜ao:θ=α, sendoαuma constante real.
A equa¸c˜ao ´e satisfeita por todos os pontos que tˆem coordenadas polares
(r, α), qualquer que sejar. Assim, o gr´afico ´e uma reta que passa pelo polo
e forma com o eixo polar um ˆangulo de medidaαrad.
A mesma reta ´e descrita porθ=α±kπ ,comk∈Z.

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Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

19. 19/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

20. 20/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

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Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

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Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

23. 23/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

24. 24/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/4
5π/6
π
7π/6
5π/4

25. 25/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6
π
7π/6
5π/4

26. 26/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6 3
π
7π/6
5π/4

27. 27/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6 3
π 0
7π/6
5π/4

28. 28/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6 3
π 0
7π/6 -3
5π/4

29. 29/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6 3
π 0
7π/6 -3
5π/4-3
√
2

30. 30/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 3
Equa¸c˜ao:r= 6 senθ
Γ
(x−0)
2
+ (y−3)
2
= 3
2
∆
θ r
0 0
π/6 3
π/43
√
2
π/33
√
3
π/2 6
2π/33
√
3
3π/43
√
2
5π/6 3
π 0
7π/6 -3
5π/4-3
√
2

31. 31/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Alguns c´ırculos
r=a
r= 2acosθr= 2asenθ
Nas equa¸c˜oes,a´e uma constante real n˜ao nula.

32. Testes de simetria para gr´aficos polares
O gr´afico de uma equa¸c˜ao polar ´esim´etricoem rela¸c˜ao
1
`aorigemse a troca derpor−r, ou deθporθ+π, produz uma equa¸c˜ao
equivalente
a
¯figura);
2
aoeixoxse a substitui¸c˜ao deθpor−θconduz a uma equa¸c˜ao equiva-
lente
a
¯figura);
3
aoeixoyse a trocaθporπ−θproduz uma equa¸c˜ao equivalente
a
¯
figura).
32/43

33. Exemplo 4
O gr´afico de
r= 3 (1−cosθ)
´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixox, pois
r= 3(1−cos (−θ))⇐⇒r= 3 (1−cosθ),
uma vez que cosθ= cos (−θ).
A curva
r
2
= sen (2θ)
´e sim´etrica em rela¸c˜ao `a origem, j´a que
(−r)
2
= sen (2θ)⇐⇒r
2
= sen (2θ).
O gr´afico de
r= sen (3θ)
´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixoy, visto que
r= sen (3 (π−θ))⇐⇒r= sen (3π−3θ)⇐⇒r= sen (2π+π−3θ)
⇐⇒r= sen (π−3θ)⇐⇒r= sen (3θ),pois sen (π−3θ) = sen (3θ).
33/43

34. 34/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 5
Equa¸c˜ao:r= 3 (1−cosθ)
θ r
0 0
π/6(6-3
√
3)/2
π/4(6-3
√
2)/2
π/3 3/2
π/2 3
2π/3 9/2
3π/4(6+3
√
2)/2
5π/6(6+3
√
3)/2
π 6

35. 35/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 5
Equa¸c˜ao:r= 3 (1−cosθ)
θ r
0 0
π/6(6-3
√
3)/2
π/4(6-3
√
2)/2
π/3 3/2
π/2 3
2π/3 9/2
3π/4(6+3
√
2)/2
5π/6(6+3
√
3)/2
π 6

36. 36/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Exemplo 5
Equa¸c˜ao:r= 3 (1−cosθ)
θ r
0 0
π/6(6-3
√
3)/2
π/4(6-3
√
2)/2
π/3 3/2
π/2 3
2π/3 9/2
3π/4(6+3
√
2)/2
5π/6(6+3
√
3)/2
π 6

37. Cardioides
r=a(1±cosθ), a >0
r=a(1±senθ), a >0
37/43

38. 38/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Lima¸cons
r=a±bsenθour=a±bcosθ,coma >0 eb >0.
a/b <1 a/b= 1 1 < a/b <2 a/b≥2
Lima¸con com Cardi´oide Lima¸con com Lima¸con
la¸co inteiro “covinha” convexa
Lima¸con´e uma palavra francesa antiga para “caracol”.

39. Exemplo 6
Equa¸c˜ao:r= 2 sen (3θ)
Vale notar que a curvar= 2 sen (3θ) ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao eixoy,
como demonstrado no terceiro item doExemplo 4.
39/43

40. 40/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Ros´aceas
n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6
r=asenn θ
r=acosn θ
Nas equa¸c˜oes,a >0 en∈N
∗
. A ros´acea tem raioa,
np´etalas sen´e´ımpare
2np´etalas sen´epar.
Ilustra¸c˜ao no GeoGebra:https://www.geogebra.org/m/fjjjcv5n

41. Algumas espirais Espiral de Arquimedes Espiral parab´olica Espiral logar´ıtmica
r=a θ r =a
√
θ r =a e
bθ
Espiral de Lituus Espiral hiperb´olica
r=a/
√
θ r =a/θ
Nas equa¸c˜oes,a >0 eb >0.
41/43

42. Exemplo 7
Esboce a regi˜ao que est´a na parte interna do c´ırculor= 6 e externa da
cardioider= 4 (1 + cosθ).
Solu¸c˜ao:
Para encontrar os pontos de interse¸c˜ao das curvas, resolvemos a equa¸c˜ao
6 = 4 (1 + cosθ):
6 = 4 (1 + cosθ) ⇐⇒
1 + cosθ=
3
2
⇐⇒
cosθ=
1
2
⇐⇒
θ=
π
3
+n2πou
θ=
5π
3
+n2π, n∈Z.
Desse modo,
ı
6,
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s˜ao os pontos de interse¸c˜ao.
42/43

43. 43/43
Defini¸c˜ao e exemplos
Rela¸c˜oes entre coordenadas polares e cartesianas
Gr´aficos em coordenadas polares
Referˆencias
Referˆencias
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