Cordenadas y regla de cadena

coordenadas polares

1. CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES,
DERIVADAS PARCIALES, REGLA DE LA CADENA,
DIFERENCIAL TOTAL, FUNCIONES DE VARIABLES






Presentado por
NICOLAS INFANTE
CEDULA 26442608
CARRERA: SEGURIDAD INDUSTRIAL II
JULIO 2019

2. CONTENIDO:

1. Conversión de coordenadas polares:
2. Derivadas parciales
3. Regla de la cadena
4. Diferencial total
5. Funciones de variables
6. Citas bibliográficas.

Desarrollo:

1,.Conversión de coordenadas polares.

COORDENADAS POLARES
Coordenadas polares y Cartesianas
Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas que te dan la posición de forma
exacta: Coordenadas Cartesianas y Coordenadas Polares
Coordenadas Cartesianas
Con coordenadas Cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:




Coordenadas Polares
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma



Conversión:
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

3. Observamos que: sen = y/r, es decir y = r sen ; igualmente cos =x/r es decir x = r cosen . Además
tenemos que según Pitágoras, r2 = x2 + y2. Por trigonometría sabemos que tang = y/x.
Con estas ecuaciones podemos hacer conversiones entre los diferentes sistemas coordenados.

De Cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas Cartesianas (x, y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ),
necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿Exprese el punto (12,5), en coordenadas polares?
r2 = 122 + 52
r = = 2 (5) 2 (12) 13 25 144
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
Tan (θ) = 5/12¨
θ = arctang (5/12) = 22,6°

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
Así que las fórmulas para convertir coordenadas Cartesianas (x, y) a polares (r, θ) son:
r =√



y θ = arctang x/y
De polares a Cartesianas:

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas Cartesianas (x, y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿Exprese el punto (13, 230) en coordenadas Cartesianas?

Usamos la función coseno para x: cos (23°) = x/13
Despejando x, resolvemos: x = 13 cos (23°) = 13 (0,921) = 11,98
Usamos la función seno para y: sen (23°) = y/13
Despejando y, resolvemos: y = 13 sen (23°) = 13 (0,391) = 5,08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r, θ) a Cartesianas (x, y) son:
x = r cos (θ) y y = r sen (θ)

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
Simetrías en coordenadas polares.
El estudio de las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva
viene descrita en coordenadas polares, r = f(θ).

4. Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = f(θ) con θ ∈ I (I un
intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar
de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es el
conjunto {(f(θ), θ) : θ ∈ I}.



2.-Derivadas parciales
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada
respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas
parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física,
matemática, etc.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las
siguientes notaciones equivalentes:



Generalizando la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de una
función con respecto a cualquier dirección. Esto nos llevara al concepto de derivada direccional.


Por otro lado,
f(x,y+h)=3x²(y+h)–2(y+h)²+6x+8(y+h)=3x²y+3x²h–2y²-4yh+2h²+6x+8y+8h
f(x,y+h) – f(x,y) = 3x²h - 4yh + 2h² + 8h


Pasemos ahora a dar una interpretación geométrica de la derivada parcial de f en un punto dado,
si intersectamos la gráfica de una función f, una superficie suave, z = f(x,y) con

5. 1. el plano x = a, resulta una curva para la cual fy(a,b) representa la pendiente de la recta
tangente a la curva en y = b.
2. el plano y = b, resulta una curva para la cual fx(a,b) representa la pendiente de la recta
tangente a la curva en x = a.

Las expresiones

fxy(x,y) ; D12f(x,y) ;


f (x.y)
Son todas equivalentes y representan la segunda derivada de la función f derivando primero con
respecto a x y el resultado derivándolo con respecto a y. Así por ejemplo, si tomamos la función

f(x,y) = 4y³x² - 12xy + 16x³

y buscamos todas las derivadas parciales de segundo orden obtendremos:

fx(x,y) = 8y³x - 12y + 48x² fy(x,y) = 12y²x² - 12x , y así

fxx(x,y) = 8y³ + 96x fxy(x,y) = 24y²x - 12

fyx(x,y) = 24y²x – 12 fyy(x,y) = 24yx²

Obsérvese que fxy(x,y) = fyx (x,y), esto no es casual. Para que ocurra debe darse cierta condición:

Si estas derivadas parciales son continuas en un disco abierto, entonces fxy (a,b) = fyx (a,b) para
todo (a,b) que pertenezca a dicho disco

3.-Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos
funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de
funciones.


Formula de la regla de la cadena

6. Antes de pasar a la formula debemos entender de donde proviene la formula, para esto
analizaremos su teorema el cual nos dice:
 Si y = ƒ(u) es una función derivable de u
 Si u = g(x) es una función derivable de x

4.-Diferencial total
Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las variables
independientes produce un cambio z en la variable dependiente z.

z = f (x + dx , y + dy) - f (x ,y)
En analogía con la diferencial de una función de una variable independiente ( df = f '(x) dx ),
definimos la diferencial de una función de dos variables.

Definición:

Sea z = f (x,y)una función para la cual existen las derivadas parciales
fx y fy. Sean x y y cualquier par de números no cero.

Entonces:

1) Las diferenciales de las variables independientes son dx = x,

dy = y

2) La diferencial total de la función es
dz = fx dx + fy dy


Definiremos la diferenciabilidad de funciones de más de una variable por medio de una ecuación
con el concepto de incremento de una función. Para esto primero tenemos que tener una
representación del incremento de una función de una sola variable. Entonces, recordemos que: si f
es una función diferenciable de x y y=f(x), se tiene, df = lím Dy
Ejemplo:

7. Se desea construir una caja rectangular cerrada con dimensiones 20 cm, 15 cm y 8 cm con un
posible error de 0,2 mm en cada medición. Determine, aproximadamente, cuál es el máximo error
cometido al calcular el volumen de esta caja a partir de estas mediciones.
Sabemos que el volumen de la caja viene dado por
Volumen (V) = Largo(L) x Ancho(A) x Alto(H)
Entonces podemos escribir
V L,A,H) = L.A.H
de esta manera
dV = ( V/ L)dL + ( V/ A)dA + ( V/ H)dH
dV = (A.H)dL + (L.H)dA + (L.A)dH
Al sustituir los distintos valores obtenemos
dV=(15 cm)(8 cm)(0.02 cm) + (20 cm)(8 cm)(0.02 cm) + (20 cm)(15 cm)(0.02 cm) = 11.6 cm³
el error relativo aproximado viene dado por
dV /V = 11.6 cm³/ 2400 cm³ » 0,00483
y el error porcentual aproximado será 0,00483 x 100 = 0,483 %

5.-Funciones de variables
Un elemento de lR lo representamos por una variable x, un elemento de lR² lo representamos por
el par (x,y), un elemento de lR³ por la tríada (x,y,z), y así sucesivamente hasta llegar a lRⁿ el cual lo
representamos por la n-ada (X1,X2,X3,…,Xn), luego podemos definir una función de "n" variables
como un conjunto de pares ordenados (P,w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen
el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio n-dimensional y W es un número real.
Como ejemplos de funciones en varias variables tenemos:
1. f(x,y,z) = 4xy +6yz
f(1,2,3) = 4(1)(2) + 6(2)(3)
= 8 + 36
= 44
2. V(r,h) =

8. p r² h

6.- Citas bibliográficas.
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena
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