COSENO DEL ÁNGULO DOBLE

COSENO DEL ÁNGULO DOBLE, elaborado por Beto Mendo 51 943912394

1. FÓRMULAS DEL COSENO DEL ÁNGULO DOBLE

FORMULA 1​: ​cos2x = cos​
2​
x - sen​
2​
x
DEMOSTRACIÓN​ :
Aplicamos la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos
​ cos( x + y ) = cosxcosy - senxseny
consideremos x = y , luego reemplazamos
cos( x + x ) = cosxcosx - senxsenx

entonces ​ cos2x = cos​
2​
x - sen​
2​
x​ lqqd ( lo que queríamos
demostrar )


FORMULA 2​ : ​cos2x = ( cosx + senx )(cosx - senx )
DEMOSTRACIÓN​ :

teniendo en cuenta la fórmula 1: ​cos2x = cos​
2​
x - sen​
2​
x
es una diferencia de cuadrados y se puede factorizar
aplicando la identidad algebraica: a a)(a )
2
−b
2
=(+b−b
entonces ​cos2x = ( cosx + senx )(cosx - senx )

2. ​FORMULA 3​: ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1
DEMOSTRACIÓN ​ :
recordemos la identidad trigonométrica : enx osx s
2
+c
2
=1
despejamos : enx osxs
2
=1−c
2

y lo reemplazamos en la fórmula 1 : ​cos2x = cos​
2​
x - sen​
2​
x
cos2xosx1osx)→ =c
2
−(−c
2

os2xosx osxc =c
2
−1+c
2

lqqdcos2xcosx =2
2
−1
por lo tanto: ​ ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1



FORMULA ​4: ​cos2x = 1 - 2sen​
2​
x
DEMOSTRACIÓN​ :
​De la identidad trigonométrica : enx osx s
2
+c
2
=1
despejamos y lo reemplazoosx enx c
2
=1−s
2

en la fórmula 1: ​ ​cos2x = cos​
2​
x - sen​
2​
x
os2x enx enx →c =1−s
2
−s
2

os2x senxc =1−2
2

​ ​cos2x = 1 - 2sen​
2​
x →

3. EJERCICIO 1​: ​ alcular el cos2b ; si tagb donde b C C =
4
1
∈I
SOLUCIÓN​ :
para aplicar ​ ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1 ​ ​necesitamos hallar el cosb
graficamos de acuerdo al dato




​cateto opuesto = 1
cateto adyacente = 4
sea la hipotenusa = r . lo hallamos con el teorema
de Pitágoras :
r
2
=4
2
+1
2

r=√17
cosb→ =
4
r
=
4
√17
=
17
4√17


reemplazamos en la formula ​ ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1
cos2b() =2
4
√17
2
−1
cos2b() =2
17
16
−1
cos2b =
17
32
−1=
17
32−17


RPTA: os2b c =
17
15

4. EJERCICIO 2​: Si secz ,eterminar el valor de cos2z =√6d
SOLUCIÓN​ :
para aplicar la formula ​ ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1
necesitamos el valor del y podemos hallarlo ; recuerda que eloszc
coseno y la secante son funciones reciprocas
→oszc=
1
√6

reemplazamos os2z c =2(
1
√6)
2
−1
os2z c =2·
6
1
−1
os2z c =
3
1
−1=
3
1−3

​RPTA:​ os2z− c =
3
2

5. EJERCICIO 3​ :​ i zIC y ademas tagz−,5. Hallar el cos2z S∈I =07
SOLUCIÓN​ :
agz−,5− − graficamos de acuerdo a los datos que tenemos t=07=
75
100
=
4
3


teorema de Pitágoras
65 r
2
=3
2
+(−)4
2
=9+1=2
r=√25=5
osz−→c=
5
4

aplicamos: ​ ​cos2x = 2cos​
2​
x ​-1
os2z− c =2(
5
4
)
2
−1=2•
25
16
−1=
25
32
−1=
25
32−25

RPTA os2z :c =
7
25

6. EJERCICIO 4​: ​ ​Reducir a su mínima expresión :
osxenxosxsenxenxcosxy=c
6
−s
6
−c
2 4
+s
2 4

SOLUCIÓN​ :
asociamos convenientemente para factorizar
osxenxcosxenxosxsenxy=c
6
+s
2 4
−s
6
−c
2 4

osx enxy=c
4
(cosxenx)
2
+s
2
−s
4
(senxosx)
2
+c
2

Pero por identidad : osxenxc
2
+s
2
=1
osx.(1)enx.(1)y=c
4
−s
4

osxenxy=c
4
−s
4

factorizo con diferencia de cuadradados : a )(a )a
2n
−b
2n
=(
n
+b
nn
−b
n

cosx senx)(cosxenx)y=(
2
+
2 2
−s
2

y1).cos2x =(
RPTA: os2xy=c


[email protected]

[email protected]