cours Mathématique générale-cours complet.pdf
SeddikHajjimi
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Oct 28, 2023
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About This Presentation
Cours de math grneral
Slide Content
Mathématiques générales
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra
Enseignant: Mr. BouasabahMohamme
( ﺔﺑﺎﺼﻋﻮﺑ ﺪﻤﳏ )
Année universitaire: 2013/2014
ECOLE NATIONALE
DE COMMERCE ET DE GESTION
-KENITRA-
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra
Enseignant: Mr. BouasabahMohamme
( ﺔﺑﺎﺼﻋﻮﺑ ﺪﻤﳏ )
Année universitaire: 2013/2014
ECOLE NATIONALE
DE COMMERCE ET DE GESTION
-KENITRA-
Plan du cours. Plan du cours. Plan du cours. Plan du cours. Chapitre 1
:
Les suites de nombres réels.
Chapitre 3:
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 2
:
Les séries numériques.
Chapitre 3:
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 4
:
Les fonctions à une seule variable réelle.
Chapitre 5
: Les fonctions à deux variables réelles.
Chapitre 6:
Le calcul matriciel.
:
Les suites de nombres réels.
Chapitre 3:
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 2
:
Les séries numériques.
Chapitre 3:
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 4
:
Les fonctions à une seule variable réelle.
Chapitre 5
: Les fonctions à deux variables réelles.
Chapitre 6:
Le calcul matriciel.
Les suites numériques
Chapitre: Chapitre: Chapitre: Chapitre: 1111
Les suites numériques
Chapitre: Chapitre: Chapitre: Chapitre: 1111
Les suites numériques
LES SUITES NUMERIQUES
1) Notion de suites numériques, notations et définitions
1-1) Définition 1 Intuitivement, une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres. Il y a un
premier nombre, noté U1(lire "u indice 1" ou "u un"), un deuxième U2,….un nième, Un.
On note ( Un) la suite de ces nombres.
1
-
2) Définition 2
1
-
2) Définition 2
1
-
2) Définition 2
L’utilisation des suites pour un gestionnaire est t rès fréquente notamment pour modéliser
quelques phénomènes financiers (calcul des intérêts simples et composés…)
Chapitre 1: 1
-
2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
1
-
2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle) (Notation fonctionnelle)
1
-
2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle)
Remarques
Ne pas confondre la suite U et le terme Un d'indice n.
! a)
ATTENTION au premier terme !
Si UOest le premier terme ,alors U4est le 5ème terme.
Ne pas confondre l’indice net le rang du terme, qui est son numéro d’ordre.
!
b)
1) Notion de suites numériques, notations et définitions
1-1) Définition 1 Intuitivement, une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres. Il y a un
premier nombre, noté U1(lire "u indice 1" ou "u un"), un deuxième U2,….un nième, Un.
On note ( Un) la suite de ces nombres.
1
-
2) Définition 2
1
-
2) Définition 2
1
-
2) Définition 2
L’utilisation des suites pour un gestionnaire est t rès fréquente notamment pour modéliser
quelques phénomènes financiers (calcul des intérêts simples et composés…)
Chapitre 1: 1
-
2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
1
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2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle) (Notation fonctionnelle)
1
-
2) Définition 2
Une suite numérique est une application de Nvers Rqui associé à chaque entier nun réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle)
Remarques
Ne pas confondre la suite U et le terme Un d'indice n.
! a)
ATTENTION au premier terme !
Si UOest le premier terme ,alors U4est le 5ème terme.
Ne pas confondre l’indice net le rang du terme, qui est son numéro d’ordre.
!
b)
c) Généralement ,une suite numérique peut être défi nie de deux manières différentes : Exemple: On définit la suite ( Un)
ou
(notation plus lourde mais qui précise les valeurs que
peut prendre l'indice) pour tout par la formule Un = 2n + 3
C-1) La donnée d'une formule permettant de calculer un terme en fonction de son indice
[forme explicite].
C-2) La définition récurrente: On peut définir une suite par la donnée de son premier te rme ( Uo, U1ou autre) et d'une
relation entre deux termes consécutifs de la suite
Exemple:
(représente la suite des nombres impairs)
Cette définition est appelée définition par récurrence e t la relation est appelée
relation de récurrence.
ou
(notation plus lourde mais qui précise les valeurs que
peut prendre l'indice) pour tout par la formule Un = 2n + 3
C-1) La donnée d'une formule permettant de calculer un terme en fonction de son indice
[forme explicite].
C-2) La définition récurrente: On peut définir une suite par la donnée de son premier te rme ( Uo, U1ou autre) et d'une
relation entre deux termes consécutifs de la suite
Exemple:
(représente la suite des nombres impairs)
Cette définition est appelée définition par récurrence e t la relation est appelée
relation de récurrence.
Remarques: a)
ATTENTION aux changements d'indice, ainsi les suites définies par:
sont identiques.
b)
ATTENTION à ne pas confondre:
2) Propriétés des suites
:
2
-
1
) La monotonie
2
-
1
) La monotonie
2-1-1) Définition 1:
On dit que (Un) est croissantesi et seulement si pour tout n ∈ℕon a :
On dit qu’elle est strictement croissante si et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit que (Un) est décroissantesi et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit qu’elle est strictement décroissante si et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit que (Un) est monotonesi et seulement si elle est soit croissante soit déc roissante.
Cette monotonie peut-être stricte.
Soit (Un) une suite de nombres réels:
ATTENTION aux changements d'indice, ainsi les suites définies par:
sont identiques.
b)
ATTENTION à ne pas confondre:
2) Propriétés des suites
:
2
-
1
) La monotonie
2
-
1
) La monotonie
2-1-1) Définition 1:
On dit que (Un) est croissantesi et seulement si pour tout n ∈ℕon a :
On dit qu’elle est strictement croissante si et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit que (Un) est décroissantesi et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit qu’elle est strictement décroissante si et seulement si pour tout n ∈ℕon a:
On dit que (Un) est monotonesi et seulement si elle est soit croissante soit déc roissante.
Cette monotonie peut-être stricte.
Soit (Un) une suite de nombres réels:
Exemples : Les suites
sont strictement croissantes tandis que les suites
(n≠0) sont strictement décroissantes.
Remarque : Une suite peut posséder une certaine propriété de monoton ie à partir d'un certain indice. 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
sont strictement croissantes tandis que les suites
(n≠0) sont strictement décroissantes.
Remarque : Une suite peut posséder une certaine propriété de monoton ie à partir d'un certain indice. 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
∈ Ν∈ Ν∈ Ν ∈ Ν
si et seulement si pour tout
n
≥
no
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice
no
si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte ) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ℕ
2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période psi pour tout n∈ ℕon a: 2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorées'il existe un nombre réel Mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
On dit que (Un) est minorées'il existe un nombre réel mtel que pour tout n∈
ℕ
on a:
On dit que (Un) est bornéesi elle est à la fois minorée et majorée.
Remarque : Une suite peut être minorée/majorée/bornée à partir d'un certain rang
.
Exemples:
IT
ℕ
on a:
On dit que (Un) est bornéesi elle est à la fois minorée et majorée.
Remarque : Une suite peut être minorée/majorée/bornée à partir d'un certain rang
.
Exemples:
IT
2-1-5) Propriétés 1) Une suite croissante est minorée par son 1er term e. 2) Une suite décroissante est majorée par son 1er ter me. 2) Une suite décroissante est majorée par son 1er ter me.
2-1-6) Remarques MIl existe des suites non monotones : Exemple : Un= .
MUne suite à la fois croissante et décroissante est u ne suite constante.
MLa somme de deux suites monotones de même nature est u ne suite monotone.
MLe produit de deux suites de même monotonie et positives est une suite monotone.
2-1-6) Remarques MIl existe des suites non monotones : Exemple : Un= .
MUne suite à la fois croissante et décroissante est u ne suite constante.
MLa somme de deux suites monotones de même nature est u ne suite monotone.
MLe produit de deux suites de même monotonie et positives est une suite monotone.
3) Suites arithmétiques
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
qui représente la suite des nombres impairs, est une sui te arithmétique de
raison 2
et de
Exemple: La série: qui représente la suite des nombres impairs, est une sui te arithmétique de
raison 2
et de
premier terme 1. Il en est de même pour la suite des nombres pairs. 3-2) Propriétés 1) Si r = 0, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
2) Une suite de nombres (Un) est arithmétique si et se ulement si la différence entre deux termes
consécutifs quelconques est consta nte, indépendante de n.Cette constante est égale à
la raison.
3) Une suite de nombres est arithmétique si et seuleme nt pour toutn
∈ℕ
et de manière générale, pour tout
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il e xiste un nombre réel rindépendant de n
tel que pour tout n∈ℕon a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
qui représente la suite des nombres impairs, est une sui te arithmétique de
raison 2
et de
Exemple: La série: qui représente la suite des nombres impairs, est une sui te arithmétique de
raison 2
et de
premier terme 1. Il en est de même pour la suite des nombres pairs. 3-2) Propriétés 1) Si r = 0, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
2) Une suite de nombres (Un) est arithmétique si et se ulement si la différence entre deux termes
consécutifs quelconques est consta nte, indépendante de n.Cette constante est égale à
la raison.
3) Une suite de nombres est arithmétique si et seuleme nt pour toutn
∈ℕ
et de manière générale, pour tout
3-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite arithméti que): Soit (Un) une suite arithmétique de raison ret de premier terme UoAlors pour tout :
Si pest le rang du terme Upet si on note rla raison de la suite, alors :
Remarque:(relation entre deux termes d’une suite arithmétique)
!
3-4) Propriété : Soit (Un) une suite arithmétique de raison ret de premier terme Uo.
Alors la somme Snvaut:
Pour retenir :
Si pest le rang du terme Upet si on note rla raison de la suite, alors :
Remarque:(relation entre deux termes d’une suite arithmétique)
!
3-4) Propriété : Soit (Un) une suite arithmétique de raison ret de premier terme Uo.
Alors la somme Snvaut:
Pour retenir :
Exemple: (utilisation des suites arithmétiques pour la finance)
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt simple d’un capital de 10 000 DH Exercice d’application: Calculer la somme des npremiers nombres impairs de deux manières différentes . Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt simple d’un capital de 10 000 DH pendant 6 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt simple d’un capital de 10 000 DH Exercice d’application: Calculer la somme des npremiers nombres impairs de deux manières différentes . Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt simple d’un capital de 10 000 DH pendant 6 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel qindépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel qindépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel qindépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
Exemple:
La suite U n+1 = 2 Un est une suite géométrique de raison 2 et de 1
er
terme 1
Uo
= 1
4 ) Suites géométriques 4-2) Remarque et Propriétés : 1) Si q = 0, la suite est nulle, ce qui est sans inté rêt.
De même si q = 1, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
Dans toute la suite on suppose que q ≠1.
2) Une suite de nombres ( Un) tous non nuls est géomé trique si et seulement le quotient
entre deux termes consécutifs quelconques est constant, égale à la raison.
3) Une suite de nombres ( Un) à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si
pour tout n ∈
ℕ
et de manière générale, pour tout
Uo
= 1
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel qindépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel qindépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕon a: . Le nombre réel qest appelé raison de
la suite ( Un).
Exemple:
La suite U n+1 = 2 Un est une suite géométrique de raison 2 et de 1
er
terme 1
Uo
= 1
4 ) Suites géométriques 4-2) Remarque et Propriétés : 1) Si q = 0, la suite est nulle, ce qui est sans inté rêt.
De même si q = 1, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
Dans toute la suite on suppose que q ≠1.
2) Une suite de nombres ( Un) tous non nuls est géomé trique si et seulement le quotient
entre deux termes consécutifs quelconques est constant, égale à la raison.
3) Une suite de nombres ( Un) à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si
pour tout n ∈
ℕ
et de manière générale, pour tout
Uo
= 1
4-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite géométrique) : Soit une suite géométrique de raison qet de premier terme Uo Alors
pour tout
Si pest le rang du terme Upet si on note qla raison de la suite, alors :
Remarque:(relation entre deux termes d’une suite géométrique)
!
4%4) Propriété
pour tout
Si pest le rang du terme Upet si on note qla raison de la suite, alors :
Remarque:(relation entre deux termes d’une suite géométrique)
!
4%4) Propriété
L'histoire du jeu du roi Un jeune roi était fanatique de jeux et avait un ma ître qui avait un penchant mathématique. Le roi
lui demanda un jour: "Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuyepas?"
Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'app elait, en honneur du jeune souverain, le jeu du roi . Le
roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il di t au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande
et qu'il la lui accorderait, quelle qu'en soit la n ature. Maître à part entière, il décida de donner u ne
petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de
l'échiquier, tout en doublant la mise en passant d' une case à la prochaine. Le roi lui demandait: "C'e st
déjà tout?".
Exemple
Exemple: (utilisation des suites géométriques pour la finance)
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt composé d’un capital de 15 000 DH
pendant 7 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
déjà tout?". Expliquez pourquoi la promesse du roi était impossi ble à tenir.
lui demanda un jour: "Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuyepas?"
Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'app elait, en honneur du jeune souverain, le jeu du roi . Le
roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il di t au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande
et qu'il la lui accorderait, quelle qu'en soit la n ature. Maître à part entière, il décida de donner u ne
petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de
l'échiquier, tout en doublant la mise en passant d' une case à la prochaine. Le roi lui demandait: "C'e st
déjà tout?".
Exemple
Exemple: (utilisation des suites géométriques pour la finance)
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à inté rêt composé d’un capital de 15 000 DH
pendant 7 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
déjà tout?". Expliquez pourquoi la promesse du roi était impossi ble à tenir.
5
-
1) L'étude d'une suite arithmético
-
géométrique.
5) Suites arithmético-géométriques
Exemple:
-
1) L'étude d'une suite arithmético
-
géométrique.
5) Suites arithmético-géométriques
Exemple:
Exemple: (utilisation des suites arithmético-géomét rique pour la finance) Le client d’une banque dispose le premier Janvier 2000 d’un capital d’ argentCqu’il dépose
dans un compte rémunéré à un taux d’intérêt composé annuel tque la banque lui verse sur son
compte le31 Décembrede chaque année. De plus chaque année à cette date; le client rajout e
la sommeR.
On désigne parUnla somme disponible dans le compte du client après nannée écoulées
depuisle premier Janvier 2000. Ainsi; les sommes disponibles le premier Janvier de chaque
année depuis le premier Janvier 2000 nous donne une suite (Un) do nt le premier termeU0= C
est la somme disponible le premier Janvier 2000. La suite (Un) est une suite arithmético-
géométrique
de
raisons
:
q
=
1
+
t
et
r
=
R
.
géométrique
de
raisons
:
q
=
1
+
t
et
r
=
R
.
ExprimerUnen fonction den. Au bout de combien d’année la somme dans le compte du
client dépassera 100000 DH si C=10000, t =6% et R=6000 DH ?
dans un compte rémunéré à un taux d’intérêt composé annuel tque la banque lui verse sur son
compte le31 Décembrede chaque année. De plus chaque année à cette date; le client rajout e
la sommeR.
On désigne parUnla somme disponible dans le compte du client après nannée écoulées
depuisle premier Janvier 2000. Ainsi; les sommes disponibles le premier Janvier de chaque
année depuis le premier Janvier 2000 nous donne une suite (Un) do nt le premier termeU0= C
est la somme disponible le premier Janvier 2000. La suite (Un) est une suite arithmético-
géométrique
de
raisons
:
q
=
1
+
t
et
r
=
R
.
géométrique
de
raisons
:
q
=
1
+
t
et
r
=
R
.
ExprimerUnen fonction den. Au bout de combien d’année la somme dans le compte du
client dépassera 100000 DH si C=10000, t =6% et R=6000 DH ?
6) Convergence et divergence des suites
6-1) Introduction Nous allons étudier ici le comportement de la suite (Un)lorsque "n tend vers l’infini", c'est-a-
dire lorsqu'on considère des valeurs de narbitrairement grandes.
Dire que Un tend vers une limite llorsque ntend vers l’infini revient à dire que la différence
entre Un et l, devient aussi petite que l’on veut, pourvu quen soit assez grand.
Par conséquent, si on se donne un nombre réel arbitrairement petit, on doit pouvoir trouver un nombre
N(
εεεε
)
(
qui dépend de
ε
) tel que si
n
est plus grand que
N(
εεεε
)
.
6-2) Définition
trouver un nombre
N(
εεεε
)
(
qui dépend de
ε
) tel que si
n
est plus grand que
N(
εεεε
)
.
Ce qui nous amène a la définition suivante: Une suite (Un) est dite convergente vers la limite l si à tout nombre εεεεpositif
arbitrairement petit correspond un nombre N(εεεε) tel que l’inégalité
soit satisfaite par tous les termes Unde la suite avec n > N(εεεε).
Si la suite (Un) converge vers la limite l, on écrit:
et on lit: la limite de Unquand ntend vers l’infini est l.
Des suites qui ne convergent pas sont dites divergentes .
6-1) Introduction Nous allons étudier ici le comportement de la suite (Un)lorsque "n tend vers l’infini", c'est-a-
dire lorsqu'on considère des valeurs de narbitrairement grandes.
Dire que Un tend vers une limite llorsque ntend vers l’infini revient à dire que la différence
entre Un et l, devient aussi petite que l’on veut, pourvu quen soit assez grand.
Par conséquent, si on se donne un nombre réel arbitrairement petit, on doit pouvoir trouver un nombre
N(
εεεε
)
(
qui dépend de
ε
) tel que si
n
est plus grand que
N(
εεεε
)
.
6-2) Définition
trouver un nombre
N(
εεεε
)
(
qui dépend de
ε
) tel que si
n
est plus grand que
N(
εεεε
)
.
Ce qui nous amène a la définition suivante: Une suite (Un) est dite convergente vers la limite l si à tout nombre εεεεpositif
arbitrairement petit correspond un nombre N(εεεε) tel que l’inégalité
soit satisfaite par tous les termes Unde la suite avec n > N(εεεε).
Si la suite (Un) converge vers la limite l, on écrit:
et on lit: la limite de Unquand ntend vers l’infini est l.
Des suites qui ne convergent pas sont dites divergentes .
6-3) Propriété : (unicité de la limite) Si une suite (Un) converge vers Lalors cette suite a une seule limite, L.
6-4) Opérations sur les suites convergentes 6-5) Limites et suites géométriques
Soit q un réel non nul :
6-4) Opérations sur les suites convergentes 6-5) Limites et suites géométriques
Soit q un réel non nul :
6-7) Théorème de la limite monotone: Toute suite croissante et majorée de réels converge. Toute suite décroissante et minorée de réels converge . 6-6) Propriété: Soit (Un) la suite géométrique de raison q:
a) Si -1<q<1 alors la suite (Un) converge vers 0.
b) Si q>1, la suite (Un) diverge vers l’infini.
Toute suite décroissante et minorée de réels converge . 6-8) Théorèmes:
6-8-1) Comparaison par rapport à une suite divergente.
a) Si -1<q<1 alors la suite (Un) converge vers 0.
b) Si q>1, la suite (Un) diverge vers l’infini.
Toute suite décroissante et minorée de réels converge . 6-8) Théorèmes:
6-8-1) Comparaison par rapport à une suite divergente.
6-8-2) Théorème d’encadrement ou des « gendarmes » 6-8-3) Théorème: passage à la limite dans une inégali té. Conséquence
6-9) Définition : Suites adjacentes
6-10) Théorème: Suites adjacentes
6-10) Théorème: Suites adjacentes
Les séries numériques
Chapitre: Chapitre: Chapitre: Chapitre: 2222
Les séries numériques
à valeurs dans R
Chapitre: Chapitre: Chapitre: Chapitre: 2222
Les séries numériques
à valeurs dans R
Nous allons maintenant nous intéresser à travers ce chapitre à la somme des termes d'une suite.
Nous aborderons la notion de convergence et de divergenc e d'une série en donnant des règles
et des critères permettant d‘établir la convergence ou la divergence pour différents types de
séries. L'utilisation des séries en économie permet n otamment de trouver le taux de rendement
interne d'un investissement ou encore la valeur capit alisée d'une annuité.
1) Introduction et définitions
1%1) Définition: On appelle série à termes dans Rtout couple formé d’une suite ( Un) d’éléments
dans Ret de la suite ( Sn) définie par:
Un
est appelé le terme général de la série et
Sn
est
la suite des sommes partielles
d’ordre
n
.
Un
est appelé le terme général de la série et
Sn
est
la suite des sommes partielles
d’ordre
n
.
On écrira formellement: au lieu de 1%2 ) Remarque: L’ indice de sommation peut tout aussi bien être no té par j, k, m etc. Ainsi, pour designer la
somme: on peut indifféremment écrire:
On parle de suite infinie lorsqu'elle comporte un n ombre illimité de termes :
Nous aborderons la notion de convergence et de divergenc e d'une série en donnant des règles
et des critères permettant d‘établir la convergence ou la divergence pour différents types de
séries. L'utilisation des séries en économie permet n otamment de trouver le taux de rendement
interne d'un investissement ou encore la valeur capit alisée d'une annuité.
1) Introduction et définitions
1%1) Définition: On appelle série à termes dans Rtout couple formé d’une suite ( Un) d’éléments
dans Ret de la suite ( Sn) définie par:
Un
est appelé le terme général de la série et
Sn
est
la suite des sommes partielles
d’ordre
n
.
Un
est appelé le terme général de la série et
Sn
est
la suite des sommes partielles
d’ordre
n
.
On écrira formellement: au lieu de 1%2 ) Remarque: L’ indice de sommation peut tout aussi bien être no té par j, k, m etc. Ainsi, pour designer la
somme: on peut indifféremment écrire:
On parle de suite infinie lorsqu'elle comporte un n ombre illimité de termes :
Exemple
1
:
La série finie 1 + 8 + 27 + 64 + 125. peut s’écrire sous la forme abrégée :
La somme partielle de cette série vaut:
a pour terme général
lorsque l’indice du premier terme vaut
1
, c’est
T
à
T
dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
Exemple 2
: La série infinie
1-4) Remarque : Dans l’exemple 2, la somme n'est plus la somme d'un no mbre fini de termes comme dans
exemple 1, mais la somme d'un nombre illimité de termes . Pour savoir si cette somme est un
nombre fini (existe), il faut introduire la notion de convergence et de divergence d'une
série infinie.
lorsque l’indice du premier terme vaut
1
, c’est
T
à
T
dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
le deuxième en posant n =2, etc. Cette série s’écri t:
1
:
La série finie 1 + 8 + 27 + 64 + 125. peut s’écrire sous la forme abrégée :
La somme partielle de cette série vaut:
a pour terme général
lorsque l’indice du premier terme vaut
1
, c’est
T
à
T
dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
Exemple 2
: La série infinie
1-4) Remarque : Dans l’exemple 2, la somme n'est plus la somme d'un no mbre fini de termes comme dans
exemple 1, mais la somme d'un nombre illimité de termes . Pour savoir si cette somme est un
nombre fini (existe), il faut introduire la notion de convergence et de divergence d'une
série infinie.
lorsque l’indice du premier terme vaut
1
, c’est
T
à
T
dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
le deuxième en posant n =2, etc. Cette série s’écri t:
2) Convergence et divergence d'une série II est clair que la somme d'un nombre fini de terme s est un nombre fini. Pour savoir si la
somme d'une série infinie est un nombre fini, il fa ut calculer la suite des sommes partielles:
pour cela, on forme à partir des termes Ui de la sé rie, la suite (Sn) des sommes partielles,
où Snreprésente la somme des npremiers termes. ainsi, la suite des sommes partiel les sera
donnée par:
2-1) Introduction.
Nous pouvons dès lors définir la convergence et la divergence des séries infinies:
somme d'une série infinie est un nombre fini, il fa ut calculer la suite des sommes partielles:
pour cela, on forme à partir des termes Ui de la sé rie, la suite (Sn) des sommes partielles,
où Snreprésente la somme des npremiers termes. ainsi, la suite des sommes partiel les sera
donnée par:
2-1) Introduction.
Nous pouvons dès lors définir la convergence et la divergence des séries infinies:
Dans ce cas, Lest appelée somme de la série et l’on écrit: Si lasuite des sommes partielles diverge on dit que la série est divergente.
2%2)Définition
:
On dit qu’une série est convergente si et seulement si la suite
des sommes partielles converge , on a alors:
1
Exemple
:
Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
1
Exemple
:
Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
2%2)Définition
:
On dit qu’une série est convergente si et seulement si la suite
des sommes partielles converge , on a alors:
1
Exemple
:
Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
1
Exemple
:
Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
Ainsi,
Comme la suite des sommes partielles converge, la s érie
Converge et sa somme vaut 2.
Operations sur la limite d’une série
Comme la suite des sommes partielles converge, la s érie
Converge et sa somme vaut 2.
Operations sur la limite d’une série
Le terme général Un d’une série Convergente tende vers 0lorsque n tend vers l'infini:
Cette condition n'est cependant pas suffisante. En revanche, on peut affirmer:
2%3) Remarque:
Exemple
: Soit la série . Cette série diverge puisque:
Exemple
: Soit la série . Cette série diverge puisque:
3) Séries géométriques On appelle série géométrique une série dans laquelle les termes Uisont les termes d'une suite
géométrique:
Cette condition n'est cependant pas suffisante. En revanche, on peut affirmer:
2%3) Remarque:
Exemple
: Soit la série . Cette série diverge puisque:
Exemple
: Soit la série . Cette série diverge puisque:
3) Séries géométriques On appelle série géométrique une série dans laquelle les termes Uisont les termes d'une suite
géométrique:
Calculons la suite des sommes partielles:
Exemple: Soit la série géométrique suivante: 3%1) Remarques: A%) La convergence ou la divergence d'une série n'est pas modifiée si l’on omet ou l'on rajoute
un nombre fini de termes. En revanche, la somme de la s érie est modifiée.
un nombre fini de termes. En revanche, la somme de la s érie est modifiée.
Exemple
: Soit la série:
II S’agit d’une série géométrique de raison q = 1/5 dans laquelle les trois premiers termes ont été
omis. On peut écrire la somme de cette série de la manière suivante :
on obtient:
B-) L‘étude de la convergence d'une série s'avère nettemen t plus difficile si l’on ne connait pas
une expression pour le terme général Sn de la suite des sommes partielles. C'est pourquoi
nous allons examiner plusieurs méthodes permettant de r econnaitre la nature d'une série
donnée (autrement dit, de reconnaitre si elle est conv ergente ou divergente).
0
: Soit la série:
II S’agit d’une série géométrique de raison q = 1/5 dans laquelle les trois premiers termes ont été
omis. On peut écrire la somme de cette série de la manière suivante :
on obtient:
B-) L‘étude de la convergence d'une série s'avère nettemen t plus difficile si l’on ne connait pas
une expression pour le terme général Sn de la suite des sommes partielles. C'est pourquoi
nous allons examiner plusieurs méthodes permettant de r econnaitre la nature d'une série
donnée (autrement dit, de reconnaitre si elle est conv ergente ou divergente).
0
4)Sériesàtermespositifs
Commesonnoml’indique, unesérieàtermespositifsestunes érie telque:
pourtoutndansN
Puisque touslestermessont positifs,la suite dessommespa rtiellesest unesuite croissante.
Or, le premier critère de convergence d'une suite nous assur e qu'une suite croissante et
majorée est convergente. On peut donc énoncer le critère de c onvergence d'une série à
termespositifs.
4%1)Définition:
La série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes
partiellesestmajorée.
qhsrp2à2Lids0
4%2)Critèredeconvergence
Commesonnoml’indique, unesérieàtermespositifsestunes érie telque:
pourtoutndansN
Puisque touslestermessont positifs,la suite dessommespa rtiellesest unesuite croissante.
Or, le premier critère de convergence d'une suite nous assur e qu'une suite croissante et
majorée est convergente. On peut donc énoncer le critère de c onvergence d'une série à
termespositifs.
4%1)Définition:
La série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes
partiellesestmajorée.
qhsrp2à2Lids0
4%2)Critèredeconvergence
4%3) Tests de comparaison On appelle série majorant une série dont tout les termes sont plus grands (o u égaux) que les termes
correspondants d'une série à termes positifs donnée .
4%4) Règle de convergence: Si une série à termes positifs est majorée par une série convergente, alors elle est
convergente.En effet, si la série majorant converge, le critère de convergence nous assure que la
suite de ses sommes partielles est majorée. Comme c ette série majore la série donnée, la suite des
sommes partielles de la série donnée est majorée e t, par conséquent, elle converge. De façon
analogue, on peut établir la règle suivante:
4%5) Règle de divergence: Si une série à termes positifs majore une série div ergente, alors elle est divergente. Si une série à termes positifs majore une série div ergente, alors elle est divergente. Pour pouvoir appliquer ces règles de comparaison, i l faut connaitre un certain nombre de séries
convergentes et divergentes. II est, ainsi souvent fort commode de comparer une série à celle de
Riemann:
correspondants d'une série à termes positifs donnée .
4%4) Règle de convergence: Si une série à termes positifs est majorée par une série convergente, alors elle est
convergente.En effet, si la série majorant converge, le critère de convergence nous assure que la
suite de ses sommes partielles est majorée. Comme c ette série majore la série donnée, la suite des
sommes partielles de la série donnée est majorée e t, par conséquent, elle converge. De façon
analogue, on peut établir la règle suivante:
4%5) Règle de divergence: Si une série à termes positifs majore une série div ergente, alors elle est divergente. Si une série à termes positifs majore une série div ergente, alors elle est divergente. Pour pouvoir appliquer ces règles de comparaison, i l faut connaitre un certain nombre de séries
convergentes et divergentes. II est, ainsi souvent fort commode de comparer une série à celle de
Riemann:
4%6) Règle d’Alembert
Exemple :
Exemple :
La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclu re. Cependant, il est possible d’utiliser,
Remarque 1 Remarque 2: Une série à termes négatifs peut être étudiée comme l’opposée d'une série à termes positifs.
La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclu re. Cependant, il est possible d’utiliser, dans ce cas, le test de comparaison avec une série convergente: en effet, comparons la série
donnée à la série de Riemann ou p = 2 :
Remarque 1 Remarque 2: Une série à termes négatifs peut être étudiée comme l’opposée d'une série à termes positifs.
La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclu re. Cependant, il est possible d’utiliser, dans ce cas, le test de comparaison avec une série convergente: en effet, comparons la série
donnée à la série de Riemann ou p = 2 :
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
1) Introduction et définitions
1-1) Puissances entières
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
1-1) Puissances entières
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
1-2) Puissances relatives
1-3) Puissances rationnelles 1
-
4
) Puissances réelles
1
-
4
) Puissances réelles
-
4
) Puissances réelles
1
-
4
) Puissances réelles
Exemple 3%
1-5) Propriété 1 1-6) Propriété 2 1
-
7) Représentation graphique
1
-
7) Représentation graphique
-
7) Représentation graphique
1
-
7) Représentation graphique
1-8) La fonction logarithme à base a
!!
!!
1-9) Propriété 1
1-10) Propriété 2 1
-
12
) Représentation graphique
1-11) Formule de changement de base
Si b=e on aura
1
-
12
) Représentation graphique
1-10) Propriété 2 1
-
12
) Représentation graphique
1-11) Formule de changement de base
Si b=e on aura
1
-
12
) Représentation graphique
Rappelons ici quelques règles de manipulation des logarith mes:
Les fonctions réelles à une variable réelle.
Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4
Les fonctions réelles à une variable réelle.
Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4
Les fonctions réelles à une variable réelle.
A chaque fois que l’on associe à une quantité xune (autre) quantité y, on dit que l’on définit une
fonction. Les fonctions sont désignées par des lettres . On note par exemple:
f: x y
f(x)=y
Et :
On dit que yest l’image de x.
On dit que xest un antécédent dey.
1). Définition : Notion de fonction
Les fonctions constituent un outil puissant pour mod éliser des phénomènes et des opérations économiques ,
on les trouve partout.
Exemple: On considère la fonction définie par: f: x x²- 4
Quelle est l’image de 3 ?
Quelle est l’image de -1 ?
Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
Quels sont les antécédents éventuels de -5 ?
2.) Représentation graphique d’une fonction.
La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))
dans un repère donné. Cette représentation graphique est souvent notée Cf.
2-1) Définition : représentation graphique:
fonction. Les fonctions sont désignées par des lettres . On note par exemple:
f: x y
f(x)=y
Et :
On dit que yest l’image de x.
On dit que xest un antécédent dey.
1). Définition : Notion de fonction
Les fonctions constituent un outil puissant pour mod éliser des phénomènes et des opérations économiques ,
on les trouve partout.
Exemple: On considère la fonction définie par: f: x x²- 4
Quelle est l’image de 3 ?
Quelle est l’image de -1 ?
Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
Quels sont les antécédents éventuels de -5 ?
2.) Représentation graphique d’une fonction.
La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))
dans un repère donné. Cette représentation graphique est souvent notée Cf.
2-1) Définition : représentation graphique:
3.) Ensemble de définition d’une fonction. 3-1) Définition : L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble de tous les réels xpour lesquels f(x)
est calculable.
Exemple : préciser le domaine de définition des fonctions sui vantes
4.) Sens de variation d’une fonctions 4-1) Définition: Soit f une fonction définie au moins sur un interva lle. On dit que:
Mf est croissante sur Isi : pour tous u et v dans I: u<v af(u) ≤ f(v).
Mf est strictement croissante sur I si : pour tous u et v dans I: u<v af(u) < f(v).
Mf est décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: u<v af(u)≥f(v).
Mf est strictement décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: u<v af(u)>f(v).
Mf est monotone sur I s’elle est croissante ou décroissante sur I.
Mf est strictement monotone sur I s’elle est strictement croissante ou strictement dé croissante sur I.
est calculable.
Exemple : préciser le domaine de définition des fonctions sui vantes
4.) Sens de variation d’une fonctions 4-1) Définition: Soit f une fonction définie au moins sur un interva lle. On dit que:
Mf est croissante sur Isi : pour tous u et v dans I: u<v af(u) ≤ f(v).
Mf est strictement croissante sur I si : pour tous u et v dans I: u<v af(u) < f(v).
Mf est décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: u<v af(u)≥f(v).
Mf est strictement décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: u<v af(u)>f(v).
Mf est monotone sur I s’elle est croissante ou décroissante sur I.
Mf est strictement monotone sur I s’elle est strictement croissante ou strictement dé croissante sur I.
4-2) Remarques: tOn dit parfois que fest croissante si elle conserve les inégalités et qu e fest décroissante si elle
renverse les inégalités.
tSi une fonction est strictement croissante sur un i ntervalle I, alors elle est croissante sur I.
Illustration graphique:
renverse les inégalités.
tSi une fonction est strictement croissante sur un i ntervalle I, alors elle est croissante sur I.
Illustration graphique:
5.) Fonctions majorées, minorées et bornées: Soit Iun intervalle et soient f et gdeux fonctions définies au moins sur I. on dit que:
Mfest inférieure à gsur I lorsque : f(x) ≤ g(x) pour tout x €I. on note: f ≤g sur I.
Mfest positive sur Ilorsque: f(x) ≥ 0 pour tout x dans I. on note: f ≥ 0 sur I.
Mfest majorée sur I lorsqu’il existe un réel Mtel que: f(x)≤M pour tout xdans I
Mfest minorée sur I lorsqu’il existe un réel mtel que: f(x)≥m pour tout x dans I
Mf est bornée s’elle est majorée et minorée.
Exemple: On considère les fonctions f et gdéfinies sur R +par f(x)=x et g(x)=x². comparer f et g
6) Maximum et minimum d’une fonction 6%1) Définition: Soitf une fonction définie sur un intervalle I. dire que le nombre f(a) est un maximum (resp.
minimum)de f sur Isignifie que pour tout réel x deI on a : f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a))
Exemples:
1)
Démontrer que f est minorée sur R par 2.
2)
Démontrer que f est majorée par 2 sur son domaine d e définition.
Mfest inférieure à gsur I lorsque : f(x) ≤ g(x) pour tout x €I. on note: f ≤g sur I.
Mfest positive sur Ilorsque: f(x) ≥ 0 pour tout x dans I. on note: f ≥ 0 sur I.
Mfest majorée sur I lorsqu’il existe un réel Mtel que: f(x)≤M pour tout xdans I
Mfest minorée sur I lorsqu’il existe un réel mtel que: f(x)≥m pour tout x dans I
Mf est bornée s’elle est majorée et minorée.
Exemple: On considère les fonctions f et gdéfinies sur R +par f(x)=x et g(x)=x². comparer f et g
6) Maximum et minimum d’une fonction 6%1) Définition: Soitf une fonction définie sur un intervalle I. dire que le nombre f(a) est un maximum (resp.
minimum)de f sur Isignifie que pour tout réel x deI on a : f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a))
Exemples:
1)
Démontrer que f est minorée sur R par 2.
2)
Démontrer que f est majorée par 2 sur son domaine d e définition.
7) Fonction linéaires, fonctions affines. 7%1) Définition : Les fonctions fdéfinies sur R, dont l’expression peut se mettre sous la forme:
f(x)= ax+b où aetb sont deux réels
Sont appelées fonctions affines.
Deux cas particuliers:
Lorsque b=0, la fonction f: x ax est dit e linéaire.
Lorsque a=0, la fonction f: x b est (dit e) constante.
Exemples:
les fonctions f et g définies ci
T
dessous sont affines:
Exemples:
les fonctions f et g définies ci
T
dessous sont affines:
f(x)=3x+2
lKvU'KvB)UFTvFs'IvB)
Une fonction affine est la somme d’une fonction lin éaire et d’une fonction constante
7-2) Vocabulaires: Le réel as’appelle coefficient directeur et le réel bl’ordonnée à l’origine 7-3) Théorème : La représentation graphique d’une fonction affine da ns un repère est une droite.
Celle d’une fonction linéaire est une droite passan t par l’origine du repère.
f(x)= ax+b où aetb sont deux réels
Sont appelées fonctions affines.
Deux cas particuliers:
Lorsque b=0, la fonction f: x ax est dit e linéaire.
Lorsque a=0, la fonction f: x b est (dit e) constante.
Exemples:
les fonctions f et g définies ci
T
dessous sont affines:
Exemples:
les fonctions f et g définies ci
T
dessous sont affines:
f(x)=3x+2
lKvU'KvB)UFTvFs'IvB)
Une fonction affine est la somme d’une fonction lin éaire et d’une fonction constante
7-2) Vocabulaires: Le réel as’appelle coefficient directeur et le réel bl’ordonnée à l’origine 7-3) Théorème : La représentation graphique d’une fonction affine da ns un repère est une droite.
Celle d’une fonction linéaire est une droite passan t par l’origine du repère.
8) Limite d'une fonction en un point 8%1) Définition de la limite
interprétation
8%2) Limite à droite, limite à gauche. La fonction f admet une limite à droite l ∈∈∈∈R quand xtend vers xopar valeurs supérieures et on écrit: 8%2%1) Limite à droite,
interprétation
8%2) Limite à droite, limite à gauche. La fonction f admet une limite à droite l ∈∈∈∈R quand xtend vers xopar valeurs supérieures et on écrit: 8%2%1) Limite à droite,
8%3) Propriétés des limites
8%3%1) Théorème : Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et
λ
un nombre réel, alors:
La fonction fadmet une limite à droite l ∈∈∈∈R quandx tend versxopar valeurs inférieures et on écrit: 8%2%2)
limite à gauche
Exemple:
Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et
λ
un nombre réel, alors:
(la limite d’une somme est la somme des limites, si
chacune des limites individuelles existe)
8%3%1) Théorème : Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et
λ
un nombre réel, alors:
La fonction fadmet une limite à droite l ∈∈∈∈R quandx tend versxopar valeurs inférieures et on écrit: 8%2%2)
limite à gauche
Exemple:
Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et
λ
un nombre réel, alors:
(la limite d’une somme est la somme des limites, si
chacune des limites individuelles existe)
8%3%2) Règles permettent de calculer des limites:
Exemple:
Calculer les limites suivantes.
Exemple:
Calculer les limites suivantes.
9) La continuité 9-1) Continuité en un point et sur un intervalle d’un e fonction 9-1-1) Définition1 Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert I
contenant un point a.
On dit que f est continue en a lorsque:
existe et vaut f(a).On a donc :
9
-
1
-
2) Définition 2
Exemples 9
-
1
-
2) Définition 2
On dit que fest continue sur un intervalle I s’elle est continue en tout point de I. Exemple graphique
contenant un point a.
On dit que f est continue en a lorsque:
existe et vaut f(a).On a donc :
9
-
1
-
2) Définition 2
Exemples 9
-
1
-
2) Définition 2
On dit que fest continue sur un intervalle I s’elle est continue en tout point de I. Exemple graphique
9-2) Prolongement par continuité Soit une fonction définie sur un intervalle de centre x0, mais pas en x0et admettant
une limitel en x0 .
Considérons la fonction :
Cette fonction gest continue en x0car On dit q ue gest un prolongement
par continuité de f en x0.
Exemple:
une limitel en x0 .
Considérons la fonction :
Cette fonction gest continue en x0car On dit q ue gest un prolongement
par continuité de f en x0.
Exemple:
9-3) Continuité à droite, continuité à gauche
On dit qu'une fonction f définie en x 0est continue à droite de x 0si et seulement si : De même f, définie pour x 0est continue à gauche de x 0si et seulement si :
Pour qu'une fonction soit continue au point x 0, il faut et il sut qu'elle soit continue à droite et à
gauche de x0et :
9-4)Théorèmes généraux ≠Toute fonction polynôme est continue sur R.
≠Toutes les fonctions circulaires sont continues sur leur ensemble de définition
≠La fonction racine est continue sur [0;+ ∞[.
≠La somme, le produit, la composition de deux fonctions c ontinues est continue.
≠Si f et g sont continues et si g ne s’annule pas alo rs est continue.
≠En particulier, toute fonction rationnelle est conti nue sur son ensemble de définition.
9-4-1)Théorème
On dit qu'une fonction f définie en x 0est continue à droite de x 0si et seulement si : De même f, définie pour x 0est continue à gauche de x 0si et seulement si :
Pour qu'une fonction soit continue au point x 0, il faut et il sut qu'elle soit continue à droite et à
gauche de x0et :
9-4)Théorèmes généraux ≠Toute fonction polynôme est continue sur R.
≠Toutes les fonctions circulaires sont continues sur leur ensemble de définition
≠La fonction racine est continue sur [0;+ ∞[.
≠La somme, le produit, la composition de deux fonctions c ontinues est continue.
≠Si f et g sont continues et si g ne s’annule pas alo rs est continue.
≠En particulier, toute fonction rationnelle est conti nue sur son ensemble de définition.
9-4-1)Théorème
9-4-2)Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)
Théorème des valeurs intermédiaires : existence d’a u moins une solution Soitf une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et soit kun réel compris entre f(a) et f(b).
Si fest continue sur [a ; b] alors il existe un réel cappartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure
gslqtGCgsGéT giiutiU:
Si fcontinue sur [a ; b] et si f est strictement monotone sur [a ; b] alors il existe un unique réel c
appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k KQuérscéltrgs gs ruéhgsGéT giiutiU:
Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) et f(b) ont des signes opposés, alors
il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouver t ]a, b[ tel que f(c) = 0.
Théorème des valeurs intermédiaires : existence d’a u moins une solution Soitf une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et soit kun réel compris entre f(a) et f(b).
Si fest continue sur [a ; b] alors il existe un réel cappartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure
gslqtGCgsGéT giiutiU:
Si fcontinue sur [a ; b] et si f est strictement monotone sur [a ; b] alors il existe un unique réel c
appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k KQuérscéltrgs gs ruéhgsGéT giiutiU:
Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) et f(b) ont des signes opposés, alors
il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouver t ]a, b[ tel que f(c) = 0.
10) La dérivabilité 10-1) Dérivabilité d’une fonction en un point 10-1-1) Définition
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle I.
On dit que fest dérivable en alorsque :
existe et est finie on note alors f’(a) cette limit e,
et on l’appelle nombre dérivé de f en a.
Donc si f est dérivable en a, on a : Donc si f est dérivable en a, on a : Autre notation:
Si f est dérivable en a.on a:
10-1-2) Vocabulaires et interprétation graphique 10-1-2-1)Vocabulaires
La quantité ,pour tout , ou ,pour tout , est appelée:
Taux d’accroissement de f en a
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle I.
On dit que fest dérivable en alorsque :
existe et est finie on note alors f’(a) cette limit e,
et on l’appelle nombre dérivé de f en a.
Donc si f est dérivable en a, on a : Donc si f est dérivable en a, on a : Autre notation:
Si f est dérivable en a.on a:
10-1-2) Vocabulaires et interprétation graphique 10-1-2-1)Vocabulaires
La quantité ,pour tout , ou ,pour tout , est appelée:
Taux d’accroissement de f en a
10-1-2-2) Interprétation graphique
Si f est dérivable en a, le nombre f ′(a) désigne alors le coefficient directeur de la tangente à la
courbe au point d’abscisse a , il en découle alors l’équation de la tangente à Cfau point a :
10-1-2-3) Approximation affine
Sif est dérivable en a, la meilleure approximation affine de f au voisinage de aest alors la tangente
en a, on a en outre : pour xvoisin de a.
On peut aussi noter: pour hvoisin de 0.... (il suffit de poser h = x − a..)
cela permet de fournir une bonne approximation de
f
au voisinage de a .
cela permet de fournir une bonne approximation de
f
au voisinage de a .
Si f est dérivable en a, le nombre f ′(a) désigne alors le coefficient directeur de la tangente à la
courbe au point d’abscisse a , il en découle alors l’équation de la tangente à Cfau point a :
10-1-2-3) Approximation affine
Sif est dérivable en a, la meilleure approximation affine de f au voisinage de aest alors la tangente
en a, on a en outre : pour xvoisin de a.
On peut aussi noter: pour hvoisin de 0.... (il suffit de poser h = x − a..)
cela permet de fournir une bonne approximation de
f
au voisinage de a .
cela permet de fournir une bonne approximation de
f
au voisinage de a .
10
-
2
-
2) Remarques:
10-2) Théorème de Rolle Théorème
:
Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b).
Alors il existe un réel c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.
10-2-1) Interprétation géométrique
1. On ne sait pas si cest unique, et le théorème ne permet pas de connaît re c.
2. f n’a pas besoin d’être dérivable aux bornes de l’int ervalle. Exemple :
3.fcontinue sur [a, b] est une condition nécessaire. e xemple :
4. fdérivable sur ]a, b[ est une condition nécessaire. Exemple
10
-
2
-
2) Remarques:
-
2
-
2) Remarques:
10-2) Théorème de Rolle Théorème
:
Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b).
Alors il existe un réel c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.
10-2-1) Interprétation géométrique
1. On ne sait pas si cest unique, et le théorème ne permet pas de connaît re c.
2. f n’a pas besoin d’être dérivable aux bornes de l’int ervalle. Exemple :
3.fcontinue sur [a, b] est une condition nécessaire. e xemple :
4. fdérivable sur ]a, b[ est une condition nécessaire. Exemple
10
-
2
-
2) Remarques:
10-2-3) Conséquences : Théorème de Rolle infini
10-3) Théorème des accroissements finis (TAF) Théorème
:
Soit f : [a, +∞ [ R continue sur [a,+∞ [, dé rivable sur ]a,+∞ [ et telle que
Alors il existe un réel c
∈
]a,+∞ [ tel que f ′(c) = 0.
Théorème
:
Soit f : [a, b] R continue sur [a, b], dériv able sur ]a, b[. Alors il existe un réel c
∈
]a, b[ tel que
f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).
10-4) Inégalité des accroissements finis
Théorème
: Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dé rivable sur ]a, b[. S’il
existek strictement positif tel que |f ′(x)| < k , pour tout x dans ]a, b[, alors:
10-3) Théorème des accroissements finis (TAF) Théorème
:
Soit f : [a, +∞ [ R continue sur [a,+∞ [, dé rivable sur ]a,+∞ [ et telle que
Alors il existe un réel c
∈
]a,+∞ [ tel que f ′(c) = 0.
Théorème
:
Soit f : [a, b] R continue sur [a, b], dériv able sur ]a, b[. Alors il existe un réel c
∈
]a, b[ tel que
f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a).
10-4) Inégalité des accroissements finis
Théorème
: Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dé rivable sur ]a, b[. S’il
existek strictement positif tel que |f ′(x)| < k , pour tout x dans ]a, b[, alors:
10-5) Fonction dérivée, formules de calcul
10-5-1) Définition On rappelle que fest dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.
L’ensemble Doù f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f.
On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f′.
10-5-2) Opérations sur les fonctions dérivables Soient uetv deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel
quelconque on a :
10-5-1) Définition On rappelle que fest dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.
L’ensemble Doù f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f.
On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f′.
10-5-2) Opérations sur les fonctions dérivables Soient uetv deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel
quelconque on a :
10-6) Composée et dérivée 10-6-1) Théorème 10-6-2) Conséquences : d’autres formules de dérivation
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et gune fonction définie et dérivable sur
un intervalle J, tel que g(J) ⊂I, alors la fonction h = f ◦g est dérivable sur J et pour tout x de J
on a :
En gros
soit
U
une fonction définie et dérivable sur
I
, pour tout entier relatif
n
on a :
soit
U
une fonction définie et dérivable sur
I
, pour tout entier relatif
n
on a :
.....(avec comme condition supplémentaire que Une s’annule jamais sur Iquand nest négatif)
soit Uune fonction définie et dérivable sur I, et telle que u > 0 sur I, on a alors :
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et gune fonction définie et dérivable sur
un intervalle J, tel que g(J) ⊂I, alors la fonction h = f ◦g est dérivable sur J et pour tout x de J
on a :
En gros
soit
U
une fonction définie et dérivable sur
I
, pour tout entier relatif
n
on a :
soit
U
une fonction définie et dérivable sur
I
, pour tout entier relatif
n
on a :
.....(avec comme condition supplémentaire que Une s’annule jamais sur Iquand nest négatif)
soit Uune fonction définie et dérivable sur I, et telle que u > 0 sur I, on a alors :
10-6-3) Exemples de calculs 10-6-3-1) Applications de la dérivation et compléments
a) Étude des variations b) Recherche d’extrema locaux
Soit ffonction dérivable sur I.
On dit que f présente un extremum local en x0lorsque sa dérivée f′s’annule en changeant de signe
en x0.
a) Étude des variations b) Recherche d’extrema locaux
Soit ffonction dérivable sur I.
On dit que f présente un extremum local en x0lorsque sa dérivée f′s’annule en changeant de signe
en x0.
dérivées des fonctions usuelles
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5
71
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5
71
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
Nous allons considérer des fonctions de deux ou plu sieurs variables indépendantes dont nous
pouvons citer quelques exemples tirés de formules m athématiques élémentaires; ainsi, l’aire
S d'un triangle quelconque: e st une fonction de deux variables indépendantes:
b (base du triangle) et h (hauteur du triangle).
Le volume V d'un parallélépipède rectangle est donn e par: V = a.b.c où a, b et c sont les
longueurs respectives des arêtes. Ici, V est une fo nction de trois variables a, b et c.
1) Introduction et définition.
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
72longueurs respectives des arêtes. Ici, V est une fo nction de trois variables a, b et c. 1%1) Définition .
On dit que est une fonction de nvariables
indépendantes si à tout système de valeurs des vari ables indépendantes
correspond une valeur bien déterminée de la variabl e dépendante z.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus part iculièrement au cas des fonctions de
deux variables.
pouvons citer quelques exemples tirés de formules m athématiques élémentaires; ainsi, l’aire
S d'un triangle quelconque: e st une fonction de deux variables indépendantes:
b (base du triangle) et h (hauteur du triangle).
Le volume V d'un parallélépipède rectangle est donn e par: V = a.b.c où a, b et c sont les
longueurs respectives des arêtes. Ici, V est une fo nction de trois variables a, b et c.
1) Introduction et définition.
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
72longueurs respectives des arêtes. Ici, V est une fo nction de trois variables a, b et c. 1%1) Définition .
On dit que est une fonction de nvariables
indépendantes si à tout système de valeurs des vari ables indépendantes
correspond une valeur bien déterminée de la variabl e dépendante z.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus part iculièrement au cas des fonctions de
deux variables.
1%2) Définition: Si, a chaque couple (x;y) de valeurs de deux variab les indépendantes X et Y correspond une
valeur bien déterminée de la variable dépendante Z, on dit que Z est une fonction de deux
variables indépendantes x et y.Une fonction de deux variables est notée z = f(x,y).
2%1) Définition: On appelle domaine de définition de la fonction z = f(x,y) l’ensemble des couples
(x;y) pour lesquels cette fonction est définie. On note par Dle domaine de définition.
2) Domaine de définition
73
2%2) Remarque Le domaine de définition peut être représenté géomé triquement par l’ensemble des points
de coordonnées (x,y) dans le plan O xy
Exemple Soit la fonction de deux variables . Pour que zsoit définie dans l’ensemble des
nombres réels, il faut que:
C’est-à-dire: ou encore: On a représenté ce domaine de définiti on sur la
figure suivante:
valeur bien déterminée de la variable dépendante Z, on dit que Z est une fonction de deux
variables indépendantes x et y.Une fonction de deux variables est notée z = f(x,y).
2%1) Définition: On appelle domaine de définition de la fonction z = f(x,y) l’ensemble des couples
(x;y) pour lesquels cette fonction est définie. On note par Dle domaine de définition.
2) Domaine de définition
73
2%2) Remarque Le domaine de définition peut être représenté géomé triquement par l’ensemble des points
de coordonnées (x,y) dans le plan O xy
Exemple Soit la fonction de deux variables . Pour que zsoit définie dans l’ensemble des
nombres réels, il faut que:
C’est-à-dire: ou encore: On a représenté ce domaine de définiti on sur la
figure suivante:
74 Remarque: Comme pour les fonctions d'une variable, on peut dé finir la continuité des fonctions de deux
ou de plusieurs variables.
ou de plusieurs variables.
3%1) Définition: Une fonction de deux variables f(x,y) est dite cont inue au point x = a, y = b si les trois
conditions suivantes sont satisfaites simultanément :
3) la continuité des fonctions de deux variables
75
4) Représentations graphiques des fonctions de deux variables Soit une fonction de deux variables z = f(x,y).On peut représ enter une telle fonction dans
unsystèmedecoordonnéescartésiennesdansl’espace,noté Oxyz:àchaquepoint(xo;yo)du
plan Oxy en lequel la fonction est bien définie, on associe la valeur f(xo,yo) en élevant une
perpendiculaire au plan Oxy de longueur égale à la valeur def(x o,yo) .On obtient ainsi
un point P dont les coordonnées sont:(x o,yo,zo) = (xo;,yo,f(xo,yo)) L'ensemble de tous les
pointsPdontlescoordonnéessatisfontl’équationz=f(x,y)estapp elégraphedelafonction
dedeuxvariablesf(x,y).Ainsi,L’équationz=f(x,y)défin itunesurfacedansl’espace.
conditions suivantes sont satisfaites simultanément :
3) la continuité des fonctions de deux variables
75
4) Représentations graphiques des fonctions de deux variables Soit une fonction de deux variables z = f(x,y).On peut représ enter une telle fonction dans
unsystèmedecoordonnéescartésiennesdansl’espace,noté Oxyz:àchaquepoint(xo;yo)du
plan Oxy en lequel la fonction est bien définie, on associe la valeur f(xo,yo) en élevant une
perpendiculaire au plan Oxy de longueur égale à la valeur def(x o,yo) .On obtient ainsi
un point P dont les coordonnées sont:(x o,yo,zo) = (xo;,yo,f(xo,yo)) L'ensemble de tous les
pointsPdontlescoordonnéessatisfontl’équationz=f(x,y)estapp elégraphedelafonction
dedeuxvariablesf(x,y).Ainsi,L’équationz=f(x,y)défin itunesurfacedansl’espace.
Exemple: Représentons graphiquement la fonction de deux vari ables z = x² + y² dont le graphe porte
le nom de paraboloïde de révolution.
On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
le nom de paraboloïde de révolution.
On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
5) Dérivées partielles
Considérons la fonction de deux variables z = f(x, y). Si l’on considèreycomme une constante,Z
n'est plus qu'une fonction de xet l’on peut calculer la dérivée de Zpar rapport àx,si elle existe.La
dérivée obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de zpar rapport àxque l’on peut écrire de
plusieursfaçons:
LadérivéepartielledeZparrapportàxestdéfinieainsi:
lorsquela limite existeetqu'elleestfinie.
5) Dérivées partielles
Considérons la fonction de deux variables z = f(x, y). Si l’on considèreycomme une constante,Z
n'est plus qu'une fonction de xet l’on peut calculer la dérivée de Zpar rapport àx,si elle existe.La
dérivée obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de zpar rapport àxque l’on peut écrire de
plusieursfaçons:
LadérivéepartielledeZparrapportàxestdéfinieainsi:
lorsquela limite existeetqu'elleestfinie.
De manière analogue, si l’on considère xcomme une constante,zn'est plus qu'une
fonctiondeyetl’onpeutcalculerladérivéede zparrapportay,sielleexiste.Ladérivée
obtenuedanscecasestladérivéepartielledezparrapportayquel’onpeutécrire:
5%1) Définition
:
La dérivée partielle de zpar rapport a yest définie ainsi:
lorsque la limite existe et est finie. lorsque la limite existe et est finie.
Notons qu'en général une fonction de nvariables possède n dérivées partielles, chacune étant prise
par rapport à une variable.
Exemple 1 Soit la fonction de deux variables on peut calculer la dériv ée partielle de z
par rapport à xet la dérivée partielle de zpar rapport à y:
yétant considérée comme une constante, la dérivée de %2y² est nulle.
xétant considérée comme une constante, la dérivée de 3x² est nulle.
fonctiondeyetl’onpeutcalculerladérivéede zparrapportay,sielleexiste.Ladérivée
obtenuedanscecasestladérivéepartielledezparrapportayquel’onpeutécrire:
5%1) Définition
:
La dérivée partielle de zpar rapport a yest définie ainsi:
lorsque la limite existe et est finie. lorsque la limite existe et est finie.
Notons qu'en général une fonction de nvariables possède n dérivées partielles, chacune étant prise
par rapport à une variable.
Exemple 1 Soit la fonction de deux variables on peut calculer la dériv ée partielle de z
par rapport à xet la dérivée partielle de zpar rapport à y:
yétant considérée comme une constante, la dérivée de %2y² est nulle.
xétant considérée comme une constante, la dérivée de 3x² est nulle.
Calculons les deux dérivées partielles de f(x,y) = 5xln(l + 2y) Exemple :
Remarque: Puisqu'en général, les dérivées partielles d'une fon ction z =f(x,y) sont aussi des fonctions de x et y,
on peut les dériver partiellement une seconde fois par rapport à xet par rapport à y. On appelle ces
dérivées les secondes dérivées partielles de z et on les note :
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à x
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à y
Signifie qu'on a dérive une première fois par rappo rt a y et une seconde par rapport a x Signifie qu'on a dérive une première fois par rappo rt a x et une seconde par rapport a y
Remarque: Puisqu'en général, les dérivées partielles d'une fon ction z =f(x,y) sont aussi des fonctions de x et y,
on peut les dériver partiellement une seconde fois par rapport à xet par rapport à y. On appelle ces
dérivées les secondes dérivées partielles de z et on les note :
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à x
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à y
Signifie qu'on a dérive une première fois par rappo rt a y et une seconde par rapport a x Signifie qu'on a dérive une première fois par rappo rt a x et une seconde par rapport a y
De ces quatre dérivées, seules trois sont distincte s puisque, si elles sont continues:
Exemple :
Nous allons calculer les dérivées partielles de pre mier et second ordre de la fonction:
6) Applications économiques des dérivées partielles
(Théorème de Schwartz)
Dans ce paragraphe, nous allons voir deux applicati ons économiques des dérivées partielles: le coût
marginal et la productivité marginale.
6%1)Coûtmarginal Lafonctiondecoûtconjointe:
est définie comme étant le coût de production des quantités xetyde deux biens. Nous pouvons
calculerlesdérivéespartiellesde Cparrapportàxetpar rapportày:
Exemple :
Nous allons calculer les dérivées partielles de pre mier et second ordre de la fonction:
6) Applications économiques des dérivées partielles
(Théorème de Schwartz)
Dans ce paragraphe, nous allons voir deux applicati ons économiques des dérivées partielles: le coût
marginal et la productivité marginale.
6%1)Coûtmarginal Lafonctiondecoûtconjointe:
est définie comme étant le coût de production des quantités xetyde deux biens. Nous pouvons
calculerlesdérivéespartiellesde Cparrapportàxetpar rapportày:
Exemple
:
Si la fonction de coût conjointe pour produire des quantités x et y de deux biens est:
calculons le coût marginal par rapport à x : et le coût marginal par rapport à y:
6%2)Productivitémarginale Pour produire la plupart des biens, on a besoin d'au moins deu x facteurs de production tels que le travail,
le
capital,
la
terre,
les
matériaux
ou
les
machines
.
Une
fonction
de
production
z
=
f(
x,y
)
signifie
travail,
le
capital,
la
terre,
les
matériaux
ou
les
machines
.
Une
fonction
de
production
z
=
f(
x,y
)
signifie
qu'une quantitézd'un bien est fabriquée à l'aide des quantités xetyde deux facteurs de production.
On peut alors calculer la dérivée partielle de zpar rapport àxqui nous donne laproductivité
marginale de xet la dérivée partielle de zpar rapport àyqui nous donne laproductivité
marginaledey.
Exemple
: Si la fonction de production d’un bien est donnée par:
la productivité marginale de x est égale à: et la productivité marginale de y est égale à:
:
Si la fonction de coût conjointe pour produire des quantités x et y de deux biens est:
calculons le coût marginal par rapport à x : et le coût marginal par rapport à y:
6%2)Productivitémarginale Pour produire la plupart des biens, on a besoin d'au moins deu x facteurs de production tels que le travail,
le
capital,
la
terre,
les
matériaux
ou
les
machines
.
Une
fonction
de
production
z
=
f(
x,y
)
signifie
travail,
le
capital,
la
terre,
les
matériaux
ou
les
machines
.
Une
fonction
de
production
z
=
f(
x,y
)
signifie
qu'une quantitézd'un bien est fabriquée à l'aide des quantités xetyde deux facteurs de production.
On peut alors calculer la dérivée partielle de zpar rapport àxqui nous donne laproductivité
marginale de xet la dérivée partielle de zpar rapport àyqui nous donne laproductivité
marginaledey.
Exemple
: Si la fonction de production d’un bien est donnée par:
la productivité marginale de x est égale à: et la productivité marginale de y est égale à:
Une fonction de deux variables z = f(x,y) présente un maximum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) à une
valeur supérieure à toutes celles que prend f(x,y) au voisin age dex = aety = b. De même, f(x, y)
présente un minimum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) a une val eur inferieure à toutes celles que prend
f(x,y)auvoisinagedex=aety= b.
IIenrésultequ'il existeun plantangent horizontalaupoint(a;b;f(a,b)).
Ceplan tangentestengendrépar lesdeuxtangentesdétermin éespar:
7) Minima et maxima d'une fonction de deux variable s Ainsi,pour que f(a,b) soit un maximum ou un minimum,il faut q ue les deux équations suivantes soient
satisfaitessimultanément:
valeur supérieure à toutes celles que prend f(x,y) au voisin age dex = aety = b. De même, f(x, y)
présente un minimum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) a une val eur inferieure à toutes celles que prend
f(x,y)auvoisinagedex=aety= b.
IIenrésultequ'il existeun plantangent horizontalaupoint(a;b;f(a,b)).
Ceplan tangentestengendrépar lesdeuxtangentesdétermin éespar:
7) Minima et maxima d'une fonction de deux variable s Ainsi,pour que f(a,b) soit un maximum ou un minimum,il faut q ue les deux équations suivantes soient
satisfaitessimultanément:
Cette condition est nécessaireU:leir:tNs'sluts:La:u i1p2rstts:F3i2Lsrr arf:l 1pds qu'elle
n'est pas suffisante. Bien que les deux tangentes s oient horizontales, quel que soit le voisinage
La:u i1p2rstts:3 1riLbdbU: 1:usap:p a7 adr:pd a4sd: a1:u i1p:éai:r ip:ea2Lsrrar:La:u i1p2rstts:
sp:a1:eapds:u i1p:éai:r ip:ea2Lsrr ar:La:u i1p2rstt sR:≥ p 1r:éaNe:a1:u i1p2rsttsU:a1s:m 13pi 1:
présente un minimum pour une des variables et un ma ximum pour l’autre variable . II faut
donner une condition suffisante qui est la suivante :
I i1p2rstts
n'est pas suffisante. Bien que les deux tangentes s oient horizontales, quel que soit le voisinage
La:u i1p2rstts:3 1riLbdbU: 1:usap:p a7 adr:pd a4sd: a1:u i1p:éai:r ip:ea2Lsrrar:La:u i1p2rstts:
sp:a1:eapds:u i1p:éai:r ip:ea2Lsrr ar:La:u i1p2rstt sR:≥ p 1r:éaNe:a1:u i1p2rsttsU:a1s:m 13pi 1:
présente un minimum pour une des variables et un ma ximum pour l’autre variable . II faut
donner une condition suffisante qui est la suivante :
I i1p2rstts
Nous admettrons sans démonstration le résultat suiv ant: Exemple
: Soit z=3x² + 2y². Cherchons les extrema de cett e fonction.
: Soit z=3x² + 2y². Cherchons les extrema de cett e fonction.
II y a donc une valeur critique au point x = y = z = 0 et cette valeur est un minimum puisque toutes
les autres valeurs de zsont positives .
En effet, comme :
D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum. D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum.
les autres valeurs de zsont positives .
En effet, comme :
D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum. D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum.
8)MultiplicateursdeLagrange
Dans de nombreuses applications pratiques de maximisation ou de minimisation, le problème est de
maximiser ou minimiser une fonction donnée assujettie à cer taines conditions ou contraintes sur les
4edieOtsrilutiéabsrRCe lbp. LsbpaLibs3i2eudorsrpeuuti cableàn'importequelnombredevariables
et de contraintes. La méthode des multiplicateurs de Lagrangeest employée pour obtenir un
maximumouunminimum d'unefonctionsoumiseàdescontraintes d’égalité.
Supposons que f(x,y), appelée fonction objective, doit être maximisée ou minimisée sous la
contrainteg(x,y)=0.Formonsunefonctionauxiliaire appe léeunlagrangien:
Ouλ(multiplicateur de Lagrange)est un inconnu.Pour que cette f onction passe par un extremum, il
faut
que
les
trois
équations
suivantes
soient
satisfaites
simultanément
:
il
faut
que
les
trois
équations
suivantes
soient
satisfaites
simultanément
:
Notons que la troisième équation n'est autre que la contrain te! Ainsi, F(x,y, λ) ne doit être dérivée
partiellement que par rapport à xet ày. La solution du système de trois équations à trois inconnues
(x, y etλf 3i2Lsrrar m ad1ip tsr u i1pr 3dipiéasr Ls te m 13pi 1 r ar contrainte. Ces points critiques
satisfont la contrainte, mais il reste encore à déterminer s 'il s'agit effectivement d'un extremum. Pour
cela,onutilisera lerésultatsuivant:
Dans de nombreuses applications pratiques de maximisation ou de minimisation, le problème est de
maximiser ou minimiser une fonction donnée assujettie à cer taines conditions ou contraintes sur les
4edieOtsrilutiéabsrRCe lbp. LsbpaLibs3i2eudorsrpeuuti cableàn'importequelnombredevariables
et de contraintes. La méthode des multiplicateurs de Lagrangeest employée pour obtenir un
maximumouunminimum d'unefonctionsoumiseàdescontraintes d’égalité.
Supposons que f(x,y), appelée fonction objective, doit être maximisée ou minimisée sous la
contrainteg(x,y)=0.Formonsunefonctionauxiliaire appe léeunlagrangien:
Ouλ(multiplicateur de Lagrange)est un inconnu.Pour que cette f onction passe par un extremum, il
faut
que
les
trois
équations
suivantes
soient
satisfaites
simultanément
:
il
faut
que
les
trois
équations
suivantes
soient
satisfaites
simultanément
:
Notons que la troisième équation n'est autre que la contrain te! Ainsi, F(x,y, λ) ne doit être dérivée
partiellement que par rapport à xet ày. La solution du système de trois équations à trois inconnues
(x, y etλf 3i2Lsrrar m ad1ip tsr u i1pr 3dipiéasr Ls te m 13pi 1 r ar contrainte. Ces points critiques
satisfont la contrainte, mais il reste encore à déterminer s 'il s'agit effectivement d'un extremum. Pour
cela,onutilisera lerésultatsuivant:
On a un maximum en x = a ,y = b si a* > 0, On a un minimum en x = a ,y = b si a* > 0,
avec
Si a* < 0, le test échoué; il faut examiner la fonction au voisinage de x, y.
Exemple : Déterminer les minimas et maximas de la fonction ob jective f(
x,y
) =
5
x
²
+
6
y
²
s
xy
sous la
Déterminer les minimas et maximas de la fonction ob jective f(
x,y
) =
5
x
²
+
6
y
²
s
xy
sous la
contrainte : x + 2y = 24. 8%1)Applications économiques des multiplicateurs de Lagrange IIyabeaucoupd'applicationséconomiquesdesminimaetmax imasouscontraintes.
Par exemple: si un producteur fabrique deux biens, il peut vo uloir minimiser le coût total
toutendevantfabriquerunequantitétotaleminimalespéci fiée.
unecompagniepeutdésirermaximisersesventesrésultantd edeuxpublicitéseffectuées,tout
enobservantlacontraintedubudgetdepublicité.
unconsommateurpeutvouloirmaximisersafonctiond'utili téprovenantdelaconsommation
decertainsbiens,toutenétantrestreintparsonbudget.
avec
Si a* < 0, le test échoué; il faut examiner la fonction au voisinage de x, y.
Exemple : Déterminer les minimas et maximas de la fonction ob jective f(
x,y
) =
5
x
²
+
6
y
²
s
xy
sous la
Déterminer les minimas et maximas de la fonction ob jective f(
x,y
) =
5
x
²
+
6
y
²
s
xy
sous la
contrainte : x + 2y = 24. 8%1)Applications économiques des multiplicateurs de Lagrange IIyabeaucoupd'applicationséconomiquesdesminimaetmax imasouscontraintes.
Par exemple: si un producteur fabrique deux biens, il peut vo uloir minimiser le coût total
toutendevantfabriquerunequantitétotaleminimalespéci fiée.
unecompagniepeutdésirermaximisersesventesrésultantd edeuxpublicitéseffectuées,tout
enobservantlacontraintedubudgetdepublicité.
unconsommateurpeutvouloirmaximisersafonctiond'utili téprovenantdelaconsommation
decertainsbiens,toutenétantrestreintparsonbudget.
Exemple: 1 Un consommateur dépense de son revenu 48 DHs pourl’ achat de deux biens: x et y. Les
prix de x et de y sont respectivement 2 DHs et 3 DH s. La fonction d’utilité du
consommateur est donnée par la formule:
q lOis1:Lha1ipbr:La:Ois1:':sp:La:Ois1:B:L ip2it:3 1 sommer pour maximiser son utilité?
Exemple: 2 Une firme produit des appareils dans deux usines di fférentes. Les coûts totaux de production
pour les deux usines sont respectivement :
Où q1et q2représentent le nombre d'appareils produits dans chaque us ine. La firme s'est
engagéeàlivrer100appareilsàuneentreprise.Lesfraisdetransportparappareilsontde 4
DHs pour les livraisons à partir de la première usine et de 2 DH s pour les livraisons à partir
delasecondeusine.Lesfraisdetransportsontsupportéspa rlafirmeproductive.
Calculons le nombre d'appareils que doit produire la firme d ans chaque usine afin de
minimiserlecoûttotaldeproductionycomprislecoûtdetransport.
prix de x et de y sont respectivement 2 DHs et 3 DH s. La fonction d’utilité du
consommateur est donnée par la formule:
q lOis1:Lha1ipbr:La:Ois1:':sp:La:Ois1:B:L ip2it:3 1 sommer pour maximiser son utilité?
Exemple: 2 Une firme produit des appareils dans deux usines di fférentes. Les coûts totaux de production
pour les deux usines sont respectivement :
Où q1et q2représentent le nombre d'appareils produits dans chaque us ine. La firme s'est
engagéeàlivrer100appareilsàuneentreprise.Lesfraisdetransportparappareilsontde 4
DHs pour les livraisons à partir de la première usine et de 2 DH s pour les livraisons à partir
delasecondeusine.Lesfraisdetransportsontsupportéspa rlafirmeproductive.
Calculons le nombre d'appareils que doit produire la firme d ans chaque usine afin de
minimiserlecoûttotaldeproductionycomprislecoûtdetransport.
Algèbre Algèbre
(Calcul matriciel)
(Calcul matriciel)
Le calcul matriciel
Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6
90
Le calcul matriciel
Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6
90
Le calcul matriciel
1) Définitions Une matrice n x m est un tableau de nombres à nlignes et mcolonnes.
net msont les dimensions de la matrice.
Exemple: Matrice avec n=2 et m=3 : On note Mijl’élément situé à l’intersection de la ligne iet de la colonne j:
Calcul matriciel
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (ou, plus précisément vecteur-colonne) : Si n = m la matrice est dite matrice carrée.
net msont les dimensions de la matrice.
Exemple: Matrice avec n=2 et m=3 : On note Mijl’élément situé à l’intersection de la ligne iet de la colonne j:
Calcul matriciel
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (ou, plus précisément vecteur-colonne) : Si n = m la matrice est dite matrice carrée.
2) Quelques matrices carrées particulières Matrice unité
(ou matrice identité)
: Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les é léments
diagonaux qui sont égaux à 1. Matrice diagonale :
Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les élé ments diagonaux .
n=4
diagonaux qui sont égaux à 1.
n=4
Matrice triangulaire : Matrice triangulaire supérieur:
Tous les éléments situés au dessous des éléments diago naux sont nuls.
Matrice triangulaire inférieur:
Tous les éléments situés au dessus des éléments diagon aux sont nuls.
(ou matrice identité)
: Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les é léments
diagonaux qui sont égaux à 1. Matrice diagonale :
Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les élé ments diagonaux .
n=4
diagonaux qui sont égaux à 1.
n=4
Matrice triangulaire : Matrice triangulaire supérieur:
Tous les éléments situés au dessous des éléments diago naux sont nuls.
Matrice triangulaire inférieur:
Tous les éléments situés au dessus des éléments diagon aux sont nuls.
Une matrice carrée Sest dite symétrique si Sij = Sji(i,j) € N:
3) Opérations sur les matrices
3.1) Egalité de deux matrices Deux matrices A et B sont égales si elles ont les m êmes dimensions et si Aij = Bij i, j.
Exemple:
3.2) Addition et soustraction L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent avoir
les mêmes dimensions.
Exemples :
3) Opérations sur les matrices
3.1) Egalité de deux matrices Deux matrices A et B sont égales si elles ont les m êmes dimensions et si Aij = Bij i, j.
Exemple:
3.2) Addition et soustraction L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent avoir
les mêmes dimensions.
Exemples :
3.3) Multiplication par un nombre Lorsqu’une matrice est multipliée par un nombre, chaque terme de la matrice est multipliée
par ce nombre :
3.4) Transposition La transposée A T d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de A. si
A est de dimension (n,p) alors A Test de dimension (p,n)
Mqshrqeinuiogs atesQgGhgtrTGumueegsgihstesQgGhgtrTmé gne. Exemple:
par ce nombre :
3.4) Transposition La transposée A T d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de A. si
A est de dimension (n,p) alors A Test de dimension (p,n)
Mqshrqeinuiogs atesQgGhgtrTGumueegsgihstesQgGhgtrTmé gne. Exemple:
3.5) Multiplication matricielle 3.5.1) Produit scalaire Mgsnru téhsiGqmqérgs atesQgGhgtrTmélegs x
TnqrstesQgGhgtrTGumueegs y est défini par :
M
Ce produit, appelé produit scalaire, est noté
x · y
. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
M
Ce produit, appelé produit scalaire, est noté
x · y
. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
Le résultat de cette opération est un scalaire. On p eut noter que le produit scalaire est commutatif :
x X y = y X x.
MLorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul , les vecteurs sont dits orthogonaux.
MA deux dimensions, cela correspond à deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vecteurs
x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalai re nul et on vérifiera facilement qu’ils sont
perpendiculaires.
TnqrstesQgGhgtrTGumueegs y est défini par :
M
Ce produit, appelé produit scalaire, est noté
x · y
. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
M
Ce produit, appelé produit scalaire, est noté
x · y
. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
Le résultat de cette opération est un scalaire. On p eut noter que le produit scalaire est commutatif :
x X y = y X x.
MLorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul , les vecteurs sont dits orthogonaux.
MA deux dimensions, cela correspond à deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vecteurs
x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalai re nul et on vérifiera facilement qu’ils sont
perpendiculaires.
3.5.2) Produit matriciel
Le produit de la matrice A (n x m) par la matrice B (m x p) est la matrice C (n x p) telle que
l’élément Cijest égal au produit scalaire de la lig ne i de la matrice A par la colonne j de la
matrice B :
Ce produit matriciel est noté AB = C
Exemple
3.5.3) Propriétés Le produit matriciel est:
associatif : ABC = (AB)C = A(BC)
distributif par rapport à l’addition : A(B + C) = A B + AC
eueTGuddthqhécs+sKgesloeorqmUsèRsYsRè
La matrice unité Iest l’élément neutre pour la multiplication : AI = IA = A
Le produit de la matrice A (n x m) par la matrice B (m x p) est la matrice C (n x p) telle que
l’élément Cijest égal au produit scalaire de la lig ne i de la matrice A par la colonne j de la
matrice B :
Ce produit matriciel est noté AB = C
Exemple
3.5.3) Propriétés Le produit matriciel est:
associatif : ABC = (AB)C = A(BC)
distributif par rapport à l’addition : A(B + C) = A B + AC
eueTGuddthqhécs+sKgesloeorqmUsèRsYsRè
La matrice unité Iest l’élément neutre pour la multiplication : AI = IA = A
Transposée d’une somme :
Transposée d’un produit :
3.5.4) Quelques produits particuliers
:
3.5.4.1) Carrée scalaire :
MSa racine carrée est appelée norme du vecteur x et est notée ||x||. Lorsque la norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est di t normé. Tout vecteur peut être normé norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est di t normé. Tout vecteur peut être normé en le divisant par la racine carré de sa norme.
MUne matrice dont toutes les colonnes prises deux à deux sont des vecteurs orthogonaux est dite
matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont normés, la matrice est dite matrice orthonormée.
MDeux vecteurs qui sont simultanément normés et orth ogonaux sont dit orthonormés :
a et b sont orthonormés
Transposée d’un produit :
3.5.4) Quelques produits particuliers
:
3.5.4.1) Carrée scalaire :
MSa racine carrée est appelée norme du vecteur x et est notée ||x||. Lorsque la norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est di t normé. Tout vecteur peut être normé norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est di t normé. Tout vecteur peut être normé en le divisant par la racine carré de sa norme.
MUne matrice dont toutes les colonnes prises deux à deux sont des vecteurs orthogonaux est dite
matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont normés, la matrice est dite matrice orthonormée.
MDeux vecteurs qui sont simultanément normés et orth ogonaux sont dit orthonormés :
a et b sont orthonormés
Propriétés
Si la matrice A est orthogonale, alors:
3
.
5
.
4
.
3
) Déterminant d’une matrice carrée:
3.5.4.2) Inversion Une matrice carrée A est dite inversible s’il exist e une matrice carrée (appelée matrice inve rse)
telle que:
3
.
5
.
4
.
3
) Déterminant d’une matrice carrée:
Pour n=2 Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matr ice inverse est donnée par:
Le nombre ad − bc est appelé déterminant de la matric e A. On le note:
La matrice inverse n’existe donc que si d et(A) est différent de 0.
Si la matrice A est orthogonale, alors:
3
.
5
.
4
.
3
) Déterminant d’une matrice carrée:
3.5.4.2) Inversion Une matrice carrée A est dite inversible s’il exist e une matrice carrée (appelée matrice inve rse)
telle que:
3
.
5
.
4
.
3
) Déterminant d’une matrice carrée:
Pour n=2 Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matr ice inverse est donnée par:
Le nombre ad − bc est appelé déterminant de la matric e A. On le note:
La matrice inverse n’existe donc que si d et(A) est différent de 0.
Le déterminant peut se calculer de manière récursive . Par exemple pour n = 3, on a, en développant
la première ligne :
Dans ce développement, chaque déterminant d’ordre 2 est appelé mineur du terme qui le précède. Le mineur de l’
´
elément
x
ij
est la sous
T
matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colo nne j. Par
Pour n=3 mineur de l’
´
elément
x
ij
est la sous
T
matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colo nne j. Par
exemple, le mineur de a est :
Le cofacteur de l’élément x ijest donné par l’expression :
Remarque: On peut développer le déterminant par rapport à n’i mporte quelle ligne ou colonne. En pratique, pour
faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou col onne) qui contient le plus de 0.
la première ligne :
Dans ce développement, chaque déterminant d’ordre 2 est appelé mineur du terme qui le précède. Le mineur de l’
´
elément
x
ij
est la sous
T
matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colo nne j. Par
Pour n=3 mineur de l’
´
elément
x
ij
est la sous
T
matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colo nne j. Par
exemple, le mineur de a est :
Le cofacteur de l’élément x ijest donné par l’expression :
Remarque: On peut développer le déterminant par rapport à n’i mporte quelle ligne ou colonne. En pratique, pour
faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou col onne) qui contient le plus de 0.
Propriétés
Le déterminant d’une matrice triangulaire oudiagonale est égal au produit des éléments
diagonaux. En particulier, det(I) = 1.
MSi A est inversible, alors
M
Si A est orthogonale, alors
M
Si A est orthogonale, alors
MSi on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matr ice par un réel , le déterminant de la
nouvelle matrice est multiplié par ce réel.
MEn ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, on n e change pas un déterminant.
Le déterminant d’une matrice triangulaire oudiagonale est égal au produit des éléments
diagonaux. En particulier, det(I) = 1.
MSi A est inversible, alors
M
Si A est orthogonale, alors
M
Si A est orthogonale, alors
MSi on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matr ice par un réel , le déterminant de la
nouvelle matrice est multiplié par ce réel.
MEn ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, on n e change pas un déterminant.
4) Application aux systèmes d’équations linéaires 4.1) Formulation matricielle: Un système de néquations linéaires à ninconnus est de la forme :
Où les xi sont les inconnus du système, les aijsont les coefficients et les bisont les termes constants
Un tel système peut s’écrire sous la forme matricie lle :Ax = b
avec
Où les xi sont les inconnus du système, les aijsont les coefficients et les bisont les termes constants
Un tel système peut s’écrire sous la forme matricie lle :Ax = b
avec
4.2) Résolution d’équations linéaires .ésmqsdqhréGgsgihséeQgriéxmgsKGagihT1T érgsiésiues éterminant est non nul), on a, en multipliant à gau che
par A−1 :
Soit:
Un simple produit matriciel et le système est résol u !
Exemple : Considérons le système de deux équations à deux inc onnus suivants :
On vérifiera que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du système d’équations.
par A−1 :
Soit:
Un simple produit matriciel et le système est résol u !
Exemple : Considérons le système de deux équations à deux inc onnus suivants :
On vérifiera que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du système d’équations.
CSoit le système est indéterminé
: c’est le cas lorsqu’une des équations est une com binaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :C dréas:te:lepdi3s:1hsrp:uer:i14sdriOtsU:3hsrp2à2Li re quand son déterminant est nul, deux
cas sont à envisager :
C
Soit le système est impossible
: c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une com binaison
C
Soit le système est impossible
: c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une com binaison
linéaire des autres équations du système. Exemple :
Remarque: Le système d’équations est dit homogène si Ax= 0.
Ce système ne possède des solutions non triviales ( 3hsrp2à2Lids:eapdsr:éas:':è:5f:éas:ri:
det(A) = 0.
: c’est le cas lorsqu’une des équations est une com binaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :C dréas:te:lepdi3s:1hsrp:uer:i14sdriOtsU:3hsrp2à2Li re quand son déterminant est nul, deux
cas sont à envisager :
C
Soit le système est impossible
: c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une com binaison
C
Soit le système est impossible
: c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une com binaison
linéaire des autres équations du système. Exemple :
Remarque: Le système d’équations est dit homogène si Ax= 0.
Ce système ne possède des solutions non triviales ( 3hsrp2à2Lids:eapdsr:éas:':è:5f:éas:ri:
det(A) = 0.
4.3) Valeurs propres et vecteurs propres
4.3.1) Définitions
On dit qu’une matrice carrée A possède une valeur p ropre λ et un vecteur propre vsi:
Av=λv
En général une matrice de dimension n x n possèden valeurs propres réelles. A chaque valeur
propre est associé un vecteur propre (ou, plus préc isément, une famille de vecteurs propres).
4.3.2) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres L’équation précédente peut se réécrire comme suit: L’équation précédente peut se réécrire comme suit: RagihT1T érg
4.3.1) Définitions
On dit qu’une matrice carrée A possède une valeur p ropre λ et un vecteur propre vsi:
Av=λv
En général une matrice de dimension n x n possèden valeurs propres réelles. A chaque valeur
propre est associé un vecteur propre (ou, plus préc isément, une famille de vecteurs propres).
4.3.2) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres L’équation précédente peut se réécrire comme suit: L’équation précédente peut se réécrire comme suit: RagihT1T érg
Ce système aura des solutions autres que la solutio n triviale si et seulement si:
L’expression de ce déterminant est un polynôme de d egré nenλqui est appelé polynôme
caractéristique de la matrice A et l’équation corre spondante est dite équation caractéristique.
En particulier, pour la matrice 2 x 2 l’équation caractéristique s’écrit
Les valeurs propres sont donc
L’expression de ce déterminant est un polynôme de d egré nenλqui est appelé polynôme
caractéristique de la matrice A et l’équation corre spondante est dite équation caractéristique.
En particulier, pour la matrice 2 x 2 l’équation caractéristique s’écrit
Les valeurs propres sont donc
Exemple 1:
Recherchons les valeurs propres de la matrice A
Recherchons les valeurs propres de la matrice A
Recherchons maintenant les vecteurs propres
Exemple 2: Recherchons les valeurs propres de la matrice A Recherchons les valeurs propres de la matrice A
(L2= L22C3+L1)
(C3=C2+C3)CvèCv2Cg
0
2
2
(L2= L22C3+L1)
(C3=C2+C3)CvèCv2Cg
0
2
2
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