Criterio de la Raíz.pdf

Explica, brevemente, el criterio de la Raíz para series infinitas

1. CRITERIO DE LARA´IZ PARASERIESINFINITAS

2. CONTENIDO
1
INTRODUCCI´ON
2
CRITERIO DE LARAZ´ON

3. IN T RO D U C C I´O N
Introducci´on
El estudio de las series infinitas es fundamental en el campo del
C´alculo Integral. Nos permite comprender c´omo se comportan las
sumas parciales de una secuencia infinita de t´erminos y determi-
nar si dichas sumas convergen o divergen. Una herramienta pode-
rosa para analizar la convergencia de las series es elCriterio de
la Ra´ız.
El criterio de la ra´ız nos proporciona informaci´on valiosa sobre
el comportamiento de una serie infinita mediante el c´alculo del
l´ımite de las ra´ıces en´esimas de los t´erminos de la serie.

4. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
CriteriodelaRaz´on
Dada la serie
∞
∑
n=1
an
1
Si l´ım
n→∞
ˇ
n
p
|an|
ı
=L<1, entonces la
∞
∑
n=1
anes Convergente.
2
si l´ım
n→∞
ˇ
n
p
|an|
ı
=L>1, entonces la
∞
∑
n=1
anes Divergente.
3
si l´ım
n→∞
ˇ
n
p
|an|
ı
=1, el criterio del cociente no es concluyen-
te.

5. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Ejemplo
Dada la serie
∞
∑
n=1
ȷ
2n+3
3n+2
ff
n
Determine si es o no Convergente

6. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Soluci´on
l´ım
n→∞
ˇ
n
p
|an|
ı
=l´ım
n→∞

n
s
ȷ
2n+3
3n+2
ff
n
!
=l´ım
n→∞
ȷ
2n+3
3n+2
ff
=
2
3
<1

7. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Luego la serie
∞
∑
n=1
ȷ
2n+3
3n+2
ff
n
es Convergente

8. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Recuerde que...
Dado un polinomio de la forma
p(x) =anx
n
+an−1x
n
+···+a1x+a0
se tiene que
l´ım
x→∞
ˇ
x
p
p(x)
ı
=1 y l´ım
x→∞

x
s
1
p(x)
!
=1

9. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Ejemplo
Dado un polinomio
p(x) =3x
2
+4x+10
se tiene que
l´ım
x→∞
ˇ
x
p
3x
2
+4x+10
ı
=1 y l´ım
x→∞

x
r
1
3x
2
+4x+10
!
=1

10. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Ejemplo
Dada la serie
∞
∑
n=1
ȷ
10
n
(n+1)·4
2n+1
ff
Determine si es o no Convergente

11. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
En primer lugar, se reescribe la serie as´ı:
∞
∑
n=1
ȷ
10
n
(n+1)·4
2n+1
ff
=
∞
∑
n=1
ȷ
10
n
(4
2
)
n·
1
4(n+1)
ff

12. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Soluci´on
l´ım
n→∞
ˇ
n
p
|an|
ı
=l´ım
n→∞

n
s
ȷ
10
n
(4
2
)
n·
1
4(n+1)
ff
!
=l´ım
n→∞

n
s
10
n
(4
2
)
n·
n
s
1
4(n+1)
!
=l´ım
n→∞

n
s
10
n
(4
2
)
n
!
·
l´ım
n→∞

n
s
1
4(n+1)
!
1
=
5
8
<1