Criterios Series infinitas

1. Cálculo Integral – ESPOL - ICM

Ing. Roberto Cascante Yarlequé 1
SERIES INFINITAS

DEFINICION 1 (SUMA DE UNA SERIE INFINITA)
Considere que 

1n
na denota una serie infinita dada para la cual 
n
S es la sucesión se sumas parciales. Si n
n
S

lim
existe y es igual a S, entonces la serie es CONVERGENTE y S es la suma de la serie. Caso contrario la
serie es DIVERGENTE.

TEOREMA 1
Si la serie infinita 

1n
na es convergente, entonces 0lim

n
n
a
COROLARIO
Si 0lim

n
n
a , entonces la serie infinita 

1n
na es divergente
TEOREMA 2
Si la serie armónica 

1
1
nn es divergente
TEOREMA 3
Si la serie geométrica 



1
1
n
n
ar converge a la suma r
a
1 si 1r , y diverge si 1r
TEOREMA 4
Sea c cualquier constante diferente de cero:
i) Si la serie infinita 

1n
na es convergente y su suma es S, entonces la serie 

1n
nca también es convergente y
su suma es cS
ii) Si la serie infinita 

1n
na es divergente, entonces la serie 

1n
nca también es divergente
TEOREMA 5
Si 

1n
na y 

1n
nb son series infinitas convergentes cuyas sumas son S y T respectivamente, entonces:
i) 



1
)(
n
nnba es una serie convergente y su suma es S + T
ii) 



1
)(
n
nnba es una serie convergente y su suma es S - T
TEOREMA 6
Si la serie 

1n
na es convergente y la serie 

1n
nb es divergente, entonces la serie 



1
)(
n
nnba es divergente
TEOREMA 7
Si 

1n
na y 

1n
nb son dos series infinitas, que difieren únicamente en sus primeros m términos (es decir, kk
ba
si k > m), entonces las dos series dadas son convergentes o ambas son divergentes.

2. Cálculo Integral – ESPOL - ICM

Ing. Roberto Cascante Yarlequé 2
TEOREMA 8 (CRITERIO DE COMPARACION DE SERIES)
Sea la serie 

1n
na una serie de términos positivos.
i) Si 

1n
nb es una serie de términos positivos que es convergente, y 
 Znba
nn, entonces 

1n
na es
convergente
ii) Si 

1n
nb es una serie de términos positivos que es divergente, y 
 Znba
nn, entonces 

1n
na es
divergente
TEOREMA 9 (CRITERIO DE COMPARACION DE LÍMITES)
Sean 

1n
na y 

1n
nb dos series de términos positivos.
i) Si 0lim 

c
b
a
n
n
n , entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.
ii) Si 0lim

n
n
nb
a y 

1n
nb converge, entonces 

1n
na converge.
iii) Si 

n
n
nb
a
lim y 

1n
nb diverge, entonces 

1n
na diverge.
TEOREMA 10 (CRITERIO DE LA INTEGRAL)
Sea f una función continua, decreciente y de valores positivos para toda 1x . Entonces la serie infinita: 



1
...)(...)3()2()1()(
n
nffffnf

es convergente si la integral 

1
)(dxxf existe. Caso contrario es divergente.
DEFINICION 2 (SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES)
Si 0
n
a para todos los números enteros positivos n, entonces las series 



1
1
n
n
n
a o 




1
1
1
n
n
n
a se
denominan series alternas o alternantes.
TEOREMA 11 (CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNANTES)
Suponga que se tiene la serie alternante 



1
1
n
n
n
a o 




1
1
1
n
n
n
a , donde 0
n
a y 
  Znaa
nn ,
1 . Si 0lim

n
n
a
, entonces la serie alternante es convergente
DEFINICION 3 (SERIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE)
La serie infinita 

1n
na es absolutamente convergente si la serie 

1n
na es convergente
DEFINICION 4 (SERIES CONDICIONALMENTE CONVERGENTE)
Una serie que es convergente, pero no es absolutamente convergente, se denomina condicionalmente
convergente.
TEOREMA 12
Si la serie 

1n
na es convergente, entonces la serie 

1n
na es convergente

3. Cálculo Integral – ESPOL - ICM

Ing. Roberto Cascante Yarlequé 3
TEOREMA 13 (CRITERIO DE LA RAZÓN)
Sea 

1n
na una serie infinita para la cual cada n
a es diferente de cero:
i) Si 1lim
1



L
a
a
n
n
n , entonces la serie es absolutamente convergente.
ii) Si 1lim
1



L
a
a
n
n
n o 


n
n
na
a
1
lim , entonces la serie es divergente.
iii) Si 1lim
1



n
n
na
a , NO se puede concluir acerca de la convergencia a partir de este criterio.
TEOREMA 14 (CRITERIO DE LA RAÍZ)
Sea 

1n
na una serie infinita para la cual cada n
a es diferente de cero:
i) Si 1lim 

La
n
n
n , entonces la serie es absolutamente convergente.
ii) Si 1lim 

La
n
n
n o 

n
n
n
alim , entonces la serie es divergente.
iii) Si 1lim 

n
n
n
a , NO se puede concluir acerca de la convergencia a partir de este criterio.
DEFINICION 5 (SERIES DE POTENCIAS)
Una serie de potencias en )(ax es una serie de la forma: 



0n
n
naxc
TEOREMA 15
Sea 

0n
n
nxc una serie de potencias. Entonces se cumple SÓLO UNA de las siguientes condiciones:
i) La serie converge sólo cuando 0x
ii) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x
iii) Existe un número 0R tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales
que Rx y es divergente para todos los valores de x tales que Rx
TEOREMA 16 (DERIVACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS)
Si 

0n
n
nxc es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es 0R , entonces su derivada 



1
1
n
n
nxnc
también tiene a R como su radio de convergencia.
TEOREMA 16 (INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS)
Si 

0n
n
nxc es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es 0R , entonces su integral 




0
1
1
n
nn
x
n
c
también tiene a R como su radio de convergencia.