Cuatro operaciones

Para seguir practicando

1. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
119

El estudio de las cuatro operaciones
fundamentales vamos a realizarlos en el
campo de los números enteros, pero antes
de comprender el estudio es necesario dar
una idea aunque breve, de lo que es el
sistema numérico de los números enteros.
Sistema de los números enteros:
  .... 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , ......   ¢


I. Adición: Es la operación binaria que se
representa mediante el operador “+”
sumandos
a+ b = S Suma 
1 2 3


II. Sustracción: Es la operación inversa a
la adición y se representa mediante el
operador “–“
Minuendo Sustraendo
M S D diferencia

  


III. Complemento Aritmético (C.A.)
Dado un número entero positivo se define
como complemento aritmético del número
dado a la cantidad de unidades que le falta
para ser igual a una unidad de orden
inmediato superior de su cifra de mayor
orden.

Ejemplo: ( 6 )
C.A. 10 6 4  
()30
C.A. 100 30 70  
( 250 )
C.A. 1000 250 750  

En general: "n " cifras
( abc....yz)
"n " ceros"n" cifras
C.A. 100.....0 abc...xyz
14 2 43
14 2 4314 2 43





Además: (72)C.A (9 7)(10 2) 28   
(1 345)C.A (9 1)(9 3)(9 4)(10 5) 5 4000      (abc)
C.A (9 a)(9 b)(10 c)   


IV. Multiplicación:
Es una operación directa que tiene por
objeto, dadas dos cantidades:
“multiplicando” y “multiplicador”.
Hallar una tercera llamada “producto”.
multiplicando multiplicador producto
M m P
 




V. División: Es la operación inversa a la
multiplicación.
D = Dividendo
d = divisor
q = cociente
r = residuo
De donde: D dq r 

* División Inexacta:

a) Por defecto:

D dq r 

b) Por exceso:

e D d(q r) r   

q=cociente por defecto
q+1=cociente por exceso
r=residuo por defecto e
r
=residuo por exceso
PROPIEDADES:
 er r d divisor  
 residuo maximo= d 1
 residuo minimo= 1


e
D d
r q + 1 D d
r q D d
r q

2. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
120



1 Hallar un número disminuido en 2,
sabiendo que el exceso de él sobre 45 es
lo mismo que 2 345 excede a 2 330

a) 50 b) 93 c) 60
d) 58 e) 54

Resolución:
Conocemos que el minuendo excede al
sustraendo:
Sea el número “x” x 45 2 345 2 330  
x 45 15
x 60

Piden: x 2 60 2    58 Rpta.

2 La suma de tres números consecutivos
es 30. Hallar el producto de ellos

a) 960 b) 860 c) 915
d) 990 e) 930

Resolución:
Sean los números consecutivos: n ; n+ 1 ; n+ 2

La suma: n n 1 n 2 30    
3n 3 30
3n 27 n= 9 

Piden:   n n 1 n 2
9 10 11 990 Rpta.

3 Si al minuendo le sumamos 140 y le
restamos el cuádruplo de la suma del
sustraendo más la diferencia se obtendrá
como resultado el minuendo. Hallar la
diferencia original, si el sustraendo es
mayor posible y la suma de sus cifras es
10.

a) 6 b) 8 c) 10
d) 7 e) 9

Resolución:
Recordando: M S D 
Del enunciado: M
M 140 4( S D ) M   
14 2 43
M140 4M M  
140 4M M= 35 

Como: M S D 28
35 S D


( S=28 ; dato: 2+8=10) 35 28 D
D 7
Rpta.

4 La suma de dos números es 341, su
cociente es 16 y el residuo de la división
es el mayor posible. Determina el divisor.

a) 16 b) 18 c) 20
d) 17 e) 19

Resolución:


D dq (d 1)  

Luego sean los números: a y b a b 341
…… ( I ) a 16b b 1  
a 17b 1
…… ( II )
Reemplazando: ( II ) en ( I ) a b 341
17b 1 b 341  
18 b 342
b 19
Rpta.

5 En una división inexacta el cociente
es 74, el residuo por exceso excede al
residuo por defecto en 107, si el divisor
es 431. Hallar el dividendo y dar como
respuesta la suma de sus cifras.

a) 15 b) 16 c) 20
d) 14 e) 18 m a x
D d
r q d1
D d
q 

3. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
121


Resolución:




e
e
e
r r 107 por enunciado
r r 431 por propiedad
2r 538




e
r 269
De ( II )
eD 341(75) r
D 341(75) 269
D 32 056

Piden: 3 2 0 5 6     16 Rpta.

6 Si: (abcd)C.A (2a)( b / 2)(2c)(4d)
Hallar: a b c d  

a) 10 b) 12 c) 14
d) 15 e) 17

Resolución:
Por propiedad: (abcd)C.A (9 a)(9 b)(9 c)(10 d)    

Por dato: (abcd)C.A (2a)( b / 2)(2c)(4d)

Igualando las expresiones (9 a)(9 b)(9 c)(10 d) (2a)( b / 2)(2c)(4d)    
b
9 a 2a 9 b=
2
a 3 b= 6
  


9 c 2c 10 d= 4d
c 3 d= 2
  


Piden: a b c d  
3 6 3 2     14 Rpta.
MÉTODO DEL ROMBO

Se utiliza cuando en un problema se
presenta a un número de elementos
dividido en dos grupos, cuyos valores
unitarios de sus elementos se conocen
además se proporciona un total resultante
de sumar todos los valores.







 En el vértice “A” se ubica el número
de elementos actuales en el problema.
 En el vértice “B” su ubica la suma
total d los valores unitarios de los
elementos del primer, segundo grupo
respectivamente.
 Se acostumbra ubicar en la parte
superior el mayor valor unitario
A C B

CD




Problema 1
En un corral donde existen conejos y
gallinas se cuentan 60 cabezas y 150
patas. Determinar el número de conejos.

a) 10 b) 20 c) 15
d) 30 e) n.a.

Resolución:






60 4 150
N de gallinas= 45
42



N de Conejos= 60 45
N de Conejos= 15
Rpta.
Problema 2 D 431
r 74 D= 74(431)+ r e
D 341
r 74+ 1 e D= 341(751)+ r A B C D 60 cabezas 150 patas 4 patas (conejos) 2 patas (gallinas)   

4. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
122
Un alumno después de ir a casar entre
conejos y palomas regresó a su casa con
94 patas y 29 cabezas. ¿Cuántos conejos
caso?

a) 16 b) 20 c) 31
d) 18 e) 21

Resolución:







29 4 94
N palomas 11
42

  

N conejos 29 11 18   
N conejos 29 11    18
Rpta.

Problema 3
Una suma de 220 soles se compone en 56
monedas de 5 soles y 2 soles. Hállese el
número de monedas de 5 soles.

a) 31 b) 37 c) 36
d) 38 e) 40

Resolución:







56 5 220
monedas de S /.2 20
52



monedas de S/.5 56 20
monedas de S/.5 36
Rpta.

Problema 4
Elías pone 12 problemas a Gian Carlo
con la condición de que por cada
problema que resuelva recibirá 1 000
soles y por cada problema que no
resuelva perderá 600 soles después de
trabajar con los 12 problemas recibirá 7
200 soles. ¿Cuantos problemas no
resolvió?

a) 4 b) 9 c) 12
d) 5 e) 10

Resolución:






* Problemas no resueltos 12 1000 7 200 4 800
3
1 000 ( 600) 1 000




* Problemas resueltos 12 3 9
Rpta.

MÉTODO DEL RECTÁNGULO

Se reconocen estos tipos de problemas
porque tienen siempre los enunciados (o
sus variantes) “había” “falta” “aumenta”
“disminuye”

Problema 1
Si pago 7 000 soles a cada uno de mis
empleados me faltan 4 000 soles, pero si
les pago 5 500 soles me sobran 5 600
soles. ¿Cuántos empleados tengo?

a) 39 b) 40 c) 50
d) 60 e) 80

Resolución:



29 cabezas 94 patas 4 patas (conejos) 2 patas (palomas)    56 monedas 220 soles monedas de S/. 5 monedas de S/. 2    12 problemas S/. 7 200 recibe S/. 1 000 pierde S/. 600    7 000 4 000 5 600 5 500  

5. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
123
Número de empleados 4 000+ 5 600
7 000 5 500

 40
Rpta.

Problema 2
Para comprar 16 televisores me faltan
“2n” soles, pero si compro 10 me sobran
“n” soles. ¿Cuántos soles tengo?

a) 4n b) 8n c) 5n
d) 6n e) 2n

Resolución:





Precio unitario del televisor 2n n n
16 10 2




Para conocer cuanto tengo 16 x tengo 2n
 16 precio unitario tengo 2n
n
16 2n tengo
2



tengo 6n
Rpta.

MÉTODO DEL CANGREJO

Este método de solución es bastante
práctico y veloz consiste en hallar una
incógnita conociendo las operaciones
directas y el resultado final tenemos que
hallar las operaciones inversas y en forma
regresiva hallaremos la respuesta.

Problema 1
A un número se le multiplica por 2, al
resultado se le suma 10, enseguida
dividimos entre 5 la suma y finalmente se
le resta 6 para obtener como resultado
20. Hallar el número original.

a) 50 b) 70 c) 90
d) 60 e) 80
Resolución:
* Sea la incógnita “x” luego:  x 2 10 5 6 20    


* Operación inversa   20 6 5 10 2 60    

60
Rpta.

Problema 2
Un recipiente de agua está lleno, al
abrirse el caño cada hora desagua la
mitad de su contenido más 30 litros.
Hallar la capacidad del recipiente si al
cabo de 3 horas se desagua.

a) 420 litros b) 280 litros
c) 385 litros d) 350 litros
e) 360 litros

Resolución:
En cada hora, el recipiente pierde la mitad
( 2) de su contenido más 30 litros (-30).
Aplicaremos el método del cangrejo,
partiendo de la tercera hora donde quedó
“O” litros y a partir de ahí hagamos las
operaciones inversas hasta llegar con la
primera hora.
 En la tercera hora:
(–30)  0 + 30 = 30
( 2)  30 x 2 = 60
 En la segunda hora:
(–30)  60 + 30 = 90
( 2)  90 x 2 = 180
 En la primera hora:
(–30)  180 + 30 = 210
( 2)  210 x 2 = 420
16 faltan "2n" sobra "n" 10   Capacidad inicial

6. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
124

REGLA DE LA CONJUNTA


También se denomina como el método de
las equivalencias, se resuelve aplicando
las relaciones que existen entre diferentes
especies, entre éstos:
 Con los datos pongamos una serie de
equivalencia.
 Se debe procurar que el primer
elemento y el último deben ser
siempre de la misma especie.
 Las cantidades deben colocarse en
forma alternada.
 Se multiplica miembro a miembro las
igualdades.

Problema 1
Con tres desarmadores se obtiene un
alicate, con tres alicates un martillo.
¿Cuántos martillos se obtendrán con 117
desarmadores?

a) 13 b) 12 c) 7
d) 8 e) 10

Resolución:
Aplicando la conjunta, se tendrá:
“x” martillos < > 117 desarmadores
3 desarmadores < > 1 alicate
3 alicates < > 1 martillo
Multiplicando miembro a miembro:
(x) (3) (3) = 117(1) (1)
9x = 117
x = 13 Rpta.
Con 117 desarmadores se obtendrán 13
martillos.




























1 Un número se tiene que multiplicar
por 60 pero se olvida de colocar el cero,
obteniendo un resultado que se
diferencia del verdadero en 216. Hallar
dicho número
a) 10 b) 5 c) 4
d) 8 e) 6

2 La suma de dos números es 84 los
cocientes de estos números con un
tercero son 4 y 6; teniendo como residuo
1 y 3 respectivamente. Hallar la
diferencia positiva de estos números.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20

3 La suma de los términos de una
división es 953, el cociente y el residuo
son 21 y 15 respectivamente. Hallar el
dividendo

7. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
125
a) 768 b) 876 c) 321
d) 829 e) 326

4 En una división inexacta, el cociente
es 342, el residuo por defecto es 124 y el
residuo por exceso es 201. Hallar la
suma de cifras del dividendo.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19

5 Si:
(ab)
a
C.A. 4b
2


 .
Hallar: 
2
ab

a) 49 b) 64 c) 81
d) 100 e) 121

6 El residuo por exceso de una
división es 793, si el residuo por defecto
es la tercera parte del residuo máximo.
Hallar el residuo por defecto.
a) 693 b) 936 c) 396
d) 639 e) 120

7 En una división se cumple que el
residuo por exceso es igual al cociente
por defecto y el residuo por defecto es
igual al cociente por exceso. Si el divisor
es 213. calcular el dividendo.
a) 22 385 b) 22 485 c) 22 585
d) 22 285 e) 22 685

8 Al dividir dos números entre 15 se
obtiene 13 y 9 como residuos. ¿Cuál es
el residuo de la división entre 15 de la
suma de los números?
a) 4 b) 22 c) 7
d) 23 e) 31

9 En una división inexacta al residuo
le falta 35 unidades para ser máximo y le
sobra 29 unidades para ser mínimo.
¿Cuál es el valor del dividendo si el
cociente es 23?
a) 1 495 b) 1 501 c) 1 524
d) 1 548 e) 1 518

10 En una división al residuo por
exceso le falta 12 unidades para ser igual
al residuo por defecto, a este le falta 21
unidades para ser igual al divisor y a este
le falta 15 unidades para ser igual al
cociente.¿Cuanto le falta al cociente para
ser igual al dividendo?
a) 3 690 b) 3 700 c) 3 710
d) 3 579 e) 3 789

11 Hallar el cociente que se obtiene al
dividir el C.A de un número de la forma abc
entre abc , si se sabe que el residuo
obtenido es máxima.
a) 3 b) 6 c) 8
d) 5 e) 12
12 ¿Cuál es el numeral de tres cifras
que restando de su complemento
aritmético se obtiene 486?
a) 245 b) 239 c) 257
d) 124 e) 139

13 La suma de tres números
consecutivos es 30 más que el doble del
número que es mayor que el menor, pero
menor que el mayor entonces el mayor
de ellos es:
a) 29 b) 30 c) 31
d) 32 e) 45

14 Encontrar el mayor número de 3
cifras tal que la suma de las cifras de su
C.A. sea 12. Dar como respuesta la cifra
central.
a) 3 b) 6 c) 7
d) 2 e) 9

15 Si:  b a 3 Hallar “b” si:

8. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco
126 (b)(b)
.a C.A. b C.A. 2 368    
   

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7

16 Hallar: abc cba
Si: bca
C.A. x74
a) 396 b) 398 c) 391
d) 296 e) 496

17 Si el numeral abc , cumple que abc cba md3
y además se sabe que
la cifra de las decenas es igual a la suma
de las otras dos cifras. Hallar: 2 2 2
a b c

a) 220 b) 150 c) 200
d) 146 e) 180

18 Cual es el numeral cuyas 3 cifras
suman 24 y que al invertir el orden de
sus cifras disminuyen en  xy x 7
a) 987 b) 789 c) 989
d) 798 e) 879

19 A un número entero al agregarle
un cero a la derecha aumenta en 8991
unidades. ¿Cuál es el número y dar
como respuesta la suma de sus cifras?
a) 18 b) 27 c) 24
d) 29 e) 36

20 Si (8) (8) (8)
abc cba mn(m 1)  
Hallar: m+n+p
a) 10 b) 17 c) 24
d) 20 e) n.a.



1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
c c b b b c e c d
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
a d c c b d a d a
19. 20.
b d