Cuerpos geométricos

Guía con los diferentes cuerpos geométricos. Su definición y fórmulas. Contiene las imágenes didácticas de cada uno de los elementos

1. Cuerpos geométricos

1








Cuerpos
Geométricos

2. Cuerpos geométricos

2
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Asesor:
Ing. Jair Ospino Ardila
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Sobre la licencia
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3. Cuerpos geométricos

3
Contenido

Cuerpos geométricos ................................................................................................................. 6
Poliedro .......................................................................................................................................... 7
Poliedro regular .......................................................................................................................... 7
Tetraedro ............................................................................................................................. 7
Cubo (hexaedro regular) ................................................................................................. 8
Octaedro............................................................................................................................... 8
Dodecaedro .......................................................................................................................... 9
Icosaedro ............................................................................................................................. 9
Poliedro irregular ..................................................................................................................... 10
Prisma .................................................................................................................................. 10
1 - Prisma según el Número de lados de la base .................................................... 11
2 – Prisma Regular o irregular ..................................................................................... 12
3 - Prisma Recto u oblicuo ............................................................................................ 12
4 - Prisma Convexo o cóncavo: .................................................................................... 12
Área del prisma .................................................................................................................... 13
Área del prisma triangular regular ................................................................................ 13
Área del prisma triangular irregular............................................................................. 13
Área del prisma triangular oblicuo ................................................................................ 15
Volumen del prisma .............................................................................................................. 15
Pirámide .............................................................................................................................. 16
Tipos de pirámide................................................................................................................. 17
1 – Pirámide según el Número de lados de la base ............................................... 17
2 - Pirámide Regular o irregular ................................................................................. 18
3 - Pirámide Recta u oblicua ........................................................................................ 18
4 - Pirámide Convexa o cóncava .................................................................................. 19
Área de la pirámide ............................................................................................................. 19

4. Cuerpos geométricos

4
Área de la pirámide regular .............................................................................................20
Volumen de la pirámide ......................................................................................................20
Volumen de la pirámide según los lados de la base ..................................................20
Volumen de la pirámide triangular .................................................................................20
Volumen de la pirámide cuadrangular ...........................................................................22
Volumen de la pirámide pentagonal ................................................................................23
Volumen de la pirámide hexagonal .................................................................................24
Superficies de revolución......................................................................................................25
Esfera ..................................................................................................................................25
Elementos de una esfera ...................................................................................................25
Área de la esfera .................................................................................................................26
Volumen de la esfera ..........................................................................................................26
Particiones de la esfera ....................................................................................................27
Cilindro ................................................................................................................................33
Superficie cilíndrica de revolución ................................................................................33
Elementos del cilindro ........................................................................................................34
Tipos de cilindros .................................................................................................................35
Área del cilindro ...................................................................................................................37
Volumen del cilindro ............................................................................................................38
Cono ...................................................................................................................................... 41
Superficie cónica de revolución ...................................................................................... 41
Elementos del cono ..............................................................................................................42
Área del cono.........................................................................................................................43
Tipos de cono .........................................................................................................................44
Volumen del cono ..................................................................................................................45
Tronco de cono .................................................................................................................47
Área del tronco de cono ....................................................................................................47
Volumen del tronco de cono .............................................................................................50

5. Cuerpos geométricos

5
Toro ...................................................................................................................................... 51
Área del toro ......................................................................................................................... 51
Volumen del toro ..................................................................................................................52
Referencias ................................................................................................................................53

6. Cuerpos geométricos

6
Cuerpos geométricos
Son figuras tridimensionales con anchura, altura y profundidad

7. Cuerpos geométricos

7
Poliedro
Es un cuerpo geométrico de tres dimensiones cuyas caras son polígonos.
Las partes fundamentales de un poliedro son:
 Caras: son los polígonos que lo delimitan.
 Aristas: lados en los que concurren dos polígonos.
 Vértices: puntos de unión de varias aristas.



Poliedro regular
Es aquel que sus caras son polígonos regulares y son todas iguales. Las aristas
también son todas iguales.
Éstos son los únicos cuerpos geométricos regulares. Existen sólo cinco tipos de
poliedros regulares:
Tetraedro


Un tetraedro es un poliedro cuya
superficie está formada por cuatro
triángulos equiláteros iguales.

Área: ??????=�
2
√3

Volumen: ??????=
√2
12
�
3

8. Cuerpos geométricos

8
Cubo (hexaedro regular)


Según el Teorema de Euler para poliedros,
el hexaedro regular tiene seis caras, doce
aristas y ocho vértices.

El cubo es un poliedro regular
compuesto por seis cuadrados
iguales.

Área: ??????=6 �
2


Área: ??????=6 (
????????????�??????���??????
√3
)
2


Volumen: ??????=�
3

Octaedro


Según el Teorema de Euler para poliedros, el
octaedro tiene ocho caras, doce aristas y
seis vértices.

El octaedro (u octoedro) es un
poliedro formado por ocho caras. Si
éstas son triángulos equiláteros
iguales, se trata de un octaedro
regular, uno de los cinco sólidos
perfectos (o sólidos platónicos).


Área: ??????=2 �
2
√3

Volumen: ??????=
1
3
�
3
√2

Diagonal: a √2

9. Cuerpos geométricos

9
Dodecaedro


Según el Teorema de Euler para poliedros,
el dodecaedro regular tiene doce caras,
treinta aristas y veinte vértices.

El dodecaedro es un poliedro
regular formado por doce
pentágonos regulares iguales.
Es uno de los cinco sólidos
platónicos.


Área: ??????=3 �
2
√25+10√5

Volumen: ??????=
1
4
�
3
(15+7√5)

Icosaedro


Según el Teorema de Euler para poliedros,
el icosaedro tiene veinte caras, treinta
aristas y doce vértices
El icosaedro es un poliedro
formado por veinte caras. Si éstas
son triángulos equiláteros iguales,
se trata de un icosaedro regular,
uno de los cinco sólidos perfectos
(o sólidos platónicos).


Área: ??????=5 �
2
√3

Volumen: ??????=
5
12
�
3
(3+√5)

10. Cuerpos geométricos

10
Poliedro irregular
Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no todos
iguales.
Prisma

Un prisma es un poliedro cuya
superficie está formada por dos
caras iguales y paralelas llamadas
bases y por caras laterales
(tantas como lados tienen las
bases) que son paralelogramos.

Todas las secciones del prisma
paralelas a las bases son iguales.



En un prisma se pueden diferenciar los siguientes elementos:

 Bases (B): polígonos cualquiera. Cada prisma tiene dos bases, siendo
ambas iguales y paralelas.
 Caras (C): los paralelogramos de los laterales y las bases.
 Altura (h): distancia entre las dos bases del prisma. En el caso
del prisma recto la longitud de la altura h y la de las aristas de las caras
laterales coinciden.
 Vértices (V): puntos donde confluyen las caras del prisma.
 Aristas (A): cada uno de los lados de las caras.

Por el teorema de Euler, se puede saber el número de aristas (A) sabiendo el
número de caras (C) y de vértices (V).

11. Cuerpos geométricos

11
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo a cuatro criterios:
1 - Prisma según el Número de lados de la base

Los prismas se pueden clasificar según el número de lados que tienen
sus bases:
 Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados).


Por el teorema de Euler, se
puede saber el número de aristas
(A) sabiendo el número de caras
(C) y de vértices (V)
En un prisma triangular se pueden diferenciar
los siguientes elementos:

 Bases (B): son dos triángulos paralelos e
iguales.
 Caras (C): los tres paralelogramos de las
caras laterales y las dos bases. Tiene cinco
caras.
 Altura (h): distancia entre las dos bases
del prisma. En el caso del prisma recto la
longitud de la altura h y la de las aristas
de las caras laterales coinciden.
 Vértices (V): puntos donde confluyen tres
caras del prisma. Tiene seis.
 Aristas (A): segmentos donde se
encuentran dos caras del prisma.

 Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).
 Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).
 Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados).

12. Cuerpos geométricos

12
2 – Prisma Regular o irregular

 Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.
 Prisma irregular: los prismas son irregulares si tienen polígonos
irregulares en su base.
3 - Prisma Recto u oblicuo

 Prisma recto: si los ejes de los polígonos de las bases son
perpendiculares a las bases. Las caras laterales
son cuadrados o rectángulos.
 Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de los polígonos de las bases se unen
por una recta oblicua a las bases mismas.
4 - Prisma Convexo o cóncavo:

13. Cuerpos geométricos

13
 Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos
convexos.
 Prisma cóncavo: el prisma cóncavo tiene como bases dos polígonos
cóncavos iguales.

Área del prisma
Área del prisma triangular regular (El prisma triangular regular es aquel que tiene
como bases dos triángulos equiláteros. Sus caras laterales son rectángulos iguales.)

??????=??????(??????
√3
2
+3ℎ)


Área del prisma triangular irregular (El prisma triangular irregular tiene como
bases dos triángulos que no son equiláteros)

En los tres casos será necesario calcular el área del triángulo de una base (Ab),
el perímetro de la misma (Pb) y la altura (h) del prisma. La fórmula de
su área es:
??????=2 ??????
�+ ??????
�∙ℎ
Se pueden dar tres casos:
 Las bases son triángulos isósceles.

El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y
la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. El área es el producto de la base
y la altura dividido por dos, siendo su fórmula es:

14. Cuerpos geométricos

14

ℎ=
√
�
2
−
�
2
4


??????=
�∙ℎ
2


 Las bases son triángulos escalenos.

El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se
conocen todos sus lados (a, b y c).




También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho
lado.


??????=
�∙ℎ
2


 Las bases son triángulos rectángulos.

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con
uno de sus lados (a).

15. Cuerpos geométricos

15



La altura h puede obtenerse
conociendo los tres lados del triángulo
rectángulo.

ℎ=
�∙�
�


Su área es la mitad del producto de los
dos lados que forman el ángulo recto
(catetos a y b).

??????=
� ∙ �
2


Siendo b la base y a, el lado que
coincide con la altura

Área del prisma triangular oblicuo (Las áreas de las bases se calculan de la misma
forma, pero el área de los laterales se calcula mediante una arista lateral y el perímetro
de la sección recta del prisma. La sección recta es la intersección de un plano con
el prisma, de manera que forme un ángulo de 90º con cada una de las aristas laterales.)


Á????????????�=2 ??????
�+ � ∙ ??????
��


Siendo Ab el área de la base, Psr el
perímetro de la sección recta y a una
arista lateral


Volumen del prisma
El volumen del prisma es el producto del área de la base (Ab) por la altura del
prisma (h). En un prisma recto la altura coincide con una altura lateral,
mientras que en un prisma oblicuo no.

16. Cuerpos geométricos

16

??????= ??????
�∗h

Pirámide

Una pirámide es un poliedro cuya
superficie está formada por una base
que es un polígono cualquiera y caras
laterales triangulares que confluyen en
un vértice que se denomina ápice (o
vértice de la pirámide). Las pirámides
tienen tantos triángulos en las caras
laterales como lados tiene la base.

En una pirámide se pueden diferenciar los siguientes elementos:
 Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la
pirámide.
 Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.
 Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide.
Podemos distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o
ápice) y aristas básicas, que están en la base.

17. Cuerpos geométricos

17
 Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
 Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales
triangulares. También se llama ápice.
 Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base.
Solo existe en las pirámides regulares. Puesto que en este caso las caras
laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de
las caras laterales.
 Apotema de la base (apb): distancia de un lado de la base al centro de
ésta. Solo existe en las pirámides regulares.
La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo
existe en las pirámides regulares.

En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y
la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema
de Pitágoras, conociendo la altura (h) y la apotema de la base (apb) podemos
calcular la apotema:

Siendo h la altura apb la apotema de la base y ap la apotema de la pirámide

Tipos de pirámide
Las pirámides se pueden clasificar mediante cuatro criterios:
1 – Pirámide según el Número de lados de la base
Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados que tiene su base:
 Pirámide triangular: la base es un triángulo (3 lados).
 Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero (4 lados).
 Pirámide pentagonal: la base es un pentágono (5 lados).
 Pirámide hexagonal: la base es un hexágono (6 lados).
 Etcétera

18. Cuerpos geométricos

18


2 - Pirámide Regular o irregular
Pirámide regular: una pirámide es regular si la base es un polígono regular y a
su vez es una pirámide recta. Las caras laterales son triángulos isósceles e
iguales entre sí.
Pirámide irregular: cuando la base es un polígono irregular o bien es
una pirámide oblicua.


3 - Pirámide Recta u oblicua
Pirámide recta: la pirámide es recta cuando todas sus caras laterales
son triángulos isósceles. En este caso, la recta perpendicular a la base que pasa
por el vértice de la pirámide corta a la base por el centro del polígono.
Pirámide oblicua: la pirámide es oblicua cuando no todos los triángulos laterales
son isósceles.

19. Cuerpos geométricos

19

4 - Pirámide Convexa o cóncava
Pirámide convexa: la pirámide es convexa si la base es un polígono convexo.
Pirámide cóncava: la pirámide es cóncava si el polígono de la base es cóncavo.

Área de la pirámide



Á????????????�=??????
�+??????
??????

Siendo ??????
� el área de la base y ??????
?????? el
área de las caras laterales

El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el
área de los triángulos de las caras laterales (Al).
El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.
El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las
caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.

20. Cuerpos geométricos

20
Área de la pirámide regular
La pirámide regular es aquella que tiene un polígono regular como base y
es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.




Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide es un tercio del área de la base de la pirámide (Ab) y
su altura (h).




??????=
1
3
??????
�∙ℎ

Volumen de la pirámide según los lados de la base
Volumen de la pirámide triangular
Volumen de una pirámide triangular regular

21. Cuerpos geométricos

21
El volumen de la pirámide triangular regular es el producto del área de la base
(Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base es
el área de un triángulo equilátero. Por lo tanto, su fórmula es:



Volumen de la pirámide triangular irregular
La pirámide triangular irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.



??????=
1
3
??????
�∙ℎ

El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.

22. Cuerpos geométricos

22
Volumen de la pirámide cuadrangular
Volumen de una pirámide cuadrangular regular
El volumen de la pirámide cuadrangular regular es el producto del área de la
base (Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base
es el área del cuadrado. Por lo tanto, su fórmula es:



Volumen de la pirámide cuadrangular irregular
La pirámide cuadrangular irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.





??????=
1
3
??????
�∙ℎ

23. Cuerpos geométricos

23
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
Volumen de la pirámide pentagonal
Volumen de una pirámide pentagonal regular
El volumen de la pirámide pentagonal regular es el producto del área de la base
(Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base es
el área del pentágono regular. Por lo tanto, su fórmula es:



Volumen de una pirámide pentagonal irregular
La pirámide pentagonal irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.




??????=
1
3
??????
�∙ℎ

24. Cuerpos geométricos

24
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
Volumen de la pirámide hexagonal
Volumen de la pirámide hexagonal regular
El volumen de una pirámide hexagonal regular es el producto del área de la
base (Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base
es el área del hexágono regular. Por lo tanto, su fórmula es:



Volumen de la pirámide hexagonal irregular
La pirámide hexagonal irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.





??????=
1
3
??????
�∙ℎ

25. Cuerpos geométricos

25
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.

Superficies de revolución
Las superficies de revolución (o cuerpos redondos) son las figuras geométricas
generadas por el giro de una figura del plano alrededor de un eje.

Esfera

La esfera (o superficie esférica) es
el sólido de revolución generado por
un semicírculo al girar sobre su
diámetro.

O lo que es lo mismo, es el conjunto
de puntos del espacio tridimensional
que equidistan de un punto definido
como el centro de la esfera.


Elementos de una esfera

26. Cuerpos geométricos

26
Los elementos de una esfera son los siguientes:
 Centro: es el punto del que equidistan todos los puntos de la superficie
de la esfera (O).
 Radio: distancia desde el centro a cualquiera de sus puntos (r).
 Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la superficie
esférica.
 Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la esfera (D). Su
longitud es dos veces el radio.
 Eje: línea sobre la que gira el semicírculo generador (o sobre la que gira
la semicircunferencia generadora, desde el punto de vista de la
superficie esférica).
 Polos: Los dos puntos en que el eje pasa por la superficie esférica
(P1 y P2).
 Meridianos: circunferencias en la superficie esférica resultantes del
corte de cualquier plano que pase por el eje. De otra manera, planos que
pasan por los dos polos.
 Paralelos: circunferencias resultantes en la superficie esférica del corte
de los planos perpendiculares al eje.
 Ecuador: el paralelo de máxima longitud. Corta al eje en el centro.

Área de la esfera
El área de la esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de
revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la
siguiente fórmula:

Volumen de la esfera

El volumen de la esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:

27. Cuerpos geométricos

27

Particiones de la esfera
Casquete esférico de una base
Los casquetes esféricos son las dos partes de la superficie de la esfera
resultantes de su intersección con un plano son casquetes esféricos. Si el plano
no pasa por el centro se generará un casquete mayor y uno menor.
El círculo resultante, de radio a, de la intersección del plano con la esfera sería
la base del casquete esférico.
El sólido, parte de la esfera comprendida dentro de un casquete esférico, se
denomina segmento esférico.

Sea h la altura del casquete. El área del casquete esférico es:
Áreac1b = 2πrh = π (a2 + h2)
El radio de la base del casquete esférico a, la altura del casquete h y el
radio r de la esfera a la que pertenecen, se relacionan con esta fórmula que se
obtiene del teorema de Pitágoras:

28. Cuerpos geométricos

28

Casquete esférico de dos bases o zona esférica
El casquete esférico de dos bases (o zona esférica) es la superficie de una
esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. Se denomina de
las dos formas: o casquete esférico de dos bases o zona esférica.
El área de la zona esférica (donde no se incluyen las tapas circulares, o bases,
superior e inferior) es:
Áreac2b = 2πrh1
Segmento esférico de una base
El segmento esférico de una base es el cuerpo sólido comprendido entre un
casquete esférico y su base.
El volumen de un segmento esférico de una base viene determinado por la
fórmula:

Segmento esférico
Es el cuerpo sólido formado por la parte de la esfera comprendida entre dos
planos paralelos que la cortan. O, también, es la parte de la esfera encerrada
entre un casquete esférico de dos bases (o zona esférica) y esas dos bases.
Área del segmento esférico
Aquí, aparte del área de la zona esférica se incluyen las áreas de las dos bases:

Volumen del segmento esférico:

29. Cuerpos geométricos

29
Semiesfera o hemisferio
La semiesfera (o hemisferio) es cuando un plano pasa por el centro de una
esfera y la divide en dos partes iguales.
Sector esférico
El sector esférico es la parte de la esfera que se genera al girar un sector
circular alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.
Consideraremos dos casos:
El eje de rotación coincide con un radio exterior del sector circular. El sector
esférico resultante está formado por la superficie lateral de un cono link recto
con vértice en el centro de la esfera y cerrada por un casquete esférico del
mismo radio que el de la base del cono.

El eje de rotación pasa por el vértice O, pero no pasa por dentro del sector
circular. Al igual que en el caso anterior, llamamos h a la proyección de la línea
curva del sector circular sobre el eje de rotación.

30. Cuerpos geométricos

30
Volumen del sector esférico
Tanto en el primer como en el segundo caso, la fórmula del volumen del sector
esférico es la misma:

Huso esférico
El huso esférico es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos
planos que se cortan en un eje de la misma.

Área del huso esférico
El área del huso esférico, si el ángulo que forman los dos planos es α, es:

31. Cuerpos geométricos

31
Cuña esférica
La cuña esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que se
cortan en un eje de la misma y su huso esférico correspondiente.

Volumen de la cuña esférica
El volumen de la cuña esférica viene determinado por la siguiente fórmula:

Corona esférica
La corona esférica es el sólido de revolución generado por media corona
circular, al girar 360° sobre el diámetro exterior. O bien, es el sólido
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios r1 y r2. Se ha de
cumplir que: r1 > r2.

32. Cuerpos geométricos

32

Volumen de la corona esférica
El volumen de la corona esférica será la diferencia de los volúmenes de la
exterior menos el de la interior:

33. Cuerpos geométricos

33
Cilindro
Superficie cilíndrica de revolución
Una superficie cilíndrica de revolución se engendra cuando una recta,
llamada generatriz, gira paralelamente alrededor de otra recta fija llamada eje
de rotación, contenida en el mismo plano. La generatriz recorre una curva plana
perpendicular al eje llamada directriz. Si la directriz es una circunferencia con
centro en el eje, se forma una superficie cilíndrica circular.

Cilindro, un sólido
El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando un segmento
llamado generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El
eje y la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas.
O, también, un cilindro recto de revolución es la figura descrita al girar
un rectángulo sobre uno de sus lados.

34. Cuerpos geométricos

34
Si la superficie cilíndrica se delimita entre dos planos paralelos, se genera un
sólido llamado cilindro. Cuando los planos de corte no son paralelos, el sólido se
llama tronco de cilindro.

Elementos del cilindro
Los elementos de un cilindro son los siguientes:
 Bases: superficies planas, iguales y paralelas. En el caso del cilindro
recto de revolución son círculos. En el caso del cilindro oblicuo,
son elipses, si la superficie lateral es una superficie lateral de
revolución. Si en un cilindro oblicuo, sus bases son círculos, su sección
recta será una elipse.
 Superficie lateral: cara lateral curva. Si el cilindro es recto, su
desarrollo es un rectángulo.
 Eje: eje de rotación perteneciente al mismo plano que la generatriz. En
un cilindro recto de revolución, coincide con uno de los lados
del rectángulo que lo genera.

35. Cuerpos geométricos

35
 Sección recta: superficie que se forma al cortar un plano al cilindro
perpendicularmente a su eje.
 Radio: en un cilindro circular recto, es el radio de sus bases.
 Altura: distancia mínima entre los planos de las dos bases.
 Superficie generatriz (Sg): en el cilindro recto de revolución, es
el rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus lados, que
es el eje de rotación y también la altura del cilindro. El lado paralelo
opuesto es la generatriz (g) de la superficie cilíndrica de revolución. Los
otros dos lados del rectángulo son los radios de las dos bases.

Tipos de cilindros
Según el ángulo que formen el eje y las bases, los cilindros son:
Cilindro recto: El eje de rotación es perpendicular a las bases. Si las bases
son círculos, es un cilindro recto circular. El cilindro recto circular también
puede definirse como el sólido de revolución que se forma cuando
un rectángulo (superficie generatriz Sg) gira 360° sobre uno de sus lados
coincidente con el eje de rotación.

36. Cuerpos geométricos

36

Cilindro oblicuo de base elíptica: El ángulo entre el eje y las bases no es un
ángulo recto. La superficie lateral es una superficie cilíndrica de revolución, la
sección recta (perpendicular) al eje es un círculo y las bases son elipses.
Cilindro oblicuo de base circular: El ángulo entre el eje y las bases no es un
ángulo recto. La sección recta (perpendicular) al eje es una elipse y las bases
son círculos. En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se
denomina superficie cilíndrica de no revolución en la que no existe un eje que
equidiste de las posiciones de la generatriz.

37. Cuerpos geométricos

37
Área del cilindro

El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área
lateral (AL) con las áreas de las dos bases (AB).

En particular, el área de un cilindro circular es:

¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Para hallar el área lateral, aplicamos el primer teorema de Pappus-Guldin. El
centroide de la recta generatriz g se encuentra a una distancia r del eje, es
decir el radio de las bases. La longitud de la recta generatriz Lg es igual a la
altura del cilindro (g = h).

Las áreas de las bases (AB) son π · r2 cada una.
Hallaremos el área total del cilindro recto de revolución sumando:

38. Cuerpos geométricos

38

Volumen del cilindro





En el caso del cilindro oblicuo de sección recta circular (la base es elíptica), la
fórmula de su volumen será:

Y en el caso del cilindro oblicuo de base circular (en la que su sección recta
será una elipse):

Tronco de cilindro (o cilindro truncado)
El tronco de cilindro (o cilindro truncado) es el sólido limitado por una cara
lateral cilíndrica y dos bases planas no paralelas.

39. Cuerpos geométricos

39
Expondremos el cilindro truncado recto y el cilindro truncado oblicuo. En
ambos casos, su cara lateral es una superficie de revolución cilíndrica. Es decir,
con sección recta circular.
Tronco de cilindro recto

En el tronco de cilindro recto (o cilindro truncado recto), el eje es
perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral fuese una superficie
cilíndrica circular, la base inferior sería un círculo. La base superior, elíptica
El área lateral (AL) es:

Siendo E el eje, una línea que une los centros de las bases. El eje es la media
entre la generatriz mayor, gM y la generatriz menor, gm, es decir, (gM + gm) /
2.

El área total es:

40. Cuerpos geométricos

40

siendo ABS el área de la base superior y ABI el área de la base inferior.
Tronco de cilindro oblicuo

En el tronco de cilindro oblicuo (o cilindro truncado oblicuo), el eje no es
perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral es una superficie
cilíndrica circular, la sección recta es circular. Las bases son en este caso son
siempre elípticas.
Tanto en el cono truncado recto como en el tronco de cono oblicuo, tenemos los
siguientes elementos:
gM es la generatriz mayor.
gm es la generatriz menor.
E es el eje o distancia entre los centros de las bases y se cumple que E =
1/2(gM + gm ).
El área del cilindro truncado oblicuo o tronco de cilindro es:

41. Cuerpos geométricos

41
Siendo AL el área del lateral, ABS el área de la base superior y ABI el área de
la base inferior.
El volumen del tronco de cilindro (o cilindro truncado) viene definido por la
fórmula siguiente:

donde r es el radio de la sección recta circular.

Cono
Superficie cónica de revolución
Una superficie cónica de revolución se engendra cuando, a partir de dos rectas
que se cortan, una de ellas gira alrededor de la otra que permanece fija. La
recta que gira es la generatriz de la superficie cónica y la fija es su eje.
El ángulo que forman la generatriz, en todas sus posiciones, y el eje es
constante.

Cono, un sólido

42. Cuerpos geométricos

42
Si cortamos una superficie cónica con un plano tenemos un cono. Si el plano es
perpendicular al eje, tenemos un cono recto.
El cono recto (o cono de revolución, o cono circular recto) es el sólido de
revolución formado al hacer girar un triángulo rectángulo (superficie
generatriz Sg) alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base
al círculo inferior del cono y g a la hipotenusa que confluye en el vértice.
Elementos del cono

Los elementos del cono son:
 Base (B): es la cara plana inferior del cono, que, en el caso del cono
circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del
triángulo generador.
 Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
 Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices.
 Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la
superficie cónica de revolución.
 Superficie generatriz (Sg): en el cono recto de revolución, es el
triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus
catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El
otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).

43. Cuerpos geométricos

43
Área del cono


El área de la base del cono es y la de la superficie lateral.

44. Cuerpos geométricos

44

Por lo tanto, la fórmula del área total del cono de revolución será:

Tipos de cono
Los conos pueden ser:
Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie
cónica de revolución.

Cono oblicuo de base elíptica: La altura no pasa por el centro de la base y por el
vértice. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección
recta es un círculo.
Cono oblicuo de base circular: La altura no pasa por el centro de la base y por
el vértice. La sección recta, perpendicular a la recta que une el vértice con el
centro de la base, recta al eje es una elipse.
En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se
denomina superficie cónica de no revolución en la que no existe una recta que
tenga un ángulo constante con las posiciones de la generatriz.

45. Cuerpos geométricos

45

Volumen del cono
La fórmula general del volumen del cono es:

Que es la misma fórmula que la del volumen de la pirámide.

En el caso del cono de base circular, tanto recto como oblicuo, su volumen será:

46. Cuerpos geométricos

46


En cambio, si el cono es oblicuo de base elíptica, para hallar su volumen,
procederemos de la siguiente manera.
Como la base es una elipse, para calcularla usaremos la fórmula del área de la
elipse, siendo .
Luego el volumen del cono oblicuo de base elíptica será:

47. Cuerpos geométricos

47
Tronco de cono
El tronco de cono recto (o cono truncado recto) es una superficie de revolución
generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus
bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base
y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.

Área del tronco de cono

La fórmula del área del tronco de cono es:

48. Cuerpos geométricos

48

¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Su área es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral. La
cara lateral, desarrollada en el plano, como se ve en la figura de abajo, es
un trapecio circular.

El área de las dos bases es:

49. Cuerpos geométricos

49
Por otro lado, el área lateral se calcula con una fórmula que recuerda la
del área del trapecio (semisuma de las bases por la altura), sustituyendo en
este caso la altura por la generatriz:

Así pues, el área total es la suma del área de las bases más la lateral, según la
primera fórmula.

Para calcular el área total de un tronco de cono, si conocemos los radios de las
bases y la altura, pero no conocemos la generatriz g, esta última la hallaremos
mediante el teorema de Pitágoras. Veamos la figura:
Obtenemos que la generatriz es:

50. Cuerpos geométricos

50
Volumen del tronco de cono

El volumen del tronco de cono se calcula con la fórmula:

51. Cuerpos geométricos

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Toro
El toro es un sólido de revolución generado por el giro de un círculo cuyo centro
recorre una circunferencia directriz de radio mayor, estando ambos
contenidos en dos planos ortogonales perpendiculares entre sí.
El círculo que gira 360° y el radio de la circunferencia directriz sobre la que
gira están en el mismo plano.
En la vida diaria nos encontramos objetos con la forma de un toro, como los
neumáticos de una motocicleta o de un automóvil, un flotador salvavidas o
también un “donut”.

Área del toro

52. Cuerpos geométricos

52

Donde R es el radio de la circunferencia directriz y r el del círculo generatriz.
Esta fórmula es una aplicación del primer teorema de Pappus-Guldin, donde el
centroide de la circunferencia que gira es su centro.

Volumen del toro
El volumen se calcula mediante la fórmula:


Esta fórmula es una aplicación del segundo teorema de Pappus-Guldin, donde el
centroide de su sección círculo es su centro.

53. Cuerpos geométricos

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Referencias

 Universo formulas. Cuerpos geométricos. Recuperado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cuerpos-
geometricos/
 Universo formulas. Tetraedro. Recuperado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/tetraedro/
 Universo formulas. Prismas. Recuperado de:
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 Universo formulas. Área de un prisma triangular. Recuperado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/area-prisma-
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 Universo formulas. Volumen de un prisma triangular. Recuperado de:
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 Universo formulas. Toro. Recuperado de:
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 Universo formulas. Cono. Recuperado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cono/