Curso basico de topografia fernando garcia marquez
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Oct 30, 2015
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About This Presentation
Un exelente libro muy recomendado a los estudiantes y profesores.
Slide Content
CURSO BASICO DE
TOPOGRAFIA |
planimetría + agrimensura + altimetría
TOPOGRAFIA |
planimetría + agrimensura + altimetría
CURSO BASICO DE
TOPOGRAFIA
planimetría + agrimensura + altimetria
TOPOGRAFIA
planimetría + agrimensura + altimetria
CURSO BASICO DE
TOPOGRAFIA
planimetría + agrimensura + altimetria
FERNANDO GARCIA MARQUEZ
árbol editorial
TOPOGRAFIA
planimetría + agrimensura + altimetria
FERNANDO GARCIA MARQUEZ
árbol editorial
© 1994 Arbol Editorial, S.A. de C.V.
Av. Cuauhtémoc 1430
Col. Sta. Cruz Atoyac
Tel.: 688/6458
Fax: 605/7600
e.mail [email protected]
México, D.F. 03310
Tercera reimpresión
ISBN 968-461-003-3
Reservados todos los derechos
Impreso en México/Printed in Mexico
Av. Cuauhtémoc 1430
Col. Sta. Cruz Atoyac
Tel.: 688/6458
Fax: 605/7600
e.mail [email protected]
México, D.F. 03310
Tercera reimpresión
ISBN 968-461-003-3
Reservados todos los derechos
Impreso en México/Printed in Mexico
DEDICATORIA
Al Heroico Colegio Militar, mi Alma Mater,
en cuyas aulas me inició en 1943 como cade-
te en el estudio de esta disciplina, y a la Escuela
Militar de Ingenieros, en la cual he participado
en la enseñanza de la Topografía desde 1963
a la fecha.
Al Heroico Colegio Militar, mi Alma Mater,
en cuyas aulas me inició en 1943 como cade-
te en el estudio de esta disciplina, y a la Escuela
Militar de Ingenieros, en la cual he participado
en la enseñanza de la Topografía desde 1963
a la fecha.
A LOS ALUMNOS
Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la
Topografía a los alumnos.
Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosa-
mente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros problemas.
Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura
me sentiré satisfecho.
ING. FERNANDO GARCIA MARQUEZ
Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la
Topografía a los alumnos.
Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosa-
mente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros problemas.
Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura
me sentiré satisfecho.
ING. FERNANDO GARCIA MARQUEZ
CONTENIDO
Capítulo 1
GENERALIDADES
Aplicaciones de la Topografía, 1
División de la Topografía, 3
Levantamiento, clases de levantamientos, 4
Levantamientos topográficos, 4
Poligonal, clases de poligonales, 5
Los errores, 5
Capítulo 1
PLANIMETRIA
Levantamientos plapimätricos. 9
Medida directa de distancias, 9
Medidas con cinta, 10
Errores en la medida de distancias con cinta, 12
Tolerancias en medida de distancias con cinta,
Problemas, 14
Problemas resueltos con cinta, 16
Problemas, 27
Levantamientos con cinta, 31
Métodos de levantamiento con cinta, 36
Método de radiaciones, 36
Método de diagonales, 37
Método de
Método de coordenadas rectangulares, 39
Levantamiento de edificaciones, 40
Levantamiento de detalles, 40,
Problemas, 41
Capítulo 1
GENERALIDADES
Aplicaciones de la Topografía, 1
División de la Topografía, 3
Levantamiento, clases de levantamientos, 4
Levantamientos topográficos, 4
Poligonal, clases de poligonales, 5
Los errores, 5
Capítulo 1
PLANIMETRIA
Levantamientos plapimätricos. 9
Medida directa de distancias, 9
Medidas con cinta, 10
Errores en la medida de distancias con cinta, 12
Tolerancias en medida de distancias con cinta,
Problemas, 14
Problemas resueltos con cinta, 16
Problemas, 27
Levantamientos con cinta, 31
Métodos de levantamiento con cinta, 36
Método de radiaciones, 36
Método de diagonales, 37
Método de
Método de coordenadas rectangulares, 39
Levantamiento de edificaciones, 40
Levantamiento de detalles, 40,
Problemas, 41
X Contenido
Levantamientos con brújula y cinta, 50
Definiciones, SO
Descripción de la brújula, 59
Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61
Usos de la brójula, 61
“Ventajas en el uso de la brújula, 62
Inconvenientes en el uso de la brújula, 62
Atracciones locales, 62
Métodos de levantamiento con brújula y cinta, 64
Método de itinerario, 65
Problemas, 68
Método de radiaciones, 78
Método de intersecciones, 79
Método de coordenadas rectangulares, 79
Dibujo de la poligonal, 80
Compensación gráfica, 81
Determinación de la superficie del polígono por medio del
planímetro, 84
Levantamientos con tránsito y cinta, 88
Descripción del tránsito, 88
Usos del tránsito, 91
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento, 91
Por reiteraciones, 102
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103
Método de medida directa de ángulos, 103
¡ón magnética, 104
Medida de los ángulos, 105
Comprobación del ángulo medido, 105
Problema, 124
Método de deflexiones. 130
Problema, 136
Método de conservación de azimutes, 141
Problemas, 149
roblemas, 154
Capitulo 11
AGRIMENSURA
CE
205
Levantamientos con brújula y cinta, 50
Definiciones, SO
Descripción de la brújula, 59
Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61
Usos de la brójula, 61
“Ventajas en el uso de la brújula, 62
Inconvenientes en el uso de la brújula, 62
Atracciones locales, 62
Métodos de levantamiento con brújula y cinta, 64
Método de itinerario, 65
Problemas, 68
Método de radiaciones, 78
Método de intersecciones, 79
Método de coordenadas rectangulares, 79
Dibujo de la poligonal, 80
Compensación gráfica, 81
Determinación de la superficie del polígono por medio del
planímetro, 84
Levantamientos con tránsito y cinta, 88
Descripción del tránsito, 88
Usos del tránsito, 91
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento, 91
Por reiteraciones, 102
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103
Método de medida directa de ángulos, 103
¡ón magnética, 104
Medida de los ángulos, 105
Comprobación del ángulo medido, 105
Problema, 124
Método de deflexiones. 130
Problema, 136
Método de conservación de azimutes, 141
Problemas, 149
roblemas, 154
Capitulo 11
AGRIMENSURA
CE
205
Trio
lación del polígono, 206
Problemas, 207
Método de las coordenadas, 208
Problemas, 211
Método de las dobles distancias meridianas, 214
Problemas, 216.
Regla de los trapecios, 220
Problemas, 222
Regla de Simpson, 224
Problemas, 225
Agrodesia, 227
Problemas, 229
Capítulo WW
ALTIMETRIA O NIVELACION
Nivelación directa o topográfica,
Niveles, 247
Niveles fijos o topográficos, 248
247
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano,
Condiciones que debe reunir un nivel tipo inglés, 252
Errores en la nivelación, 254
Nivelación diferencial. 259
Problemas, 264
Comprobación de una nivelación,
Problemas, 267
ivelación de perfil, 272
Construcción de un perfil, 275
Problemas, 277
Nivelación trigonomévica, 281
Eclímetro, 282
Eclímetro de la brújula, 283
Plancheta de pendientes. 284
Problemas, 285
Nivelación baromérrica. 297
Barémetros, 297
Barémetros de mercurio. 297
Aneroides, 300
Termobardmetros o hipsómetro.
Medición de alturas, 304
Problemas. 306
266
302
Contenido
250
xi
245
lación del polígono, 206
Problemas, 207
Método de las coordenadas, 208
Problemas, 211
Método de las dobles distancias meridianas, 214
Problemas, 216.
Regla de los trapecios, 220
Problemas, 222
Regla de Simpson, 224
Problemas, 225
Agrodesia, 227
Problemas, 229
Capítulo WW
ALTIMETRIA O NIVELACION
Nivelación directa o topográfica,
Niveles, 247
Niveles fijos o topográficos, 248
247
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano,
Condiciones que debe reunir un nivel tipo inglés, 252
Errores en la nivelación, 254
Nivelación diferencial. 259
Problemas, 264
Comprobación de una nivelación,
Problemas, 267
ivelación de perfil, 272
Construcción de un perfil, 275
Problemas, 277
Nivelación trigonomévica, 281
Eclímetro, 282
Eclímetro de la brújula, 283
Plancheta de pendientes. 284
Problemas, 285
Nivelación baromérrica. 297
Barémetros, 297
Barémetros de mercurio. 297
Aneroides, 300
Termobardmetros o hipsómetro.
Medición de alturas, 304
Problemas. 306
266
302
Contenido
250
xi
245
2
Carfruto 1
GENERALIDADES
Definición, aplicaciones y división de la topografía
Se define la TOPOGRAFÍA (del griego: topos, lugar y graphein, describir)
como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para
determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre,
por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos ele-
mentos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una
dirección y una elevación.
La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por
tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla
llenara el cometido que tiene asignado.
La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del
suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos
por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen,
sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expre-
sión es el dibujo.
La TOPOGRAFIA se encuentra directamente relacionada con la Tierra
El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la
Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración
precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene
necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado
de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria.
He aquí donde entra la topografía: ayuda a determ
de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivo, las vivien-
das, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con
sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc, y, en suma, todas
aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones
que se presentan en las necesidades de la vida práctica,
APLICACIONES DE LA TOPOGRAFÍA
AA la topografía se le puede considerar como una de las herramientas
básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe-
Carfruto 1
GENERALIDADES
Definición, aplicaciones y división de la topografía
Se define la TOPOGRAFÍA (del griego: topos, lugar y graphein, describir)
como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para
determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre,
por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos ele-
mentos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una
dirección y una elevación.
La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por
tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla
llenara el cometido que tiene asignado.
La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del
suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos
por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen,
sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expre-
sión es el dibujo.
La TOPOGRAFIA se encuentra directamente relacionada con la Tierra
El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la
Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración
precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene
necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado
de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria.
He aquí donde entra la topografía: ayuda a determ
de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivo, las vivien-
das, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con
sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc, y, en suma, todas
aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones
que se presentan en las necesidades de la vida práctica,
APLICACIONES DE LA TOPOGRAFÍA
AA la topografía se le puede considerar como una de las herramientas
básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe-
2 Curso básico de topografía 5
lados. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría,
la fica y a atronomi, por tant, se puede decir que la topografía es
una ciencia aplicada.
Además del conocimiento de las materias mencionadas, para la reali-
zación de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades
personales como: in habilidad para manejar los aparatos, habilidad
Para tratar a las personas y buen criterio.
La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace
sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí
solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debi-
damente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de
secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, cana-
les, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente
determinada como se requiere en un alcantarillado.
“Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa cons-
{ructora 0 institución, generalmente los primeros trabajos que se le enco-
miendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se
preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y
el estudiante así debe entenderlo.
Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el le-
vantamiento.
El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el
replanteo sobre el terreno de las condiciones establecidas en un plano;
y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención
de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de
su figura semejante en un plano.
La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones:
Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linde-
ros, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos
generales.
Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comuni
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición
de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites
de propiedad y valorar los inmucbles para la determinación del impuesto
correspondiente.
Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a
las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción
de calle, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje.
La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos,
ríos, etc, para propósitos de navegación, suministro de agua o construc:
ción subacuática.
La topograf
ciencia de las mediciones por m
ión:
fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la
de fotografías. Se usa para levanta-
lados. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría,
la fica y a atronomi, por tant, se puede decir que la topografía es
una ciencia aplicada.
Además del conocimiento de las materias mencionadas, para la reali-
zación de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades
personales como: in habilidad para manejar los aparatos, habilidad
Para tratar a las personas y buen criterio.
La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo que la hace
sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí
solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debi-
damente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de
secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, cana-
les, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente
determinada como se requiere en un alcantarillado.
“Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa cons-
{ructora 0 institución, generalmente los primeros trabajos que se le enco-
miendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se
preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y
el estudiante así debe entenderlo.
Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el le-
vantamiento.
El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el
replanteo sobre el terreno de las condiciones establecidas en un plano;
y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtención
de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de
su figura semejante en un plano.
La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones:
Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linde-
ros, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos
generales.
Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comuni
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición
de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites
de propiedad y valorar los inmucbles para la determinación del impuesto
correspondiente.
Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a
las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción
de calle, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje.
La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos,
ríos, etc, para propósitos de navegación, suministro de agua o construc:
ción subacuática.
La topograf
ciencia de las mediciones por m
ión:
fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la
de fotografías. Se usa para levanta-
x
Javensine Generalidades 3
mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para
fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas.
La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo
industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas
geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar
la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cues-
tiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y
montaje de proyectiles dirigidos, etc.
‘Asi pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en casi
todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una
propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio.
DIVISION DE LA TOPOGRAFIA
Para su estudio la topografía se divide en tres partes:
ToroLoGfh que estudi
las leyes que rigen las formas del terreno.
Toromernia que establece los métodos geométricos de medida.
PLANOGRAFIA que es la representación gráfica de los resultados y
constituye el dibujo topográfico.
Para que sea completa la representación gráfica de una porción de
la superficie terrestre, deberá contener:
La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los
detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.).
La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos res-
pecto a otros; y
La superficie del terreno.
Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según
las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en
tres partes que son:
PLANIMETRIA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar
sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más
importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al
mismo.
Autimerría que determina las alturas de los diferentes puntos del
terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente corres-
pondiente al nivel medio del mar.
AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir
la superficie de los terrenos y para fraccionarlos.
Javensine Generalidades 3
mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para
fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas.
La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo
industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas
geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar
la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cues-
tiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y
montaje de proyectiles dirigidos, etc.
‘Asi pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en casi
todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una
propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio.
DIVISION DE LA TOPOGRAFIA
Para su estudio la topografía se divide en tres partes:
ToroLoGfh que estudi
las leyes que rigen las formas del terreno.
Toromernia que establece los métodos geométricos de medida.
PLANOGRAFIA que es la representación gráfica de los resultados y
constituye el dibujo topográfico.
Para que sea completa la representación gráfica de una porción de
la superficie terrestre, deberá contener:
La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los
detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.).
La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos res-
pecto a otros; y
La superficie del terreno.
Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según
las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en
tres partes que son:
PLANIMETRIA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar
sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más
importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al
mismo.
Autimerría que determina las alturas de los diferentes puntos del
terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente corres-
pondiente al nivel medio del mar.
AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir
la superficie de los terrenos y para fraccionarlos.
4 Curso bósico de topografía
LEVANTAMIENTO
El levantamiento es uno de los más viejos artes practicados por el
hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites
y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir direc-
tamente el terreno.
Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y
medios puestos en práctica para determinar las posiciones de puntos del
terreno y su representación en un plano.
Closes de levantamientos
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos
o geodésicos.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una
porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin
error apreciable, se considera como si fuera plana.
Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos
topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondien-
tes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro
de los cuales se puede hacer abstracción de la curvatura de la superficie
terrestre.
LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes ex-
tensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea
considerändola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un
esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de
la topografía y entran en el dominio de la geodesia.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS
Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como
sigue:
Precisos, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales
de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados,
en el trazo de ciudades, ete.
ReGULARES, los cuales se realizan por medio de poligonales, levant:
das con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades,
para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, ete,
y en obras de saneamiento en las ciudades.
5
LEVANTAMIENTO
El levantamiento es uno de los más viejos artes practicados por el
hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites
y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir direc-
tamente el terreno.
Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y
medios puestos en práctica para determinar las posiciones de puntos del
terreno y su representación en un plano.
Closes de levantamientos
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos
o geodésicos.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una
porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin
error apreciable, se considera como si fuera plana.
Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos
topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondien-
tes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro
de los cuales se puede hacer abstracción de la curvatura de la superficie
terrestre.
LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes ex-
tensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea
considerändola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un
esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de
la topografía y entran en el dominio de la geodesia.
LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS
Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como
sigue:
Precisos, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales
de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados,
en el trazo de ciudades, ete.
ReGULARES, los cuales se realizan por medio de poligonales, levant:
das con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades,
para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, ete,
y en obras de saneamiento en las ciudades.
5
Generalidades 5
‘Tagumstérnicos, en los cuales las distancias se miden por procedimien-
tos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean
en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de
configuración y de relleno, y también para la formación de planos a
pequeña escala.
EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como:
brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., y cuando
no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados
por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en recono-
ientos del terreno o en las exploraciones militares.
POLIGONAL
En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una
línea quebrada de m lados, También se puede definir la poligonal como
una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos.
Clases de poligonales
De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden
ser cerradas o abiertas.
POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial y final coinci
den; es decir, es un polígono.
POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de m lados o aquella poli-
gonal cuyos extremos no coinciden.
Existen dos clases de poligonales abiertas: las de enlace y los cami-
namientos.
POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son
conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse.
Camivamenro se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo
se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de compro-
bación.
LOS ERRORES
No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que
sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se
‘Tagumstérnicos, en los cuales las distancias se miden por procedimien-
tos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean
en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de
configuración y de relleno, y también para la formación de planos a
pequeña escala.
EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como:
brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., y cuando
no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados
por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en recono-
ientos del terreno o en las exploraciones militares.
POLIGONAL
En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una
línea quebrada de m lados, También se puede definir la poligonal como
una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos.
Clases de poligonales
De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden
ser cerradas o abiertas.
POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial y final coinci
den; es decir, es un polígono.
POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de m lados o aquella poli-
gonal cuyos extremos no coinciden.
Existen dos clases de poligonales abiertas: las de enlace y los cami-
namientos.
POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son
conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse.
Camivamenro se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo
se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de compro-
bación.
LOS ERRORES
No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que
sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se
6 Curso básico de topografía
haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud
cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdadero, valor
observado y valor más probable.
Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error;
y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.
Valor observado es el que resulta de la observación o experimentaciön,
después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en
que se trabaja.
Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor
verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas.
AL referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y
ion.
Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de confor-
midad con un patrón.
Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el
número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como
el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un
resultado.
De estas dos definiciones, compatibles entre sí, se sigue, que una medi-
da puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia
puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los
milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser
incorrecta 1a longitud de la cinta, La medida es precisa, pero no exacta
Fuentes de error
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas
que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Natu-
raleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las
fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades obser-
vadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener
la precisión requerida.
En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto
a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de
instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida.
Los errores personales se producen por la falta de habilidad del obser-
vador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una
cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se
5
haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud
cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdadero, valor
observado y valor más probable.
Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error;
y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros.
Valor observado es el que resulta de la observación o experimentaciön,
después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en
que se trabaja.
Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor
verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas.
AL referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y
ion.
Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de confor-
midad con un patrón.
Precisión es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el
número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como
el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un
resultado.
De estas dos definiciones, compatibles entre sí, se sigue, que una medi-
da puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia
puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los
milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser
incorrecta 1a longitud de la cinta, La medida es precisa, pero no exacta
Fuentes de error
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas
que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Natu-
raleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las
fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades obser-
vadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener
la precisión requerida.
En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto
a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de
instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida.
Los errores personales se producen por la falta de habilidad del obser-
vador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una
cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se
5
Generalidades 7
comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, no es pos
ble que se pueda hacer una coincidencia perfecta o una lectura exacta.
Los errores instrumentales se originan por las imperfecciones 0 ajuste
defectuoso de los instrumentos con que se toman las medidas.
Los errores naturales se deben a las variaciones de los fenómenos de
la Naturaleza como la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la
“atmosférica y la declinación magnét
Error verdadero es la diferencia entre el valor verdadero de una canti-
dad y el observado, razón por la que siempre será desconocido para nos-
‘otros; y como lo único que llegamos a conocer es el valor más probable;
es decir, el más cercano al verdadero, la diferencia entre este valor y el
observado se designa con el nombre de error residuo o residuo simplemente.
Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales.
Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida
física o matemática y, mientras las condiciones en que se ejecutan las
medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo
signo algebraico; por tanto, son acumulativos. La magnitud de estos errores
se puede determinar y se eliminan aplicando métodos sistemáticos en el
trabajo de campo o correcciones a las medidas.
Los errores sistemáticos pueden ser
naturales.
strumentales, personales 0
Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas
que no alcanza el observador a controlar y para las cuales no es posible
obtener correcciones; para cada observación la magnitud y signo alge-
braico del error accidental dependen del azar y no pueden calcularse, Como
todos los errores accidentales tienen las mismas probal
de los errores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se
pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumen-
tando su número.
Equivocaciones
Una equivocación es una falta involuntaria originada por el mal criterio,
falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente
del observador.
Las equivocaciones no pertenecen al campo de la teoría de los errores
y, a diferencia de éstos, no pueden controlarse y estudiarse. Las equivoca-
ciones se encuentran y se eliminan comprobando todo el trabajo.
comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, no es pos
ble que se pueda hacer una coincidencia perfecta o una lectura exacta.
Los errores instrumentales se originan por las imperfecciones 0 ajuste
defectuoso de los instrumentos con que se toman las medidas.
Los errores naturales se deben a las variaciones de los fenómenos de
la Naturaleza como la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la
“atmosférica y la declinación magnét
Error verdadero es la diferencia entre el valor verdadero de una canti-
dad y el observado, razón por la que siempre será desconocido para nos-
‘otros; y como lo único que llegamos a conocer es el valor más probable;
es decir, el más cercano al verdadero, la diferencia entre este valor y el
observado se designa con el nombre de error residuo o residuo simplemente.
Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales.
Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida
física o matemática y, mientras las condiciones en que se ejecutan las
medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo
signo algebraico; por tanto, son acumulativos. La magnitud de estos errores
se puede determinar y se eliminan aplicando métodos sistemáticos en el
trabajo de campo o correcciones a las medidas.
Los errores sistemáticos pueden ser
naturales.
strumentales, personales 0
Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas
que no alcanza el observador a controlar y para las cuales no es posible
obtener correcciones; para cada observación la magnitud y signo alge-
braico del error accidental dependen del azar y no pueden calcularse, Como
todos los errores accidentales tienen las mismas probal
de los errores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se
pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumen-
tando su número.
Equivocaciones
Una equivocación es una falta involuntaria originada por el mal criterio,
falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente
del observador.
Las equivocaciones no pertenecen al campo de la teoría de los errores
y, a diferencia de éstos, no pueden controlarse y estudiarse. Las equivoca-
ciones se encuentran y se eliminan comprobando todo el trabajo.
8 Curso básico de topografía
Discrepancia
Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la misma magni-
tud: distancia, ángulo o desnivel.
Valor más probable
El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénti-
cas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media arit-
mética.
Esto se apl
tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Comprobaciones
En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de
comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto
descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión
obtenida.
el error máximo admisible en la medida de
ángulos, distancias y desniveles.
surco
5
Discrepancia
Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la misma magni-
tud: distancia, ángulo o desnivel.
Valor más probable
El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénti-
cas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media arit-
mética.
Esto se apl
tanto a ángulos como a distancias y desniveles.
Comprobaciones
En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de
comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto
descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión
obtenida.
el error máximo admisible en la medida de
ángulos, distancias y desniveles.
surco
5
£
CaríruLo II
PLANIMETRIA
Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar
en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una
figura semejante a la del terreno, proyectada Sobre un plano horizontal.
Levantar
ientos planimétricos
Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:
Con cinta exclusivamente.
Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y
los ängulos que éstos forman entre sí; y
Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes
de triángulos ligados entre si. Por lo regular este método se ensplea en el
levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida
directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los
ángulos de los triángulos.
Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasi-
fican como sigue:
Levantamientos con brüjula y cinta
Levantamientos con tránsito y cinta.
Levantamientos con tránsito y estadi
Levantamientos con plancheta.
Medida directa de distancias
En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia
horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación
material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método
más común de determinar distancias es con la medida directa por medio
de la cinta.
CaríruLo II
PLANIMETRIA
Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar
en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una
figura semejante a la del terreno, proyectada Sobre un plano horizontal.
Levantar
ientos planimétricos
Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:
Con cinta exclusivamente.
Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y
los ängulos que éstos forman entre sí; y
Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes
de triángulos ligados entre si. Por lo regular este método se ensplea en el
levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida
directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los
ángulos de los triángulos.
Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasi-
fican como sigue:
Levantamientos con brüjula y cinta
Levantamientos con tránsito y cinta.
Levantamientos con tránsito y estadi
Levantamientos con plancheta.
Medida directa de distancias
En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia
horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación
material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método
más común de determinar distancias es con la medida directa por medio
de la cinta.
10 Curso básico de topografía eures
Medidas con cinta
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el
siguiente:
Cima de acero de 20, 30 o SO metros de longitud, graduadas en
centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros.
Cinta de lona en la que se han entretejido alambres delgados de latón
o de bronce para evitar que se alargue.
Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. El
invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios
de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es apro-
ximadamente la décima parte de las cintas de acero.
Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular,
tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en
tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio
están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan
Somo señales temporales para indicar la posición de puntos 0 la dirección
líneas.
Fichas de acero de 25 a 40 cm de longitud. Se emplean para marcar
los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distanci
entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la
cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas.
Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de
una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un
dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavi-
mento pueden marcarse los puntos con crayón O pintura de aceite.
Medidas de distancias sobre terreno horizontal
Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se
materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadore
el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante.
La operación se realiza en la forma siguiente:
El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas;
tomará la cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de
Ja ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta
se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-
Medidas con cinta
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el
siguiente:
Cima de acero de 20, 30 o SO metros de longitud, graduadas en
centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros.
Cinta de lona en la que se han entretejido alambres delgados de latón
o de bronce para evitar que se alargue.
Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. El
invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios
de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es apro-
ximadamente la décima parte de las cintas de acero.
Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular,
tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en
tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio
están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan
Somo señales temporales para indicar la posición de puntos 0 la dirección
líneas.
Fichas de acero de 25 a 40 cm de longitud. Se emplean para marcar
los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distanci
entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la
cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas.
Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de
una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un
dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavi-
mento pueden marcarse los puntos con crayón O pintura de aceite.
Medidas de distancias sobre terreno horizontal
Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se
materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadore
el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante.
La operación se realiza en la forma siguiente:
El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas;
tomará la cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de
Ja ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta
se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-
Planimetria 11
caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso
de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, soste-
ido firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente
en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con
la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el
extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha
plantada, Entonces grita “bueno”; y el cadenero de atrás suelta la cinta;
el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso.
Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una
ficha en el terreno, y el múmero de fichas que trae el zaguero indica en
cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que
está en el terreno.
‘Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo,
hará la lectura de la fracción correspondiente.
La distancia total medida se obtendrá multiplicando el mimero de
fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la
fracción lefda en el extremo de la línea,
Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales
10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprucba que ya
tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una
cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a
200 metros medidos,
Medidas de distancias sobre terreno inclinado
Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método
llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes:
Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará
el extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el
delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre
ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la
acción de su peso; cuando el delantero esté alineado, utilizando una ploma-
da, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la
Plomada, y colocará la ficha correspondiente
El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la
medida siguiente en la forma indicada.
Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta exten-
dida es aproximada, porque se estima a ojo.
Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascen-
dente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta,
se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se
encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta,
manteniéndola a lo largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la
#
caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso
de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, soste-
ido firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente
en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con
la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el
extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha
plantada, Entonces grita “bueno”; y el cadenero de atrás suelta la cinta;
el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso.
Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una
ficha en el terreno, y el múmero de fichas que trae el zaguero indica en
cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que
está en el terreno.
‘Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo,
hará la lectura de la fracción correspondiente.
La distancia total medida se obtendrá multiplicando el mimero de
fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la
fracción lefda en el extremo de la línea,
Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales
10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprucba que ya
tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una
cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a
200 metros medidos,
Medidas de distancias sobre terreno inclinado
Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método
llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes:
Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará
el extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el
delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre
ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la
acción de su peso; cuando el delantero esté alineado, utilizando una ploma-
da, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la
Plomada, y colocará la ficha correspondiente
El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la
medida siguiente en la forma indicada.
Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta exten-
dida es aproximada, porque se estima a ojo.
Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascen-
dente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta,
se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se
encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta,
manteniéndola a lo largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la
#
12 Curso básico de topografía
cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por
el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse
la plomada en vez de la baliza.
Sila pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela
al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para
calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyec-
ción horizontal de la distancia medida.
Errores en la medida de distancias con cinta
SisTEMÁTICOS
Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta,
comparándola cor. un patrón.
Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo
por tanto, la corrección será positiva y vicevers:
Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre
el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando
entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina
aplicando la corrección calculada.
Alineamiento incorrecto. Se produce este error cuando la alineación
se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la
corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una des-
viación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm.
Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colo-
car a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella, El error
es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario
al error.
Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de
temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta
se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura
disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo.
Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan
cuando se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que
se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación
al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos
muy precisos.
ACCIDENTALES
De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de
coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la si-
guiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical.
5
cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por
el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse
la plomada en vez de la baliza.
Sila pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela
al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para
calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyec-
ción horizontal de la distancia medida.
Errores en la medida de distancias con cinta
SisTEMÁTICOS
Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta,
comparándola cor. un patrón.
Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo
por tanto, la corrección será positiva y vicevers:
Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre
el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando
entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina
aplicando la corrección calculada.
Alineamiento incorrecto. Se produce este error cuando la alineación
se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la
corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una des-
viación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm.
Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colo-
car a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella, El error
es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario
al error.
Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de
temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta
se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura
disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo.
Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan
cuando se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que
se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación
al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos
muy precisos.
ACCIDENTALES
De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de
coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la si-
guiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical.
5
Planimetría 13
Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que
se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser
‘mayor © menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón.
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se co-
mete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas
colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.
TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA
19 Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse
midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso.
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente:
x @
en la cual:
T = tolerancia, en metros.
= error cometido en una puesta de cinta, en metros.
L= promedio de medidas, en metros.
1 = longitud de la cinta empleada, en metros,
Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas
es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más pro-
bable.
29 Si se conoce la verdadera longitud de la linea, la cual puede haber
sido obtenida por métodos més precisos, y después se tiene que volver a
medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tole-
rancia está dada por la fórmula:
r=2(ey&+kı) @
tolerancia, en metros.
error cometido en una puesta de cinta, en metros.
Tongitud medida, en metros.
longitud de la cinta, en metros.
K = error sistemático por metro, en metros.
ses
El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la
longitud media.
Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que
se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser
‘mayor © menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón.
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se co-
mete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas
colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.
TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA
19 Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse
midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso.
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente:
x @
en la cual:
T = tolerancia, en metros.
= error cometido en una puesta de cinta, en metros.
L= promedio de medidas, en metros.
1 = longitud de la cinta empleada, en metros,
Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas
es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más pro-
bable.
29 Si se conoce la verdadera longitud de la linea, la cual puede haber
sido obtenida por métodos més precisos, y después se tiene que volver a
medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tole-
rancia está dada por la fórmula:
r=2(ey&+kı) @
tolerancia, en metros.
error cometido en una puesta de cinta, en metros.
Tongitud medida, en metros.
longitud de la cinta, en metros.
K = error sistemático por metro, en metros.
ses
El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la
longitud media.
14 Curso básico de topografía
Los valores de “e” y “K” pueden tomarse de la tabla de valores expe-
rimentales que figuran en el libro Moos ToroonArıcos del Ing. Ricar-
do Toscano:
Condiciones de las medidas e (metros) | K (metros) |
“Terreno plano, cinta bien comparada y alinea-
da, usando plomada y corrigiendo por tem- a
peratura 0015 oo |
Terreno plano, cinta bien comparada 0.02 0.0003
Terreno quebrado 0.03 0.0005
Terreno muy quebrado 0.05 0.0007
PROBLEMAS
1. En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una
Cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:
L,= 150.04 m (ida) y Lz = 150.08 m (regreso)
Calcular el error cometido, la tolerancia y el valor más probable
de la distancia medida, indicando si se acepta el resultado o dede
repetirse la medida.
Sorucıön
Daros:
1, = 150.04 m Designemos por L el valor més probabl
L,= 150.08 m
Terreno quebrado | p= +2 _ 15006 m
= 50m z
L = valor más proba-| + =
ble de la distancia
medida =? E=L,-L= 150.04 ~
150.06 = -0.02 m
E= emor=? E=L-L= 150.08 —
150.06 = +0.02 m
T= tolerancia = E= +002 m
sd > 215006 _ 0069 20012
T= 2ey 20003) JS = 10064 2
Los valores de “e” y “K” pueden tomarse de la tabla de valores expe-
rimentales que figuran en el libro Moos ToroonArıcos del Ing. Ricar-
do Toscano:
Condiciones de las medidas e (metros) | K (metros) |
“Terreno plano, cinta bien comparada y alinea-
da, usando plomada y corrigiendo por tem- a
peratura 0015 oo |
Terreno plano, cinta bien comparada 0.02 0.0003
Terreno quebrado 0.03 0.0005
Terreno muy quebrado 0.05 0.0007
PROBLEMAS
1. En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una
Cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:
L,= 150.04 m (ida) y Lz = 150.08 m (regreso)
Calcular el error cometido, la tolerancia y el valor más probable
de la distancia medida, indicando si se acepta el resultado o dede
repetirse la medida.
Sorucıön
Daros:
1, = 150.04 m Designemos por L el valor més probabl
L,= 150.08 m
Terreno quebrado | p= +2 _ 15006 m
= 50m z
L = valor más proba-| + =
ble de la distancia
medida =? E=L,-L= 150.04 ~
150.06 = -0.02 m
E= emor=? E=L-L= 150.08 —
150.06 = +0.02 m
T= tolerancia = E= +002 m
sd > 215006 _ 0069 20012
T= 2ey 20003) JS = 10064 2
Planimetria 15
Se acepta el resultado, porque: E<T
y el valor más probable para la distancia medida: L = 150.06 m
La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m.
Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura
al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la mei
da o debe repetirse?
SoLucr6N
Conga conocida = 298.10 m 4
Distancia medida = 298.02 m Juvensmer
Terreno plano
Longitud de la cinta = 30.00 m
Error = 298.10 — 298.02 = 0.08 m
Tolerancia = puc. EZ + 0.0001 x 298. 2)
+ 0.0002 x 298.02 = 0.0945 + 0.0596
La medida es correcta, porque: E<T.
En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir
una distancia, obteniéndose los siguientes resultados:
L, = 120.38 m (ida)
L.= 120.06 m (regreso)
Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la dis-
tancia?
SoLucióN
120,38 + 120.06
T= 12088 29,22 = +0.16 m
Error = 120.06 — 120.22 = -0.16 m
Error
120.38 —
E= 20.16 m
Tolerancia = 2(0.08) 222 _ 91 y12023 = 2035 m
+035 m
E<T por tanto, el valor más probable para la distancia medida
es: L= 120.22 m.
Se acepta el resultado, porque: E<T
y el valor más probable para la distancia medida: L = 150.06 m
La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m.
Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura
al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la mei
da o debe repetirse?
SoLucr6N
Conga conocida = 298.10 m 4
Distancia medida = 298.02 m Juvensmer
Terreno plano
Longitud de la cinta = 30.00 m
Error = 298.10 — 298.02 = 0.08 m
Tolerancia = puc. EZ + 0.0001 x 298. 2)
+ 0.0002 x 298.02 = 0.0945 + 0.0596
La medida es correcta, porque: E<T.
En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir
una distancia, obteniéndose los siguientes resultados:
L, = 120.38 m (ida)
L.= 120.06 m (regreso)
Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la dis-
tancia?
SoLucióN
120,38 + 120.06
T= 12088 29,22 = +0.16 m
Error = 120.06 — 120.22 = -0.16 m
Error
120.38 —
E= 20.16 m
Tolerancia = 2(0.08) 222 _ 91 y12023 = 2035 m
+035 m
E<T por tanto, el valor más probable para la distancia medida
es: L= 120.22 m.
16
Curso básico de topografía
PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA
Trazo de perpendiculares
A. Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea.
1.
Se puede determinar dicha perpendicular por medio, ián-
gulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción pues
un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rec-
tángulo. En efecto:
(Sn)? = (Im) + Gm)?
Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de
los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un
cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12
metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y
un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se
estará formando un triángulo rectángulo, (Fig. NO 1.)
Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren
tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente
en los ángulos del triángulo,
Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con
un radio PA, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicu-
lar AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B
se halla en línea con CP y PB= CP. (Fig. N° 2.)
Curso básico de topografía
PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA
Trazo de perpendiculares
A. Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea.
1.
Se puede determinar dicha perpendicular por medio, ián-
gulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción pues
un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rec-
tángulo. En efecto:
(Sn)? = (Im) + Gm)?
Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de
los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un
cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12
metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y
un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se
estará formando un triángulo rectángulo, (Fig. NO 1.)
Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren
tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente
en los ángulos del triángulo,
Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con
un radio PA, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicu-
lar AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B
se halla en línea con CP y PB= CP. (Fig. N° 2.)
a
Juvensms
M
Figura 2
Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto
P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A
El punto C se encuentra, manteniendo en P la marca 15 metros
e intersectando la línea MN con la extremidad O de la cinta; tenien-
do luego la marca O de la cinta en C, con la marca 15 aún en P,
prolónguese la cinta hasta que la marca 30 metros determine el
punto B.
La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también,
midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig.
N° 3.)
Se eligen dos puntos B y C, de tal manera que AB = AC; con
la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y C.
La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular
buscada,
a AB = AC
BD = CD
M. N
B A
Figura 8
Juvensms
M
Figura 2
Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto
P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A
El punto C se encuentra, manteniendo en P la marca 15 metros
e intersectando la línea MN con la extremidad O de la cinta; tenien-
do luego la marca O de la cinta en C, con la marca 15 aún en P,
prolónguese la cinta hasta que la marca 30 metros determine el
punto B.
La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también,
midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig.
N° 3.)
Se eligen dos puntos B y C, de tal manera que AB = AC; con
la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y C.
La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular
buscada,
a AB = AC
BD = CD
M. N
B A
Figura 8
18 Curso básico de topografía
B. Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a
éste.
1. Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiento MN. (Fig.
NO 4.)
Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones
en B y en C sobre el alincamiento MN. Midase la distancia BC
y materialicese el punto A, pie de la perpendicular buscada, to-
mando apr de sobr Ta ea MN, I distancia Ba = 1.
Figura 4
2. Este problema puede resolverse también de la manera siguiente
(Fig. N 5)
Figura 5
B. Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a
éste.
1. Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiento MN. (Fig.
NO 4.)
Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones
en B y en C sobre el alincamiento MN. Midase la distancia BC
y materialicese el punto A, pie de la perpendicular buscada, to-
mando apr de sobr Ta ea MN, I distancia Ba = 1.
Figura 4
2. Este problema puede resolverse también de la manera siguiente
(Fig. N 5)
Figura 5
Planimetria 19
"Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialicese
el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y
radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección
de este arco con el alineamiento MN es el pie de la perpendicular
buscada.
3. Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. N° 6.)
se uno de los extremos de la cinta en el punto D y movién-
dola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta
determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alı
miento MN.
Figura 6
Trazo de paralelas
1. Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig
N°7)
Figura 7
"Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialicese
el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y
radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección
de este arco con el alineamiento MN es el pie de la perpendicular
buscada.
3. Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. N° 6.)
se uno de los extremos de la cinta en el punto D y movién-
dola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta
determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alı
miento MN.
Figura 6
Trazo de paralelas
1. Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig
N°7)
Figura 7
20
Curso básico de topografía
Determinese y mídase la perpendicular CP a la línes MN
desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como
el Q, levántese la perpendicular QD al alineamiento MN y mídase
QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada.
Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. N° 8), escójase
un punto P sobre la línea dada y materialicese el punto Q a la
mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre
la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolonga, midiendo
QD = RQ.
Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD
a la línea MN.
Figura 8
En el caso de la figura N® 9, a partir del punto A, marcado
y
3
El
Figura 9
Curso básico de topografía
Determinese y mídase la perpendicular CP a la línes MN
desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como
el Q, levántese la perpendicular QD al alineamiento MN y mídase
QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada.
Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. N° 8), escójase
un punto P sobre la línea dada y materialicese el punto Q a la
mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre
la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolonga, midiendo
QD = RQ.
Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD
a la línea MN.
Figura 8
En el caso de la figura N® 9, a partir del punto A, marcado
y
3
El
Figura 9
Planimetria 21
sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga,
materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego
se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la
paralela CD al alineamiento MN.
Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro
1
Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se
traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja
la perpendicular NO a la línea MP. Se cligen, convenientemente,
sobre la línea MO, los puntos a, b, €. .. y se miden las distancias
MO, NO, Ma, Mb, Mc... Comparando los triángulos semejan-
tes formados, se encuentran las distancias aa’, bb’, cc”. .., cuyos
extremos a, 6’, €’... corresponden al alineamiento MN.
Jurensns
Figura 10
Así, de la proporción:
ad _ bb _ cc’ _ NO
Ma ME Me MO À ©
as oras ME =
se deduce: aa’ = 175 Ma = K-Ma
bb! = K-Mb
cc’ = K'Me
Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. N° 11),
se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como
A y B, que desde ellos se vean M y N.
sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga,
materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego
se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la
paralela CD al alineamiento MN.
Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro
1
Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se
traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja
la perpendicular NO a la línea MP. Se cligen, convenientemente,
sobre la línea MO, los puntos a, b, €. .. y se miden las distancias
MO, NO, Ma, Mb, Mc... Comparando los triángulos semejan-
tes formados, se encuentran las distancias aa’, bb’, cc”. .., cuyos
extremos a, 6’, €’... corresponden al alineamiento MN.
Jurensns
Figura 10
Así, de la proporción:
ad _ bb _ cc’ _ NO
Ma ME Me MO À ©
as oras ME =
se deduce: aa’ = 175 Ma = K-Ma
bb! = K-Mb
cc’ = K'Me
Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. N° 11),
se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como
A y B, que desde ellos se vean M y N.
22 Curso básico de topografía
El balicero situado en A, alinea al ubicado en B con el extre-
mo N de la línea; y el que Se halla en B, alínea al situado en À
en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los
cuatro puntos queden en línea recta.
Figura 11
Intersección de alineamientos
Para materializar en el terreno la intersección de los alinea-
mientos MN y PQ (Fig. N° 12), márquense sobre uno de ellos,
dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alincamiento,
como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta
o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y
sobre ésta se localiza el punto /, intersección de los dos alinea-
mientos.
Figura 12
El balicero situado en A, alinea al ubicado en B con el extre-
mo N de la línea; y el que Se halla en B, alínea al situado en À
en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los
cuatro puntos queden en línea recta.
Figura 11
Intersección de alineamientos
Para materializar en el terreno la intersección de los alinea-
mientos MN y PQ (Fig. N° 12), márquense sobre uno de ellos,
dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alincamiento,
como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta
o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y
sobre ésta se localiza el punto /, intersección de los dos alinea-
mientos.
Figura 12
Planimetría 23
Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles
1.
Determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NO 13.)
El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea
AB y bajando de A la normal AQ a la línea BP; se miden las
distancias AP, AQ y PO y se calcula la distancia AB.
Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se en-
cuentra:
AB _ AQ _ AQ: ar |
‘AP PQ * PO
Determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible,
(Fig. N° 14.)
Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden
istancias AP, CQ y AC.
Los triángulos semejantes BAP y QQ'P, permiten establecer
la proporción:
AB _ QQ"
ar OP cn
Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles
1.
Determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible.
(Fig. NO 13.)
El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea
AB y bajando de A la normal AQ a la línea BP; se miden las
distancias AP, AQ y PO y se calcula la distancia AB.
Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se en-
cuentra:
AB _ AQ _ AQ: ar |
‘AP PQ * PO
Determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visible,
(Fig. N° 14.)
Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden
istancias AP, CQ y AC.
Los triángulos semejantes BAP y QQ'P, permiten establecer
la proporción:
AB _ QQ"
ar OP cn
24 Curso básico de topografía
B
Figura 14
Ahora bien, en la figura se ve que:
00'=AC
QP=AP= CO @
por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra:
AB__AC | un Ar AC
APT AP=CO AP= CO
Medida de distancias salvando un obstáculo
1. Para hallar la distancia AB (Fig. N° 15) se forma un triángulo
Figura 15
B
Figura 14
Ahora bien, en la figura se ve que:
00'=AC
QP=AP= CO @
por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra:
AB__AC | un Ar AC
APT AP=CO AP= CO
Medida de distancias salvando un obstáculo
1. Para hallar la distancia AB (Fig. N° 15) se forma un triángulo
Figura 15
Planimetria 25
rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea
AP; y se miden los catetos AP y BP.
inar la. AB, por triángulos
semejantes (Fig. NO 16). Para aplicar este procedimiento. se elige
£
Jurénsms
4
Figura 16
un punto C desde el cual se vean los puntos A y #. Se miden
AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA
ia misma relación que CE tiene respecto a CB. Se miden DE y
CD. De la proporción:
AB_AC
DE” CD
AC: DE
cD
se obtiene: | AB
Trazo de ángulos con cinta
1. Para trazar el ángulo a (Fig. NO 17), sobre la linea base se mide
la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marca
en el terreno y determina la dirección del lado AB que con la
línea AC forman el ángulo «.
BC = AC tan a
rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea
AP; y se miden los catetos AP y BP.
inar la. AB, por triángulos
semejantes (Fig. NO 16). Para aplicar este procedimiento. se elige
£
Jurénsms
4
Figura 16
un punto C desde el cual se vean los puntos A y #. Se miden
AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA
ia misma relación que CE tiene respecto a CB. Se miden DE y
CD. De la proporción:
AB_AC
DE” CD
AC: DE
cD
se obtiene: | AB
Trazo de ángulos con cinta
1. Para trazar el ángulo a (Fig. NO 17), sobre la linea base se mide
la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marca
en el terreno y determina la dirección del lado AB que con la
línea AC forman el ángulo «.
BC = AC tan a
línea base
A
c
Figura 17
2. El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda
(Fig. N° 18).
Figura 18
La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente:
sen bg = BM_2BM_ BC =
aa]
ie ac me za EA
Escogida convenientemente la distancia AC = AB, y calculada
la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a que-
dará trazado.
A
c
Figura 17
2. El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda
(Fig. N° 18).
Figura 18
La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente:
sen bg = BM_2BM_ BC =
aa]
ie ac me za EA
Escogida convenientemente la distancia AC = AB, y calculada
la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a que-
dará trazado.
Planimetria 27
PROBLEMAS NUMERICOS
Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se suje-
taron los extremos de la cinta, en los puntos À y C del terreno.
Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25
y 30 metros en el punto B ¿qué
(Fig. NO 19).
Figura 19
(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede
ejecutar una sola persona.)
SOLUCIÓN
2. Calcule la distancia AB con los datos de la figura si
AM = 38.50 m
CN =29.10 m
AC = 15.80 m
AB =
SOLUCIÓN
Trâcese NQ // AC y compárense los A semejantes BAM y
NQM.
PROBLEMAS NUMERICOS
Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se suje-
taron los extremos de la cinta, en los puntos À y C del terreno.
Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25
y 30 metros en el punto B ¿qué
(Fig. NO 19).
Figura 19
(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede
ejecutar una sola persona.)
SOLUCIÓN
2. Calcule la distancia AB con los datos de la figura si
AM = 38.50 m
CN =29.10 m
AC = 15.80 m
AB =
SOLUCIÓN
Trâcese NQ // AC y compárense los A semejantes BAM y
NQM.
28 Curso básico de topografía
Figura 20
AB_NQ
AM MO * mo AM—CN (1)
Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene
38.5 x 15.8 _ 608.3
APS DT 9.4 en
3. Con el vértice A del ángulo « como centro, se hizo girar la cint
ap > AM:NO _ AM: AC
colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta
los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se
conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo
a? (Fig. N° 21).
succuosf,
MN = 15.76 m
AM = 30.00 m
Figura 21
Figura 20
AB_NQ
AM MO * mo AM—CN (1)
Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene
38.5 x 15.8 _ 608.3
APS DT 9.4 en
3. Con el vértice A del ángulo « como centro, se hizo girar la cint
ap > AM:NO _ AM: AC
colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta
los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se
conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo
a? (Fig. N° 21).
succuosf,
MN = 15.76 m
AM = 30.00 m
Figura 21
Planimetría 29
Sorucıön
Datos:
30°28"
4. Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visi-
ble (Fig. N° 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB
à Juvensme
Figura 22
y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ y PQ. De esta
manera se tienen elementos suficientes para obtener la distan-
cia AB. Calcúlela.
Sorucıön
Daros:
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por
tanto, se puede establecer la proporción:
Sorucıön
Datos:
30°28"
4. Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visi-
ble (Fig. N° 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB
à Juvensme
Figura 22
y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ y PQ. De esta
manera se tienen elementos suficientes para obtener la distan-
cia AB. Calcúlela.
Sorucıön
Daros:
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por
tanto, se puede establecer la proporción:
30 Curso básico de topografía
AB_AQ . pg AQ AP IA
AP PO PQ 10.25
40= 50.81 m |
5. {Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la linea AB, para
que el ángulo « sea de 25°30"?
Se midió la distancia: AB = 20.00 m.
SoLucIÓN
BC = AB tana = 20 tan 25°30"
BC = 20(0.47698) = 9.54 m
| Be= 984m |
6. ¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar
el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes
(Fig. NO 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcu-
larse AB?
SOLUCIÓN
Daros:
AB_AQ . pg AQ AP IA
AP PO PQ 10.25
40= 50.81 m |
5. {Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la linea AB, para
que el ángulo « sea de 25°30"?
Se midió la distancia: AB = 20.00 m.
SoLucIÓN
BC = AB tana = 20 tan 25°30"
BC = 20(0.47698) = 9.54 m
| Be= 984m |
6. ¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar
el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes
(Fig. NO 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcu-
larse AB?
SOLUCIÓN
Daros:
Planimetria 31
Figura 24
CE _CD . cp CD:CB
15 x 31.6
aa oe a
“Ca a
CE= 1129 m |
LEVANTAMIENTOS CON CINTA
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente
horizontal, descubierto y accesible, El levantamiento de un terreno con la
cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas
de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el
resto de lados y ángulos necesarios paradibujarlo ycalcular las superficies
Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura la-
mada polígono de bas: o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro
del terreno que se desea levantar.
El polígono de base se transforma en una figura ri
triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero
y evitando ángulos menores de 20°.
El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de cam-
po y de gabinete.
A. Trasajo DE campo. Este incluye las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento,
para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios,
definir los vértices del polígono de base, etc.
Figura 24
CE _CD . cp CD:CB
15 x 31.6
aa oe a
“Ca a
CE= 1129 m |
LEVANTAMIENTOS CON CINTA
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente
horizontal, descubierto y accesible, El levantamiento de un terreno con la
cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas
de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el
resto de lados y ángulos necesarios paradibujarlo ycalcular las superficies
Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura la-
mada polígono de bas: o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro
del terreno que se desea levantar.
El polígono de base se transforma en una figura ri
triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero
y evitando ángulos menores de 20°.
El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de cam-
po y de gabinete.
A. Trasajo DE campo. Este incluye las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento,
para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios,
definir los vértices del polígono de base, etc.
32 Curso básico de topografia
2. Materializaciôn de los vértices del polígono de base, por medio de
estacas, marcas sobre roca 0 pavimento, fichas, etc.
3. Elección del método que se aplicará en el levantamiento.
4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximada-
mente.
5. Medición de los lados del polígono de base y de las líneas auxi-
líares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir
en triángulos el polígono de base.
6. Medición de las distancias necesarias para el levantamiento de
detalles con relación al polígono de base.
Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara
y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el
trabajo, Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta.
La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta
dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general,
los datos muméricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los
croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha.
Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número
sobre otro. Los datos muméricos no deben borrarse; si un número está equi.
vocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará
arriba.
Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la
construcción del plano.
Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numd-
ricos y los croquis dejan de hacer.
El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor
depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado.
B. TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la
ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos
se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir
el plans.
Este trabajo se hace en el orden siguiente:
sueur
Cálculo, 5
a) De los ángulos interiores del polígono de base.
En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base,
los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:
2. Materializaciôn de los vértices del polígono de base, por medio de
estacas, marcas sobre roca 0 pavimento, fichas, etc.
3. Elección del método que se aplicará en el levantamiento.
4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximada-
mente.
5. Medición de los lados del polígono de base y de las líneas auxi-
líares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir
en triángulos el polígono de base.
6. Medición de las distancias necesarias para el levantamiento de
detalles con relación al polígono de base.
Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara
y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el
trabajo, Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta.
La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta
dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general,
los datos muméricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los
croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha.
Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número
sobre otro. Los datos muméricos no deben borrarse; si un número está equi.
vocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará
arriba.
Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la
construcción del plano.
Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numd-
ricos y los croquis dejan de hacer.
El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor
depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado.
B. TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la
ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos
se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir
el plans.
Este trabajo se hace en el orden siguiente:
sueur
Cálculo, 5
a) De los ángulos interiores del polígono de base.
En cada uno de los triángulos en que se divide el polígono de base,
los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes:
Planimetria 33
niga ¡DE ha
tan 4 ren Invanım
un, lp E nc {> )
Pip D vo D
Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la
condición geomé!
A+B+C= 180°
Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en
que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores
de este.
b) De la superficie del polígono de base.
Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue
dividido el polígono.
La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula
S= Vri Dp — bP
iores, a, b y e, son los lados del triángulo y p el
En las fórmulas ant
semiperímetro.
2. Dibujo.
a) Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, deter-
minar la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad
del trabajo, ya está especificada.
La escala de un plano es la relación fija que todas las distan
el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno.
Se puede expresar por relaciones numérica o gráficamente.
Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia
correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa
un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno,
como:
i »
oo | 8 1100
Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que
corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig, NO 25.)
Lil L ii | |
100 50 100 200 300 100 500
Figura 25
niga ¡DE ha
tan 4 ren Invanım
un, lp E nc {> )
Pip D vo D
Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la
condición geomé!
A+B+C= 180°
Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en
que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores
de este.
b) De la superficie del polígono de base.
Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue
dividido el polígono.
La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula
S= Vri Dp — bP
iores, a, b y e, son los lados del triángulo y p el
En las fórmulas ant
semiperímetro.
2. Dibujo.
a) Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, deter-
minar la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad
del trabajo, ya está especificada.
La escala de un plano es la relación fija que todas las distan
el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno.
Se puede expresar por relaciones numérica o gráficamente.
Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia
correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa
un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno,
como:
i »
oo | 8 1100
Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que
corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig, NO 25.)
Lil L ii | |
100 50 100 200 300 100 500
Figura 25
34 Curso básico de topografía
En la escala gráfica de la figura N® 25, un centímetro representa
100 metros.
La fórmula general de la escala es:
1
TM .
en la cual:
longitud medida en el terreno.
1 = longitud en el plano, y
M = denominador o módulo de la escala.
b) Construcción del plano.
De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte,
“aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle pı
cipal, pueden exigir otra orientación,
El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará
el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas
(lagos, rios, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que
se necesite y procurando que sean agradables a la vista,
La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguien-
te (Fig. N° 26):
Figura 26
Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo infe-
rior derecho.
En la escala gráfica de la figura N® 25, un centímetro representa
100 metros.
La fórmula general de la escala es:
1
TM .
en la cual:
longitud medida en el terreno.
1 = longitud en el plano, y
M = denominador o módulo de la escala.
b) Construcción del plano.
De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte,
“aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle pı
cipal, pueden exigir otra orientación,
El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará
el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas
(lagos, rios, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que
se necesite y procurando que sean agradables a la vista,
La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguien-
te (Fig. N° 26):
Figura 26
Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo infe-
rior derecho.
Planimetria 35
Un titulo de un plano debe contener todos los datos que se necesiten
de los que a continuación se citan.
Clase del plano.
Objeto del plano, si se representan detalles especiales. 4
Localización del terreno levantado. Juvensn
Nombre del propietario.
Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte)
Fecha.
Nombre del ingeniero responsable,
Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son:
La longitud de cada lado del polígono.
El ángulo entre cada par de lados consecutivos.
La superficie del terreno incluido.
El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los
terrenos adyacentes al levantado.
La dirección de la meridiana (magnética o astronómica)
La escala.
Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a
signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abrevia-
tura que por convención se supone que representa una característica espe-
cífica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a
la escala del plano,
Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila.
Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela
de calca.
Los instrumentos de dibujo son:
Escalimetros, de sección triangular, con seis escalas.
Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longi-
tud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada.
Juego de escuadras.
Transportador pata medir y trazar ángulos. La forma usual para dibu-
jar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de
metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado.
Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios
mayores de 15 cm.
Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla,
las escuadras, escalas y el transportador.
Las operaciones de la construcción de un plano son, en
inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento.
El proceso del dibujo del plano comprende:
to modo,
Un titulo de un plano debe contener todos los datos que se necesiten
de los que a continuación se citan.
Clase del plano.
Objeto del plano, si se representan detalles especiales. 4
Localización del terreno levantado. Juvensn
Nombre del propietario.
Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte)
Fecha.
Nombre del ingeniero responsable,
Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son:
La longitud de cada lado del polígono.
El ángulo entre cada par de lados consecutivos.
La superficie del terreno incluido.
El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los
terrenos adyacentes al levantado.
La dirección de la meridiana (magnética o astronómica)
La escala.
Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a
signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abrevia-
tura que por convención se supone que representa una característica espe-
cífica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a
la escala del plano,
Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila.
Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela
de calca.
Los instrumentos de dibujo son:
Escalimetros, de sección triangular, con seis escalas.
Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longi-
tud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada.
Juego de escuadras.
Transportador pata medir y trazar ángulos. La forma usual para dibu-
jar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de
metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado.
Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios
mayores de 15 cm.
Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla,
las escuadras, escalas y el transportador.
Las operaciones de la construcción de un plano son, en
inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento.
El proceso del dibujo del plano comprende:
to modo,
36 Curso básico de topografía
1. La determinación de los puntos de control que son los vértices de
la poligonal o polígono de base; y
2. La localización de los detalles del plano, empleando medidas
angulares y lineales de los lados y vértices del polígono de base.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA
Comúnmente se emplean los siguientes:
Radiaciones.
Diagonales. enero
Líneas de liga. ES
Prolongación de alineacion
Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono
de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de
las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se
denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base.
Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resul-
tados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica
en el ejemplo siguiente (registro 1):
REGISTRO DE CAMPO 1
MEXICO, Dr,
Leventomeno con ci de 30, me and
ei ee Levant: tod Gore H
Est. | PV. BRIAN CROQUIS Y NOTAS
Ida | Regreso | Promedio
Fois | os Ps
2 | da 3196
[2 | o | ve) va) Sree
2 | 3 | 0 | bu | 56 |
| 3 | 0 | 2923 | m2 | 223
52] on | an | an
ile
ils
3826 | 3828 | 5827
ast | ass |
65 |
1. La determinación de los puntos de control que son los vértices de
la poligonal o polígono de base; y
2. La localización de los detalles del plano, empleando medidas
angulares y lineales de los lados y vértices del polígono de base.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA
Comúnmente se emplean los siguientes:
Radiaciones.
Diagonales. enero
Líneas de liga. ES
Prolongación de alineacion
Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono
de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de
las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se
denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base.
Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resul-
tados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica
en el ejemplo siguiente (registro 1):
REGISTRO DE CAMPO 1
MEXICO, Dr,
Leventomeno con ci de 30, me and
ei ee Levant: tod Gore H
Est. | PV. BRIAN CROQUIS Y NOTAS
Ida | Regreso | Promedio
Fois | os Ps
2 | da 3196
[2 | o | ve) va) Sree
2 | 3 | 0 | bu | 56 |
| 3 | 0 | 2923 | m2 | 223
52] on | an | an
ile
ils
3826 | 3828 | 5827
ast | ass |
65 |
Planimetría 37
Est, = Estación: vértice desde el cual se hace la observación o medida.
P.V. = PUNTO VISADO.
El método dese!
puede aplicarse cuando el terreno por levantar es
temente despejado y debe procurarse
ifieran poco del equilätero o en su
£
de pequeñas dimensiones y sufi
que los triángulos que se formen
defecto del isósceles,
Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por
medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del
polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el re-
gistro de campo. (Registro 2.)
REGISTRO DE CAMPO 2
ZACATENCO, D. E.
Levantamiento con cinta de 30 me. ums;
or el mode de diagonales Levanıs: Enrique Zürie
Es pr. Ne CROQUIS Y NOTAS |
| da | Regreso | Promedio |
Tre | me | mu |
1[2| 3509 | se | 30 |
2| 0 | ass | 4657 | 4656
215] 30 | 20 | 20 |
3] 1] sul srs | sa |
5/4) 5e | 3367 | me |
311] on | am | sm
s|o| mea | 2e | me
o | 3 | 5605 | 5607 | sess
Método de líneas de liga
Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que
‘no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos,
por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres
vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en
tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas
de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además,
las lineas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro
de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3):
Est, = Estación: vértice desde el cual se hace la observación o medida.
P.V. = PUNTO VISADO.
El método dese!
puede aplicarse cuando el terreno por levantar es
temente despejado y debe procurarse
ifieran poco del equilätero o en su
£
de pequeñas dimensiones y sufi
que los triángulos que se formen
defecto del isósceles,
Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por
medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del
polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el re-
gistro de campo. (Registro 2.)
REGISTRO DE CAMPO 2
ZACATENCO, D. E.
Levantamiento con cinta de 30 me. ums;
or el mode de diagonales Levanıs: Enrique Zürie
Es pr. Ne CROQUIS Y NOTAS |
| da | Regreso | Promedio |
Tre | me | mu |
1[2| 3509 | se | 30 |
2| 0 | ass | 4657 | 4656
215] 30 | 20 | 20 |
3] 1] sul srs | sa |
5/4) 5e | 3367 | me |
311] on | am | sm
s|o| mea | 2e | me
o | 3 | 5605 | 5607 | sess
Método de líneas de liga
Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que
‘no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos,
por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres
vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en
tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas
de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además,
las lineas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro
de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3):
38 Curso básico de topografía
REGISTRO DE CAMPO 3
| MI
| zeremanieue con cinta de 30 me QUERIA
a ato de ts de Le Levant: Feipe Sate
DISTANCIAS
A | croguis ¥ woras
| Tae |_ Regreso | Prom
PT je
la 400
(7 | 10
ste | 620
A Er
; 200
le 500
ps Soe
2 3 | 11.58
| 1 1%
ras |
3 | 0 | as |:
1 |
: |
sle
Método de alineaciones 5
Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de
un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolon-
gar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción
© los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del
rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los
puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rec-
tángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como
comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las dis-
tancias Aa’, Aa”, Bb’, Bb", Este método es adecuado para levantar
perímetros de construcciones irregulares.
REGISTRO DE CAMPO 3
| MI
| zeremanieue con cinta de 30 me QUERIA
a ato de ts de Le Levant: Feipe Sate
DISTANCIAS
A | croguis ¥ woras
| Tae |_ Regreso | Prom
PT je
la 400
(7 | 10
ste | 620
A Er
; 200
le 500
ps Soe
2 3 | 11.58
| 1 1%
ras |
3 | 0 | as |:
1 |
: |
sle
Método de alineaciones 5
Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de
un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolon-
gar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción
© los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del
rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los
puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rec-
tángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como
comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las dis-
tancias Aa’, Aa”, Bb’, Bb", Este método es adecuado para levantar
perímetros de construcciones irregulares.
£ Planimetria 39
REGISTRO DE CAMPO 4
ZACATENCO, D. E,
su | am PEN | CROQUIS Y NOTAS
RE
M|4 675
|
dE E
e 322 |
|
comprobación: +
B © 26.50 26.50 26.50 ...
Método de coordenadas rectangulares
Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar
cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste
en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares
convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada per-
pendicular al origen.
En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y
bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces
se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares
y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo,
como se indica en el ejemplo siguiente.
REGISTRO DE CAMPO 4
ZACATENCO, D. E,
su | am PEN | CROQUIS Y NOTAS
RE
M|4 675
|
dE E
e 322 |
|
comprobación: +
B © 26.50 26.50 26.50 ...
Método de coordenadas rectangulares
Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar
cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste
en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares
convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada per-
pendicular al origen.
En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y
bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces
se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares
y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo,
como se indica en el ejemplo siguiente.
40 Curso básico de topografía
recen
3
REGISTRO DE CAMPO 5
Levantamiento con cin por el MEXICO, D. F.
metodo de conrdenadas recta | SEP-Tà
| ares | Levanté: Othón Rios
[COORDENADAS
CROQUIS Y NOTAS
2 1140 | 3044
3 3076 | 3378
4 3979 | 2066
s 3040 | 186 |
Comprobación:
| 2547
34 1593 |
ss | 210
si 2065 |
LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES
Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden
fijar las cuatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada uno
los cuatro lados del perímetro y las diagonales.
Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación
con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer
todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota
del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se
pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra.
Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de
emplear líneas de liga, para tener los ángulos.
‘También pueden levantarse por este método los predios y lotes peque-
ños, en la parte no edificada.
LEVANTAMIENTO DE DETALLES
Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos
distancias Fig. N° 27) o bien por normales a los lados del polígono de
base o a la prolongación de los lados del polígono.
recen
3
REGISTRO DE CAMPO 5
Levantamiento con cin por el MEXICO, D. F.
metodo de conrdenadas recta | SEP-Tà
| ares | Levanté: Othón Rios
[COORDENADAS
CROQUIS Y NOTAS
2 1140 | 3044
3 3076 | 3378
4 3979 | 2066
s 3040 | 186 |
Comprobación:
| 2547
34 1593 |
ss | 210
si 2065 |
LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES
Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden
fijar las cuatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada uno
los cuatro lados del perímetro y las diagonales.
Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación
con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer
todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota
del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se
pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra.
Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de
emplear líneas de liga, para tener los ángulos.
‘También pueden levantarse por este método los predios y lotes peque-
ños, en la parte no edificada.
LEVANTAMIENTO DE DETALLES
Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos
distancias Fig. N° 27) o bien por normales a los lados del polígono de
base o a la prolongación de los lados del polígono.
2 Planimetsia 41
Javonsmes
‘
E
lado 4-5
intersecciones poste
Figura 27
PROBLEMAS
1. Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1:10,000
una línea que en el terreno mide 450 metros.
Datos: SOLUCION
mA; Die Bra gard de la cian
ae age E
LM r M 10,000
= 0065 m |
2. Determinar la longitud en el terreno de una linea medida en el pla-
no. Sea 1:5,000 la escala del plano, /= 14 mm la distancia medida
en él, y L su homóloga en el terreno.
Datos: Sorucıön
14 mm L=1-M=0.014 x 5,000 = 70 m
5,000
Lory
L=70.00 m |
3. Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el
plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano.
Datos: SOLUCIÓN
128.50 m L _ 128.50
0.065 m M=T= Dogg 19769 = 2,000
Se usará la escala 1:2,000
Javonsmes
‘
E
lado 4-5
intersecciones poste
Figura 27
PROBLEMAS
1. Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1:10,000
una línea que en el terreno mide 450 metros.
Datos: SOLUCION
mA; Die Bra gard de la cian
ae age E
LM r M 10,000
= 0065 m |
2. Determinar la longitud en el terreno de una linea medida en el pla-
no. Sea 1:5,000 la escala del plano, /= 14 mm la distancia medida
en él, y L su homóloga en el terreno.
Datos: Sorucıön
14 mm L=1-M=0.014 x 5,000 = 70 m
5,000
Lory
L=70.00 m |
3. Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el
plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano.
Datos: SOLUCIÓN
128.50 m L _ 128.50
0.065 m M=T= Dogg 19769 = 2,000
Se usará la escala 1:2,000
42 Curso básico de topografía
4. Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno trian-
gular cuyos lados se midieron con cinta.
1% SOLUCIÓN (por logaritmos):
a= 1990
p= 6240 VE = 06 DE 9
P-a= 4250
P-b= 11.50 = Jab senc
p-0= 840
El cálculo por logaritmos se dispone como sigue:
log (p — b) = 1.060698 log (p— a) = 1.628389
log (p — c) = 0.924279 log (p = €) 0.924279
cologp = 8.204815 colog p= 8.204815
colog (p — a) 8.371611 colog (p — b) 8.939302
Zion = 18561603 Ziogun 2 = 1000185
A B
toga 4 = s280701$ ion À = 93482025
A jagt B 012
=" 10°48’ 3 35-12
4. Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno trian-
gular cuyos lados se midieron con cinta.
1% SOLUCIÓN (por logaritmos):
a= 1990
p= 6240 VE = 06 DE 9
P-a= 4250
P-b= 11.50 = Jab senc
p-0= 840
El cálculo por logaritmos se dispone como sigue:
log (p — b) = 1.060698 log (p— a) = 1.628389
log (p — c) = 0.924279 log (p = €) 0.924279
cologp = 8.204815 colog p= 8.204815
colog (p — a) 8.371611 colog (p — b) 8.939302
Zion = 18561603 Ziogun 2 = 1000185
A B
toga 4 = s280701$ ion À = 93482025
A jagt B 012
=" 10°48’ 3 35-12
Planimetria 43
log (p — a) = 1.628389
log (p — b) 1.060698
colog p 8.204815
colog (p — €) =_9.075721
2logtan < 19.969623
log tan © 9.9848115
x RT
me E
7 44°00"
| c= 88°07
Comprobación:
A= 21°36
B 70°24"
C= 88°00"
AFF C= 1800"
gee aise Comprobación:
I ely 1.628380 loga= 1.298853
E 2 2 pees logb= 1.706718
cazan log sen C= 9.999735 — 10
log (p — €) = 05
2 log S = 3408557 9.698970 — 10
log $ 7042755
S= 506.1464 m°
2% sorucıön (por funciones naturales):
4 - [1 D0-9 _ [15x84 A
wen y A Pag
a as = 0.190854 À = 10%483
B_Jt-06-0 _, 2384 5
CITÓ re . Basa
7% 70-5) Mens ZUR
e RSS, c
Mai RSS „Eggs:
a mara BE SES
log (p — a) = 1.628389
log (p — b) 1.060698
colog p 8.204815
colog (p — €) =_9.075721
2logtan < 19.969623
log tan © 9.9848115
x RT
me E
7 44°00"
| c= 88°07
Comprobación:
A= 21°36
B 70°24"
C= 88°00"
AFF C= 1800"
gee aise Comprobación:
I ely 1.628380 loga= 1.298853
E 2 2 pees logb= 1.706718
cazan log sen C= 9.999735 — 10
log (p — €) = 05
2 log S = 3408557 9.698970 — 10
log $ 7042755
S= 506.1464 m°
2% sorucıön (por funciones naturales):
4 - [1 D0-9 _ [15x84 A
wen y A Pag
a as = 0.190854 À = 10%483
B_Jt-06-0 _, 2384 5
CITÓ re . Basa
7% 70-5) Mens ZUR
e RSS, c
Mai RSS „Eggs:
a mara BE SES
44 Curso básico de topografía
Comprobación:
213616
70°23
sueno
5
dos:
aT
5= $e sen À = À (50.9)(54) (0.368294) = 506.1464 m
Comprobación:
S=JabsenC= (19.9)(509)(0.99939) = 506.1461 m*
5. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superfi-
cie del polígono de base.
ZACATENCO. D. F.
Levantamiento con cinta de 30 m por HA ABRIL T6
el método
eee Lean: ando a à
Juas] CROQUIS Y NOTAS
2232 ö
ae y
i740
2500
28.60
E)
| 24.67
20.96 Y
1732
| 1856
SOLUCION
34.40 x 11.48 x 13.19 x 9.73 V30682.3480 = 225.1271
S.= 136.235 x 11.565 x 15.275 x 9.395 = V60138.3990 = 245.2313
Sy = 2800 x TAT x 10.69 x 1027 V21988.186
V3088 x 13.06 x 588 x 1194 = V28314.0580
148.2841
168.2678
Comprobación:
213616
70°23
sueno
5
dos:
aT
5= $e sen À = À (50.9)(54) (0.368294) = 506.1464 m
Comprobación:
S=JabsenC= (19.9)(509)(0.99939) = 506.1461 m*
5. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superfi-
cie del polígono de base.
ZACATENCO. D. F.
Levantamiento con cinta de 30 m por HA ABRIL T6
el método
eee Lean: ando a à
Juas] CROQUIS Y NOTAS
2232 ö
ae y
i740
2500
28.60
E)
| 24.67
20.96 Y
1732
| 1856
SOLUCION
34.40 x 11.48 x 13.19 x 9.73 V30682.3480 = 225.1271
S.= 136.235 x 11.565 x 15.275 x 9.395 = V60138.3990 = 245.2313
Sy = 2800 x TAT x 10.69 x 1027 V21988.186
V3088 x 13.06 x 588 x 1194 = V28314.0580
148.2841
168.2678
Planimetria 45
6. Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base
levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo,
con los datos del siguiente registro de campo.
MEXICO, D. E
Levantamiento con cinta de 50 m, SO. AGOSTÓ-54
por el metodo de diagonales Levanté: Fdo. García L.
Es | P.v.] Distancias | CROQUIS Y NOTAS
112 | 5060
1213 | 3510
3 | 4 | 5640
ES
la fa | 6150
[2 [4 | 6830
Triángulo 1 - 2-4
an $= EEE 035994 $= 29374
8 Fe
E = 0309397; $= 17115
1_ 935572835 es Mallas
TE = 1.160604; 3 = 49151
VTE9S x 28.35 x 3995 x 10,63 = 975.8561 m
Comprobación:
bidón 8, = 3 (50.6) (39.0) (098902) =
34230
98°30.2 975.8660 m*
6. Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base
levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo,
con los datos del siguiente registro de campo.
MEXICO, D. E
Levantamiento con cinta de 50 m, SO. AGOSTÓ-54
por el metodo de diagonales Levanté: Fdo. García L.
Es | P.v.] Distancias | CROQUIS Y NOTAS
112 | 5060
1213 | 3510
3 | 4 | 5640
ES
la fa | 6150
[2 [4 | 6830
Triángulo 1 - 2-4
an $= EEE 035994 $= 29374
8 Fe
E = 0309397; $= 17115
1_ 935572835 es Mallas
TE = 1.160604; 3 = 49151
VTE9S x 28.35 x 3995 x 10,63 = 975.8561 m
Comprobación:
bidón 8, = 3 (50.6) (39.0) (098902) =
34230
98°30.2 975.8660 m*
46 Curso básico de topografía
Triángulo 2 — 3 — 4
35.10 ma _ [HS XIT6
Se mean E = BITS _ 0275963, = 15256
rm. TIE
Ip = 159.8 £
p= no (UT
pa = 4480
pb = 2350 A 49.
babe as 1.065787; >= 46°49".4
[THI KALE RBS ING = STE mT
Comprobación:
eE sota 5, = 4 (85.1) (56.4) (0.99797)
55°2918 4
933818 5: = 987.8107 m’
98°30.2
2= 952.8
3= 03388
779580
ÁNGULOS
INTERIORES.
14243 +4= 3599598
$, = 975.8561
wuremaung 5= 987.8143
5
Sr = 1963.6704 m* SUPERFICIE
7. Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el
procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los
datos del registro siguiente:
Triángulo 2 — 3 — 4
35.10 ma _ [HS XIT6
Se mean E = BITS _ 0275963, = 15256
rm. TIE
Ip = 159.8 £
p= no (UT
pa = 4480
pb = 2350 A 49.
babe as 1.065787; >= 46°49".4
[THI KALE RBS ING = STE mT
Comprobación:
eE sota 5, = 4 (85.1) (56.4) (0.99797)
55°2918 4
933818 5: = 987.8107 m’
98°30.2
2= 952.8
3= 03388
779580
ÁNGULOS
INTERIORES.
14243 +4= 3599598
$, = 975.8561
wuremaung 5= 987.8143
5
Sr = 1963.6704 m* SUPERFICIE
7. Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el
procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los
datos del registro siguiente:
Planimetría 47
ZACATENCO, D. E.
Levantamiento con cinta de 30 me-
ron, por el método de líneas de lisa Levanté: Javier Gon
CROQUIS Y NOTAS
SoLución
Triángulo a-A-h pms
Aa= 1000 p~ Aa = 6.85 A_ |
PAN 685 MT Vig as aay ~ 09402
p—ah=3.15 =
Aaa A= 86°28" |
7 J
Triángulo b-B-c
700 p — Bb = 5.895 B (5.895)
700 p—Be 895 anse Ti LU
1179 p be = 1.105 Hees
ER, = = 572 B= 11444
Triángulo d-C-e
Ca= 800 p-Cd=5:15
Ce= 800 p-Ce=5415 1
1083 p— de=2.585
26.837
13.415
0.9195
86415:
13415 x 2.585
|
aw [es]
€
®
€
z
ZACATENCO, D. E.
Levantamiento con cinta de 30 me-
ron, por el método de líneas de lisa Levanté: Javier Gon
CROQUIS Y NOTAS
SoLución
Triángulo a-A-h pms
Aa= 1000 p~ Aa = 6.85 A_ |
PAN 685 MT Vig as aay ~ 09402
p—ah=3.15 =
Aaa A= 86°28" |
7 J
Triángulo b-B-c
700 p — Bb = 5.895 B (5.895)
700 p—Be 895 anse Ti LU
1179 p be = 1.105 Hees
ER, = = 572 B= 11444
Triángulo d-C-e
Ca= 800 p-Cd=5:15
Ce= 800 p-Ce=5415 1
1083 p— de=2.585
26.837
13.415
0.9195
86415:
13415 x 2.585
|
aw [es]
€
®
€
z
48 Curso básico de topografía
Triángulo f-D-g
p= 1439
Comprobación:
8. Con los datos del registro siguiente
a) Dibuje el plano a la escala 1:500.
b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando
el resultado.
Lamine con na de 30 me Tomas de Sotelo D E.
tron. por el méiodo de prolongación ISEB TS
PA eae alineaciones Levanté: Guillermo Garcia O.
CROQUIS Y NOTAS
Distancias
£
2
s|
1 5040 |
| À 5510 |
5 so
All Er
SoLucıon
S = 1963.5967 m*
9. En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el regis-
tro de campo, se obtuvieron los datos siguientes:
Triángulo f-D-g
p= 1439
Comprobación:
8. Con los datos del registro siguiente
a) Dibuje el plano a la escala 1:500.
b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando
el resultado.
Lamine con na de 30 me Tomas de Sotelo D E.
tron. por el méiodo de prolongación ISEB TS
PA eae alineaciones Levanté: Guillermo Garcia O.
CROQUIS Y NOTAS
Distancias
£
2
s|
1 5040 |
| À 5510 |
5 so
All Er
SoLucıon
S = 1963.5967 m*
9. En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el regis-
tro de campo, se obtuvieron los datos siguientes:
Planimetría 49
a) Calcule la superficie.
b) Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados
con los obtenidos directamente en el campo.
©) Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1:10).
Levantamiento con cinta de 30 me.
MEXICO, D F.
Re née de cobrdenas RAF
ae Levanıs: Enrique Garda
COORDENADAS
Vénicos CROQUIS Y NOTAS
x Y
192 72687
2000 2000
2890 sa
ite 355
12 ahs m
2 Zem
34 17.55 m
a 35.5 m 1
SoLuci6n 2
a) Cálculo de la superficie:
[+ axe Yo +
KR Y) + A XA YO
s=3 [ers ass) + (48.9) (—31.58) +
(40.52) (—4.87) + (13.54) (23.32)
y
[srao96 = 15442620 — 1973324 + 2151528]
|
Nota: EI signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha
recorrido el polígono.
569.0160 mi
a) Calcule la superficie.
b) Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados
con los obtenidos directamente en el campo.
©) Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1:10).
Levantamiento con cinta de 30 me.
MEXICO, D F.
Re née de cobrdenas RAF
ae Levanıs: Enrique Garda
COORDENADAS
Vénicos CROQUIS Y NOTAS
x Y
192 72687
2000 2000
2890 sa
ite 355
12 ahs m
2 Zem
34 17.55 m
a 35.5 m 1
SoLuci6n 2
a) Cálculo de la superficie:
[+ axe Yo +
KR Y) + A XA YO
s=3 [ers ass) + (48.9) (—31.58) +
(40.52) (—4.87) + (13.54) (23.32)
y
[srao96 = 15442620 — 1973324 + 2151528]
|
Nota: EI signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha
recorrido el polígono.
569.0160 mi
50 Curso básico de topografía
b) Cálculo de los lados: d FF M N
=22.34 m
3=4= VOTEZ — 289) + (3,35 — 8,42): = 17.95 m
V (3211.62) F (26.87 — 3,35): = 25.26 m
Nota: Los lados calculados coinciden con los medidos en el
campo y que figuran en el registro respectivo.
=
LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA Y CINTA
¡ón topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar
a las líneas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas
en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo
horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene
una dirección fija, Comúnmente se emplean como líneas de referencia la
meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegi
arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta. 4
Defini
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo
máximo que pasa por ese punto y por los polos terrestres.
Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una
aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético te-
rresire
Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por
la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de
fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética sus-
pendida libremente,
Los polos magnéticos están a alguna distancia de los polos geográficos,
por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera.
La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemen!
y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin em-
bargo, la meridiana magnética se emplea como una linea de referencia en
los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula,
Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una
brújula
b) Cálculo de los lados: d FF M N
=22.34 m
3=4= VOTEZ — 289) + (3,35 — 8,42): = 17.95 m
V (3211.62) F (26.87 — 3,35): = 25.26 m
Nota: Los lados calculados coinciden con los medidos en el
campo y que figuran en el registro respectivo.
=
LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA Y CINTA
¡ón topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar
a las líneas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas
en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo
horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene
una dirección fija, Comúnmente se emplean como líneas de referencia la
meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegi
arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta. 4
Defini
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo
máximo que pasa por ese punto y por los polos terrestres.
Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una
aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético te-
rresire
Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por
la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de
fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética sus-
pendida libremente,
Los polos magnéticos están a alguna distancia de los polos geográficos,
por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera.
La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemen!
y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin em-
bargo, la meridiana magnética se emplea como una linea de referencia en
los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula,
Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una
brújula
Planimetria 51
Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica
y la magnética.
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo
norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica
o verdadera. (Fig. N° 28.)
2
ns astronómica
Meridiana magnética
S = Declinación magn
Figura 28
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a
variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares.
La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproxi
madamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importan
para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se
encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores.
La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación
secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es
menor de 1’.
iaria se le Mama variación solar diuma y ocurre todos
¡ación media es menor de 8, cantidad tan pequeña que
no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la
brújula,
Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y lo
más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden
alcanzar la magnitud de 1% o más, especialmente a elevadas latitudes.
Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica
y la magnética.
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo
norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica
o verdadera. (Fig. N° 28.)
2
ns astronómica
Meridiana magnética
S = Declinación magn
Figura 28
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a
variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares.
La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproxi
madamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importan
para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se
encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores.
La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación
secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es
menor de 1’.
iaria se le Mama variación solar diuma y ocurre todos
¡ación media es menor de 8, cantidad tan pequeña que
no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la
brújula,
Las variaciones irregulares se deben a perturbaciones magnéticas y lo
más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden
alcanzar la magnitud de 1% o más, especialmente a elevadas latitudes.
52 Curso bésico de topografía
Se llaman líneas isogönicas a las que unen los distintos lugares de la
Tierra que tienen la misma declinación.
Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula.
Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja
imanada libre forma con el plano horizontal.
Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las
brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la
punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite man-
tener la aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur.
Lineas isóctinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación mag-
nética y corresponden a los círculos de igual latitud.
La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada
puede definirse por el azimut o por el rumbo.
Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre
el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movi-
miento de las manecillas del reloj y su valor varia entre 0° y 360°.
Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meri-
diano es el verdadero 0 el magnético.
Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea
y azimut inverso el tomado en su extremo final.
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180%,
esto es
180°
Azimut
recerca
5
levantamie
A
Figura 29
Az. BA= Az, AB + 180°
Se llaman líneas isogönicas a las que unen los distintos lugares de la
Tierra que tienen la misma declinación.
Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula.
Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja
imanada libre forma con el plano horizontal.
Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las
brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la
punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite man-
tener la aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur.
Lineas isóctinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación mag-
nética y corresponden a los círculos de igual latitud.
La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada
puede definirse por el azimut o por el rumbo.
Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre
el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movi-
miento de las manecillas del reloj y su valor varia entre 0° y 360°.
Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meri-
diano es el verdadero 0 el magnético.
Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea
y azimut inverso el tomado en su extremo final.
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 180%,
esto es
180°
Azimut
recerca
5
levantamie
A
Figura 29
Az. BA= Az, AB + 180°
53
Planimet
Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut
inverso, se le restan 180°; y si el azimut directo es menor que 180°, enton-
es el inverso se obtiene agregándole esa cantidad.
£
Juecrn
EsempLos
1. Si Az. directo = 75°12" 5
entonces:
Az. inverso = 75°12’ + 180° = 255°12°
Az. directo = 230°40°
Az. inverso = 230°40 — 180° 60-30
Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con
la meridiana; su valor está comprendido entre 0° y 90°; y se mide a partir
del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste we
El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano
sea el astronómico o el magnético.
El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra
y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante.
Así, en la figura N9 30, los rumbos de las líneas OA, OB, OC y OD,
se indican como sigue:
N
Rbo. 04 = N 61°10" E
Rbo. OB = $ 42°07 E
Rbo. OC = $ 59°32" W
Rbo. OD = N 31%40' W
Figura 30
Planimet
Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut
inverso, se le restan 180°; y si el azimut directo es menor que 180°, enton-
es el inverso se obtiene agregándole esa cantidad.
£
Juecrn
EsempLos
1. Si Az. directo = 75°12" 5
entonces:
Az. inverso = 75°12’ + 180° = 255°12°
Az. directo = 230°40°
Az. inverso = 230°40 — 180° 60-30
Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con
la meridiana; su valor está comprendido entre 0° y 90°; y se mide a partir
del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste we
El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano
sea el astronómico o el magnético.
El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra
y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante.
Así, en la figura N9 30, los rumbos de las líneas OA, OB, OC y OD,
se indican como sigue:
N
Rbo. 04 = N 61°10" E
Rbo. OB = $ 42°07 E
Rbo. OC = $ 59°32" W
Rbo. OD = N 31%40' W
Figura 30
54 Curso básico de topografía
Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e
inversos. Se llama rumbo directo de una línea, el que se toma en la direc-
ción general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección
opuesta. (Fig. NS 31.) El rumbo directo y el rumbo inverso de una mis-
‘ma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos.
N
Rbo. inverso
Rbo. AB = $ 60°15" E
Rbo. BA = N 60°15 W
Figura 81
Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos
Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación
magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante
la relación siguiente (Fig. N° 32
Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e
inversos. Se llama rumbo directo de una línea, el que se toma en la direc-
ción general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección
opuesta. (Fig. NS 31.) El rumbo directo y el rumbo inverso de una mis-
‘ma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos.
N
Rbo. inverso
Rbo. AB = $ 60°15" E
Rbo. BA = N 60°15 W
Figura 81
Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos
Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación
magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante
la relación siguiente (Fig. N° 32
Planimetria 55
AB
Azimut astronómico de la Hin
Azimut magnótico de la línea AB
Figura 32
Az. astronómico = Az. magnético + Declinación
Esemrio
Determine el azimut astronómico de la línea AB.
Daros:
Az. magnético AB = 93°28".
Declinación magnética: 8 = +9°43',
SoLución
Az. astronómico AB = 93°28° + 9°43"
Az. astronómico AB = 103
icos a rumbos astronómicos
Conversión de rumbos magni
Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma 0
se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante.
AB
Azimut astronómico de la Hin
Azimut magnótico de la línea AB
Figura 32
Az. astronómico = Az. magnético + Declinación
Esemrio
Determine el azimut astronómico de la línea AB.
Daros:
Az. magnético AB = 93°28".
Declinación magnética: 8 = +9°43',
SoLución
Az. astronómico AB = 93°28° + 9°43"
Az. astronómico AB = 103
icos a rumbos astronómicos
Conversión de rumbos magni
Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma 0
se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante.
56 Curso básico de topografía
1% cuadrante 20 cuadrante
[ara] [rio
3°” cuadrante nun 49 cuadrante
CC IT
Figura 83
1e y 3% cuadrantes: Rumbo astronómico = Rumbo magnético +
Declinación,
29 y 49 cuadrantes. Rumbo astronómico = Rumbo magnético —
Declinación.
1% cuadrante 20 cuadrante
[ara] [rio
3°” cuadrante nun 49 cuadrante
CC IT
Figura 83
1e y 3% cuadrantes: Rumbo astronómico = Rumbo magnético +
Declinación,
29 y 49 cuadrantes. Rumbo astronómico = Rumbo magnético —
Declinación.
Planimetría 57
EsempLo:
El rumbo magnético de una linea es $42°40’W, y la declinación
magnética es 6°10" E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la linea?
Datos:
Rbo. magnético = $ 42°40" W.
Declinación = 6°10" E.
Rho. astronómico = ?
SoLuci6n
Dibuje un croquis.
Figura 34
Rbo. astronómico = rumbo magnético + declinación,
5 42240 W + 6°10.
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y
viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-
EsempLo:
El rumbo magnético de una linea es $42°40’W, y la declinación
magnética es 6°10" E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la linea?
Datos:
Rbo. magnético = $ 42°40" W.
Declinación = 6°10" E.
Rho. astronómico = ?
SoLuci6n
Dibuje un croquis.
Figura 34
Rbo. astronómico = rumbo magnético + declinación,
5 42240 W + 6°10.
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y
viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-
58 Curso básico de topografía
tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los
cuatro cuadrantes, (Fig. N° 35.)
N
4/8
Rbo.
w E w.
A
17 cuadrante 2° cuadrante
Rbo = Az Rbo = 180° — Az
Az = Rbo Az = 180° — Rbo
N N
B
Rb
N ES
v - E w | 7 F
pa Le
An.
Rb
B
30" cuadrante 4° cuadrame
Rbo = Az — 180 Rbo = 360" — Az
Az= 180° + Rbo Az = 360° — Rbo
Figura 35
tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los
cuatro cuadrantes, (Fig. N° 35.)
N
4/8
Rbo.
w E w.
A
17 cuadrante 2° cuadrante
Rbo = Az Rbo = 180° — Az
Az = Rbo Az = 180° — Rbo
N N
B
Rb
N ES
v - E w | 7 F
pa Le
An.
Rb
B
30" cuadrante 4° cuadrame
Rbo = Az — 180 Rbo = 360" — Az
Az= 180° + Rbo Az = 360° — Rbo
Figura 35
EJEMPLOS 4
1. Convertir a rumbos los siguientes azimutes:
| azimutes] Rumbos | SoLucION
| 124°35"|
5 55225 179°60' 359060" 198°52'
| 4 Ne — 124935" — 283°07 — 180°
[des lay, BE NTE SSP
2. Convertir a azimutes, los rumbos siguientes:
Rumbos | Azimutes SoLucióN
‘5 23°40" W | 203°40 180° 17960" 359060"
NS6°21'E | 56217) + 23040 = HA — 8103
S 9%56' E | 170%04' 7 7 ST
N 81-03 w| 2780571 20340 1700 PES
Descripción de la brójula
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar
direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. N° 36.)
Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la
brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su
aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los eje-
cutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topó-
grafo moderno.
Las partes principales de la brújula son:
1. La caja que lleva un círculo graduado de 0° a 360° en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0° a 90° en ambas direc-
ciones del N y del $ y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido
al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en
un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula.
3. Pinulas ocular y objetivo, que son los elementos que sirven para
dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y $
de la caja de la brújula, y
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote
colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso
para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.
1. Convertir a rumbos los siguientes azimutes:
| azimutes] Rumbos | SoLucION
| 124°35"|
5 55225 179°60' 359060" 198°52'
| 4 Ne — 124935" — 283°07 — 180°
[des lay, BE NTE SSP
2. Convertir a azimutes, los rumbos siguientes:
Rumbos | Azimutes SoLucióN
‘5 23°40" W | 203°40 180° 17960" 359060"
NS6°21'E | 56217) + 23040 = HA — 8103
S 9%56' E | 170%04' 7 7 ST
N 81-03 w| 2780571 20340 1700 PES
Descripción de la brójula
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar
direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. N° 36.)
Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la
brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su
aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los eje-
cutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topó-
grafo moderno.
Las partes principales de la brújula son:
1. La caja que lleva un círculo graduado de 0° a 360° en el sentido
del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0° a 90° en ambas direc-
ciones del N y del $ y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido
al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja.
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en
un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula.
3. Pinulas ocular y objetivo, que son los elementos que sirven para
dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y $
de la caja de la brújula, y
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote
colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso
para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical.
60 Curso básico de topografía
pinula
contrapeso de
la aguja nivel circular
nivel del eclímetro
pínula
pinula
contrapeso de
la aguja nivel circular
nivel del eclímetro
pínula
Planimetria 61
Condiciones que debe satisfacer toda brújula
1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condi-
ción cuando separada de su posición normal la recobra exactamente des-
pués de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La falta de limpieza
© los defectos de suspensión pueden ser causa de que no se cumpla esta
condición.
2. La aguja debe ser sensible. Esta propiedad se reconoce por el nü-
mero y la velocidad de las oscilaciones. Una aguja de longitud media deberá
dar unas 30 oscilaciones para recobrar su posición normal y su período
no debe pasar de 2 segundos. Cuando la aguja pierde su sensibilidad puede
devolvérsele frotändola del centro a las puntas con el polo de nombre
contrario de un imár en herradura de 200 g de fuerza.
3. La línea de los ceros debe estar en el plano que pasa por la visual,
definida por las pinulas. Si esta condición no se cumple las direcciones mar-
cadas por la aguja, no quedarán referidas a la meridiana magnética.
4. La línea que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje
de rotación de la aguja. Esta condición se cumple, si la diferencia de las
lecturas entre las dos puntas, en cualquier posición de la aguja es de 180°.
Se corrige enderezando la aguja.
5. El pivote sobre el que reposa la aguja debe estar en el centro del
círculo graduado. Se revisa observando si la diferencia de lectura de las
dos puntas es de 180° en alguna posición y en otras no. El defecto con-
siste en que el pivote de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando
el pivote,
6. El cje magnético de la aguja debe coincidir con su eje geométrico.
Si no se cumple esta condición los rumbos dados por la brújula no serán
los reales y la figura no quedará correctamente orientada, pero este defecto
no tendrá influencia en la posición relativa de los lados.
Æ
Usos de la brújula
La brújula es útil solamente para hacer levantamientos aproximados.
Se emplea para.
— levantamientos secundarios.
— levantamiento de detalles para el relleno de planos a pequeña escala.
— tomar radiaciones en trabajos de configuración.
— reconocimientos.
— trabajos preliminares, y
— exploraciones militares.
Condiciones que debe satisfacer toda brújula
1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condi-
ción cuando separada de su posición normal la recobra exactamente des-
pués de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La falta de limpieza
© los defectos de suspensión pueden ser causa de que no se cumpla esta
condición.
2. La aguja debe ser sensible. Esta propiedad se reconoce por el nü-
mero y la velocidad de las oscilaciones. Una aguja de longitud media deberá
dar unas 30 oscilaciones para recobrar su posición normal y su período
no debe pasar de 2 segundos. Cuando la aguja pierde su sensibilidad puede
devolvérsele frotändola del centro a las puntas con el polo de nombre
contrario de un imár en herradura de 200 g de fuerza.
3. La línea de los ceros debe estar en el plano que pasa por la visual,
definida por las pinulas. Si esta condición no se cumple las direcciones mar-
cadas por la aguja, no quedarán referidas a la meridiana magnética.
4. La línea que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje
de rotación de la aguja. Esta condición se cumple, si la diferencia de las
lecturas entre las dos puntas, en cualquier posición de la aguja es de 180°.
Se corrige enderezando la aguja.
5. El pivote sobre el que reposa la aguja debe estar en el centro del
círculo graduado. Se revisa observando si la diferencia de lectura de las
dos puntas es de 180° en alguna posición y en otras no. El defecto con-
siste en que el pivote de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando
el pivote,
6. El cje magnético de la aguja debe coincidir con su eje geométrico.
Si no se cumple esta condición los rumbos dados por la brújula no serán
los reales y la figura no quedará correctamente orientada, pero este defecto
no tendrá influencia en la posición relativa de los lados.
Æ
Usos de la brújula
La brújula es útil solamente para hacer levantamientos aproximados.
Se emplea para.
— levantamientos secundarios.
— levantamiento de detalles para el relleno de planos a pequeña escala.
— tomar radiaciones en trabajos de configuración.
— reconocimientos.
— trabajos preliminares, y
— exploraciones militares.
62 Curso básico de topografía
Ventajas en el uso de la brójula
— La brújula es ligera, se carga con facilidad y demanda poco tiempo
para visar y para leer.
— Un error en la dirección de una línea no afecta necesariamente a
las demás líneas del levantamiento.
—La brújula se adapta especialmente para correr líneas rectas a través
de un obstáculo, pues puede instalarse salvando éste y con
después cor el rumbo directo leído anteriormente.
Inconvenientes en el uso de la brójula
— Los rumbos o azimutes no pueden obtenerse con una aproximación
mayor de 15 minutos.
— La aguja es insegura y en algunos casos nula, a causa de las atrac-
ciones locales, por tanto, la brújula no debe emplearse en poblaciones
y en la proximidad de vías férreas, estructuras metálicas, líneas de
alta tensión, etc.
succuoinf
Atracciones locales y
La aguja magnética puede cambiar de su posición natural por la
atracción de cualquier sustancia magnética que se encuentre cerca de ella,
como son el hierro, los rieles del ferrocarril, estructuras de acero de los
edificios, hierro magnético en terrenos de naturaleza volcánica, etc.
Corrección por las atracciones locales
Si en cualquier estación de un levantamiento existe una atracción local
producida por una fuente fija, ésta afectará los rumbos de atrás y de ade-
lante tomados en esa estación, en la misma cantidad. Tomando en consi-
deracién que el ángulo calculado entre los lados de cualquier estación,
se puede determinar correctamente de los rumbos observados sin que im-
porte que la aguja esté afectada localmente, empezando por el lado de la
poligonal que no esté afectado por la atracción local, se pueden calcular
los rumbos correctos de los lados siguientes.
EJEMPLO
En el levantamiento de una poligonal, con brújula, se obtuvieron los
datos siguientes:
Ventajas en el uso de la brójula
— La brújula es ligera, se carga con facilidad y demanda poco tiempo
para visar y para leer.
— Un error en la dirección de una línea no afecta necesariamente a
las demás líneas del levantamiento.
—La brújula se adapta especialmente para correr líneas rectas a través
de un obstáculo, pues puede instalarse salvando éste y con
después cor el rumbo directo leído anteriormente.
Inconvenientes en el uso de la brójula
— Los rumbos o azimutes no pueden obtenerse con una aproximación
mayor de 15 minutos.
— La aguja es insegura y en algunos casos nula, a causa de las atrac-
ciones locales, por tanto, la brújula no debe emplearse en poblaciones
y en la proximidad de vías férreas, estructuras metálicas, líneas de
alta tensión, etc.
succuoinf
Atracciones locales y
La aguja magnética puede cambiar de su posición natural por la
atracción de cualquier sustancia magnética que se encuentre cerca de ella,
como son el hierro, los rieles del ferrocarril, estructuras de acero de los
edificios, hierro magnético en terrenos de naturaleza volcánica, etc.
Corrección por las atracciones locales
Si en cualquier estación de un levantamiento existe una atracción local
producida por una fuente fija, ésta afectará los rumbos de atrás y de ade-
lante tomados en esa estación, en la misma cantidad. Tomando en consi-
deracién que el ángulo calculado entre los lados de cualquier estación,
se puede determinar correctamente de los rumbos observados sin que im-
porte que la aguja esté afectada localmente, empezando por el lado de la
poligonal que no esté afectado por la atracción local, se pueden calcular
los rumbos correctos de los lados siguientes.
EJEMPLO
En el levantamiento de una poligonal, con brújula, se obtuvieron los
datos siguientes:
Planimetria 63
REGISTRO DE CAMPO 6
Rumbo] ‘Rumbo
directe ner Croquis y notas
E «&
Como los rumbos directo e inverso del lado AB coinciden, se supone
que las estaciones A y B están libres de atracciones locales. Por tanto, el
rumbo directo de BC, $60"00' E es correcto. (Fig. N° 37.)
N
Figura 37
El ángulo en C, calculado de los rumbos observados, es:
€ = 180° — (62° + 31°) = 87°
C = 87° es el ángulo correcto a pesar de la atracción local, excluyendo
desde luego los errores de observación.
Con el valor de C, se calcula ahora el rumbo correcto del lado CD.
Rbo. CD = 180° — (60 + 87) = S 33°00 W
‘También se pueden hacer las correcciones de los rumbos observados, sin
calcular los ángulos de la poligonal, teniendo en cuenta la magnitud y di-
rección del error debido a atracciones locales.
REGISTRO DE CAMPO 6
Rumbo] ‘Rumbo
directe ner Croquis y notas
E «&
Como los rumbos directo e inverso del lado AB coinciden, se supone
que las estaciones A y B están libres de atracciones locales. Por tanto, el
rumbo directo de BC, $60"00' E es correcto. (Fig. N° 37.)
N
Figura 37
El ángulo en C, calculado de los rumbos observados, es:
€ = 180° — (62° + 31°) = 87°
C = 87° es el ángulo correcto a pesar de la atracción local, excluyendo
desde luego los errores de observación.
Con el valor de C, se calcula ahora el rumbo correcto del lado CD.
Rbo. CD = 180° — (60 + 87) = S 33°00 W
‘También se pueden hacer las correcciones de los rumbos observados, sin
calcular los ángulos de la poligonal, teniendo en cuenta la magnitud y di-
rección del error debido a atracciones locales.
64 Curso básico de topografía
EJEMPLO
En el registro de campo del ejemplo anterior, se ve que el rumbo inverso
correcto de BC es N 60°00’ W y que el observado es N 62°00! W, por tanto,
la atracción local en C es de 2° en el sentido directo, y la corrección a
cualquier rumbo observado con la brüjula en C es de 2° en el sentido
contrario del movimiento de las manecillas del reloj, (Fig. N° 38.) El rum-
bo directo observado del lado CD es S31°00 W, y el rumbo corregido
de CD, es: 31° + 2° =S33%00'W.
N
UL desviación de la aguja a
> causa de atracciones.
locales
rumbos
correctos
vueeomp
3 D le
Figura 38
Si las discrepancias entre los rumbos directo e inverso son pequeñas y
aparentemente no son de carácter sistemático, es razonable suponer que
los errores se deben a causas diferentes de las atracciones locales.
Las atracciones locales se presentan con frecuencia y el topógrafo debe
tener especial cuidado en evitar los errores a que ellas pueden conducir.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON BRUJULA Y CINTA
Se emplean los siguientes:
— Itinerario.
— Radiaciones.
EJEMPLO
En el registro de campo del ejemplo anterior, se ve que el rumbo inverso
correcto de BC es N 60°00’ W y que el observado es N 62°00! W, por tanto,
la atracción local en C es de 2° en el sentido directo, y la corrección a
cualquier rumbo observado con la brüjula en C es de 2° en el sentido
contrario del movimiento de las manecillas del reloj, (Fig. N° 38.) El rum-
bo directo observado del lado CD es S31°00 W, y el rumbo corregido
de CD, es: 31° + 2° =S33%00'W.
N
UL desviación de la aguja a
> causa de atracciones.
locales
rumbos
correctos
vueeomp
3 D le
Figura 38
Si las discrepancias entre los rumbos directo e inverso son pequeñas y
aparentemente no son de carácter sistemático, es razonable suponer que
los errores se deben a causas diferentes de las atracciones locales.
Las atracciones locales se presentan con frecuencia y el topógrafo debe
tener especial cuidado en evitar los errores a que ellas pueden conducir.
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON BRUJULA Y CINTA
Se emplean los siguientes:
— Itinerario.
— Radiaciones.
Planimetria 65
— Intersecciones, y
— Coordenadas rectangulares.
El método de itinerario es el principal y se usa para el levantamiento
del polígono de base, en tanto que los tres restantes se emplean como auxi-
lares del primero, para el levantamiento de detalles.
£
Método de itinerario Jurensn
Este método consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando
los datos necesarios para la “construcción del plano correspondiente.
A. Trabajo de campo. Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materializacién de los vértices de la poligonal.
3. Dibujo del croquis de la poligonal
4. Recorrido del perímetro del polígono de base o de la poligonal,
a partir del vértice elegido como origen, tomando en cada uno de los
vértices, los rumbos (o azimutes) directo e inverso de los lados que en
dicho vértice concurren y midiendo con la cinta los lados de la poligonal.
5. Levantamiento de detalles aplicando para el efecto los métodos
auxiliares procedentes.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan, en forma clara y
ordenada, en el registro de campo, como se ilustra en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 7
Levantamiento con brújula de 30° de Lomas de Sotelo, D. F.
rex. y cinta de acero de 30 metros, SOMAY-TS
or el método de lineraro Levanté: Javier del Rio
ROMA
Dist, EOS CROQUIS Y NOTAS
Est | p.v.| (m) | Director | Imversos |
0 | 1 [37.00] wasroo'e | 5 4550 w
1 | 2 [90.50 | arrow | 5 37°00'E
36.50 | 5 7030 w | N 70°00" E|
o [3500] sas | visa À
— Intersecciones, y
— Coordenadas rectangulares.
El método de itinerario es el principal y se usa para el levantamiento
del polígono de base, en tanto que los tres restantes se emplean como auxi-
lares del primero, para el levantamiento de detalles.
£
Método de itinerario Jurensn
Este método consiste en recorrer el perímetro de la poligonal, tomando
los datos necesarios para la “construcción del plano correspondiente.
A. Trabajo de campo. Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materializacién de los vértices de la poligonal.
3. Dibujo del croquis de la poligonal
4. Recorrido del perímetro del polígono de base o de la poligonal,
a partir del vértice elegido como origen, tomando en cada uno de los
vértices, los rumbos (o azimutes) directo e inverso de los lados que en
dicho vértice concurren y midiendo con la cinta los lados de la poligonal.
5. Levantamiento de detalles aplicando para el efecto los métodos
auxiliares procedentes.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan, en forma clara y
ordenada, en el registro de campo, como se ilustra en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 7
Levantamiento con brújula de 30° de Lomas de Sotelo, D. F.
rex. y cinta de acero de 30 metros, SOMAY-TS
or el método de lineraro Levanté: Javier del Rio
ROMA
Dist, EOS CROQUIS Y NOTAS
Est | p.v.| (m) | Director | Imversos |
0 | 1 [37.00] wasroo'e | 5 4550 w
1 | 2 [90.50 | arrow | 5 37°00'E
36.50 | 5 7030 w | N 70°00" E|
o [3500] sas | visa À
66 Curso básico de topografía
Las distancias se comprueban midiéndolas dos veces (ida y regreso) y
los rumbos (o azimutes) tomando el directo y el inverso de cada lado.
B. Trabajo de gabinete.
1. Se calculan los ángulos interiores del polígono, a partir de los
rumbos (o azimutes) observados.
El error angular (E,) se determina comparando la suma de los ángulos
interiores obtenidos en función de los rumbos (o azimutes) observados con
la suma que da la condición geométrica:
siendo: n= número de lados del polígono.
El error angular no deberá exceder la tolerancia angular, que para este
caso es:
T,= za Vn ae
tolerancia angular, en minutos.
aproximación de ia brújula, en minutos = +30/.
número de vértices de la poligonal.
Si: E, > Ta, deberá repetirse el trabajo.
La determinación del error angular debe hacerse en el campo, al termi-
ar el trabajo, porque en caso de resultar mayor que la tolerancia se puede
repetir el levantamiento, evitándose tener que regresar al campo y pérdida
de tiempo.
2. Se escoge un rumbo que se supone correcto. Este puede ser el de
un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, y se deno-
mina rumbo base.
3. Luego con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base, se
calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los
rumbos calculados.
4, Se elige la escala (o se emplea la especificada para el trabajo efec-
tuado).
5. Se dibuja el polígono,
6. Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y
en la construcción del plano, generalmente, el extremo final del polígono
de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos
es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal
dada por las fórmulas siguientes:
Las distancias se comprueban midiéndolas dos veces (ida y regreso) y
los rumbos (o azimutes) tomando el directo y el inverso de cada lado.
B. Trabajo de gabinete.
1. Se calculan los ángulos interiores del polígono, a partir de los
rumbos (o azimutes) observados.
El error angular (E,) se determina comparando la suma de los ángulos
interiores obtenidos en función de los rumbos (o azimutes) observados con
la suma que da la condición geométrica:
siendo: n= número de lados del polígono.
El error angular no deberá exceder la tolerancia angular, que para este
caso es:
T,= za Vn ae
tolerancia angular, en minutos.
aproximación de ia brújula, en minutos = +30/.
número de vértices de la poligonal.
Si: E, > Ta, deberá repetirse el trabajo.
La determinación del error angular debe hacerse en el campo, al termi-
ar el trabajo, porque en caso de resultar mayor que la tolerancia se puede
repetir el levantamiento, evitándose tener que regresar al campo y pérdida
de tiempo.
2. Se escoge un rumbo que se supone correcto. Este puede ser el de
un lado cuyos rumbos directo e inverso hayan coincidido mejor, y se deno-
mina rumbo base.
3. Luego con los ángulos interiores corregidos y el rumbo base, se
calculan nuevos rumbos para todos los lados del polígono, que serán los
rumbos calculados.
4, Se elige la escala (o se emplea la especificada para el trabajo efec-
tuado).
5. Se dibuja el polígono,
6. Como a pesar de todas las precauciones tomadas en el terreno y
en la construcción del plano, generalmente, el extremo final del polígono
de base no coincide con el origen, la distancia gráfica entre dichos puntos
es el error de cierre que no deberá ser mayor que la tolerancia lineal
dada por las fórmulas siguientes:
Planimetria 67
Terreno Tolerancia lineal
PLANO Ir, = 0.015 VE + 0.0008L + 0.1 Vn= 1
QUEBRADO Ir, = 0.020 VE + 0.0008L + 0.1 vn
MUY QUEBRADO (F1 = 0.025 VE + 0.0008L + 0.1 Vn
T, = tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro o desarrollo de la poligonal, en metros.
número de lados de la poligonal. «
Si: E > T, debe repetirse el levantamiento. =
‘También se puede calcular la tolerancia lineal 7,, para trabajos con
brújula y cinta, aplicando las fórmulas siguientes:
Terreno Tolerancia lineal
sabe
1000
To
L
D) ne
ACCIDENTADO. =
tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro de la poligonal, en metros.
7. Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se com-
pensará el error gráficamente.
8. Una vez compensado el error, se dibujarán los detalles, partiendo
de la estación origen, constituyendo éstos el verdadero valor del plano
topográfico.
9. La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y
cinta, en terreno plano es 1/1000 y en terreno accidentado 1/500.
La precisión obtenida en un levantamiento se calcula dividiendo el
error de cierre por el perímetro del polígono.
Error de cierre
Perímetro del polígono
Precisión o error relativo
Terreno Tolerancia lineal
PLANO Ir, = 0.015 VE + 0.0008L + 0.1 Vn= 1
QUEBRADO Ir, = 0.020 VE + 0.0008L + 0.1 vn
MUY QUEBRADO (F1 = 0.025 VE + 0.0008L + 0.1 Vn
T, = tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro o desarrollo de la poligonal, en metros.
número de lados de la poligonal. «
Si: E > T, debe repetirse el levantamiento. =
‘También se puede calcular la tolerancia lineal 7,, para trabajos con
brújula y cinta, aplicando las fórmulas siguientes:
Terreno Tolerancia lineal
sabe
1000
To
L
D) ne
ACCIDENTADO. =
tolerancia lineal, en metros.
L = perímetro de la poligonal, en metros.
7. Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se com-
pensará el error gráficamente.
8. Una vez compensado el error, se dibujarán los detalles, partiendo
de la estación origen, constituyendo éstos el verdadero valor del plano
topográfico.
9. La precisión o error relativo en los levantamientos con brújula y
cinta, en terreno plano es 1/1000 y en terreno accidentado 1/500.
La precisión obtenida en un levantamiento se calcula dividiendo el
error de cierre por el perímetro del polígono.
Error de cierre
Perímetro del polígono
Precisión o error relativo
68 Curso básico de topografía
Si designamos por P la precisión, Eu el error de cierre y ZZ el peri-
metro de la poligonal, se tiene:
PE a
Se acostumbra representar la precis
como una fracción cuyo nume-
rador es la unidad. De (1) se deduce 5
= o
La expresión (2) indica que habrá una unidad de error por cada cierto
número de unidades medidas.
PROBLEMAS
1. En un levantamiento con brújula de 30' y cinta de acero, en terreno
muy quebrado, se tienen los datos si
x ángulos obtenidos = 2698°00°
en función de los
rumbos
Calcular:
a) Tolerancia angular.
b) Error angular. suecuoanf
©) Tolerancia lineal. ¥
d) Precisión.
Sorucıön
3 ängs. ints = 180°(n — 2) = 180°(17 — 2) = 180°(15) = 2700°
Comparando esta suma con la de los ángulos obtenidos en
función de los rumbos observados, se encuentra el error angular:
I
Si designamos por P la precisión, Eu el error de cierre y ZZ el peri-
metro de la poligonal, se tiene:
PE a
Se acostumbra representar la precis
como una fracción cuyo nume-
rador es la unidad. De (1) se deduce 5
= o
La expresión (2) indica que habrá una unidad de error por cada cierto
número de unidades medidas.
PROBLEMAS
1. En un levantamiento con brújula de 30' y cinta de acero, en terreno
muy quebrado, se tienen los datos si
x ángulos obtenidos = 2698°00°
en función de los
rumbos
Calcular:
a) Tolerancia angular.
b) Error angular. suecuoanf
©) Tolerancia lineal. ¥
d) Precisión.
Sorucıön
3 ängs. ints = 180°(n — 2) = 180°(17 — 2) = 180°(15) = 2700°
Comparando esta suma con la de los ángulos obtenidos en
función de los rumbos observados, se encuentra el error angular:
I
Planimetria 69
Para terreno muy quebrado la tolerancia lineal se calcula apli-
cando la fórmula:
Ti = 0.025 VE + 0.0008L + 0.1 Vn
= 0.025 V2500 + 0.0008(2500) + 0.1 Y17= 1
= 1.25 + 2.00 + 0.40 = 3.65
T, = 3.65 m
El error relativo O precisión obtenida en el levantamiento es:
1
T4
Dados los rumbos directos e inversos tomados en un levantamiento
con brújula:
4) Calcular los ángulos interiores del polígono.
b) Determinar el error angular.
e) Calcular la corrección angular, y
.d) Obtener los ángulos interiores corregidos.
Rumbos
Lados | directos
Æ 0-1 |s 30°30 W| N 30°30° E
Juvensms $ 83°00 E | N 84°00 W|
N 200 W|S 2°30 E
$ 89*30' W | N 89°00 E
5 29°00 E | N 28°00 W|
SOLUCIÓN
Para obtener los ángulos interiores a partir de los rumbos ob-
servados dibújese un croquis del polígono anotando los valores
angulares de los rumbos. (Fig. N° 39.)
Para terreno muy quebrado la tolerancia lineal se calcula apli-
cando la fórmula:
Ti = 0.025 VE + 0.0008L + 0.1 Vn
= 0.025 V2500 + 0.0008(2500) + 0.1 Y17= 1
= 1.25 + 2.00 + 0.40 = 3.65
T, = 3.65 m
El error relativo O precisión obtenida en el levantamiento es:
1
T4
Dados los rumbos directos e inversos tomados en un levantamiento
con brújula:
4) Calcular los ángulos interiores del polígono.
b) Determinar el error angular.
e) Calcular la corrección angular, y
.d) Obtener los ángulos interiores corregidos.
Rumbos
Lados | directos
Æ 0-1 |s 30°30 W| N 30°30° E
Juvensms $ 83°00 E | N 84°00 W|
N 200 W|S 2°30 E
$ 89*30' W | N 89°00 E
5 29°00 E | N 28°00 W|
SOLUCIÓN
Para obtener los ángulos interiores a partir de los rumbos ob-
servados dibújese un croquis del polígono anotando los valores
angulares de los rumbos. (Fig. N° 39.)
70
Curso básico de topografía
Figura 89
20 = 180° + 28° + 30°30 = 238°307
£1 = 180° — (30%30' + 83°) = 66°30"
L2= 84-22 = 8200
L3= 89°30 + 230 = 90
24 = 180° — (89° + 29°) 62°00"
3 ángulos interiores ERA
(obtenidos a partir de los rumbos observados).
En este caso la condición geométrica, para n = 5, da:
3 ángs. ints = 180°(n — 2) = 180°(3) = 540°00"
Si se comparan las sumas de los ángulos interiores, una obtenida
a partir de los rumbos observados y la otra por la condición geo-
métrica, se encuentra el error angular:
Curso básico de topografía
Figura 89
20 = 180° + 28° + 30°30 = 238°307
£1 = 180° — (30%30' + 83°) = 66°30"
L2= 84-22 = 8200
L3= 89°30 + 230 = 90
24 = 180° — (89° + 29°) 62°00"
3 ángulos interiores ERA
(obtenidos a partir de los rumbos observados).
En este caso la condición geométrica, para n = 5, da:
3 ángs. ints = 180°(n — 2) = 180°(3) = 540°00"
Si se comparan las sumas de los ángulos interiores, una obtenida
a partir de los rumbos observados y la otra por la condición geo-
métrica, se encuentra el error angular:
Planimetria 71
ángulos inte-
riores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error
angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos del
polígono.
Corrección angular = + =12
Los ángulos corregidos se hallan aplicando la corrección a los
obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue:
L0= 238°30 — 12 = 23818
Li= 6630-12 = 66°18"
12= 82°00 - 127 = 81°48" £
L3= 9%0-12= 91%48 Juvensme
L4= 6200 — 12’ = 61°48"
3 ángulos interiores ="S40°00
Como la línea 0 — 1 del problema anterior, tiene rumbos directo
e inverso iguales, tómese como rumbo base y con los ángulos inte-
riores corregidos, calcúlense los nuevos rumbos de los lados del
polígono.
SoLuci6n
Dibújese un croquis del polígono y anótense los valores del
rumbo base y de los ángulos interiores corregidos (Fig. N° 40) y
así podrán encontrarse fácilmente los rumbos buscados.
Rbo. DT = S 30°30' W (Rumbo base)
Rbo, T=2 = 180° — (30°30° + 66°18")
Rbo. T=2 = $83°12 E
Rbo. 7=3 = 83°12’ — 81°48" = 1°24"
Rbo. Z=3=N 1924 W
Rbo. 7= 4 = 180°00 — (91% 1°24")
Roo. N 89936 W
Rbo. # 19°36" — 61°48" = 27°48"
Rbo. T= = $27°48' E
ángulos inte-
riores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error
angular, expresado en minutos, entre el número de ángulos del
polígono.
Corrección angular = + =12
Los ángulos corregidos se hallan aplicando la corrección a los
obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue:
L0= 238°30 — 12 = 23818
Li= 6630-12 = 66°18"
12= 82°00 - 127 = 81°48" £
L3= 9%0-12= 91%48 Juvensme
L4= 6200 — 12’ = 61°48"
3 ángulos interiores ="S40°00
Como la línea 0 — 1 del problema anterior, tiene rumbos directo
e inverso iguales, tómese como rumbo base y con los ángulos inte-
riores corregidos, calcúlense los nuevos rumbos de los lados del
polígono.
SoLuci6n
Dibújese un croquis del polígono y anótense los valores del
rumbo base y de los ángulos interiores corregidos (Fig. N° 40) y
así podrán encontrarse fácilmente los rumbos buscados.
Rbo. DT = S 30°30' W (Rumbo base)
Rbo, T=2 = 180° — (30°30° + 66°18")
Rbo. T=2 = $83°12 E
Rbo. 7=3 = 83°12’ — 81°48" = 1°24"
Rbo. Z=3=N 1924 W
Rbo. 7= 4 = 180°00 — (91% 1°24")
Roo. N 89936 W
Rbo. # 19°36" — 61°48" = 27°48"
Rbo. T= = $27°48' E
72 Curso básico de topografía
Figura 40
4. Con los siguientes datos del registro de campo calcular:
a) Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos
observados.
b) El error angular (Eu).
©) La tolerancia angular (Ta) a=30
d) La corrección angular (C).
e) Los ángulos interiores corregidos.
1) Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores
corregidos. (Tómese como rumbo base el del lado 1 — 2).
8) Los rumbos astronómicos (8 = 9°30 E).
h) La tolerancia lineal (terreno plano).
i) La precisión (supóngase: E, = 0.40 m).
Figura 40
4. Con los siguientes datos del registro de campo calcular:
a) Los ángulos interiores del polígono a partir de los rumbos
observados.
b) El error angular (Eu).
©) La tolerancia angular (Ta) a=30
d) La corrección angular (C).
e) Los ángulos interiores corregidos.
1) Los rumbos, a partir del rumbo base y los ángulos interiores
corregidos. (Tómese como rumbo base el del lado 1 — 2).
8) Los rumbos astronómicos (8 = 9°30 E).
h) La tolerancia lineal (terreno plano).
i) La precisión (supóngase: E, = 0.40 m).
Planimetria 73
Distancias Rumbos Rumbos
Es. | Pr.| (m) directos inversos |
37.00 | N45%00'E [5 4530 W
4050 | N37°00' w | S 37°00 E
36.50 — |S 70°30 W| N 70°00’ E
3745 |s 2°00 E | N 2°00'W
35.00 | S 75°00°E | N75°30 W
18645 m
sobre
sus]
SoLución
a) Dibújese el croquis del polígono y anótense los valores angulares
de los rumbos observados. Los ángulos interiores se hallan como
se indica en seguida (Fig. N° 41):
Figura 41
Distancias Rumbos Rumbos
Es. | Pr.| (m) directos inversos |
37.00 | N45%00'E [5 4530 W
4050 | N37°00' w | S 37°00 E
36.50 — |S 70°30 W| N 70°00’ E
3745 |s 2°00 E | N 2°00'W
35.00 | S 75°00°E | N75°30 W
18645 m
sobre
sus]
SoLución
a) Dibújese el croquis del polígono y anótense los valores angulares
de los rumbos observados. Los ángulos interiores se hallan como
se indica en seguida (Fig. N° 41):
Figura 41
74 Curso básico de topografía
OPERACIONES
75°30" 37° 37
+ 45° +_45°30 70°307
Lo = 720307 81730 ¡0730
a 120°30
11= 97307 Fra
107°30
180° 182° 108°007
= 7 =_ 15° 107°007
23 =108 141077 54030
L0= 1530 + 45° = 120°30"
Angulos interiores del
21= 180° — (37° + 45°30") = 97°30" | polígono, calculados
9 + 70°: 030" con los rumbos directos
L2= 37° + 70°30’ = 107930 ne de
23 = 180° — (70° + 2°) = 108°00' | durante el levantamien-
24 = (180° + 2°) — 75° = 107°00°
b) El error angular (E,) se obtiene comparando las sumas de
los ángulos calculados a partir de los rumbos observados, y
de los ángulos interiores que da la condición geométrica:
© ángs. ints = 180°(n — 2)
En este caso: nina
n=5 ¥
por tanto:
£ ángs. interiores = 180°($ — 2) = 180°(3) = 34000] a)
Por otra parte:
dings. calculados = 120°30 + 97°30’ + 107°30" + 108°00° + 107°00"
x ángs. calculados 5405307] @
De las igualdades (1) y (2), se deduce: E,= +30
©) La tolerancia angular se encuentra aplicando la fórmul
#30 V5 = +67 Ta= +67
Ex <Ta
OPERACIONES
75°30" 37° 37
+ 45° +_45°30 70°307
Lo = 720307 81730 ¡0730
a 120°30
11= 97307 Fra
107°30
180° 182° 108°007
= 7 =_ 15° 107°007
23 =108 141077 54030
L0= 1530 + 45° = 120°30"
Angulos interiores del
21= 180° — (37° + 45°30") = 97°30" | polígono, calculados
9 + 70°: 030" con los rumbos directos
L2= 37° + 70°30’ = 107930 ne de
23 = 180° — (70° + 2°) = 108°00' | durante el levantamien-
24 = (180° + 2°) — 75° = 107°00°
b) El error angular (E,) se obtiene comparando las sumas de
los ángulos calculados a partir de los rumbos observados, y
de los ángulos interiores que da la condición geométrica:
© ángs. ints = 180°(n — 2)
En este caso: nina
n=5 ¥
por tanto:
£ ángs. interiores = 180°($ — 2) = 180°(3) = 34000] a)
Por otra parte:
dings. calculados = 120°30 + 97°30’ + 107°30" + 108°00° + 107°00"
x ángs. calculados 5405307] @
De las igualdades (1) y (2), se deduce: E,= +30
©) La tolerancia angular se encuentra aplicando la fórmul
#30 V5 = +67 Ta= +67
Ex <Ta
Planimetria 75
d) La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos inte-
riores, es en este caso:
EL 30
Esta corrección se aplica con signo
nS
= contrario al error.
©) A continuación, los ángulos corregidos se obtendrán aplicando
a los calculados la corrección respectiva.
74°48"
Figura 42
‘Angulos | Corrección | Angulos
sin corregir | °C" | corregidos
=6 120"24"
-¢ 97°28"
=o 107"24"
= 107°54
-6 106154
sumas: 0 540700
1) Con los ángulos corregidos y el rumbo base, se calcularán los
nuevos rumbos. Esta operación se facilitará dibujando un ero-
d) La corrección que se aplicará a cada uno de los ángulos inte-
riores, es en este caso:
EL 30
Esta corrección se aplica con signo
nS
= contrario al error.
©) A continuación, los ángulos corregidos se obtendrán aplicando
a los calculados la corrección respectiva.
74°48"
Figura 42
‘Angulos | Corrección | Angulos
sin corregir | °C" | corregidos
=6 120"24"
-¢ 97°28"
=o 107"24"
= 107°54
-6 106154
sumas: 0 540700
1) Con los ángulos corregidos y el rumbo base, se calcularán los
nuevos rumbos. Esta operación se facilitará dibujando un ero-
76
Curso be
de topografía
quis y anotando en él los valores de los ángulos interiores
corregidos y el rumbo base. (Fig. N° 42.)
Rbo T=Z
Rbo 3=F
Rbo =O
Rbo OT.
80° —
37°00'W (Rumbo base)
Rbo T=3 = 107°24 — 37° =
70°24" W
(70°24 + 107°54) = 5 1°42" E
180° + 1°42") — 106%54! = $ 74°48" E
= 120°24" — 74°48’ = N 45%36' E
8) Cálculo de los rumbos astronémicos (8 = 9°30 E)
at a
a
1
1er.cuadrante
15 cuadrante
N 4536! E
+ 9301
NSS OTE
Rbo.
Rbo.
Rbo.
Rbo.
Rbo.
2
375
2
3. Ser.cuadrant
1 as
-uadrante
49 cuadrame 3" cuadrante
N 37°00 W Ss 70°24 w
— 9-30 + 9930
NITIVW SD SEM
astron. T= T= N 55°06' E
astron.
astron,
astron.
astron,
. T=2 = N 27°30 W
. T=T= $ 79°54 W ER
ae T'AS W 2
..—0=S 6518 E
Curso be
de topografía
quis y anotando en él los valores de los ángulos interiores
corregidos y el rumbo base. (Fig. N° 42.)
Rbo T=Z
Rbo 3=F
Rbo =O
Rbo OT.
80° —
37°00'W (Rumbo base)
Rbo T=3 = 107°24 — 37° =
70°24" W
(70°24 + 107°54) = 5 1°42" E
180° + 1°42") — 106%54! = $ 74°48" E
= 120°24" — 74°48’ = N 45%36' E
8) Cálculo de los rumbos astronémicos (8 = 9°30 E)
at a
a
1
1er.cuadrante
15 cuadrante
N 4536! E
+ 9301
NSS OTE
Rbo.
Rbo.
Rbo.
Rbo.
Rbo.
2
375
2
3. Ser.cuadrant
1 as
-uadrante
49 cuadrame 3" cuadrante
N 37°00 W Ss 70°24 w
— 9-30 + 9930
NITIVW SD SEM
astron. T= T= N 55°06' E
astron.
astron,
astron.
astron,
. T=2 = N 27°30 W
. T=T= $ 79°54 W ER
ae T'AS W 2
..—0=S 6518 E
Planimet 77
£
Juvensme
a a
cuadrante
$
2° cuadrante
1949,
2 cuadrante 22 cuadrante
9°30" S 74°48 E
S- 142 E 9030
STE W rive
h) La tolerancia lineal (74), para terreno plano, se calcula por
medio de la fórmula:
O15 VE + 0.0008L + 0.1 VR =T
perímetro de la pol
n = número de lados de la poligonal = 5
Ti = 0.015 Y 186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2)
Ta =0.21 + 0.15 + 0.20 = 0.56 m m
i) La precisión obtenida en el levantamiento es:
mal, en metros = 18645 m
£
Juvensme
a a
cuadrante
$
2° cuadrante
1949,
2 cuadrante 22 cuadrante
9°30" S 74°48 E
S- 142 E 9030
STE W rive
h) La tolerancia lineal (74), para terreno plano, se calcula por
medio de la fórmula:
O15 VE + 0.0008L + 0.1 VR =T
perímetro de la pol
n = número de lados de la poligonal = 5
Ti = 0.015 Y 186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2)
Ta =0.21 + 0.15 + 0.20 = 0.56 m m
i) La precisión obtenida en el levantamiento es:
mal, en metros = 18645 m
78 Curso básico de topografía
E, =]
Precisión = 0.0021 = ¿gg
Métodos usados para el levantamiento de detalles,
con bröjula y cinta
Se toman como auxiliares del método de itinerario, para fijar detalles
referidos al polígono de base, los siguientes métodos:
— Radiaciones.
— Intersecciones, y
— Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Sean 4, 5, 6, ... , vértices de la poligonal que se va levantando por el
método de itinerario (Fig. N 43) y M, una mojonera que es necesario
hacer figurar en el plano.
Figura 43
El punto M puede levantarse por el método de radiaciones que consiste
en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la línea que dicho
punto determina con la estación desde la cual se observa, así como la
distancia del punto a la estación. En el ejemplo que se ilustra en la figura,
la posición del punto M estará determinada, tomando el rumbo (0 azimut)
de la línea TM y midiendo la distancia 4 — M. Estos datos se anotan
en el registro de campo.
E, =]
Precisión = 0.0021 = ¿gg
Métodos usados para el levantamiento de detalles,
con bröjula y cinta
Se toman como auxiliares del método de itinerario, para fijar detalles
referidos al polígono de base, los siguientes métodos:
— Radiaciones.
— Intersecciones, y
— Coordenadas rectangulares.
Método de radiaciones
Sean 4, 5, 6, ... , vértices de la poligonal que se va levantando por el
método de itinerario (Fig. N 43) y M, una mojonera que es necesario
hacer figurar en el plano.
Figura 43
El punto M puede levantarse por el método de radiaciones que consiste
en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la línea que dicho
punto determina con la estación desde la cual se observa, así como la
distancia del punto a la estación. En el ejemplo que se ilustra en la figura,
la posición del punto M estará determinada, tomando el rumbo (0 azimut)
de la línea TM y midiendo la distancia 4 — M. Estos datos se anotan
en el registro de campo.
Planimetria 79
Método de intersecciones
Cuando haya detalles inaccesibles o lejanos de los vértices de la poligo-
nal, de tal manera que no puedan medirse sus distancias a los vértices,
podrán fijarse por intersecciones, observándolos desde dos estaciones suce
sivas o no de la poligonal (Fig. N° 44).
polígono de base
Figura 44
Desde las estaciones 7 y 9, se han medido los rumbos de las líneas
que determinan dichos vértices y el punto P, que se desea levantar.
En este caso no es necesario medir las distancias 7 — P y 9 — P, porque
las líneas que unen las estaciones desde las cuales ha sido observado P,
son de longitud conocida, quedando determinada su posición por la inter-
sección de las direcciones 7 — P y 9 P.
Método de coordenadas rectangulares
Este método se emplea en los casos en que sea necesario tomar datos
para fijar la dirección de un río, camino, canal, etc., a fin de que figuren
en el plano correspondiente,
Para ello se toma como eje de las abscisas un lado de la poligonal que
se está levantando, procurando que sea el más próximo al accidente de
que se trate, y como ordenadas se toman las perpendiculares que se vayan
levantando desde distintos puntos del lado de la poligonal, elegido como
eje de las abscisas, al obstáculo o accidente que se desea levantar (Fig.
NP 45)
Método de intersecciones
Cuando haya detalles inaccesibles o lejanos de los vértices de la poligo-
nal, de tal manera que no puedan medirse sus distancias a los vértices,
podrán fijarse por intersecciones, observándolos desde dos estaciones suce
sivas o no de la poligonal (Fig. N° 44).
polígono de base
Figura 44
Desde las estaciones 7 y 9, se han medido los rumbos de las líneas
que determinan dichos vértices y el punto P, que se desea levantar.
En este caso no es necesario medir las distancias 7 — P y 9 — P, porque
las líneas que unen las estaciones desde las cuales ha sido observado P,
son de longitud conocida, quedando determinada su posición por la inter-
sección de las direcciones 7 — P y 9 P.
Método de coordenadas rectangulares
Este método se emplea en los casos en que sea necesario tomar datos
para fijar la dirección de un río, camino, canal, etc., a fin de que figuren
en el plano correspondiente,
Para ello se toma como eje de las abscisas un lado de la poligonal que
se está levantando, procurando que sea el más próximo al accidente de
que se trate, y como ordenadas se toman las perpendiculares que se vayan
levantando desde distintos puntos del lado de la poligonal, elegido como
eje de las abscisas, al obstáculo o accidente que se desea levantar (Fig.
NP 45)
80 Curso básico de topografía
polígono
de base
2
Figura 45
Debe determinarse el rumbo de las líneas 5 — 5', ad, bb, c0,...,
para que sean perpendiculares al lado 5 — 6 de la poligonal, escogido como.
eje de las abscisas.
En el ejemplo propuesto, si: Rbo S=6=Na°E
entonces:
Rbo aa’ =Rbo bb’ = Rbo cc’ = ... = N (90° — a) W
Una vez definida la dirección de las ordenadas, con la cinta se miden
las longitudes de éstas y las distancias del vértice 5 de la poligonal al
pie de cada una de las perpendiculares levantadas.
DIBUJO DE LA POLIGONAL
Para construir un plano valiéndose de la información obtenida en el
campo por medio de la brújula y la cinta, se escoge primero la escala
apropiada y luego se estudian ligeramente los datos para determinar dónde
trazar la línea Norte-Sur y el primer lado del polígono, de modo que el
dibujo pueda acondicionarse al tamaño del papel. Generalmente la parte
superior del dibujo debe ser Norte.
Cuando el punto inicial y la dirección del meridiano se han trazado
sobre el papel, la dirección del primer lado del polígono se traza por medio
del transportador. Para ello se coloca el centro del transportador en el
punto inicial o vértice O del polígono, haciendo coincidir el cero de la
graduación del transportador con la línea Norte-Sur trazada y, con un
polígono
de base
2
Figura 45
Debe determinarse el rumbo de las líneas 5 — 5', ad, bb, c0,...,
para que sean perpendiculares al lado 5 — 6 de la poligonal, escogido como.
eje de las abscisas.
En el ejemplo propuesto, si: Rbo S=6=Na°E
entonces:
Rbo aa’ =Rbo bb’ = Rbo cc’ = ... = N (90° — a) W
Una vez definida la dirección de las ordenadas, con la cinta se miden
las longitudes de éstas y las distancias del vértice 5 de la poligonal al
pie de cada una de las perpendiculares levantadas.
DIBUJO DE LA POLIGONAL
Para construir un plano valiéndose de la información obtenida en el
campo por medio de la brújula y la cinta, se escoge primero la escala
apropiada y luego se estudian ligeramente los datos para determinar dónde
trazar la línea Norte-Sur y el primer lado del polígono, de modo que el
dibujo pueda acondicionarse al tamaño del papel. Generalmente la parte
superior del dibujo debe ser Norte.
Cuando el punto inicial y la dirección del meridiano se han trazado
sobre el papel, la dirección del primer lado del polígono se traza por medio
del transportador. Para ello se coloca el centro del transportador en el
punto inicial o vértice O del polígono, haciendo coincidir el cero de la
graduación del transportador con la línea Norte-Sur trazada y, con un
Planimetria 81
lápiz de punta fina, se marca en el papel el rumbo (o azimut) del lado
o |; luego, se retira el transportador y con una escuadra, se traza la
línea que una el n © punto inicial con el punto 1” marcado, prolon-
gándola lo necesario para tomar sobre ella, a la escala elegida, la i
que haya entre los vértices O y 1. (Fig. 46.)
Figura 46
Se vuelve a colocar el transportador en el punto inicial O y se marca
el rumbo de la línea 1— 2; en seguida se coloca una escuadra en tal
forma que uno de sus lados esté en coincidencia con los puntos O — 2 y
colocando una segunda escuadra contra otro de los lados de la primera,
se desliza ésta hasta coincidir con el vértice 1, desde el cual se traza una
línea cuya longitud estará determinada por la escala y por la distancia
que haya entre los vértices 1 y 2. Estas operaciones se continúan en la
misma forma hasta que se llegue al punto inicial 0.
COMPENSACION GRAFICA
Sea la poligonal 0~ 1 — 2 — 3 — 4— 0, la cual se comenzó a cons-
truir en el punto inicial O y se terminó en el punto O, el cual debía haber
coincidido con 0, si no hubiera habido errores de observación.
lápiz de punta fina, se marca en el papel el rumbo (o azimut) del lado
o |; luego, se retira el transportador y con una escuadra, se traza la
línea que una el n © punto inicial con el punto 1” marcado, prolon-
gándola lo necesario para tomar sobre ella, a la escala elegida, la i
que haya entre los vértices O y 1. (Fig. 46.)
Figura 46
Se vuelve a colocar el transportador en el punto inicial O y se marca
el rumbo de la línea 1— 2; en seguida se coloca una escuadra en tal
forma que uno de sus lados esté en coincidencia con los puntos O — 2 y
colocando una segunda escuadra contra otro de los lados de la primera,
se desliza ésta hasta coincidir con el vértice 1, desde el cual se traza una
línea cuya longitud estará determinada por la escala y por la distancia
que haya entre los vértices 1 y 2. Estas operaciones se continúan en la
misma forma hasta que se llegue al punto inicial 0.
COMPENSACION GRAFICA
Sea la poligonal 0~ 1 — 2 — 3 — 4— 0, la cual se comenzó a cons-
truir en el punto inicial O y se terminó en el punto O, el cual debía haber
coincidido con 0, si no hubiera habido errores de observación.
82 Curso básico de topografía
La distancia entre 0 y © se llama error de cierre E. (Fig. N° 47.)
Si el error de cierre E no rebasa la tolerancia establecida, la poligonal se
corrige en forma gráfica de la manera siguiente:
a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son pro-
porcionales a las longitudes de los lados de la poligonal.
El error unitario o error por metro, “e” se calcula dividiendo el error
de cierre E entre el perímetro de la poligonal XL.
E
I E=e(sL) 0%)
Calculado e, las correcciones se obtienen como sigue:
GQ =e
CG: =e + Le)
Ci = ei + Li + Li)
Ci = ea + Lit hth)
Ge = ey + Le + La + La + La)
Co = e(3L) @
La distancia entre 0 y © se llama error de cierre E. (Fig. N° 47.)
Si el error de cierre E no rebasa la tolerancia establecida, la poligonal se
corrige en forma gráfica de la manera siguiente:
a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son pro-
porcionales a las longitudes de los lados de la poligonal.
El error unitario o error por metro, “e” se calcula dividiendo el error
de cierre E entre el perímetro de la poligonal XL.
E
I E=e(sL) 0%)
Calculado e, las correcciones se obtienen como sigue:
GQ =e
CG: =e + Le)
Ci = ei + Li + Li)
Ci = ea + Lit hth)
Ge = ey + Le + La + La + La)
Co = e(3L) @
Planimetria 83
De las igualdades (1) y (2), se concluye que: Cy. = E; es decir, que
la corrección que se aplique en el punto O”, tiene el mismo valor absoluto
que el error de cierre.
b) Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de
cierre, en sentido contrario al error.
©) En seguida, sobre la paralela trazada por el vértice 1, se toma una
longitud igual a C,, a partir del vértice 1, obteniéndose así el punto 1’;
sobre la paralela que pasa por el vértice 2, y a partir de este punto, se
toma una distancia igual a C, y se obtiene el punto 2’; y así sucesivamente
se encuentran los puntos 3/ y 4%.
d) Por último, uniendo los puntos 0, 1’, 2, 3, 4 y 0 se encuentra
la poligonal compensada.
Cuando se trate de una poligonal abierta, cuyos extremos son conocidos,
para compensar gráficamente el error se procederá de una manera análoga
a la ya descrita para poligonales cerradas. (Fig. N° 48.)
23-23
Caso particular
Si los lados de la poligonal, cerrada o abierta, tienen aproximadamente
la misma longitud, la compensación gráfica se simplifica porque se evita el
cálculo de las corr “ciones.
De las igualdades (1) y (2), se concluye que: Cy. = E; es decir, que
la corrección que se aplique en el punto O”, tiene el mismo valor absoluto
que el error de cierre.
b) Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas al error de
cierre, en sentido contrario al error.
©) En seguida, sobre la paralela trazada por el vértice 1, se toma una
longitud igual a C,, a partir del vértice 1, obteniéndose así el punto 1’;
sobre la paralela que pasa por el vértice 2, y a partir de este punto, se
toma una distancia igual a C, y se obtiene el punto 2’; y así sucesivamente
se encuentran los puntos 3/ y 4%.
d) Por último, uniendo los puntos 0, 1’, 2, 3, 4 y 0 se encuentra
la poligonal compensada.
Cuando se trate de una poligonal abierta, cuyos extremos son conocidos,
para compensar gráficamente el error se procederá de una manera análoga
a la ya descrita para poligonales cerradas. (Fig. N° 48.)
23-23
Caso particular
Si los lados de la poligonal, cerrada o abierta, tienen aproximadamente
la misma longitud, la compensación gráfica se simplifica porque se evita el
cálculo de las corr “ciones.
84 Curso básico de topografía
En este caso, el error de cierre se divide en tantas partes iguales como
lados tenga la poligonal; luego, por los vértices de la misma se trazan
paralelas al error de cierre y en sentido contrario al error; a continuación,
sobre la paralela trazada por el vértice 1 se toma una longitud igual a
una de las partes en que se dividió el error de cierre; sobre la paralela
que pasa por el vértice 2, se toma una longitud igual a dos de esas partes,
y así sucesivamente.
La poligonal compensada se halla uniendo los puntos 0, 1,2%, 3, 4
y O (Fig. N° 49).
Figura 49
DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DEL POLIGONO
POR MEDIO DEL PLANIMETRO
Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con un planímetro.
Este procedimiento es útil, especialmente, cuando la superficie que se
necesita determinar está limitada por un perímetro irregular, con curvas
y rectas, y a veces sin forma muy precisa.
El planímetro (de plano y del gr. metron, medida) es un instrumento
para medir superficies de figuras planas. Hay dos clases de planímetros:
Polar y rodante,
El que más se emplea es el planímetro polar, por su sencilla operación.
En este caso, el error de cierre se divide en tantas partes iguales como
lados tenga la poligonal; luego, por los vértices de la misma se trazan
paralelas al error de cierre y en sentido contrario al error; a continuación,
sobre la paralela trazada por el vértice 1 se toma una longitud igual a
una de las partes en que se dividió el error de cierre; sobre la paralela
que pasa por el vértice 2, se toma una longitud igual a dos de esas partes,
y así sucesivamente.
La poligonal compensada se halla uniendo los puntos 0, 1,2%, 3, 4
y O (Fig. N° 49).
Figura 49
DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DEL POLIGONO
POR MEDIO DEL PLANIMETRO
Las superficies se pueden determinar mecánicamente, con un planímetro.
Este procedimiento es útil, especialmente, cuando la superficie que se
necesita determinar está limitada por un perímetro irregular, con curvas
y rectas, y a veces sin forma muy precisa.
El planímetro (de plano y del gr. metron, medida) es un instrumento
para medir superficies de figuras planas. Hay dos clases de planímetros:
Polar y rodante,
El que más se emplea es el planímetro polar, por su sencilla operación.
Planimetria 85
Doscripción del planimetro polar
El planímetro polar está formado por dos brazos unidos por un eje
(Fig. N° 50): uno, que se denomina brazo polar que lleva el punto fijo
© polo P, y el otro que se llama brazo trazador y tiene marcada una gra-
duación G para ajustar su longitud, según la escala del dibujo, y en su
extremo lleva la punta trazadora 7.
El planimetro se apoya en tres puntos: el polo P, el rodillo R y la
punta trazadora T.
El tambor del rodillo, está dividido en 100 partes y en contacto con
un vernier Y que va fijo a la armadura del planímetro. Por medio de un
tomillo sinfín, el rodillo cuando gira hace girar al disco graduado D en
la relación 10:1. El número completo de vueltas del rodillo se lee en el
disco D por medio de un índice; los centésimos de vuelta del rodillo los
indica la lectura del tambor en el índice del vernier V; y los milésimos
se obtienen por la lectura del vernier.
Reglas prácicas para el uso del planimetro
1. El rodillo debe girar libremente y sin sacudidas.
2. La superficie sobre la cual se mueve el planímetro debe ser plana,
horizontal y perfectamente pulida.
3. Con la punta trazadora se seguirá el perímetro, en sentido retré-
grado, colocando el ojo en la parte superior.
4. No debe dirigirse la punta trazadora a lo largo de una regla, por
que la compensación de errores en este caso es menor que procediendo
de la otra manera.
5. Cuando al recorrer el perímetro se desvía el trazador o se pasa
del último vértice, debe retroceder siguiendo el mismo camino, anuländose
en esta forma el error.
Doscripción del planimetro polar
El planímetro polar está formado por dos brazos unidos por un eje
(Fig. N° 50): uno, que se denomina brazo polar que lleva el punto fijo
© polo P, y el otro que se llama brazo trazador y tiene marcada una gra-
duación G para ajustar su longitud, según la escala del dibujo, y en su
extremo lleva la punta trazadora 7.
El planimetro se apoya en tres puntos: el polo P, el rodillo R y la
punta trazadora T.
El tambor del rodillo, está dividido en 100 partes y en contacto con
un vernier Y que va fijo a la armadura del planímetro. Por medio de un
tomillo sinfín, el rodillo cuando gira hace girar al disco graduado D en
la relación 10:1. El número completo de vueltas del rodillo se lee en el
disco D por medio de un índice; los centésimos de vuelta del rodillo los
indica la lectura del tambor en el índice del vernier V; y los milésimos
se obtienen por la lectura del vernier.
Reglas prácicas para el uso del planimetro
1. El rodillo debe girar libremente y sin sacudidas.
2. La superficie sobre la cual se mueve el planímetro debe ser plana,
horizontal y perfectamente pulida.
3. Con la punta trazadora se seguirá el perímetro, en sentido retré-
grado, colocando el ojo en la parte superior.
4. No debe dirigirse la punta trazadora a lo largo de una regla, por
que la compensación de errores en este caso es menor que procediendo
de la otra manera.
5. Cuando al recorrer el perímetro se desvía el trazador o se pasa
del último vértice, debe retroceder siguiendo el mismo camino, anuländose
en esta forma el error.
86 Curso básico de topografía
Determinación de superficies
Cuando se va a determinar la superficie de un polígono, se coloca la
aguja del polo en el papel en el punto que convenga y se mantiene en su
Posición mediante el peso W.
A continuación, la punta trazadora se coloca en un punto definido del
perímetro del polígono, y se hace una lectura inicial. Luego" se recorre
el perímetro hasta que la punta trazadora vuelve a quedar en su posición
original, y se toma una lectura final. El recorrido del perímetro con la
punta trazadora se ejecutará en el sentido del movimiento de las manecillas
del reloj.
La diferencia entre la lectura final y la inicial es el número n de
revoluciones del rodillo.
n=L-L a
en la que n es positiva si la rotación es hacia adelante y negativa si es
hacia atrás.
Cuando el polo queda fuera de la figura y el planímetro hace el reco-
rrido en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final L, será
mayor que la inicial Li, y # será positiva.
La superficie $ de la figura es directamente proporcional al número
n de revoluciones del rodillo:
eco,
5
“La superficie de la figura se obtiene multiplicando la diferencia de lecturas
por la constante del planimetro.”
(2 a)
El factor de proporcionalidad K se llama la CONSTANTE DEL PLANf-
Erro. El valor de K es igual al producto de la longitud del brazo trazador
por la circunferencia del rodillo.
Cuando el brazo trazador se sostiene en tal posición con relación al
brazo polar, que el plano del rodillo pasa por el polo, la punta trazadora
puede describir una circunferencia sin que el rodillo se mueva y, por
tanto, no se registra esta superficie. A este círculo, cuya superficie no se
registra, se le llama el círculo del cero. A esto se debe que si el polo del
planímetro se coloca dentro de la figura cuya superficie se desea determinar,
la diferencia de lecturas que se obtiene únicamente, corresponde a la
que queda fuera del círculo del cero. Además, las lecturas resul-
tan positivas si la rotación del rodillo es hacia adelante y la superficie
de la figura es mayor que el círculo del cero; y negativas cuando la
rotación del rodillo es hacia atrás y la superficie de la figura es menor
que la del círculo del cero.
Determinación de superficies
Cuando se va a determinar la superficie de un polígono, se coloca la
aguja del polo en el papel en el punto que convenga y se mantiene en su
Posición mediante el peso W.
A continuación, la punta trazadora se coloca en un punto definido del
perímetro del polígono, y se hace una lectura inicial. Luego" se recorre
el perímetro hasta que la punta trazadora vuelve a quedar en su posición
original, y se toma una lectura final. El recorrido del perímetro con la
punta trazadora se ejecutará en el sentido del movimiento de las manecillas
del reloj.
La diferencia entre la lectura final y la inicial es el número n de
revoluciones del rodillo.
n=L-L a
en la que n es positiva si la rotación es hacia adelante y negativa si es
hacia atrás.
Cuando el polo queda fuera de la figura y el planímetro hace el reco-
rrido en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final L, será
mayor que la inicial Li, y # será positiva.
La superficie $ de la figura es directamente proporcional al número
n de revoluciones del rodillo:
eco,
5
“La superficie de la figura se obtiene multiplicando la diferencia de lecturas
por la constante del planimetro.”
(2 a)
El factor de proporcionalidad K se llama la CONSTANTE DEL PLANf-
Erro. El valor de K es igual al producto de la longitud del brazo trazador
por la circunferencia del rodillo.
Cuando el brazo trazador se sostiene en tal posición con relación al
brazo polar, que el plano del rodillo pasa por el polo, la punta trazadora
puede describir una circunferencia sin que el rodillo se mueva y, por
tanto, no se registra esta superficie. A este círculo, cuya superficie no se
registra, se le llama el círculo del cero. A esto se debe que si el polo del
planímetro se coloca dentro de la figura cuya superficie se desea determinar,
la diferencia de lecturas que se obtiene únicamente, corresponde a la
que queda fuera del círculo del cero. Además, las lecturas resul-
tan positivas si la rotación del rodillo es hacia adelante y la superficie
de la figura es mayor que el círculo del cero; y negativas cuando la
rotación del rodillo es hacia atrás y la superficie de la figura es menor
que la del círculo del cero.
Planimetría 87
La superficie del círculo del cero se puede determinar recorriendo el
perímetro de una figura, una vez con el polo fuera de la figura y otra
con el polo dentro de ella.
La primera operación da la superficie de la figura:
Sank
y la segunda da una superficie:
S=wKk
que representa la diferencia entre la superficie de la figura y la del círculo
del cero:
Superficie del círculo del cero = nk — n'K = (n— m)K
mM>0, sit S > Sup. del círculo del cero
<0, $ < Sup. del círculo del cero.
según la dirección de rotación del rodillo.
Por lo anteriormente expuesto, se considera más conveniente determi-
nai las superficies, colocando el polo fuera de la figura. Si ésta es mayor
que la que puede trazarse en una operación, se puede dividir en figuras
pequeñas y determinar por separado sus superficies. =
Determinación de la constante del planímetro
Se puede determinar el valor de la constante del planimetro recorrien-
do el perímetro de una figura de superficie conocida, con la punta tr
zadora.
La operación, de preferen
zarse el promedio.
De la fórmula:
, debe repetirse unas cinco veces y
S= (L,—L)K
i 6)
El valor de la constante K del planimetro se obtiene dividiendo la super-
ficie conocida S entre la diferencia de lecturas tomadas al iniciar el recorrido
del perímetro y al final del recorrido.
se deduce:
Los constructores de estos instrumentos dan una tabla en la que se
indican las constantes para diferentes longitudes del brazo trazador y para
diversas escalas.
La superficie del círculo del cero se puede determinar recorriendo el
perímetro de una figura, una vez con el polo fuera de la figura y otra
con el polo dentro de ella.
La primera operación da la superficie de la figura:
Sank
y la segunda da una superficie:
S=wKk
que representa la diferencia entre la superficie de la figura y la del círculo
del cero:
Superficie del círculo del cero = nk — n'K = (n— m)K
mM>0, sit S > Sup. del círculo del cero
<0, $ < Sup. del círculo del cero.
según la dirección de rotación del rodillo.
Por lo anteriormente expuesto, se considera más conveniente determi-
nai las superficies, colocando el polo fuera de la figura. Si ésta es mayor
que la que puede trazarse en una operación, se puede dividir en figuras
pequeñas y determinar por separado sus superficies. =
Determinación de la constante del planímetro
Se puede determinar el valor de la constante del planimetro recorrien-
do el perímetro de una figura de superficie conocida, con la punta tr
zadora.
La operación, de preferen
zarse el promedio.
De la fórmula:
, debe repetirse unas cinco veces y
S= (L,—L)K
i 6)
El valor de la constante K del planimetro se obtiene dividiendo la super-
ficie conocida S entre la diferencia de lecturas tomadas al iniciar el recorrido
del perímetro y al final del recorrido.
se deduce:
Los constructores de estos instrumentos dan una tabla en la que se
indican las constantes para diferentes longitudes del brazo trazador y para
diversas escalas.
88 Curso básico de topografía
Precisión en la determinación de superficies con planímetro
Las superficies deben dibu
acuerdo con la precisión deseada.
La precisión en la determinación de superficies con planimetro, depende
en gran parte de la habilidad del operador para seguir el perímetro del
Polígono con la punta trazadora, pues hay una tendencia del operador, a
desviarse en uno u otro sentido.
Si la figura es grande el error relativo en la superficie será pequeño,
y viceversa.
En la medida de superficies pequeñas generalmente se puede esperar
una precisión del uno por ciento y en la medida de figuras de tamaño
grande que estén bien dibujadas dentro de 0.1% 6 0.2%.
e empleando una escala que esté de
LEVANTAMIENTOS CON TRANSITO Y CINTA
Generalidades
Se denominan goniómetros los aparatos que sirven para medir ángulos.
Estos instrumentos constan esencialmente de un limbo o círculo graduado
y de una alidada. Se llama limbo o círculo graduado a la corona circular
cuyo contorno está dividido con trazos finos. Los círculos se gradúan en
360° sexagesimales o en 400* centesimales. La alidada está formada por
un anteojo estadimétrico ligado a un disco giratorio cuyo eje debe coi
con el eje del limbo y lleva consigo un indice en el extremo de dicho disco
y un vernier para conocer el valor del ángulo en una forma más precisa
Descripción del tránsito
El “tránsito” (Fig. NO 51), tomado del inglés “transit”, es un gonió-
metro cuyo anteojo puede dar una vuelta completa alrededor del eje de
alturas. Consta esencialmente de las partes siguientes:
El anteojo, elemento fijado a un eje transversal horizontal denomina-
do eje de alturas que descansa en los cojinetes de los soportes. El anteojo
se puede hacer girar alrededor de su eje horizontal y se puede fijar en
sualquier posición en un plano vertical, por medio del tornillo de presión
del movimiento vertical; una vez fijo este tornillo se pueden comunicar
pequeños movimientos al anteojo alrededor del eje horizontal, haciendo
girar el tornillo tangencial del movimiento vertical.
El círculo vertical se encuentra unido al eje horizontal y fijado a uno
de los soportes del anteojo está el vernier del círculo vertical.
El anteojo lleva en su parte inferior un nivel de burbuja que sirve para
usar el tránsito como nivel,
Precisión en la determinación de superficies con planímetro
Las superficies deben dibu
acuerdo con la precisión deseada.
La precisión en la determinación de superficies con planimetro, depende
en gran parte de la habilidad del operador para seguir el perímetro del
Polígono con la punta trazadora, pues hay una tendencia del operador, a
desviarse en uno u otro sentido.
Si la figura es grande el error relativo en la superficie será pequeño,
y viceversa.
En la medida de superficies pequeñas generalmente se puede esperar
una precisión del uno por ciento y en la medida de figuras de tamaño
grande que estén bien dibujadas dentro de 0.1% 6 0.2%.
e empleando una escala que esté de
LEVANTAMIENTOS CON TRANSITO Y CINTA
Generalidades
Se denominan goniómetros los aparatos que sirven para medir ángulos.
Estos instrumentos constan esencialmente de un limbo o círculo graduado
y de una alidada. Se llama limbo o círculo graduado a la corona circular
cuyo contorno está dividido con trazos finos. Los círculos se gradúan en
360° sexagesimales o en 400* centesimales. La alidada está formada por
un anteojo estadimétrico ligado a un disco giratorio cuyo eje debe coi
con el eje del limbo y lleva consigo un indice en el extremo de dicho disco
y un vernier para conocer el valor del ángulo en una forma más precisa
Descripción del tránsito
El “tránsito” (Fig. NO 51), tomado del inglés “transit”, es un gonió-
metro cuyo anteojo puede dar una vuelta completa alrededor del eje de
alturas. Consta esencialmente de las partes siguientes:
El anteojo, elemento fijado a un eje transversal horizontal denomina-
do eje de alturas que descansa en los cojinetes de los soportes. El anteojo
se puede hacer girar alrededor de su eje horizontal y se puede fijar en
sualquier posición en un plano vertical, por medio del tornillo de presión
del movimiento vertical; una vez fijo este tornillo se pueden comunicar
pequeños movimientos al anteojo alrededor del eje horizontal, haciendo
girar el tornillo tangencial del movimiento vertical.
El círculo vertical se encuentra unido al eje horizontal y fijado a uno
de los soportes del anteojo está el vernier del círculo vertical.
El anteojo lleva en su parte inferior un nivel de burbuja que sirve para
usar el tránsito como nivel,
89
Planimetría
1. Visera o sombra.
2. Tomillo de enfoque.
3- Tomillo de presión del movimiento
vertical.
4. Tomillo tangencial del movimiento
5.
6
= Tornillos de la retícula.
8. Eje de alturas.
9. Nivel del anteojo.
13. Niveles del círculo horizontal.
14- Vernier del círculo horizontal.
15.- Tornillo de presión del movimiento
particular.
16..Tomilo tangencial del movimiento
particular.
11. Brijula.
18 Tornillo para ja el agua de a brújula.
19. Tornillo de presión del movimiento
general.
20. Tornillo tangenclal del movimiento
genen.
21. Tornillos niveladores,
22. Plataforma o base ena que descansan
los tornillos iveladores.
29. Tépié.
24. Cadena con gancho para colgar la
plomade.
Planimetría
1. Visera o sombra.
2. Tomillo de enfoque.
3- Tomillo de presión del movimiento
vertical.
4. Tomillo tangencial del movimiento
5.
6
= Tornillos de la retícula.
8. Eje de alturas.
9. Nivel del anteojo.
13. Niveles del círculo horizontal.
14- Vernier del círculo horizontal.
15.- Tornillo de presión del movimiento
particular.
16..Tomilo tangencial del movimiento
particular.
11. Brijula.
18 Tornillo para ja el agua de a brújula.
19. Tornillo de presión del movimiento
general.
20. Tornillo tangenclal del movimiento
genen.
21. Tornillos niveladores,
22. Plataforma o base ena que descansan
los tornillos iveladores.
29. Tépié.
24. Cadena con gancho para colgar la
plomade.
90 Curso básico de topografía
Se dice que el anteojo está en posición directa cuando el nivel queda
abajo de él, y en posición inversa, cuando está arriba. El giro que se le
da al anteojo para pasar de una posición a la otra es lo que se llama
vuelta de campana.
Figura 51
En el interior del tubo del anteojo está el sistema Óptico que le da
el poder amplificador. Según los diversos aparatos, el poder amplificador
varía, generalmente, entre 18 y 30 diámetros. El poder amplificador es la
relación de la longitud aparente de la imagen a la del objeto. Cuanto
mayor es el poder amplificador tanto menor es la ilumi y menor
es el campo visual.
‘Cuando se visa un objeto, se acciona el tornillo de enfoque del objetivo
hasta que la imagen aparece clara y el ocular, hacia adentro o hacia afue-
ra, hasta que aparezcan claros los hilos de la retícul
La función principal del objetivo es formar una imagen visible. El cen-
tro óptico del objetivo es el punto interior de las lentes por el que pasa
cualquier rayo de luz sin cambiar de dirección.
El foco principal es un punto en el eje óptico atrás del objetivo en
el que los rayos que entran al anteojo y que son paralelos al eje Óptico,
van a dar al foco.
La distancia focal del objetivo es la distancia de su centro Óptico a
su foco principal.
La imagen formada en el objetivo es invertida, El ocular que comi
mente se usa, llamado de imagen recta, reinvierte la imagen de manera
que aparece al ojo en su posición normal.
El anteojo está provisto de una retícula de tres hilos horizontales, para-
lelos entre sí y equidistantes y de un hilo vertical que corta por en medio
Se dice que el anteojo está en posición directa cuando el nivel queda
abajo de él, y en posición inversa, cuando está arriba. El giro que se le
da al anteojo para pasar de una posición a la otra es lo que se llama
vuelta de campana.
Figura 51
En el interior del tubo del anteojo está el sistema Óptico que le da
el poder amplificador. Según los diversos aparatos, el poder amplificador
varía, generalmente, entre 18 y 30 diámetros. El poder amplificador es la
relación de la longitud aparente de la imagen a la del objeto. Cuanto
mayor es el poder amplificador tanto menor es la ilumi y menor
es el campo visual.
‘Cuando se visa un objeto, se acciona el tornillo de enfoque del objetivo
hasta que la imagen aparece clara y el ocular, hacia adentro o hacia afue-
ra, hasta que aparezcan claros los hilos de la retícul
La función principal del objetivo es formar una imagen visible. El cen-
tro óptico del objetivo es el punto interior de las lentes por el que pasa
cualquier rayo de luz sin cambiar de dirección.
El foco principal es un punto en el eje óptico atrás del objetivo en
el que los rayos que entran al anteojo y que son paralelos al eje Óptico,
van a dar al foco.
La distancia focal del objetivo es la distancia de su centro Óptico a
su foco principal.
La imagen formada en el objetivo es invertida, El ocular que comi
mente se usa, llamado de imagen recta, reinvierte la imagen de manera
que aparece al ojo en su posición normal.
El anteojo está provisto de una retícula de tres hilos horizontales, para-
lelos entre sí y equidistantes y de un hilo vertical que corta por en medio
Planimetria 91
a los tres anteriores. Estos hilos se obtienen de los capullos de las arañas
© se hacen de alambre de platino muy delgado y se sujetan a un anillo
metálico que constituye el anillo de la retícula; este anillo es menor que
el tubo del anteojo, y se mantiene en su lugar con cuatro tomillos de
calavera por medio de los cuales se puede mover vertical u horizontal.
la retícula y el centro Óptico del objetivo.
El disco superior o disco del vernier, al cual están unidos los soportes
del anteojo y el disco inferior, al cual está fj ulo graduado 0
limbo horizontal, están sujetos, respectivamente a una espiga y un mango,
cuyos ejes de rotación coinciden y están situados en el centro geométrico
del círculo graduado. El mango o eje exterior que lleva el disco inferior
puede sujetarse en cualquier posición por medio del tornillo de presión
del movimiento general. Una vez apretado este tornillo, se pueden pro-
ducir pequeños movimientos haciendo girar el tornillo tangencial del movi-
miento general.
De la misma manera, la espiga que lleva el disco superior puede suje-
tarse al mango exterior por medio del tornillo de presión del movimiento
particular. Después que se ha apretado éste se pueden comunicar peque-
ños movimientos por medio del tornillo tangencial del movimiento particular,
El eje alrededor del cual giran la espiga y el mango verticales se llama
eje azimutal del instrumento.
Sobre el disco superior se encuentra montada una brújula. Si el círculo
graduado de la brújula es fijo, sus puntos N y $ se encontrarán en el mismo
plano vertical de la visual del anteojo. Existen tránsitos en los cuales puede
hacerse girar el círculo graduado de la brújula con respecto al disco supe-
rior, de manera que puede marcarse la declinación magnética y obtener
directamente los rumbos astronómicos de las líneas.
En uno de los costados de la caja en donde se encuentra la brújula
hay un tomillo que sirve para asegurar el movimiento de la aguja cuando
no está en uso y evitar que se doble el pivote de apoyo durante el trans-
porte del aparato.
El disco superior lleva montados dos niveles de burbuja en ángulo recto
y que sirven para nivelar el tránsito.
El círculo horizontal está graduado generalmente en medios grados,
pero algunas veces en terceras partes de grado o cuartos de grado.
Todos los tránsitos tienen dos verniers, llamados A y B para leer el
círculo horizontal. Sus índices tienen una separación de 180°
El mango o eje exterior se encuentra asentado en un hueco cónico de
la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo una articu-
lación de rodilla que fija el aparato al plato de base, pero permitiendo la
rotación, quedando la misma articulación como centro.
a los tres anteriores. Estos hilos se obtienen de los capullos de las arañas
© se hacen de alambre de platino muy delgado y se sujetan a un anillo
metálico que constituye el anillo de la retícula; este anillo es menor que
el tubo del anteojo, y se mantiene en su lugar con cuatro tomillos de
calavera por medio de los cuales se puede mover vertical u horizontal.
la retícula y el centro Óptico del objetivo.
El disco superior o disco del vernier, al cual están unidos los soportes
del anteojo y el disco inferior, al cual está fj ulo graduado 0
limbo horizontal, están sujetos, respectivamente a una espiga y un mango,
cuyos ejes de rotación coinciden y están situados en el centro geométrico
del círculo graduado. El mango o eje exterior que lleva el disco inferior
puede sujetarse en cualquier posición por medio del tornillo de presión
del movimiento general. Una vez apretado este tornillo, se pueden pro-
ducir pequeños movimientos haciendo girar el tornillo tangencial del movi-
miento general.
De la misma manera, la espiga que lleva el disco superior puede suje-
tarse al mango exterior por medio del tornillo de presión del movimiento
particular. Después que se ha apretado éste se pueden comunicar peque-
ños movimientos por medio del tornillo tangencial del movimiento particular,
El eje alrededor del cual giran la espiga y el mango verticales se llama
eje azimutal del instrumento.
Sobre el disco superior se encuentra montada una brújula. Si el círculo
graduado de la brújula es fijo, sus puntos N y $ se encontrarán en el mismo
plano vertical de la visual del anteojo. Existen tránsitos en los cuales puede
hacerse girar el círculo graduado de la brújula con respecto al disco supe-
rior, de manera que puede marcarse la declinación magnética y obtener
directamente los rumbos astronómicos de las líneas.
En uno de los costados de la caja en donde se encuentra la brújula
hay un tomillo que sirve para asegurar el movimiento de la aguja cuando
no está en uso y evitar que se doble el pivote de apoyo durante el trans-
porte del aparato.
El disco superior lleva montados dos niveles de burbuja en ángulo recto
y que sirven para nivelar el tránsito.
El círculo horizontal está graduado generalmente en medios grados,
pero algunas veces en terceras partes de grado o cuartos de grado.
Todos los tránsitos tienen dos verniers, llamados A y B para leer el
círculo horizontal. Sus índices tienen una separación de 180°
El mango o eje exterior se encuentra asentado en un hueco cónico de
la cabeza de nivelación. La cabeza de nivelación tiene abajo una articu-
lación de rodilla que fija el aparato al plato de base, pero permitiendo la
rotación, quedando la misma articulación como centro.
92 Curso básico de topografía
Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el
plato de base. Cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre
la articulación de rodilla; y cuando los tornillos niveladores se encuentran
flojos no hay presión sobre el plato de base y el tránsito puede moverse
lateralmente con respecto al plato.
Del extremo de la espiga cuelga una cadena con un gancho para
suspender la plomada.
El instrumento se monta en un (ripié atornillando el plato de base
en la cabeza del tripié.
Las partes principales del tripié son la plataforma, el sistema de unión
con el aparato y los pies.
Usos del tránsito
Debido a la gran variedad de usos que se le dan, el tránsito es el apa-
rato universal para la topografía,
El tránsito puede emplearse para:
a) Medir ángulos horizontales y verticales.
b) Trazar ángulos horizontales y verticales.
©) Medir distancias.
d) Determinar diferencias de elevación.
©) Medir direcciones, y
$) Trazar y prolongar líneas.
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento. Revisión y ajustes
1. Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser per-
pendiculares al eje azimutal cuando las burbujas estén en el centro.
Revisión:
Con el movimiento general póngase uno de los niveles en la dirección
de dos de los tornillos diametrales de la plataforma para ni
NP 52)
Fíjese el movimiento general y vali
aa, llévese al centro la burbuja del
Aféjese el tomillo de presi# del movimiento particular y gfrese el
anteojo 180”, fijando dicho movimiento. Si la burbuja del mivel queda
en el centro después de este giro, en esta mueva posición, el nivel está
correcto, pero si se desvía la burbuja se procede a corregirlo.
Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelación contra el
plato de base. Cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre
la articulación de rodilla; y cuando los tornillos niveladores se encuentran
flojos no hay presión sobre el plato de base y el tránsito puede moverse
lateralmente con respecto al plato.
Del extremo de la espiga cuelga una cadena con un gancho para
suspender la plomada.
El instrumento se monta en un (ripié atornillando el plato de base
en la cabeza del tripié.
Las partes principales del tripié son la plataforma, el sistema de unión
con el aparato y los pies.
Usos del tránsito
Debido a la gran variedad de usos que se le dan, el tránsito es el apa-
rato universal para la topografía,
El tránsito puede emplearse para:
a) Medir ángulos horizontales y verticales.
b) Trazar ángulos horizontales y verticales.
©) Medir distancias.
d) Determinar diferencias de elevación.
©) Medir direcciones, y
$) Trazar y prolongar líneas.
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen
funcionamiento. Revisión y ajustes
1. Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben ser per-
pendiculares al eje azimutal cuando las burbujas estén en el centro.
Revisión:
Con el movimiento general póngase uno de los niveles en la dirección
de dos de los tornillos diametrales de la plataforma para ni
NP 52)
Fíjese el movimiento general y vali
aa, llévese al centro la burbuja del
Aféjese el tomillo de presi# del movimiento particular y gfrese el
anteojo 180”, fijando dicho movimiento. Si la burbuja del mivel queda
en el centro después de este giro, en esta mueva posición, el nivel está
correcto, pero si se desvía la burbuja se procede a corregirlo.
Planimetria 93
Ajuste:
Corrijase la mitad del error por medio de los tornillos de calavera de
que están provistos los niveles.
La otra mitad se corrige con los tornillos niveladores.
Nunca se corrigen los niveles con una sola operación y hay que repe-
ila tantas veces cuantas sea necesario hasta tener la seguridad de que el
nivel está correcto. po
N antenne
je
aabb, + tornillos niveladores
Figura 52
2. El hilo vertical de la retícula debe estar en un plano perpendicular
al eje horizontal.
Revisi
A una distancia de 60 m de donde se tiene el tránsito, colóquese la
plomada sumergida en un recipiente que contenga agua O aceite, para
evitar las oscilaciones que produce el viento.
Hágase coincidir el cruzamiento central de los hilos de la retícula con
el hilo de la plomada y obsérvese si el hilo vertical se confunde con el
de la plomada. Si esto acontece el hilo vertical está correcto; pero si no
sucede así, el hilo requiere corrección.
Ajuste:
Aflójense dos tomillos de calavera contiguos.
Imprimase un giro a la retícula hasta que coincida el hilo vertical en
toda su longitud con el hilo de la plomada.
‘Una vez lograda la coincidencia del hilo vertical y la plomada, aprié-
tense los mismos dos tornillos de calavera.
Ajuste:
Corrijase la mitad del error por medio de los tornillos de calavera de
que están provistos los niveles.
La otra mitad se corrige con los tornillos niveladores.
Nunca se corrigen los niveles con una sola operación y hay que repe-
ila tantas veces cuantas sea necesario hasta tener la seguridad de que el
nivel está correcto. po
N antenne
je
aabb, + tornillos niveladores
Figura 52
2. El hilo vertical de la retícula debe estar en un plano perpendicular
al eje horizontal.
Revisi
A una distancia de 60 m de donde se tiene el tránsito, colóquese la
plomada sumergida en un recipiente que contenga agua O aceite, para
evitar las oscilaciones que produce el viento.
Hágase coincidir el cruzamiento central de los hilos de la retícula con
el hilo de la plomada y obsérvese si el hilo vertical se confunde con el
de la plomada. Si esto acontece el hilo vertical está correcto; pero si no
sucede así, el hilo requiere corrección.
Ajuste:
Aflójense dos tomillos de calavera contiguos.
Imprimase un giro a la retícula hasta que coincida el hilo vertical en
toda su longitud con el hilo de la plomada.
‘Una vez lograda la coincidencia del hilo vertical y la plomada, aprié-
tense los mismos dos tornillos de calavera.
94 Curso básico de topografía
3. La línea de colimación del anteojo debe ser perpendicular al eje
horizontal.
Revisión:
Nivélese el instrumento.
Visese un punto A (Fig. N° 53) a una distancia de 150 m aproxi-
madamente, con el anteojo en posición directa y fíjense los movimientos
particular y general del instrumento.
eje horizontal 4a.
1
— 4 eje horizontal 2a posición
posición N
be
a
SE +D
Figura 58
Dése vuelta de campana al anteojo, quedando éste en posición inversa
y coléquese otro punto B en la línea de colimación y aproximadamente a
la misma distancia en el lado opuesto del tránsito.
Aflgjese el movimiento general e inviértanse los extremos del anteojo,
haciéndolo girar alrededor del eje azimutal, y visese otra vez A.
Fíjese el movimiento general y dése vuelta de campana al anteojo;
si la línea de colimación cae en B el aparato está correcto; en caso
contrario se procede a corregirlo.
Ajuste:
Coléquese un punto C en la línea de colimación cerca de B.
Mérquese otro punto D, a la cuarta parte de la distancia de C a B.
Ajústese el anillo de la retícula, por medio de los dos tornillos hori-
zontales opuestos, hasta que la linea de colimación pase por D.
Repítase la operación hasta tener la seguridad de que está correcto.
Los puntos visados deberán estar aproximadamente a la misma altura
que el instrumento. (Fig, NO 54.)
3. La línea de colimación del anteojo debe ser perpendicular al eje
horizontal.
Revisión:
Nivélese el instrumento.
Visese un punto A (Fig. N° 53) a una distancia de 150 m aproxi-
madamente, con el anteojo en posición directa y fíjense los movimientos
particular y general del instrumento.
eje horizontal 4a.
1
— 4 eje horizontal 2a posición
posición N
be
a
SE +D
Figura 58
Dése vuelta de campana al anteojo, quedando éste en posición inversa
y coléquese otro punto B en la línea de colimación y aproximadamente a
la misma distancia en el lado opuesto del tránsito.
Aflgjese el movimiento general e inviértanse los extremos del anteojo,
haciéndolo girar alrededor del eje azimutal, y visese otra vez A.
Fíjese el movimiento general y dése vuelta de campana al anteojo;
si la línea de colimación cae en B el aparato está correcto; en caso
contrario se procede a corregirlo.
Ajuste:
Coléquese un punto C en la línea de colimación cerca de B.
Mérquese otro punto D, a la cuarta parte de la distancia de C a B.
Ajústese el anillo de la retícula, por medio de los dos tornillos hori-
zontales opuestos, hasta que la linea de colimación pase por D.
Repítase la operación hasta tener la seguridad de que está correcto.
Los puntos visados deberán estar aproximadamente a la misma altura
que el instrumento. (Fig, NO 54.)
Planimetria 95
=
=
Figura 54
150 m aprox.
4. El eje horizontal o eje de alturas debe ser perpendicular al eje
vertical o eje azimutal.
Revisión:
Coléquese el tránsito cerca de un poste, pared de un edificio o alguna
otra construcción que tenga un punto A perfectamente bien definido y
que para visarlo, el anteojo deba formar con la horizontal un ángulo ver-
tical mayor de 45° (Fig. NP 55).
Nivélese cuidadosamente el instrumento y vísese el punto A, fijando
los movimientos particular y general.
A
vertical verdadera
=
=
Figura 54
150 m aprox.
4. El eje horizontal o eje de alturas debe ser perpendicular al eje
vertical o eje azimutal.
Revisión:
Coléquese el tránsito cerca de un poste, pared de un edificio o alguna
otra construcción que tenga un punto A perfectamente bien definido y
que para visarlo, el anteojo deba formar con la horizontal un ángulo ver-
tical mayor de 45° (Fig. NP 55).
Nivélese cuidadosamente el instrumento y vísese el punto A, fijando
los movimientos particular y general.
A
vertical verdadera
96 Curso básico de topografía
Imprimase un giro hacia abajo al anteojo y fijese el punto B sobre la
parte baja del muro o poste o bien sobre el suelo, según convenga.
Dése vueita de campana al anteojo e inviértanse sus extremos hacién-
dolo girar alrededor del eje vertical y visese otra vez A.
Inclínese hacia abajo el anteojo hasta visar el punto B. Si esto ocurre
el aparato está correcto; de no ser así debe ajustarse.
Ajuste:
Márquese el punto C que indica la linea de colimación, junto a B.
Midase la distancia que hay entre B y C, y a la mitad márquese otro
punto D, que quedará en el mismo plano vertical que A.
Visese el punto D y elévese el anteojo hasta que la linea de colima-
ción quede cerca de A.
‘Afldjense los dos tornillos que sujetan la tapa del cojinete; y súbase
o bájese el apoyo del eje horizontal, opuesto al círculo vertical, con el
tornillo de corrección que tiene para el objeto, hasta que la línea de col
mación quede en el mismo plano vertical que A.
Repítase la operación para su comprobación.
VERNIER
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos gra-
duados se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las
graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los tränsitos en su ma-
yoría están provistos de dos verniers colocados a 180° uno de otro, y
que se mueven junto con el anteojo.
Definición del vernier
“El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del lim-
bo y en contacto con él y que tiene por objeto apreciar fracciones del
menor espacio en que está dividido el limbo.”
Teoría del vernier
El. fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un
número “n'” de divisiones del limbo en un número “n + 1” partes en que
se divide el vernier.
La extensión que ocupan las "n” divisiones del limbo es igual a la
extensión ocupada por las “n + 1” divisiones del vernier.
Imprimase un giro hacia abajo al anteojo y fijese el punto B sobre la
parte baja del muro o poste o bien sobre el suelo, según convenga.
Dése vueita de campana al anteojo e inviértanse sus extremos hacién-
dolo girar alrededor del eje vertical y visese otra vez A.
Inclínese hacia abajo el anteojo hasta visar el punto B. Si esto ocurre
el aparato está correcto; de no ser así debe ajustarse.
Ajuste:
Márquese el punto C que indica la linea de colimación, junto a B.
Midase la distancia que hay entre B y C, y a la mitad márquese otro
punto D, que quedará en el mismo plano vertical que A.
Visese el punto D y elévese el anteojo hasta que la linea de colima-
ción quede cerca de A.
‘Afldjense los dos tornillos que sujetan la tapa del cojinete; y súbase
o bájese el apoyo del eje horizontal, opuesto al círculo vertical, con el
tornillo de corrección que tiene para el objeto, hasta que la línea de col
mación quede en el mismo plano vertical que A.
Repítase la operación para su comprobación.
VERNIER
La lectura de ángulos horizontales y verticales, sobre los círculos gra-
duados se hace con vernier para aumentar la aproximación que tienen las
graduaciones. Para medir los ángulos horizontales, los tränsitos en su ma-
yoría están provistos de dos verniers colocados a 180° uno de otro, y
que se mueven junto con el anteojo.
Definición del vernier
“El vernier es una pequeña placa dividida independientemente del lim-
bo y en contacto con él y que tiene por objeto apreciar fracciones del
menor espacio en que está dividido el limbo.”
Teoría del vernier
El. fundamento del vernier es dividir la extensión ocupada por un
número “n'” de divisiones del limbo en un número “n + 1” partes en que
se divide el vernier.
La extensión que ocupan las "n” divisiones del limbo es igual a la
extensión ocupada por las “n + 1” divisiones del vernier.
Planimetria 97
Si ss tiene un arco dividido en “n” partes, se puede sobreponerle otro
concéntrico a aquél, pero lo en “n + 1” partes. El primer arco for-
mará parte de la circunferencia del limbo; el segundo arco es el vernier
(Fig. No 56).
fi
Pl A
| Vernier 4
A jan A
|
N
i 10
1 timo
Br i
Figura 56
Si se designa por D el valor de la menor división del limbo, y por d
el de una del vernier, el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene
por valor:
MN = Dn a)
y, en divisiones del vernier, vale:
MN = din +1) @
Comparando las igualdades (1) y (2), se hal
Dn=d(n+1) @)
Se llama aproximación del instrumento la menor fracción del limbo
que se puede apreciar por medio del vernier, y es igual a la diferencia que
existe entre el valor de la menor división del limbo y el de una división
del vemier. Designändola por a, se tiene:
D-d : d=D-a (4)
sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra:
Dn= (D a)(n+ 1)
y efectuando operaciones:
Dn= Din + 1) — a(n +1)
Si ss tiene un arco dividido en “n” partes, se puede sobreponerle otro
concéntrico a aquél, pero lo en “n + 1” partes. El primer arco for-
mará parte de la circunferencia del limbo; el segundo arco es el vernier
(Fig. No 56).
fi
Pl A
| Vernier 4
A jan A
|
N
i 10
1 timo
Br i
Figura 56
Si se designa por D el valor de la menor división del limbo, y por d
el de una del vernier, el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene
por valor:
MN = Dn a)
y, en divisiones del vernier, vale:
MN = din +1) @
Comparando las igualdades (1) y (2), se hal
Dn=d(n+1) @)
Se llama aproximación del instrumento la menor fracción del limbo
que se puede apreciar por medio del vernier, y es igual a la diferencia que
existe entre el valor de la menor división del limbo y el de una división
del vemier. Designändola por a, se tiene:
D-d : d=D-a (4)
sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra:
Dn= (D a)(n+ 1)
y efectuando operaciones:
Dn= Din + 1) — a(n +1)
98 Curso básico de topografía
¿o a(n 1) = D(n+ 1) — Dn= Dn + D — Dn
a = aproximación del ve
D = valor de la menor división de] limbo.
n + 1 = número de mes del vernier.
D
nei
Por tanto,
Para conocer la aproximación que da el vernier, dividase el valor de
la menor división del limbo, expresada en minutos o segundos, entre el
número de divisiones del vernier.
EJEMPLOS
1. El limbo horizontal de un tránsito está dividido en medios grados
y el número de divisiones del vernier es 30. ¿Cuál es la aproximación del
aparato?
Datos:
q
D=-E=w
n+1=30
SoLución
Dare =
PER am
2. EI valor de la última división del limbo horizontal de un tránsito
es de 20' y el número de divisiones del vernier, 60. ¿Qué aproximación
tiene el instrumento?
Datos:
D=20
n+1=60
Sorucıön
-_D 2 20x 60" _
Sao
20"
¿o a(n 1) = D(n+ 1) — Dn= Dn + D — Dn
a = aproximación del ve
D = valor de la menor división de] limbo.
n + 1 = número de mes del vernier.
D
nei
Por tanto,
Para conocer la aproximación que da el vernier, dividase el valor de
la menor división del limbo, expresada en minutos o segundos, entre el
número de divisiones del vernier.
EJEMPLOS
1. El limbo horizontal de un tránsito está dividido en medios grados
y el número de divisiones del vernier es 30. ¿Cuál es la aproximación del
aparato?
Datos:
q
D=-E=w
n+1=30
SoLución
Dare =
PER am
2. EI valor de la última división del limbo horizontal de un tránsito
es de 20' y el número de divisiones del vernier, 60. ¿Qué aproximación
tiene el instrumento?
Datos:
D=20
n+1=60
Sorucıön
-_D 2 20x 60" _
Sao
20"
Planimetria 99
Lectura del vernier
En casi todos los tränsitos la graduación del limbo horizontal va en
‘os dos sentidos y contada de 0° a 360°. EI vernier también es doble para
poder hacer las lecturas en uno u otro sentido y tiene su cero en el centro,
EI cero del venir mara siempre el punto en el Timbo cuya letra quiere
acerse.
Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en
la dirección de la graduación, los números enteros que se encuentren
antes de llegar al cero del vernier. En seguida, léase el valor de la frac-
ción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde
el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una división del vernier
con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como
la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para
obtener el valor total. (Fig. NO 57.)
um ——~
252° 30°
Lectura en el limbo = 252°30
Lectura en el vernier ar
Lectura total
Figura 57
Medida de ángulos
La medida de los ángulos puede ser: simple, por repeticiones, o por
reiteraciones.
Medida simple
Supongamos que desde el vértice C de la figura N° 58; se mide el
ángulo ACB. El procedimiento es el siguiente:
Lectura del vernier
En casi todos los tränsitos la graduación del limbo horizontal va en
‘os dos sentidos y contada de 0° a 360°. EI vernier también es doble para
poder hacer las lecturas en uno u otro sentido y tiene su cero en el centro,
EI cero del venir mara siempre el punto en el Timbo cuya letra quiere
acerse.
Para obtener el valor de la lectura, léase primero sobre el limbo, en
la dirección de la graduación, los números enteros que se encuentren
antes de llegar al cero del vernier. En seguida, léase el valor de la frac-
ción sobre el vernier, contando el número de divisiones que haya desde
el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una división del vernier
con una división del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como
la del vernier deben hacerse en la misma dirección y deben sumarse para
obtener el valor total. (Fig. NO 57.)
um ——~
252° 30°
Lectura en el limbo = 252°30
Lectura en el vernier ar
Lectura total
Figura 57
Medida de ángulos
La medida de los ángulos puede ser: simple, por repeticiones, o por
reiteraciones.
Medida simple
Supongamos que desde el vértice C de la figura N° 58; se mide el
ángulo ACB. El procedimiento es el siguiente:
100 Curso básico de topografía
Pénganse en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del
vernier y fijese el movimiento particular.
Valiéndose del movimiento general, visese el punto A, haciendo coin-
cidir el centro de la retícula con el punto A, y fijese el movimiento general.
Afójese el tornillo de presión del movimiento particular y diríjase el
anteojo al punto B, haciendo coincidir dicho punto con el centro de la
retícula,
Hágase la lectura del ángulo en el vernier.
A
Medida por repeticiones
Tiene por objeto obtener el valor de un ángulo lo más aproximado
posible a su valor verdadero, que no puede dar directamente el instrumento
debido a su escasa aproximación.
Este método consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando
las lecturas, de esta manera las pequeñas fracciones que no se pueden
leer con una lectura simple por ser menores que la aproximación del
vernier, al acumularse pueden ya dar una fracción que sí se puede leer
Para repetir un ángulo, como ACB, con el tránsito en C se mide el
valor sencillo del ángulo como se describió anteriormente. No se mueve
la posición del vernier y con el movimiento general se vuelve a visar el
punto A. (Fig. NO 59.)
En seguida, con el movimiento particular se dirige el anteojo al pun-
to B; y el ángulo ahora se ha duplicado.
De esta manera se continúa el proceso, hasta que el ángulo se ha
multiplicado el número de veces requerido.
El valor del ángulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre
las lecturas inicial y final por el número de veces que se repitió el ángulo.
Si la lectura inicial es 0%00, el valor del ángulo se obtendrá dividiendo
la última lectura entre el número de repeticiones.
Pénganse en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del
vernier y fijese el movimiento particular.
Valiéndose del movimiento general, visese el punto A, haciendo coin-
cidir el centro de la retícula con el punto A, y fijese el movimiento general.
Afójese el tornillo de presión del movimiento particular y diríjase el
anteojo al punto B, haciendo coincidir dicho punto con el centro de la
retícula,
Hágase la lectura del ángulo en el vernier.
A
Medida por repeticiones
Tiene por objeto obtener el valor de un ángulo lo más aproximado
posible a su valor verdadero, que no puede dar directamente el instrumento
debido a su escasa aproximación.
Este método consiste en medir el ángulo varias veces pero acumulando
las lecturas, de esta manera las pequeñas fracciones que no se pueden
leer con una lectura simple por ser menores que la aproximación del
vernier, al acumularse pueden ya dar una fracción que sí se puede leer
Para repetir un ángulo, como ACB, con el tránsito en C se mide el
valor sencillo del ángulo como se describió anteriormente. No se mueve
la posición del vernier y con el movimiento general se vuelve a visar el
punto A. (Fig. NO 59.)
En seguida, con el movimiento particular se dirige el anteojo al pun-
to B; y el ángulo ahora se ha duplicado.
De esta manera se continúa el proceso, hasta que el ángulo se ha
multiplicado el número de veces requerido.
El valor del ángulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre
las lecturas inicial y final por el número de veces que se repitió el ángulo.
Si la lectura inicial es 0%00, el valor del ángulo se obtendrá dividiendo
la última lectura entre el número de repeticiones.
101
a” =
y B
Figura 59
EJEMPLO
Supongamos que el ángulo ACB (Fig. N° 59) tenga un valor verda-
dero de 3013/23" y que se tiene que medir con un tránsito cuya apro-
ximación es de 1”.
No será posible hacer la apreciación de los 23” con el instrumento, con
el cual sólo se leerá 30°15; pero si una vez hecha la primera lectura,
se hace una nueva acumulando la anterior, la amplitud recorrida por el
limbo habrá sido de 60°30/46”, por consiguiente, el limbo permitirá leer
60°31’, lo que dará para el ángulo un valor de 301530”, aproximado
al verdadero. Ahora bien, si a las dos lecturas anteriores les acumulamos
una tercera lectura, la amplitud recorrida por el limbo será de 9046/09",
y la lectura apreciable con el instrumento será de 90°46’. En este caso,
el valor del ángulo, repetido 3 veces, se obtendrá tomando la tercera
Parte de la última lectura:
Entonces:
46
valor ángulo repetido = 222 = 30°15'20"
que se aproxima más al valor verdadero.
La precisión aumenta directamente
a” =
y B
Figura 59
EJEMPLO
Supongamos que el ángulo ACB (Fig. N° 59) tenga un valor verda-
dero de 3013/23" y que se tiene que medir con un tránsito cuya apro-
ximación es de 1”.
No será posible hacer la apreciación de los 23” con el instrumento, con
el cual sólo se leerá 30°15; pero si una vez hecha la primera lectura,
se hace una nueva acumulando la anterior, la amplitud recorrida por el
limbo habrá sido de 60°30/46”, por consiguiente, el limbo permitirá leer
60°31’, lo que dará para el ángulo un valor de 301530”, aproximado
al verdadero. Ahora bien, si a las dos lecturas anteriores les acumulamos
una tercera lectura, la amplitud recorrida por el limbo será de 9046/09",
y la lectura apreciable con el instrumento será de 90°46’. En este caso,
el valor del ángulo, repetido 3 veces, se obtendrá tomando la tercera
Parte de la última lectura:
Entonces:
46
valor ángulo repetido = 222 = 30°15'20"
que se aproxima más al valor verdadero.
La precisión aumenta directamente
102 Curso básico de topografía
debido a los errores accidentales, así como a los ocasionados por las
coincidencias imperfectas de la línea de colimación.
Medida por reiteraciones
Los ángulos se determinan, con este método, por diferencias de direc-
ciones. El origen de las direcciones puede ser la línea N-S o una linea
cualquiera.
Si desde la estación A se tienen que observar los vértices ‘1, 2, 3, 4
(Fig. N® 60), se dirigirá primero la visual al extremo de la línea escogida
‘como origen de las direcciones.
Supongamos que la línea A — 1 sea el origen de las direcciones; una
vez visado el punto 1, con uno de los verniers marcando 0°, se fijará el
movimiento general y con el particular se continuará la observación de los
puntos 2, 3 y 4, haciendo en cada caso la lectura de los dos verniers, y
después de haber completado la vuelta de horizonte, se volverá a visar
el punto inicial para verificar si no sufrió algún movimiento el instrumento
durante la observación.
Es conveniente tomar tantos orígenes como líneas concurran a la
estación, de manera que en el ejemplo propuesto, se tomaría en seguida
como origen la línea A — 2, y después la línea A — 3. Los valores de los
ángulos 1 — A ~2, 2- A — 3, 3—A—4, 4 — A— 1 se obtienen por
diferencias entre los ángulos observados alrededor del vértice A; y el valor
más probable de cada ángulo será el promedio de los valores obtenidos.
Este método de observación se emplea cuando hay que medir varios
ángulos alrededor de un punto.
Figura 60
debido a los errores accidentales, así como a los ocasionados por las
coincidencias imperfectas de la línea de colimación.
Medida por reiteraciones
Los ángulos se determinan, con este método, por diferencias de direc-
ciones. El origen de las direcciones puede ser la línea N-S o una linea
cualquiera.
Si desde la estación A se tienen que observar los vértices ‘1, 2, 3, 4
(Fig. N® 60), se dirigirá primero la visual al extremo de la línea escogida
‘como origen de las direcciones.
Supongamos que la línea A — 1 sea el origen de las direcciones; una
vez visado el punto 1, con uno de los verniers marcando 0°, se fijará el
movimiento general y con el particular se continuará la observación de los
puntos 2, 3 y 4, haciendo en cada caso la lectura de los dos verniers, y
después de haber completado la vuelta de horizonte, se volverá a visar
el punto inicial para verificar si no sufrió algún movimiento el instrumento
durante la observación.
Es conveniente tomar tantos orígenes como líneas concurran a la
estación, de manera que en el ejemplo propuesto, se tomaría en seguida
como origen la línea A — 2, y después la línea A — 3. Los valores de los
ángulos 1 — A ~2, 2- A — 3, 3—A—4, 4 — A— 1 se obtienen por
diferencias entre los ángulos observados alrededor del vértice A; y el valor
más probable de cada ángulo será el promedio de los valores obtenidos.
Este método de observación se emplea cuando hay que medir varios
ángulos alrededor de un punto.
Figura 60
Planimetria 103
Cuando se mide sólo un ángulo se va cambiando la lectura de origen
alrededor de toda la graduación, tantas veces como reiteraciones se vayan
a hacer. Así, por ejemplo, si se van a efectuar 4 reiteraciones, los orígenes
para medir serán: 0°, 90°, 180°, 270° y de esta manera disminuirá la
influencia de los errores que pueda tener la graduación del limbo horizontal.
CENTRAR EL TRÁNSITO es hacer coincidir el hilo de la plomada susper
dida del aparato con la vertical que pasa por el punto marcado en la
cabeza de la estaca que señala el vértice del polígono.
NIVELAR EL TRÁNSITO es colocar el limbo horizontal en un plano real-
mente horizontal. Esto se logra centrando las burbujas de los niveles per-
pendiculares entre sí, montados uno sobre la caja y otro sobre uno de
los soportes del anteojo, por medio de los tornillos niveladores.
ORIENTAR EL TRÁNSITO es colocarlo de manera que cuando estén en
coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, el eje del anteojo
esté en el plano del meridiano (magnético o astronómico) y apuntando
al Norte.
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta
Se emplean los siguientes métodos: 2
Medida directa de ángulos.
Deflexiones, y
Conservación de azimutes.
Método de medida directa de ángulos
Consiste este método en medir en todos los vértices del polígono los
ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación.
Se toman los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polí-
gono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y
se miden los ángulos exteriores cuando el recorrido se hace en el sentido
de dicho movimiento. Este método se emplea preferentemente en el levan-
tamiento de poligonales cerradas.
Trabajo de campo
Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materializacién de los vértices del polígono.
3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta
de campo. E
4. “Orientación magnética (o astronómica) de un lado de la poligonal,
generalmente el primero.
Cuando se mide sólo un ángulo se va cambiando la lectura de origen
alrededor de toda la graduación, tantas veces como reiteraciones se vayan
a hacer. Así, por ejemplo, si se van a efectuar 4 reiteraciones, los orígenes
para medir serán: 0°, 90°, 180°, 270° y de esta manera disminuirá la
influencia de los errores que pueda tener la graduación del limbo horizontal.
CENTRAR EL TRÁNSITO es hacer coincidir el hilo de la plomada susper
dida del aparato con la vertical que pasa por el punto marcado en la
cabeza de la estaca que señala el vértice del polígono.
NIVELAR EL TRÁNSITO es colocar el limbo horizontal en un plano real-
mente horizontal. Esto se logra centrando las burbujas de los niveles per-
pendiculares entre sí, montados uno sobre la caja y otro sobre uno de
los soportes del anteojo, por medio de los tornillos niveladores.
ORIENTAR EL TRÁNSITO es colocarlo de manera que cuando estén en
coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, el eje del anteojo
esté en el plano del meridiano (magnético o astronómico) y apuntando
al Norte.
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta
Se emplean los siguientes métodos: 2
Medida directa de ángulos.
Deflexiones, y
Conservación de azimutes.
Método de medida directa de ángulos
Consiste este método en medir en todos los vértices del polígono los
ángulos que forman los dos lados que concurren al vértice de observación.
Se toman los ángulos interiores cuando se recorre el perímetro del polí-
gono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y
se miden los ángulos exteriores cuando el recorrido se hace en el sentido
de dicho movimiento. Este método se emplea preferentemente en el levan-
tamiento de poligonales cerradas.
Trabajo de campo
Comprende las operaciones siguientes:
1. Reconocimiento del terreno.
2. Materializacién de los vértices del polígono.
3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta
de campo. E
4. “Orientación magnética (o astronómica) de un lado de la poligonal,
generalmente el primero.
104 Curso básico de topografía
5. Levantamiento del perímetro, midiendo los ángulos (interiores o
exteriores) y las longitudes de los lados y tomando también los rumbos
magnéticos de los lados.
6. Levantamiento de detalles.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y
ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 8
Levantamiento con tránsito de 1 y Lomas de Sotelo, D. F.
‘cinta de acero de 50 m, por el método ABRIÓ
de medida directa de ángulos Levantó: Simón Villar A.
Est. | P.y.| Distancias | © RMO. | CROQUIS Y NOTAS
o | 1 | 24100 | son | Now la
1 h
1 | 2 | 23100 | 116%2 | w76r00w
233°25" x
2 | 3 | 24590 | nos | s asco w | 4
ars
3 | 4 | 24840 | 10035 | s «0e
201*10
4 | o | 25830 | 1er | no
29°33" lonas
‘= círculo horizontal R.M.O. = rumbo magnético observado,
Orientación magnética er
La orientación magnética tiene por objeto conocer el azimut de una
línea.
Supongamos que se desea orientar el lado DT de la poligonal que
se muestra en el registro 8.
Para determinar el azimut magnético del lado 0 — 1, se procede de
la manera sigui
1. Se centra y se nivela el instrumento en la estación 0.
2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su ver-
nier y se fija el movimiento particular.
3. Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento
general se hacen coincidir la aguja de la brújula y la línea N-S, marcada
en el círculo graduado de la misma, fijando el movimiento general.
4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vértice 1. La lectura
hecha en el limbo será el azimut magnético del lado 0 — 1, puesto que
guando el anteojo apuntaba al norte magnético, el indice del Venir seña-
aba 0°00".
5. Levantamiento del perímetro, midiendo los ángulos (interiores o
exteriores) y las longitudes de los lados y tomando también los rumbos
magnéticos de los lados.
6. Levantamiento de detalles.
Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y
ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente:
REGISTRO DE CAMPO 8
Levantamiento con tránsito de 1 y Lomas de Sotelo, D. F.
‘cinta de acero de 50 m, por el método ABRIÓ
de medida directa de ángulos Levantó: Simón Villar A.
Est. | P.y.| Distancias | © RMO. | CROQUIS Y NOTAS
o | 1 | 24100 | son | Now la
1 h
1 | 2 | 23100 | 116%2 | w76r00w
233°25" x
2 | 3 | 24590 | nos | s asco w | 4
ars
3 | 4 | 24840 | 10035 | s «0e
201*10
4 | o | 25830 | 1er | no
29°33" lonas
‘= círculo horizontal R.M.O. = rumbo magnético observado,
Orientación magnética er
La orientación magnética tiene por objeto conocer el azimut de una
línea.
Supongamos que se desea orientar el lado DT de la poligonal que
se muestra en el registro 8.
Para determinar el azimut magnético del lado 0 — 1, se procede de
la manera sigui
1. Se centra y se nivela el instrumento en la estación 0.
2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su ver-
nier y se fija el movimiento particular.
3. Se deja en libertad la aguja de la brújula y con el movimiento
general se hacen coincidir la aguja de la brújula y la línea N-S, marcada
en el círculo graduado de la misma, fijando el movimiento general.
4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vértice 1. La lectura
hecha en el limbo será el azimut magnético del lado 0 — 1, puesto que
guando el anteojo apuntaba al norte magnético, el indice del Venir seña-
aba 0°00".
Planimetria 105
Medida de los ángulos
En cada estación:
1. Centrado y nivelado el instrumento se ponen en coincidencia los
ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.
2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vértice
de atrás y se fija dicho movimiento.
3. Por medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo,
en el sentido de: movimiento de las manecillas del reloj, para visar el
vértice de adelante y se hace la lectura del ángulo horizontal que se anota
en el registro.
Comprobación del ángulo medido
4. A continuación, con el movimiento general se vuelve a visar el
vértice de atrás y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que
no se ha movido, fijando el movimiento general.
5. Por último, con el movimiento particular se vuelve a visar el vérti-
ce de adelante, efectuando la lectura del ángulo horizontal que deberá
ser el doble de la obtenida en la primera operación o cuando más con
un minuto de diferencia, lo que es tolerable porque significa que el valor
del ángulo leído es con mayor probabilidad un ángulo de 30” más grande
o más pequeño que el primero.
Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de muevo la medi
del ángulo desde el princi
LA COMPROBACIÓN DEL ÁNGULO MEDIDO también puede efectuarse de
la manera siguiente; después de realizadas las operaciones indicadas en
los puntos 1, 2 y 3, continúe con:
4, Se da vuelta de campana al anteojo y queda éste en posición inversa.
5. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el
vértice de atrás y se fija dicho movimiento.
6. Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar
el vértice de adelante, fijando el movimiento particular. La lectura del
ángulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferirá en un minuto.
Esta lectura se anota también en el registro de campo.
Una vez medido el ángulo horizontal y comprobado éste con el doble
ángulo, se mide la distancia de la estación al vértice de adelante y, en
la brújula del tránsito, se toma el rumbo magnético del lado del polígono,
determinado por la estación y el vértice de adelante.
Estos datos se anotan en el registro de campo.
Medida de los ángulos
En cada estación:
1. Centrado y nivelado el instrumento se ponen en coincidencia los
ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular.
2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vértice
de atrás y se fija dicho movimiento.
3. Por medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo,
en el sentido de: movimiento de las manecillas del reloj, para visar el
vértice de adelante y se hace la lectura del ángulo horizontal que se anota
en el registro.
Comprobación del ángulo medido
4. A continuación, con el movimiento general se vuelve a visar el
vértice de atrás y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que
no se ha movido, fijando el movimiento general.
5. Por último, con el movimiento particular se vuelve a visar el vérti-
ce de adelante, efectuando la lectura del ángulo horizontal que deberá
ser el doble de la obtenida en la primera operación o cuando más con
un minuto de diferencia, lo que es tolerable porque significa que el valor
del ángulo leído es con mayor probabilidad un ángulo de 30” más grande
o más pequeño que el primero.
Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de muevo la medi
del ángulo desde el princi
LA COMPROBACIÓN DEL ÁNGULO MEDIDO también puede efectuarse de
la manera siguiente; después de realizadas las operaciones indicadas en
los puntos 1, 2 y 3, continúe con:
4, Se da vuelta de campana al anteojo y queda éste en posición inversa.
5. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el
vértice de atrás y se fija dicho movimiento.
6. Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar
el vértice de adelante, fijando el movimiento particular. La lectura del
ángulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferirá en un minuto.
Esta lectura se anota también en el registro de campo.
Una vez medido el ángulo horizontal y comprobado éste con el doble
ángulo, se mide la distancia de la estación al vértice de adelante y, en
la brújula del tránsito, se toma el rumbo magnético del lado del polígono,
determinado por la estación y el vértice de adelante.
Estos datos se anotan en el registro de campo.
106 Curso básico de topografía
¡ón geométrica que debe sotisfacer un polígono levantado
método de medida directa de ángulos
por
Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario
del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los ángulos interiores
(Fig. N? 61).
ángulos
interiores
2) o
Cuando la poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las mane-
cillas del reloj, se miden los ángulos exteriores (Fig. NO 62). En las fórmu-
las © y O, n es el número de lados de la poligonal.
En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular
comparando la suma de los ángulos observados con la suma que, para
la poligonal levantada, da la condición geométrica.
¡ón geométrica que debe sotisfacer un polígono levantado
método de medida directa de ángulos
por
Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario
del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los ángulos interiores
(Fig. N? 61).
ángulos
interiores
2) o
Cuando la poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las mane-
cillas del reloj, se miden los ángulos exteriores (Fig. NO 62). En las fórmu-
las © y O, n es el número de lados de la poligonal.
En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular
comparando la suma de los ángulos observados con la suma que, para
la poligonal levantada, da la condición geométrica.
Planimetria 107
ido del recorrido
exteriores
[ag ous = 1800 +2) o
Figura 62
Esto es:
E, =X ángs. obs. — 180°(n— 2) | si se miden ángulos interiores
o bien:
Eq = % ángs. obs. — 180°(n +2) |si se toman ángulos exteriores.
La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula:
| Tu = wa Yn
Ta = tolerancia angular.
iproximacién del aparato.
1úmero de vértices del polígono.
en la cual:
ido del recorrido
exteriores
[ag ous = 1800 +2) o
Figura 62
Esto es:
E, =X ángs. obs. — 180°(n— 2) | si se miden ángulos interiores
o bien:
Eq = % ángs. obs. — 180°(n +2) |si se toman ángulos exteriores.
La tolerancia angular se calcula aplicando la fórmula:
| Tu = wa Yn
Ta = tolerancia angular.
iproximacién del aparato.
1úmero de vértices del polígono.
en la cual:
108 Curso básico de topografía
Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecutó
correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento.
EJEMPLO
En el levantamiento de un polígono, con tránsito de 1° y cinta de acero,
por el método de medida directa de ángulos, la suma de los ángulos obser-
vados fue: 540°02'; n= 5.
— Determine el error angular.
—Calcule la tolerancia angular, y
—Concluya si se acepta el resultado o debe repetirse el trabajo.
SOLUCIÓN
En =x fangs. obs. — 180°(n — 2) = 540°02/ — 180°(3) = +2
Ta= ta Vn= +1 V5==Y
Ey = Ta por tanto, se acepta el resultado.
5
Se entiende por trabajo de gabinete, la ordenación de los datos tomados
en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener
los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos elementos
se anotan en una hoja de papel con rayado especial que se denomina plani-
Wa de cálculo.
Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente:
1. Compensación angular del polígono.
Esta operación consiste en distribuir entre todos los ángulos del poli-
gono, el error angular encontrado, siempre que éste se encuentre dentro
de los límites de tolerancia.
La corrección angular puede efectuarse de dos maneras:
a) Distribuyendo el error por partes iguales en los ángulos compren-
didos entre lados más pequeños, con objeto de que el cierre lineal no sea
muy grande, 0
b) Aplicando la corrección a un ángulo cada cierto múmero n' de
estaciones, para no tener que llevar en cuenta fracciones de minuto y
tomar como corrección mínima la aproximación del vernier.
En este caso:
Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecutó
correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento.
EJEMPLO
En el levantamiento de un polígono, con tránsito de 1° y cinta de acero,
por el método de medida directa de ángulos, la suma de los ángulos obser-
vados fue: 540°02'; n= 5.
— Determine el error angular.
—Calcule la tolerancia angular, y
—Concluya si se acepta el resultado o debe repetirse el trabajo.
SOLUCIÓN
En =x fangs. obs. — 180°(n — 2) = 540°02/ — 180°(3) = +2
Ta= ta Vn= +1 V5==Y
Ey = Ta por tanto, se acepta el resultado.
5
Se entiende por trabajo de gabinete, la ordenación de los datos tomados
en el campo y los cálculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener
los elementos necesarios para construir el plano. Todos estos elementos
se anotan en una hoja de papel con rayado especial que se denomina plani-
Wa de cálculo.
Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente:
1. Compensación angular del polígono.
Esta operación consiste en distribuir entre todos los ángulos del poli-
gono, el error angular encontrado, siempre que éste se encuentre dentro
de los límites de tolerancia.
La corrección angular puede efectuarse de dos maneras:
a) Distribuyendo el error por partes iguales en los ángulos compren-
didos entre lados más pequeños, con objeto de que el cierre lineal no sea
muy grande, 0
b) Aplicando la corrección a un ángulo cada cierto múmero n' de
estaciones, para no tener que llevar en cuenta fracciones de minuto y
tomar como corrección mínima la aproximación del vernier.
En este caso:
Planimetria 109
siendo n el número total de vértices o estaciones del polígono y Eu el
error angular.
EJEMPLO
Ejecutar la compensación angular de un polígono, levantado con trán-
sito de 1’ y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
con los siguientes datos:
DATOS SOLUCION
Angulos
observed
EST EXT
90°00" 30°00"
umız ur
216704 26°08"
12504 12504
18001 180-001
75°00" 75°00"
22°07 mor
rar
1260"00
-Ronmvası
Sorucıon
1... Se determina el error angular Ex:
Ex = 3, ngs, obs. — 180°(n — 2)
Eu = 1260°03" — 180°(9 — 2)
EL = 1260°03" — 1260°00 = +3"
Ea= +3 Æ
2. Se calcula la tolerancia angular Ti:
T, = taVn= +1 V9 = +3 T= Y
3. Se compara E, con Ta: Es=Ta
4. Se ejecuta la compensación angular, porque el error angular encon-
trado no rebasa la tolerancia establecida,
siendo n el número total de vértices o estaciones del polígono y Eu el
error angular.
EJEMPLO
Ejecutar la compensación angular de un polígono, levantado con trán-
sito de 1’ y cinta de acero, por el método de medida directa de ángulos
con los siguientes datos:
DATOS SOLUCION
Angulos
observed
EST EXT
90°00" 30°00"
umız ur
216704 26°08"
12504 12504
18001 180-001
75°00" 75°00"
22°07 mor
rar
1260"00
-Ronmvası
Sorucıon
1... Se determina el error angular Ex:
Ex = 3, ngs, obs. — 180°(n — 2)
Eu = 1260°03" — 180°(9 — 2)
EL = 1260°03" — 1260°00 = +3"
Ea= +3 Æ
2. Se calcula la tolerancia angular Ti:
T, = taVn= +1 V9 = +3 T= Y
3. Se compara E, con Ta: Es=Ta
4. Se ejecuta la compensación angular, porque el error angular encon-
trado no rebasa la tolerancia establecida,
110 Curso básico de topografía
Para determinar los ángulos que se corregirán, se calcula m’:
n
E,
este cociente indica que la corrección angular se aplicará cada 3 estaciones.
En este caso se corregirán los ángulos observados en las estaciones C,
Fel.
La corrección angular C se aplica con signo contrario al error angu-
lar E
Una vez efectuada la compensación angular el polígono queda como
una figura angularmente correcta.
2. Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
Sea la poligonal 0—1—2—3—,..., Az D- I = azimut del pri
mer lado determinado en forma magnética © astronómica; «, B, 3... »
ángulos horizontales observados en las estaciones 1, 2, 3, ... (Fig. N° 63).
5
(0)
Para determinar los ángulos que se corregirán, se calcula m’:
n
E,
este cociente indica que la corrección angular se aplicará cada 3 estaciones.
En este caso se corregirán los ángulos observados en las estaciones C,
Fel.
La corrección angular C se aplica con signo contrario al error angu-
lar E
Una vez efectuada la compensación angular el polígono queda como
una figura angularmente correcta.
2. Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
Sea la poligonal 0—1—2—3—,..., Az D- I = azimut del pri
mer lado determinado en forma magnética © astronómica; «, B, 3... »
ángulos horizontales observados en las estaciones 1, 2, 3, ... (Fig. N° 63).
5
(0)
Planimetria 111
Az DT + 180° =
Az TZ + 180° =
Az TF + 180° = Az. inv =3 a
4 an 4
y, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: BEE
Az T=2= Az. inv T= T+ |
Az T=3= Az. iv T= 24+ E
Az TEE = Az. inv FS ty |
ángulo horizontal medido en la estación 1.
B = ángulo horizontal medido en la escación 2.
+ = ángulo horizontal medido en la estación 3.
Los resultados obtenidos (3), permiten establecer la siguiente regla:
“El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando
al azimut inverso del lado anterior el ángulo horizontal tomado en la
estación que es origen del lado cuyo azimut se busca.”
Esta regla se puede expresar por medio de la fórmula:
Az BC= Ar. inv. AB +B
EJEMPLO
Dados el azimut del primer lado de una poligonal y los ángulos compen-
sados (interiores o exteriores), calcular los azimutes de los demás lados.
DATOS
compensados Asimutes
1192087 26109
116°33°
40°24"
24°42"
39°13"
SUMA: 530°007
En
moos
ampas|2
Az DT + 180° =
Az TZ + 180° =
Az TF + 180° = Az. inv =3 a
4 an 4
y, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: BEE
Az T=2= Az. inv T= T+ |
Az T=3= Az. iv T= 24+ E
Az TEE = Az. inv FS ty |
ángulo horizontal medido en la estación 1.
B = ángulo horizontal medido en la escación 2.
+ = ángulo horizontal medido en la estación 3.
Los resultados obtenidos (3), permiten establecer la siguiente regla:
“El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene sumando
al azimut inverso del lado anterior el ángulo horizontal tomado en la
estación que es origen del lado cuyo azimut se busca.”
Esta regla se puede expresar por medio de la fórmula:
Az BC= Ar. inv. AB +B
EJEMPLO
Dados el azimut del primer lado de una poligonal y los ángulos compen-
sados (interiores o exteriores), calcular los azimutes de los demás lados.
DATOS
compensados Asimutes
1192087 26109
116°33°
40°24"
24°42"
39°13"
SUMA: 530°007
En
moos
ampas|2
112 Curso básico de topografía
El cálculo se facilita disponiéndolo de la manera siguiente:
Az. BC= 197°42 Er
= 180°00
Az. inv. BC= 1742
+C= 40°24
Az. TD= 5806
Las operaciones aritméticas se comprue-
ban calculando el azimut del lado de
partida,
SoLucIóN
+ 180°00
TETAS tados Azimutes
39°13" 7 7
Az. EA= 32201 B c 197°42"
D € D 58°06"
y in D E 102°48°
Az. inv. EA =—142°017 E 4 32201
3. Transformación de azimutes a rumbos.
Esta operación se ejecuta en la forma expuesta anteriormente (Levan-
tamientos con brújula y cinta).
4. Cálculo de proyecciones de los lados del polígono.
En topografía se llaman proyecciones de un lado del polígono a los
catetos de un triángulo rectángulo formado por una vertical que parte
de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del punto visado.
El cálculo se facilita disponiéndolo de la manera siguiente:
Az. BC= 197°42 Er
= 180°00
Az. inv. BC= 1742
+C= 40°24
Az. TD= 5806
Las operaciones aritméticas se comprue-
ban calculando el azimut del lado de
partida,
SoLucIóN
+ 180°00
TETAS tados Azimutes
39°13" 7 7
Az. EA= 32201 B c 197°42"
D € D 58°06"
y in D E 102°48°
Az. inv. EA =—142°017 E 4 32201
3. Transformación de azimutes a rumbos.
Esta operación se ejecuta en la forma expuesta anteriormente (Levan-
tamientos con brújula y cinta).
4. Cálculo de proyecciones de los lados del polígono.
En topografía se llaman proyecciones de un lado del polígono a los
catetos de un triángulo rectángulo formado por una vertical que parte
de la estación hasta encontrar a la horizontal que parte del punto visado.
Planimetria 113
En la recta AB (Fig. N° 64), A es la estación y B el punto visado.
La vertical que parte de la estación 'es AC y la horizontal que parte del
punto visado hasta encontrar a la vertical es BC y ambas rectas, AC y
BC, son las proyecciones de la recta AB. Si la proyección vertical va haci:
el Norte, tiene signo positivo y se designa con la letra N; y si va hacia el
Sur, su signo es negativo y se designa con la letra S.
La proyección horizontal tiene signo positivo si va hacia el Este y
negativo si va al Oeste, designándose por las letras E o W, respectivamente.
Las proyecciones verticales se designan de una manera general con la
letra y, y las proyecciones horizontales con la x.
En el triángulo rectángulo formado por el lado del polígono y sus dos
proyecciones, el rumbo es el ángulo del triángulo que corresponde a la
estación.
Figura 64
=proyección vertical del lado AB
proyección horizontal del lado AB
lado del polígono
ZA = Rbo. = rumbo del lado AB
Por trigonometría, en el triángulo rectángulo ABC, se tiene:
sen Rbo @
y =L cos Rbo @
x
Las fórmulas (1) y (2) son las que se usan para el cálculo de las proyec-
ciones. El cálculo de ellas se ejecuta de tres maneras distintas:
En la recta AB (Fig. N° 64), A es la estación y B el punto visado.
La vertical que parte de la estación 'es AC y la horizontal que parte del
punto visado hasta encontrar a la vertical es BC y ambas rectas, AC y
BC, son las proyecciones de la recta AB. Si la proyección vertical va haci:
el Norte, tiene signo positivo y se designa con la letra N; y si va hacia el
Sur, su signo es negativo y se designa con la letra S.
La proyección horizontal tiene signo positivo si va hacia el Este y
negativo si va al Oeste, designándose por las letras E o W, respectivamente.
Las proyecciones verticales se designan de una manera general con la
letra y, y las proyecciones horizontales con la x.
En el triángulo rectángulo formado por el lado del polígono y sus dos
proyecciones, el rumbo es el ángulo del triángulo que corresponde a la
estación.
Figura 64
=proyección vertical del lado AB
proyección horizontal del lado AB
lado del polígono
ZA = Rbo. = rumbo del lado AB
Por trigonometría, en el triángulo rectángulo ABC, se tiene:
sen Rbo @
y =L cos Rbo @
x
Las fórmulas (1) y (2) son las que se usan para el cálculo de las proyec-
ciones. El cálculo de ellas se ejecuta de tres maneras distintas:
114 Curso básico de topografía
a) Por logaritmos.
b) Por funciones naturales, y reso
©) Por tablas de coordenadas. 3
EJEMPLO
Calcular las proyecciones de los lados de un polígono, dadas las longi-
tudes y rumbos de los lados.
SoLución
Datos: EA en en]
TF
Em | EV.) Dinancias| Rumbos ELA
oi] 228 sewe | ws na
1 | 2| 38 | sé 28 382
2| 3 | ni | seu nn 18
lala | Naive 098 2527
alo} mo | Nowe || i928 1025
SOLUCIÓN
a) Por logaritmos. Aplicando logaritmos a las igualdades (1) y (2),
se halla:
log x= log L + log sen Rbo a)
log y = log L + log cos Rbo (2)
Cuando las proyecciones se calculan por logaritmos el cálculo se dispo-
ne como se indica a continuación:
Datos:
L= 23.24 m 19.32 E
Rbo = $ 56%14 E ver
E 2 ‘919
ss ps +
log sen Rbo = 9.919762
log cos Rbo = 9.744928
log L = 1.366236
a) Por logaritmos.
b) Por funciones naturales, y reso
©) Por tablas de coordenadas. 3
EJEMPLO
Calcular las proyecciones de los lados de un polígono, dadas las longi-
tudes y rumbos de los lados.
SoLución
Datos: EA en en]
TF
Em | EV.) Dinancias| Rumbos ELA
oi] 228 sewe | ws na
1 | 2| 38 | sé 28 382
2| 3 | ni | seu nn 18
lala | Naive 098 2527
alo} mo | Nowe || i928 1025
SOLUCIÓN
a) Por logaritmos. Aplicando logaritmos a las igualdades (1) y (2),
se halla:
log x= log L + log sen Rbo a)
log y = log L + log cos Rbo (2)
Cuando las proyecciones se calculan por logaritmos el cálculo se dispo-
ne como se indica a continuación:
Datos:
L= 23.24 m 19.32 E
Rbo = $ 56%14 E ver
E 2 ‘919
ss ps +
log sen Rbo = 9.919762
log cos Rbo = 9.744928
log L = 1.366236
Planimetria 115
De la misma manera se obtienen las proyecciones de los otros lados.
x= 2183W 11.72W 0.98 E 19.24 E
log x = 1.339120 1248354 | 9.900418 | 1.284187
log sen Rbo = 9.962178 9.899660 | 8.587469 | 2.040975
log L = 1.376942 1.348694 | 1402049 | 1.343212
log cos Rbo = 9.601860 | 9.784118 | 9.999675 | 9.688295
log y = 0.978802 1.132812 1.402624 1.031507
y= 9528 13.585 25.270 10.75 N
b) Por funciones naturales. EI cálculo por funciones naturales de las
proyecciones de los lados del polígono, se reduce a buscar en la tabla de
líneas naturales el valor del seno y del coseno del rumbo y multiplicarlo
por la longitud del lado.
Lados Proyecciones
o-1[%= 23.24 sen 56°14" 4 (0.83131) = 19.32 E
y=" cos” ” (0.55581) = 12.925
12 [*=23.82 sen 66°26’ = 23.82 (0.91660) = 21.83 W
cos” ” (0.39982) = 9.525
sen 52°32! = 22.32 (0.79371) = 17.72 W
» (0.60830) = 13.585
5.29 (0.03868) = 0.98 E
cos » (0.99925) = 25.27N
sen 60°48" = 22.04 (0.87292) = 19.24 E
cos ” = ” (0.48786) = 10.75
cos
sen
©) Por tablas de coordenadas. Las tablas de coordenadas están cons-
s para evitar el trabajo de la multiplicación que se ejecuta con las
férmulas antes expresadas usando funciones naturales.
. Determinación de los errores Ex y Ey. Una vez calculadas las
proyecciones de los lados del polígono, se suman las proyecciones E, W,
NyS.
La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error
de las “x” y se designa por Es.
La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error
de las “y” y se designa por Ej.
E, = x proy. E — 3 proy. W
E, =x proy. N— 3 proy. $
De la misma manera se obtienen las proyecciones de los otros lados.
x= 2183W 11.72W 0.98 E 19.24 E
log x = 1.339120 1248354 | 9.900418 | 1.284187
log sen Rbo = 9.962178 9.899660 | 8.587469 | 2.040975
log L = 1.376942 1.348694 | 1402049 | 1.343212
log cos Rbo = 9.601860 | 9.784118 | 9.999675 | 9.688295
log y = 0.978802 1.132812 1.402624 1.031507
y= 9528 13.585 25.270 10.75 N
b) Por funciones naturales. EI cálculo por funciones naturales de las
proyecciones de los lados del polígono, se reduce a buscar en la tabla de
líneas naturales el valor del seno y del coseno del rumbo y multiplicarlo
por la longitud del lado.
Lados Proyecciones
o-1[%= 23.24 sen 56°14" 4 (0.83131) = 19.32 E
y=" cos” ” (0.55581) = 12.925
12 [*=23.82 sen 66°26’ = 23.82 (0.91660) = 21.83 W
cos” ” (0.39982) = 9.525
sen 52°32! = 22.32 (0.79371) = 17.72 W
» (0.60830) = 13.585
5.29 (0.03868) = 0.98 E
cos » (0.99925) = 25.27N
sen 60°48" = 22.04 (0.87292) = 19.24 E
cos ” = ” (0.48786) = 10.75
cos
sen
©) Por tablas de coordenadas. Las tablas de coordenadas están cons-
s para evitar el trabajo de la multiplicación que se ejecuta con las
férmulas antes expresadas usando funciones naturales.
. Determinación de los errores Ex y Ey. Una vez calculadas las
proyecciones de los lados del polígono, se suman las proyecciones E, W,
NyS.
La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error
de las “x” y se designa por Es.
La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error
de las “y” y se designa por Ej.
E, = x proy. E — 3 proy. W
E, =x proy. N— 3 proy. $
116 Curso básico de topografía
Ahora bien, si se designan de una manera general con la letra x las pro-
yecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades
Anteriores pueden expresarse como sigue:
E, = xe — Sew a
Ey = Spx — ya (0)
6. Cálculo del error de cierre lineal (Es). Si se hace coincidir la
estación inicial O del polígono con el origen del sistema de coordenadas
rectangulares (Fig. N° 65), los errores E. y Ey son las coordenadas del
0° (Ex,Ey)
Ey
5 Figura 65
punto de llegada 0’ que, por los errores cometidos durante el levantamien-
to, no coincide con el punto de partida 0.
La distancia 00° es el error de cierre lineal y se designa por Er.
En la figura N® 65 se ve que la distancia OÙ es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos son E, y Ey, por tanto, el valor del error
de cierre lineal se encuentra aplicando ei Teorema de Pitágoras.
E= VE FE]
7. Cálculo de la tolerancia lineal (Ti). La tolerancia en el cierre
lineal de un polígono levantado con tránsito y cinta, se calcula con las
fórmulas siguientes:
Ahora bien, si se designan de una manera general con la letra x las pro-
yecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades
Anteriores pueden expresarse como sigue:
E, = xe — Sew a
Ey = Spx — ya (0)
6. Cálculo del error de cierre lineal (Es). Si se hace coincidir la
estación inicial O del polígono con el origen del sistema de coordenadas
rectangulares (Fig. N° 65), los errores E. y Ey son las coordenadas del
0° (Ex,Ey)
Ey
5 Figura 65
punto de llegada 0’ que, por los errores cometidos durante el levantamien-
to, no coincide con el punto de partida 0.
La distancia 00° es el error de cierre lineal y se designa por Er.
En la figura N® 65 se ve que la distancia OÙ es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos son E, y Ey, por tanto, el valor del error
de cierre lineal se encuentra aplicando ei Teorema de Pitágoras.
E= VE FE]
7. Cálculo de la tolerancia lineal (Ti). La tolerancia en el cierre
lineal de un polígono levantado con tránsito y cinta, se calcula con las
fórmulas siguientes:
Planimetria 117
[Orden del levantamiento] Tolerancias
PRECISO T = VP(0.000 000 O11P + 0.000 02) |
PRIMERO Tı = V P(0.000 000 045P + 0.000 08) |
SEGUNDO. T, = VP(0.000 000 18P + 0.0002) |
TERCERO. T, = ¥P(0.000 000 40P + 0.0005) |
Ta = tolerancia lineal, en metros
P = desarrollo de la poligonal, en metros
y en la práctica, pueden emplearse las fórmulas:
Orden
PRECISO | Ti, Z 7
PRIMERO
‘SEGUNDO
TERCERO.
8. Cálculo de la precisión P. La precisión o error relativo se calcula
iendo el error de cierre lineal E, por el perímetro del polígono XL:
P +
bien: E
o bien: ES
Precisión
TAQUIMÉTRICA
T000
BUENA: 300 * 300
1
MUY BUENA: 10000
9. Compensación lineal del polígono. Si el error de cierre lineal El,
es menor o igual que la tolerancia lineal 7,, se puede hacer la compensa-
ción lineal del polígono. En los levantamientos con tránsito y cinta se
supone que los errores E, y Ey de las proyecciones son proporcionales a
[Orden del levantamiento] Tolerancias
PRECISO T = VP(0.000 000 O11P + 0.000 02) |
PRIMERO Tı = V P(0.000 000 045P + 0.000 08) |
SEGUNDO. T, = VP(0.000 000 18P + 0.0002) |
TERCERO. T, = ¥P(0.000 000 40P + 0.0005) |
Ta = tolerancia lineal, en metros
P = desarrollo de la poligonal, en metros
y en la práctica, pueden emplearse las fórmulas:
Orden
PRECISO | Ti, Z 7
PRIMERO
‘SEGUNDO
TERCERO.
8. Cálculo de la precisión P. La precisión o error relativo se calcula
iendo el error de cierre lineal E, por el perímetro del polígono XL:
P +
bien: E
o bien: ES
Precisión
TAQUIMÉTRICA
T000
BUENA: 300 * 300
1
MUY BUENA: 10000
9. Compensación lineal del polígono. Si el error de cierre lineal El,
es menor o igual que la tolerancia lineal 7,, se puede hacer la compensa-
ción lineal del polígono. En los levantamientos con tránsito y cinta se
supone que los errores E, y Ey de las proyecciones son proporcionales a
118 Curso básico de topografía
sus valores absolutos, Para la corrección lineal del polígono, se calculan
primero los factores unitarios de corrección Ke y Ky, o sean las correccio-
nes por metro:
E
Sig FE
K
E, = error de las “y” = Xyy — Sys
‘xg + Sxw = suma aritmética de las “x” (E y W)
X)y + Sys = suma aritmética de las “y” (N y 5)
En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las
proyecciones.
Las correcciones Xy Xo Xy su.» Am ASÍ COMO Ys Ys Ya see; Im SC
obtienen multiplicando las proyecciones de los lados del polígono, por los
factores unitarios de corrección correspondientes.
Los signos de las correcciones se aplican tomando en consideración las
sumas de las proyecciones E y Wo N y S.
Para la compensación de las abscisas, la corrección se resta a las pro-
yecciones cuya suma sea mayor y se agrega a aquéllas que corresponden
a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones
E y W, y se distribuye el error E,. De igual manera se procedo para com-
pensar las ordenadas. Como resultado de la compensación lineal del
polígono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplirán las condi-
ciones siguientes:
ty = ew
De
Ya
EJEMPLO
Efectuar la compensación lineal de una poligonal cerrada, levantada
con tránsito y cinta con los datos del registro siguiente:
sus valores absolutos, Para la corrección lineal del polígono, se calculan
primero los factores unitarios de corrección Ke y Ky, o sean las correccio-
nes por metro:
E
Sig FE
K
E, = error de las “y” = Xyy — Sys
‘xg + Sxw = suma aritmética de las “x” (E y W)
X)y + Sys = suma aritmética de las “y” (N y 5)
En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las
proyecciones.
Las correcciones Xy Xo Xy su.» Am ASÍ COMO Ys Ys Ya see; Im SC
obtienen multiplicando las proyecciones de los lados del polígono, por los
factores unitarios de corrección correspondientes.
Los signos de las correcciones se aplican tomando en consideración las
sumas de las proyecciones E y Wo N y S.
Para la compensación de las abscisas, la corrección se resta a las pro-
yecciones cuya suma sea mayor y se agrega a aquéllas que corresponden
a la suma menor, así se igualan ambas sumas, las de las proyecciones
E y W, y se distribuye el error E,. De igual manera se procedo para com-
pensar las ordenadas. Como resultado de la compensación lineal del
polígono, las sumas de las proyecciones corregidas cumplirán las condi-
ciones siguientes:
ty = ew
De
Ya
EJEMPLO
Efectuar la compensación lineal de una poligonal cerrada, levantada
con tránsito y cinta con los datos del registro siguiente:
PLANILLA DE CALCULO
Planimetría
19
Lados Proyecciones sin corregir
En | PV. Rumbos [FE [-W_]4N_]—S
olı NATSTE | 8517 7502
1/2 $5 19°20 E | 13740 25.88
213 S rarw 1891 13830
3 | 4 S 1815 145.00 3016
alo Nase W 5652 |119.30
sumas: [22057 | 22043 |194,32 | 19434
SoLución
a) Determinación de los errores Ey y Ey:
Ey = Xxx — Xxw = 220.57 — 220.43 = +0.14 m
E, = Syy — Sy = 194,32 — 194.34 = —0.02 m
b) Cálculo del error de cierre lineal Ex:
14 m
Eu = VEEP ER = VO F CO
©) Cálculo de los factores unitarios de corrección K, y K,!
Es 01 _
Km aan 00002
Es 0.02 0.0005
d) Cálculo de las correcciones:
137.40 x
18.91 x
145.00 x
56.52 x
25.88 x
Yes = 138.30 x
You = 30.16 X
Yoo = 119.30 x
Yee
Dy + Sys 388.66
75.02 x 0.0000:
83.17 x 0.00032 = 0.02
Planimetría
19
Lados Proyecciones sin corregir
En | PV. Rumbos [FE [-W_]4N_]—S
olı NATSTE | 8517 7502
1/2 $5 19°20 E | 13740 25.88
213 S rarw 1891 13830
3 | 4 S 1815 145.00 3016
alo Nase W 5652 |119.30
sumas: [22057 | 22043 |194,32 | 19434
SoLución
a) Determinación de los errores Ey y Ey:
Ey = Xxx — Xxw = 220.57 — 220.43 = +0.14 m
E, = Syy — Sy = 194,32 — 194.34 = —0.02 m
b) Cálculo del error de cierre lineal Ex:
14 m
Eu = VEEP ER = VO F CO
©) Cálculo de los factores unitarios de corrección K, y K,!
Es 01 _
Km aan 00002
Es 0.02 0.0005
d) Cálculo de las correcciones:
137.40 x
18.91 x
145.00 x
56.52 x
25.88 x
Yes = 138.30 x
You = 30.16 X
Yoo = 119.30 x
Yee
Dy + Sys 388.66
75.02 x 0.0000:
83.17 x 0.00032 = 0.02
120 Curso básico de topografía
Como: _ Exa > Xxw, la corrección se aplicará con signo — a las pro-
yecciones E y con signo + a las proyecciones W.
Por lo que atañe a la compensación de las “y”, en virtud de que: Sys
< Xyo la corrección se agregará a las proyecciones N y se-restaré a las
proyecciones $.
©) Cálculo de las proyecciones corregidas:
Las proyecciones corregidas se obtienen aplicando las correcciones
calculadas, con el signo que corresponda, a las proyecciones sin corregir,
como se indica en el cuadro siguiente:
Proyecciones sin corregir | Correciones | Proyecciones corregidos
EI#I Ns EA A ys
517 1502 | Ola 7502
137.00 2588 13736 2538
1891 13830 1891 13829
145.00 3016| +005] 0 14505 30:16
5652| 119.0 #002 | +001 $654 | 11931
2 [2057/2040 nets = [2030/2050 ass a]
10. Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono:
Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando
algebraicamente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la
estación anterior.
Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se le atribuyen
coordenadas arbitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a
todos los demás vértices de la poligonal sean positivas; es decir, que la
poligonal quede alojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo
del plano.
“Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando alge-
braicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y
el vértice cuyas coordenadas se desea conocer.
EJEMPLO 2
Calcular las coordenadas de los vértices de una poligonal, eligiendo las
del vértice de partida de tal manera que la poligonal quede en el primer
cuadrante.
Como: _ Exa > Xxw, la corrección se aplicará con signo — a las pro-
yecciones E y con signo + a las proyecciones W.
Por lo que atañe a la compensación de las “y”, en virtud de que: Sys
< Xyo la corrección se agregará a las proyecciones N y se-restaré a las
proyecciones $.
©) Cálculo de las proyecciones corregidas:
Las proyecciones corregidas se obtienen aplicando las correcciones
calculadas, con el signo que corresponda, a las proyecciones sin corregir,
como se indica en el cuadro siguiente:
Proyecciones sin corregir | Correciones | Proyecciones corregidos
EI#I Ns EA A ys
517 1502 | Ola 7502
137.00 2588 13736 2538
1891 13830 1891 13829
145.00 3016| +005] 0 14505 30:16
5652| 119.0 #002 | +001 $654 | 11931
2 [2057/2040 nets = [2030/2050 ass a]
10. Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono:
Las coordenadas de los vértices de la poligonal se calculan sumando
algebraicamente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la
estación anterior.
Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se le atribuyen
coordenadas arbitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a
todos los demás vértices de la poligonal sean positivas; es decir, que la
poligonal quede alojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo
del plano.
“Las coordenadas de un vértice cualquiera se obtienen sumando alge-
braicamente las proyecciones de los lados comprendidos entre el origen y
el vértice cuyas coordenadas se desea conocer.
EJEMPLO 2
Calcular las coordenadas de los vértices de una poligonal, eligiendo las
del vértice de partida de tal manera que la poligonal quede en el primer
cuadrante.
Planimetria 121
Daros: Jar
Lados > Proyecciones corregidas
En] PV E LA E 3
o | 1 | 814 75.02
1 | 2 | 13736 25.88
28 18.91 138.29
3 | 4 145.05 30.16
4 | 0 56.54 | 119.31
3 [22050 1220.50 [7194.33 | 194.33
SOLUCIÓN
a) Se eligen las coordenadas del vértice O, de modo que las corres-
pondientes a los demás vértices de la poligonal sean positivas.
En el problema planteado esta condición se satisface tomando:
O(0; + 120.00)
b) El cálculo de las coordenadas se dispone como sigue:
= Coordenadas
ices y
o 000 | + 120.00
+ 75.02
i + 195.02
+ 137.36
| + 220.50
= 1891
3 + 201.59
— 145.05
REZ + 56.54 |
— 5654 | + 11931
0 +00 | 120.00 |
ot un lat e e Prise cel
La comprobación del cálculo se hace determinando para el vértice de parti-
da, como se ve en el ejemplo anterior, los mismos valores de las coorde-
nadas que se le asignaron al principio del cálculo.
Daros: Jar
Lados > Proyecciones corregidas
En] PV E LA E 3
o | 1 | 814 75.02
1 | 2 | 13736 25.88
28 18.91 138.29
3 | 4 145.05 30.16
4 | 0 56.54 | 119.31
3 [22050 1220.50 [7194.33 | 194.33
SOLUCIÓN
a) Se eligen las coordenadas del vértice O, de modo que las corres-
pondientes a los demás vértices de la poligonal sean positivas.
En el problema planteado esta condición se satisface tomando:
O(0; + 120.00)
b) El cálculo de las coordenadas se dispone como sigue:
= Coordenadas
ices y
o 000 | + 120.00
+ 75.02
i + 195.02
+ 137.36
| + 220.50
= 1891
3 + 201.59
— 145.05
REZ + 56.54 |
— 5654 | + 11931
0 +00 | 120.00 |
ot un lat e e Prise cel
La comprobación del cálculo se hace determinando para el vértice de parti-
da, como se ve en el ejemplo anterior, los mismos valores de las coorde-
nadas que se le asignaron al principio del cálculo.
122 Curso básico de topografía
11. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coorde-
nadas de los vértices.
Sea el polígono 0 —
conocer (Fig. N° 66).
— 0 cuya superficie S se desea
Figura 66
Si se proyectan los vértices 0, 1, 2, 3 y 4, sobre el eje de las “Y”,
se obtienen los puntos 0, 1’, 2’, 3' y 4’, formándose tantos trapecios como
lados tiene el polígono.
Las bases de cada uno de estos trapecios son las abscisas de dos vérti-
ces consecutivos del polígono y su altura la diferencia de ordenadas de
dichos vértices.
En la figura N° 66 se ve que:
s-Avon + (1127 + £42233" - (y 344 2 4400
11. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coorde-
nadas de los vértices.
Sea el polígono 0 —
conocer (Fig. N° 66).
— 0 cuya superficie S se desea
Figura 66
Si se proyectan los vértices 0, 1, 2, 3 y 4, sobre el eje de las “Y”,
se obtienen los puntos 0, 1’, 2’, 3' y 4’, formándose tantos trapecios como
lados tiene el polígono.
Las bases de cada uno de estos trapecios son las abscisas de dos vérti-
ces consecutivos del polígono y su altura la diferencia de ordenadas de
dichos vértices.
En la figura N° 66 se ve que:
s-Avon + (1127 + £42233" - (y 344 2 4400
Planimetria 123
+2
mn) >
Kit +R y 2
x nn - Zen)
[xro + + vo +
+ +2)
= (Xe + XD Fe = Ya) — (Xe + Xo) (Y, = vo]
El primer factor de cada uno de los productos encerrados en el parén-
tesis rectangular será positivo si la figura se encuentra en el primer cus-
drante, en tanto que el segundo factor dado por la diferencia de ordenadas,
será positivo cuando la ordenada del vértice de adelante sea mayor que la
del vértice anterior y negativo en caso contrario. Entonces el valor de $
puede obtenerse sin necesidad de un croquis por medio del cual se sepa
el signo que debe aplicarse a las superficies de los trapecios para encontrar
la del polígono.
De una manera general la fórmula anterior puede escribirse como sigue:
¿[e +) Yo) + A + Xe Y) +
+ (Xa t+ Xa) (1, -
puesto que
= (Xa + XD Ya) — (Ka + Xo) (Y, — Yo) =
= (Xs + XL) Pi Yo) + (XL + Xo) (Yo — Ya)
+ (Xa + Xa) (Ka Y) + (Xs + Xo) Ko — ro]
Ahora bien, para un polígono de n vértices, se tendrá:
iL
(Xi + Xa) (Ya Y 0) + (Xa + Xs) Ps Ya) + + Xe Yad +
s=
eee + Kee + Xn) La Ya) + (Xn +X) Ka — Ya) ]
EJEMPLO
'alcular la superficie de un triángulo dadas las coordenadas de sus
vértices.
+2
mn) >
Kit +R y 2
x nn - Zen)
[xro + + vo +
+ +2)
= (Xe + XD Fe = Ya) — (Xe + Xo) (Y, = vo]
El primer factor de cada uno de los productos encerrados en el parén-
tesis rectangular será positivo si la figura se encuentra en el primer cus-
drante, en tanto que el segundo factor dado por la diferencia de ordenadas,
será positivo cuando la ordenada del vértice de adelante sea mayor que la
del vértice anterior y negativo en caso contrario. Entonces el valor de $
puede obtenerse sin necesidad de un croquis por medio del cual se sepa
el signo que debe aplicarse a las superficies de los trapecios para encontrar
la del polígono.
De una manera general la fórmula anterior puede escribirse como sigue:
¿[e +) Yo) + A + Xe Y) +
+ (Xa t+ Xa) (1, -
puesto que
= (Xa + XD Ya) — (Ka + Xo) (Y, — Yo) =
= (Xs + XL) Pi Yo) + (XL + Xo) (Yo — Ya)
+ (Xa + Xa) (Ka Y) + (Xs + Xo) Ko — ro]
Ahora bien, para un polígono de n vértices, se tendrá:
iL
(Xi + Xa) (Ya Y 0) + (Xa + Xs) Ps Ya) + + Xe Yad +
s=
eee + Kee + Xn) La Ya) + (Xn +X) Ka — Ya) ]
EJEMPLO
'alcular la superficie de un triángulo dadas las coordenadas de sus
vértices.
124 Curso básico de topografía
Datos:
SOLUCIÓN
Si se aplica la fórmula general, se tiene:
¿[a +X) Yo) + i +X) Y) +
+ (Xa + Xo) (Yo —
3[ as 70) (33.38) — (55.47) (5.90) — meras]
3 [1358.8400 — 327.2730 — 2409996 |
495.2867 mi
Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de 1’ y cinta de acero, por el método de
medida directa de ángulos.
REGISTRO DE CAMPO 9
Est. | PV. | Distancias RM.O. | Croquis y notas |
0 | [ano Fame ee EP")
1 | 2 | 23100 now rl
2 | 3 | 200 ssor|g ee
5 a | 20% sacos |, |
4 [| 0 | 25830 nyo | my > |
Datos:
SOLUCIÓN
Si se aplica la fórmula general, se tiene:
¿[a +X) Yo) + i +X) Y) +
+ (Xa + Xo) (Yo —
3[ as 70) (33.38) — (55.47) (5.90) — meras]
3 [1358.8400 — 327.2730 — 2409996 |
495.2867 mi
Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de 1’ y cinta de acero, por el método de
medida directa de ángulos.
REGISTRO DE CAMPO 9
Est. | PV. | Distancias RM.O. | Croquis y notas |
0 | [ano Fame ee EP")
1 | 2 | 23100 now rl
2 | 3 | 200 ssor|g ee
5 a | 20% sacos |, |
4 [| 0 | 25830 nyo | my > |
Planimetria 125
Sorucıön
1. Determinación del error angular Ex:
— Angulos observados:
97°08"
116%42
110°50
10°35
114547
X ángs. observados = 34007 (a)
— Condición geométrica:
n=5
X ängs. interiores = 180°(m — 2) = 180°(3) = 540° (b)
3 ángs. obs — 180°(n — 2) = 540°02° — $40°00 = +2
Eu
Eu= +2
Cálculo de la tolerancia angular Ta:
Ta= za Vn= z1' VS = 22
3. Comparación del error angular con la tolerancia angular:
Si: E, < Ta, el trabajo se ejecutó correctamente; en caso contrario
se repito el levantamiento.
Estas operaciones se efectúan en el campo, al terminar el trabajo.
4. Compensación angular. Para no tener que considerar fracciones
de minuto, se aplicará la corrección angular C cada cierto número n° de
estaciones.
El cociente indica que la corrección C se aplicará cada 2 estaciones, por
tanto, se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3.
La corrección angular se aplicará con signo contrario al error.
Sorucıön
1. Determinación del error angular Ex:
— Angulos observados:
97°08"
116%42
110°50
10°35
114547
X ángs. observados = 34007 (a)
— Condición geométrica:
n=5
X ängs. interiores = 180°(m — 2) = 180°(3) = 540° (b)
3 ángs. obs — 180°(n — 2) = 540°02° — $40°00 = +2
Eu
Eu= +2
Cálculo de la tolerancia angular Ta:
Ta= za Vn= z1' VS = 22
3. Comparación del error angular con la tolerancia angular:
Si: E, < Ta, el trabajo se ejecutó correctamente; en caso contrario
se repito el levantamiento.
Estas operaciones se efectúan en el campo, al terminar el trabajo.
4. Compensación angular. Para no tener que considerar fracciones
de minuto, se aplicará la corrección angular C cada cierto número n° de
estaciones.
El cociente indica que la corrección C se aplicará cada 2 estaciones, por
tanto, se corregirán los ángulos observados en las estaciones 1 y 3.
La corrección angular se aplicará con signo contrario al error.
126 Curso básico de topografía
PLANILLA DE CALCULO
dos ángulos Angulos Rumbos
FV, Ext| Distancias) observados | C_|compensedos| Aeimutes | caleuledos
ola 37:08 | 34722 | NIE
u merar | aan | 75:57" Ww
3 |» norso | alas | 5 3088 w
3|a 1030 | 135227 | 5 443 E
“lo mar | Tora | No
ETS EU 30 | sms:
5. Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
Az 0—1=347%22'
— 180° 6. Conversion de azimutes a rumbos.
ER) 359°60
+1= 116x417 aero
Az 1-2 = 2807 rer
— 180°
„ 1008 359°60
+2= 110°50 — 284°03°
Az 2-3 = 21035 NSP
ae Frases
He | FU
Az 3 - 4= 135727 LE
+ 180° 179°60"
à 3577 = 135927"
+4 = 11447 SAGE
2307197
— 360°
Az 4-0="701F N OWE
+ 180°
à BUE GE
+0=_ 97°08" 5 4
Az 0 1= 34728
Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la
planilla,
PLANILLA DE CALCULO
dos ángulos Angulos Rumbos
FV, Ext| Distancias) observados | C_|compensedos| Aeimutes | caleuledos
ola 37:08 | 34722 | NIE
u merar | aan | 75:57" Ww
3 |» norso | alas | 5 3088 w
3|a 1030 | 135227 | 5 443 E
“lo mar | Tora | No
ETS EU 30 | sms:
5. Cálculo de los azimutes de los lados del polígono.
Az 0—1=347%22'
— 180° 6. Conversion de azimutes a rumbos.
ER) 359°60
+1= 116x417 aero
Az 1-2 = 2807 rer
— 180°
„ 1008 359°60
+2= 110°50 — 284°03°
Az 2-3 = 21035 NSP
ae Frases
He | FU
Az 3 - 4= 135727 LE
+ 180° 179°60"
à 3577 = 135927"
+4 = 11447 SAGE
2307197
— 360°
Az 4-0="701F N OWE
+ 180°
à BUE GE
+0=_ 97°08" 5 4
Az 0 1= 34728
Los resultados obtenidos en el cálculo de la poligonal se anotan en la
planilla,
Planimetria 127
7. Cálculo de las proyecciones de los lados del polígono. Se aplican
las fórml pa
f *=L. sen Rbo
Ly=L. cos Rbo
0-1 | *= 241.00 sen 12°38" = 241.00 (0.21871) = 52.71 W
y = 241.00 cos 12°38’ = 241.00 (0.97579) = 235.17 N
12 [ *= 231.00 sen 75°57" = 231.00 (0.97008) = 224.09 W
y = 231.00 cos 75°57’ = 231.00 (0.24277) = 56.08 N
2-3 | X” 245.90 sen 34°53" = 245.90 (0.57191) = 140.63 W
y = 245.90 cos 34°53’ = 245.90 (0.82032) = 201.725
3 4 À %7 248.40 sen 44°33" = 248.40 (0.70153) = 174.26 E
y = 248.40 cos 44°33 = 248.40 (0.71264) = 177.02 5
4-0] * = 25830 sen 70°14” = 258.30 (0.94108) = 243.08 E
y = 258.30 cos 70°14’ = 258.30 (0.33819) = 87.35 N
8. Determinación de los errores E y E,
Ey = xe — Say = 417.34 — 417.43 = —0.09 m
Ey = 3yy — Sys = 378.60 — 378.74 = —0.14 m
9. Cálculo del error de cierre lineal En.
Eu = VEFE= Y (009) + (0.14) = V0.0277 = 0.166 m
E, =0.17 m |
10, Cálculo de la tolerancia lineal Ti.
SL _ 1224.60 ETA
Te = 3006 = np = 0-244 m T,=0.24 m |
11. Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.
EL <Tı
por tanto, el trabajo se ejecutó correctamente y se prosigue el cálculo.
12. Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento.
MEA AA
SL 1224.60 ~
P 00014
7. Cálculo de las proyecciones de los lados del polígono. Se aplican
las fórml pa
f *=L. sen Rbo
Ly=L. cos Rbo
0-1 | *= 241.00 sen 12°38" = 241.00 (0.21871) = 52.71 W
y = 241.00 cos 12°38’ = 241.00 (0.97579) = 235.17 N
12 [ *= 231.00 sen 75°57" = 231.00 (0.97008) = 224.09 W
y = 231.00 cos 75°57’ = 231.00 (0.24277) = 56.08 N
2-3 | X” 245.90 sen 34°53" = 245.90 (0.57191) = 140.63 W
y = 245.90 cos 34°53’ = 245.90 (0.82032) = 201.725
3 4 À %7 248.40 sen 44°33" = 248.40 (0.70153) = 174.26 E
y = 248.40 cos 44°33 = 248.40 (0.71264) = 177.02 5
4-0] * = 25830 sen 70°14” = 258.30 (0.94108) = 243.08 E
y = 258.30 cos 70°14’ = 258.30 (0.33819) = 87.35 N
8. Determinación de los errores E y E,
Ey = xe — Say = 417.34 — 417.43 = —0.09 m
Ey = 3yy — Sys = 378.60 — 378.74 = —0.14 m
9. Cálculo del error de cierre lineal En.
Eu = VEFE= Y (009) + (0.14) = V0.0277 = 0.166 m
E, =0.17 m |
10, Cálculo de la tolerancia lineal Ti.
SL _ 1224.60 ETA
Te = 3006 = np = 0-244 m T,=0.24 m |
11. Comparación del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.
EL <Tı
por tanto, el trabajo se ejecutó correctamente y se prosigue el cálculo.
12. Cálculo de la precisión obtenida en el levantamiento.
MEA AA
SL 1224.60 ~
P 00014
128 Curso básico de topografía
1 1 1
PES 1200 708
El wir
13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unita-
rios de corrección Ky y Ky.
perte 0.09
"mut 83477
E, 0.14
Br TSE
0.00011
K, 0.00018
14, Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones.
0.01
= 0.02
2 0.02
ld 0.02
0.02
TO = E,
0.04
0.01
0.04
0.03
0.02
UE =E,
15. Obtención de las proyecciones corregidas. Estas se encuentran
aplicando a las proyecciones sin corregir las correcciones calculadas. Esta
operación es muy fácil y se ejecuta en la misma planilla de cálculo, en la
cual se anotan los resultados.
PLANILLA DE CALCULO (Continuación)
THERE] _Proyeccones an cores [Correciones] Proyecciones comidas
AAA 7
527 [2517 370/52
22409 | 5608 2407) 5609
1008 Er [20.68
17426 17699
2308 8135
sumas: 41734 | 417.43] 378.60 157874
DEAN EAN ETUI EUX)
1 1 1
PES 1200 708
El wir
13. Compensación lineal del polígono. Cálculo de los factores unita-
rios de corrección Ky y Ky.
perte 0.09
"mut 83477
E, 0.14
Br TSE
0.00011
K, 0.00018
14, Cálculo de las correcciones que se aplicarán a las proyecciones.
0.01
= 0.02
2 0.02
ld 0.02
0.02
TO = E,
0.04
0.01
0.04
0.03
0.02
UE =E,
15. Obtención de las proyecciones corregidas. Estas se encuentran
aplicando a las proyecciones sin corregir las correcciones calculadas. Esta
operación es muy fácil y se ejecuta en la misma planilla de cálculo, en la
cual se anotan los resultados.
PLANILLA DE CALCULO (Continuación)
THERE] _Proyeccones an cores [Correciones] Proyecciones comidas
AAA 7
527 [2517 370/52
22409 | 5608 2407) 5609
1008 Er [20.68
17426 17699
2308 8135
sumas: 41734 | 417.43] 378.60 157874
DEAN EAN ETUI EUX)
16. Cálculo de las coordenadas de los vértices del polígono. Con
objeto de que el polígono quede alojado en el primer cuadrante, se
0, las coordenadas (+500.00; +500.00).
asignarán a la estaci
Planimetria
Coordenadas
Estaciones x
4 + 500.00 +500.00
Juversmo 5270 23521
1 447.30 +521
22407 + 56.09
2 $223.23 4791.30
100601 | —201.68
3 + 82.62 +589.62
417428 | —17699
4 25690 +426
$243.10 + 87.37
o $500.00 500.00
17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordena-
das de los vértices.
Se aplica la f6rmuls
RS +X) Yo) + + Xa) (a Y) +
+ + Ks = Ye) +... + (A + Ko) Y
(Lo + X) — Ye) = (500 + 447.3 )(735.21 — 500 ) =
+ 2228144300
- 735.21) =
+ 37610.0270
(Ki +X.) (X — Ya) = (4473 + 223.23) (791.3
objeto de que el polígono quede alojado en el primer cuadrante, se
0, las coordenadas (+500.00; +500.00).
asignarán a la estaci
Planimetria
Coordenadas
Estaciones x
4 + 500.00 +500.00
Juversmo 5270 23521
1 447.30 +521
22407 + 56.09
2 $223.23 4791.30
100601 | —201.68
3 + 82.62 +589.62
417428 | —17699
4 25690 +426
$243.10 + 87.37
o $500.00 500.00
17. Cálculo de la superficie del polígono en función de las coordena-
das de los vértices.
Se aplica la f6rmuls
RS +X) Yo) + + Xa) (a Y) +
+ + Ks = Ye) +... + (A + Ko) Y
(Lo + X) — Ye) = (500 + 447.3 )(735.21 — 500 ) =
+ 2228144300
- 735.21) =
+ 37610.0270
(Ki +X.) (X — Ya) = (4473 + 223.23) (791.3
130 Curso básico de topografía
(Xz + Xs) (Y — Ya) = (223.23 + 82.62) (589.62 — 791.3 ) =
= 61683.8280
(Xs +X.) (Ws — Ya) = ( 82.62 + 256.90) (412.63 — 589.62) =
— 60091.6440
(X + Xo) (Lo — Y 1) = (2569 +500 )(500 — 412.637 =
+ 66130.3530
Los resultados anteriores se anotan en la planilla de cálculo.
PLANILLA DE CALCULO (Continuación)
Vértl Coordenadas pa ee Dobles superficies
AAA “oer (53)
o | +500 | +s0000 | 94730 | +23521 |222814.4300
1 | 444730 | 473521 | 67053 | + 5609 | 376100270]
2 | 422323 | 479130 | 30585 | 20168 61683.8280
3 | Hm | ss | 33952 | —17699 60091.6440
4 | 425690 | 441263 | 75690 | + 87.37 | 661303530
326554.8100 | 1217754720
y [semen]
Método de deflexiones
Cuando dos rectas se unen en un punto formando ‘un ángulo, se en-
tiende por deflexión el ángulo que forma la prolongación de una de estas
rectas con la otra. La deflexién puede ser hacia la derecha de la recta
prolongada o bien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa
por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra I. (Fig.
Ne 67.)
Este método se suele usar para poligonales abiertas como las emplea-
das en el trazo y localización de vías de comunicación (ferrocarriles,
caminos, canales, líneas de transmisión, etc.).
En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar
haciendo observaciones astronómicas a intervalos, tomando en cuenta la
convergencia de meridianos, si las distancias son muy grandes.
(Xz + Xs) (Y — Ya) = (223.23 + 82.62) (589.62 — 791.3 ) =
= 61683.8280
(Xs +X.) (Ws — Ya) = ( 82.62 + 256.90) (412.63 — 589.62) =
— 60091.6440
(X + Xo) (Lo — Y 1) = (2569 +500 )(500 — 412.637 =
+ 66130.3530
Los resultados anteriores se anotan en la planilla de cálculo.
PLANILLA DE CALCULO (Continuación)
Vértl Coordenadas pa ee Dobles superficies
AAA “oer (53)
o | +500 | +s0000 | 94730 | +23521 |222814.4300
1 | 444730 | 473521 | 67053 | + 5609 | 376100270]
2 | 422323 | 479130 | 30585 | 20168 61683.8280
3 | Hm | ss | 33952 | —17699 60091.6440
4 | 425690 | 441263 | 75690 | + 87.37 | 661303530
326554.8100 | 1217754720
y [semen]
Método de deflexiones
Cuando dos rectas se unen en un punto formando ‘un ángulo, se en-
tiende por deflexión el ángulo que forma la prolongación de una de estas
rectas con la otra. La deflexién puede ser hacia la derecha de la recta
prolongada o bien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa
por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra I. (Fig.
Ne 67.)
Este método se suele usar para poligonales abiertas como las emplea-
das en el trazo y localización de vías de comunicación (ferrocarriles,
caminos, canales, líneas de transmisión, etc.).
En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar
haciendo observaciones astronómicas a intervalos, tomando en cuenta la
convergencia de meridianos, si las distancias son muy grandes.
Planimetria 131
Puede aplicarse este método en el levantamiento de poligonales cerra-
das. En este caso la comprobación angular se obtiene sumando las defle-
xiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe
ser igual a 360°. Lo que falte o sobre de esta cantidad será el error
de cierre angular que se debe sujetar a la fórmula de la tolerancia establecida.
La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa
de la siguiente manera
3 Deflexiones (+) — x Deflexiones (—) = 360°00°
“En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es
igual a 360°.”
N 2
Az 0-1 = 89°09"
Figura 67
Cuando se aplica este método es indispensable tener, como en el ante-
rior, un azimut de partida para deducir de él, los azimutes de los lados
de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de la poligonal.
Trabajo de campo.
Comprende las operaciones iniciales indicadas para el método de medi-
da directa de ángulos.
Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar
en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente:
1. Se centra y se nivela el instrumento.
2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su ver-
nier y se fija el movimiento particula
3. Se da al anteojo vuelta de campana y queda en posición inversa.
Puede aplicarse este método en el levantamiento de poligonales cerra-
das. En este caso la comprobación angular se obtiene sumando las defle-
xiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe
ser igual a 360°. Lo que falte o sobre de esta cantidad será el error
de cierre angular que se debe sujetar a la fórmula de la tolerancia establecida.
La condición geométrica del cierre angular del polígono se expresa
de la siguiente manera
3 Deflexiones (+) — x Deflexiones (—) = 360°00°
“En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es
igual a 360°.”
N 2
Az 0-1 = 89°09"
Figura 67
Cuando se aplica este método es indispensable tener, como en el ante-
rior, un azimut de partida para deducir de él, los azimutes de los lados
de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de la poligonal.
Trabajo de campo.
Comprende las operaciones iniciales indicadas para el método de medi-
da directa de ángulos.
Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, la forma de operar
en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente:
1. Se centra y se nivela el instrumento.
2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su ver-
nier y se fija el movimiento particula
3. Se da al anteojo vuelta de campana y queda en posición inversa.
132 Curso básico de topografía
4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación
de atrás y se fija dicho movimiento.
5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora
en posición directa y señalando la prolongación del lado anterior.
6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación
de adelante y se hace la lectura de la deflexién.
Para evitar la propagación de errores de la linea de colimación, conviene
observar el punto de atrás alternativamente en posición directa y én inversa;
es decir, en B se observa A en directa y C en inversa; en C, se observa
B en inversa y D en directa, y así sucesivamente.
‘También se puede proceder midiendo la deflexión en cada vértice dos
veces, una visando la estación de atrás en posición inversa y la otra,
isándola en posición directa del anteojo. Así se elimina el error de coli-
mación y se comprueba la lectura angular.
En los instrumentos de numeración corrida de 0° a 360°, la deflexión
cuyo valor esté comprendido entre 0° y 180* es positiva y su valor es
igual a la lectura hecha. Si la lectura está entre 180° y 360° la deflexión
es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura
hecha.
Todos los demás datos que se toman en el campo son los mismos que
en el método de levantamiento descrito antes.
El registro de campo se lleva como se indica en el siguiente ejemplo:
REGISTRO DE CAMPO 10
Levantamiento con tránsito de 1° y Lomas de Sotelo, D. F.
‘inta de acero de 50 m, por el méto- ABR TF
do de deflexiones Levant: Cristóbal Vera V.
Est | PV JDistancias| Deftexiones |_R.M.0. Croquis y notas
o | 1 | 3467 N 89°07 E “Az O 1 = 89°09"
1] 2 | 2881
2 | 3 | 2567
3 | 4 | 3424 | 1199097
4 | ol 258 | 90007
Trabajo de gabinete. ,
Este sólo difiere del expuesto con anterioridad, para el método de
medida directa de ángulos, en la manera de calcular los azimutes de los
lados de la poligonal.
“El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicamente la deflexiôn
al azimut del lado anterior.” Si la deflexión es negativa y mayor que el
azimut se le agregan a éste 360° para que la resta resulte positiva.
4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estación
de atrás y se fija dicho movimiento.
5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora
en posición directa y señalando la prolongación del lado anterior.
6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar la estación
de adelante y se hace la lectura de la deflexién.
Para evitar la propagación de errores de la linea de colimación, conviene
observar el punto de atrás alternativamente en posición directa y én inversa;
es decir, en B se observa A en directa y C en inversa; en C, se observa
B en inversa y D en directa, y así sucesivamente.
‘También se puede proceder midiendo la deflexión en cada vértice dos
veces, una visando la estación de atrás en posición inversa y la otra,
isándola en posición directa del anteojo. Así se elimina el error de coli-
mación y se comprueba la lectura angular.
En los instrumentos de numeración corrida de 0° a 360°, la deflexión
cuyo valor esté comprendido entre 0° y 180* es positiva y su valor es
igual a la lectura hecha. Si la lectura está entre 180° y 360° la deflexión
es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura
hecha.
Todos los demás datos que se toman en el campo son los mismos que
en el método de levantamiento descrito antes.
El registro de campo se lleva como se indica en el siguiente ejemplo:
REGISTRO DE CAMPO 10
Levantamiento con tránsito de 1° y Lomas de Sotelo, D. F.
‘inta de acero de 50 m, por el méto- ABR TF
do de deflexiones Levant: Cristóbal Vera V.
Est | PV JDistancias| Deftexiones |_R.M.0. Croquis y notas
o | 1 | 3467 N 89°07 E “Az O 1 = 89°09"
1] 2 | 2881
2 | 3 | 2567
3 | 4 | 3424 | 1199097
4 | ol 258 | 90007
Trabajo de gabinete. ,
Este sólo difiere del expuesto con anterioridad, para el método de
medida directa de ángulos, en la manera de calcular los azimutes de los
lados de la poligonal.
“El azimut de un lado se obtiene sumando algebraicamente la deflexiôn
al azimut del lado anterior.” Si la deflexión es negativa y mayor que el
azimut se le agregan a éste 360° para que la resta resulte positiva.
Planimetria 133
EJEMPLO
Calcular los azimutes de los lados de una poligonal, con los siguientes
datos:
Deflexiones | Azimues
929161 | 89°09"
14171 [3340527
sseai'D | 30°33"
119%08'1 |271°25
90:00.7 |181°25"
aun-o[y
ssvwve|
SOLUCIÓN
El levantamiento se empezó en la estación 0. Se observó el azimut del
lado 0 — 1
Az 0 — 1 = 89°09
En la estacion 1 se ejecutó la serie de operaciones descrita y se hizo la
lectura 245°43". Por la lectura se ve que la deflexión es negativa, esto
es, que está a la izquierda de O — 1 y su valor será:
Defl. 1 — 2 = 360° — 245%43 = 114%17'1
Para obtener ci azimut de la línea 1 — 2, en atención a que la deflexión
es mayor que el azimut de la linea anterior, habrá que agregar a éste 360°,
para que la resta resulte positiva.
El cálculo de los azimutes se dispone como sigue:
Az. 0—1= 89°09"
+ 360°
4907
— 114171
334552
39033
— 119087
Sr
=_90-00'1
Az. 4-0=T18125 °
92°161
78909
EJEMPLO
Calcular los azimutes de los lados de una poligonal, con los siguientes
datos:
Deflexiones | Azimues
929161 | 89°09"
14171 [3340527
sseai'D | 30°33"
119%08'1 |271°25
90:00.7 |181°25"
aun-o[y
ssvwve|
SOLUCIÓN
El levantamiento se empezó en la estación 0. Se observó el azimut del
lado 0 — 1
Az 0 — 1 = 89°09
En la estacion 1 se ejecutó la serie de operaciones descrita y se hizo la
lectura 245°43". Por la lectura se ve que la deflexión es negativa, esto
es, que está a la izquierda de O — 1 y su valor será:
Defl. 1 — 2 = 360° — 245%43 = 114%17'1
Para obtener ci azimut de la línea 1 — 2, en atención a que la deflexión
es mayor que el azimut de la linea anterior, habrá que agregar a éste 360°,
para que la resta resulte positiva.
El cálculo de los azimutes se dispone como sigue:
Az. 0—1= 89°09"
+ 360°
4907
— 114171
334552
39033
— 119087
Sr
=_90-00'1
Az. 4-0=T18125 °
92°161
78909
134 Curso básico de topografía
El azimut O=T calculado es igual al observado al iniciar el levanta-
miento y, por tanto, la operación estuvo correcta.
Generalmente esto no ocurre en la práctica y es necesario determinar
el error angular y hacer la compensación angular, si procede, antes de
calcular los azimutes.
La compensación angular se efectúa, si: Ex < Ta
Para obtener los rumbos de los lados, a partir del rumbo del primer
lado y de las deflexiones, se pueden seguir las siguientes reglas:
Si el lado de la poligonal está en el cuadrante NE o SW se agrega al
rumbo del lado la deflexión derecha y se resta la deflexión izquierda; y si
el lado está en el cuadrante SE o NW se agrega al rumbo del lado la
deflexión izquierda y se resta la deflexión derecha.
Cuando la suma del rumbo con la deflexión exceda de 90°, se toma et
suplemento y se cambia la letra N por $ y viceversa; y si al tomar la dife-
rencia entre un rumbo y la deflexión, ésta resulta negativa, se cambia
la letra E por W, y viceversa.
2
EJEMPLO
Calcular los rumbos de los lados de una poligonal, dados el rumbo
del primer lado y las deflexiones.
Datos:
SOLUCIÓN
El primer lado 0 — 1 de la
poligonal está en el cuadrante
8212 | NE, por tanto, de acuerdo con
36°50" la regla, debe ‘agregarse la de-
98°27" flexión del lado 1 — 2, por
34°23" ser derecha, para hallar el
1042087 rumbo del lado 1 — 2.
35°14"
40032 Rbo 0- 1=N81%36 E
+ 82912 D
sumas (1577077 [2747397 TR
Como la suma excede de 90°, se toma el suplemento y se cambia la letra
N por S:
179°60
= 163748"
Rbo T=2=5 1617 Ee
El azimut O=T calculado es igual al observado al iniciar el levanta-
miento y, por tanto, la operación estuvo correcta.
Generalmente esto no ocurre en la práctica y es necesario determinar
el error angular y hacer la compensación angular, si procede, antes de
calcular los azimutes.
La compensación angular se efectúa, si: Ex < Ta
Para obtener los rumbos de los lados, a partir del rumbo del primer
lado y de las deflexiones, se pueden seguir las siguientes reglas:
Si el lado de la poligonal está en el cuadrante NE o SW se agrega al
rumbo del lado la deflexión derecha y se resta la deflexión izquierda; y si
el lado está en el cuadrante SE o NW se agrega al rumbo del lado la
deflexión izquierda y se resta la deflexión derecha.
Cuando la suma del rumbo con la deflexión exceda de 90°, se toma et
suplemento y se cambia la letra N por $ y viceversa; y si al tomar la dife-
rencia entre un rumbo y la deflexión, ésta resulta negativa, se cambia
la letra E por W, y viceversa.
2
EJEMPLO
Calcular los rumbos de los lados de una poligonal, dados el rumbo
del primer lado y las deflexiones.
Datos:
SOLUCIÓN
El primer lado 0 — 1 de la
poligonal está en el cuadrante
8212 | NE, por tanto, de acuerdo con
36°50" la regla, debe ‘agregarse la de-
98°27" flexión del lado 1 — 2, por
34°23" ser derecha, para hallar el
1042087 rumbo del lado 1 — 2.
35°14"
40032 Rbo 0- 1=N81%36 E
+ 82912 D
sumas (1577077 [2747397 TR
Como la suma excede de 90°, se toma el suplemento y se cambia la letra
N por S:
179°60
= 163748"
Rbo T=2=5 1617 Ee
Planimetria 135
Ahora bien, el lado T=2 se encuentra en el cuadrante SE, luego debe
agregársele la deflexión izquierda del lado Z—3, para encontrar el rum-
4
bo del lado 2 — 3.
S 161 E
+ 36°50 1
Rbo 7=3-5$ SHOVE
Al rumbo del lado 2 — 3; que está en el cuadrante SE, se le agregará la
deflexión 98927 I.
Rbo Z=3=5S 53°02 E
+ 98277
151729 —
La suma del tumbo y la deflexión excede de 90°, por tanto, se tomará el
suplemento, cambiando la letra $ por N:
179260"
51929
Rbo 3- 4=N TE
Por encontrarse el lado 3 — 4 en el cuadrante NE, se le debe agregar
la deflexión 34°23' D del lado 4—5, para obtener el rumbo del lado
4-5.
N 28°31 E
+ 34923 D
Rbo 4-5=N 6230 E
A continuación, para hallar el rumbo del lado 5 — 6, al rumbo del lado
4 — 5, localizado en el cuadrante NE, se le resta la deflexión 104%08'/
del lado 5 — 6:
N 62254 E
= 104087
aria
Como la diferencia entre el rumbo y la deflexiön resultó negativa, se cam-
bia la letra E por W:
Rbo 5 — 6=N41*14'W
El lado 5 — 6 está en el cuadrante NW, por tanto, al rumbo del lado
5— 6 se le agregará la deflexión izquierda 35°14’, del lado 6 — 7, para
encontrar el rumbo del lado 6 — 7.
N 41°14W
+ 359147
Rbo 6- 7= N 76°28 W
Ahora bien, el lado T=2 se encuentra en el cuadrante SE, luego debe
agregársele la deflexión izquierda del lado Z—3, para encontrar el rum-
4
bo del lado 2 — 3.
S 161 E
+ 36°50 1
Rbo 7=3-5$ SHOVE
Al rumbo del lado 2 — 3; que está en el cuadrante SE, se le agregará la
deflexión 98927 I.
Rbo Z=3=5S 53°02 E
+ 98277
151729 —
La suma del tumbo y la deflexión excede de 90°, por tanto, se tomará el
suplemento, cambiando la letra $ por N:
179260"
51929
Rbo 3- 4=N TE
Por encontrarse el lado 3 — 4 en el cuadrante NE, se le debe agregar
la deflexión 34°23' D del lado 4—5, para obtener el rumbo del lado
4-5.
N 28°31 E
+ 34923 D
Rbo 4-5=N 6230 E
A continuación, para hallar el rumbo del lado 5 — 6, al rumbo del lado
4 — 5, localizado en el cuadrante NE, se le resta la deflexión 104%08'/
del lado 5 — 6:
N 62254 E
= 104087
aria
Como la diferencia entre el rumbo y la deflexiön resultó negativa, se cam-
bia la letra E por W:
Rbo 5 — 6=N41*14'W
El lado 5 — 6 está en el cuadrante NW, por tanto, al rumbo del lado
5— 6 se le agregará la deflexión izquierda 35°14’, del lado 6 — 7, para
encontrar el rumbo del lado 6 — 7.
N 41°14W
+ 359147
Rbo 6- 7= N 76°28 W
136 Curso básico de topografía
Por último, para obtener el rumbo del lado 7 — 8; por estar el lado 6 — 7
en el cuadrante NW, se le restará la deflexiôn derecha 40°32’ al rumbo
del lado 6 — 7:
N 7628 W
32 D
N 35°56" W
Rbo 7 ~
Comprobación del cálculo de los rumbos.
“La suma algebraica de las deflexiones, con su signo correspondiente,
se sumará algebraicamente al primer rumbo y el resultado deberá dar el
último rumbo calculado.”
En el problema planteado:
x Defl. (+ 157°07
x Defl. (-) = _274°39°
x algebraica Defl. = 11737
+ primer Rbo.=+ 81°36" je rumbo: N81°36E
Ultimo Rbo. calculado = — 35°56" Ultimo rumbo: N 35°56’ W
Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de 1’ y cinta de acero, por el método
de deflexiones.
REGISTRO DE CAMPO 11
En. | P.v. | Distancias] Deflexiones | RMO. Croquis y notas
o | 1 | 16990 | rear | nase Az O 1 89°07
1 | 2 | 1900 | sersur | nsso0w
2 | 3 | 11730 | 66-47 | 5 60°00 w
3 | 4 | 13500 | io | s vor
4 | 0 | 1260 | aser | 57530
SOLUCIÓN
1. Determinación del error angular Es: sr > Br
x Defl. = 360°02"
2. Cálculo de la tolerancia angular Ty:
T= za n= av VS= 27 [rieur
Por último, para obtener el rumbo del lado 7 — 8; por estar el lado 6 — 7
en el cuadrante NW, se le restará la deflexiôn derecha 40°32’ al rumbo
del lado 6 — 7:
N 7628 W
32 D
N 35°56" W
Rbo 7 ~
Comprobación del cálculo de los rumbos.
“La suma algebraica de las deflexiones, con su signo correspondiente,
se sumará algebraicamente al primer rumbo y el resultado deberá dar el
último rumbo calculado.”
En el problema planteado:
x Defl. (+ 157°07
x Defl. (-) = _274°39°
x algebraica Defl. = 11737
+ primer Rbo.=+ 81°36" je rumbo: N81°36E
Ultimo Rbo. calculado = — 35°56" Ultimo rumbo: N 35°56’ W
Problema. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la
poligonal levantada con tránsito de 1’ y cinta de acero, por el método
de deflexiones.
REGISTRO DE CAMPO 11
En. | P.v. | Distancias] Deflexiones | RMO. Croquis y notas
o | 1 | 16990 | rear | nase Az O 1 89°07
1 | 2 | 1900 | sersur | nsso0w
2 | 3 | 11730 | 66-47 | 5 60°00 w
3 | 4 | 13500 | io | s vor
4 | 0 | 1260 | aser | 57530
SOLUCIÓN
1. Determinación del error angular Es: sr > Br
x Defl. = 360°02"
2. Cálculo de la tolerancia angular Ty:
T= za n= av VS= 27 [rieur
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