Curso de gemetria

1. VECTORES LIBRES

En ciencias, cantidades físicas tales como fuerza, velocidad, desplazamiento (movimiento
de una partícula de un lugar a otro) y la aceleración se describen por medio de una
magnitud y una dirección. El término vector se emplea para identificar dichas cantidades.
Para ayudar a construir la idea intuitiva iniciemos con una analogía entre los números
racionales y los vectores. Sabemos que las razones etc., son razones distintas
que representan un mismo número racional. Veremos en la figura 3.1. que diferentes
segmentos de recta dirigidos pueden representar un mismo vector.

Usualmente representamos un número racional con la razón simplificada, en este caso
escogemos
Geométricamente un vector puede representarse como un segmento dirigido o flecha. La
longitud del segmento denota la magnitud del vector, por ejemplo una fuerza de 8 Newton
puede representarse por una flecha de 8 unidades de largo y en la misma dirección de la
fuerza. Todos esos segmentos de línea dirigidos representan el mismo vector.
Geométricamente son distintos conjuntos de puntos pero como representaciones de vectores
son iguales.

Fig 3.1

DEFINICIÓN 3.1

Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo
vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores

2. libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector
son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir




Fig 3.2



SUMA DE VECTORES
Existen dos procedimientos que se pueden emplear para la suma de vectores. Como se
observa en la figura 3.3, se dibuja el vector desde el punto terminal de se dibuja el
vector , el vector es el vector que va desde el punto inicial de hasta el punto
terminal de . Este método de suma de vectores se conoce como la REGLA DEL
TRIÁNGULO.

Un método alternativo equivalente es la REGLA DEL PARALELOGRAMO (figura 3.3)
dibujamos las representantes de los vectores y desde el mismo punto (se hacen
coincidir los puntos iniciales de y ) y se completa el paralelogramo, la diagonal trazada
desde el punto común representa la suma .

Metodo del triangulo

3. Metodo del paralelogramo

Fig 3.3



En la figura 3.3 podemos observar de la regla del triángulo que la suma de vectores es
conmutativa, es decir, .

La magnitud o longitud del vector se denota por . La dirección del vector se denota
por dir. Si y son vectores tales que dibujados desde un mismo punto inicial forman
un ángulo de 180º escribiremos que y diremos que la dirección de es
opuesta a la dirección de .



Fig. 3.4



El vector cero representado por , es un vector que tiene longitud cero. El vector cero no
tiene dirección. Por la regla del triángulo para la suma tenemos que .

4. Para cualquier vector , diferente del vector cero definimos (se lee “menos ”,
opuesto de v o inverso aditivo de v) como el vector tal que cumple las siguientes
condiciones:
a.

b.



Si , entonces .
De la regla del triángulo para la suma de vectores tenemos que .



Fig. 3.5


Si dos vectores libres y son paralelos y tienen igual longitud, entonces o .
Observando las direcciones de las flechas podemos deducir si o .


DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Como todo vector libre tiene un inverso aditivo podemos definir la resta de los vectores y
asi

5. Fig. 3.6


Una forma alternativa de hacer la resta de los vectores y



Fig. 3.7

6. La figura 3.7 se obtiene al complementar el paralelogramo en la figura 3.6 por lo tanto para
hacer la diferencia de los vectores y se puede proceder así:
a. Construimos los vectores y de tal manera que sus puntos iniciales coincidan.
b. El vector diferencia es un vector que tiene por punto inicial al punto terminal
del vector (vector sustraendo) y por punto terminal al punto terminal del vector
(vector minuendo).
Ejemplo 1


Ejemplo 2


Ejemplo 3


Ejemplo 4


Ejemplo 5


Ejemplo 6


Ejemplo 7


Ejemplo 8





OBSERVACIÓN.
En la práctica para hallar la magnitud y la dirección de la resultante de la suma o diferencia
de dos vectores se hace en la mayoría de los casos resolviendo un triángulo en el cual se

7. conocen las longitudes de dos de sus lados y un ángulo. Las longitudes de los lados son las
magnitudes de los vectores que se operan.


MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
De la suma de vectores se tiene que es un vector con magnitud igual al doble de la
magnitud de y con la misma dirección de . Si escribimos , entonces es un
vector con y dirección de igual a la dirección de . De
forma similar es un vector cuya magnitud es tres veces la magnitud de y si
escribimos entonces es un vector tal que y . De la
suma de vectores también tenemos que es un vector el doble de longitud que y
con dirección contraria a la de . Si escribimos , entonces es un
vector tal que y .



Fig. 3.16


Las anteriores observaciones motivan la siguiente definición.


DEFINICIÓN 3.2(Multiplicación por un escalar).

Si es un número real (escalar) y es un vector libre, entonces es un vector que
cumple una de las siguientes condiciones

8. a. Si , entonces y
b. Si , entonces
c. Si , entonces y



OBSERVACIÓN
No se asignará ningún valor a la expresión , es decir, siempre se escribirá el número
real a la izquierda del vector cuando se multiplique un vector por un número real (escalar).
Para denotar números reales (escalares) siempre se usarán letras griegas como


Ejemplo 9



PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Dados dos vectores y y dos escalares y . Entonces
1. El producto es un vector determinado de manera única.
2.
3.
4.
5.
6.

Ejemplo 10


Ejemplo 11


Ejemplo 12

9. APLICACION DE LOS VECTORES LIBRES

En esta sección se enunciará y se demostrará el teorema de las proporciones y el teorema de
la base. El teorema de las proporciones se usa para resolver problemas de mecánica. Tanto
el teorema de las proporciones como el teorema de la base se usan para demostrar
resultados de la geometría plana.


DEFINICIÓN 3.3

Dos vectores no nulos y son paralelos si y solo si existe un escalar tal que
( es un múltiplo escalar de ). Si y son vectores paralelos denotaremos este
hecho por .


CORRESPONDENCI A ENTRE LOS PUNTOS DEL PLANO (O ESPACIO) Y LOS
VECTORES.
Si escogemos un punto O fijo, el vector localizado (vector fijo) de un punto A del plano (o
espacio) relativo al origen O es el vector con punto inicial en O y punto terminal en A.
Dado el punto A el vector localizado está determinado de forma única; igualmente
cualquier vector con punto inicial en O determina de forma única un punto A en el plano (o
espacio) extremo del vector. Por tanto existe una correspondencia uno a uno entre los
puntos y los vectores localizados. Denotaremos por el vector localizado correspondiente
al punto A, es decir, .

Fig 3.20

10. TEOREMA 3.1(Teorema de Proporción)

Si A y B son puntos y P es un punto del vector que divide al segmento en la
proporción tal que , entonces,


donde el origen O puede ser escogido de forma arbitraria teniendo en cuenta que no sea
colineal con los puntos A y B.


DEMOSTRACION

Fig 3.21

Por el punto P trazamos una paralela al segmento OB que corta al segmento OA en Q.

Por la definición de suma de vectores tenemos que como y ,
entonces existen escalares y tales que y y son números positivos
ya que y .Entonces .

Los triángulos y son semejantes (por ser )

11. por tanto, , como , porque los puntos A, B y O no son colineales,
tenemos que .

Se tiene además que .


Entonces , pero como , entonces se tiene que
y por lo tanto,



Ejemplo 14


Ejemplo 15


Ejemplo 16


Ejemplo 17

12. Ejemplo 18



DEFINICIÓN 3.4

Una combinación lineal de los vectores y es cualquier vector de la forma
donde y son escalares.


TEOREMA 3.2 Teorema de la base) Si y son vectores no nulos y no paralelos,
entonces cualquier vector del plano determinado por O, y es una combinación lineal
de y . Esta combinación lineal es única ya que si entonces
y .


DEMOSTRACIÓN. Sea y . Se traza por W una línea l paralela
a (ver figura 3.26). Se prolonga en ambas direcciones. l y la recta determinada por y
que pasa por O, se cruzan en un punto P, ya que y no son paralelas.

Fig 3.26

13. para algún escalar y para algún escalar . Además,
. Entonces es una combinación lineal de y .

Ahora, supongamos que . Entonces se tiene que
ó .

Si y no son ambos ceros, se podría entonces escribir como un múltiplo
escalar de , o viceversa. (Multiplique cada término de la ecuación por el inverso
multiplicativo del escalar diferente de cero). Como no es paralelo a , debemos concluir
que y de donde y .



Ejemplo 19

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

Ejemplo 13
VECTORES COORDENADOS (R
n
)

Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja de
números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna de números
reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una
representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones
útiles para ellas. Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n
incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares
ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas
ordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones.

Fig 3.31a

14. Fig 3.31b


Fig 3.31c



DEFINICIÓN 3.5

Una n-tupla de números reales se denota por donde cada xi es un número real.
Las n-tuplas de números reales y son iguales si
.

15. El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales ordenadas se denota por ,
es decir



DEFINICIÓN 3.6

Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma
como la n-tupla


se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos anteriormente a
cada punto del plano coordenado se le puede asociar un vector fijo. Si es una
pareja ordenada de números reales (un vector de ) le podemos asociar el vector libre OX
que tiene por punto inicial el origen de coordenadas O y por punto terminal X.

Fig 3.32



Ejemplo 20



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R
2


Sean y , entonces

16. Fig 3.33



A la suma de dos parejas ordenadas, se le puede asociar el vector fijo que
tiene por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la
diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY.


DEFINICIÓN 3.7 (Multiplicación por un escalar)

Sean un elemento de y un escalar (número real), el producto del
escalar por la n-tupla x se denota por .

es una n-tupla de que se obtiene multiplicando cada una de las componentes de la n-
tupla por el escalar .

Sea

17. Fig 3.34a



Fig 3.34b



TEOREMA 3.3
PROPIEDADES DE LA SUMA DE N -TUPLAS EN R
n

18. Sean pertenecientes a y escalares (números reales). Entonces
P1.

es un elemento de R
n
Clausurativa
P2.


Conmutativa
P3.

donde 0 = (0,...,0) Modulativa
P4.

Asociativa
P5.


Invertiva


se llama inverso aditivo

P6.

es un elemento de

P7.

Distributiva de
la suma de
escalares con
respecto al
producto por
un escalar.
P8.

Distributiva
del producto
por un escalar
respecto a la
suma de dos
n-tuplas.
P9.


Asociatividad
del producto
por un escalar.
P10.


Identidad
escalar.


DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P2


Por Definición 3.6

Por la propiedad conmutativa de la suma de números reales.

Por Definición 3.6


luego

19. DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P5


Definición 3.6

Propiedad invertiva de la suma de números reales.
=0

Luego



DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P7

Definición 3.7

Distributividad del producto con respecto a
la suma de los números reales.

Definición 3.6

Definición 3.7


luego se tiene que



DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P9

Definición 3.7

Definición 3.7

Asociatividad de la multiplicación de números reales.

Definición 3.7.


y por tanto




DEFINICIÓN 3.8

Si x y y son elementos de R
n
, definimos la resta como donde -y es el
inverso aditivo de y.
En matemáticas encontraremos sistemas matemáticos que satisfacen las 10 propiedades del
teorema 3.3, estos sistemas se llaman espacios vectoriales.


DEFINICIÓN 3.9(Espacio vectorial).

20. Un conjunto V no vacío en el cual hay definidas dos operaciones, una suma en V y un
producto por un escalar (un número real por un elemento de V) que cumpla las propiedades
del teorema 3.3 se llama espacio vectorial y los elementos de V se llaman vectores.
R
n
con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las n-
tuplas se pueden considerar como vectores.
Usaremos la notación para indicar que es el punto terminal del vector fijo
. Si es un vector localizado en el espacio la notación indica que
es el punto terminal del vector fijo .

Fig 3.35a



Fig 3.35b

21. Otra manera de denotar vectores fijos en el plano y el espacio es la siguiente:
Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es
(0, 1). Entonces si P es un punto del plano de coordenadas , podemos escribir el
vector fijo como .

Fig 3.36

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0, 0), el vector fijo cuyo punto terminal es
(0, 1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del
espacio de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como
.

22. Fig 3.37




Ejemplo 21


Ejemplo 22


Ejemplo 23


Ejemplo 24



LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO

23. Fig 3.37
El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R
3
.

Si del teorema de Pitágoras se tiene que


aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que y
remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que


como la norma de un vector es no negativa tenemos que


DEFINICIÓN 3.10(Longitud, magnitud o norma de un vector)

La longitud del vector de R
n
se denota por y se define como

24. Ejemplo 25


Ejemplo 26



DEFINICIÓN 3.11 (Ángulos directores).

Los ángulos directores de un vector fijo OA y del vector coordenado
son los ángulos y , donde es el ángulo formado por el
semieje positivo de las x y el vector OA, es el ángulo formado por el eje positivo de las y
y el vector OA y es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la
medida de estos ángulos se encuentra entre 0
o
y 180
o
.


DEFINICIÓN 3.12 (Cosenos directores).

Los cosenos directores del vector fijo OA o del vector coordenado son los
cosenos de los ángulos directores del vector A y . Podemos encontrar una
fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA.

25. Fig 3.46


El ángulo es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR.




de forma similar se tiene que





Veamos que





Ejemplo 27



ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES EN R
2
Y R
3


DEFINICION 3.13

Sean A y B dos vectores de R
3
o (R
2
) no nulos, el ángulo entre los vectores A y B
coordenados es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde es un ángulo entre 0
o

y 180
o
.

26. TEOREMA 3.4

Si A y B son vectores coordenados de R
3
no nulos, entonces



DEMOSTRACIÓN

Fig 3.46a


Por la ley de los cosenos se tiene que



Si y son vectores de R
3
, entonces

27. Remplazando se tiene que







Ejemplo 28





Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:
PRODUCTO ESCALAR

Si y son vectores no nulos de , se vio en la sección 3.3
que , donde es el ángulo entre los vectores A y B.

El término del numerador en la expresión anterior es de gran importancia y se llama
producto escalar o producto punto de los vectores A y B. La noción de producto escalar en
se puede generalizar para , como se hace a continuación.

Ejemplo 29


DEFINICIÓN 3.14 (Producto escalar o producto punto).

Si y , el producto escalar o producto punto se
define así

28. En y el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos A y B se puede escribir
como



esta fórmula también se usa para definir el ángulo entre dos vectores en A y B no nulos.


TEOREMA 3.5 (Desigualdad de Schwarz)

Sean A y B dos vectores en . Entonces



DEMOSTRACIÓN.

Sean y vectores de por el ejercicio se tiene que


El lado derecho de esta igualdad es mayor o igual que cero, por lo tanto

, es decir, por tanto,

luego,



DEFINICIÓN 3.15 (Vectores ortogonales o perpendiculares).

Si A y B son vectores no nulos de , decimos que A y B son ortogonales o
perpendiculares si y sólo si A.B = 0 .

Ejemplo 30


TEOREMA 3.6 (Propiedades del producto escalar)

29. Sean A, B y C vectores de y y escalares, entonces

1. El producto A.B es un único escalar.
2. A.B = B.A Propiedad conmutativa.
3.
4. Propiedad distributiva
5. si A es no nulo y si y solo si


DEMOSTRACIÓN

(Queda como ejercicio)

Ejemplo 31


TEOREMA 3.7 (Propiedades de la norma de un vector en ).

Sean A, B vectores de y un número real. Entonces

1. si y sólo si A = 0.

2.
3. (Desigualdad MINKOWSKI) o desigualdad generalizada del
triángulo.


DEMOSTRACIÓN

3. Sean A y B vectores de , entonces:


Propiedad distributiva
Por distributiva
Por conmutativa
Por conmutatividad
Desigualdad de Schawrz

30. Luego se tiene que

Como y son números no negativos se tiene que



Ejemplo 32


DEFINICIÓN 3.16 (Distancia en ).

Sean A y B dos vectores en . La distancia entre los puntos A y B, d(A,B), se define así:



Ejemplo 33


TEOREMA 3.8 (Propiedades de la distancia o norma).

Sean A, B y C vectores de

1. , si y solo si .

2. , simetría.

3.


DEMOSTRACIÓN

31. Fig. 3.48


para C en
desigualdad de Minkowski


por tanto




DEFINICIÓN 3.17

Dos vectores coordenados no nulos A y B en , tienen la misma dirección si y solo si
para algún escalar mayor que cero. A y B tienen direcciones opuestas si y solo si
para algún escalar negativo .


DEFINICIÓN 3.18 (Vector unitario).

En el ejemplo 4.32 se vió que si , es un vector unitario en la dirección de A. El
proceso de encontrar un vector unitario en la dirección de un vector dado se llama
normalización del vector dado.

32. Ejemplo 34

Ejemplo 35



Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

PRODUCTO ESCALAR

Si y son vectores no nulos de , se vio en la sección 3.3
que , donde es el ángulo entre los vectores A y B.

El término del numerador en la expresión anterior es de gran importancia y se llama
producto escalar o producto punto de los vectores A y B. La noción de producto escalar en
se puede generalizar para , como se hace a continuación.

Ejemplo 29


DEFINICIÓN 3.14 (Producto escalar o producto punto).

Si y , el producto escalar o producto punto se
define así


En y el coseno del ángulo formado por los vectores no nulos A y B se puede escribir
como



esta fórmula también se usa para definir el ángulo entre dos vectores en A y B no nulos.


TEOREMA 3.5 (Desigualdad de Schwarz)

Sean A y B dos vectores en . Entonces

33. DEMOSTRACIÓN.

Sean y vectores de por el ejercicio se tiene que


El lado derecho de esta igualdad es mayor o igual que cero, por lo tanto

, es decir, por tanto,

luego,



DEFINICIÓN 3.15 (Vectores ortogonales o perpendiculares).

Si A y B son vectores no nulos de , decimos que A y B son ortogonales o
perpendiculares si y sólo si A.B = 0 .

Ejemplo 30


TEOREMA 3.6 (Propiedades del producto escalar)

Sean A, B y C vectores de y y escalares, entonces

1. El producto A.B es un único escalar.
2. A.B = B.A Propiedad conmutativa.
3.
4. Propiedad distributiva
5. si A es no nulo y si y solo si


DEMOSTRACIÓN

(Queda como ejercicio)

Ejemplo 31

34. TEOREMA 3.7 (Propiedades de la norma de un vector en ).

Sean A, B vectores de y un número real. Entonces

1. si y sólo si A = 0.

2.
3. (Desigualdad MINKOWSKI) o desigualdad generalizada del
triángulo.


DEMOSTRACIÓN

3. Sean A y B vectores de , entonces:


Propiedad distributiva
Por distributiva
Por conmutativa
Por conmutatividad
Desigualdad de Schawrz


Luego se tiene que

Como y son números no negativos se tiene que



Ejemplo 32


DEFINICIÓN 3.16 (Distancia en ).

35. Sean A y B dos vectores en . La distancia entre los puntos A y B, d(A,B), se define así:



Ejemplo 33


TEOREMA 3.8 (Propiedades de la distancia o norma).

Sean A, B y C vectores de

1. , si y solo si .

2. , simetría.

3.


DEMOSTRACIÓN



Fig. 3.48


para C en
desigualdad de Minkowski

36. por tanto




DEFINICIÓN 3.17

Dos vectores coordenados no nulos A y B en , tienen la misma dirección si y solo si
para algún escalar mayor que cero. A y B tienen direcciones opuestas si y solo si
para algún escalar negativo .


DEFINICIÓN 3.18 (Vector unitario).

En el ejemplo 4.32 se vió que si , es un vector unitario en la dirección de A. El
proceso de encontrar un vector unitario en la dirección de un vector dado se llama
normalización del vector dado.


Ejemplo 34

Ejemplo 35



Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:
EJERCICIOS

3.5 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR

PROYECCIONES.Si P es un punto y l es una recta, entonces la proyección del punto P
sobre la recta l es el punto P’ en la base de la perpendicular trazada de P a l.

37. Ahora ampliaremos la idea de proyección de un punto a una recta a la de un vector sobre
otro vector.
La proyección de un vector sobre otro tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y
física. Para proyectar un vector sobre una recta l se proyectan los puntos inicial P y
final Q de l,el vector ’ es la proyección del vector sobre la recta l.

38. Si seleccionamos un punto O como origen y si son los vectores localizados no nulos
de A y B respectivamente, la proyección(vectorial) de sobre es el vector donde
V es la proyección del punto A sobre la línea recta determinada por el origen O y el punto
B. es un número real.


Dados los vectores fijos y no nulos es posible proyectar el vector sobre el vector y
sobre un vector fijo perpendicular a como se indica en la figura.

39. Como se observa en la figura ,donde es la proyección de sobre y es la
proyección ortogonal de sobre .
TEOREMA 3.9(Propiedades de la proyección de un vector)
1. para algún escalar ( es paralelo a . )
2.
3.
Podemos definir el producto escalar de dos vectores libres y como el producto escalar
de sus correspondientes vectores coordenados. O de otra forma podemos usar la
definición

Sin tener en cuenta las coordenadas, donde es el ángulo formado por y , no nulos.
El ángulo formado por dos vectores libres y no nulos es el ángulo entre
los vectores localizados equivalentes. OA y OB respectivamente.

40. Si o es un vector nulo, entonces al ángulo se le puede asignar cualquier valor entre
0
0
y 180
0
.
FÓRMULA PARA CALCULAR LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE
OTRO



Teorema 3.9 parte (2).
Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a+.
Teorema 3.9 parte (3).
Propiedad modulativa de la suma.
Teorema 3.9 parte (1).
Teorema 3.6 parte (3).

41. De lo anterior se tiene que
para algún escalar

La proyección de por sobre se puede escribir como

La proyección ortogonal de sobre se puede escribir


La longitud de la proyección de sobre es

donde el signo menos indica que la dirección de la proyección es contraria a la del
vector y el signo + indica que la dirección del vector proyección es igual a la del
vector .
Como , la proyección escalar de sobre se puede escribir como

donde es el ángulo entre y .
La noción de proyección vectorial se puede generalizar a .
DEFINICIÓN 3.19 Dados dos vectores A y B en , la proyección vertical de A
sobre B es el vector

El vector
Que es perpendicular a B se llama la proyección ortogonal de a sobre b.
Un plano en el espacio queda determinado por un punto en el plano y un vector
perpendicular a el. Dicho vector se llama vector normal al plano.
Ejemplo 36
Ejemplo 37
Ejemplo 38
Ejemplo 39
Ejemplo 40

42. Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

EJERCICIOS

3.6 EL PRODUCTO VECTORIAL
Consideremos el problema de encontrar un vector perpendicular a dos
vectores no nul os y no paralelos y . Como
, el problema se reduce a la solución del siguiente sistema de
ecuaciones



podemos eliminar z multiplicando la primera ecuación por y la segunda por y
luego sumando ambas para obtener
(1)
En forma semejante, se puede eliminar y para obtener
(2)
se ve fácilmente que para cualquier constante de k, ,
y es una solución para el sistema formado (1) y
(2) como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos
escalares.
Cuando k = 1 la solución se define como el producto vectorial A x B. Por lo anterior,A x
B es un vector perpendicular tanto A como a B.

43. DEFINICIÓN 3.20(Producto Vectorial)
Para cualquier par de vectores A y B de R
3
el producto vectorial de A por B se define
así:
.
De forma similar se define el producto vectorial de dos vectores localizados como
el vector localizado (vector fijo) A x B.
SiA o B es cero, entones es claro que A x B = 0.
Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces para algún escalar , por
tanto




Se tiene entonces que si A x B son vectores paralelos, entonces A x B = 0.
Recíprocamente se tiene que, si A x B = 0, entonces los vectores A y B son paralelos,
siempre que A y B sean no nulos.
Usando la notación de determinantes y la definición del producto vectorial tenemos
que
Definición 4.20
Definición de determinante

44. por tanto tenemos que

OBSERVACIONES
1. El miembro derecho de esta última igualdad se puede desarrollar como un
determinante de orden 3 por la primera fila (solo por la primera fila).
2.El miembro de la derecha de la última igualdad se llama seudodeterminante, puesto
que hablando en un sentido estricto no es un determinante ya que las entradas de
la primera fila son vectores y no escalares.
3.Los vectores son los vectores localizados (fijos) asociados a los vectores
coordenados (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente.
Ejemplo 41

OBSERVACIONES
1.En la parte (a) y (b) se observa que .
2.En las partes (d) y (e) observamos que
3.En las partes (f) y (g) observamos que
TEOREMA 3.10 (Propiedades del producto cruz)
Si A, B y C son vectores de R
3
y un número real.
1.
2.
3. Anticonmutatividad
4.
5.
Como vimos en el ejemplo anterior, el producto cruz en general no cumple la
propiedad asociativa, es decir, .
Para los vectores tenemos

45. Del gráfico notamos que el producto de dos vectores consecutivos en el orden indicado
en la figura es el vector siguiente y si el orden es contrario da el vector con signo
negativo.
TEOREMA 3.11 Si A y B son vectores de R
3
y es el ángulo entre los vectores A y
B,entonces

DEMOSTRACIÓN
(Ejercicio 3.6 (7))
Definición del ángulo entre dos vectores

por lo tanto
ya que
Interpretación geométrica del teorema 4.11.

46. La fórmula anterior para tiene una interpretación geométrica para lo cual
determinaremos el paralelogramo determinado por A y B.
El área de un paralelogramo es base por la altura, donde la base es y la altura es
entonces el área del paralelogramo es

luego el área del paralelogramo determinado por A y B es , los otros vértices
son O y A + B.
DEFINICIÓN 3.21 (Triple producto escalar).
Sean A, B y C vectores de R
3
, llamamos triple producto escalar al número real
. Al producto se llama triple producto vectorial.
TEOREMA 3.12 Sean A, B y C vectores de R
3
, entonces
1.
2.
DEMOSTRACIÓN (Ejercicios al lector)
Ejemplo 42

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:
EJERCICIOS
ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un
punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la
recta.
Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un vector paralelo a l.

47. Un punto estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es decir, para
cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema
coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .



Empleando vectores coordenados, la ecuación puede escribirse como

(1)
La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el
punto A y es paralela al vector .

Si , y , entonces

48. de la igualdad anterior se tiene que

(2)

Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto
A y es paralela al vector . Al darle valores a obtenemos un punto
específico.
Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro tenemos que



Por consiguiente, (3)
Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto
A y es paralela al vector .
Ejemplo 43
Ejemplo 44
Ejemplo 45
Ejemplo 46
Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos al
plano y no paralelos entre si, y .

49. Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores y (
no es múltiplo escalar de puesto que y no son paralelos) el plano determinado
por los puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son combinaciones lineales
de y .

El plano paralelo a y contiene al punto A puede verse como una traslación del plano
hasta A. De esta manera

visto en términos de vectores coordenados es



Es la ecuación vectorial del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores no paralelos
y .
Las ecuaciones paramétricas del plano


Ejemplo 47
Ejemplo 48

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