Curvas alabeadas

2. Definición Definición Una curva en el espacio es una función vectorial de la
forma:
(
)
(
)
(
)
(
)
r t f t i g t j h t k
= + +
r r r r
(
)
(
)
(
)
(
)
r t f t i g t j h t k
= + +
Donde son funciones continuas de en un
intervalo
, ,
f g h
t
I
⊂
ℝ

3. Ejemplo: La
hélice
, dada por la función:
(
)
4cos 4sin
0 4
r t ti tj tk
t
π
= + +
≤ ≤
r r r r

4. Derivada de Derivada de
(
)
r tr
(
)
r tr
(
)
r t t
ih
r
()
(
)
(
)
0
' lim
t
r t t r t
r t
t
h k
ih I
=
h
r r
r
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ' '
r t f t i g t j h t k
= + +
r r r r

5. Elemento de arco Elemento de arco
ds
(
)
r tr
(
)
r t t
ih
r
(
)
(
)
0
lim
t
ds r t t r t
h k
f ih I
r r
(
)
(
)
()
0
'
lim
t
r t t
dsr t d
t
t
t
r
t
h k
i h I
f h f
h
r
r r

6. Curva suave Curva suave La curva C representada por se dice que es
suave en el intervalo si son con tinuas
y
(
)
r tr ', ', '
f g h
(
)
' 0
r t t I
≠ ∀ ∈
Vector unitario tangente Vector unitario tangente
I
Vector unitario tangente Vector unitario tangente
(
)
(
)
(
)
(
)
r t f t i g t j h t k
= + +
r r r r
Sea C una curva suave en dada por:
I

7. El vector tangente a la curva en cada valor de es
t
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ' '
r t f t i g t j h t k
= + +
r r r r
(
)
r tr
(
)
T t
fr
El vector unitario tangente El vector unitario tangente
viene dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
' ' ' '
r t f t i g t j h t k
= + +
r r r r
( )
(
)
( )
' '
t t
t
r
r
T
=
r r
fr
En Mecánica al vector se le llama velocidad respecto del tiempo
y a su módulo se le llama rapidez.
(
)
'
r tr
(
)
'
r tr

8. ()
(
)
()
'
'
r tdt dt dx dy dz
r t i j k
ds ds ds dt dt dt dt
T t
 



= = = + +



 
fr
r
r r r r
Como: podemos escribi r
(
)
'
ds r t dt
=
r
El vector unitario tangente El vector unitario tangente en función del parámetro arco
dt
()
dx dy dz dr
i j k
ds ds
T s
ds ds
= + + =
r
r r r
fr
()
()
'
dr
s
r s
s
T
d
= =r
r
fr
Luego:

9. Curvatura de flexión de una curva Curvatura de flexión de una curva
(
)
T tfr
(
)
T t t
ih
fr
ds
(
)
r tr
ρ
(
)
(
)
' ''
dT
T s r s
χ
= = =
fr
fr r
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de
cambio del vector tangente unitario, con respecto al
parámetro de arco.
ρ
(
)
(
)
' ''
dT
T s r s
ds
χ
= = =
fr r

10. Si es la
curvatura
de una curva en un punto ,
se llama círculo de curvatura al círculo que comparte Si la curva viene dada por
χ
A
(
)
r tr
() ()' '
d
d
dt
ds ds
r t
dt
T
T t
T
χ= = =
fr
f
r
rr
f
Obtenemos: se llama círculo de curvatura al círculo que comparte con la curva la misma tangente en ese punto y se
encuentra al mismo lado cóncavo de la curva.
El radio de ese círculo lo llamamos
radio de curvatura
de la curva y viene dado por:
( )
() ()
' '
1
'
1
r t
T s T t
ρ
χ
= =
=
r
fr fr

11. Vector unitario normal principal Vector unitario normal principal
(
)
T tfr
(
)
N tffr
(
)
r tr
En el espacio existen infinitos vectores perpendiculares
a un vector. Sabemos que:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  es unitario 1 ' 0
T t T t T t T t T t
⇒ = ⇒ =
fr fr fr fr fr
i i

12. Por tanto:
(
)
(
)
'
T t T t
⊥
fr fr
Definimos el vector unitario normal principal
, como:
()
(
)
(
)
' '
N
T t
t
T t
=
fr
f
fr
fr
Si derivamos respecto del parámetro arco obtenemos:
( )
(
)
( ) ( )
0 '
dT s
T s T s T s
ds
= ⇒ ⊥
fr
fr fr fr
i
( )
( )
( )
( )
'
'
'
T s
T
N
T
s
s
s
ρ=
=
ffr
fr
fr
fr

13. Vector unitario binormal Vector unitario binormal
(
)
T tfr
(
)
N tffr
(
)
r tr
(
)
B tfr
Es un vector perpendicular a y a dado por:
()
()
()
(
)
(
)
() ()
' '' ' ''
B
r t r
N
t
r
t
t
T
t r t
t
×
= ×
×
=
f
ff
r
f
r r
r
r
r
r
(
)
T tfr
(
)
N tffr

14. Se llama aceleración
a la derivada del vector velocidad
()
()
( )
( )
( )
(
)
2
2
'' '
dT s
d d ds d s ds
a r t r t T s T s
dt dt dt dt dt
dt
 
 
 = = = = +    
fr
r r r fr frAceleración Aceleración
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22
dT s dT s
d s ds ds d s ds
a T s T s
 



= + = +




fr fr
r fr fr
(
)
(
)
22
a T s T s
dt ds dt dt ds
dt dt



= + = +




 
( )
( )
2
2
2
1 d s ds
a
dt dt
T
N s
s
ρ
 
 
 = +    
fr
ffr
r Componente tangencial: Componente normal:
2
2
T
d s
a
dt
=
2
1
N
ds
a
dt
ρ
 



=



 

15. Dada la curva sabemos:
()
( )
'
ds
r t
dt
T s
=
r
fr
Radio de curvatura en paramétricas Radio de curvatura en paramétricas
()
( )
( )
2
2
2
1
''
d s ds
r t
dt d
s
N s
T
tρ
 
 
 = +    
f
r
ffr
r
(
)
r tr
y
Multiplicando vectorialmente:
() ()
( )
( )
( )
2
2
2
1
' ''
ds d s ds
r t r t
dt dtdt
s s
s
T
N
T
ρ
 
 
 
 

× = × + =

 
  
 
 
 
f
f fr
f
r
r
r r
( )
( )
( )
( )
33
1 1
0
N
ds ds
dt d
B
T
t
s
s
s
ρ ρ
   
   
  + × = −            
ffr
r
fr
f

16. Tomando módulos nos queda:
Y como:
() ()
()
() ()
3
3
'
1
' ''
' ''
r t
ds
r t r t
dt
r t r t
ρ
ρ
 
 
 × = ⇒ =    
×
r
r r
r r
(
)
ds
r
(
)
(
)
i j kr r r
r r
(
)
'2 '2 '2
'
ds
r t x y z
dt
= = + +
r
(
)
(
)
' '' ' ' '
'' '' ''
r t r t x y z
x y z
× =
r r
(
)
3
'2 '2 '2
2 2 2
' ' ' ' ' ' '' '' '' '' '' ''
x y z
y z z x x y y z z x x y
ρ
+ +
=
+ +

17. Si la curva es plana:
Y tendríamos:
(
)
0
z t
=
()
'2 '2
'
ds
r t x y
dt
= = +
fr
() ()
' '' ' ' 0
'' '' 0
i j k
r t r t x y
x y
× =
r r r
r r
'' '' 0
x y
(
)
(
)
3 3
'2 '2 '2 '2
2
' '
' '
'' ''
'' ''
x y x y
x y
x y
x y
x y
ρ
+ +
= =

18. Curvatura de torsión de una curva Curvatura de torsión de una curva
(
)
B tfr
(
)
B t t
ih
fr
ds
(
)
r tr
(
)
'
dds
B
B s
τ
= =
fr
fr
(
)
r t t
ih
r
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de
cambio del vector binormal unitario, con respecto al
parámetro de arco.
(
)
'
ds
B s
τ
= =

19. Algunas deducciones: Algunas deducciones:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
0 0
dB s dT s
B s T s T s B s
ds ds
= ⇒ + = ⇒
fr fr
fr fr fr fr
i i i
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
1 0
dB s dB s
B s B s B s B s
ds ds
= ⇒ = ⇒ ⊥
fr fr
fr fr fr fr
i i
(
)
(
)
(
)
fr fr fr
fr fr ffr fr fr
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
0 0
dB s dB s dB s
T s B s N s T s T s
ds ds ds
χ+ = ⇒ = ⇒ ⊥
fr fr fr
fr fr ffr fr fr
i i i
Al ser perpendicular a y a , tiene la
dirección de
(
)
dB s
dsfr
(
)
B sfr
(
)
T sfr
(
)
N sffr

20. Luego:
(
)
(
)
( ) ( )
dB s dB s
N s N s
ds ds
τ = − = −
fr fr
ffr ffr
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dN s dB s dT s
T s B s
= × + ×
ffr fr fr
fr fr
Derivando la expresión:
(
)
(
)
(
)
B s T s N s
× =
fr ffr ffr
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
dN s dB s dT s
T s B s
ds ds ds
= × + ×
fr fr
Luego:
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
dN s
N s T s B s N s B s T s
ds
τ χ τ χ =− × + × = −
ffr
ffr fr fr ffr fr fr

21. Fórmulas de Frenet Fórmulas de Frenet
(
)
(
)
dB s
fr
ffr
(
)
( )
dT s
N s
ds
χ=
ffr
ffr
(
)
(
)
dB s
N s
ds
τ
= −
ffr
(
)
( ) ( )
dN s
B s T s
ds
τ χ = −
ffr
fr fr

22. Triedro intrínseco Triedro intrínseco
(
)
T tco
(
)
N tcco
(
)
B tco
(
)
co
(
)
cco
(
)
B tco
A
osculador osculador osculador osculador
rectificante rectificante rectificante rectificante
normal normal normal normal
Los vectores , y en cada p unto
de la curva forman un triedro, con los planos:
(
)
T tco
(
)
N tcco
(
)
B tco
A
(
)
(
)
(
)
0
P r
T
O t
t
− =
ccco o
co
i
Plano normal
(
)
(
)
(
)
0
OP r t
N t
− =
c
co
i
co
cc o
Plano rectificante
(
)
(
)
(
)
0
P r
B
O t
t
− =
ccco o
co
i
Plano osculador
 plano
P
∈