Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables

Curvas y superficies de nivel con ejercicios y definiciones tomados de 3 libros y el proceso para el trazado de funciones de 2 variables

1. 1

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE
CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA

INGENIERÍA MECÁNICA


TEMA: Curvas y Superficies de Nivel:
Trazado de funciones de dos variables


ASIGNATURA: Análisis Matemático II



INTEGRANTES: Daniel Orozco 6999
Santiago Toledo 7037
Fausto Orozco 7049
José Luis Ramírez 7073
Stalin Totoy



SEMESTRE: Tercero “B”




FECHA Y LUGAR: Riobamba, 29 de Abril del 2016

2. 1

Contenido
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2
OBJETIVOS......................................................................................................................... 3
MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 3
CURVAS DE NIVEL.......................................................................................................... 3
SUPERFICIES DE NIVEL .................................................................................................. 8
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ..................................................................................... 12
TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ............................. 14
APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL........................................... 19
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 22

3. 2

INTRODUCCIÓN
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja
de números reales (�,�) un y sólo un número real �.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas
(�,�,�) en donde (�,�) está en el dominio de f y � = � (�,�). Este conjunto de
puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Las curvas de nivel para una función de dos variables son las curvas con ecuaciones
�(�,�)=?????? donde k es una constante (en el recorrido de f).
Esta representa el conjunto de todos los puntos en que f toma un valor dado k, en
otras palabras muestra donde la función tiene una altura k. Las curvas del tipo
�(�,�)=?????? son los trozos de la grafica de f en el plano �=?????? proyectado sobre el
plano ��.

4. 3

OBJETIVOS
 Conocer la definición y las aplicaciones de las curvas y superficies de nivel.
 Describir el procedimiento del trazado de funciones de dos variables.

MARCO TEÓRICO
CURVAS DE NIVEL
Sea una función �:??????
�
−>??????
(�,�)−>�=�(�,�)
Suponga que la superficie �=�(�,�) se interseca con el plano �=??????, Al proyectar
dicha intersección en el plano (�,�), obtenemos una curva lo que se denomina curva
de nivel.
Esta curva proyectada tiene a �(�,�)=?????? (k = 0, ±1, ±2,….,±n) como una ecuación, y
la curva se denomina curva de nivel de la función f en k. Al ubicar dichos puntos en el
espacio ??????
3
, obtenemos una superficie en dicho espacio.
Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se
encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es
negativo. Al considerar diferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto
de curvas de nivel llamado mapeo de contorno.

5. 4

El conjunto de todos los valores posibles de k es el cotradominio o recorrido de la
función f, y cada curva de nivel, �(�,�)=??????, del mapa de contornos consiste de los
puntos (�,�) del dominio de f que tienen un valor de función igual a k.

EJERCICIOS:
1. Construir las curvas de nivel de la función �(�,�)=
�
�
+�
�
��

Solución:
�(�,�)=??????, es una curva de nivel para cada ??????∈�. Luego ??????=
�
�
+�
�
��
,
entonces ��??????=�
�
+�
�
→ (�
�
−��??????+??????
�
)+�
�
=??????
�
, luego
(�−??????)
�
+�
�
=??????
�
representan una familia de circunferencias que son las
curvas de nivel con centro en (�,??????).
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación (�−�)
�
+�
�
=�
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación (�−�)
�
+�
�
=�
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación (�−�)
�
+�
�
=�
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación (�−�)
�
+�
�
=��





2. Construir las curvas de nivel de la función �(�,�)=(�−�)
�
−(�−�)
�

6. 5

Solución:
�(�,�)=??????, es una curva de nivel para cada ??????∈�. Luego ??????=(�−�)
�
−
(�−�)
�
, representan una familia de Hipérbolas que son las curvas de nivel
con centro en (�,�) con su eje mayor en el eje Y.
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=(�−�)
�
−(�−�)
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=(�−�)
�
−(�−�)
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=(�−�)
�
−(�−�)
�

Para ??????=�� entonces tenemos la ecuación ��=(�−�)
�
−(�−�)
�






3. Construir las curvas de nivel de la función �(�,�)=
(�−�)
�
�
+
(�−�)
�
�

Solución:
�(�,�)=??????, es una curva de nivel para cada ??????∈�. Luego ??????=
(�−�)
�
�
+
(�−�)
�
�

después �=
(�−�)
�
??????.�
+
(�−�)
�
??????.�
que representan una familia de Elipses que son
las curvas de nivel con centro en (�,�) con su eje mayor en el eje X.

7. 6

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=
(�−�)
�
�
+
(�−�)
�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=
(�−�)
�
(�)�
+
(�−�)
�
(�)�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=
(�−�)
�
(�)�
+
(�−�)
�
(�)�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=
(�−�)
�
(�)�
+
(�−�)
�
(�)�




4. Sea ??????
2
→ ?????? tal que � = �(�,�) = �
�
+�
�

Solución: La grafica de f es la superficie que tiene la ecuación �= �
�
+�
�
. La
traza en el plano xy con z = 0 resulta �
�
+�
�
=� , la cual representa el origen.
Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones y=0 y x=0.
Estas trazas son parábolas �=�
�
y �=�
�
. Tomando ?????? > �, la curva de nivel
correspondiente a � = ?????? es la circunferencia ?????? = �
�
+�
�
y tomando ??????=�
la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (�,�) tales que
�=�
�
+�
�
que paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el
eje z y de radio √??????. Con esta información se obtiene la gráfica requerida, la cual
se muestra en la figura que es un paraboloide circular y al mirar la superficie

8. 7

hacia abajo desde un punto del eje z observamos las curvas de nivel de valores
de ??????=�,�,�,�,� � �.




5. Se f la función definida por �(�,�)=�−�
�
−��.
Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas de
nivel.
Solución: La grafica de f mostrada en la figura, es la superficie
�=�−�
�
−��.
Al considerar �=� se obtiene la traza en el plano ��, la cual es una parábola
�
�
=−�(�−�). Si se considera �=� y �= �, se obtienen las trazas en los
planos �� y ��, las cuales son, respectivamente, la parábola �
�
=−(�−�) y
la recta ��+�=�. La sección transversal de la superficie obtenida en el plano
� = ?????? es una parábola que tiene su vértice en la recta ��+�=� del plano
�� y abre a la izquierda. Las secciones transversales para �=
�,�,�,�,�,−�,−�,−� � −� se muestran en la figura.
Las curvas de nivel de f son las parábolas �
�
=−�(�−�+
�
�
??????). El mapa de
contornos de f junto con las curvas de nivel requeridas se presenta en la figura.

9. 8



SUPERFICIES DE NIVEL
En forma similar para el caso �: ??????
�
→ ??????, se obtienen �(�,�,�) = ?????? llamadas
superficies de nivel.
Las funciones de tres variables tienen superficies de nivel, concepto análogo al de
curvas de nivel para funciones de dos variables. Si � es una función cuyo dominio es un
conjunto de puntos de ??????
3
, entonces ?????? es un número del contradominio de �, la gráfica
de la ecuación
�(�,�,�)=??????
Es una superficie de nivel de � en ??????. Cada superficie en el espacio tridimensional
puede considerarse como una superficie de nivel de alguna función de tres variables.
EJERCICIOS
1. La función � está definida por: � (�,�,�)=�+��+��
Dibuje las superficies de nivel � para los siguientes valores de
??????: ��,��,�,� � �
Solución: Una ecuación de la superficie de nivel de � en ?????? es

10. 9

�+��+��=??????
Cuya gráfica es un plano. Para los valores dados de ?????? se tienen los planos
paralelos siguientes:
Para ??????=�� entonces tenemos la ecuación �+��+��=��
Para ??????=�� entonces tenemos la ecuación �+��+��=��
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �+��+��=�
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �+��+��=�
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �+��+��=�



2. Si la función � está definida por �(�,�,�)=�
�
+�
�
−�
Encuentre las superficies de nivel para ?????? =−�,−�,�,� � �.
Solución: La superficie de nivel de � en el número ?????? tiene la ecuación
�+??????=�
�
+�
�
, un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (�,�,−??????)
sobre el eje z. La figura muestra las superficies de nivel
Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �−�=�
�
+�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �−�=�
�
+�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=�
�
+�
�

11. 10

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �+�=�
�
+�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �+�=�
�
+�
�




3. Describir las superficies de nivel para la función �(�,�,�)=
��
�
+�
�
�

Para ??????=�,�,�,�
Solución: La superficie de nivel de � en el número ?????? tiene la ecuación
??????=
��
�
+�
�
�
, entonces �??????=��
�
+�
�
que representa una familia de
paraboloides elípticos cuyo vértice es el punto (�,�,�).
Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �=��
�
+�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación ��=��
�
+�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �??????=��
�
+�
�

Para ??????=� entonces tenemos la ecuación �??????=��
�
+�
�

12. 11



4. Si la función � está definida por �(�,�,�)=�
�
+�
�
−�
�

Encuentre las superficies de nivel para ?????? =−�,−�,−�,−� .
Solución: La superficie de nivel de � en el número ?????? tiene la ecuación
??????=�
�
+�
�
−�
�
, una familia de hiperboloides de dos hojas cuyo eje es el eje
Z. La figura muestra las superficies de nivel.
Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación −�=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación −�=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación −�=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación −�=�
�
+�
�
−�
�

13. 12

5. Para el mismo ejemplo anterior se puede cambiar los valores de k a valores
positivos obteniendo un cambio en los signos de la ecuación que nos da otra
gráfica. Graficaremos la ecuación para ??????=�,�,�,�
�(�,�,�)=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �=�
�
+�
�
−�
�

Para ??????=−� entonces tenemos la ecuación �=�
�
+�
�
−�
�





FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja
de números reales (�,�) un y sólo un número real �.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un
número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden
a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
� = � (�,�)

14. 13

Las variables x, y se llaman variables independientes, y � se llama variable
dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas
(�,�,�) en donde (�,�) está en el dominio de � y � = � (�,�).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.


En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que
consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas
están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (�,�,�). Como el
dominio de f ??????
� es un conjunto de puntos del plano (�,�), y puesto que cada par
ordenado (�,�) del dominio de f (??????
�
) corresponde a solo un valor de �, ninguna recta
perpendicular al plano (�,�) puede intersectar a la grafica de � en más de un punto.

15. 14

TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Para trazar la gráfica de funciones de la forma �=�(�,�), se sigue el mismo
procedimiento que para trazar superficies de la forma ??????(�,�,�)=�, que son los
siguientes:
1) Determinamos el dominio de la función ??????
??????

2) Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
a) Con el eje X: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=�=0 ,�� ���??????�
?????? (�,0,0)=0
b) Con el eje Y: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=�=0 ,�� ���??????�
?????? (0,�,0)=0
c) Con el eje Z: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=�=0 ,�� ���??????�
?????? (�,0,0)=0
3) Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
a) Traza sobre el plano ��: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=0 , es
decir ?????? (�,�,0)=0
b) Traza sobre el plano XZ: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=0 , es
decir ?????? (�,0,�)=0
c) Traza sobre el plano YZ: En la ecuación ?????? (�,�,�)=0 se hace �=0 , es
decir ?????? (0,�,�)=0
4) Hallamos las curvas de nivel.
�=�(�,�)=??????
5) Construimos la superficie.

EJERCICIOS:
1. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: �
�
+�
�
−�
�
=�
Solución:
 Determinamos el dominio de la función ??????
??????

El dominio de la ecuación son todos los reales ??????
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.

16. 15

 Con el eje X: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=� entonces �=±�
de donde los puntos son: (1,0,0),(−1,0,0)
 Con el eje Y: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=� entonces �=±�
de donde los puntos son: (0,−1,0),(0,−1,0)
 Con el eje Z: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=−� entonces no
existe intersección con el eje Z.
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano ��: se hace �=0 , entonces �
�
+ �
2
=� es una
circunferencia.
 Traza sobre el plano XZ: se hace �=0 , entonces �
�
−�
2
=� es una
hipérbola.
 Traza sobre el plano YZ: se hace �=0 , entonces �
�
−�
2
=� es una
hipérbola.
 Hallamos las curvas de nivel.
Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea �=�(�,�)=??????
entonces �
�
+�
�
=?????? es una familia de circunferencias.
 Construimos la superficie
La gráfica es un Hiperboloide de una hoja.

17. 16


2. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: �
�
+�
�
+�
�
=��
Solución:
 Determinamos el dominio de la función ??????
??????

El dominio de la ecuación son todos los reales ??????
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
 Con el eje X: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=�� entonces �=±�
de donde los puntos son: (−4,0,0),(4,0,0)
 Con el eje Y: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=�� entonces �=±�
de donde los puntos son: (0,−4,0),(0,4,0)
 Con el eje Z: Se hace �=�=0 , de donde �
�
=16 entonces �=±�
de donde los puntos son: (0,0,−4),(0,0,4)
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano ��: se hace �=0 , entonces �
�
+ �
2
=�� es
una circunferencia.
 Traza sobre el plano XZ: se hace �=0 , entonces �
�
+�
2
=�� es una
circunferencia.
 Traza sobre el plano YZ: se hace �=0 , entonces �
�
+�
2
=�� es una
circunferencia.
 Hallamos las curvas de nivel.
Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea �=�(�,�)=??????
entonces �
�
+�
�
=��−?????? es una familia de circunferencias.
 Construimos la superficie
La gráfica muestra una esfera

18. 17


3. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es:
�
�
��
−
�
�
�
=
�
�

Solución:
 Determinamos el dominio de la función ??????
??????

El dominio de la ecuación son todos los reales ??????
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
 Con el eje X: Se hace �=�=0 , de donde �/3=� entonces �=0
de donde los puntos son: (0,0,0)
 Con el eje Y: Se hace �=�=0 , de donde �
�
/16=� entonces �=0
de donde los puntos son: (0,0,0)
 Con el eje Z: Se hace �=�=0 , de donde �
�
/4=0 entonces �=0
de donde los puntos son: (0,0,0)
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano ��: se hace �=0 , entonces
�
�
��
=
�
�
es una
parábola.
 Traza sobre el plano XZ: se hace �=0 , entonces −
�
�
�
=
�
�
es una
parábola.
 Traza sobre el plano YZ: se hace �=0 , entonces
�
�
��
−
�
�
�
=� es
son dos rectas.
 Hallamos las curvas de nivel.

19. 18

Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea �=?????? entonces
�
�
��
−
??????
�
=
�
�
es una familia de parábolas.
Consideramos las secciones paralelas al plano XZ; sea �=?????? entonces
??????
��
−
�
�
�
=
�
�
es una familia de parábolas.
Consideramos las secciones paralelas al plano YZ; sea �=?????? entonces
�
�
��
−
�
�
�
=
??????
�
es una familia de hipérbolas.
 Construimos la superficie
La gráfica es un Paraboloide Hiperbólico

20. 19

APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL
Sea �:??????
�
→??????
(�,�)→??????=�(�,�)
Donde T es la temperatura distribuida sobre una placa, y T=k, entonces obtenemos las
cruvas de nivel ??????=�(�,�), denominadas ISOTERMAS, que significa que en cualquier
punto placa la temperatura es constante.
Sea �:??????
�
→??????
(�,�)→??????=�(�,�)
Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces
obtenemos las curvas de nivel ??????=�(�,�), denominadas CURVAS EQUIPOTENCIALES,
que significa que en cualquier punto de la placa el potencial eléctrico es constante.
Sea �:??????
2
→??????
(�,�)→??????=�(�,�)
Donde P es la presión distribuida sobre una placa, y P=k, entonces obtenemos las
curvas de nivel ??????=�(�,�), denominadas CURVAS ISOBÁRCIAS, que significa que en
cualquier punto de la placa la presión es constante.
(�,�,�)→??????=�(�,�,�)Sea �:??????
3
→??????

Donde T es la presión distribuida sobre una placa, T=k, entonces obtenemos las
superficies de nivel ??????=�(�,�,�), denominadas ISOTERMAS, que significa que en
cualquier punto de la superficie la temperatura es constante.
Sea �:??????
�
→??????
(�,�,�)→??????=�(�,�,�)
Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces
obtenemos las superficies de nivel ??????=�(�,�), denominadas SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES, que significa que en cualquier punto de la superficie el potencial
eléctrico es constante.
Sea �:??????
3
→??????
(�,�,�)→??????=�(�,�,�)

21. 20

Donde P es la presión distribuida sobre una superficie, y P=k, entonces obtenemos las
superficies de nivel ??????=�(�,�), denominadas SUPERFICIES ISOBÁRCIAS, que significa
que en cualquier punto de la superficie la presión es constante.

EJERCICIOS
 El potencial eléctrico en un punto (�,�), es ??????(�,�) voltios y está dado por:
??????(�,�)=−�
2
+3�−6
Dibuje las curvas equipotenciales de V para 5, 10, 15 voltios.
Solución ??????(�,�)=??????, entonces
??????=−�
2
+3�−6, es decir
�=
�
2
+6+??????
3
Que representa una familia de parábolas:



 La presión de un gas en un punto (�,�,�), del espacio tridimensional en
atmósferas está dado por:

??????(�,�,�)=
4�
2
+2�
2
�

Describa y represente gráficamente las superficies isobáricas para 2, 4, 6
atmósferas.
??????(�,�,�)=??????, entonces

22. 21

??????=
4�
2
+2�
2
�
, es decir
�=
4�
2
+2�
2
??????
que representan una familia de paraboloides elípticos,
Si ??????=2 ??????�??????. →�=2�
2
+�
2

Si ??????=4 ??????�??????. →�=�
2
+
1
2
�
2

Si ??????=6 ??????�??????. →�=
2
3
�
2
+
1
3
�
2

23. 22

BIBLIOGRAFÍA
 ESPINOZA RAMOS, E. Análisis Matemático III. 3ra ed. Lima: Edit. Servicios
Gráficos JJ. 2010. (pag 297 – 320)
 LEITHOLD, L. El Cálculo. 7 ed. México: Litográfica Eros, S.A. de C.V. 2003 (pag
917- 940)
 CHÁVEZ, L. Análisis Matemático II. Teoría y Ejercicios. Riobamba. 2013