Curvas Y Superficies En El Espacio

1. Curvas y superficies en el espacio
J.C. Remiro

2. Puntos de vista de estudio
Geometría sintética
Demócrito y Eudoxo (método de exhausción)
Geometría analítica
Jakob Bernoulli
Geometría no euclídea
Nikolái Lobachevski, Euler y János Bolyai

3. Definición de curva
Se denomina curva
del espacio al
conjunto de puntos
P(f(t),g(t),h(t)) dando
todos los valores
posibles a t y siendo
f(t), g(t) y h(t)
funciones continuas.
j

O
i

k
 P(f(t),g(t),h(t))

4. Definición de superficie
Se denomina
superficie del espacio
al conjunto de puntos
P(f(t,s),g(t,s),h(t,s))
que se obtienen
dando a t y s todos
los posibles valores y
siendo f, g y h,
funciones continuas.
P(f(t,s),g(t,s),h(t,s))

5. Coordenadas en el espacio
Dependiendo de los elementos utilizados para
definir un punto en el espacio dispondremos
de diferentes caracterizaciones de curvas y
superficies
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas

6. Coordenadas cartesianas
La posición de un
punto en el espacio
queda determinada
en coordenadas
cartesianas por la
abcisa x, la
ordenada y y la
altura (cota) z.
j

O
i

k

P(x,y,z)
x
y
z

7. Coordenadas cilíndricas
Un punto queda
determinado por la
longitud de la
proyección del
radiovector sobre el
plano XY, el ángulo
que forma con el eje X
la proyección del
radiovector sobre el
plano XY y la distancia
con signo desde el
punto P al plano XY.
Y
P(r, ,z)

X
Z

z

8. Coordenadas esféricas
Un punto queda
determinado por la
longitud del punto al
origen de
coordenadas, el
ángulo (longitud) J

y
el ángulo (colatitud)
e.
Y
P(r, P, ,)

X
Z
Z
z
z

9. De coordenadas cartesianas a cilíndricas
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
+=
=
zz
y
x
arctg
yxr
zrP aa
22
),,(
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
=
zz
rseny
rx
zyxP a
acos
),,(
O
P(x,y,z)
x
y
z
A
P
z
B
r
C
ï
î
ï
í
ì
==
==
==
zOCz
rsenOBy
rOAx
a
acos

10. De coordenadas cartesianas a esféricas
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
++=
=
2
),,(
22
222
yx
arctg
x
y
arctg
zyxr
rP
q
fqf
ï
î
ï
í
ì
=
×=
×=
=
q
fq
fq
cos
cos
),,(
rz
senrseny
senrx
zyxP
O
P(r, P, ,)
x
y
z
A
P
z
B
r
C
C
C
OP
z
=r·sen=

11. Algunos tipos de superficies

12. Superficies cilíndricas
Una superficie
cilíndrica se
encuentra formada
por los puntos que
pertenecen a todas
las rectas
(generatrices r) que
cortan a una curva
(directriz d) y tienen
por dirección la de
un vector (vector
direccional v) no
nulo.
j

O
i

k

x
y
z
r
d
V = (v
1
,v
2
,v
3
)

13. Superficies cilíndricas: ec.paramétricas
( )
321,,vvv
Vector direccional
Ecuaciones de la directriz
( ))(),(),( thtgtf
Ecuaciones paramétricas de la
superficie
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
+=
3
2
1
)(
)(
)(
kvthz
kvtgy
kvtfx
(f(t),g(t),h(t))
j

O
i

k

x
y
z
r
(x,y,z)
d
V = (v
1
,v
2
,v
3
)

14. Superficies cónicas
Una superficie
cónica se
encuentra formada
por todos los
puntos de las
rectas
(generatrices) que
pasan por un punto
fijo (vértice) y
cortan a una curva
(directriz)
j

O
i

k

x
y
z
d

15. Superficies cónicas: Ec. paramétricas
( )
321,,ppp
Vértice
Ecuaciones de la directriz
( ))(),(),( thtgtf
Ecuaciones paramétricas de la
superficie
ï
î
ï
í
ì
-+=
-+=
-+=
))((
))((
))((
33
22
11
pthkpx
ptgkpy
ptfkpx
j

O
i

k

x
y
z
d (f(x),g(x),h(x))
(p
1
,p
2
,p
3
)
(x,y,z)

16. Podemos deducir la
ecuación de una esfera
de centro el origen de
coordenadas resolviendo
el siguiente problema
métrico:
La esfera
La esfera es el lugar
geométrico de los puntos del
espacio que equidistan de
otro denominado centro.
RzyxOPOPd =++==
222
)(

17. Gracias …

18. Recursos externos utilizados
La música de fondo es la canción “enjoyit” del
albúm “Point of no return” de Roger Subirana,
disponible en Jamendo bajo licencia “creative
commons”.
Las imágenes de la diapositiva 11 son del
fondo libre de fotografías del site
www.pixelperfectdigital.com.
La nube de palabras de la diapositiva 17 se ha
realizado utilizando el site www.wordle.net