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educacion

1. UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Y LAS NTIC. UNA ESTRATEGIA DE FORMACIÓN PERMANENTE.
Mariela Sarmiento Santana
ISBN: 978-84-690-8294-2 / D.L: T.1625-2007





Capítulo 2


Enseñanza y Aprendizaje



Este capítulo asienta la base teórica que nos permite explicar los procesos de
e-a que hemos visto y/o experimentado para ello exponemos las relaciones con
las NNTT y hacemos especial énfasis en la e-a de las Matemáticas, esto nos
permite adoptar acciones adecuadas al pasar a ser observadores participantes.

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2.1 Conceptualización General
2.1.1 Teorías del Aprendizaje.
2.1.2 Teorías de la Enseñanza.
2.1.3 Consideraciones en la Planificación de la
Enseñanza
2.1.4 Programas Informáticos y Teorías de
Aprendizaje.
2.2 Enseñanza y Aprendizaje de las
Matem
áticas

2.2.1 Principios de la Enseñanza de las
Matemáticas.
2.2.2 Tipos de Aprendizaje Matemático.
2.2.3 Tópicos de interés Matemático.
2.2.4 Matemáticas y NNTT.

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2.1 Conceptualización General


2.1.1 Teorías del Aprendizaje
Diversas teorías hablan del comportamiento humano, las teorías sobre el
aprendizaje tratan de explicar los procesos internos cuando aprendemos, por ejemplo,
la adquisición de habilidades intelectuales, la adquisición de información o conceptos,
las estrategias cognoscitivas, destrezas motoras o actitudes.
Por ejemplo, el
conductismo se basa en los estudios del aprendizaje mediante
condicionamiento (teoría del condicionamiento instrumental) y considera innecesario el
estudio de los procesos mentales superiores para la comprensión de la conducta
humana. Uno de sus representantes es Skinner, quien describe cómo los refuerzos
forman y mantienen un comportamiento determinado.
En las últimas décadas, la investigación psicológica ha mostrado mayor
atención por el papel de la cognición en el aprendizaje humano, así el reduccionismo
conductista da paso a la aceptación de procesos cognitivos causales, se libera de los
aspectos restrictivos y el sujeto pasivo y receptivo del conductismo se transforma en
un procesador activo de información. A finales del siglo XX, otros investigadores
siguen criterios eclécticos en sus ensayos, no se sitúan propiamente en alguno de
estos polos: conductista o cognoscitivista y así surgen enfoques de estos dos
pensamientos psicológicos.
En la corriente constructivista, el sujeto adquiere el conocimiento mediante un
proceso de construcción individual y subjetiva, por lo que sus expectativas y su
desarrollo cognitivo determinan la percepción que tiene del mundo. En este enfoque se
destaca la teoría psicogenética de Piaget, el aprendizaje significativo de Ausubel
y la
teoría del procesamiento de la información de Gagné.
El enfoque sociocultural, cuyo origen lo ubicamos en las ideas del psicólogo
ruso Lev Semionovitch Vygotski
(1836-1934), se refiere al origen social de los
procesos psicológicos superiores. Este nivel histórico-cultural justifica “los cambios
producidos en los procesos mentales humanos, como consecuencia de la aparición de
transformaciones en la organización social y cultural de la sociedad”, como afirma De
Pablos (1998, 462).

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ASPECTOS
DIFERENCIALES

CONDUCTISMO
Supuestos
Teóricos
Modelo E-R y
reflejos
condicionados
Modelos de
procesamiento de
la información
Teoría constructivista
del conocimiento
Conocimiento
Respuesta pasiva
y automática a
estímulos
externos
Representaciones
simbólicas en la
mente del
aprendiz
Construcción individual
por interacciones entre
sujeto y objeto
Aprendizaje por Asociación Transmisión Reestructuración
Construcción del
Aprendizaje
La experiencia
produce errores
en la comprensión
de la realidad
El alumno
necesita muchas
experiencias
A través de la
experiencia
Contenidos de
Aprendizaje
Preespecificados Preespecificados
Rechazan la
preespecificación
Contexto de
Aprendizaje
Ambientalista
(Aprendizaje
controlado)
Reales y permiten
aislarse
(Aprendizaje por
instrucción)
Realistas (Aprendizaje
por experiencia)
Estrategias de
Aprendizaje Son controladas
por el ambiente
Unas son
específicas y otras
son consensuadas
Individuales y
personales. Los
alumnos controlan su
propia instrucción
Aprendizaje
Activo y
Colaborativo Aprendizaje
pasivo y no
negociado
Aprendizaje activo
y no
necesariamente
negociado
Aprendizaje activo y
negociado
Metodología de
estudio
Métodos
objetivos:
observación y
experimentación
Técnicas de
análisis de tareas
Métodos: histórico
crítico, de análisis
formal y Psicogenético
Evaluación
En función de los
objetivos
terminales
Considera su
separación del
contexto
Evaluación dentro del
contexto
Sujeto
Pasivo Activo Dinámico
Interpretación
personal

Otros deciden lo
que el alumno
debe saber
La estructura del
aprendizaje no es
única
Cada alumno tiene una
interpretación personal
Cuadro 2.1: Diferencias teóricas entre los enfoques: Conductismo, Cognitivismo y
Constructivismo. Elaboración propia.

Capítulo 2 33

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 34

A.A. Teoría Conductista TeoríaConductista

El conductismo parte de una concepción empirista del conocimiento, su
mecanismo central del aprendizaje es el asociacionismo, se basa en los estudios del
aprendizaje mediante condicionamiento (la secuencia básica es la de estímulo-
respuesta) y considera innecesario el estudio de los procesos mentales superiores
para la comprensión de la conducta humana.
El conductismo se preocupa por usar el método científico (en sentido
restrictivo) y considera que sólo se debe hablar de los aprendizajes observables y
medibles objetivamente (Marqués y Sancho, 1987).
Algunos de sus representantes son Ivan Pavlov (1849-1936), John Watson
(1878-1958), Edwin Guthier (1886-1959), Edward Thorndike (1847-1949), Skinner
(1904-1994) y Neal Miller (1909).
Watson estudió la conexión entre el estímulo (E) y la respuesta (R), él y sus
seguidores “mantienen que el aprendizaje era el resultado de un acondicionamiento
clásico, es decir, formar nuevas conexiones E-R a través del mismo condicionamiento”
(Silva y Avila, 1998, 26).
El conductismo de Skinner está formado por tres elementos fundamentales:
estímulo discriminativo, respuesta operante y estímulo reforzante. Skinner ejerce gran
influencia en el campo educativo al proponer el modelo de la enseñanza programada
que, con el auge de la computadora, recorre nuevas perspectivas.
En la esencia de la enseñanza programada subyace la concepción del
aprendizaje como creación de asociaciones. Actualmente es poco aceptada pero la
práctica y la repetición como base del aprendizaje de destrezas es un principio
reconocido, por supuesto no se debe basar en él toda la enseñanza pues caeríamos
en un reduccionismo insostenible en el tiempo por no reconocer los procesos mentales
del pensamiento. Más bien se deben aplicar a problemas particulares del aprendizaje
de destrezas sencillas (ortografía, pronunciación, cálculo, reconocimiento visual, etc.)
en áreas académicas específicas, es decir, “ocupando un papel conocido y limitado en
el contexto de aprendizaje global del alumno” (Bartolomé, 1999, 121).
En la obra de Skinner se fundamentan algunos materiales de enseñanza
formados por pequeñas unidades de información que requieren una respuesta activa
del usuario y quien a su vez obtiene feedback de inmediato (Gros, 2000).

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Estos materiales poseen un carácter elementalista y atomista, donde toda
conducta es reducible a una serie de asociaciones entre elementos simples, como
estímulo-respuesta, muchos presentan frases que recompensan las respuestas
correctas, aunque para Skinner, el reforzamiento no depende necesariamente de la
noción de recompensa, si se quiere que el individuo dé una determinada respuesta
hay que enfrentarlo a ciertas condiciones estimulantes que la provoquen.
Entre los programas de enseñanza tenemos los de ejercitación y los tutoriales,
los cuales son satisfactorios para tareas de aprendizaje memorístico y algorítmico pero
no fomentan la comprensión, de ellos estaremos hablando en la próxima sección.
Con estos programas, “los individuos aprenden mediante un proceso de
ensayo-error, hábilmente dirigido por medio de una serie de refuerzos positivos (o
negativos) y la repetición pertinente” (Marqués y Sancho, 1987), o sea que estos
programas tienen la función de reforzadores pues nos presentan situaciones o casos
que con su ocurrencia permiten que una conducta se repita o sea evitada.
Para el conductismo el aprendizaje es un cambio relativamente
permanentemente de la conducta que se logra mediante la práctica y con la
interacción recíproca de los individuos y su ambiente, lo cual se logra a través de los
programas de adiestramiento y los tutoriales pues son diseñados en términos de una
práctica guiada y presentan un feedback que contribuye a reforzar destrezas
específicas.
A mitad del siglo pasado, las múltiples anomalías empíricas y factores externos
como las nuevas tecnologías cibernéticas y las Teorías de la Comunicación y de la
Lingüística hacen que el paradigma conductista entre en crisis y sea sustituido por el
procesamiento de información que apoyándose en la metáfora del ordenador, hace
posible el estudio de los procesos mentales que el conductismo marginaba. De esta
forma se entra en un nuevo periodo de ciencia normal, bajo el dominio de la psicología
cognitiva, que llega hasta nuestros días.





Capítulo 2 35

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B.B. Teoría Cognitivista TeoríaCognitivista
En la tradición asociacionista las ideas se enlazan y para aprender una nueva
idea se requiere contigüidad de las impresiones sensoriales (combinación de ideas
sencillas para formar la nueva idea) y repetición. Esto fue cambiando a medida que se
sucedían adelantos en la psicología del aprendizaje, por ejemplo, la asociación, que
para Gagné (1979, 6) “es la forma más sencilla de las capacidades aprendidas, y que
constituye el fundamento de otros tipos más complejos de esas mismas capacidades”,
pasó de relación entre ideas a enlaces entre estímulos y respuestas.
La distinción básica entre las corrientes conductista y cognitivista radica en la
forma en que se concibe el conocimiento. Para el conductismo, el conocimiento
consiste fundamentalmente en una respuesta pasiva y automática a estímulos
externos del ambiente. El cognitivismo considera el conocimiento básicamente como
representaciones simbólicas en la mente de los individuos.
El enfoque cognitivo se interesa en cómo los individuos representan el mundo
en que viven y cómo reciben de él la información. Desde Emmanuel Kant (1725-1804),
quien argumentaba “que toda la experiencia humana concierne a representaciones y
no a las cosas por si mismas” (Gallego-Badillo, 1997, 35), Toulmin (1977) quien se
refería a la representación comunitaria o “Darstellum” hasta Gallego-Badillo (1997),
para quien el individuo es copia de la sociedad a la cual pertenece, las
representaciones permiten incorporar los conceptos científicos a la estructura
conceptual, no a través de la memorización sino al aprender a representar con ellos lo
que la sociedad quiere significar según unas técnicas que ha elaborado.
Para la Psicología Cognitiva la acción del sujeto está determinada por sus
representaciones y “antes de que un comportamiento inteligente se ejecute
públicamente, ha sido algoritmizado en la interioridad del individuo”, Gallego-Badillo
(1997, 37). Esta concepción del ser humano como procesador de información, utiliza la
metáfora computacional para comparar las operaciones mentales con las informáticas.
Así, las representaciones, construidas por la inteligencia, son organizadas por
el sujeto en estructuras conceptuales, metodológicas y actitudinales, donde se
relacionan entre sí significativamente y en forma holística, permitiéndole al sujeto que
vive en comunidad, sostener permanentemente una dinámica de contradicciones entre
sus estructuras y las del colectivo para, por ejemplo, tomar sus propias decisiones,
expresar sus ideas, etc.

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Se ha hecho hincapié en el papel de la atención, la memoria, la percepción, las
pautas de reconocimiento y el uso del lenguaje en el proceso del aprendizaje, es por
ello que el cognitivismo, presenta una gran variedad de formas
y a continuación
enumeramos algunas de ellas, las citadas frecuentemente, para el desarrollo de esta
corriente psicológica.
Aprendizaje por descubrimiento
En las primeras formas de aprendizaje del lenguaje del niño, el padre o la
madre extienden sus elocuciones de tal manera que concuerden con su gramática y
no permiten al niño que descubra pues le presentan constantemente un modelo,
respecto a ello Bruner (1974, 122) acota;
“Dentro de la cultura, la primera forma de aprendizaje esencial para que una persona
llegue a considerarse humana no es el descubrimiento, sino tener un modelo. La
presencia constante de modelos y la respuesta constante a las respuestas sucesivas
del individuo, en un intercambio continuo de dos personas, constituye el aprendizaje
por descubrimiento orientado por un modelo accesible”.
En el aprendizaje por descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su
forma final, sino que debe ser reconstruido por el alumno al seguir o no un modelo,
antes de ser aprendido e incorporado significativamente en su estructura cognitiva.
Otros autores manifiestan sus puntos de vista acerca del aprendizaje por
descubrimiento, entre ellos tenemos:
Glaser (1974) se interesa por los datos y las especificaciones del desarrollo de
procedimientos y materiales en el aprendizaje por descubrimiento. Su plan de
operación contempla las siguientes tareas:
Analizar la conducta y especificar un modelo tomando en cuenta las diferencias
individuales. Son importantes las características de la clase, el estímulo, la
respuesta y las características estructurales del contenido junto con los
repertorios conductuales pues determinan lo que se quiere enseñar y la manera
de hacerlo.
Especificar las características de los estudiantes antes de la instrucción o al inicio
del aprendizaje, en cuanto a: cómo ha adquirido algunos temas, la medida en
que interfiere el aprendizaje anterior con el nuevo, si el estudiante es capaz de
hacer las discriminaciones sensoriales y las aptitudes que se requieren al inicio
del aprendizaje.

Capítulo 2 37

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Con la información preinstruccional y la ejecución final, orientar al alumno en el
paso de un estado de desarrollo a otro por sí mismo y prever los efectos
motivacionales para mantener o extender la aptitud que se trata de enseñar.
Por último se prepara para medir y evaluar la naturaleza de la competencia lograda por el alumno en relación con criterios de ejecución.
En el aprendizaje por descubrimiento se trata de «descubrir» una regla,
concepto o asociación que se ha enseñado (un fin), lo cual es diferente al método de descubrimiento (un medio). En una secuencia de aprendizaje por descubrimiento interviene la inducción (ir de lo particular a lo general), se verifica si al verbalizar la
propiedad general o al dar otro ejemplo, el alumno tiene dominio, o sea, la proposición
general es la estructura que se descubre (Glaser, 1974). En cambio Shulman y Keislar
(1974, 41) acotan que “el proceso de descubrimiento puede ser el resultado de
enseñanzas tanto inductivas como deductivas”.
En este tipo de aprendizaje hay poca probabilidad de respuestas correctas,
más bien se aprende por ensayo y error, con casos negativos, etc., es por ello que
para Wittrock (1974) el descubrimiento no es un camino idóneo si se mide en términos
de retención, transferencia, actividad y tiempo.
También Wittrock (1974) sostiene que el aprendizaje por descubrimiento es un
fin en sí mismo; es decir, producir la capacidad de descubrir es importante y para ello
si se acompaña con información verbal una práctica de descubrimiento puede dar
mejores resultados,
“Al enseñárseles a resolver problemas, a comportarse de manera inductiva y científica
y a trascender los datos, se ayuda al estudiante a convertirse en persona madura.[...]
Es un fin importante por sí mismo; merece atención, y los estudiantes deben tener
práctica en descubrir respuestas por sí mismos. Se debe aprender a producir, y no a
reproducir, respuestas y conocimientos” (Ibíd., 50).
Para los que no están a favor, digámoslo así, el aprendizaje por descubrimiento
es un método donde lo esencial es obtener provecho de las experiencias de otros para
no perder tiempo o para no desfallecer al intentar resolver los problemas, en este caso
Glaser (1974, 28), apunta que el uso del método de descubrimiento “se reduce a la
imposición de una secuencia instructiva estructurada, con el fin de obtener una
secuencia relativamente carente de guía, a la cual el individuo agrega su propia
estructura”.

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Capítulo 2 39

Aprendizaje como procesamiento de información
Para Gagné (1979, 2), “el aprendizaje es un cambio en las disposiciones o
capacidades humanas, que persiste durante cierto tiempo y que no es atribuible
solamente a los procesos de crecimiento”.
El procesamiento de información defiende la interacción de las variables del
sujeto y las variables de la situación ambiental en la que está inmerso, ya no es un
sujeto pasivo y receptivo (conductismo), ahora se transforma en un procesador activo
de la información.
En este enfoque se concibe al ser humano como procesador de información
basándose en la aceptación de la analogía entre la mente humana y el funcionamiento
de las computadoras. Para ello indaga cómo se codifica la información, transforma,
almacena, recupera y se transmite al exterior.
Los principios de la teoría de Gagné se basan en el modelo de procesamiento
de información. El modelo señala que un acto de aprendizaje consta de fases: se inicia
con la estimulación de los receptores, posee fases de elaboración interna y finaliza con
retroalimentación que acompaña a la ejecución del sujeto, esta estimulación externa
(condiciones externas) apoyan los procesos internos y favorecen el aprendizaje
(Gagné, 1979).
Este modelo explica como, de manera intencional, se puede orientar el
aprendizaje hacia metas específicas y por lo tanto planificarlo, incluyendo la
adquisición de aptitudes. El principio básico es la planificación de la educación con
base en el análisis de la tarea, desde una clase o curso hasta una carrera completa.
Gagné pretende ofrecernos un fundamento al momento de planificar la instrucción y
para ello toma del conductismo los refuerzos y el análisis de tareas, de Ausubel toma
la motivación intrínseca y le da importancia al aprendizaje significativo y toma
elementos de las teorías del procesamiento de información para explicar las
condiciones internas (Gros, 1997). En el Cuadro 2.2 hacemos un resumen de los
lineamientos del aprendizaje desde la teoría de Gagné.

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AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE EENN LLAA TTEEOORRÍÍAA DDEE GGAAGGNNÉÉ
FASES
PROCESO
DESCRIPCIÓN
PAPEL DEL PROFESOR
INSTRUCCIÓN
MOTIVACIÓN
Expectativa
Deseo del sujeto por alcanzar una
meta.
Verifica si existe motivación
del sujeto y si no, la provoca.
Explicar el objetivo.
COMPRENSIÓN
Atención
El sujeto debe recibir algún
estímulo a ser codificado y
guardado en su memoria.
Usa distintas estrategias para
despertar o mantener la
atención.
Cambios en ritmo o
tono de voz.
ADQUISICIÓN
Cifrado
El sujeto reconstruye la información para almacenarla en la memoria.
Alentar al alumno.
Usar esquemas y pequeños grupos.
RETENCIÓN
Acumulación
La información ya codificada se almacena en memoria a largo
plazo.
Repasos espaciados,
motivarlos a crear esquemas.
Proporcionar práctica.
RECUPERACIÓN
Recuerdo
Se evoca la información retenida cuando se necesita.
Da indicaciones para favorecer el recuerdo.
Ejercicios y preguntas
GENERALIZACIÓN
Transferencia
Se aplican los conocimientos
aprendidos y recordados a nuevas
situaciones.
Favorece el uso de principios
y reglas que ayudan en la
transferencia.
Discusiones, tareas
de resolución de
problemas.
EJECUCIÓN
Respuesta
Actúa el generador de respuesta y
permite al alumno la práctica de lo
aprendido.
Comprueba que el
aprendizaje es satisfactorio.
Explicar la respuesta
deseada.
RETROALIMENTACIÓN Afirmación El sujeto recibe feedback.

Confirma el aprendizaje,
verbalmente o con señales.
Evaluar y
proporcionar ajustes.
Cuadro 2.2: Aprendizaje en la Teoría de Gagné. Elaboración propia con datos obtenidos en Gros (1997).

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Aprendizaje como actividad

El aprendizaje es un proceso individual que se inicia aún antes del nacimiento y
que continua de por vida y de manera progresiva. El sujeto se involucra integralmente
en su proceso de aprendizaje (con sus procesos cognoscitivos, sus sentimientos y su
personalidad).
El aprendizaje, según Serrano (1990, 53), es un proceso activo “en el cual
cumplen un papel fundamental la atención, la memoria, la imaginación, el
razonamiento que el alumno realiza para elaborar y asimilar los conocimientos que va
construyendo y que debe incorporar en su mente en estructuras definidas y
coordinadas”.
Hablamos del aprendizaje como actividad, donde el individuo aprende
espontáneamente y su pensamiento está constituido por un juego de operaciones
interconectadas, vivientes y actuantes y no por una colección de contenidos, de
imágenes, ideas, etc; y el maestro debe interpretar los contenidos en función de estas
operaciones que son la base de las nociones que se propone enseñar.
El niño aprende en forma natural basado en el descubrimiento al principio de su
vida, es por ello que esos conocimientos perduran, en cambio en la escuela gran parte
del conocimiento está tamizado por el docente quien debe motivar al niño al momento
de la instrucción. Cuando el niño aprende a través de sus propias vivencias, de su
actividad y más si las situaciones que se le presentan son significativas para él surge
el aprendizaje de manera espontánea sin necesidad de motivación extrínseca.
El aprendizaje activo implica interacción con el medio y las personas que
rodean al niño, puede hacerse en forma individual o en grupo y supone cooperación
y/o colaboración. Estas interacciones provocan en el niño experiencias que modifican
su comportamiento presente y futuro, porque las disposiciones conductuales y el
ambiente no son entidades separadas, lo que ocurre es que cada una de ellas
determina la actuación del ambiente (Bandura, 1982).
Los determinantes personales y el ambiente son potencialidades que no
operan a menos que sean activadas. En las interacciones sociales, la conducta de
cada individuo regula cuáles aspectos de su repertorio potencial puede expresar y
cuáles no. Por su puesto, la conducta no es el único determinante de posteriores
acontecimientos, también lo son las limitaciones situacionales, los roles, etc.

Capítulo 2 41

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Cuando el sujeto va aprendiendo se hace capaz de realizar transformaciones
en su medio a través de una relación dialéctica y a medida que éstas ocurren, el sujeto
aprende cada vez más, así las actividades socializadas son positivas sobre las
operaciones intelectuales pues producen conflictos, posiciones divergentes y nuevos
problemas que deben ser solucionados, lo cual implica que el grupo conserve sus
diferencias una vez justificados los puntos de vista de cada integrante.
Aprendizaje significativo
Para Ausubel, es el aprendizaje en donde el alumno relaciona lo que ya sabe
con los nuevos conocimientos, lo cual involucra la modificación y evolución de la
nueva información así como de la estructura cognoscitiva envuelta en el aprendizaje y
según Serrano (1990, 59), aprender significativamente “consiste en la comprensión,
elaboración, asimilación e integración a uno mismo de lo que se aprende”. El
aprendizaje significativo combina aspectos cognoscitivos con afectivos y así
personaliza el aprendizaje. Nos comentan Ausubel y otros (1997, 17), que:
"Todo el aprendizaje en el salón de clases puede ser situado a lo largo de dos
dimensiones independientes: la dimensión repetición-aprendizaje significativo y la
dimensión recepción-descubrimiento. En el pasado se generó mucha confusión al
considerar axiomáticamente a todo el aprendizaje por recepción (es decir, basado en la
enseñanza explicativa) como repetición, y a todo el aprendizaje por descubrimiento
como significativo”.
En la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, se presupone la
disposición del alumno a relacionar el nuevo material con su estructura cognoscitiva en
forma no arbitraria (es decir, que las ideas se relacionan con algún aspecto existente
en la estructura cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya
significativo, un concepto o una proposición) y si además, la tarea de aprendizaje en sí
es potencialmente significativa tendríamos que cualquiera de los dos tipos de
aprendizaje mencionados, pueden llegar a ser significativos.
Ausubel hace una fuerte crítica al modelo de descubrimiento autónomo, señala
que el aprendizaje receptivo es el más común y destaca la necesidad de crear
inclusores en la estructura cognitiva de los alumnos a los cuales puedan incorporarse
las nuevas informaciones relevantes. Introduce la técnica de los mapas conceptuales
con el fin de evidenciar los esquemas previos de los alumnos y la acción del
aprendizaje en la modificación de estos esquemas. No logra solucionar el problema de
la persistencia de los errores conceptuales pero busca, entre otros aspectos, romper

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con el tradicionalismo memorístico, por lo cual argumenta que requerirán el diseño de
actividades para comprenderlos, relacionarlos y reforzarlos (Nieda y Macedo, 1997).
Ausubel y otros (1997) señalan tres tipos de aprendizajes, que pueden darse
en forma significativa, éstos son:
 Aprendizaje de Representaciones:
Es el aprendizaje más elemental, que se da cuando el niño adquiere el
vocabulario. Consiste en la atribución de significados a determinados símbolos al
igualarlos con sus referentes (objetos, por ejemplo). El niño primero aprende
palabras que representan objetos reales con significado para él aunque no los
identifica como categorías.
 Aprendizaje de Conceptos:
Los conceptos se definen como objetos, eventos, situaciones o propiedades que
se designan mediante algún símbolo o signos (Ausubel y otros, 1997). El niño, a
partir de experiencias concretas, comprende que la palabra "pelota" pueden
usarla otras personas refiriéndose a objetos similares.
Los conceptos son adquiridos a través del proceso de formación (las
características del concepto se adquieren a través de la experiencia directa, por
ejemplo, el niño aprenda el concepto de "pelota" a través de varios encuentros
con su pelota y las de otros niños) y de asimilación (se produce a medida que el
niño usa las combinaciones disponibles en su estructura cognitiva, por ejemplo,
el niño podrá distinguir distintos colores, tamaños y texturas y reconocer que se
trata de una "pelota").
 Aprendizaje de Proposiciones:
Exige captar el significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones,
las cuales se obtienen cuando el alumno forma frases que contienen dos o más
conceptos, este nuevo concepto es asimilado al integrarlo en su estructura
cognitiva con los conocimientos previos. Dicha asimilación puede hacerse por:
diferenciación progresiva (cuando el concepto nuevo se subordina a conceptos
más inclusores ya conocidos por el alumno), por reconciliación integradora
(cuando el concepto nuevo es de mayor grado de inclusión que los conceptos
que el alumno ya conocía) y por combinación (cuando el concepto nuevo tiene la
misma jerarquía que los conocidos).

Capítulo 2 43

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C.C. Teoría Constructivistaa TeoríaConstructivist
Esta perspectiva es organicista y estructuralista, como acota De Pablos (1998
460), “donde lo fundamental es analizar los cambios cualitativos generados en la
organización de las estructuras cognitivas como consecuencia de la interacción entre
éstas y los objetos a los que se aplica”. Con frecuencia, se le considera una teoría
cognitiva, pues postula la existencia de procesos mentales internos, además tiene
algunos otros aspectos en común con esta teoría, a pesar de las diferencias señaladas
en el Cuadro 2.1, una de ellas se refiere a que el aprendizaje está centrado en el
alumno y esto lo podemos apreciar en los puntos de vista que exponen algunos de sus
seguidores, como lo son Piaget, Vygotsky y el grupo de la Escuela de la Gestalt.
Para Piaget y sus discípulos el aprendizaje es una construcción del sujeto a
medida que organiza la información que proviene del medio cuando interacciona con
él, que tiene su origen en la acción conducida con base en una organización mental
previa, la cual está constituida por estructuras y las estructuras por esquemas
debidamente relacionados. La estructura cognitiva determina la capacidad mental de
la persona, quien activamente participa en su proceso de aprendizaje mientras que el

docente trata de crear un contexto favorable para el aprendizaje.
La idea fundamental de los trabajos de Piaget son las estructuras mentales,
que básicamente se refieren a la construcción de una organización intelectual que guía
la conducta del individuo, aunque Piaget prefiere el concepto de esquema debido a lo
rígido, estático y automático del primer concepto. Todos los esquemas surgen de la
asimilación recíproca de las estructuras y la acomodación a la realidad exterior. A
juicio de Gallego Badillo (1997, 155),
“Todos los esquemas forman una totalidad y son los organizadores de las sensaciones
y las percepciones, a las que les confiere sentido. Hay esquemas para la percepción,
para el razonamiento y para la acción, en ese integrado holístico. Cada uno es la
cristalización de procesos y actividades funcionales en los que priman tendencias
opuestas hacia la asimilación y la acomodación, hasta alcanzar el equilibrio”.
Hay acomodación cuando sobreviene una modificación de los esquemas de
asimilación debido a situaciones externas (acomodación implica asimilación y
viceversa). Pese a la construcción de nuevos elementos, la estructura se conserva, la
acomodación y la asimilación tienden al equilibrio.
Según Gutiérrez (1984, 9), “Piaget afirma que no todas las estructuras están
presentes en todos los niveles de desarrollo intelectual del individuo sino que se van

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construyendo progresivamente, dependientes de las posi bilidades operativas de los
sujetos”. Así, distingue Piaget 3 períodos psicoevolutivos: Período sensorio-motriz (el
niño organiza su universo desarrollando los esquemas del espacio, tiempo, objeto
permanente y de la causalidad), período de la inteligencia representativa (formado por
dos sub períodos: preoperatorio y operaciones concretas), período de las operaciones
formales (el sujeto no se limita a organizar datos sino que se extiende hacia lo posible
y lo hipotético).
Entre los aportes de la teoría piagetiana, según Silva y Ávila (1998, 34),
tenemos:

“El desarrollo intelectual es un caso particular del crecimiento.
 La actividad cognitiva es una instancia particular de la adaptación biológica.
 La estructura es un sistema de transformaciones.
 Aprender es un proceso complejo definido por los limites del crecimiento, la
estructura cognitiva y la capacidad de cambiar”.
Por su parte, Vygotsky analiza las relaciones entre el individuo y su entorno a
través de cuatro niveles: el nivel ontogenético (transformaciones del pensamiento y la
conducta como consecuencia de la evolución personal), el nivel de desarrollo
filogenético (relativo a la herencia genética de la especie humana), el nivel
sociocultural (referido a la evolución de la cultura en la vida del individuo) y el nivel de
desarrollo microgenético . El enfoque teórico de Vygotsky lo analizamos dentro de la
teoría socio-cultural.
Opuesta al asociacionismo está la tradición gestaltista según la cual la
diversidad de interpretaciones provienen de las experiencias del sujeto y el
aprendizaje adoptaría la forma de una comprensión súbita (insight), o sea, una
reorganización de esa experiencia. Existen cinco leyes que nos llevan a formas
comunes de reorganizar los estímulos, éstas son: Similitud, proximidad, continuidad,
cierre y fondo-forma. Así los datos semejantes, próximos, agrupados en línea, no
completos o con contornos que destacan del fondo, tiende a formar agrupaciones al
momento de la percepción.
Otros importantes investigadores nacionales, también seguidores de este
enfoque, actualmente aportan sus interpretaciones y nos ayudan a involucrarnos
dentro del mismo, entre ellos tenemos a Ríos (1999, 22), para quien el constructivismo
es:

Capítulo 2 45

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“Una explicación acerca de cómo llegamos a conocer en la cual se concibe al sujeto
como un participante activo que, con el apoyo de agentes mediadores, establece
relaciones entre su bagaje cultural y la nueva información para lograr
reestructuraciones cognitivas que le permitan atribuirle significado a las situaciones que
se le presentan”.
Aquí podemos apreciar el énfasis en el desarrollo personal del sujeto, en lo
cual intervienen en primer lugar el mismo sujeto, quien participa en forma activa al
interpretar la realidad que lo rodea para luego proyectar sobre ella los nuevos
significados que construye. Y en segundo lugar, lo hace un agente mediador o la
propia institución educativa como mediadora y facilitadora de la socialización.
En la escuela el niño no siempre va a aprender las cosas que le interesan, sino
lo planificado por el docente, quizás no coincidan, aunque exceptuamos aquellos
centros donde la enseñanza se da por proyectos en cuya planificación el niño
participa. En la escuela básica uno de los aprendizajes consiste, entre otras cosas, en
aprender las reglas durante la interacción educativa (niveles de exigencia, tipo de
comportamiento que debe adoptar, relaciones de subordinación, las referidas al valor
de lo que aprende para la promoción académica, etc.). Éste tipo de conocimiento debe
ser construido de forma individual y grupal, y casi nunca se enseña explícitamente. El
alumno lo va interiorizando, junto a los contenidos, las estrategias adecuadas al
funcionamiento de la institución escolar, etc.
Por ello,
considera Amay (1998) que uno de los aspectos importantes que se
debe destacar en relación al papel del alumnado en la construcción del conocimiento
en primaria es dotar de sentido social, cultural, compartido y situado al acto de
conocer.
Para finalizar queremos enumerar algunos aportes del constructivismo:
 El sujeto filtra lo que le llega del ambiente para producir su realidad individual.
 Los estudiantes construyen interpretaciones personales del mundo, basados
en sus experiencias e interacciones individuales.
 El conocimiento emerge en contextos significativos para el sujeto.
 El modelo constructivista tiene su estructura en el desequilibrio-reordenación-
equilibrio, que le permite a la persona superarse constantemente.
 Se presta atención a los conocimientos previos del alumno.
 Globalización de los aprendizajes, aprendizaje significativo.
 Planificar, controlar y reformular objetivos.
 Posibilidad de generalizar y transferir los conocimientos a otros contextos.
 Crear un clima de empatía, respeto, aceptación mutua y ayuda.

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 46

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Capítulo 2 47

D.D. Teoría Sociocultural TeoríaSociocultural
En el paradigma cognitivo se pretende identificar cómo aprende un individuo y
el paradigma sociocultural se interesa en el para qué aprende ese individuo, pero
ambos enfoques tratan de integrar en las aulas al individuo y al escenario de
aprendizaje.
El constructivismo, al igual que las otras corrientes ya estudiadas, presenta
distintas formas o clasificaciones, una de ellas considera: las teorías con orientación
cognitiva o psicológica y las teorías con orientación social. La segunda de ellas es la
que nos ocupa en este apartado.
En la corriente sociocultural distinguimos a Lev Vygotsky (1896-1934), autor
de: El Desarrollo de procesos psicológicos superiores (1931), Lectura de psicología
escolar (1934) y Pensamiento y Lenguaje (1934), quien es considerado el precursor
del constructivismo social. A partir de él, se han desarrollado diversas concepciones
sociales sobre el aprendizaje que amplían o modifican algunos de sus postulados,
pero la esencia de él aún permanece.
El constructivismo es una teoría del aprendizaje que se basa en el supuesto de
que los seres humanos construyen su propia concepción de la realidad y del mundo en
que viven, la corriente sociocultural sienta sus postulados en la convicción del rol
preponderante que la interacción social tiene en el desarrollo cognitivo.
La actividad del sujeto que aprende supone una práctica social mediada, al
utilizar herramientas y signos para aprender. De este modo el sujeto que aprende por
un lado transforma la cultura y por otro la interioriza. La interiorización o internalización
la define De Pablos (1998, 463) como: “la incorporación al plano individual,
intrapsicológico, de lo que previamente ha pertenecido al ámbito de nuestras
interacciones con los demás”.
En un primer momento, el individuo depende de los demás; en un segundo
momento, a través de la interiorización, adquiere la posibilidad de actuar por si mismo
y de asumir la responsabilidad de su actuar. Es así, como en contextos socio–
culturales organizados, toma parte la mediación cultural a través de la intervención del
contexto y los artefactos socio–culturales y se originan y desarrollan los procesos
psicológicos superiores: la inteligencia y el lenguaje.
La inteligencia es interindividual y cuando el sujeto comienza a socializar con
otros se hace intraindividual (cualquier función del desarrollo cultural del niño aparece

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en dos planos: el social y el psicológico), con lo que adquiere y desarrolla las
funciones mentales superiores, diferentes a las funciones mentales inferiores que son
naturales pues con ellas nacemos. Este es el punto central de distinción entre las
funciones mentales inferiores y superiores, es decir, el individuo no se relaciona sólo
en forma directa con su ambiente, sino que puede hacerlo a través de la interacción
con los demás individuos. Es posible que al hacerlo modifique algunas de sus
destrezas o habilidades y con ello puede modificar su estructura cognitiva.
Hemos resaltado aquí tres de los conceptos fundamentales en la teoría de
Vygotsky: la mediación, la interiorización y las funciones mentales, ahora nos
referimos a la zona de desarrollo próximo (zdp).
La zdp (Vigotsky, 1979, 133):

“No es otra cosa que la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la
capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo
potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un
adulto o en colaboración con otro compañero más capaz”.

Este potencial de aprendizaje (inteligencia potencial), se encuentra presente en
los aprendices que con la ayuda de sus maestros y algunas herramientas externas,
como las nuevas tecnologías, tendrán la posibilidad de construir herramientas internas
para aprender, así, la zdp define funciones que todavía no han madurado pero están
en proceso.
Como el conocimiento y la experiencia de los demás posibilita el aprendizaje
del individuo; entonces debemos procurar que las interacciones con ellos sean ricas y
amplias. La zona de desarrollo próximo, en consecuencia, está determinada
socialmente. Aprendemos con la ayuda de los demás, aprendemos en el ámbito de la
interacción social y esta interacción social como posibilidad de aprendizaje es la zdp.
La zdp es una metáfora en doble sentido: porque aglutina las tesis centrales de
la teoría sociocultural vigotskiana y porque resume su planteamiento relativo a las
relaciones entre cultura, educación y desarrollo psicológico (Hernández, 2000).
Para terminar reiteramos, la inteligencia es producto del aprendizaje y se
desarrolla en un contexto social y cultural determinado y como tal es un sistema
abierto y regulable, donde a través de la mediación adecuada de los adultos se
desarrolla el aprendizaje potencial de los niños.


La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 48

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2.1.2 Teorías de la Enseñanza
La enseñanza es comunicación en la medida en que responde a un proceso
estructurado, en el que se produce intercambio de información (mensajes entre
profesores y alumnos), según Zabalza (1990), mientras que Stenhouse (1991, 53)
entiende por enseñanza las estrategias que adopta la escuela para cumplir con su
responsabilidad de planificar y organizar el aprendizaje de los niños, y aclara,
“enseñanza no equivale meramente a instrucción, sino a la promoción sistemática del
aprendizaje mediante varios medios”.
Para nosotros, la enseñanza es una actividad sociocomunicativa y cognitiva
que dinamiza los aprendizajes significativos en ambientes ricos y complejos (aula, aula
virtual, aula global o fuera del aula), síncrona o asíncronamente.
Con ella manifestamos que la enseñanza no tiene razón de ser si con ella no
se produce un aprendizaje, bien lo expresa Zabalza (1990), la enseñanza adquiere
todo su sentido didáctico a partir de su vinculación al aprendizaje; que no está
confinada al aula ni ocurre sólo por la interacción simultánea de dos personas.
En estos nuevos entornos de enseñanza-aprendizaje, se retoma la polémica
sobre la utilidad de las aportaciones de las diversas teorías de enseñanza-aprendizaje
y se proponen nuevos modelos integradores que incluyan entre sus postulados las
ventajas de cada corriente. En esta línea, De Pablos (1998) propone reflexionar sobre
la incorporación de las nuevas tecnologías al mundo educativo y que su incidencia no
repercuta sólo en la eficiencia en algunas tareas sino que lo haga en diversas
dimensiones humanas pues la influencia de estos medios de enseñanza no se dirige a
estructuras cognitivas concretas sino a su funcionamiento integral.
Desde estos modelos de enseñanza integrados, es posible que veamos al

profesor tomando decisiones, mientras reflexiona en la acción, sobre la manera de
abordar las diversas interacciones que ha de gestionar, organizándose al conocer la
manera de motivar a sus alumnos, tomando en cuenta no sólo los medios informáticos
de que dispone sino sus diferencias individuales, sin que eso signifique transformar su
tarea educativa en una actividad meramente operativa o que los recursos tecnológicos
asuman el rol que a él le corresponde, máxime si no cuenta con todo el apoyo de las
NTIC.
Estaremos propiciando acciones desde la comunidad científica
para que estos
nuevos modelos repercutan en la calidad de la enseñanza, la cual supone una

Capítulo 2 49

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conciencia de las implicaciones de la toma de decisiones y el empleo de la
autoevaluación como medio para reconducir la planificación de forma que se
aproveche el potencial de las situaciones docentes para así proporcionar a los
alumnos experiencias de aprendizajes significativos.
Así lo esperamos porque las decisiones sobre enseñanza no pueden ser sólo
técnicas, pues llevan implícitas opciones de valor, bien lo expresa Ferreres (1999),
cuando indica que los procesos de enseñanza se encuentran penetrados por valores y
por tanto hay que identificar su calidad en los valores intrínsecos de la práctica
educativa y no en los valores de los productos pues ello supondría afirmar una
injustificada relación causal entre enseñanza y aprendizaje.
La imagen del profesor como técnico es insuficiente y los resultados de la
investigación proceso-producto no permiten dirigir ni resolver la variedad de problemas
que se plantean en la enseñanza.
Desde la perspectiva heurística, el profesor es un sujeto capaz de diagnosticar
y detectar los problemas prácticos que el diseño, desarrollo, implementación y
evaluación del currículo implica. Y en el enfoque socio-crítico, la acción comunicativa
de los protagonistas del hecho educativo no se opone a los valores ni a la
interpretación de los acontecimientos, más bien se genera en el seno del equipo,
pertenece a “nosotros”, escucha a otros que descubren ideas y sentimientos, quienes
a su vez reciben los nuestros, nace del seno de la situación, la interpreta y ofrece
salidas a su problemática, a través del entendimiento y el acuerdo.
Es ésta apenas una de las variables, que inciden en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, que estaremos
revisando dentro de las teorías de las diversas escuelas
psicológicas
, con este análisis queremos iniciar un camino hacia los modelos
integradores capaces de armonizar el mayor número de principios en cada una de
ellas evitando turbulencias producidas de su aplicación por separado.
Para finalizar queremos puntualizar que no depende de tecnologías
sofisticadas las mejoras en los procesos de enseñanza-aprendizaje, sino de
propuestas robustas pedagógicamente, avaladas en modelos que las integren y que
demuestren el mejor uso de las tecnologías a nuestro alcance, para lograr la calidad
en nuestra educación.

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Capítulo 2 51

A.A. Enfoques tradicionales de la Enseñanza EnfoquestradicionalesdelaEnseñanza
Al revisar las teorías procedentes de las diversas escuelas psicológicas, nos
encontramos con muchas diferencias entre ellas, para el enfoque técnico seguimos al
neoconductismo de Tolman y Skinner, donde el alumno es activo en relación con los
arreglos contingenciales del profesor–programador y la actividad está condicionada por
las características prefijadas por el programa de estudios.
En el enfoque heurístico destacan Piaget, Bruner y Stenhouse, para quienes es
importante el desarrollo de habilidades de aprendizaje, la actuación del docente como
propiciador de ambientes para la organización de esquemas y aprendizajes
significativos y el alumno como activo procesador de información.
Mientras que en el enfoque sociocrítico son importantes los trabajos de
Vigotsky, Luria, Leontiev, Galperin y Elkonin, quienes se plantean la problemática de
los vínculos entre los procesos psicológicos y los socioculturales, en este enfoque el
docente es un promotor de zonas de desarrollo próximo con dominio de la tarea,
maneja mediadores y es sensible a los avances progresivos de los alumnos, quienes
toman conciencia y ejecutan las tareas con un desarrollo integral.
En base a la utilización de algún modelo de enseñanza se logran algunas
ventajas:

Ayudan a organizar y planear todos los elementos que intervienen en el acto
educativo, a corto o a largo plazo.

Facilitan el logro de los objetivos: cognoscitivos, afectivos o psicomotores;
generales, particulares o específicos.
 Ayudan a evitar la improvisación y a reducir el fracaso escolar.
 Facilitan la formación integral del alumno, al motivarlo, captar su atención y al
mantener su interés en los diferentes momentos de la clase.

Facilitan la evaluación del alumno, del mismo proceso educativo y la
autoevaluación.
 Permiten identificar
cuales son los roles a desempeñar por docentes y
alumnos.
Podemos ver algunas características de la enseñanza que determinan distintas
formas de reflexión y acción sobre el trabajo de los profesores desde las dimensiones
técnica, heurística y sociocrítica, en forma resumida, en el Cuadro 2.3 y luego los
estaremos ampliando en los próximos apartados.

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 52


DDIIMMEENNSSIIÓÓNN DDEE LLAA PPRRÁÁCCTTIICCAA EEDDUUCCAATTIIVVAA

TÉCNICA HEURÍSTICA SOCIOCRÍTICA
ENSEÑANZA
Se considera desde el
rigor de la ciencia
aplicada.
Se considera desde la
perspectiva de la ciencia
social.
Se considera desde la
perspectiva de la
filosofía y la sociología.
META
EDUCATIVA
Descripción,
predicción y control
del comportamiento.
Toma de decisiones
basadas en la capacidad
para organizar
información del medio.
Aprender a aprender.
Evolución dialéctica de
las tomas de
conciencia. Autonomía
moral e intelectual.
MËTODO DE
E-A
Enseñanza
programada
Activación y
reestructuración de los
esquemas existentes.
Conducción de los
procesos necesarios
para cada tipo de
aprendizaje. Estrategias
instruccionales,
cognitivas y
metacognitivas.
Partir de situaciones
problemáticas que
causen desequilibrio.
Aplicar: observación,
comparación, análisis
hasta formular modelos
conceptuales, avanzar
en la construcción de
modelos formales,
verificarlos; ejercitarlos
y buscar nuevas
aplicaciones
VALORES
Prescritos, absolutos,
imperantes, los filtra la
Administración. La
Axiología no es
ciencia.
Se relativizan los valores
prescritos, se reconoce
su influjo en la práxis
docente, son
interpretables y
explícitos.
La Axiología existe como
ciencia social.
Compartidos,
cooperativos, crítica de
la ideología,
liberadores, solidarios e
intersubjetivos.
MEDIACIÓN
Técnicas magistrales.
Uso del libro de texto
o documentos
elaborados por
expertos.
Técnicas cooperativas.
Materiales elaborados
por los maestros y el
centro. Se enfatiza al
maestro que transmite en
forma original la
información.
Técnica de dinámica de
grupos y juegos.
Creación de materiales,
fruto de la negociación
y el consenso. Se
enfatiza la relación
sujeto-objeto.
PROFESOR
Técnico que aplica las
estrategias y utiliza los
recursos para alcanzar
los objetivos. Director
del aprendizaje.
Responsable de la toma
de decisiones, autónomo,
creador y deliberador.
Mediador en el proceso
de desarrollo curricular.
Profesor crítico,
reflexivo e investigador,
trabaja en equipo y es
transformador de su
entorno. Agente de
cambio social.
EVALUACIÓN
Evaluar los
conocimientos previos,
progreso y dominio
final.
Regulación. Evaluación
de acuerdo con objetivos
basados en la taxonomía
de Bloom y en otras
estrategias.
Regulación del proceso.
Cuadro 2.3: Dimensión de la práctica educativa. Adaptado de Sarmiento (2000).

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El enfoque Técnico

No todos los aprendizajes son automáticos en el sujeto, como prescribe el
condicionamiento clásico. La mayor parte de las conductas no las provocan los
estímulos externos sino la voluntad propia. Las acciones humanas dentro de un
entorno determinado para producir ciertas consecuencias, son denominadas por los
psicólogos como operantes
.
Uno de los autores en seguir un tipo de conductismo diferente al de los
behavioristas cuantitativos fue Skinner y de él y sus colaboradores recibe gran
influencia el ámbito educativo, primero con los procesos de reforzamiento en las
situaciones de enseñanza-aprendizaje y luego con la aplicación de los principios del
condicionamiento operante.
Para Skinner, el refuerzo es “todo aquello que incrementa la probabilidad de una
reacción” y los operantes “son elementos conductuales o una serie de
comportamientos semejantes que el organismo realiza en el momento presente o
puede realizar”, así “el condicionamiento operante consiste en suscitar esas conductas
por medio de manipulación de los estímulos, de modo que puedan ser producidas a
discreción, con sólo exponer el organismo a los estímulos a los que está condicionado”
(Good, 1983, 130).
Según Gros (1997, 36),
“La idea básica de Skinner es doble; el material a enseñar debe subdividirse en
fragmentos que permitan aportar con más frecuencia feedback y por tanto,
reforzamiento a los estudiantes. En segundo lugar, mediante este procedimiento se da
al alumno mayores oportunidades de responder con mayor frecuencia, de ser más
activo”.
También se hace hincapié en la práctica, pues durante ella las respuestas
pueden ser modeladas por medio del reforzamiento (Rosenthal y Zimmerman, 1982). A
partir de la respuesta del sujeto y del refuerzo que se le establezca, se debe analizar la
probabilidad de ocurrencia de dicha respuesta para, así, controlar el comportamiento.

Para los psicólogos conductuales lo importante es saber disponer la situación
de aprendizaje de manera que las respuestas dadas por el sujeto sean reforzadas para
que aumente su probabilidad de ocurrencia. Para ello dispone el docente de dos tipos
de programas: los de refuerzo continuo e intermitente. Una vez que una nueva
conducta sea dominada, se usan los programas de refuerzo intermitente para que se
mantenga.

Capítulo 2 53

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Se debe evitar el aburrimiento y conducir al alumno siempre hacia adelante,
como apuntan Araujo y Chadwick (1988), el currículo debe estar bien elaborado para
guiar al sujeto para que no cometa errores. Para ello se necesita distribuir el material
en pequeñas partes, una correcta secuencia, cada una apoyándose en la anterior, de
tal manera que el alumno pueda seguir aprendiendo independientemente de toda la
información precedente y con un mínimo de error, esto se logra siguiendo la
metodología de la enseñanza programada (Vaquero, 1992).
Para Rozada (1997) el planteamiento técnico del currículo tiene dos puntos de
vista: la materialización de propuestas didácticas concretas y lo relativo al contexto
social, político e ideológico donde se desarrollan. El primero lo denomina enfoque
técnico en un sentido restringido y el segundo enfoque técnico en un sentido amplio.
Este autor, entiende el enfoque técnico en un sentido restringido como el
conjunto de propuestas “tendentes a racionalizar la actividad de enseñar planteándola
como una cuestión tecnológica que debiera ser abordada a partir de los conocimientos
aportados por la ciencia” y que por los 60´s se desarrollaron en los EEUU y por los 70´s
en España (Rozada, 1997, 37).
Se pretende en esta concepción convertir a los profesores en buenos técnicos,
eficaces en la consecución del aprendizaje, capaces de seguir los lineamientos de los
expertos, desarrolladores de la planificación educativa y que inducen a los alumnos a
seguir una actividad condicionada por las características prefijadas del programa de
estudios. Se evidencia un esquema de entradas-procesos-salidas donde las entradas
son sucesos modelados; los procesos son la atención, la retención, la reproducción
motriz y la motivación y las salidas son los comportamientos de imitación o de
repetición.
Esta forma concreta de asumir el currículo resulta inviable a la hora de llevar a
cabo y evaluar la tarea de enseñar, por lo cual ya desde los 80´s se hacían revisiones
en el campo académico y en el ámbito de la formación permanente en España, de
donde hemos heredado las bases y fundamentos de nuestro actual Currículo Básico
Nacional (CBN).
Rozada (1997, 38), entiende por perspectiva técnica en un sentido amplio “el
tipo de ideología y de racionalidad dominantes en las denominadas sociedades del
capitalismo avanzado”, producto de revoluciones industriales donde la burguesía toma
el poder político e impone su ideología.

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Esta tendencia se caracteriza por la reducción del racionalismo a su vertiente
instrumental (los problemas se abordan desde el punto de vista de los medios y no de
lo ético, moral y político); imperan los principios, valores y relaciones correspondientes
a la sociedad de mercado; en la enseñanza es primordial lo relativo a inversiones y se
deja de lado todo lo que tiene que ver con formación del profesorado, modernización de
programas, organización escolar, etc; las decisiones en cuanto a la gestión de los
asuntos públicos se dejan en manos de los expertos; la metodología seguida es la
enseñanza programada, donde el alumno sigue un programa de forma tal que al final
del mismo ha aprendido lo que se pretendía, esto limita su creatividad, autonomía y la
innovación, así como la toma de decisiones consciente; etc.
Estas son algunas criticas a este enfoque, otros autores también exponen
críticas referidas al diseño de un currículo y son presentadas por Stenhouse (1991)
junto con objeciones expuestas por Popham (1968, citado en Stenhouse, 1991), una de
ellas menciona que los objetivos importantes de un currículo son los que se pueden
definir en términos de conducta lo cual provoca la desaparición de otros que son
importantes pero no son fácilmente detectados, a lo que este autor objeta que si los
objetivos son explícitos, el docente puede ocuparse de los resultados educativos más
importantes y evitar los objetivos insustanciales pero para Stenhouse (1991) muchas
de esas metas importantes son limitadas e instrumentales.
Otras críticas aducen el desaprovechamiento de imprevistos que ocurren en el
aula, a lo cual Popham replica que los hechos fortuitos se consideran siempre que
acarreen el logro de objetivos importantes.
Estos elementos conductuales son puestos en segundo plano por los teóricos
cognoscitivos, quienes subrayan los aspectos conceptuales del aprendizaje; al igual
que Skinner, conceden importancia a las capacidades del hombre, recalcan que el
aprendizaje suele ser sistemático, activo y que no se reduce a simples asociaciones,
que los criterios acerca del proceso ayudan al profesor a mejorar su enseñanza y que
no puede haber desarrollo educativo sin el desarrollo del profesor a través de la crítica
a su práctica y no clarificando los fines.





Capítulo 2 55

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El enfoque Práctico

La reacción en contra del tecnicismo origina este planteamiento que se
caracteriza por destacar el carácter variable, situacional e incierto de la enseñanza;
gestiona una realidad compleja que exige la toma de decisiones prudentes y
equilibradas; el docente ocupa un papel central tanto al investigar, planificar o innovar
en la enseñanza; etc. (Rozada, 1997).
En este enfoque son importantes los trabajos de Piaget y Bruner, entre otros. El
primero de ellos presenta una vasta obra donde enfatiza la formación de un hombre
activo, crítico, reflexivo y creativo a través de instrumentos básicos del pensamiento
(Serrano, 1990).
Desde la concepción de Piaget para la enseñanza y el aprendizaje, debe
considerarse que en las distintas etapas de desarrollo del niño, varían sus estrategias y
operaciones cognoscitivas, razón por la cual, el docente debe estar alerta para hacerles
las exigencias adecuadas, organizar situaciones de aprendizaje acordes a su desarrollo
y así lograr su participación (cognitiva) activa, como persona con afectos y vivencias
particulares.
Para Bruner (1974), una manera de enseñar que provoque transferencia en el
niño cuando utiliza el material que ha aprendido, debe considerar seis factores:
 La actitud del niño debe llevarlo a trascender los datos y usar la cabeza para
resolver un problema.

Los materiales nuevos aprendidos deben ajustarse al marco de referencia de
manera que se adueñe de ellos y use tal información de modo compatible con lo
que ya sabe.
 El niño activa su propia capacidad de resolver problemas.
 El niño práctica las aptitudes relacionadas con el empleo de la información y la
solución de problemas.
 Los niños no consiguen explicar cómo hacen algunas cosas pero al volver sobre
su propia conducta tienen la oportunidad de reflexionar sobre ello.
 La capacidad de manipular la información, para emplearla en la solución de
problemas.
El alumno selecciona, codifica, abstrae, interpreta, integra y recupera
información para solucionar problemas y el docente debe propiciar situaciones de

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aprendizaje donde el niño participe, haga, piense y descubra (explore la situación);
debe presentar la materia de modo agradable, interesante y comprensible al niño y,
también, debe esperar a que los niños estén dispuestos a volver en sí mismos, antes
de hacer las abstracciones para que las entiendan. La activación al momento de
solucionar problemas recompensa a los niños intrínsecamente y la compatibilidad de la
nueva información con la que el niño posee es análogo a los aprendizajes significativos
(de los cuales hablaremos en la próxima sección).
Según Bruner, la enseñanza puede facilitar el proceso de descubrimiento de los
niños por sí mismos, sin que ello signifique encontrar verdades totalmente nuevas. Y
para ello la enseñanza debe propiciar un ambiente lleno de situaciones que el niño
pueda abordar, que favorezcan su autonomía y que lo estimulen a aprender haciendo;
debe tomar en cuenta el orden eficaz de los materiales y que el alumno aprenda a
través de su actividad, que aprenda descubriendo y resolviendo problemas (Serrano,
1990).
Para ello, las estructuras como procedimiento, conceptos y criterios no pueden
ser traducidas a niveles de realización de objetivos y si sobre ellas se construye el
currículo se posibilita la traducción cortés del conocimiento de Bruner y se “permite un
aprendizaje que desafía todas las capacidades y todos los intereses de un grupo
variado” (Stenhouse, 1991, 129).
Stenhouse captó, a juicio de Elliott (1994, 269), el significado pedagógico de la
consideración de la educación como una forma de praxis, entendida como “la
actualización de ciertas cualidades éticas en la forma que unas personas dirigen sus
vidas en relación con las demás”, en vez de cómo un proceso técnico. Esto le permitió
considerar el currículo como praxiología (estrategias hipotéticas para llevar las ideas a
la práctica).
Para Stenhouse (1991), debe utilizarse un modelo de procesos, en lugar de uno
de objetivos, para sacar ventaja de las estructuras de criterios y principios de
procedimientos proporcionadas por las disciplinas del conocimiento. Así presenta su
Humanities Currículo Project, donde se empeña en desarrollar una forma de
enseñanza basada en la discusión, en la que los alumnos examinen críticamente los
datos bajo la dirección del profesor (puede considerarse como experto o bien como un
estudiante más), con la finalidad de desarrollar una comprensión de las situaciones
sociales y las cuestiones controvertidas.

Capítulo 2 57

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Cualquier modelo de proceso se basa en el juicio del profesor, más que en su
dirección, es exigente y difícil de realizar en la práctica pero le ofrece
perfeccionamiento profesional por ser un modelo esencialmente critico, no evaluador
(Stenhouse, 1991). Y en ello está de acuerdo Rozada (1997), para quien la enseñanza
es una práctica del saber gestionar una realidad compleja, que si sólo se aplica a los
problemas del aula o del centro resultan propuestas útiles para corregir los errores de
la perspectiva técnica en sentido amplio (neotecnicismo), sólo si la reflexión implicada
en ello se lleva al campo ideológico y sociopolítico, provoca un enfrentamiento entre la
perspectiva práctica y la técnica, cerca de los terrenos de la crítica (cuasicríticos).
El enfoque Sociocrítico
Las investigaciones relacionadas con el conductismo psicopedagógico han
evolucionado en las últimas décadas, debido a que el condicionamiento operante
ofrece una explicación limitada del aprendizaje. Se amplia la noción de aprendizaje
hasta abarcar el estudio de los procesos cognitivos no observables de forma directa.
En esta línea, está la teoría del Aprendizaje Social de Bandura (1982) para
quien las teorías tradicionales del aprendizaje, aunque correctas, son incompletas,
porque ofrecen una explicación parcial del mismo y descuidan elementos importantes,
en particular la influencia de la componente social. En sus estudios, el ambiente y los
determinantes personales son sólo potencialidades, el primero opera al ser actualizado
por una conducta apropiada y los segundos operan al ser activados, de allí que el
funcionamiento psicológico se explica en términos de una continua interacción
recíproca entre determinantes individuales y ambientales.
También, Román y Díez (1999) consider an que en la escuela son importantes el
actor y el escenario del aprendizaje. Y desde esa perspectiva afirman que tanto los
niños, jóvenes, adultos y las organizaciones aprenden, por lo tanto el aprendizaje es
individual (actor) y social (escenario). Por ello Rozada (1997) opina que en el campo de
la crítica teórica, se debe cultivar:
 La reflexión como introspección: Referida al conocimiento de nuestro propio
pensamiento y de los condicionamientos subjetivos contenidos en él. Se
distinguen dos formas de autocrítica. La primera se dirige al conocimiento de
nuestra personalidad profunda y la segunda, tiende a la autoconciencia de la
ideología que nos domina.

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El comportamiento social se rige por construcciones ideológicas y el soporte de
materialización de esa ideología lo constituyen los signos y sus significados, por
lo tato, “el análisis de los lenguajes y la reflexión sobre los significados que
atribuimos a los signos, constituye el ejercicio básico para desarrollar niveles de
autoconciencia que nos permitan controlar mecanismos inconscientes o
implícitos, mediante los que actúa la ideología dominante” (Rozada, 1997, 47). En
lo que respecta a la escuela, debe enfocarse nuestra reflexión hacia el núcleo de
la ideología: el discurso liberal-burgués (avances de la escolarización de masas
con el planteamiento de los problemas educativos y el Estado).
 La ilustración mediante el recurso del conocimiento académico: Se refiere a los
aportes de la filosofía, la ciencia y, en general, al conocimiento académico, que
enriquece el pensamiento e impulsa la crítica de los propios esquemas mentales.
Si bien es cierto que la aplicación de los conocimientos científicos han liquidado
los planteamientos filosóficos, ponen de manifiesto las limitaciones de la
enseñanza y lo inalcanzable de los objetivos educativos, igualmente hay que
reconocer lo dificultoso del ejercicio de una crítica práctica dirigida a transformar
la realidad, pues “la crítica a nuestro pensamiento debe ser causa y efecto de
nuestro trabajo dirigido a la transformación de las bases materiales de existencia”
(Rozada, 1997, 49).
Habermas, pensador contemporáneo, contribuye al conocimiento de los rasgos
de esta ideología. Para él la racionalidad pudiera ser dialógica, “la razón podría ser el
diálogo”, este planteamiento y la teoría crítica rompen con el modelo teórico-práctico de
la relación sujeto-objeto que será sustituido por un modelo donde el conocimiento y la
acción se conciben como relaciones entre sujetos (Ferreres, 1992, 15).
La teoría crítica de la enseñanza intenta reducir la distancia entre teoría y
práctica mediante un proceso de investigación centrado en los problemas presentes en
la propia práctica con el fin de transformarlos (Hernández y Sancho, 1993).
El planteamiento crítico de la enseñanza, según Rozada (1997), se centra en la
naturaleza sociopolítica y no didáctica. En este sentido, la enseñanza es una
reorganización del avance de las funciones psicológicas mediante la zona de desarrollo
próximo, se crean sistemas de apoyo (andamiaje) para que el proceso de e-a vaya de
la desregulación a la autorregulación. Este paradigma avanza en la noción de la
conciencia de integración, lo que permite también dar un paso adelante en la noción de
la educación integral.

Capítulo 2 59

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B.B. Otros Modelos para entender la Enseñanza OtrosModelosparaentenderlaEnseñanza
Ya hemos visto los enfoques tradicionales para entender la enseñanza, la
perspectiva asociacionista que no incorpora los eventos mentales en sus teorías,
argumentando que por ser imposible observarlos y medirlos no puede estudiarlos
objetivamente y frente a esta postura se abre camino, durante los años 50’s y 60’s,
una concepción que considera al sujeto interactuando con su medio mediante
procesos mentales cognitivos, es la postura cognitivista (ver Figura 2.1), que focaliza
su atención en la mente, en cómo el individuo recibe la información, la asimila,
almacena y la recuerda. Basándose en ella, algunos investigadores (
Piaget, Vygotsky)
extrapolan sus hallazgos para incluir las influencias de los entornos de aprendizaje, en cuanto a lo social, cultural e histórico. Surge la perspectiva constructivista.
Hemos brevemente expuesto dos enfoques: el behaviorista y el cognitivista,
que se diferencian en que este último da más énfasis a factores dentro de la mente del aprendiz y menos a los factores del entorno. Las teorías del aprendizaje cognitivo no ofrecen una guía de cómo enseñar, pero identifican métodos útiles para situaciones
particulares.

Procesamiento Conceptualización Resolución de problemas





de
Interacción


Desarrolla

Autorregulación
Concretan y Elige y
Facilitan Diseña






Autorregulación Genera
Aplica

Interés Autoconfianza Compromiso
Figura 2.1: Esquema del modelo pedagógico cognitivista (Sarramona, 2000, 230).
Estrategias cognitivas
Control de resultados
Control del proceso
Materiales didácticos
Metacognición
Motivación Estímulos ambientales
Educador Educando

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Capítulo 2 61

En la actualidad, la introducción de las nuevas tecnologías al mundo educativo
propicia la aparición de nuevos modos de entender estas perspectivas, de tal manera
que su influencia no se dirige a estructuras cognitivas concretas sino a su
funcionamiento integral. En este apartado expondremos algunos de estos modelos, sin
pretender con ello reducir el campo de estudio respecto a este tema.
Pues bien, los modelos pueden ser representaciones visuales de los procesos
de enseñanza, tema que nos ocupa, o descripciones textuales que muestran sus
elementos y las relaciones entre ellos. Uno de tales modelos es el modelo pedagógico
de resolución de problemas, que, básicamente, pretende superar los obstáculos que
impiden que el individuo (o sistema) alcance una meta (ver Figura 2.2).










Feedback







Figura 2.2: Esquema de resolución de problemas (Sarramona, 2000, 259).
Definición del
problema
Análisis de
los Datos
Valoración en
razón del
contexto
Recursos
Asignación de
responsabilidades
Selección de
la alternativa
Análisis y
discusión
Identificación
de alternativas
Identificación de
informaciones
necesarias
Planificación
de la acción
Temporalización y
secuenciación
Realización
Resolución del
problema

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Los problemas pueden resolverse por ensayo y error (enfoque asociacionista),
por comprensión súbita (insight, de la escuela de la Gestalt) o por la aplicación de
estrategias previamente aprendidas que dan lugar a nuevas estrategias para enfrentar
situaciones posteriores.
En este último caso, se siguen normalmente cuatro pasos: definir el problema
(tener claros los puntos de partida y de llegada), determinar una estrategia de solución
(podemos distinguir dos tipos de estrategias: las algorítmicas que contienen un
conjunto de reglas a seguir para resolver el problema y las heurísticas que parten de
conjeturas que se aplican cuando se desconoce la manera exacta de resolver el
problema), ejecutar la estrategia (tomar en cuenta la valoración de las alternativas,
secuencia de actuación, tiempo en cada fase y asignación de tareas y
responsabilidades) y evaluar su eficacia (constatar si el problema ha sido resuelto); los
cuales hemos apreciado gráficamente en la Figura 2.2.. En este modelo, hay una
vuelta a las fases anteriores, en caso que el problema no se haya resuelto, y esto
involucra un feedback (Sarramona, 2000).
Pero desde la aldea global nos preguntamos cuáles modelos seguir para
utilizar las nuevas tecnologías. Bartolomé (1995b) nos propone tres modelos en
atención a cuatro aspectos: el aprendizaje en grupo con el profesor (viejas clases
magistrales a muchos grupos, en muchos sitios, al mismo tiempo, usando los nuevos
canales), estudio individual (el flujo de información hacia el sujeto es ancho mientras
que él envía decisiones sobre su búsqueda), tutoría (en tiempo real o diferida) y el
trabajo en pequeño grupo (también en tiempo real o diferido).
En el Cuadro 2.4,
presentamos los modelos en atención a estos aspectos.
El primero de estos modelos es el modelo magistral y se refiere a la difusión de
información sobre materiales multimedia sin actividades de aprendizaje. El segundo es
el modelo participativo, donde lo primordial es la comunicación, presenta tres
variantes: sistemas basados en la creación de espacios virtuales, sistemas
participativos basados en la integración de los medios y sistemas integrados
gestionados por ordenador. En el tercer modelo, investigador, se refiere a los espacios
virtuales donde docentes y alumnos tratan de poner en práctica los conocimientos, las
estrategias y los recursos que tienen a su disposición, la comunicación es bidireccional
y la participación es alta.


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Capítulo 2 63

MMOODDEELLOOSS
MAGISTRAL PARTICIPATIVO INVESTIGADOR
OBJETIVO
Difundir
información
Fomentar la
participación del
sujeto en el
proceso de
comunicación
Prima la actividad
del sujeto en
relación a la
búsqueda, análisis,
manipulación,
elaboración y
tratamiento de la
información
RECURSOS
Materiales
multimedia
Videoconferencia,
correo electrónico,
Redes
informáticas, fax,
tlf y clases
virtuales
Software, material
informático,
hipermedia y los
recursos de Internet
CLASE
Sesiones
pregrabadas y
distribución de
programas
Sesiones en
directo, con
canales lo más
simétricos posible
Apenas existente
ESTUDIO
INDIVIDUAL
Programas
informativos
Tiene gran
importancia
Tiene gran
importancia
TUTORÍA
Indiferente,
diferida o en
tiempo real
Diferida o en
tiempo real
Diferida
TRABAJO EN
GRUPO
Se da poco
Se fomentan las
relaciones del
grupo, son
diferidas o en
tiempo real
Importante según el
caso. En general,
diferida
Cuadro 2.4: Modelos de Enseñanza para los nuevos canales. Elaborado con datos de
Bartolomé (1995b).
En esta línea, Fernández (1998) expone una propuesta didáctica que denomina
Modelos de Enseñanza Inteligentes, la cual se refiere a la integración de las nuevas
tecnologías en ambientes convencionales de enseñanza-aprendizaje, para ello se
preocupa del apoyo tecnológico para soportar procesos sofisticados de enseñanza,
crear conciencia critica que permita utilizar los recursos tecnológicos como
herramientas de alto poder en la enseñanza y el aprendizaje y que el educador no se
convierta en un simple técnico

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Este modelo pretende integrar los aportes de las teorías cog nitivas y
constructivistas para el aprendizaje (que ya estudiamos); los aportes de las teorías de
la creatividad de inteligencias de Gardner (1996) y Lazear (1991), que ofrecen
actualmente algunos elementos que permiten calificar las intervenciones educativas
para hacer que las mismas atiendan a las diferencias individuales de los estudiantes
en la tecnología instruccional, y la intervención de las nuevas tecnologías (NTIC),
entendiendo que los altos niveles de aprendizaje y el comportamiento inteligente, no
dependen de tecnologías sofisticadas sino de propuestas conceptualmente
pedagógicas que demuestren el mejor uso de las tecnologías disponibles.
Actualmente muchas personas están fuera de las instituciones educativas de
enseñanza presencial debido a diversas cuestiones que no enumeraremos aquí, pero
que al estar interesadas en alguna forma de instrucción han recurrido a los Sistemas
de enseñanza no presencial (antes llamados enseñanza a distancia),
En sus comienzos, la enseñanza no presencial sólo atendía aspectos de
limitación geográfica, luego se realizan experiencias donde se introducen productos
audiovisuales pero sin un tratamiento complejo en relación con los modelos
psicopedagógicos de enseñanza y aprendizaje. Luego se pone en marcha la llamada
universidad abierta que marcará un punto de inflexión en las modalidades para el
diseño de materiales y para la tutoría y gestión de la enseñanza a distancia, según
Santángelo (2000). Entre ellas tenemos en América latina, por ejemplo, la Universidad
Abierta en Venezuela (UNA) y la Universidad Virtual en México y en España la
Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED).
En la actualidad se han agregado formatos digitales, a veces de la red Internet o
con soporte CD-ROM, pero en estas experiencias se caracteriza poco la situación de
aprendizaje, el modelo educativo de referencia y el diseño de estrategias para ese
entorno. En virtud de ello, han surgido algunas propuestas de modalidad no presencial,
una de ellas la presenta Santángelo (2000), que ofrece alternativas de funcionamiento
síncronas y asíncronas, basado en el uso integrado y superpuesto de dos plataformas
tecnológicas: Videoconferencias (VC) multipunto por Red Digital de Servicios
Integrados (RDSI) y campus virtual (CV) sobre un software de producción, distribución
y administración de contenidos a través de Internet.
Un ejemplo de este modelo es el propuesto para el diseño del sistema de
enseñanza no presencial de la Universidad Tecnológica Nacional en Argentina, el cual
está formado por dos tramos diferentes: Un tramo sincrónico de actividad presencial en

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grupos, en las distintas sedes, combinando VC por RDSI y un CV sobre Internet. Este
tramo sincrónico atraviesa diferentes momentos (M1 a M5) y cuenta con el apoyo de un
tutor. El otro es el tramo asincrónico, con actividades que se realizan en el CV sobre
Internet, y una Webtools como interfaz de usuario, con el soporte de diversos tipos de
materiales (escrito, multimedia, videos) y con el apoyo de tutorías.


Figura 2.3: Modelo de Sistema de enseñanza no presencial. (Santángelo, 2000).
Hemos, a grandes rasgos y sin pretensión alguna de ser exhaustivos en ello,
esbozado un panorama descriptivo de algunos modelos de enseñanza y para ello
hemos recorrido el camino que va desde los proyectos tradicionales, con sus ventajas
e inconvenientes, hasta los desarrollos actuales usando nuevas tecnologías, algunos
de ellos aún están presentes en nuestros centros de enseñanza formal y no formal y
otros ni siquiera estamos cerca de poder implementar debido a múltiples factores en
los que, por supuesto, no falta el referido a políticas educativas erradas o tomadas de
otros contextos y el económico.


Capítulo 2 65

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C.C. Teorías de la Instrucción TeoríasdelaInstrucción
Las teorías del aprendizaje son de naturaleza descriptiva, muestran situaciones
de las que derivan sus principios; las teorías de enseñanza tratan de prescribir las
condiciones óptimas mediante las cuales el estudiante puede reproducir o reconstruir
significativamente una información determinada y las teorías de la instrucción son
también prescriptivas, tratan de mostrar marcos de referencia para organizar el
aprendizaje (Hernández y Sancho, 1993).
Esta diferente naturaleza teórica ha provocado una dicotomía entre enseñanza
y aprendizaje, como la reducción simplista de la primera a la segunda. Con frecuencia
la enseñanza se ha constituido como el campo de la práctica o como “el objeto de una
traslación mecánica y directa de principios generados en la investigación psicológica
sobre los procesos del aprendizaje” (Pérez Gómez, 1989, 322).
Por su parte, las teorías de la instrucción responden a planteamientos
psicopedagógicos y pretenden reconstruir el pensamiento del alumnado, al
proporcionarle criterios de racionalidad para seleccionar y organizar el conocimiento
académico (Hernández y Sancho, 1993).
Entre las teorías de instrucción presentamos la teoría de la asimilación,
desarrollada principalmente por Ausubel y Mayer (1975, 1979), que sostiene que la
interacción entre los nuevos conceptos y los ya existentes se realizan siempre de
forma transformadora y que el producto final supone una modificación tanto de las
nuevas ideas aprendidas como de los conocimientos ya existentes.
Y la teoría de la elaboración que nos proporciona un modelo de diseño
instruccional que optimiza la adquisición, retención y transferencia de los
conocimientos significativos, a pesar de ser “una teoría parcial que sólo hace
referencia a los modos de organizar la instrucción cuando aborda una materia
altamente estructurada” y no aborda a profundidad modos de llevar a cabo la
instrucción, la motivación y la organización de la participación del alumnado, como
indican Hernández y Sancho (1993, 84).

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La teoría de la Asimilación
Desde los trabajos de Piaget ya se hablaba de la adquisición de nuevos
esquemas (capacidades logradas mediante la experiencia) por parte del aprendiz o de
la modificación (en forma activa) de los que ya posee y de la asimilación activa de un
nuevo estímulo y de su incorporación a los esquemas ya existentes, como apunta
Good y Brophy (1983).
En esta línea, Ausubel desarrolla diversos estudios sobre las diferencias entre
el aprendizaje memorístico y el aprendizaje significativo por recepción (ver Sección
2.1.1) y sobre esta base, Mayer (1975,1979) desarrolla la teoría de la asimilación.
Esta teoría es un modelo de tres estadios o elementos (a diferencia de la teoría
de recepción que explica el aprendizaje basándose en un modelo de un estadio:
cantidad de información recibida por el aprendiz), a saber: proceso de codificación
diferente (integración activa de la nueva información al conocimiento existente), un tipo
diferente de resultado de aprendizaje (variación en la cualidad más que en la cantidad
de lo retenido) y la integración activa por el aprendiz de la nueva información con los
esquemas cognitivos que ya posee.
La teoría de la asimilación según Hernández y Sancho (1993, 82), considera
los procesos de aprendizaje como:
“La adquisición de nuevos materiales informativos por parte del alumnado mediante la
vinculación o asimilación de algún aspecto de la estructura cognitiva recientemente
organizada, que integra el viejo y nuevo conocimiento y que, a su vez, puede servir
como un esquema de asimilación para los aprendizajes siguientes”.
En este concepto se habla de aprender significativamente y para que ello tenga
lugar, según este enfoque, es necesario que se den tres condiciones, como indica
Pérez Gómez (1989, 329):
 “Recepción del material a aprender;
 disponibilidad de una estructura significativa de ideas familiares que puede ser
utilizada para organizar y asimilar el nuevo material recibido;
 activación durante el aprendizaje de tal específica estructura significativa”.
Las cuales se asemejan, en cierta forma, a las tres condiciones necesarias,
según Ausubel, para que el aprendizaje significativo tenga lugar, las cuales son:
 Los nuevos materiales deber ser potencialmente significativos (sustantivos y no
arbitrarios).

Capítulo 2 67

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 La estructura cognoscitiva previa del sujeto debe poseer las ideas relevantes
necesarias para que puedan ser relacionados con las nuevas.
 El sujeto debe manifestar una disposición significativa hacia el aprendizaje
(actitud activa).
Así, el aprendizaje significativo se produce a través de la interacción entre la
nueva información y las ideas relevantes ya existentes en la estructura cognoscitiva
del sujeto, el resultado de esta interacción es una asimilación para formar una
estructura cognoscitiva altamente diferenciada y la acomodación de las estructuras ya
existentes.
Si la estructura cognoscitiva del sujeto esta organizada en forma jerárquica
respecto al nivel de abstracción, generalidad e inclusividad, este proceso de
asimilación puede realizarse de tres formas diferentes, como indican Portilla y Gamboa
(s/f):
 Mediante el aprendizaje subordinado: Las nuevas ideas son relacionadas
subordinadamente con ideas relevantes de mayor nivel ya poseídas por el
sujeto (proceso de subsunción). Estas ideas previas de nivel superior son
llamadas inclusores y sirven de anclaje para las nuevas ideas. Existen dos
tipos de aprendizaje subordinado: derivativo (que los nuevos conceptos sirvan
de ejemplo o ilustración de los ya existentes) y correlativo (los nuevos
conceptos son una extensión o modificación de los que ya posee el sujeto).
 Mediante el aprendizaje supraordinado: Las nuevas ideas se relacionan con
ideas subordinadas, es decir, los conceptos o ideas relevantes existentes en la
estructura cognoscitiva del sujeto son de menor nivel de abstracción,
generalidad e inclusividad que los nuevos conceptos a aprender.
 Mediante el aprendizaje combinatorio: Los nuevos conceptos no pueden
relacionarse, de forma subordinada ni supraordinada, con la estructura
cognoscitiva previa sino que se relaciona de forma general con aspectos
relevantes de ella. Estos conceptos se aprenden y recuerdan de modo más
difícil que en los casos anteriores.
En el aprendizaje subordinado se presenta una asimilación (subsunción) que
conduce a una diferenciación progresiva del concepto o proposición subsunsor
(inclusor), mientras que en el proceso de aprendizaje supraordinado y en el

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combinatorio a medida que las nuevas informaciones son adquiridas, los elementos ya
existentes en la estructura cognitiva pueden ser precisados, relacionados y adquirir
nuevos significados y como consecuencia ser reorganizados. En esto consiste la
reconciliación integradora. Estos procesos aquí señalados están estrechamente
relacionados y ocurren a medida que se da el aprendizaje significativo.
Los inclusores son los llamados organizadores previos (subsunsores o ideas de
anclaje) derivados de esta teoría de aprendizaje, que tienen gran importancia para el
diseño de instrucción, pues en términos de enseñanza constituyen el material
introductorio presentado al alumno antes de sus tareas de aprendizaje, que tiene
mayor nivel de abstracción, generalidad e inclusividad que la propia tarea. Ausubel
afirma que la estructura cognitiva tiende a una organización jerárquica en relación al
nivel de abstracción, generalidad e inclusividad de las ideas, y que, "la organización
mental […] ejemplifica una pirámide […] en que las ideas más inclusivas se
encuentran en el ápice, e incluyen ideas progresivamente menos amplias” (Ausubel,
1983, 121).
Para Mayer (1979), los organizadores previos tienen las siguientes
características:
 Son un conjunto breve de información verbal o visual.
 Constituyen un material introductorio al aprendizaje de un cuerpo de
información.
 No incluyen algún contenido específico de dicho cuerpo.
 Proporciona medios para generar relaciones lógicas entre los elementos del
pasaje objeto de estudio.
 Influye en los procesos de codificación del alumno.
Resumiendo, la esencia la teoría de la asimilación reside en que los nuevos
significados son adquiridos a través de la interacción de los nuevos conocimientos con
los conceptos previos, existentes en la estructura cognitiva del que aprende, de esa
interacción resulta un producto de aprendizaje en el que no sólo la nueva información
adquiere un nuevo significado sino también el subsunsor adquiere significados
adicionales. Durante la etapa de retención el producto es disociable en sus nuevos
significados; para luego entrar en la fase obliteradora (consecuencia natural de la
asimilación), el subsunsor no vuelve a su forma y estado inicial sino que el residuo de
la asimilación obliteradora es el miembro más estable de la interacción y así el
significado del producto se reduce al nuevo significado del subsunsor modificado,

Capítulo 2 69

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dando lugar al olvido, es decir, la asimilación no es un proceso que concluye después
de un aprendizaje significativo sino, que continua y puede involucrar nuevos
aprendizajes así como la pérdida de la capacidad de reminiscencia y reproducción de
las ideas subordinadas.
Así, la teoría de la asimilación tiene seis principios (McGriff, 2001), a saber:

Subsunción derivativa: Describe la situación en la cual el nuevo concepto o
información es aprendido como un caso o ejemplo de un concepto que ya ha
sido aprendido.

Subsunción correlativa: el aprendiz altera o extiende el concepto que ya posee
a partir de la nueva información.
 Subsunción oblitera: Se refiere al hecho que los aprendices olvidarán la
información adquirida algún día. Y ello depende principalmente del grado de
significatividad asociado al proceso de aprendizaje.
 Diferenciación progresiva: Es un proceso de refinamiento de los significados
del concepto adquirido, en la estructura cognoscitiva del aprendiz. Para
Ausubel los conceptos más inclusivos se introducen primero y luego se
diferencian progresivamente, es decir se elaboran con más detalle y
especificidad. Reigeluth (1979) basó en este principio su Teoría de la
Elaboración (la cual veremos en el próximo apartado).
 Reconciliación integradora: Es otra forma de diferenciación cognoscitiva en la
que se forman enlaces y se establecen nuevas relaciones entre los conceptos
dentro de la estructura cognoscitiva.
 Aprendizaje subordinado: Ocurre cuando se construyen nuevos conceptos que
se pueden integrar en grandes dominios de conocimiento pero que
previamente no se sabía que estaban íntimamente relacionados.
 Organizadores previos: Un organizador previo ayuda a los aprendices a
construir un puente entre el conocimiento que ellos ya poseen y el nuevo
conocimiento a ser aprendido, es decir, activan el conocimiento que los
aprendices ya poseen.

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La teoría de la Elaboración
La teoría de la elaboración ha sido principalmente desarrollada por Reigeluth y
Merrill (1980), con el propósito de prescribir la mejor forma de seleccionar, estructurar
y organizar los contenidos de instrucción para que inciten una óptima, adquisición,
retención y transferencia del conocimiento significativo.
Según Merrill (1977), esta teoría es un procedimiento óptimo para:
 Representar la estructura de conocimientos complejos.
 Pensar la secuencia ideal de materias complejas
 Determinar la estrategia óptima de presentación de esas materias complejas.
Este modelo de instrucción se basa en los siguientes presupuestos (Pérez
Gómez, 1989):
 Recoge las aportaciones de las teorías del aprendizaje cognitivo (Piaget,
Bruner, Ausubel y otros) y caracteriza el aprendizaje en términos del
procesamiento de información y de esquemas de representación del
conocimiento.
 Incorpora las derivaciones de teorías recientes, como la teoría de asimilación
(Mayer, 1979), desarrollada en el apartado anterior.
De la Psicología cognitiva toma con fuerza la idea de la adquisición y retención
del nuevo conocimiento en función de las estructuras cognitivas existentes en el
sujeto, las cuales se activan para el aprendizaje y de los modelos que explican el
aprendizaje basado en el procesamiento de la información (Newel, Simon, etc.) toma
la explicación de los fenómenos de la codificación, almacenamiento y recuperación.
Todos estos presupuestos son integrados por la teoría de la elaboración en su modelo
de diseño de instrucción, el cual:
 Proporciona un formato de organización jerárquica, de arriba a bajo, que facilita
la codificación y el almacenaje.
 Propone el uso de sintetizadores, que relacionan conceptos relevantes y
facilitan la vinculación semántica.
 Proporciona redes y núcleos de relaciones que facilitan la accesibilidad de
cualquier idea.
Esta teoría va un paso más adelante que la teoría de Ausubel pues, aparte de
integrarla en sus presupuestos, tiene mayor poder prescriptivo; incluye cuatro tipos de

Capítulo 2 71

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conocimientos adicionales a los conocimientos subordinado, supraordinado y
combinatorio, ya mencionados, que son: el conocimiento coordinado, experencial,
analógico y el arbitrariamente significativo; e introduce la noción de que el
conocimiento puede adquirirse a distintos niveles de comportamiento, siendo los más
importantes el nivel de recuerdo y el nivel de aplicación.
También adelanta a la teoría de la acumulación de Gagné (1979), de la que
toma el concepto de jerarquías de aprendizaje, porque asume un modelo de tres
estadios (toma los dos que ella propone y agrega la activación del aprendizaje);
rechaza la secuencia inductiva, de las partes al todo; y propone el análisis de tareas
no a nivel de comportamientos simples y observables sino de procesos internos y
complejos que explican la naturaleza de los comportamientos cognitivos a nivel de
procesamiento y ejecución (Pérez Gómez, 1989).
Sobre estas bases se asienta la teoría de la elaboración cuyos principios,
según Reigeluth y Merrill (1980), son:
 Principio de síntesis inicial: Se presenta al comienzo un organizador previo o
epítome (conocimiento general y simplificado) como anclaje de las nuevas ideas.
 Principio de la elaboración gradual: Los conceptos del epítome se elaboran desde
lo general a los detalles.
 Principio del familiarizador introductorio: Al comienzo del epítome se proporciona
una analogía.
 Principio de lo más importante lo primero: La importancia de los aspectos se
determina de acuerdo a su contribución a la comprensión.
 Principio del tamaño óptimo: Cada elaboración debe ser la suficientemente corta
para su reconocimiento y tan amplia como para proporcionar un nivel de
profundidad en la elaboración.
 Principio de la síntesis periódica: Después de cada elaboración debe
proporcionarse un sintetizador para mostrar las relaciones más detalladas entre los
constructos y mostrar el contexto de elaboración dentro del epítome.
La teoría de elaboración constituye un intento loable de construir una teoría
global de la instrucción (Coll, 1989); su aporte específico es que puede ayudar a los
profesores a plantearse la complejidad y multiplicidad de elementos que configuran las
transmisiones educativas (Hernández y Sancho, 1993) al desarrollar, principalmente,
macroestrategias para organizar la instrucción (Pérez Gómez, 1989).

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Capítulo 2 73

2.1.3 Consideraciones en la Planificación de la Enseñanza
El Proyecto Pedagógico de Aula (PPA) se define como “un instrumento de
planificación de la enseñanza con un enfoque global, que toma en cuenta los
componentes del currículo y se sustenta en las necesidades e intereses de la escuela
y de los educandos a fin de proporcionarles una educación mejorada en cuanto a
calidad y equidad” (ME, 1998b, 9)
La planificación de las actividades a realizar en el aula se concretan en los PPA
(último nivel de concreción curricular), siendo los docentes los principales
protagonistas, pues en la organización de su práctica cotidiana deberán articular los
contenidos, secuenciar las actividades, las opciones metodológicas, las estrategias de
enseñanza y escoger o preparar los recursos didácticos que van a emplear. Así, según
Cañal, Lledó, Pozuelos y Travé (1997, 110), “la tarea de planificar la práctica
constituye uno de los aspectos más relevantes de la actividad del profesor”.
La organización de todos los elementos curriculares señalados se desarrolla en
torno a un tema o experiencia desde una perspectiva globalizadora, que permita a los
docentes el tratamiento interdisciplinar del mismo de tal manera que facilite a los
alumnos la comprensión del tema, la reflexión y análisis de la realidad que viven,
favoreciendo así la significatividad y funcionalidad del aprendizaje. Este enfoque
globalizador (ver Figura 2.4) puede lograrse relacionando el tema o experiencia con
alguno de los ejes transversales (lenguaje, desarrollo del pensamiento, valores y
trabajo), con las áreas académicas (Lengua y Literatura, Matemáticas, Ciencias de la
Naturaleza y Tecnología, Ciencias Sociales Educación Estética y Educación Física) o
con los intereses de los alumnos (ME, 1998b).
Pues bien, la planificación es una actividad holística (durante la fase preactiva)
en la que el orden y la regulación de unos determinados elementos debe contemplarse
en conjunto. Teniendo en cuenta estos elementos y el eje organizativo, así como los
destinatarios, el contexto y el propio docente (responsable de la planificación, acción
didáctica y evaluación), se considera a la planificación como un factor decisivo para
conocer la actividad del profesor, como adapta el currículo y sus propias concepciones
sobre la enseñanza y el aprendizaje y como la lleva a cabo al desarrollar su acción
didáctica en el aula (fase interactiva).

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EJE GLOBALIZADOR




EJ
ES TRANSVERSALES





ÁREAS ACADÉMICAS




Figura 2.4: Globalización de los aprendizajes
. Elaboración propia con datos de
Ministerio de Educación (1998b)
LENGUAJE
DESARROLLO
DEL
PENSAMIENTO
VALORES TRABAJO
TÍTULO (PPA)
LENGUA Y
LITERATURA
CS. DE LA
NATURALEZA Y
TECNOLOGIA
MATEMÁTICA
CIENCIAS
SOCIALES
EDUCACIÓN
ESTÉTICA
EDUCACIÓN
FÍSICA
OBJETIVOS
CONTENIDOS
conceptuales,
procedimentales y
actitudinales
ACTIVIDAD
DIDÁCTICA
RECURSOS Y
MATERIALES
ESTRATEGIAS DE
ENSEÑANZA
CRITERIOS DE
EVALUACIÓN
INTERESES DEL
ALUMNADO

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A través de los PPA se pretende organizar los diferentes contenidos de
aprendizaje para lograr los objetivos propuestos (en el período escolar), así los PPA
guían el desarrollo de las unidades didácticas, que según Gimeno (1988) son formas
de organizar los programas escolares dotadas de capacidad para integrar contenidos
diversos y de estructurar períodos relativamente largos de la actividad escolar, dando
respuesta a los siguientes interrogantes:
INTERROGANTES RESPUESTAS OPERATIVAS
¿Qué enseñamos?
Selección de objetivos y contenidos (referidos a
los ejes transversales y a las áreas académicas)
¿Cuándo enseñamos?
Ordenación y secuenciación de los contenidos y
actividades
¿Cómo enseñamos?
Determinación de los opciones metodológicas y
las estrategias de enseñanza
¿Qué, cuándo y cómo evaluamos? Concreción de la evaluación
Cuadro 2.5: PPA como instrumento de planificación. Elaboración propia.
Si consideramos al aula como un sistema de comunicación, es decir, un
conjunto de elementos (alumnos, docentes, medio, recursos, etc.) que interaccionan
entre sí (a través de relaciones afectivas, de comunicación y de poder), que está
orientado a alcanzar determinadas finalidades didácticas y que atiende a ciertos
mecanismos de regulación y control, podríamos establecer una correspondencia entre
los elementos de tal sistema y los elementos curriculares, de acuerdo a Cañal y otros
(1997), la cual presentamos en el Cuadro 2.6:
SISTEMA-AULA ELEMENTOS CURRICULARES
Orientación del Sistema Objetivos
Interacciones Contenidos y Actividades
Organización del Sistema
Estrategias de enseñanza
Regulación de la enseñanza
Cuadro 2.6: El aula como un sistema de comunicación. Elaboración propia.

Capítulo 2 75

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 76

Todos estos elementos curriculares deben estar relacionados entre sí, “deben
ser articulados e interrelacionados coherentemente” (Ander-Egg, 1996, 206) de tal
forma que al fijar o modificar alguno de ellos, los restantes también
se modifiquen (no
necesariamente en la misma dirección), pues todos están conectados en forma
sinérgica dentro de nuestro sistema-aula. Luego es importante que nuestros PPA sean
flexibles y para ello, no sólo tomaremos en cuenta las acciones prescritas con miras a
alcanzar los objetivos propuestos, sino que, haciendo uso de nuestra intuición y
experiencia, daremos respuestas (acciones) a los cambios imprevistos en el momento
del desarrollo o puesta en práctica de lo planificado (redefiniremos la práctica).
La elaboración de un PPA no se refiere sólo al contenido de una lección,
reiteramos, debemos tomar en cuenta el contexto, los objetivos, el contenido a
desarrollar, las actividades, las opciones metodológicas y estrategias de enseñanza,
así como también, la preparación de los recursos didácticos y el método de evaluación
a seguir. Todos estos elementos se consideran, a su vez, en el desarrollo de las
unidades didácticas que forman un PPA y a continuación los detallamos:
A.A. La selección de objetivos Laseleccióndeobjetivos
Se fijan, en términos precisos, de acuerdo a las orientaciones establecidas en
el Currículo Básico Nacional (CBN) o en el Currículo Estadal. A través del PPA los
docentes definen las adaptaciones curriculares necesarias para que los alumnos
alcancen las metas educativas prescritas, desarrollen las capacidades humanas de
acuerdo a su edad (habilidades intelectuales, estrategias cognoscitivas, información
verbal, destrezas motoras y actitudes) y en ellos se establecen los acuerdos
emanados de los procesos de negociación con los alumnos, permitiéndoles, así,
reflexionar sobre la realidad que viven, construir y reconstruir sus aprendizajes, hallar
soluciones a problemas de su entorno, etc. (currículo en acción).
Los objetivos deben enunciarse de manera precisa de acuerdo a lo que el
estudiante podrá hacer después del desarrollo del PPA, deben identificar metas reales
inmediatas y deben estar definidos operacionalmente (Gagné y Briggs, 1999).
Los objetivos para no ser ambiguos deben reflejar la situación a la cual se
enfrentará el aprendiz, la capacidad por aprender, el objeto por manipular, que acción
llevará a cabo y de cuáles instrumentos se podrá valer el aprendiz para alcanzarlos.

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Capítulo 2 77

La elección del verbo principal que comunica el tipo de capacidad humana y
que nos permite enunciar en forma precisa los objetivos, los presentamos en el
Cuadro 2.7 pero aclaramos que se pueden tomar sinónimos de los mismos.
OOBBJJEETTIIVVOOSS
CAPACIDAD HUMANA VERBO
Discriminación Discrimina
Concepto Concreto Identifica
Concepto Definido Clasifica
Regla Demuestra
Solución de Problemas Redacta
Estrategia Cognoscitiva Elabora
Información Enuncia
Destreza Motora Ejecuta
Actitud Elige
Cuadro 2.7: Verbos a elegir según la capacidad humana involucrada en el
objetivo. Adaptado de Gagné y Briggs (1999, 101).
B.B. Preparación de las actividades Preparacióndelasactividades
No sólo se prepararán los contenidos de enseñanza, qué ejemplos, informaciones, reflexiones, cuál será la ilación de los mismos, etc. (actividades de enseñanza), sino que también se prepararán las actividades de aprendizaje de los alumnos, es decir, las actividades que se le proponen a los alumnos con la finalidad de
que reflexionen las ideas de la nueva información obtenida, teniendo en cuenta que
pueden surgir de la creatividad de los niños otras actividades que pueden estar o no
relacionadas con las ideas desarrolladas y que le permitirán al docente conocer cómo
analizan la información, cómo la relacionan con sus vivencias, las dudas,
informaciones erróneas que manejan los alumnos, etc. para ayudarlos a reorganizar
sus conocimientos, atender sus necesidades de conocimiento o dar respuesta a las
inquietudes que presenten.

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Dar libertad de actuación y autonomía a los alumnos, dentro de un clima de
respeto, responsabilidad y disciplina, como lo exige la práctica docente, beneficia el
desarrollo de la práctica, potencia el aprendizaje significativo y favorece el desarrollo
de la personalidad del niño.
Las actividades didácticas, según Cañal y otros (1997, 121), “son procesos de
flujo y tratamiento de información (orientados, interactivos y organizados)
característicos del sistema-aula”, orientados porque, en mayor o menor medida,
responden a metas didácticas, interactivos porque docentes-alumnos-contexto se
relacionan comunicativamente entre sí y organizados porque se estipula y dispone la
cantidad y tipo de información, el formato, los canales para su transmisión, tiempo,
proceso de tratamiento, etc.
Las actividades, en la medida que permiten al sujeto una práctica con el objeto
de conocimiento, le permiten la reestructuración cognoscitiva, no se trata de una mera
práctica, revisión de la teoría o de refuerzo memorístico, es una vivencia reflexionada
por parte del sujeto (Gewerc, 2001).
Para referirnos tanto a las actividades de enseñanza como a las de aprendizaje
podemos hacerlo con el término actividades de instrucción y a las actividades que nos
permiten guiar y ajustar la dinámica del aula según los objetivos establecidos y de
acuerdo a la estrategia metodológica empleada, las denominamos actividades de
regulación. Veamos en el Cuadro 2.8, algunos tipos de estas actividades didácticas.
Para el desarrollo de las unidades didácticas es importante que los alumnos
conozcan las actividades de regulación y participen en la definición de algunas de
ellas, esto les dará responsabilidad sobre el buen desarrollo de la unidad.
Las actividades de regulación tienen que contemplar pautas a seguir ante las
eventualidades y para esto es primordial promover el diálogo con los alumnos pues
ellos con sus actitudes y desenvolvimiento ante las actividades y estrategias
empleadas nos ayudaran a medir el clima del aula, nivel de motivación, grado de
dificultad de las actividades, etc. para introducir modificaciones en el diseño de las
unidades didácticas que permitan su comprensión y mejora. También este tipo de
actividades afecta a la evaluación, por ejemplo las actividades de síntesis al final de la
unidad didáctica permiten, según Ander-Egg (1996, 223), “valorar el trabajo realizado
en lo referente a conocimientos, procedimientos y habilidades adquiridas, y a los
valores y actitudes asumidas”.

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Capítulo 2 79

AACCTTIIVVIIDDAADDEESS DDIIDDÁÁCCTTIICCAASS
DE INSTRUCCIÓN DE REGULACIÓN*
Actividades de selección de
objeto de estudio.
Establecer normas.
Actividades de planificación. Demandar el cumplimiento de normas.
Actividades de contraste y debate
de ideas.
Sancionar el incumplimiento de normas.
Actividades de expresión de
conocimientos, vivencias y
opiniones.
Conseguir información adecuada sobre el
desarrollo de las actividades de
enseñanza.
Actividades de recepción de
conocimientos.
Valorar los logros, dificultades,
deficiencias, etc.
Actividades de búsqueda y
selección de información.
Realizar ajustes, sobre la marcha, en el
diseño de la unidad.
Actividades de construcción
manual.
Conseguir información fiable sobre
conocimiento inicial del alumnado.
Actividades de memorización. Obtener información fiable sobre los
resultados conseguidos en la unidad.
Actividades para la comprensión del conocimiento.
Actividades de reflexión.
Valorar los resultados en relación con los objetivos didácticos y la finalidad
inmediata de la unidad.
Cuadro 2.8: Tipos de Actividades didácticas. Elaboración propia.
*Datos tomados de Cañal y otros (1997, 128).
C. LC.Las opciones y estrategias metodológicas asopcionesyestrategiasmetodológicas
Según Ander-Egg (1996, 206), las opciones metodológicas son las “formas de
actuar en el proceso de enseñanza-aprendizaje” y las estrategias metodológicas son
las “formas de operacionalizar la metodología escogida”.
Las opciones metodológicas se refiere a escoger un método o camino para
alcanzar, satisfactoriamente, las metas propuestas en el correspondiente PPA
considerando el contexto y a las personas implicadas. Y las estrategias metodológicas
no deben confundirse con las actividades de aprendizaje sino que se refieren al modo
como se llevan a cabo esas actividades, son utilizadas por el docente para explicar,
hacer comprender, motivar, etc., a los alumnos y dinamizar el proceso de enseñanza-
aprendizaje (ver el Cuadro 2.9).

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OPCIONES
METODOLÓGICAS
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Expositivo de
transmisión verbal
Lección magistral, complementada con
experiencias ilustrativas.
Repetición de lo enseñado.
Apoyo en el libro de texto como recurso
fundamental.
Aprendizaje por
descubrimiento
inductivo
Realización de actividades que persiguen la
práctica de procedimientos del llamado método
científico y no la adquisición de un cuerpo de
conocimientos.
Descubrimiento autónomo por parte del alumno. El
docente se concibe como un observador.
Aprendizaje
significativo por
transmisión-recepción
Enseñanza expositiva basada en lo que el alumno sabe y la estructura conceptual del contenido.
Estructurar los contenidos de aprendizaje en mapas
conceptuales.
Aprendizaje por
cambio conceptual
Estrategias que favorezcan la creación de conflictos
cognitivos entre las ideas espontáneas y las ideas
científicas (Simulación, resolución de problemas,
etc.)
La tarea del profesor es ayudar al alumno a ser
consciente del conflicto, haciéndole descubrir sus
ideas y teorías previas y a qué predicciones
conducen.
Uso de contraejemplos.
Introducción de nuevos conceptos, mediante
torbellino de ideas de los alumnos, presentación
explícita del profesor o a través de materiales de
instrucción.
Suministrar oportunidades a los estudiantes para
que usen las nuevas ideas.
Aprendizaje por
investigación
Realizar actividades que permitan al alumno reconocer y discriminar el pensamiento cotidiano de las del pensamiento científico y utilizarlas en los
contextos adecuados.
Enfrentar a los estudiantes con problemas
concretos para que emitan hipótesis en función de
sus conocimientos previos, diseñen experimentos,
analicen resultados y elaboren conclusiones.
Cuadro 2.9: Estrategias Metodológicas. Elaboración propia.


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En función de la flexibilidad que deba tener el PPA y que los alumnos sean
responsables y activos en su proceso de aprendizaje, el docente puede considerar
diversas estrategias metodológicas, sin olvidar asumir una posición abierta para
facilitar el dialogo. No hay recetas para ello, pero hay que tomar en cuenta que quedan
condicionadas: la cantidad de información a transmitir, el tipo de recursos empleados,
los criterios de evaluación y el resto de elementos curriculares.
También el docente debe conocer los conceptos previos que manejan sus
alumnos, sus necesidades, intereses, habilidades, reconocer y respetar sus ritmos,
estilos de aprendizaje y que tipo de estrategias utilizan en la ejecución de sus tareas.
Este conocimiento sobre el grupo le permitirá saber cómo pueden trabajar, por
ejemplo: en grupo, individualmente, si hay alumnos que no les gusta trabajar en grupo,
cuál formato prefieren (narrativo, sonoro, audiovisual, etc.), cómo responden ante una
actividad con tiempo prefijado, dentro o fuera del salón, y bajo cuáles estímulos
aprenden mejor. "El cómo enseñar no se puede separar de la concepción
epistemológica que tiene el docente ni de la manera en que él cree que aprenden los
alumnos” (Nieda y Macedo, 1997), veamos algunas de las estrategias de aprendizaje
en el Cuadro 2.10.
Estas estrategias son las responsables de una función primordial en todo
proceso de aprendizaje: facilitar la asimilación de la información que llega al sistema
cognitivo del sujeto, lo cual supone gestionar y monitorear la entrada, categorización,
almacenamiento, recuperación y salida de los datos.
Por ejemplo, cuando un sujeto resuelve un problema usa ciertas estrategias
que se ven reflejadas en la acción. Cuando explica como o que estrategias ha
empleado reorganiza o construye nuevos esquemas conceptuales, en este momento
estamos hablando de metacognición (estamos en el plano de la conceptualización y
en el de las abstracciones reflejadas), y esto le permite reflexionar sobre lo que ha
hecho, el conocimiento que tiene y luego llevar a cabo la auto-regulación.
Así, el docente podrá considerar, durante la fase preactiva de la enseñanza y
durante sus intervenciones, distintas estrategias metodológicas que según los grados
de control de la situación educativa que tengan docentes y alumnos, estaremos en
presencia de estrategias de enseñanza o de estrategias de aprendizaje y todas éstas
constituyen las estrategias metodológicas. (estrategias educativas, estrategias de
enseñanza-aprendizaje o estrategias de aula).

Capítulo 2 81

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ESTRATEGIAS DE
APRENDIZAJE
TIPO DESCRIPCIÓN
E. Afectivo-emotivas
Integran procesos motivacionales,
autoconcepto y autoestima, actitudes
adecuadas, sentimiento de
competencia, etc. Disposicionales y
de Apoyo
E. de Control del
Contexto
Creación de condiciones ambientales adecuadas, control de espacio, tiempo,
material, etc.
Autoinstrucción
E. de Búsqueda,
Recogida y Selección de
Información
El sujeto debe aprender a cómo
acceder a las fuentes de información,
cómo seleccionar lo relevante, etc.
E. Atencionales Dirigidas al control de la atención
E. de Codificación
El sujeto controla los procesos de
reestructuración y personalización de la
información (uso de tablas, subrayado,
mapas conceptuales, resumen, etc.)
E. de Repetición y
Almacenamiento
Control de los procesos de retención y memoria a corto y largo plazo (a través
de copia, repetición, uso de conexiones,
etc.)
E. de Personalización y
Creatividad Pensamiento crítico, reelaboración de la

información, propuestas creativas, etc.
E. de Recuperación de la
Información
Controlan los procesos de recuerdo
(siguiendo la ruta de conceptos
relacionados, ejercicios de recuerdo,
etc.)
Procesamiento y
Uso de la
Información
E. de Comunicación y
Uso dela Información
Uso eficaz de la información (a través de informes, síntesis, simulación de
exámenes, autopreguntas, etc.)
E. de Conocimiento
Conocimiento propio de sus limitaciones
y destrezas, objetivos y contexto de
aplicación.
Metacognitivas
E. de Regulación y
Control
Planificación del trabajo, verificación y valoración del propio desempeño,
corrección de errores, rectificación, etc.
Cuadro 2.10: Estrategias de Aprendizaje. Elaborado con datos de Nogales (2001).

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Capítulo 2 83

D.D. Preparación de los recursos didácticos Preparacióndelosrecursosdidácticos
Para una mejor comprensión de la información que el docente quiera transmitir
a sus alumnos, que les permita a ellos(as) revisar y modificar sus esquemas de
conocimientos e incluso para un mejor desempeño docente en su práctica educativa
(pues le facilitan la planificación, el desarrollo y la evaluación del proceso de e-a), se
hace necesario hoy día utilizar diversos recursos didácticos y reflexionar sobre qué
tipo de materiales sería conveniente usar en el aula de acuerdo con las actividades
planificadas para adquirir determinados objetivos educativos y cómo definir los
contenidos y las estrategias didácticas para su uso, por supuesto, tomando en cuenta
las bondades del medio. Entre ellos tenemos: materiales escritos como el libro de texto
(muy utilizado en nuestras aulas), guías didácticas, revistas, periódicos, etc.;
transparencias; diapositivas; vídeos y multimedia (sin olvidar los dispositivos
tecnológicos que nos permitirán usar dichos recursos) . Estos cuatro últimos son
escasos en la mayoría de nuestros centros educativos, sin embargo en el centro que
constituye nuestro universo contamos con vídeos (además de TV y VHS) e
intentamos crear multimedias (con el programa Clic) adecuados a los ordenadores de
que disponemos.
Esto causa dependencia, por parte de los docentes, del libro de texto, cuya
utilidad ha sido cuestionada, entre otros efectos, porque favorece un aprendizaje
receptivo y pasivo del alumno, la metodología tradicional de enseñanza y es vehículo
de inculcación de la cultura dominante (Area, 1996). Mientras el libro de texto no sea
exclusivamente el único material utilizado como director del acto educativo sino que
forme parte de una respuesta global configurada por diversos materiales (Ballesta,
1999) podremos tratar los diversos contenidos que forman un PPA.
El debate no es la inclusión o exclusión de un determinado medio o recurso,
sino la escogencia o elaboración de aquellos que nos permitan “establecer su sentido
en el contexto curricular, esto es, establecer su papel en relación a las necesidades,
objetivos, contenidos, actividades, tipo de alumno, estructura de relaciones profesor-
alumno, etc.” (González, 2000, 3).
Así por ejemplo, los contenidos conceptuales se pueden aprender a través de
textos escritos y con estrategias repetitivas (modelo tradicional de aprendizaje) y/o a
través de vivencias experenciales, tales como: visitas guiadas a sitios de interés
histórico, salidas de campo para reconocimiento de ecosistemas, contaminación, tipos
de suelos, actividades económicas de la región, etc. (aprovechando que nuestro

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centro está ubicado entre el campo y la ciudad), visita a los infocentros (salas
informáticas conectadas a Internet) para buscar información (textual, audiovisual o
icónica) sobre los conceptos o principios que se pretendan transmitir.
Los contenidos procedimentales pueden aprenderse a través de secuencias de
ejercicios (desde los más simples a los más complejos) a través de materiales que
permitan al alumno repetirlos, tantas veces como sea necesario, y que cada vez que lo
haga obtenga ejercicios del mismo grado de dificultad pero distintos a los ya
realizados. Esta es la idea de los paquetes didácticos con el programa Clic que
detallaremos en el Capítulo 4.
A la par que enseñamos estos contenidos, con la ayuda de materiales
apropiados y definiendo las estrategias convenientes para su utilización, podremos
ofrecer oportunidades a nuestros alumnos que favorezcan el aprendizaje de los
contenidos actitudinales, tales como: interés por resolver los ejercicios y juegos,
curiosidad por analizar los posibles resultados de un ejercicio, cuidado con el uso de
instrumentos y estrategias personales, respeto y valoración positiva por el trabajo del
compañero, perseverancia en la búsqueda de soluciones, etc.
En la escogencia o elaboración de materiales curriculares el docente debe
también tomar en cuenta, según Ander-Egg (1996, 222), lo siguiente:
 “qué tipo de actividad, práctica, aprendizaje o reflexión se pretende generar;
 quiénes son los educandos;
 cuál es la realidad en que están inmersos;
 las posibilidades prácticas de utilizar el material de apoyo”.
Si esos materiales corresponden a materiales multimedia, hay que considerar
cuál es la configuración del medio informático de que disponemos, pues hay muchos
materiales en el mercado que exigen requerimientos mínimos en los equipos y si se
trata de producir nuestros propios materiales hay que buscar, igualmente el software
adecuado. En cuanto al uso de la computadora y las interrelaciones alumno-
computadora-docente debe entenderse “el medio como una ayuda a la adquisición del
conocimiento, más como proceso de construcción del conocimiento que como un
auxiliar” (Ballesta, 1999, 6), que no funciona al margen de las actividades del aula,
pues esto ocasionaría la subutilización del mismo, más aún cuando el centro no posee
los programas adecuados a sus equipos.


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Capítulo 2 85

EE. Método de evaluación a seguir .Métododeevaluaciónaseguir
La evaluación debe entenderse como un proceso de reflexión y mejora de la
práctica educativa, desde el momento de su planificación, durante el desarrollo y al
finalizarla. Con la evaluación no sólo conocemos la cantidad de información
memorizada por los estudiantes sino también conocemos otras dimensiones:
contenidos, metodología empleada, medios utilizados, actitud del profesor, etc.,
(Cabero, 1999a), es decir se consideran todos los elementos del diseño curricular
utilizado y además deben participar en este acto todos los protagonistas del acto
educativo (Cañal y otros, 1997).
Esto está acorde con lo establecido por el MECD (2000, 117), donde se fijan
como funciones del proceso de evaluación de los aprendizajes, las siguientes:
“Evaluación Diagnóstica o Explorativa permite detectar las condiciones en las que se
encuentran los alumnos, en las primeras semanas del año escolar o al iniciar cada
proyecto pedagógico de aula para determinar los conocimientos previos de los
alumnos. ...
Evaluación Formativa o de procesos está vinculada con los procesos de enseñar y de
aprender. ....
Evaluación de Resultados se realizará al concluir un proyecto pedagógico o al finalizar
un año escolar. En esta fase final se evaluará la eficiencia y efectividad de la acción
docente, equipo interdisciplinario, personal directivo, [ ..].”.
La evaluación diagnóstica nos permite identificar el grado de adecuación de los
esquemas cognitivos de los estudiantes en relación con el programa pedagógico
donde se incorporará. Con la evaluación formativa podremos mejorar el programa que
estemos desarrollando, no sólo con respecto al aprendizaje del alumnado sino,
reiteramos, con respecto al proceso de enseñanza, la práctica docente y a la propia
unidad didáctica y con la evaluación sumativa certificamos si los objetivos educativos
se han alcanzado. No pretendemos ser exhaustivos en estos temas, pero si nos
interesa puntualizar algunas ideas.
El acto de evaluar “debe tener como referentes fundamentales las capacidades
seleccionadas en los objetivos, los contenidos sobre los cuales se aplican las
actividades seleccionadas y las sugerencias sobre los resultados esperados del
aprendizaje” (Nieda y Macedo, 1997, 29).
Los alumnos aprenden y se desarrollan en la medida en que pueden construir
significados en torno a los contenidos curriculares que se les presentan, una de sus

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mayores dificultades está en la adquisición de conocimientos científicos, así como la
utilización y transferencia de los mismos a situaciones cotidianas.
Para ayudarlos a superar estas dificultades es preciso conocer la estructura
lógica de la disciplina y la estructura psicológica que tiene que ver con la forma en que
los estudiantes han establecido personalmente las relaciones entre los conceptos.
Aunque cada individuo establece una relación propia, se ha demostrado que existen
unas líneas comunes en función de la edad y, por ejemplo, en el caso de la enseñanza
de las Matemáticas la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) ha
establecido seis principios que describen características particulares de alta calidad en
la educación matemática y estándares que describen los contenidos y los
procedimientos que los alumnos deben aprender.
En aprendizaje de las Matemáticas, los niños deben “pensar, formar y
reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemáticos”, como lo indican
Hernández y Soriano (1999, 27), y para ello deben usar procesos cognitivos tales
como observar, comparar, ordenar, clasificar, representar, retener, recuperar,
interpretar, inferir, evaluar y transferir.
El observar las actuaciones de los estudiantes, cómo manipulan los materiales
de enseñanza y cómo aplican los conocimientos nos permiten constatar si han logrado
los objetivos de la enseñanza, si debemos aplicar correctivos y/o mejorar aspectos
relacionados con la metodología aplicada. Para ello, dentro de la planificación de la
unidad didáctica, debemos proveer a los estudiantes de actividades “encaminadas a
que los alumnos reconozcan y valoren la utilidad de aprender comprendiendo” (Diaz y
Hernández, 1998, 185), donde puedan aplicar lo aprendido (de acuerdo al tipo de
contenido: procedimental, conceptual o actitudinal) y que les permitan generalizar y
transferir los conocimientos aprendidos a otros contextos de aplicación, sin dejar de
ayudarlos a poner en marcha las habilidades adecuadas en cada caso.
La evaluación debe sistematizarse para poder aprovechar la información que
de ella se emane, con la información obtenida podrá el docente decidir qué y cómo
otorgar una ayuda ajustada a los procesos de construcción realizados por los alumnos
(Díaz y Hernández, 1998). En el Cuadro 2.11 sintetizamos un modelo de evaluación.


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Capítulo 2 87




EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN
DEFINICIÓN CARACTERÍSTICAS
Cualitativa
Es de carácter descriptivo, analiza los
procedimientos recursos y acciones de la
práctica, interpreta los resultados e indaga
sobre las causas que los originan.
Multidireccional
Sus fuentes de información son variadas y evalúa todos los factores y actores del acto educativo.
Naturalista
La evaluación se entiende como una capacidad humana.
Constructivista
“Valora los hechos y los datos que resultan de la e-a como representaciones del conocimiento en construcción”.
Ética
Basada en el respeto, la tolerancia e imparcialidad.
Integral
Considera todos los factores que intervienen
en los procesos de e-a.
Cooperativa
Participan todos los actores intervinientes en
el acto educativo.
Flexible
Se adapta a las necesidades del contexto social donde está inmersa la escuela.
Sistemática
Sigue un orden secuencial que permite observar todas las fases del proceso.
Acumulativa
Recoge los juicios valorativos de todos los actores durante cada fase.
Individualidad Cada niño se compara consigo mismo.
Informativa
El docente obtiene información relacionada
con el desarrollo del PPA y con el proceso de
aprendizaje que puede comunicar a los otros
actores.
Cuadro 2.11: Consideraciones al proceso de evaluación para la I y II etapa de
Educación Básica. Adaptado de MECD (2000, 116).

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2.1.4 Programas Informáticos y Teorías de Aprendizaje
La utilización de los programas informáticos supone la adquisición de un
determinado aprendizaje, pero cabe acotar que es el uso que el docente hace de ellos
lo que determina su potencialidad instructiva (Bartolomé, 1999).
Algunos programas pueden usarse con grandes grupos y la ayuda del docente,
otros con pequeños grupos o en forma individual. En todo caso, si nuestro docente
contara con gran variedad de programas educativos podría individualizar la
instrucción, claro que primero debe superar la falta de equipos informáticos, o el contar
con equipos de bajas prestaciones o su falta de capacitación en esta área. Este último
es un tema de otro capítulo.
Sin embargo, a continuación presentamos algunos programas multimedia con
sus diferentes posibilidades de uso en educación, desde la perspectiva de la teoría de
aprendizaje que subyace. Veamos el Cuadro 2.12.

TIPOS DE PROGRAMAS TEORÍAS DE APRENDIZAJE
Basados en la Enseñanza Asistida
por Ordenador (EAO)
Conductismo
Multimedia educativo Cognitivismo
Micromundos Constructivismo
Programas de Comunicación Teorías Socioculturales
Cuadro 2.12: Tipos de Programas y Teorías del Aprendizaje.
Adaptado de Gros (2000).
Dentro del conductismo surgen los programas de EAO, muy criticados aunque
actualmente muchos juegos y programas multimedia utilizan principios del diseño instructivo conductista (práctica y repetición), como acota Gros (2000), los cuales son
ampliamente reconocidos como base del aprendizaje de destrezas (Bartolomé, 1999).
En cambio, el planteamiento cognitivista comprometido con explicar la actividad
inteligente en términos del procesamiento mental de la información, se refleja en
diversas teorías y aplicaciones. Entre las teorías tenemos: el aprendizaje significativo
de Ausubel, el aprendizaje por descubrimiento de Bruner y la teoría de Gagné.
La estimulación cognitiva propone Bruner que se haga mediante materiales que
entrenen en las operaciones lógicas básicas, como apunta Urbina (1999, 93).

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Entre los programas en este enfoque, tenemos la simulación , que le permite al
usuario manipular variables de un modelo y observar los efectos de forma inmediata,
desarrollar hipótesis, estrategias, detectar leyes, etc., lo cual redunda en el desarrollo
de un pensamiento formal. Y los lenguajes de programación que permiten la
representación del conocimiento para la resolución de problemas.
Estas teorías han comenzado a suscitar críticas como las referidas a las
influencias indeseables que deforman la creatividad en diversas actividades humanas,
además respaldan el trabajo con el ordenador desligado de la actividad social en la
práctica educativa (Croock, 1998).
Surge la teoría constructivista como movimiento intelectual sobre el problema
del conocimiento. “En el ambiente constructivista piagetano, el aprendiz actúa sobre el
mundo, abstrayendo después los conocimientos en su reflexión íntima sobre las
consecuencias de esa acción” (Croock, 1998, 94).
En cuanto a los programas en esta teoría, podemos decir que su diferencia
respecto a otros tiene que ver con el control del usuario, aquí “los usuarios tienen un
control significativo sobre el funcionamiento del programa y el contexto de resolución
de problemas que éste aporta resulta, de por sí, estimulante y motivador” (Squires y
Mcdougall, 1997, 104).
En las teorías sociales se presta atención al marco social de apoyo y se
considera la cognición como una actividad humana mediada por las tecnologías que
se construye en el plano social.
La teoría del desarrollo cultural planteada por Vygotsky e impulsada por otros
psicólogos y pedagogos de la escuela soviética, desplaza el énfasis de la pedagogía
del campo puramente intelectual al del desarrollo del individuo como persona que
asume comportamientos superiores en la medida que asume los instrumentos
culturales que ha creado (Orobio y Ortiz, 1997).
En esta sección, analizamos los programas desde la perspectiva de la
concepción del aprendizaje que subyace, damos algunas de sus características,
hablamos de su uso educativo y consideramos algunas diferencias entre ellos.



Capítulo 2 89

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A. ProA.Programas Informáticos y Conductismo gramasInformáticosyConductismo
En el enfoque conductista, el uso del ordenador se basa en la enseñanza
programada, que toma su nombre de la palabra programa porque la idea principal
consiste en que el alumno ejecute secuencialmente un conjunto de acciones
previamente estructurados (Vaquero, 1992).
Los programas en este enfoque se denominan programas de enseñanza
asistida por ordenador (EAO) y en ellos hay tres tipos de interacciones entre el
aprendiz y el ordenador, a saber: pruebas en línea (compara un modelo de
rendimiento del alumno con uno de rendimiento experto), diálogos correctores
(controlados por un agente externo y surgen cuando el rendimiento del aprendiz no
responde a criterios predeterminados) y demostraciones interactivas que permiten al
alumno tomar decisiones (Stribel, 1993).
Además estos programas de EAO poseen ciertas características que, a pesar
de su concepción conductista, aún los hacen vigentes en algunos materiales
educativos. Entre estas características tenemos:
 Los programas de enseñanza asistida están individualizados.
 Instruyen eficazmente sin la participación directa del profesor.
 Cada alumno aprende a su propio ritmo.
 Se supone que el aprendiz ya conoce el tema y puede trabajar con la
información ofrecida.
 El control del aprendiz es prácticamente nulo, salvo su ritmo y su decisión de
apagar el ordenador.
 El alumno está sometido a un control de calidad constante cuyo objetivo es
garantizar un resultado conductual.
 Se le exige al alumno resultados de rendimiento predeterminados, no
negociables ni mensurables.
 Leyes de aprendizaje comunes a todos los individuos.
 El diseñador impone el carácter de la interacción del aprendiz y el software.
 El material se presenta en unidades básicas elementales en secuencias
ordenadas.
 Exigencia de frecuentes respuestas de los alumnos.
 Corrección inmediata de las respuestas.

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 Se da gran importancia al estímulo. Se recompensan las respuestas correctas
y se permite repetir el ejercicio en caso de respuesta incorrecta.
 El ordenador controla tanto los medios como los fines.
Los programas de enseñanza asistida por ordenador se centran en los
programas de adiestramiento y práctica y en los tutoriales.

Los programas de adiestramiento y práctica (Drill and Practice programs): son
aquellos que presentan al sujeto los ejercicios de modo escalonado, progresivo,
variados y siguen el ritmo del aprendizaje individual (Bartolomé, 1999). Su ejecución
requiere de que el usuario posea los conocimientos previos del tema que va a ejercitar
o revisar, así lo afirman Jacson, Kutnick y Kington (2001, 131), “learning of new
knowledge and skills may be the result of personal and interpersonal performance on
specific cognitive tasks, but a large amount of classroom tasks focus on practice or
revision of established knowledge”.
Los programas de adiestramiento y práctica están diseñados para proporcionar
intervenciones correctoras inmediatas sobre todo en presencia de respuestas
erróneas, los alumnos se moldean de acuerdo al criterio de un agente externo y, por
tanto, constituyen una forma determinista de tecnología conductual. Es por ello que
tendremos las siguientes consideraciones en el uso de este tipo de software:
 Tecnológico: El uso de la tecnología no garantiza una metodología de calidad,
más cuando se asocia el ordenador y la EAO con una única metodología o se
piensa en la nueva tecnología como soporte de la vieja concepción. Cuando al
ordenador, lo acompaña el adjetivo multimedia, los diseños de EAO se adaptan
(Bartolomé, 1999), aunque a veces estos programas multimedia poseen más
medios que contenido y el medio no es un agente que actúe directamente sobre
el aprendizaje.
 Metodológicos: Se relegan los aspectos comunicativo y de fluidez del medio por
la precisión de la respuesta, esto provoca una ejecución mecánica de los
ejercicios por parte de los alumnos y no se les deja reflexionar sobre los
significados involucrados.
 Necesidades: El docente se libera de una parte monótona de la enseñanza, lo
cual le deja tiempo para chequear la actuación de sus alumnos, solventar sus
dudas, guiarlos, etc. y a la vez ocuparse del diseño de materiales adecuados al
currículo que desarrolla y a sus audiencias.

Capítulo 2 91

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 Evaluación: El ordenador tiene la potencialidad de evaluar las respuestas de los
alumnos con exactitud, siempre y cuando el diseñador del software incluya todas
las posibles respuestas.
 Significado: Se puede hacer énfasis en cuestiones de tipo semántico para evitar
que sólo las respuestas mecánicas imperen dentro del programa que se ejecuta.
No olvidar el respeto por la notación (importante en el lenguaje matemático),
hacer restricciones respecto a errores ortográficos, considerar que hay palabras
cotidianas que tienen distintos significados, etc., pues “comprender el lenguaje es
entender el concepto que una determinada palabra simboliza” (Orton, 1990, 16).
PROGRAMA DE ADIESTRAMIENTO Y PRÁCTICA
NOMBRE DESCRIPCIÓN INTERFAZ
Arithme Tick-Tack-
Toe Versión 1.2
Juego tradicional de la
vieja (marcar X y O). Se
requiere que los
jugadores den una
respuesta correcta al
problema matemático
antes de colocar su X u
O. Presenta varios
niveles.

Cuadro 2.13: Ejemplo de un Programa de adiestramiento y práctica.
Otros programas son los de tutoría informática o simplemente tutoriales, que
poseen una forma más sofisticada de interacción en comparación con los programas de adiestramiento y práctica pues intentan reproducir la forma de enseñanza basada
en el diálogo con el tutor y como lo afirma Stribel (1993, 51), “están diseñados para
asumir la responsabilidad total de la enseñanza”, aunque siguen dentro del marco
conductual y tecnológico.
Para Bartolomé (1999, 121), “un tutorial es un programa que guía al alumno en
su aprendizaje, proporcionándole información y actividades que, supuestamente,
deberían confirmar, reforzar o provocar el aprendizaje”.
Estos programas son adecuados para la adquisición de contenidos
conceptuales concretos, facilitan la comprensión de conceptos simples y usan
módulos para resolver situaciones concretas. Presentan explicaciones, descripciones,
problemas e ilustraciones gráficas del concepto que desarrollan.
Los conceptos se

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 92

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encaminan para su aprendizaje sin ningún esfuerzo en la instrucción, al contrario de
los programas de adiestramiento y práctica que sólo proporcionan práctica y su
valoración.
Algunos tutoriales presentan un pretest para ubicar al usuario en el nivel que le
corresponda dentro de la lección, después de la parte tutorial del software se
presentan ejercicios de adiestramiento y práctica y al finalizarlos el usuario deberá
presentar un postest. El usuario puede ver su record cuando termina la lección, así
como algunas sugerencias adicionales para mejorar en su estudio (Bitter y Pierson,
2002).
Los tutoriales tradicionales se originan a finales de la década de los 50’s en las
universidades norteamericanas, presentan la información y a práctica en forma lineal,
las diferentes pantallas se van presentando al usuario cual si leyera un libro y no se
toman en cuenta las diferencias individuales, en cambio los tutoriales ramificados no
requieren que todos los usuarios sigan el mismo camino a menos que los resultados
del pretest y postest lo sugieran.
Luego surge el Mastery learning, principal apoyo psicológico y pedagógico de
la EAO, el cual “se apoya en la idea de que bajo las condiciones adecuadas, la
mayoría de los estudiantes pueden aprender bien lo que los profesores quieren que
aprendan y que, de este modo, la educación puede ser mejorada sustancialmente”
(Vaquero 1992, 19), su núcleo es el diagnóstico y la corrección, dan más tiempo de
aprender a los más lentos y el profesor ayuda al alumno para que domine (master) un
alto porcentaje de la materia objeto de estudio.
Los tutoriales han ido evolucionando, desde sus diseños clásicos (lineal y
ramificado) hasta diseños alternativos (diseño en malla) donde cada situación se
relaciona con otras en las que algún elemento cambia y los caminos a seguir los
define el usuario. Se trata de tutoriales inteligentes basados en sistemas expertos (el
sistema extrae conclusiones al cotejar las respuestas del usuario con una base de
datos de acuerdo a un criterio probabilístico), el programa responde inteligentemente
ante las respuestas incorrectas, predice las más comunes y ofrece explicaciones
elaboradas acordes a la incorrección, es decir, el ordenador no pierde su carácter
directivo. En el Cuadro 2.14 mostramos un tutorial disponible hoy en la Internet.
Los programas informáticos de ejercitación y práctica y los tutoriales introducen
un esquema racional de medios y fines en el que un agente externo conceptualiza,
diseña y gestiona el proceso de aprendizaje, mientras que la adquisición de

Capítulo 2 93

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conocimiento y la construcción de destrezas se someten a criterios de eficacia y
rendimiento.

TUTORIAL
NOMBRE DESCRIPCIÓN
DIRECCIÓN
ELECTRÓNICA
NaturePainter Digital
Canvas
Es un programa para
Windows que facilita el
aprendizaje, la práctica
y la enseñanza de la
pintura.
www. naturepainter.net

Cuadro 2.14: Ejemplo de un Tutorial.
Se concede a los alumnos sólo un control en ritmo, ruta y cronología. La
interacción está controlada por un algoritmo explícito, se centra en las mejoras en el
rendimiento y el alumno es un medio hacia el fin establecido por otra persona, lo cual
justifica “la consideración de los seres humanos como procesadores de información y
seguidores de normas (en lugar de cómo individuos con intencionalidades únicas)
legitima la uniformización de los objetivos, métodos y resultados educativos” (Stribel,
1993, 58).
Pero las dificultades para implementar las diversas metodologías (ejercitación y
práctica, tutoriales, etc.) en la EAO se deben al ordenador en sí mismo, el cual no esta
ligado a ninguna corriente en particular sino que puede ser potencialmente utilizado
dentro de cualquiera de ellas (Campos y Mancebo, 1995).
El software de adiestramiento y práctica permite a los estudiantes trabajar en
temas que ellos conocen y es ideal para aquellos que necesitan soltura en alguna
destreza, además el medio electrónico puede ser más motivante que el lápiz y el
papel. Mientras que los tutoriales intentan ayudarlos en el desarrollo de conceptos
concretos a través de la instrucción y el feedback y son ideales para aquellos grupos
de alumnos con diferentes estilos y niveles de aprendizaje o para los que requieren
instrucción en un tópico específico. Pero ninguno de ellos, en sus versiones
tradicionales, les permiten al usuario el aprendizaje experimental.

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Capítulo 2 95

BB. Programas Informáticos y Cognitivismo .ProgramasInformáticosyCognitivismo
La teoría conductista sólo proporciona una descripción de la conducta,
consideran un modelo estándar de alumno y una cultura escolar homogénea. La
enseñanza programada ha recibido criticas porque "analiza un esquema simple de
estímulo-respuesta a comportamientos observables y no servía para explicar
aprendizajes complejos" (Marqués, 1999, 59), mientras que las teorías cognitivas
tienen como objetivo la descripción de los procesos involucrados en la conducta
cognitiva del individuo, según Vaquero (1992), es decir, buscan “explicar la actividad
inteligente en términos del procesamiento mental de la información” (Crook, 1998, 90).
Esta descripción se materializa en unos programas que simulan aspectos de dicha
conducta o del quehacer cognitivo del sujeto.
De acuerdo con Crook (1998), la psicología cognitiva no considera la
contextualización del aprendizaje y beneficia la idea de que adquirimos formas de
actuar de carácter general y en este marco los ordenadores pueden considerarse
como laboratorios donde preparar las herramientas que faciliten el aprendizaje.
El trabajo con los ordenadores está desligado de la actividad social que reina
en toda práctica educativa en el aula, las teorías cognitivas tradicionales no se oponen
a ello, basándose, quizás, en la idea de que los programadores tratan de elaborar
reproducciones informáticas de los diálogos humanos (interactividad) que intentan
sustituir la intervención del profesor y que los teóricos cognitivos han tratado de
perfeccionar para que parezca cada vez más inteligente.
En este enfoque del ordenador como herramienta se puede fomentar la
creencia de proporcionar un ambiente donde el aprendiz pueda cultivar ciertas
destrezas que, una vez dominadas, pueda usarlas en distintos contextos, lo cual
también desvía la atención de los procesos sociales de la instrucción.
Así el ordenador como un objeto con el cual pensar nos conduce al campo de
los lenguajes informáticos y las simulaciones, los cuales “imponen un sesgo de
nuestros modos de percepción hacia los conocimientos de tipo cuantitativo, declarativo
y procedimental, ocultando otros tipos de conocimiento” (Stribel, 1993, 64), pues estas
herramientas informáticas poseen su propio sistema de símbolos y una semántica
particular.

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Cuando el usuario diseña un programa para resolver un problema necesita
conocer el lenguaje de programación con el cual codificar su algoritmo, también debe
plantearse algunas inquietudes referidas al cómo organizar los datos, cuáles subtareas
lo conducen a la solución, cuál error de aproximación permite que la solución converja,
etc., y a su vez explorar el modo en que dicha actividad le ayuda a pensar y aprender
sobre el problema que se ha planteado.
“La programación correcta capacita a los aprendices para afrontar y examinar
una representación concreta de sus procesos de resolución de problemas”, como
apunta Crook (1998, 96), pero una programación incorrecta también lo ayuda a
coordinar los efectos de unos comandos del código fuente y las relaciones visuales
que originan. Este feedback le permite mejorar la comprensión de su propia actividad y
en consecuencia a mejorar su conocimiento del fenómeno que estudia.
El ordenador maneja datos y símbolos de acuerdo con reglas sintácticas (pero
somos los usuarios quienes asignamos significados), eso implica que los ordenadores
legitiman las características del conocimiento que encajan en su marco, como son:
orden debido a reglas, sistematicidad objetiva, claridad explícita, ausencia de
ambigüedad, ausencia de redundancia, coherencia interna y aspectos cuantitativos y
deslegitima otras: objetivos no previstos, carácter connotativo y tácito, racionalidad
dialéctica, ambigüedad, redundancia, simultaneidad de distintas lógicas y aspectos
cualitativos (Stribel, 1993).
Debemos cuidar no depender tanto de las características formales del
conocimiento que de la dimensión interpretativa del mismo cuando se usa el
ordenador como herramienta, pues ello nos obliga a actuar como procesadores de
información, llegar a conclusiones mediante cálculo y análisis racional, reducir los
problemas a términos explícitos y de procedimiento, a pesar de ser activos, intuitivos y
constructivos. Ello llevaría a los estudiantes a niveles bajos en la esfera cualitativa,
dialéctica y experimental de los sucesos naturales y sociales.
Las simulaciones, por su parte, plantean situaciones en las que pueden
suceder cambios ante los cuales el usuario toma decisiones cuyas consecuencias se
traducen en nuevos cambios en el entorno. Para Bartolomé (1999, 129), “el objetivo
del usuario puede ser explorar un entorno, asegurar la permanencia del sistema o
simplemente sobrevivir”.


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En estos entornos donde el usuario toca las teclas, experimenta y toma
decisiones, “el ordenador se convierte en una herramienta que potencia el desarrollo
de habilidades cognitivas del alumno”, (García 1996, 193). Pues como lo afirma
Marqués (1999, 63), "los ordenadores son sistemas simbólicos de representación de la
realidad que interaccionan con la estructura cognitiva de los estudiantes".
Cada simulación posee ciertas características propias pero en general
podemos decir que son realistas (debido al uso de videos y al diseño de la interfaz),
permiten el uso de dispositivos auxiliares (joystick, pantallas táctiles, etc.), permiten el
desarrollo de destrezas (por ejemplo, los simuladores de vuelo), favorecen la toma de
decisiones y la capacidad de interactuar con la máquina, pueden ser usadas en grupo
(por ejemplo las relacionadas con medicina y el área financiera), etc.
La simulaciones educativas permiten al usuario manipular objetos; realizar
diversos procedimientos; actuar en una situación determinada o experimentar con
fenómenos que en su aula o entorno no podría, por no contar con los medios o por ser
éstos muy peligrosos (Bitter y Pierson, 2002).
Este tipo de software proporcionan un entorno rico para la construcción del
aprendizaje individual, pues en ellos el usuario puede aplicar sus conocimientos y
destrezas, tomar decisiones, ser un participante activo, tomar riesgos, presenciar las
consecuencias de sus decisiones y sacar sus propias conclusiones con lo cual se
favorece el aprendizaje por descubrimiento.
A continuación, en la Figura 2.5, mostramos un ejemplo de una simulación
donde se pide hallar la velocidad de un paracaidista en función del tiempo t después
de abierto el paracaídas. Para ello se usa software Geometer´s Scketchpad,
desarrollado en Pennsylvania-USA a raíz del proyecto Visual Geometry Project (VGP)
dirigido por el Dr. Eugene Klotz y la Dra. Doris Schattschneider.
El programa fue diseñado principalmente para el uso en clases de geometría
pero es útil en la enseñanza de otros temas del campo de la Matemática. Con este
programa el estudiante puede realizar una gran variedad de construcciones
geométricas, explorar con ellas, establecer conjeturas y experimentar.

Capítulo 2 97

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 98


Figura 2.5: Simulación de un problema de paracaidista con el software
Geometer´s Scketchpad.


C.C. Programas Informáticos y Constructivismo ProgramasInformáticosyConstructivismo
Las teorías constructivistas comparten con las cognitivistas el interés de definir
estructuras cognitivas generales, como nos acota Crook (1998). Para ello nos
aprovechamos de los medios de enseñanza en el sentido de que no influyan sobre
estructuras cognitivas concretas (atención, memoria, recuperación de información,
etc.) sino en su funcionamiento integral.
En cuanto al ordenador, hay dos aspectos del pensamiento constructivista que
intervienen en su integración en el contexto social del aula que se refieren a la visión
del aprendizaje centrado en el alumno y a la visión del ordenador como herramienta
para pensar. Esto gira la atención a la creación de ambientes adecuados para el
aprendizaje por descubrimiento (que los niños exploren y construyan por si mismos
aprendizajes nuevos) y a la dimensión de las interacciones sociales durante el
aprendizaje.
Para Piaget y sus discípulos el aprendizaje es una construcción del sujeto en
interacción con el medio. Como consecuencia de ello surge la preocupación de
proporcionarle al sujeto entornos de enseñanza aprendizaje que le estimulen sus
habilidades cognitivas.
Los ambientes informatizados pueden permitir la integración o el
perfeccionamiento de las destrezas cognitivas a través de una práctica significativa, es

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decir, el usuario ha interiorizado las formas de actuar con el medio y ello origina
nuevas estructuras cognitivas personales.
El entorno de programación Logo fundamentado en que el sujeto construye su
conocimiento, como resultado de un aprendizaje significativo y por medio de la acción,
es un ejemplo de tal entorno. Este herramienta computacional la presentó Papert con
la metáfora de la tortuga que permite al usuario crear mundos ficticios con los cuales
experimentar, donde la personalización de la actividad creadora y el apoyo de la
estructura del pensamiento son sus cualidades. Logo es un vehículo para introducir
conceptos básicos de programación.
Basado en este lenguaje de programación tenemos como ejemplo el ambiente
de aprendizaje Micromundos, en el cual se pueden construir proyectos en cualquier
área curricular. Es un programa bastante completo y simple a la vez, pues permite el
desarrollo de aplicaciones sofisticadas, ya sea que se programe o se utilicen los
elementos ya diseñados en sus bibliotecas de vídeos, textos, dibujos, gráficos,
sonidos, etc.
Presenta una interfaz amigable, con elementos familiares al tipo de usuario al
que va dirigida, con sólo hacer clic en el ratón sobre sus botones y escribir en una caja
de diálogo sus comandos que son sencillos pues se asemejan al lenguaje natural,
podrán niños y jóvenes obtener creaciones propias según su forma de ver el mundo y
sentirlo, por lo tanto no requiere un aprendizaje profundo de los comandos. En la
Figura 2.6, apreciamos una construcción sencilla de un cuadrado sólo con el comando:
Repite 4 [cp ad 100 de 90].
Micromundos está estructurado para ayudar a los alumnos a desarrollar
habilidades tanto en resolución de problemas como en pensamiento creativo. Este es
un programa dinámico, puede hacer que las cosas se muevan y puede mostrar
imágenes en movimiento, lo cual es una ventaja, pues muchas áreas de las ciencias y
letras se prestan para trabajar con elementos dinámicos.
Otras utilidades dentro de esta concepción son: las simulaciones, que como
acota Bartolomé (1999) pueden ser utilizadas bajo diferentes planteamientos (según el
programa curricular), es decir son ambivalentes, las más sencillas pueden ubicarse
dentro de los programas de adiestramiento y práctica y las más complejas dentro del
enfoque constructivista. Las simulaciones proporcionan contextos ricos para la
construcción del aprendizaje individual, presentan experiencias de la vida misma y por
ello requieren de la combinación de destrezas y conocimientos.

Capítulo 2 99

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Figura 2.6: Micromundos, basado en el lenguaje de programación Logo.
Las enciclopedias que antes encontrábamos en las bibliotecas o librerías en
varios tomos, tan voluminosas y pesadas, ahora las podemos encontrar en uno o
varios CD-ROM. Las incluimos, junto a los diccionarios, dentro de los programas de
referencia, los cuales presentan la información en diversos formatos: textual, gráfico,
audio y video, a la que se puede acceder desde un índice, poseen enlaces a través de
palabras activas o botones de navegación, también han evolucionado y ahora
presentan recursos multimedia como la historia o lista de pantallas visitadas, toma de
notas, etc.
Las herramientas informáticas como procesadores de palabras, bases de
datos, hojas de cálculo, editores gráficos, herramientas de dibujo y programas de
autor; también las ubicamos dentro de esta perspectiva porque le dan maestría a
profesores y estudiantes en el manejo de información textual, gráfica y numérica
pudiendo con ello lograr creaciones únicas. Estas utilidades no están dentro de un
área específica pero le permiten al usuario transferir las habilidades y hábitos que con
ellas adquieren al usar otros programas.
Con un procesador de palabras los usuarios podrán, por ejemplo, crear
cuentos o composiciones sobre algún tópico dentro del currículo que desarrollan, o
crear también con una herramienta de dibujo (Paint brush, por ejemplo) lindas
composiciones artísticas libres o alusivas a algún tema en particular, que podrán
compartir con otros niños. Mientras que con los programas de autor el aprendiz podrá
generar programas multimedia.

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 100

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Capítulo 2 101

Otros programas en este enfoque son los de resolución de problemas, los
cuales requieren que el usuario aplique estrategias de alto orden y la síntesis de su
conocimiento en distintas áreas para resolver un problema o un caso específico.
Los programas de este tipo proporcionan al usuario la práctica en resolución de
problemas a través de modelos generales, focalizados en un área específica del
conocimiento o por medio de un entorno abierto donde el usuario pueda descubrir y
aplicar sus propias estrategias. “Good problem-solving program promote the
development of logical systematic thinking patterns and transcend the boundaries of
simple tutorial or drill-and-practice programs” (Bitter y Pierson, 2002, 151).
Estos programas favorecen el pensamiento crítico, la adquisición de destrezas
de alto orden, interpretación de situaciones, chequeo de hipótesis, etc. y para ello “el
alumno debe buscar la información, valorarla, seleccionarla e integrarla en su camino
de construcción de un conocimiento”, como nos indica Bartolomé (1999, 128).
D.D. Programas Informáticos y la Teoría Sociocultural ProgramasInformáticosylaTeoríaSociocultural
Al igual que en el constructivismo, en la teoría sociocultural hay un compromiso
con el aprendiz activo, pero esta última presta más atención al orden del mundo que
surge de la historia social: sus artefactos, tecnologías, instituciones, etc., y a los
procesos de interacción social para apoyar el cambio cognitivo, como apunta Crook
(1998).
Así, la teoría sociocultural, apoyada fundamentalmente en los aportes del
psicólogo bielorruso Lev Vygotsky, tiene como argumentos: “el origen social de los
procesos mentales humanos y el papel del lenguaje y de la cultura como mediadores
en la construcción e interpretación de los significados” (De Pablos, 1998, 460). Y por
ello, se interesa por analizar las situaciones curriculares mediadas no sólo por el
lenguaje sino también por los nuevos mediadores como la televisión, el ordenador,
multimedia, etc.
Este concepto, la mediación, nos permite abordar el papel de los medios en la
enseñanza, desde cualquier material educativo, pasando por la interacción con otro
individuo hasta los multimedia, los cuales fungen como intermediarios entre el contexto
social y el individuo, en vista de que cualquier función mental en el desarrollo del niño
aparece en dos planos: el plano social (el primero) y luego en el plano psicológico (el
segundo).

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Otro concepto clave es el de la internalización, definido como “la incorporación
al plano individual, intrapsicológico, de lo que previamente ha pertenecido al ámbito de
nuestras interacciones con los demás” (De Pablos, 1998, 463).
Estos conceptos se ven favorecidos con el uso de programas para acceder a
las redes de telecomunicaciones (producto de la asociación entre la tecnología de las
computadoras y las telecomunicaciones, Telemática), que ofrecen gran potencial para
la educación, tales como: correo electrónico, acceso a foros, la transferencia de
archivos, la búsqueda de información, la investigación sobre las fuentes de
información hasta el intercambio de experiencias.
El correo electrónico (conocido como e-mail) es el sistema básico de
comunicación en Internet. Al contratar un servicio de acceso a Internet obtenemos un
código (dirección y password) y un buzón de correo electrónico. Este servicio nos
permite enviar cartas a través del ordenador a otras personas que igualmente estén
conectadas a la red. Estas cartas, acumuladas en el buzón (en el disco duro de un
servidor de Internet), son enviadas al ordenador del destinatario cuando éste las pide.
Actualmente, el usuario puede enviar y recibir distintos tipos de archivos, tales como:
imágenes, sonidos, hojas de cálculo, páginas web, etc.; puede modificarlos
directamente del mismo archivo; tiene la posibilidad de enviar un mismo mensaje a
numerosas personas a la vez y cuenta con un servicio rápido, económico y fiable.
Son ejemplos de programas de gestión de correo electrónico: Eudora,
Netscape, Outlock y Microsoft Mail.
Para los Foros, los profesores se subscriben a listas de discusión (sistema ágil
para intercambiar y debatir opiniones utilizando el correo electrónico) y grupos de
noticias (newsgroups), a través de los cuales intercambian sus opiniones sobre temas
relacionados con la docencia y, en su caso, piden ayuda sobre determinadas
temáticas a sus colegas.
Las Videoconferencias permiten sostener reuniones e intercambios a distancia,
donde los grupos reunidos, a través de estos instrumentos, en un espacio virtual
pueden participar en conversaciones de carácter pedagógico y/o científico,
intercambiar o completar informaciones criticas, establecer asociaciones estratégicas,
y por ende favorecer la cooperación y la integración.
Una forma sencilla de videoconferencia son los grupos de conversación IRC
(Internet Relay Chat) o simplemente chats, que permiten la comunicación
simultánea y

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 102

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en tiempo real entre personas que se conectan a la conversación en un momento
dado. A través de los chats cada usuario ve en su pantalla la lista de las personas que
están conectadas y los mensajes que van escribiendo, en algunos casos la
comunicación puede hacerse mediante la transmisión de voz o también se pueden ver
mutuamente los participantes que disponen de una cámara de videoconferencia
conectada a su ordenador. Para acceder a los chats se utilizan programas específicos
como CuSeeMe, mIRC, Netscape-4 o NetMeeting.
Internet integra actualmente la mayor base de datos del mundo en soporte
informático, el World Wide Web , formada por millones de páginas (archivos), con
información de todo tipo, que están repartidas por los miles de servidores de Internet
(ordenadores conectados permanentemente a la red). Cada página WEB tiene una
dirección URL (Uniform Resource Locator) que la identifica. Las páginas WEB están
escritas en el lenguaje HTLM (HyperText Markup Langage), pero actualmente también
pueden realizarse con el editor de textos Microsoft Word o Netscape. De esta manera,
cualquier persona puede difundir a escala mundial sus creaciones con sólo editarlas
en forma de páginas web y enviándolas a un servidor de Internet una vez contratado
un espacio (Minian, 2000).
Las redes informáticas rompen la lógica narrativa: planteamiento, desarrollo,
desenlace; pues a través de sus múltiples enlaces se puede navegar libremente, no
hay itinerarios preestablecidos y al mismo tiempo intercambiar opiniones con otros
navegantes, se afectan las capacidades de procesamiento de información de modo
cualitativo accediendo a nuevos dominios, las percepciones, los mecanismos
cognitivos, incluyendo el orden social.
Se está produciendo un cambio importante en la manera de escribir la
información, en la manera de almacenarla y en la manera de comunicarla; algo similar
a lo que ocurrió cuando apareció la imprenta. Actualmente pasamos del lápiz y el
papel, al teclado y la pantalla, lo cual trae como consecuencia que la forma de
transmitir y recibir la información sea más mediatizada y la capacidad de trabajar
conjuntamente a distancia sea una realidad. “Podemos afirmar que la comunicación
mediatizada por la computadora (CMC) induce cambios en la sociedad, modificando
las formas de vida y de trabajo, los valores culturales y, en general, el perfil
sociocultural” (Minian, 2000).
Como el enfoque cultural no se centra en el individuo como sucede en otros
enfoques, más bien dirige su atención a los sistemas funcionales o “sistemas de

Capítulo 2 103

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actividad cognitiva en los que participan los individuos, interactuando con diversos
elementos mediadores para conseguir algún objetivo” (Crook 1998, 99), se ve
favorecido el uso de apoyos cognitivos externos, como los mencionados
anteriormente. En el caso del ordenador (como herramienta) podríamos citar, como
ejemplo del sistema funcional de la escritura del niño, el caso de la composición de
cuentos a través de un procesador de palabras. En cierta forma este mediador cambia
la forma de organizar la actividad, proporciona nuevas formas de presentar los textos,
permite agregar figuras, usar distintos tipos de letras, etc., igual pasa cuando los
jóvenes o adultos se comunican a través de correo electrónico, los chats o las
videoconferencias, se vislumbran unos recursos más amplios para nuevos modelos de
participación intelectual
En vista de lo anteriormente expuesto se requiere que los docentes y las
instituciones educativas involucradas creen las condiciones pedagógicas para que a
partir de lo que sus estudiantes ya conocen puedan, en forma autónoma, construir
nuevos conocimientos, es decir, colocarlos en la zona de desarrollo próximo (distancia
entre el desarrollo real del niño y su desarrollo potencial). El planteamiento debe ser
cómo usar las tecnologías para hacer las cosas que todavía no se pueden hacer y no
sólo cómo poder usarlas para mejorar aquéllas que ya se hacen.

Microsoft Outlook Microsoft Internet Explorer
Figura 2.7: Programas de Microsoft para gestión de correo y páginas web.
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2.2 Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas


En las diversas situaciones educativas que se le presentan al docente cuando
enseña Matemáticas, adopta métodos y estrategias de enseñanza que muchas veces
ha aprendido de sus profesores, en su época de estudiante, o algunos que ha llevado
a la práctica y que la experiencia le ha dicho que funcionaba en ese contexto y con
esas audiencias, pero que al intentarlas con otros grupos las cosas no han resultado
como lo esperaba. “Parece que la tarea docente no puede realizarse sin aceptar unas
opiniones teóricas, aunque tales teorías (así se afirmará) deberán estar firmemente
basadas en datos empíricos” (Orton 1990, 12), no queremos decir que las decisiones
que ha tomado el docente, debido a su experiencia de trabajo con los niños(as),
observando sus conductas y estrategias de aprendizaje no sean útiles, más bien
queremos llamar su atención sobre lo no adecuadas que resultarían en determinadas
situaciones de aprendizaje, por ejemplo, ¿cómo podría un niño organizar los números,
de dos cifras o más, para sumarlos o restarlos si no comprenden el concepto de valor
posicional?. En muchas situaciones de aprendizaje hemos visto a niños de 4° grado
con problemas para restar dos números cuando el minuendo es menor que el
sustraendo, muchos de ellos restan el mayor menos el menor sin importar el orden de
los términos (64 - 27 = 43, por ejemplo), otros lo harán correctamente, entonces no
basta con decirles, por ejemplo, que debe colocarlos uno debajo del otro y restar, no
basta con explicarles el procedimiento, en cada actividad matemática están
involucradas la comprensión conceptual, los conocimientos previos, los estilos
cognoscitivos, etc.
Quizás, lo que ha sucedido es que no se les han proporcionado experiencias
de aprendizaje distintas a las que involucran el cuaderno y el lápiz, no se ha
reconocido la importancia de “enseñar las Matemáticas como una materia integrada”,
no se ha visto al niño como un creador de significados que aporta sus vivencias a los
procesos educativos donde se involucra (Bishop, 1999, 19) o no se presta la atención
adecuada a la forma personal (o propia) de pensar y aprender de los niños(as).
No queremos ser negativos, más bien queremos aportar ideas que puedan
ayudar a los educadores a conseguir salidas idóneas que les permitan tomar
decisiones con conocimiento de causa sobre la enseñanza de las matemáticas, por
ejemplo, los educadores podrían idear situaciones que incluyan los principios del

Capítulo 2 105

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aprendizaje acotando no sólo lo referente al medio sino tomando en cuenta que los
niños(as) ya poseen estados mentales antes de iniciar su aprendizaje, esto implica
que los docentes necesitan tener el conocimiento de: “un marco psicológico sólido que
pueda ofrecer una explicación precisa del aprendizaje” (Baroody, 1988, 21), cómo
diseñar un currículo integrado tomando en cuenta que “cuanto más abstracto es un
tema más sencillo resulta lograr la integración” (Martinello y Cook, 2000, 91) y tener
presente que el aprendizaje debe ser significativo para los niños(as).
La intervención del docente durante el acto educativo puede estudiarse desde
diferentes perspectivas, si seguimos a la Escuela Clásica y sus derivaciones
conductistas: el profesor enseña para que los alumnos aprendan sin preocuparse del
cómo aprenden (o la preocupación es sólo muy indirecta) y se centra en el qué
aprenden (contenidos), pero descuida el cómo aprenden (procesos cognitivos y
afectivos) y sobre todo el para qué aprenden (capacidades y valores utilizables en la
vida cotidiana). Mientras que la Escuela Activa, y muchas de sus secuencias
constructivistas, se interesa más del cómo, entendiéndolo como forma de hacer, no
como acción mental” (Román y Díez, 2000)
Las teorías del aprendizaje tratan de explicar como se constituyen los
significados y como se aprenden los nuevos conceptos. En la teoría conductista, se
afirma que “el conocimiento se imprime en la mente desde el exterior” y en la teoría
cognitiva se aduce que “el conocimiento significativo no puede ser impuesto desde el
exterior sino que debe elaborarse desde dentro” (Baroody, 1988, 22). Dos posturas
opuestas para las que el objetivo de la enseñanza de las Matemáticas es la
memorización de datos y procedimientos aritméticos (en la primera) y la comprensión
y el pensamiento matemático (en la segunda). Vamos a desarrollar los puntos de esta
sección siguiendo el enfoque de la teoría cognitiva.
Si promocionamos el aprendizaje a través de la comprensión del entorno
motivando a los niños(as) para que descubran las relaciones existentes entre los
elementos de información y luego los abstraemos de ese contexto con actividades y
estrategias de enseñanza que procuren o que den importancia al correcto manejo del
lenguaje matemático, contribuiríamos a que el manejo de la notación surja desde
dentro evitando el uso de métodos memorísticos, no sólo por lo ineficaz que pueden
resultar sino por evitar que las Matemáticas carezcan de significado para ellos(as),
pues “los individuos aprenden la teoría del conocimiento de su cultura mediante el

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 106

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Capítulo 2 107

aprendizaje de los pormenores del lenguaje” (según Lancy 1983, citado en Bishop,
1999, 87), en nuestro caso del lenguaje matemático.
El rigor del lenguaje de esta área académica, cuya simbología podría confundir
o aburrir a los niños(as), debe tomarse en cuenta dentro de ese entorno académico
creado por los docentes en el cual harán que los chicos piensen, actúen, planteen
preguntas, resuelvan problemas y discutan sus ideas, estrategias y soluciones,
matemáticamente.
Ello no podría ser posible sin la planificación previa de los contenidos de
aprendizaje y en opinión de Hernández y Soriano (1999, 43), debe tomarse en cuenta
que “su selección y secuenciación no han de diferir de la forma en que se estructura
científicamente la disciplina; aunque esto no quiere decir que el diseño de la
enseñanza no ha de partir de situaciones reales”.
También se lograría incluyendo tareas que motiven la curiosidad de los niños
no sólo por hallar las respuestas, sino por la escogencia de la estrategia adecuada,
tareas que los conecten con su mundo real o dentro de contextos puramente
matemáticos y/o a través de medios, tales como los informáticos, donde muchos de
los programas (el Clic, por ejemplo) le permitirán al docente crear entornos de
aprendizaje de las Matemáticas que conduzcan a los niños(as) por caminos un poco
más atractivos (matemáticamente hablando), que les llene de curiosidad el transitar
por ellos, donde el trabajar colaborativamente con el compañero promueva
discusiones y decisiones matemáticas, aumento de la comprensión matemática y
diversión, ¿por qué no?, si el juego es una excelente estrategia que contrarresta los
niveles de ansiedad que las Matemáticas originan en muchos de nuestros
alumnos(as).
En resumen, se trata de proporcionarle al docente de los conocimientos sobre
una herramienta (el medio informático) con la cual podrá proporcionarle a sus
alumnos(as) experiencias de aprendizaje de las Matemáticas ricas, gratas,
motivadoras, significativas, creativas y aplicadas a la toma de decisiones y a la
solución de problemas, sin esperar que ésta sea la única estrategia de enseñanza o
que remplace otras, como apunta la NCTM (2000, 25), “Technology should not be
used as a replacement for basic understandings and intuitions; rather, it can and
should be used to foster those understandings and intuitions”.

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2.2.1 Principios de la enseñanza de las Matemáticas

Las Matemáticas, lenguaje formal con sus propias reglas semánticas y
sintácticas, es un medio riguroso para expresar el pensamiento (Nesher, 2000), que
resulta difícil de aprender para muchos estudiantes, quienes, por ejemplo, no
consiguen determinar a qué operación aritmética se refiere el enunciado de algún
problema (dificultades en la transición del lenguaje natural al lenguaje matemático) o
no comprenden algún concepto (la interacción social y la comunicación son
componentes esenciales en los procesos de conceptualización). Es aquí donde el
papel que juega el docente es primordial, ayudando a los estudiantes a crear vínculos
entre su lenguaje informal y nociones intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de
las Matemáticas.
A los docentes debemos, como formadores de formadores, proveerlos de
oportunidades de formación en las cuales ellos puedan conocer nuevas estrategias de
enseñanza, mejorar su conocimiento matemático y enriquecer su capacidad de
expresar o comunicar en Matemáticas. Pero no hay recipes que conduzcan a los
docentes en la mejora de la enseñanza de las Matemáticas, a juicio de Alsina y otros
(1998, 90), “la experiencia en la enseñanza de las Matemáticas en primaria pone de
relieve una serie de dificultades que se traducen en errores que persisten mucho
tiempo y que dificultan aprendizajes posteriores”, es por ello que el docente debe
proporcionarle al niño actividades que los guíen en la obtención de vínculos entre el
lenguaje informal o no formal y el lenguaje matemático y llenarlos de experiencias que
le permitan percibir el mundo físico que le rodea y que luego, a través de analogías,
vaya comprendiendo conceptos más generales (generalizaciones), más abstractos
pues “la percepción y la acción parecen constituir el binomio sobre el que se desarrolla
el aprendizaje matemático” (Álvarez, 2001, 153).
En opinión de Bishop (2000, 38), la enseñanza formal de las Matemáticas
debería ofrecer a los alumnos:
 “Algo distinto a lo que les aporta la enseñanza de las matemáticas no formal e
informal, pero que esté relacionado con ello.
 Algo básico, fundamental y generalizable, pero que incluya conocimientos
matemáticos que ellos hayan adquirido fuera de la situación formal.
 Algo profundo y bien estructurado, tanto desde un punto de vista matemático
como desde un punto de vista psicológico.

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 108

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Capítulo 2 109

 Algo motivador, enriquecedor y estimulante.
 Algo relevante para sus vidas presentes, que para ellos tenga significado
aprenderlo y sea útil para sus vidas futuras”.
Según lo acotado y la opinión de Holmes (1985, en Hernández y Soriano,
1999), podremos considerar cuatro principios en la enseñanza de las Matemáticas en
Educación Básica, desde un punto de vista cognitivo, estos son: La promoción del uso
de los procesos cognitivos, el aprendizaje de conceptos y generalizaciones, considerar
la motivación intrínseca y la atención a las diferencias individuales, los cuales
exponemos a continuación.
A.A. Promover el uso de los procesos cognitivos . Promoverelusodelosprocesoscognitivos
Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se
comunican matemáticamente, el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos
en ir de lo más concreto a lo más abstracto y viceversa, aunque los conceptos de
concreto y abstracto son relativos, en efecto, la asimilación de una noción cualquiera,
en particular de una noción matemática, pasa por distintas etapas en las que lo
concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente. Lo que es abstracto para una
etapa, pasa a ser la base concreta para la siguiente. De acuerdo con ésto, los
docentes organizarían las producciones de sus alumnos y les ayudarían así a
organizar sus pensamientos, pues “aprender Matemáticas implica pensar, formar y
reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemáticos”, en opinión de
Hernández y Soriano (1999, 27).
En los niños existe una zona de desarrollo potencial que indica sus
posibilidades de aprendizaje, la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada
de los adultos (aprendizaje mediado por adultos, compañeros o por medios
informáticos, por ejemplo). Este desarrollo posibilita la construcción de herramientas
internas para aprender (procesos cognitivos, capacidades, habilidades), las cuales se
ven favorecidas con el uso de materiales didácticos matemáticos, entendidos como
modelos concretos tomados del entorno que rodea al niño o elaborados a partir de él y
con los cuales se pueda traducir o motivar la creación de conceptos matemáticos
(Bujanda, 1981).

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 110

Este principio se nutre, a nuestro entender, de los principios de enseñanza y
aprendizaje en una educación matemática realista, como los llama Goffree (2000). En
el Cuadro 2.15, podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia.
APRENDIZAJE ENSEÑANZA
Construcción:
El niño no sólo repite o rehace, sino
que adapta y construye su
conocimiento. Bases concretas para la orientación:
Crear contextos reconocibles por los
niños de acuerdo a sus propios
significados.
Subiendo el nivel:
El aprendizaje de cada niño se da a
diferentes niveles de formalización.
Modelos:
Herramientas manipulables por los
niños para vincular las Matemáticas
informales y formales.
Reflexión:
El niño es capaz de resignificar en situaciones nuevas.
Momentos de reflexión:
Crear un clima pedagógico para cuestionar estrategias y soluciones y
propiciar conflictos cognitivos.
Contexto social:
Los niños aprenden más en compañía
de adultos o de otros niños.
Lecciones de Matemáticas
interactivas
:
Propiciar la intervención de los niños,
sin inhibiciones en un campo en el que
no se conocen resultados y donde el
trabajo puede cambiar o modificarse.
Estructuración:
La estructura cognitiva existente en el niño se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden. Entretejer los hilos del aprendizaje:
Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemáticas.
Cuadro 2.15: Principios de e-a en una educación matemática realista (Goffree, 2000).
Pues bien, capacidades, destrezas y habilidades constituyen los procesos
cognitivos de un aprendiz, los cuales son presentados por Hernández y Soriano (1999)
en seis categorías: Recibir, interpretar, organizar, aplicar, recordar, resolver problemas
y luego incluyen, el planteamiento de problemas. Para dar una idea de cómo los
hemos introducido en nuestro estudio, damos en el Cuadro 2.16 algunos ejemplos de
actividades incluidas en el Prototipo  y en algunos de los paquetes diseñados por los
docentes participantes (ver Anexo 8).

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Capítulo 2 111

PROCESOS COGNITIVOS
CCAATTEEGGOORRÍÍAA PPRROOCCEESSOO EEJJEEMMPPLLOO **
Recibir:
Aceptar los estímulos del
entorno.
Atender Multi3.sop - OPERAC.pac **
Traducir
Comparar Conm14.ass – PROPIE2.pac **
Clasificar
Interpretar.
Usar las ideas previas para
comprender las nuevas y
hacerlas significativas.
Ordenar Multi2.puz - OPERAC.pac **
Relacionar Multi7.ass - OPERAC.pac **
Preguntar Funi.ass – JOSEFI.pac
Inferir Mul93.ass - OPERAC.pac **
Organizar:
Estructuración de las ideas
matemáticas.
Resumir
Predecir Jon2.ass – JONELE.pac
Evaluar Eje3pract.txa – NUMJG.pac
Plantear
hipótesis
Mitad3.ass – DIVIDE3.pac
Aplicar:
Usar contenidos
matemáticos aprendidos en
situaciones educativas
propuestas.
Comprobar
Eje2pract.txa - NUMJG.pac
Ensayar
Imaginar Jon4.ass - JONELE.pac
Recordar:
Traer a la memoria.
Retener
Resolver Problemas: Proble1.ass – PROBLE.pac **
Planteamiento de Problemas
Combinación
de los
anteriores
Cuadro 2.16: Procesos Cognitivos (*Anexo 8, **Prototipo ).

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 112

B.B. Aprendizaje de conceptos y generalizacioness Aprendizajedeconceptosygeneralizacione
El niño accede al concepto a través de sus sentidos (primera etapa concreta de
la que parte el niño para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan
reforzadas con sus experiencias anteriores, en opinión de Lovell (1986, 24), la entrada
de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados, más aún,
el aprendizaje juega un papel importante en la interpretación de tales sensaciones, las
cuales son afectadas “por nuestros modos de pensar, por nuestras actitudes, estados
emocionales, apetencias o deseos en un momento dado”. Así, para Gagné y Briggs
(1999, 54) “el concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un
estímulo”.
Para el aprendizaje de los conceptos matemáticos es necesario partir de lo
concreto (material didáctico, contextos reales, juegos, etc.), según Alsina y otros
(1998), es lo que Gagné y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para
aprender ideas abstractas), para luego establecer las relaciones conducentes a la
búsqueda de regularidades que les permitan a los niños enunciar conjeturas,
establecer propiedades, razonar inductivamente, etc., en este proceso de “abstracción
tiene lugar una generalización, por medio de la cual se origina el concepto” (Lovell
1986, 25). Para que el niño pueda fijar estos conceptos y que, además, pueda
expresarlos oral, gráfica o simbólicamente tendríamos que facilitarle su aplicación en
actividades que también le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos.
Pero, en opinión de Piaget, el niño no llega a realizar abstracciones por el mero
hecho de manejar objetos concretos. La abstracción comienza a producirse cuando el
niño llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material; cuando
puede clasificar, por ejemplo, números, atendiendo a si son naturales o fraccionarios,
deshace la agrupación y puede después ordenarlos atendiendo a su valor numérico.
Así, el desarrollo de los conceptos e ideas matemáticas provienen de nuestro
entorno (experiencia concreta), las experiencias concretas se validan (observación
reflexiva), se hace una abstracción matemática de los conceptos involucrados
(conceptualización abstracta), luego se aplican (experimentación activa) y se produce
el feedback con el contexto para así, iniciar de nuevo el proceso. Según De Lange
(1996), los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para
obtener nuevos conocimientos, destrezas y/o actitudes (ver la Figura 2.1).

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Los conceptos están continuamente sujetos a un proceso de transformación,
son creados y vueltos a crear, no son entidades independientes a ser adquiridas o
transmitidas y, de alguna manera, los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se
ajustan al modelo mostrado en la Figura 2.8. En muchas ocasiones el niño no tiene
conciencia de este proceso de abstracción pero a medida que se hace mayor su
conciencia y deliberación también aumentan y si les proporcionamos actividades
estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisiológico, las abstracciones y
generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell, 1986).

Figura 2.8: Modelo esquemático del proceso de aprendizaje.
(De Lange, 1996, 57)
En las dos últimas habilidades, especialmente, tendríamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemático, el cual posee sus propias reglas semánticas y
sintácticas, porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en
lenguaje matemático y en lenguaje natural) o de un modo específico en Matemáticas,
por ejemplo: la raíz cuadrada de 4 es 2. De igual modo, las frases (proposiciones, en
Matemáticas) responden a una sintaxis distinta que el niño aprenderá en la escuela,
por ejemplo: 4 + 3 = 7 está bien escrito en Matemáticas pero + 4 3 = 7 no lo está.
Si desde temprana edad en la escuela hacemos énfasis en el correcto uso del
lenguaje matemático le evitaríamos al niño problemas en su futuro desenvolvimiento
porque “el lenguaje matemático es independiente de la variación del contexto y
expresa el pensamiento en forma exacta y concisa” (Gorgorió, Deulofeu y Bishop,
2000, 109) y además lograríamos que comprendieran los conceptos matemáticos y los
aplicaran sin enfatizar en su aplicación mecánica o en la memorización de sus

Capítulo 2 113

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significados, porque “comprender el lenguaje es entender el concepto que una
determinada palabra simboliza” (Orton, 1990, 16).
“El lenguaje y los símbolos matemáticos intervienen ciertamente en la
conceptuación, porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o
actúan como un marco de referencia” (Lovell, 1986, 26), le permiten comunicar lo que
ya han comprendido, aunque en ocasiones muchos niños expresan correctamente un
concepto sin comprenderlo o al contrario, comprenden un concepto pero no saben
como comunicarlo o quizás lo hagan en forma descriptiva.
Así, según Lovell (1986, 33), los conceptos matemáticos pueden definirse
como “generalizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datos”, o como lo
expresa Hernández y Soriano (1999, 32), un concepto “es una idea que representa
una clase de objetos o hechos que tienen ciertas características en común llamadas
atributos críticos que se aprenden a través de un proceso” y para que el concepto sea
operativo, “tiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto,
independiente del material y de la situación” (Lovell, 1986, 35), requiriéndose para su
comunicación "un vínculo entre la semántica del lenguaje de las matemáticas y la
semántica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicar” (Gorgorió, Deulofeu y
Bishop, 2000, 112) y esto permitirá que los conceptos y las generalizaciones (reglas o
principios matemáticos) fluyan sin dificultad.
Luego para la enseñanza de los conceptos y generalizaciones, los profesores
deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios
conceptos y generalizaciones, que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje
y los símbolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa. Desde luego, deben cuidar
la estrategia de enseñanza, no sólo del concepto o generalización que lo ocupa en ese
momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno, por ejemplo, si se
plantean a los alumnos problemas tales como: resolver 2 x = 14 , el alumno por
ensayo y error calcula el número que multiplicado por 2 de 14, luego al presentársele
problemas tales como: resolver la ecuación 3x + 6 = 4x , en la transición de la
Aritmética al Álgebra, el alumno pudiera interpretar el símbolo x como , haciendo
analogía con el problema anterior, lo cual origina una inapropiada interpretación de los
símbolos empleados y los conceptos involucrados. Otros errores que pueden
observarse, en el caso de la multiplicación, es la creencia que al multiplicar el producto
es “más grande”, en el caso de productos con números naturales si, pero al pasar al
conjunto de las fracciones o de los números decimales, no. Por ejemplo: 2 x 3 =6

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Capítulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ ó 2 x 0,3 = 0,6 , donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔
y que 0,6.
C.C. Favorecer la motivación intrínsecaa Favorecerlamotivaciónintrínsec
Muchos factores intervienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje, siendo la
motivación (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los más importantes.
La motivación del alumnado, de cara a las actividades de aprendizaje de las
Matemáticas, es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la
enseñanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atención y
concentración mínimo requerido para aprender y además hay “procesos mediadores
ligados al aprendizaje que no se operarían de manera adecuada sin la presencia de la
motivación como es el caso de la memoria, la capacidad de análisis y síntesis
(procesos mentales superiores), entre otros” (Andara, s/f).
El docente preocupado por mejorar día a día el desarrollo de su práctica
educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales, los estilos de aprendizaje,
la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivación a
través de la ansiedad causada por una enseñanza antipática de esta área académica,
entendiendo que “los individuos están desmotivados cuando no perciben
contingencias entre los resultados y las propias acciones. Perciben sus conductas
como causadas por fuerzas fuera de su propio control” (Bali, Cázares. y Wisniewski,
1998), y entre otros detalles, con respecto a las actuaciones de los alumnos, “hay que
tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en
futuras discusiones” (Alsina y otros, 1998, 89), más bien hay que potenciar sus
reflexiones previas “anticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadas”.
“La motivación es una energía que lógicamente debe emanar de alguna
fuente”, como acota Andara (s/f), si la fuente es un elemento ambiental externo al
sujeto, se denomina motivación extrínseca; como es el caso de las conductas cuya
"causa" es conseguir un premio o evitar un castigo. Si al contrario, “la fuente de la
energía que impulsa a la acción proviene de factores internos como lo son: los
intereses, valores, actitudes, expectativas, pensamientos entre otros; se denomina
motivación intrínseca”. Nos encontramos así, con dos tipos de motivación: la
motivación extrínseca y la motivación intrínseca (ver Cuadro 2.17).

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 116

Cuadro 2.17: Tipos de Motivación. Inspirado en Bali, Cázares. y Wisniewski (1998):
La motivación extrínseca se refiere a aquella que podemos lograr a través de
medios externos, es decir debe proporcionársele a los niños actividades en las que
ellos puedan interactuar con materiales físicos o concretos, como lo expresa Álvarez
(2001, 154), “lo que se aprende con experiencias es más difícil de olvidar, que para
conocer algo es preciso ensayar, analizar lo que ocurre en distintas situaciones, y en
definitiva experimentar”, en forma similar, Orton (1990, 13) asegura que existe una
opinión ecléctica según la cual “los chicos no necesitan desarrollar su propia
comprensión desde dentro, sino que puede existir un lugar muy sólido para la práctica
e incluso quizás para algún elemento de aprendizaje memorístico”, contraria a estas
opiniones hay autores como Alonso (1995, en Hernández y Soriano, 1999), que
menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivación a su poca
durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado.
Tomando en cuenta lo anterior, pensamos que el aprovechamiento de los
materiales diseñados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemáticas
promoverá en el niño la búsqueda de retos personales y la superación personal, lo

MOTIVACIÓN

EEXXTTRRÍÍNNSSEECCAA IINNTTRRÍÍNNSSEECCAA
Regulación Externa:
La conducta es regulada a través de
medios externos tales como premios y
castigos.
Para saber:
Se realiza una actividad por el
placer y la satisfacción que uno
experimenta mientras aprende,
explora o trata de entender algo
nuevo.
Regulación Introyectada:
El individuo comienza a internalizar las
razones para sus acciones pero no
verdaderamente autodeterminada,
puesto que está limitada a la
internalización de pasadas
contingencias externas
Hacia la realización:
El sujeto se enfoca más sobre el
proceso de logros que sobre
resultados.
TIPOS
Identificación:
Es la medida en que la conducta es
juzgada importante para el individuo,
especialmente lo que percibe como
escogido por él mismo.
Hacia experiencias
estimulantes
:
Opera cuando alguien realiza una
acción a fin de experimentar
sensaciones.

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cual beneficia al niño y puede ser un factor importante en la promoción del
entendimiento de esta área. Para el profesional la enseñanza es importante conocer
cómo dirigir apropiadamente las energías existentes en cada sujeto (su motivación)
para así regular su propio comportamiento y poder enseñar a otros en forma correcta.
Si la promoción de la motivación se hace sin tomar en cuenta aspectos tales
como el aprendizaje significativo, corremos el riesgo de que el niño aprenda de modo
memorístico, por ejemplo, para lograr buenas notas en algún examen. Si les
planteamos los ejercicios dentro de su contexto, haciendo uso de elementos visuales,
explorando situaciones matemáticas significativas o les diseñamos actividades donde
el niño juegue con las Matemáticas, podremos cubrir la enseñanza de habilidades
específicas que se necesitan en esta área, en este orden de ideas, recordamos a
TMA4 que con pocos materiales (hojas y lápices de colores) motivó la introducción del
niño en el mundo de las fracciones, sólo doblando y coloreando cintas de papel, en
una actividad dinámica, alegre e inolvidable para los niños, quienes al otro día pedían
realizar una actividad similar.
Así, el diseño de actividades motivadoras, apuntan Hernández y Soriano (1999,
33), depende de tres factores: “La convicción con la que el maestro asuma su
importancia, la intencionalidad motivadora considerada en sus diversos elementos
constitutivos y su concreción en la práctica de cada día”.
Por otro lado, la motivación intrínseca se ocupa de la tendencia natural de
procurar los intereses personales y ejercer las capacidades, y al hacerlo, buscar y
conquistar desafíos (Deci y Ryan 1985, en Andara, s/f). La motivación intrínseca está
bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno
situaciones de enseñanza con actividades adecuadas a su edad, capacidad, intereses,
etc., ni muy fáciles ni muy difíciles, nutridas de desafíos que los incite a crear
estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una
búsqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas.
Como las Matemáticas representan básicamente una creación de la mente
humana (Orton, 1990), y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentación
abstracta a través de la manipulación de símbolos, entonces se busca involucrar el
interés personal que aporta “una motivación intrínseca para descubrir y perseverar
cuando el aprendizaje se vuelve difícil” (Martinello y Cook, 2000, 232).de aquí que la
importancia de la motivación intrínseca radique en que no se necesitan premios o
castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por sí misma.

Capítulo 2 117

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En esta búsqueda para contribuir a la mejora de la relación afectiva entre el
contenido matemático y los alumnos, se nos presenta el uso del medio informático
como una alternativa que libera al niño de las tareas memorísticas y de manipulación
numérica repetitiva (Hernández y Soriano, 1999), con el uso adecuado de este medio
introducimos el elemento visual, mucho más potente que en los libros de textos o en la
pizarra, pues con las animaciones y vídeos podremos percibir algunas relaciones entre
los objetos matemáticos, como apunta Álvarez (2001, 155), “las ideas, conceptos y
métodos de las Matemáticas presentan una gran riqueza de contenido visual”, también
los ordenadores permiten crear nuevos problemas, hacer predicciones, nuevas
preguntas, explorar alternativas, etc. (transición de lo concreto a lo abstracto), con los
gráficos, dibujos y diagramas que muchos programas informáticos nos permiten
generar podremos descubrir relaciones matemáticas importantes y explotar dominios
inalcanzables en el mundo del lápiz y papel.
Hacemos énfasis en la estimulación de la motivación intrínseca a través de la
enseñanza por su complejidad, movilidad, imprevisibilidad de la tarea, reto óptimo,
competencia y la autodeterminación, pero la motivación extrínseca también es
importante porque hay tareas que por sus características no serían motivantes si no
son acompañadas de incentivos externos, como es el caso del aprendizaje de las
tablas de multiplicar o de formulas matemáticas. Así, apunta Andara (s/f):
“La motivación extrínseca e intrínseca son sólo los lados opuestos de un continuo dentro
del cual se mueven la gran mayoría de los seres humanos. Este continuo va desde la
completa autodeterminación hasta la completa determinación ambiental; sin embargo,
existe entre estos dos extremos un punto medio o motivación intermedia que se evidencia
en la capacidad del hombre como ente racional para decidir con libertad a qué fuentes de
estimulación responder, sí a las fuentes de estimulación externas (como los
requerimientos ambientales) o a las fuentes de estimulación internas (como las
necesidades fisiológicas y/o sociales propias del sujeto)”.
La motivación para el aprendizaje, según uno de los principios de la indagación
señalados por Martinello y Cook (2000), es coadyuvada por la creatividad del
estudiante, el pensamiento de orden superior y la curiosidad natural, las cuales
dependen de cada individuo, para enfatizar en ello, veamos el apartado siguiente.



La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 118

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Capítulo 2 119

D.D. Atender las diferencias individualess Atenderlasdiferenciasindividuale
En el trabajo diario con los niños en el aula, se espera lograr muchas metas de
aprendizaje, particularmente en el campo de las Matemáticas. Propone la NCTM
(2000), entre sus principios para la educación Matemática, la Equidad (grandes
expectativas y mucho apoyo al estudiante), en el sentido de las mismas oportunidades
para todos. El Principio de Equidad demanda de los profesores que en sus
interacciones con los estudiantes promuevan las exigencias propias de este campo de
estudio, que todos los estudiantes accedan a un excelente y equitativo currículo en
Matemáticas y que todos cuenten con los recursos adecuados que apoyen sus
aprendizajes.
Estos principios vienen acompañados de unos estándares de educación
matemática, NCTM (2000), los cuales se han suavizado respecto a los de 1989, 1991
y 1995, en los que se apreciaba una “interpretación neoconductista del aprendizaje,
basada en la obtención de resultados”, explica Clements (2000, 63). Los Principios y
estándares 2000 proporcionan un modelo de competencias y comprensión matemática
para los niveles desde preescolar hasta bachillerato (Godino, 2002), enfatizando la
importancia de la comprensión y describiendo los modos de cómo pueden obtenerla
los estudiantes.
La idea debe ser promocionar la comprensión de las Matemáticas, más que los
resultados, como acota Bishop (2000, 38), “la mayor preocupación se ha centrado en
la reconceptualización de las matemáticas como campo de conocimiento, con la
finalidad de que las ideas sean comprensibles para todos los alumnos”. No debemos
olvidar que cada niño(a) tiene su propia definición de lo que es su realidad (su
contexto) y en la enseñanza tradicional de las Matemáticas (primero los conceptos
teóricos y luego las aplicaciones) no siempre conectamos con cada una de las
realidades de nuestros estudiantes.
Así, en el aula de clase, distintos alumnos requieren distintas entornos de
aprendizaje, para lo cual el docente aplicaría distintos estilos de enseñanza, pero es
que la mayoría de los docentes tienen un estilo determinado al desarrollar su práctica,
lo cual complica la situación. Es posible que determinados métodos no satisfagan las
exigencias de todos los alumnos debido a los diversos ritmos y maneras de aprender,
más cuando nuestra aula es compartida con niños con dificultades de aprendizaje.
Una solución la plantean y llevan a cabo los miembros de la Unidad Psicoeducativa
(UPE) de nuestro caso de estudio, al prestar atención individualizada tanto en el aula

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regular de clases como en un aula especialmente acondicionada para la atención de
niños especiales (llamada el aula integrada).
La mayoría de los docentes que hemos observado, determinan cuáles niños
tienen más o menos habilidades hacia las Matemáticas al observar su manera de
conducirse cuando resuelven las actividades y/o su rendimiento en alguna prueba
escrita. Luego para ayudarlos a solventar parte de sus fallas, los agrupan siguiendo
algún criterio, por ejemplo TMA4 formaba parejas de distinto nivel en el aprendizaje de
las Matemáticas (durante las clases en el laboratorio de computación) para que se
colaboraran mutuamente, TMA6, al contrario, formó una pareja (año escolar 2001-
2002) con un niño de educación especial y una niña con bajo rendimiento matemático
y las restantes las formó en forma más homogénea. Por su parte TMA5 (en clase de
aula) formaba dos semicírculos y sentaba a los alumnos con más dificultades en el
semicírculo interior con la intención de estar más pendiente de ellos.
Debemos tener cuidado con el criterio metodológico que manejemos ante estas
situaciones para lograr los objetivos propuestos, por ejemplo, el criterio de TMA5
referido a la promoción de un alumno a un grupo de rendimiento superior es positivo
para un grupo de alumnos, “para el resto es negativo cuando se dan cuenta de la
selección que se ha hecho con ellos”, en opinión de Alsina y otros (1998, 132).
Observamos que algunos maestros ofrecen ayuda a los estudiantes que lo
necesitan, bien sea atendiéndolos individualmente en sus respectivos pupitres o
durante sus intervenciones en la pizarra. Lo que no observamos es que se usaran
distintos tipos de actividades o de recursos ante un mismo tema pues en nuestras
aulas imperan los métodos tradicionales de enseñanza (uso exclusivo del libro de
texto, currículo un tanto alejado de la realidad sociocultural de los estudiantes al ser
planeado por agentes externos, el profesor como centro de la actividad educativa,
etc.).
De acuerdo con Orton (1990), hay factores que contribuyen a que unos
alumnos tengan más éxito que otros en el aprendizaje de las Matemáticas, entre ellos
tenemos:

Pensamiento convergente y divergente: El docente puede promover el
pensamiento convergente y divergente, a través de ejercicios donde exista un
solo tipo de respuestas (preguntas convergentes) y al proporcionar la
oportunidad a los niños de muchas alternativas de respuestas aceptables
(preguntas divergentes).

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 120

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Figura 2.9: Ejemplo de pregunta convergente. (Probl1.ass
en el paquete Proble.pac, Anexo 8)

Capacidad matemática: Se refiere a las características psicológicas
individuales que responden a exigencias de las actividades matemáticas y que
influyen en su dominio creativo, (Kruteski, en Orton, 1990). La capacidad
matemática permite diferenciar a los individuos en el sentido de que los más
capacitados en esta área adoptan, en la resolución de problemas matemáticos,
procedimientos de ensayo sistemático que les permiten decidir cuáles seguir y
cuáles no, al contrario de los menos capacitados, quienes realizan
manipulaciones “ciegas” y desmotivadas en la búsqueda de una solución.
Para la formación de la capacidad matemática, aparte de la comprensión, el
conocimiento del lenguaje y de los símbolos, se necesita comprender los
métodos y las demostraciones, según Lovell (1986, 33), “algunas de éstas
tienen que ser aprendidas, retenidas y reproducidas”.
En el Cuadro 2.18, presentamos tres posiciones de tres autores distintos sobre
el uso de las capacidades matemáticas, al comparar los dos primeros con el
tercero notamos una individualización en las ejecuciones de los sujetos para
los primeros autores y todos hacen énfasis en las capacidades para formular
generalizaciones.

Capítulo 2 121

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 122


Capacidad espacial: Se refiere al trabajo con el espacio geométrico donde se
hace referencia al estudio de las características espaciales de figuras de
objetos físicos que son abstraídas del mundo concreto. Esto le permite al
niño(a) ordenar y clasificar su entorno. Lo espacial está íntimamente ligado al
quehacer matemático, en todas las etapas del desarrollo del niño(a), es por ello
que debemos promover actividades donde el alumno pueda
observar figuras,
medir, construcción de esquemas explicativos de propiedades, clasificaciones,
hacer conjeturas, se familiarice con demostraciones elementales, las
comprenda y luego pueda gradualmente construir otras.
La geometría permite interpretar y modelizar el espacio físico. Una vez que los
niños se apropian del espacio físico (cuando lo recorren, tocan, palpan y
sienten) pueden usar los instrumentos que les da el espacio geométrico para
interpretarlo mejor, modelizarlo, actuar y moverse dentro de él.

Preferencias y actitudes: “Las actitudes son estados complejos del
organismo humano que afectan la conducta del individuo hacia las personas,
cosas y acontecimientos”, Gagné y Briggs (1999, 77), mientras que las
preferencias entran dentro de las componentes afectivas de las actitudes, se
refieren a los sentimientos que las originan o acompañan.
Un enfoque falto de acierto por parte de los docentes nutrirá un sentimiento de
fracaso de los estudiantes, “un escolar convencido de que no es
suficientemente inteligente para hacer matemáticas se retrae y prefiere ser
tenido por poco trabajador o desinteresado” (Alsina y otros, 1998, 120). Aunque
todos los alumnos no llegan a obtener el mismo nivel en todos los
componentes de la actitud matemática (espíritu de interrogación, curiosidad,
perseverancia, interés hacia las matemáticas, etc.), debemos potenciarlos para
que aparezcan en forma suficiente.

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AUTORES

KKRRUUTTEESSKKIIII**
SSUUYYDDAAMM YY WWEEAAVVEERR**
GGAARRCCÍÍAA****
CAPACIDADES MATEMÁTICAS PARA
1. Extraer la estructura formal
de un problema matemático y operar con ella.
2. Generalizar.
3. Operar con símbolos.
4. Conceptos espaciales.
5. Razonamiento lógico.
6. Abreviar, ser claro, simple y
racional en sus argumentos.
7. Ser flexible para ir de un
enfoque a otro.
8. Buena memoria para el
conocimiento y las ideas
matemáticas.
1. Estimar y analizar.
2. Ver e interpretar hechos
cuantitativos.
3. Comprender términos y
conceptos matemáticos.
4. Advertir semejanzas,
diferencias y analogías.
5. Seleccionar procedimientos y
datos correctos.
6. Advertir detalles irrelevantes.
7. Generalizar sobre la base de
algunos ejemplos.
8. Cambiar fácilmente de método.
1. Comprender y emitir
información en forma verbal,
gráfica o por tablas.
2. Organizar la información de
forma sistemática.
3. Describir y explicar los
métodos utilizados y los
resultados.
4. Formular generalizaciones.
5. Flexibilidad para tratar
situaciones.
6. Paciencia y perseverancia.
7. Cooperación, discusión y
razonamiento con otros.
8. Hacerse preguntas y tomar
decisiones.






















Cuadro 2.18: Capacidad
es matemáticas. *En Orton (1990, 141-142). ** García (2002, 21)

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2.2.2 Tipos de aprendizaje Matemático
Las Matemáticas constituyen un lenguaje formal, una ciencia no acabada que
favorece una visión de la realidad objetiva y que requiere del aprendiz el desarrollo de
un pensamiento abstracto y de la objetificación de las ideas abstractas.
“Hacer matemáticas es sinónimo de construir matemáticas, un proceso que demanda
del aprendiz una actitud positiva para la resolución de problemas, una capacidad
para admitir que puede recorrer caminos equivocados o inconvenientes, una
disposición para rectificar o reformular las respuestas, una consciencia, en suma de
que hacer matemáticas significa crear y destruir, que las matemáticas no es una
ciencia terminada en la que sólo hay cabida para la verdad o falsedad” (Gairín,
2001, 58).
Para ello contamos con el sistema simbólico matemático, con nuevas
estrategias de enseñanza que faciliten el aprendizaje significativo de los alumnos, con
nuevos materiales y recursos que permitan abstraer modelos que expliquen
fenómenos de nuestra realidad y con la misma naturaleza lógica de las Matemáticas.
Además el docente no debe sólo transmitir listo el conocimiento matemático a sus
alumnos, como si fueran recetas, más bien debe propiciar situaciones para que ellos
mismos lo construyan activamente, como se puede deducir del trabajo de Piaget y de
los neo-Piagetanos.
Decir que el niño tome parte activa en su aprendizaje, es enfatizar tres
condiciones: la necesidad que tiene el niño de utilizar sus propios procedimientos para
resolver las tareas que se le han planteado, la necesidad de reflexionar sobre esos
procedimientos para mejorarlos y la necesidad de tomar conciencia sobre las posibles
relaciones entre conceptos (Orozco, 1997). Al lograr estas condiciones, el niño
aprende.
El aprendizaje activo involucra el uso de la mente no sólo de la memoria.
Cuando el niño comprende lo que está haciendo, metodológicamente realiza
actividades de construcción y luego memoriza, porque hay objetos matemáticos y sus
correspondientes nominaciones, que exigen del niño un aprendizaje memorístico,
sobre todo en los primeros años. Las Matemáticas están compuestas por
innumerables símbolos, palabras, propiedades, relaciones, fórmulas, etc., muchos de
los cuales no están asociados a algún conocimiento previo o no representan un hecho
significativo para el alumno.
Por otro lado, hay cálculos en el que se emplea de modo sistemático un
algoritmo, sin importar los datos, y en otros se selecciona un procedimiento singular

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Capítulo 2 125

adecuado a los datos y a la operación involucrada. Problemas que involucren ambos
tipos de cálculos pueden introducirse a la par, porque no debemos esperar a enseñar
a los alumnos a aplicar bien los algoritmos para después pasar a resolver problemas
que se relacionen con su entorno.
El niño percibe la realidad y comienza a discriminar, abstraer y generalizar, sin
tener conciencia de ello. Esto va cambiando con la edad, empieza a deliberar, luego
abstrae y generaliza a medida que interactúa con experiencias estimulantes. Pasa por
sí mismo, del precepto al concepto, entendiendo que “un concepto es una
generalización a partir de datos relacionados”, según Lovell (1986, 25).
En la realización de estas labores, nos encontramos con niños maduros
intelectualmente y otros que tienen dificultades en el momento de dar significado a las
acciones, tales como agrupar, separar, formar grupos iguales de objetos, repartir, etc.,
con las correspondientes operaciones básicas y en consecuencia se ven
incapacitados para aplicarlas a la resolución de problemas.
Entendemos por problema toda situación con un objetivo a lograr, que requiere
del sujeto una serie de acciones u operaciones para obtener su solución, que no
dispone en forma inmediata, obligándolo a concebir nuevos conocimientos y a
modificar, enriquecer o rechazar, los que hasta el momento disponía.
Por ello, el
planteamiento de problemas a los niños debe contextualizarse, de tal manera que en
ellos se cree la necesidad (o curiosidad) por resolverlos, hacerles comprender que no
existe un procedimiento único para tal fin y que es importante tratar de resolverlos.
También, para la resolución de problemas, debe pasarse de “un currículo centrado en
el cálculo y la utilización de reglas a un currículo organizado en torno a la modelización
de situaciones y a los problemas y su resolución” (Goñi, 2000, 32).
Así, existen cuatro tipos de aprendizaje matemático: memorización simple,
aprendizaje algorítmico, aprendizaje conceptual y resolución de problemas (Brown,
1978, citado en Orton, 1990), los cuales desarrollaremos a continuación.

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A.A. Memorización simple Memorizaciónsimple
El aprendizaje de las Matemáticas involucra la acumulación de ideas,
profundización de las mismas, construcción y refinamiento de lo argumentado,
dependiendo del nivel educativo del aprendiz. Es por ello que al alumno se le asignan
una serie de ejercicios que le permitan reconocer vocablos, símbolos, relaciones
numéricas, fórmulas, propiedades, técnicas, etc. En el caso de la escuela tradicional,
se considera al dominio de las cuatro operaciones básicas como un pilar fundamental
(Parra y Saiz, 1994) y para contribuir a ello se realizan sistemáticamente ejercicios que
persiguen la memorización de resultados de cálculos numéricos. Este hecho se
desvaloriza en la escuela activa donde la comprensión es el problema crucial.
Entendemos, que un conocimiento memorizado va a permitir un tratamiento
eficaz del mismo en la medida que esté contextualizado, que tenga sentido para el
niño en relación con sus conocimientos previos, por supuesto hay símbolos y términos
que al comienzo de su enseñanza no tienen sentido para ellos, es allí cuando el
docente debe valerse de recursos y estrategias que hagan de este proceso de
memorización un juego para los niños.
Es frecuente escuchar a algunos docentes que algún niño no se ha aprendido
la tabla de multiplicar. TMA4, maestra de 4° grado, por ejemplo, ideo un juego de
Bingo basado en esta operación básica en el que para poder participar había que
conocer la tabla de multiplicar pues las fichas contenían esta operación y los cartones
poseían los productos. En estas actividades los chicos que no conocían la tabla, la
iban aprendiendo y el resto la repasaba.
Otro juego de fichas que denominaban “ponte pilas”, expresión usada para
indicarle a la persona que debe estar atenta, alerta o al día con sus conocimientos,
consistía en un grupo de cartas (tantas como productos se quieran formar de las
tablas que quieras repasar y/o de la cantidad de niños en el juego) en las que cada
ficha tiene dos partes, en la superior tiene un número y en la inferior un producto (ver
la Figura 2.10). Para jugar se reparten las cartas equitativamente entre los
participantes, comienza alguno de ellos preguntando “quién tiene 4x3”, por ejemplo, el
participante que tenga este producto contesta “yo tengo 12” e inmediatamente
pregunta por el producto que la carta con el 12 tenga en su segunda parte, “quién
tiene 5x7”, si seguimos la Figura 2.10, y así sucesivamente hasta que todos los
participantes hayan leído todas sus cartas o hasta que el tiempo disponible para la

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Capítulo 2 127

actividad lo permita. Cuando algún participante no da su respuesta y luego cuando el
docente indague quién tiene tal producto, el coro de niños le canta “ponte pilas”.






Figura 2.10: Ejemplo de cartas en el juego “Ponte pilas”.
Hay una gama de recursos y estrategias simples que pueden utilizar los
docentes para ayudar a los niños en sus procesos de memorización, por ejemplo,
TMA5 colocaba notas, señaladas con este nombre, en las cuales hacia énfasis en
cuestiones matemáticas que ella resumía y que el niño debía tener presente y ellos así
lo entendían (hechos matemáticos que había que aprender de memoria), observamos
a varios niños de 4° (en nuestra muestra) disponer de una pequeña libreta en donde
convertían las operaciones de multiplicación en sumas de bolitas o palitos que les
ayudaban en las resoluciones de los ejercicios que el docente planteaba, algo
parecido realizaban los chicos que asistían al aula integrada (por ejemplo, AL3), con
paletas de helados.
Otro estrategia usada muy a menudo es la repetición, esta responsabilidad se
deja a los chicos que la realicen en casa y en el aula recurre el docente al repaso
periódico (individual o grupal), también hemos optado por esta técnica al incluir en el
Prototipo  actividades de asociación simple o compuesta (ver la Figura 2.11)
generadas automáticamente por el Clic, una vez que hemos fijado el rango para que
los factores se generen aleatoriamente. Los chicos van fijando las tablas de multiplicar
a través de imágenes, a medida que juegan, que repiten la actividad (cuando pulsan la
bandera verde, en caso de que así lo decidan) y que interactúan con los paquetes de
actividades incluidos en el prototipo y con el compañero de trabajo, pues como
concluye Vygotsky en sus investigaciones respecto a que la interacción social y la
comunicación son las componentes esenciales en los procesos de conceptualización,
así lo apunta Steele (1999, 42), “Vygotsky believed that individuals could achieve
25
4x3
12
5x7

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higher ground through interaction with others who can help them to organize their
thinking and move from the familiar to the unfamiliar”.

Figura 2.11: Ejemplo de un ejercicio de repetición. (Mult17.ass
en el paquete OPERAC2.pac. Anexo 8)
En estas actividades está implícito el cálculo mental, que se refiere a la
resolución exacta de una operación aritmética bien sea por disponer del resultado
memorizado (2x9=18, por ejemplo), o fácil de calcular (234x10=2340, por ejemplo) o
reconstruyéndolo al asociarlo con otros más simples (3x7 = 7+7+7, por ejemplo). El
dominio del cálculo mental requiere cierto nivel cognitivo y la comprensión y
mecanización de las operaciones aritméticas, sin embargo, “más que unos resultados
precisos e inmediatos se trata de que el alumno agilice los procesos mentales
referidos al número y sus combinaciones, mediante aproximaciones e indagando
estrategias informales” (Fernández, Llopis y Pablo, 1991, 201).
Pero, “lo que ciertamente deseamos lograr es un almacenamiento a largo plazo
junto con una inmediata memorización” (Orton, 1990, 39), para que pueda lograrse un
tratamiento eficaz de la información siempre que ésta no sea carente de significado
para los niños.

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Capítulo 2 129

B.B. Aprendizaje algorítmico Aprendizajealgorítmico
Entendemos por algoritmo “una serie finita de reglas a aplicar en un orden
determinado a un número finito de datos para llegar con certeza (es decir, sin
indeterminación ni ambigüedades) en un número finito de etapas a cierto resultado, y
esto independientemente de los datos” (Bouvier, citado en Parra y Saiz, 1994, 222).
Son ejemplos de algoritmos, en la enseñanza de las Matemáticas para la
segunda etapa de educación básica, los siguientes:
a. La multiplicación,
b. La división larga,
c. La suma y resta de fracciones,
d. La multiplicación de fracciones,
e. La división de fracciones.
Pues bien un algoritmo tiene una entrada, sigue un determinado conjunto de
reglas y en un número finito de pasos produce una respuesta. Si tomamos el algoritmo
de la multiplicación de números de varios dígitos, por ejemplo, vemos como un
problema general se reduce a la resolución de subcasos. Veamos el siguiente
ejemplo:

Cada fila intermedia se
obtiene multiplicando 432
por un dígito del
multiplicador, por ejemplo:


En el aprendizaje algorítmico el alumno debe recordar un procedimiento paso a
paso, si esto no tiene sentido para ellos se le dificulta su aprendizaje (a veces lo
llamamos aprendizaje mecánico), luego siguen un entrenamiento repetido que les
proporciona resultados correctos. Cuando estas acciones automáticas carecen de
significado para los niños, también carecen de valor funcional y pedagógico, a juicio de
Fernández y otros (1991). Puede suceder que el niño recuerde el algoritmo pero al
aplicarlo mecánicamente obtiene una respuesta incorrecta. En la Figura 2.19,
observemos algunos ejemplos:

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Entiende el algoritmo y da
una respuesta correcta.
Entiende el algoritmo pero
no el enunciado y da una
respuesta incorrecta.
No entiende el enunciado
ni el algoritmo.
Cuadro 2.19: Dificultades en el aprendizaje algorítmico (A6-4-1. Anexo 6).
¿En qué ha fallado? Básicamente, en la comprensión del problema planteado y
con ello nos referimos a identificación de incógnitas, de información relevante o no
para solucionar el problema, escogencia de métodos adecuados para llegar a la
solución y qué soluciones son razonables.
Si tomamos en cuenta el cuadro 2.19, el segundo ejemplo se refiere a un
problema no rutinario en el que las incógnitas, el procedimiento para llegar a la
solución y la respuesta no son evidentes. En dicho ejemplo se requería identificar y
aplicar más de una operación aritmética conocida por el niño. Dificultades similares a
ésta se presentan en el caso norteamericano, nos expresa Baroody (1988, 237) que
“estudios a escala nacional muestran que la mayoría de los estudiantes de todas las
edades tienen dificultades con problemas no rutinarios que requieren algo de análisis o
pensamiento”.
Los maestros, a través de su experiencia y de las interacciones diarias con sus
alumnos pueden diferenciar, sin pretender hacer una partición única de los grupos de
alumnos, a aquellos alumnos que ante un problema son capaces de establecer
relaciones entre los datos, anticipar su comportamiento, controlar el sentido de lo que
obtienen, etc., de otros alumnos que intentan aplicar un algoritmo tras otro sin poder
hacer alguna previsión y sin poder argumentar por qué hacen una u otra elección.
El primer grupo de alumnos al que nos referimos, relaciona el algoritmo con
sus conocimientos previos y decimos que posee una comprensión relacional, mientras

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Capítulo 2 131

que el segundo grupo, el que logra seguir un algoritmo y conseguir la respuesta
correcta, posee una comprensión instrumental (Parra y Saiz, 1994).
Por ejemplo, TMA6 (docente de 6° grado) repasa con sus alumnos la suma de
fracciones con igual y distinto denominador, para esta última enseña tres métodos:
amplificando las fracciones, aplicando el algoritmo (multiplicación cruzada) y
calculando el mínimo común múltiplo (m.c.m.). Algunos alumnos manifiestan su
preferencia por el uso del algoritmo o sugieren hallar el m.c.m para luego efectuar la
suma, pero al docente le gusta que usen el primer método porque así practican las
fracciones equivalentes, así lo expresa (aunque ambos procedimientos permiten el uso
de fracciones equivalentes, como es su deseo). En el proceso de amplificar fracciones,
TMA6 multiplica cada fracción por el denominador de la otra, con lo cual resultan
números más grandes (aumenta la dificultad en la operación), y no explica algunos
ejemplos donde sólo haga falta amplificar una de las fracciones de tal manera que la
fracción equivalente resultante tenga el mismo denominador de la otra (en el caso de
suma de dos fracciones de distinto denominador), por ejemplo,
36
48
36
51
3
4
12
17

en lugar de
12 16
12
17
3 4
12
17


El docente se parcializa por uno de los métodos (sus motivos no se justifican) y
no ha explicado la conveniencia de aplicar uno u otro método. En el ejemplo de el
Cuadro 2.20, la diferencia es sutil entre el segundo y tercer ejemplo y se aprecia sólo a
través de la comprensión relacional.

Usa la amplificación de
fracciones.
Usa el Algoritmo.
múltiplo.
Cuadro 2.20: Suma de dos fracciones con distinto denominador (OA6-1. Anexo 3).

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Pues bien, hay dificultades en el aprendizaje significativo de los algoritmos, ¿de
qué podría valerse el docente para aminorar estas dificultades? ¿tendrá sentido, por
ejemplo, enseñar a los niños en esta etapa educativa los algoritmos que involucran
operaciones con fracciones? Hay autores como Watanabe (2002) que basan sus
argumentos en los resultados de National Assessment of Educational Progress que
muestran que un alumno intermedio sabe operar fracciones pero le falta entender el
significado de fracción, para proponer la eliminación de fracciones del currículo de
primaria, y en general, “no parece existir duda alguna en que se acepta demasiado
aprendizaje instrumental en matemáticas con alumnos para los que nunca llegará la
comprensión relacional y de que una excesiva comprensión instrumental en el
aprendizaje de esta materia es más bien como construir una torre sobre cimientos
inestables” (Orton, 1990, 46).
Sin embargo, es importante el aprendizaje de algoritmos pues su conocimiento
promueve relaciones entre datos y respuestas y además juegan un papel fundamental
en el mundo de la computación.
Por otro lado, los niños generan sus propios algoritmos ante alguna situación
experencial y nuestro conocimiento sobre ellos a través de interacciones con los niños
o de observar la regularidad de sus respuestas ante diversos ejercicios, nos permitirá
introducir cambios funcionales en esos esquemas (o acciones que repiten ante nuevos
objetos matemáticos), si es el caso, pues “it is a drastic mistake to ignore child–
generated algorithms in favor to the `standard´ paper and pencil currently being taught
in the elementary schools” (Steffe, 1994, 8).
Después de varios años de preparación matemática, la actuación del alumno
se limita a conocer y aplicar los conocimientos matemáticos a través de algoritmos que
se adecuan a los problemas propuestos, luego tratará de lograr su mecanización y
para ello deberá conocer la estructura de cada operación, los términos verbales, sus
reglas, los aspectos espaciales y direccionales, automatismos, etc., con lo cual logrará
agilidad y precisión en los procesos operatorios. Mientras que dar las definiciones,
hacer pruebas y demostraciones se dejan al profesor, Gairín (2001).

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Capítulo 2 133

C.C. Aprendizaje de conceptos Aprendizajedeconceptos
Estamos de acuerdo con varios autores (Orton, 1990; Alsina y otros, 1998) en
que para construir una idea o concepto matemático intrínseco el niño debe ser capaz
de clasificar sus experiencias y de encontrar conexiones entre ellas, por lo tanto el
proceso de relacionar es prioritario en la educación básica.
El aprendizaje de la estructura conceptual (base de las Matemáticas) consiste
en la comprensión de nuevos conceptos basada en la comprensión de conceptos
previos, es decir, el entendimiento conceptual de las Matemáticas depende de la
construcción individual de un entendimiento de conceptos previos.
¿Cómo promover el aprendizaje de conceptos?. Entendiendo que los
conceptos matemáticos “son generalizaciones sobre relaciones entre cierta clase de
datos”, como apunta Lovell (1986, 33), se podría emplear la estrategia de dar ejemplos
y contraejemplos que ayuden a aclarar lo que se entiende del objeto matemático que
queremos definir y luego dar la definición o podríamos, también, intentar emplear el
concepto y luego dar la definición abstracta cuando, a nuestro juicio, convenga.
Pero sea cual sea la manera que intentemos debemos lograr una secuencia
adecuada a la naturaleza jerárquica de las Matemáticas, sin que ello signifique que
estamos solucionando todos nuestros problemas a la hora de enseñar, y además
debemos recordar que muchos conceptos se van asimilando a lo largo de la vida y que
otros no serán asimilados, además, no todos los chicos logran los mismos niveles de
comprensión de un concepto.
Distintos chicos llegan al mismo concepto por vías distintas, algunos pueden
seleccionar propiedades comunes a ciertos objetos matemáticos y luego se las
asignan a otros que las cumplen, es decir el chico discrimina o abstrae las
propiedades y luego generaliza. “La discriminación exige que el niño pueda reconocer
y apreciar cualidades comunes y distinguir éstas de otras propiedades diferentes”,
como lo señala Lovell (1986, 25) y quedará suficientemente bien establecido si puede
ser representarlo en ausencia de los preceptos de entrada.
Otros chicos se forman un concepto apoyándose en recuerdos, imágenes o
manipulando objetos, por ejemplo, para el concepto de resta observamos en las
clases de 4° grado (OA4-2. Anexo 3) a una de las niñas (N10) dibujando en una libreta
rayas verticales que representaban al minuendo y luego tachaba tantas como lo
indicara el sustraendo del ejercicio que realizaba. En este momento, la niña

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conceptualiza restar como quitar, a medida que van madurando van profundizando
estas ideas iniciales, luego la comprenderá como añadir o completar a través de
ejercicios, tales como el mostrado en la Figura 2.12, que le permitan razonar sobre lo
que es relevante y lo que no lo es y así a través de un proceso de feed back los
conceptos adquiridos influir, a su vez, en sus percepciones aunque no sean capaces
de definir los conceptos verbalmente.

Figura 2.12: Ejemplo de un ejercicio de asociación. (Resta1.ass
en el paquete ANDY2.pac, Anexo 8)
Aunque los niños tengan una estructura conceptual incipiente, debe el docente
seleccionar el punto de partida para comenzar a guiarlos en la búsqueda de caminos
para resolver los problemas y ejercicios que se les planteen y con ello obtener
conocimiento sobre los métodos que emplean y los conceptos que dominan o no, pero
deben ser ellos mismos quienes comprueben las soluciones obtenidas porque cuando
el niño verifica sus respuestas por más de un método reafirma su comprensión del
concepto.
El lenguaje y los símbolos matemáticos también influyen en la formación de los
conceptos matemáticos y actúan como un marco de referencia (Lovell, 1986), pero no
son suficientes para originar operaciones mentales que posibilitan el pensamiento
sistemático pues hace falta que comprendan, además, los métodos y las
demostraciones, claro que ello depende de la edad del niño.

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Capítulo 2 135

Una manera de lograr esto nos la proporciona el uso de materiales curriculares
tales como los desarrollados en el Prototipo  y en los paquetes didácticos diseñados
con el programa Clic (Anexo 8), porque ellos nos proporcionan información sobre fallas
en la aplicación de conceptos o en la manipulación de los objetos matemáticos, lo cual
detallaremos en la próxima sección. En la Figura 2.13, apreciamos uno de tales
ejercicios.

Figura 2.13: Aprendizaje de conceptos a través de símbolos.
(Dord3.ass en el paquete ANA.pac, Anexo 8)

Recordemos que el empleo de un concepto (grado más alto de generalización)
en forma eficaz debe ser independiente de la situación y de los materiales, es decir,
debe ser construido a través de procesos de abstracción reflexiva pues así se favorece
su formación y luego debe almacenarse como algo abstracto.
D.D. Resolución de problemas Resolucióndeproblemas
La resolución de problemas ha estado en el centro de la elaboración de la
ciencia matemática como motor que propulsa la creación humana, (Parra y Saiz ,1994;
Gairín, 2001; García, 2002), algo así como un eje transversal. Según García (2002)
una enseñanza basada en la resolución de problemas promueve las capacidades
señaladas en el Cuadro 2.2, contribuye a desarrollar gusto por las Matemáticas,

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 136

aminora el temor en su aplicación en las situaciones de la vida diaria y al mismo
tiempo demanda un creciente dominio de los recursos de cálculo.
Luego, la resolución de problemas puede considerarse desde una triple
dimensión, como: objetivo, contenido y metodología, según García (2002). Es un
objetivo porque la enseñanza de las Matemáticas va dirigida a que el alumno aprenda
a resolver problemas, es parte del contenido referido a técnicas, heurísticas y
estrategias para lograrla y es una metodología porque se le considera como uno de los
mejores caminos para aprender Matemáticas.
El término problema no debe considerarse sólo como un enunciado o pregunta,
más bien, “los problemas tienen que ser vistos como situaciones que se resuelven
mediante un proceso razonado en el que se dan oportunidades a los alumnos y
alumnas para que se cuestionen, experimenten, hagan conjeturas y ofrezcan
explicaciones” (García, 2002, 21), por ello definimos problema siguiendo a Gairín
(2001, 62), como una terna: situación-alumno-entorno, pues “sólo hay problema, si el
alumno percibe una dificultad”.
Una vez que el problema se ha planteado, éste debe ser comprendido por
todos los alumnos de tal manera que puedan prever una posible solución; debe
permitirles utilizar sus conocimientos anteriores y ofrecerles una resistencia tal, que les
motive en la búsqueda de la solución o al cuestionamiento de la estrategia que se han
planteado o de los resultados, si fuera el caso, que han obtenido.
Los problemas ponen en juego: Procedimientos de rutina (contar, calcular,
graficar, transformar, medir, etc.) y procedimientos más complejos (estrategias) tales
como: estimar, organizar, comparar, contrastar, relacionar, clasificar, analizar,
interpretar, trabajar con propiedades, descubrir patrones, transformarlos en problemas
más simples, etc. Luego, los niños siguen tres niveles hasta lograr la abstracción en la
resolución de problemas, veamos el Cuadro 2.21.
Por supuesto, cuando un niño se enfrenta a un problema, usa sus propios
métodos o maneras de desenvolverse para encararlo aunque con ellos no consiga
hallar la solución. No hay razones para pensar que el niño deba seguir el camino obvio
para resolver dicho problema, entonces la tarea esencial del docente, a juicio de Steffe
(1994), es no proveer al alumno de los caminos correctos del hacer sino más bien
guiarlos a hallar caminos a seguir para investigar sus metas. Porque las actividades
que surgen naturalmente de la indagación de los niños y de la resolución de

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Capítulo 2 137

problemas los ayudarán a desarrollar el conocimiento verbal y numérico (Martinello y
Cook, 2000).
NIVELES CARACTERÍSTICAS
CONCEPTUAL
Los niños(as) modelan la acción con objetos concretos o sus
dedos y con descripciones verbales. Por ejemplo la realización
de restas con la ayuda de paletas de helado, se colocan tantas
paletas como indica el minuendo y luego se quitan las que
indica el sustraendo. Luego se cuentan las que han quedado.
CONEXIÓN
Sigue el uso de materiales concretos y descripciones verbales.
Se asocian números y signos a los problemas planteados.
ABSTRACTO Uso de algoritmos.
Cuadro 2.21: Niveles en el proceso de resolución de problemas.
Inspirado en Castro y Castro (1995)
Podemos ver la resolución de problemas como un acto creativo descompuesto
en varias fases, veamos el Cuadro 2.22 donde varios autores exponen su criterio
respecto a esto.
ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PPOOLLYYAA** ((11994455)) HHAADDAAMMAARR** ((11994455)) DDEEWWEEYY** ((11991100))
1. Comprensión del problema. 1. Preparación. 1. Presentac ión del problema.
2. Concepción de un plan. 2. Incubación. 2. Definición del problema.
3. Realización del plan. 3. Iluminación. 3. Formulación de hipótesis
4. Ensayo de la hipótesis.
4. Examen retrospectivo. 4. Comprobación.
5. Comprobación de la hipótesis.
Cuadro 2.22: Etapas en la resolución de problemas.
(*Citados en Orton, 1990).
Sin querer ser exhaustivos, estas fases pueden ser: la familiarización con el
problema, comprensión de las ideas obtenidas en la fase anterior, búsqueda de alguna
estrategia que permita investigar los razonamientos hechos para llegar a una solución
y revisión del proceso seguido.

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 138

Cuando hablamos de familiarización nos referimos a que los niños deben leer
el enunciado del problema y aclarar el significado de cada término desconocido, luego
deben organizar los datos o buscar la información que necesiten en el caso de
problemas que así lo ameriten (Por ejemplo, ¿cuál es el promedio de gasto de energía
eléctrica en un hogar de tres miembros?).
Después de comprender (representar mentalmente) el problema, buscarán
relaciones entre los datos conocidos y las incógnitas, elaborarán un plan, lo llevarán a
cabo y por último comprobarán si los resultados son adecuados a la situación
planteada, si pueden haber soluciones alternativas y también considerarán si se puede
generalizar el resultado.
Podemos enseñarles a todos los niños estrategias generales para resolver
problemas (uso de materiales, tanteo, elaboración de tablas, diagramas, búsqueda de
regularidades, etc.); luego algunos podrán desarrollar sus métodos personales, como
lo indicamos anteriormente, pues les crea confianza en sus posibilidades de hacer
matemática, por asentarse sobre los saberes que ellos pueden controlar y quizás
resolverán algunos problemas; pero lo importante no es que los resuelvan todos, más
bien es importante que traten de resolverlos todos.
El uso de materiales manipulativos puede ayudar a los niños en la comprensión
y resolución de los problemas pues se favorece el proceso para realizar operaciones
intelectuales, aunque sin ningún material didáctico el niño puede por sí solo llegar a
ellas. En opinión de Piaget, el niño no llega a realizar abstracciones por el mero hecho
de manejar objetos concretos. La abstracción comienza a producirse cuando el niño
llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material; cuando
puede clasificar objetos, atendiendo, por ejemplo, al color, deshace la agrupación y
puede después ordenarlos atendiendo a su tamaño, etc.
No debe forzarse al niño a usar un método u otro, “más bien se instará a probar
diversos métodos para sacar información y así planificar la resolución” (Alsina y otros,
1998, 111). El docente puede a través del trabajo en grupo facilitar la discusión de cuál
de los métodos empleados resulta el más adecuado, discutir estrategias, formular
conjeturas, estimar resultados, acotar errores, examinar alternativas y consecuencias y
analizar la pertinencia de los resultados en relación con la situación planteada; todo
ello hará que los alumnos maduren sus conceptos y procedimientos y a la vez los
inicia en las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones.

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Capítulo 2 139

2.2.3 Tópicos de interés Matemático
En esta sección hacemos una revisión de la literatura relacionada con la
enseñanza y el aprendizaje de tres tópicos matemáticos incluidos en el CBN y que
sustentan la base teórica de los materiales didácticos que este trabajo ha permitido
producir. Primero, nos referimos a la multiplicación con números naturales en cuanto a
la iniciación del niño en el conocimiento de esta operación, aprendizaje de las tablas
de multiplicar (aprendizaje memorístico), algoritmo de la multiplicación (aprendizaje
algorítmico), las propiedades (aprendizaje conceptual) y clases de problemas
(resolución de problemas). Segundo, presentamos la iniciación del niño en la división
con naturales y por último, hacemos consideraciones acerca de la representación de
las fracciones.
A la par vamos presentando algunas actividades, de estructura multiplicativa
(problemas cuya resolución requiere de las operaciones aritméticas de multiplicación o
división) y relativas a las fracciones, que fueron incluidas en los materiales diseñados
por el investigador y por los docentes involucrados en el estudio con el fin de ilustrar lo
expuesto.
A.A. Multiplicación Multiplicación
Antes de iniciar el trabajo con la multiplicación y la división se requiere que el
niño utilice y tenga cierto dominio de los números y su simbología, la razón la expone
Castro y otros (1995, 45), “multiplicar es reiterar una cantidad en su nivel más
intuitivo”, donde los números involucrados responden a contextos distintos (al contrario
que en la suma y resta), el multiplicando es un cardinal concreto y se refiere al número
que se repite, mientras que el multiplicador es un cardinal abstracto que da el número
de veces que se repite el anterior, por ejemplo: Un edificio tiene 3 pisos, en cada uno
hay 4 apartamentos ¿cuántos apartamentos tiene el edificio?
En el ejemplo anterior, el número 4 es un cardinal concreto, el número de
elementos (apartamentos, en este caso) que se quieren contar y 3 es el cardinal
abstracto que representa un simple operador sin dimensión física (grupos de
apartamentos por piso).
Es así como la construcción de la operación de multiplicación comporta un
proceso de mayor complejidad que la adición.

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 140

En la segunda etapa de educación básica, ya algunos alumnos cuentan con
cierto entrenamiento en el cálculo de sumas y restas y la manipulación de cantidades
más complejas (números de 2 ó más cifras).
Para iniciar la enseñanza de la multiplicación se sugieren actividades
manipulativas (pueden usarse objetos concretos) que le permitan al niño hacer tal
operación como suma de sumandos repetidos, seriaciones (de 1 en 1, de 2 en 2, de 3
en 3, etc.), representación gráfica y numérica, actividades para contar, etc.
Entre tales actividades, hemos incluido en el Prototipo  ejercicios con
animales: ¿cuántas patas hay en el grupo de jirafas?, veamos la Figura 2.14:

Figura 2.14: Actividad Probl6.ass en PROBLE.pac (Prototipo . Anexo 8).
Una vez que ha comprendido el sentido de la multiplicación, pasamos a
enseñarle su realización a través del algoritmo, ver la Figura 2.15, para tratar de aminorarle las dificultades que presentan en la resolución de los problemas de estructura multiplicativa por el énfasis que se hace en la mecanización del algoritmo,
por su poca comprensión de las operaciones implicadas y por su escasa interacción
con experiencias que las involucren.
Muchos de los errores cometidos en este aspecto pueden ser consecuencia de
presentar las multiplicaciones como sumas repetidas y las divisiones como particiones
(modelo único de enseñanza en nuestro centro educativo).

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Capítulo 2 141

Esto puede mejorar si progresivamente se introducen distintas ideas de la
operación a través de situaciones diversas o al utilizar representaciones adecuadas a
la situación planteada. Se puede pasar de modelos de adición a situaciones de factor
multiplicativo (acción que se repite, de comparación entre dos medidas o de
transformación de medidas) que preparen al niño hacia un razonamiento proporcional
(Girondo, 1997).

Figura 2.15: Actividad M1.ass en ROSA.pac (Paq-TML2. Anexo 8).
En el momento en que el niño asimile este algoritmo, necesitará conocer de
memoria los resultados de ciertos productos y por ello se construyen y utilizan las tablas de multiplicar.
Para el aprendizaje de las tablas, hemos realizado varias prácticas en el
laboratorio con un paquete sobre tablas de multiplicar diseñado por Juan José Mateo
Molina en 1999 (del C.P. El Olivar, Madrid-España), ver Anexo 8, antes de los
paquetes de multiplicación que hemos diseñado, y lo han repetido cada vez que el
docente lo consideró necesario. Por supuesto, tenemos pendiente las
recomendaciones de Vergnaud (1985, 157) en la realización del Prototipo  y de los
paquetes diseñados por los docentes (ver la Figura 2.16), para hacer más agradable
esta tarea realizada por los niños:

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 142

“El conocimiento de memoria de la tabla para la base diez se vuelve rápidamente
indispensable; pero debe ser adquirido no por un aprendizaje y una recitación de
memoria sino a través de ejercicios de cálculo rápido que permitan a los niños captar el
interés que existe por conocer de memoria ciertos resultados”.

Figura 2.16: Actividad Prod1.ass en ROSA.pac (Paq-TML2. Anexo 8).
Luego del apoyo con sumas repetidas, es necesario que el alumno comprenda
que le resulta más fácil operar automáticamente a través de las tablas porque los
números cada vez son más grandes (contienen decenas, centenas, etc.). Primero se
aumenta la cantidad de dígitos en el multiplicando y luego en el multiplicador y esto
provoca dificultad en la operación pues se añade el hecho de tener que “llevar”. Así lo
hace TMI1 con AL3 en el aula integrada, como apoyo a TMA4 maestra de aula regular,
porque a AL3 se le ha dificultado el aprendizaje de esta operación, en realidad ya
conoce el algoritmo de la multiplicación le falta dominar las tablas.
Una estrategia usada por los docentes para el aprendizaje de las tablas es la
aplicación de las propiedades de la multiplicación, en especial de la propiedad
conmutativa. Una vez que los niños(as) se han aprendido las primeras tablas (por lo
general se hace en orden cronológico y el centro escolar de nuestra muestra no
escapa a esto) se ha hecho parte de las demás y esto lo hace evidente el docente, por
ejemplo, cuando pregunta ¿cuánto es 7x2? y luego recuerda que es lo mismo que
2x7.

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Capítulo 2 143

Recomienda Martín (1997) para romper el orden cronológico, hacer algunas
variaciones en él y así no se favorece la estrategia de la suma de uno en uno que el
aprendizaje de las tablas en el orden anterior conllevaba. Se trata de intercalar las
tablas del 10 y el 11 entre las tablas del 4 y 5 porque es fácil, para la mayoría de los
niños, el aprendizaje de la tabla del 10 y la del 11 equivale a repetir uno de los
factores, así el nuevo orden sería:


Por otro lado, no tiene sentido exigir la completa memorización de la tabla sino
su comprensión, que al menos el alumno sepa como obtener los resultados, es decir,
que desarrolle sus estrategias personales.
Hay varias estrategias para ayudar a los niños en ello, por ejemplo, previo a la
elaboración de las tablas se les asignan ejercicios que les permitan construir
seriaciones (escribir los números de dos en dos, de tres en tres, etc.); al preguntarle
un producto se comienza por el mayor factor (los niños se encargaran de conmutarlos,
pues las tablas anteriores ya son conocidas por ellos o al menos eso se espera); se le
recuerda el producto anterior (por ejemplo, ¿cuánto es 8x7? Recuerda que 7x7 son
49); o las características de cada tabla (por ejemplo, en la tabla del cinco los
resultados terminan en 0 y en 5).
Otra manera es a través del juego con las manos, por ejemplo para la tabla del
9 se hace el juego con los dedos: ambas manos abiertas, se numeran los dedos del 1
al 10, se cierra el dedo correspondiente al multiplicador de 9, el resultado se obtiene
observando la cantidad de dedos a ambos lados del dedo recogido (Figura 2.17), por
ejemplo: para 4x9 se recoge el dedo numerado 4 y quedan extendidos 3 dedos
extendidos a su izquierda y 6 a su derecha, luego el resultado de 4x9 es 36. Por
supuesto están permitidas todas las estrategias que junto a los niños puedan
diseñarse, usarse y consolidarse.
Por un lado, la práctica en el uso de estrategias va aumentando la velocidad en
las respuestas tanto que la distancia entre lo memorizado y lo obtenido se va
acortando, y por otro lado, el hecho de apoyar el cálculo en ciertas combinaciones
básicas hace que favorezcamos su memorización (Gómez, 1993).

1234 10115678 9

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 144


Figura 2.17: Estrategia para el aprendizaje de la tabla del 9.
El producto de los números mayores a 10 se rige por las leyes del algoritmo de
la multiplicación. Otra opción sería la enseñanza, por parte de los docentes, de la
Propiedad Distributiva respecto a la suma pero no lo hacen, a juicio de Vergnaud
(1985, 151), “esta propiedad debe necesariamente ser explicada a los niños si se
quiere que comprendan la regla operatoria de la multiplicación”, tomando en cuenta
ciertas precauciones pedagógicas porque ahora se ha descompuesto aditivamente el
multiplicador (los niños acostumbran a usar procedimientos aditivos en el
multiplicando) pero ello no excede a la capacidad de los niños de 8-9 años. Veamos el
ejemplo en la Figura 2.18.

Figura 2.18: Ejemplo de aplicación de la Propiedad
.........Distributiva respecto a la suma.

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Capítulo 2 145

Para la aplicación de esta propiedad se busca el equivalente numérico de uno
de los factores a partir de sumas, diferencias o expresiones cuadráticas, por ejemplo:


Otro ejemplo de ello lo podemos ver en la Figura 2.19, correspondiente a una
actividad incluida en el Prototipo  que podrá permitirle al docente introducir esta
propiedad.

Figura 2.19: Problema de aplicación de la Propiedad Distributiva de la multiplicación
respecto a la suma (Dist2.txa en el Prototipo  . Anexo 8).
Los problemas que estamos planteado en el Prototipo  tratan de la resolución
de problemas verbales en el campo conceptual de la estructura multiplicativa, con ellos
pretendemos motivar a los niños a esforzarse en el análisis de la situación planteada y
en el establecimiento de las relaciones expresadas.
“No debe importar que los datos numéricos sean pequeños, lo realmente importante es
la comprensión de todas las relaciones que pueden expresarse mediante la estructura
multiplicativa y la variedad de significados –variables semánticas- con las que dichas
relaciones pueden expresarse” (Castro y otros, 1995, 51).
La clasificación de los problemas de estructura multiplicativa no está bien
establecida en comparación con la de los problemas de estructura aditiva. Hay varias
clasificaciones desde el punto de vista semántico que difieren en terminología pero
25 x 48 = 25 x (50 – 2) = (25 x 50) – (25 x 2) = 1250 – 50 = 1200

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 146

que poseen categorías recurrentes, entre ellas queremos destacar la presentada por
Vergnaud (1983, en Castro y otros, 1995) quien establece dos grandes categorías:
Isomorfismo de medidas y producto de medida, quien reconoce que las estructuras
multiplicativas se basan en las aditivas, pero él sólo se interesa por los aspectos
intrínsecos más que por los que se reducen a aspectos aditivos.
En la clasificación presentada por Bell (1989, citado Castro y otros, 1995)
presenta y estudia sólo problemas multiplicativos asimétricos (los datos del problema
desempeñan papeles distintos) en 7 categorías: Grupos múltiples, medida repetida,
razón, cambio de tamaño y mezclas (las dos últimas las presenta en la misma unidad
y en distintas unidades). Otra clasificación es dada por Girondo (1997) y aquí la
presentamos en el Cuadro 2.23.
TTIIPPOOSS DDEE PPRROOBBLLEEMMAASS MMUULLTTIIPPLLIICCAATTIIVVOOSS
CATEGORÍA CASOS PROBLEMAS*
Recuento
Una escuela tiene 9 salones con
35 estudiantes cada uno.
¿Cuántos estudiantes hay en la
escuela? (Actividad 1act16.ass).
Parte-todo
Correspondencia
múltiple
Juan compró 3 botellas de agua a
Bs. 150 cada una. Si las vendió a
Bs. 200 ¿Cuánto dinero ganó?
(Actividad Proble3.ass).
Iteración
Un pintor pinta 2 cuadros por mes. Al
cabo de 15 meses ¿cuántos
cuadros habrá pintado?
(Actividad Probl10.ass).
Factor
multiplicativo
simple
Transformación o
comparación de
medidas
Ver la Figura 2.20
(Actividad Oper11.ass).
Proporcionalidad
─
Un bus recorre 80 Km por hora.
En 5 horas ¿cuántos kilómetros
recorrió? (Actividad Proble5.ass).
Recuento
combinatorio
─ (**)
Cuadro 2.23: Tipos de problemas multiplicativos, basándonos en Girondo (1997).
(*) En Anexo A. (**) No se ha incluido.

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Capítulo 2 147


Figura 2.20: Ejemplo de una situación en la que el operador significa transformar una
medida. (Oper11.ass en el Prototipo β. Anexo 8)
La diversidad de problemas así organizados le permitirá al docente ampliar el
universo de aplicación de esta operación aritmética a diferentes situaciones y no sólo
verla referida a ideas aditivas.
Cada situación de multiplicación puede llevar asociadas dos de división
(Castro, 1995; Verschaffel y De Corte, 1996; Girondo, 1997), una corresponde a la
división como partición (se da el todo y el número de partes y hay que hallar el tamaño
de cada parte) y la otra a la división cuotitiva (se da el todo y el tamaño de cada parte
y hay que hallar el número de partes).
Por ejemplo, 36 personas viajan a la Gran Sabana en auto de doble tracción y
cada uno puede llevar a 4 de ellas, ¿cuántos autos se necesitan? En este problema la
cantidad (36
÷4) indica el número de autos (grupos), 36 es el total de personas y 4 es
el tamaño de cada grupo. Así planteamos una división cuotitiva. Si cambiamos el
planteamiento del problema por: Se dirigen 36 personas a la Gran Sabana y para ello
disponemos de 9 autos ¿cuántas personas debemos ubicar en cada uno de ellos? El
total de personas y el número de grupos (autos) es conocido y deseamos hallar el
número de personas en cada auto (la medida de cada parte). Así planteamos la
división como una partición.

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 148

La división está implícita en la tabla de multiplicar de doble entrada, si nos
ubicamos en uno de los números interiores y lo dividimos entre uno de los extremos, el
resultado estará en el otro extremo. Este es otro camino para introducir la división. Así,
ambos algoritmos (el de la multiplicación y el de la división) pueden ser presentados
como un camino de ida y vuelta.

Realmente estamos planteando la división como la inversa de la multiplicación
(y viceversa), con lo cual los chicos de la II etapa de educación básica (ciclo del nivel
educativo correspondiente a nuestro interés) lograran ampliar su conocimiento de
estas dos operaciones y ésta es una de las expectativas de la NCTM (2000) a
alcanzar por los chicos en esta edad escolar y que en EUA están incluidos en los
grados 3-5.
La división es de por sí una operación compleja porque involucra a la resta, la
multiplicación y una búsqueda por tanteo de los términos del cociente. En esta
operación, “el dividendo y el cociente con frecuencia representan medidas; el divisor,
es un operador sin dimensión” (Vergnaud, 1985, 150). En nuestro trabajo no incluimos
problemas de división, sólo nos limitamos a introducir algunas actividades como
motivación (hallar la mitad de un número dado y hallar múltiplos, por ejemplo). Veamos
la Figura 2.21.

Figura 2.21: Actividad Mul93.ass (Prototipo , Anexo 8).
36÷ 9 = ? 9 x ? =36

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Capítulo 2 149

B.B. Fracciones Fracciones
La comprensión de la noción de fracción está vinculada a la capacidad de
representación del hecho concreto por parte del niño, esto conduce al docente a
diseñar secuencias de enseñanza o actividades que encausen el conocimiento
informal del niño hacia la consecución de los objetivos involucrados. Así, es importante
el conocimiento del profesor de las relaciones entre el conocimiento de las
Matemáticas y el conocimiento de distintos modos de representación pues influyen en
las características de las tareas de enseñanza, en la interacción didáctica en las aulas
y en el significado que él o ella da a las producciones de sus alumnos.
Es por ello que autores como Llinares y Sánchez (1988, 1996) están de
acuerdo que en la secuencia de enseñanza de las fracciones debe partirse de
contextos concretos antes de pasar a situaciones más abstractas de cálculo
algebraico, esto permitirá crear un esquema conceptual base para el manejo de los
símbolos y las operaciones con fracciones con más sentido para los niños.
“La alternativa consistiría en buscar situaciones de la vida real, diaria de reparto y de
med
ida que conllevarán el trabajo de las fracciones y, apoyados en el conocimiento
informal que sobre éstas llevan los niños cuando entran en la escuela, potenciar a
través de estas situaciones la construcción del concepto, las operaciones y las
relaciones en las fracciones por los propios niños”. (Llinares y Sánchez, 1988,
64).
Sin embargo observamos como algunos docentes al inicio de este tema dictan
un concepto de fracciones sin indagar las ideas que el niño tiene al respecto y sin
seguir una secuencia de enseñanza donde se potencien traslaciones entre las
distintas representaciones de dicho concepto, como lo señalamos en la Figura 2.22.

Figura 2.22: Formas de expresión.
Para lograr, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las fracciones, ir de lo
concreto a otra forma de expresión, es común usar en la escuela primaria algún

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 150

modelo matemático, entre ellos tenemos: el modelo continuo (área), el discreto o el
modelo lineal (recta numérica). Veamos la Figura 2.18.
Con cada uno de estos modelos podemos usar distintos métodos de
representación del concepto de fracción, estos son:
 Método parte-todo: Se presenta cuando una unidad (todo) se divide en partes
congruentes, la fracción indica la relación entre la porción señalada y el número
total de partes en que se ha dividido el todo. El método parte-todo puede
representarse usando cualquiera de los modelos descritos (Figura 2.23).
El trabajo con la relación parte-todo, por ser una de las más intuitivas en el
niño, puede convertirse en generadora de lenguaje y símbolos.


Figura 2.23: Representación de
8
5

con el método parte-todo.
 La fracción como razón: Se refiere a una comparación de situaciones donde se
representa a la fracción por las relaciones entre el todo y las porciones
fraccionarias. En este método, no existe un todo en el sentido de que la
comparación puede hacerse en ambos sentidos (Llinares y Sánchez, 1988).
Para clarificar esto veamos que en el ejemplo de la Figura 2.24, se plantea una
comparación, a través de los tres modelos, donde se describe cuántas piezas
tiene el todo y cuántas piezas se han tomado para formar la parte fraccionaria,
en este caso particular, 5 de las 8 piezas o unidades. Es una relación parte-
parte descrita con 5:8 ( ó 5/8 ), aunque también tenemos situaciones de
comparación todo-todo, por ejemplo, cuando exploramos los detalles de dos
mapas de una misma región a distinta escala.

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Capítulo 2 151


Figura 2.24: Representación de
8
5

usando el método de comparación.
 La fracción como cociente: En esta interpretación la fracción se asocia con el
resultado de dividir dos números naturales (el numerador por el denominador
de dicha fracción), esto es,
 = a ÷ b. También podemos verla como un
reparto, por ejemplo, si queremos repartir 5 pizzas entre 8 niños, resulta
conveniente picar cada pizza en 8 trozos y darle a cada niño 5 de ellos o como
se indica en la Figura 2.25:

Figura 2.25: Ejemplo de interpretación de la fracción
8
5

como cociente (reparto).

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 152

 La fracción como operador: Esta interpretación permite ver a las fracciones
como una transformación que actúa sobre una situación y la modifica. Por
ejemplo si tenemos 24 alumnos(as) en una sección de clases y queremos que
2/3 de ella participe en clases de manualidades mientras el resto asiste a
clases de computación, entonces obtenemos:
16 2 x 3) 24 ( 3 2) x 24 ( (24)
3
2



Figura 2.26: Ejemplo de interpretación de la fracción como operador (modelo lineal)
Sólo 16 niños(as) irán a clase de manualidades mientras que 8 ( 24 – 16 ) irán a clases de computación. Luego, la fracción como operador se concibe como una sucesión de una división y una multiplicación o a la inversa.
Para la representación de las fracciones contamos con todos estos métodos y
modelos, aunque no todos se prestan de igual forma para ilustrar todos los aspectos
en los que surge este concepto en la vida diaria. A veces se producen dificultades en
el aprendizaje de los alumnos si no usamos el más apropiado de acuerdo a la
situación concreta que se pretende ilustrar o si no tenemos en cuenta que “las
representaciones para una idea matemática que se pueden utilizar no son perfectas, y
pueden subrayar algunos aspectos del significado del concepto y soslayar otros”,
(Llinares y Sánchez, 1996, 109).
Por ello necesitamos aclarar algunas diferencias entre ellos, por ejemplo, la
principal diferencia entre el método parte-todo y el método de comparación (la fracción
como razón), según Watanabe (2002), se refiere a la relación entre el todo y la parte
fraccionaria. En el primer método, la parte fraccionaria está sumergida en el todo

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Capítulo 2 153

mientras que en el segundo, el todo y a la parte fraccionaria se muestran (o se
construyen) separadamente, como hemos observado en las Figuras 2.21 y 2.22.
Es difícil para los niños la interpretación de la fracción como cociente, respecto
a la interpretación parte-todo, pues si nos referimos al modelo continuo de la Figura
2.18, es más sencillo para ellos sombrear 5 partes de las 8 en que se ha dividido el
todo a tener que dividir 5 partes entre 8 personas, sobre todo para los que se inician
en esta operación sobre el conjunto de los números naturales.
La fracción asociada a la operación de división de los números naturales
(reparto) se hace más compleja cuando son varias las unidades a repartir o cuando no
pueden ser divididas, como sucede en el momento del reparto de objetos o animales
que habría que “romper” (Contreras, 2001).
En la interpretación de la fracción como operador se enfatiza el papel de ésta
como transformación y se abre una puerta hacia la idea de los números racionales
como grupo algebraico con la multiplicación, lo cual es un tema de III etapa de
educación básica y niveles educativos superiores.
Las dificultades de comprensión por parte de los niños de estos métodos
depende básicamente de dos factores, de su marco vivencial (vinculado a la edad y al
grado de abstracción) y del modelo que escojamos. Y el docente debe tener cuidado
con la falta de compatibilidad entre el significado que se de a las fracciones (decimal,
porcentaje o proporción), las características del modelo y la tarea por resolver.
Para Watanabe (2002, 462), “teachers must pay close attention to the way that
fractions are represented, because these representations can influence children´s
problem-solving strategies”. Por ejemplo, entre los significados asociados a la fracción
parece que la noción "partes de un todo" es la de más fácil comprensión para los niños
pues la tarea de sombrear en una figura una fracción dada es más asequible que
hacer lo inverso (Contreras, 2001), además es más asequible el modelo continuo que
el modelo discreto o la recta numérica, en el sentido que en la mayoría de los libros y
aulas de clase este es el modelo expuesto, con lo cual negamos a los niños la
oportunidad de aplicar las fracciones en situaciones distintas al no proporcionarles
suficientes experiencias concretas con todo tipo de representaciones.
Otro detalle a cuidar por los docentes es que el uso de materiales concretos
sea consistente con la interpretación de la fracción que se esté explicando o
mostrando a los niños(as). Por ejemplo, el uso de tiras de papel para mostrar el

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método parte-todo (Figura 2.27), las cuales se pliegan y luego se colorean las partes
fraccionarias (mitades, tercios, cuartos, octavos, etc.) que se han querido ilustrar.


Figura 2.27: Actividad escolar referida al Método parte-todo.
Algunos materiales concretos no permiten al niño manipular la parte
fraccionaria separadamente del todo, esto dificulta su comprensión sobre el doble
papel de las partes fraccionarias en el método parte-todo: por un lado, son una entidad
en sí misma y por el otro se consideran como parte incluida dentro de una entidad más
grande (Watanabe, 2002) y por ende se les dificulta la comprensión del método.
Para solventar esta dificultad, podríamos usar, por ejemplo, modelos de pizza
(todo) con las porciones congruentes señaladas y diseñadas por separado de tal
manera que puedan pegarse o quitarse al todo (a través de cierres mágicos y el uso
del franelografo o pizarra de franela), también pudiéramos usar el cartón de huevos
(como el todo) y construir las partes fraccionarias a través de empalmes de zonas
redondeadas que entren en cada cavidad y que puedan desplazarse fuera en un solo
movimiento para mostrar comparaciones entre parte-parte y entre parte-todo.
Las representaciones y los modelos concretos por sí solos no manifiestan
significados matemáticos, a pesar de ser útiles para quienes los construyen pero, sin
embargo, “el conocimiento del profesor de las características de diferentes modos de
representación de tópicos concretos llega a ser un aspecto importante en el diseño e
implementación de entornos de aprendizaje y durante el proceso de negociación de
los significados” (Llinares y Sánchez, 1996, 95). Es por ello que los docentes tienen la
responsabilidad de que los materiales concretos, la notación, los métodos y modelos
sean matemáticamente apropiados para sus estudiantes.
La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 154

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2.2.4 Matemáticas y NNTT
Los primeros usos de la computadora en educación estuvieron ligados a la
programación. En Matemáticas, este uso se dirigía a la aplicación de técnicas
numéricas para resolver ecuaciones y chequear propiedades en Cálculo, Análisis,
Álgebra y Geometría.
En los años recientes, a juicio de Balacheff y Kaput (1996), se ha alcanzado un
mayor realismo en los objetos matemáticos porque a través de la interfaz se pueden
expresar las ideas que los involucran usando un medio de comunicación muy cercano
al lenguaje matemático y se logra el feedback necesario en términos del fenómeno en
estudio. Esto es importante porque en Matemáticas, a juicio de Martí (1997), el rigor, la
coherencia interna, la universalidad del lenguaje y la capacidad de deducción y de
cálculo, son primordiales a la hora de enfrentar un fenómeno, y no nos eximimos de
ello a la hora de modelarlo para luego intentar resolverlo numéricamente.
Sin embargo, aún prevalecen muchas di ficultades que no debemos obviar, en
el campo cognitivo podemos mencionar: “manejo inadecuado de la atención y de la
memoria, empleo de estrategias inadecuadas, dificultad de manejar un código
abstracto y analítico, dificultades de traducción de un código simbólico a otro, empleo
de conocimientos matemáticos informales que pueden entrar en contradicción con los
conceptos matemáticos formalizados, etc.”, (Martí, 1997, 142). Y en el campo afectivo,
por ejemplo, nos encontramos con: falta de motivación, poca confianza y conflictos en
la utilización de los conocimientos matemáticos previos.
Con ello queremos expresar que no son las computadoras las que totalmente
van a ayudarnos a solventar todas estas dificultades pero pueden abrir una nueva fase
en el diseño y uso de recursos en la educación matemática. La resolución de
problemas a través de software interactivo puede motivar a los alumnos en sus
procesos de aprendizaje; al usar programas elaborados deben manejar ciertas reglas,
escribir con precisión los símbolos y secuenciar correctamente las acciones y al entrar
en un micromundo pueden seguir sus propias estrategias, construir, experimentar,
aprender de sus errores, refinar destrezas y explorar mundos cercanos a la realidad.
Reiteramos, el medio informático no provoca por sí solo efecto en el proceso
de enseñanza-aprendizaje, el profesor debe planificar su uso de acuerdo al grupo de
estudiantes que dirige, al contenido curricular y a las metas fijadas en su entorno
educativo.

Capítulo 2 155

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 156

A.A. Nuevos entornos de enseñanza-aprendizaje Nuevosentornosdeenseñanza-aprendizaje
Los ambientes instructivos caracterizados por que en ellos se realizan las
mismas actividades, en el mismo lugar y al mismo tiempo están experimentando
modificaciones debido a cambios en el sistema espacio-tiempo producto del auge de
las telecomunicaciones, lo cual facilita el acceso a los recursos a muchas personas y
diversifica la opciones educativas. Estos nuevos ambientes de aprendizaje no parece
que sustituyan las aulas tradicionales pero si las complementan, como indica Salinas
(1997).
Como un entorno emerge “cuando el profesor y los alumnos trabajan y se
comunican por medio de un plan conjunto de actividades de investigación, acorde con
sus intereses, capacidades y habilidades” (Alsina y otros, 2001, 26), así un nuevo
entorno de enseñanza-aprendizaje emerge cuando incluimos en ellos las NNTT, tanto
el hardware como el software y especialmente aquellos que ayudan al docente y al
alumno a lograr las metas educativas. Al introducir cambios que afectan a todos los
elementos del proceso educativo, estamos creando nuevos ambientes de aprendizaje.
Como los medios de comunicación han sufrido grandes cambios en los últimos
años, entonces los entornos informáticos de aprendizaje han variado también con el
paso del tiempo, haciéndose más robustos de acuerdo a nuevas exigencias en los
distintos ámbitos del quehacer humano, por lo tanto lo que hoy llamamos nuevas
tecnologías mañana no lo será, posiblemente, pero lo que si seguirá siendo nueva es
nuestra preocupación, como docentes, por actualizar los conocimientos que poseemos
en esta materia para poder desempeñarnos profesionalmente con amplitud y calidad.
Pero los entornos o ambientes de aprendizaje siguen siendo espacios de
exploración, manipulación, construcción, actividades dirigidas, etc., bien sea individual
o grupal, en donde los alumnos controlan sus actividades de aprendizaje, con la ayuda
o no del profesor, y utilizan recursos de información y comunicación, así como
herramientas de construcción de conocimientos para resolver problemas.
Indica Gewerc (2001), que los entornos poseen un núcleo con tres
componentes interrelacionadas: contexto, simulación o presentación del problema y
espacio de manipulación (ver Figura 2.28). El contexto describe donde ocurre el
problema, la simulación permite introducir al usuario en el problema y potencia el
desarrollo de sus habilidades cognitivas, mientras que en el espacio de manipulación
el alumno puede intervenir en el desarrollo del problema. Alrededor de este núcleo se
encuentran herramientas cognitivas, recursos para la búsqueda de información y

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herramientas de colaboración. Así el alumno no sólo puede estudiar el problema,
plantear sus hipótesis, experimentar, visualizar las consecuencias de sus acciones,
etc., sino que también puede comparar y analizar el problema mismo, construir
estructuras conceptuales y compartir sus resultados, inquietudes y dudas con otros,
expertos o no, dentro de un entorno que le provee una representación del problema
cercana a la realidad.

Figura 2.28: Esquema de un Entorno de Aprendizaje (Gerwec, 2001)
Este esquema que Gerwec (2001, 4) propone para la elaboración de entornos
basados en la computadora, involucrar aspectos relativos a que “el usuario construya
su conocimiento, tanto a través del procesamiento de la información como de la
construcción de significados y modelos mentales a partir de ella”. Se trata de una
propuesta de creación de un entorno desde el punto de vista constructivista.
Los entornos deben ser diseñados de tal manera que garanticen una utilización
exitosa del medio informático en el proceso de enseñanza-aprendizaje y esto se logra
si se suceden cambios en el resto de los elementos del sistema educativo, como son :
los objetivos, elegir los contenidos curriculares que pueden ser modelados con los
materiales informáticos que poseemos, modificar nuestras estrategias de trabajo en el
aula aprovechando las características del medio (interactividad, trabajo colaborativo,
diseño de actividades motivadoras, etc.), integrar el medio al currículo, etc. Pero la

Capítulo 2 157

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aparición de estos nuevos ambientes tiene sentido y se comparte “la misma visión de
cómo la innovación hará que mejore la educación” (Salinas, 1997, 87).
Se trata de introducir en la planificación de los proyectos tentativos de acción
los medios electrónicos relacionados con los procesos de enseñanza-aprendizaje, bien
sea los tradicionales: televisión, video, etc. o los más sofisticados producto del
desarrollo de la digitalización, para que a través de ellos, los docentes puedan obtener
algunas respuestas y soluciones a problemas de su práctica (cambios en el rol del
docente en el aula).
La pedagogía por proyectos supone cambiar las condiciones y organización del
trabajo en el aula, al facilitar la creación de ambientes con experiencias de aprendizaje
que induzcan al alumno a participar en la construcción del conocimiento, desarrollando
una actuación critica y reflexiva de la realidad donde viven, dentro de este escenario
deben ser tratados los medios electrónicos como un elemento curricular más,
“necesitando para su comprensión situarlos en el espacio y la perspectiva del conjunto
de las variables curriculares”, Salinas (1999, 107).
En el caso de Matemáticas, los entornos computacionales han transformado
sus prácticas porque pueden facilitar al alumnado el desarrollo de nuevas
concepciones acerca de los objetos matemáticos. Una de las características de estos
entornos, en comparación con otros recursos de aprendizaje, es su carácter cognitivo,
es decir, no sólo permite representar los objetos matemáticos sino también sus
propiedades. Acota Balacheff y Kaput (1996), que la interacción entre el aprendiz y la
computadora se basa en la interpretación simbólica, los cálculos con los datos de
entrada que éste realice y el feedback que el entorno le proporciona.
En un entorno de enseñanza existe un conjunto de recursos que contribuyen
coordinadamente a un aprendizaje eficaz, o al menos eso se pretende. Son
interesantes aquellos entornos donde las computadoras provean formas de hacer y
experimentar en Matemáticas, al permitirle al usuario poder manipular directamente los
objetos matemáticos y sus relaciones, más ahora que, según Adell (1997, 9), las
NNTT “serán utilizadas de modo creciente como medio de comunicación al servicio de
la formación, es decir, como entornos a través de los cuales tendrán lugar procesos de
enseñanza-aprendizaje”. Por ello en el siguiente apartado veremos algunos de los
recursos con que contamos en esta área.



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Capítulo 2 159

B.B. Recursos tecnológicos y el conocimiento matemático Recursostecnológicosyelconocimientomatemático
Los recursos tecnológicos nos permiten plasmar la representación del
conocimiento a través de formatos visuales, sonoros e icónicos y a la vez se nos
plantea la interrogante respecto a la fidelidad de esa representación, por un lado y por
otro si podremos expresar de qué forma la nueva representación puede interferir con
su significado intrínseco.
Sin embargo, los modelos toman las características relevantes del fenómeno
que se quiere estudiar y ayudan a clarificarlo, con cierto grado de error que puede ser
controlado. Por lo tanto, el conocimiento es la esencia de la interpretación de esos
modelos y en el caso de usar el medio informático para representarlos, el
conocimiento no puede sólo leerse de la pantalla, éste “es el resultado de una
construcción en el proceso de interacción con la máquina” (Gorgorio, Deulofeu y
Bishop, 2000, 94).
En opinión de Hernández y Soriano (1999, 46), “una matemática que se
sustente en la reflexión y el pensamiento, partiendo de la práctica, de la exploración y
la experimentación exige disponer de materiales variados”, para ello contamos en el
mercado con infinidad de programas informáticos, unos permiten construir el
conocimiento matemático, otros ayudan al docente en tareas diferentes de su día a
día, como las de aplicación o ejercitación de dichos conocimientos.
Una clasificación de los programas de ordenador que sigue el criterio del tipo
de tareas a realizar por los alumnos, presentado por Marqués y Sancho (1987),
presenta tres bloques, el primero corresponde a los tutoriales y los programas de
ejercitación (drill and practice programs) que permiten tareas de reconocimiento,
memorización y resolución de problemas. Mientras que para tareas de comprensión se
ubican los tutoriales de tipo heurístico, las simulaciones, los juegos heurísticos y los
entornos de programación. Otros programas, no diseñados para enseñanza pero que
están siendo asumidos para estos fines, tales como: procesadores de texto, hojas de
cálculo, generadores de gráficos, paquetes estadísticos y bases de datos,
conformarían un último bloque (Ver Cuadro 2.24). Vamos a incluir en esta clasificación
otros programas en auge actualmente, nos referimos a los programas multimedia, los
cuales se basan en el acceso oportuno y adecuado a la información y al conocimiento.
Los tutoriales y los micromundos, tomándolos (sin pérdida de generalidad)
como representantes de las dos primeras categorías, ocupan extremos opuestos

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 160

dentro de los entornos basados en las computadoras, desde el punto de vista de la
estructuración y control del acceso, como nos acota Balacheff y Kaput (1996, 483):
“On the one hand, microworlds offers to learners open worlds in which they can freely
explore problem situations, and on the other hand, tutoring system provide students
with strong guiding feedback”. Mientras que en los multimedia (en los cuales nos
extenderemos en el Capítulo 4) el control del acceso a la información está en el
usuario, dentro de los límites conferidos por el diseñador (Gros, 1997).
CCllaassiiffiiccaacciióónn ddeell SSooffttwwaarree sseeggúúnn llaass ttaarreeaass ddeell aalluummnnoo
CCaatteeggoorrííaa TTiippoo EEjjeemmppllooss
Tutoriales Exploring languages De memorización y
práctica
Programas de Ejercitación
Tutoriales Heurísticos MATES
Simulaciones
Eyewitness virtual
reality: Dinosaur
hunter
Micromundos Logo, Cabri, TIMA
De comprensión
Lenguajes de Programación
Pascal, Cobol, Basic y
Fortran.
Procesadores de Texto Word
Hojas de Cálculo Excel
Paquetes Estadísticos SPSS y Minitab
De aplicación
Bases de Datos
Hipermedia Páginas Web
Enciclopedias Encarta
Videojuegos Seems
Multimedia
Resolución de Problemas Mega Math Blaster
Cuadro 2.24: Tipos de software. Elaboración propia.
En la práctica un programa de enseñanza puede o no pertenecer a una sola de
estas categorías. Un tutorial puede incluir simulaciones de los procesos que se quieran
explicar a los alumnos o en un micromundo se pueden acceder a secuencias dirigidas,
con lo cual los alumnos podrán sacar partido de los beneficios de unos y otros y así se
logrará su eficiencia en cuanto a tiempo de empleo y tipo de alumnos (Vaquero, 1992).

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Hay programas centrados en la transmisión de contenidos y otros tienden a lo
procedimental, es decir, “se dirigen hacia el soporte en la adquisición de una
determinada habilidad o desarrollo de estrategia” (Gros, 2000, 61). Entre los
programas que han revolucionado la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas
tenemos:
Programas de adiestramiento y práctica (Drill and practice programs):
Estos programas se destinan, básicamente, a consolidar y reforzar el
conocimiento sobre algún tópico particular que el niño(a) ya posee. Son programas
cerrados que no permiten una interacción elaborada entre las parejas de niños que
juntas desarrollan la actividad (en el caso de trabajo en parejas), más bien se han
diseñado para trabajo individual.
Se recomienda su uso de acuerdo a las siguientes razones:
 Los ejercicios se presentan según niveles de dificultad.
 Ejercicios de corrección inmediata.
 Algunos presentan autoevaluación.
 Los ejercicios de repetición asientan las bases del conocimiento básico.
 Permiten un aprendizaje ameno.
Pueden ser adecuados para la adquisición de destrezas pero pueden impedir
que se alcancen niveles avanzados de aprendizaje y por ello no se recomiendan para
niveles altos de educación donde las mismas se hayan superado. Además, debemos
tener cuidado con el hecho de que muchos estudiantes podrían resolver distintos
problemas aritméticos correctamente pero estos resultados no muestran que
realmente estén entendiendo las bases de los algoritmos empleados. Por ejemplo,
muchos estudiantes a pesar de utilizar la técnica de simplificación de fracciones en
gran cantidad de problemas, aún creen que el valor de las mismas cambia cuando se
multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número (Lehtinen y
Repo, 1996). Esto nos indica que las frecuentes repeticiones de los algoritmos pueden
ser insuficientes para corregir las malas concepciones o ganar comprensión de los
conceptos matemáticos.
Uno de tales programas es el Animated Multiplication and División (Figura
2.29), dirigido a niños y niñas de educación primaria. Este es un programa de
ejercitación, escrito en inglés, en el área de Matemáticas y específicamente se basa
en las tablas de multiplicar del 1 al 10. Este programa favorece el cálculo mental,

Capítulo 2 161

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presenta 6 tipos de problemas de multiplicación y 6 tipos de problemas de división. El
usuario puede escoger la tabla que desee practicar con (1,2,3,…,10 ó mixto), para ello
se usan las teclas de las flechas y la tecla <Return> para seleccionarlos; al marcar la
letra 'H' recibe ayuda y al marcar la letra 'Q' podrá salir.
Por la realización exitosa de una sucesión de diez problemas, el programa
premia al usuario con juegos adicionales, se trata de la creación de figuras propias,
animadas y a color. Para ello puede crear o seleccionar un esquema de color para su
propio dinosaurio, automóvil, cara etc. Puede usar el teclado y el ratón y los archivos
de ayuda también están disponibles en el archivo Read.txt.

Figura 2.29: Interfaz del programa Animated Multiplication and División.
Otro programa (lenguaje de autor) con el cual se pueden diseñar distintas
actividades de repetición es el Clic. Diseñado por Busquets y sus colaboradores
(Busquets, 1999), este programa posee una interfaz (ver la Figura 2.28) muy sencilla y
con la ayuda no sólo del teclado sino del ratón el niño puede aprender jugando con
distintos tipos de actividades, tales como: las asociaciones, rompecabezas, cartas de
memoria, crucigramas, completación de textos, etc. y elevar sus niveles de retención,
disminuir el aburrimiento y las malas conductas.
El Clic 3.0 (Figura 2.30), cuyas características detallaremos en el Capítulo 4, le
permite al docente desarrollar los contenidos procedimentales del currículo relativos a
relacionar, ordenar, memorizar, explorar, clasificar, etc. con la ayuda de textos,
gráficos, sonido y animaciones. Este entorno, lleno de interactividad, proporciona al
usuario inmediatamente el feedback necesario para que conozca la valoración de cada

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una de sus respuestas así como su precisión global al completar cada paquete o
secuencia de actividades.
El programa facilita el diseño y la secuenciación de actividades de aprendizaje
de acuerdo a las necesidades de cada grupo de alumnos o para adaptarlas a las
necesidades especiales de los alumnos que lo requieran y además se pueden
encadenar otras secuencias de actividades de menor o mayor nivel de dificultad con lo
cual el alumno será capaz “no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en
situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos
problemas”, como lo indican Parra y Saiz (1994, 53).

Figura 2.30: Interfaz del programa Clic 3.0 (Actividad Cruci2.crw, en el
paquete JOSEFI.pac. Paq-TMA5, Anexo 8).
Micromundos
Este ambiente de aprendizaje ofrece al principiante una experiencia orientada
al descubrimiento y resulta atractivo por su carácter interactivo. Un micromundo consta de dos características esenciales, según Balacheff y Kaput (1996):
1. Un conjunto de objetos primitivos, operaciones elementales con esos objetos y
reglas que expresan la forma como se realizan las operaciones.
2. Un dominio del fenómeno que determina el tipo de feedback que produce el
micromundo como consecuencia de las acciones y decisiones del usuario.

Capítulo 2 163

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Este dominio de trabajo junto a las herramientas apoyan una rica diversidad de
actividades creativas. Logo es un ejemplo de lenguaje de programación que nace en
los años 70, permite la creación de micromundos para la exploración de elementos
geométricos en el plano y fue creado para introducir a los niños y niñas en los
conceptos de programación. Posee herramientas sencillas tales como: acciones
primitivas y objetos (números y listas), con una sintaxis fácil de aprender y de usar
pero flexible y potente que le permite al usuario combinar dichas acciones y crear otras
más complejas (procedimientos) para resolver problemas en forma estructurada (a
través de la recursividad) que luego formarán parte del propio lenguaje, en este
sentido, Balacheff (2000, 95), indica que “el micromundo evoluciona a medida que
crece el conocimiento del aprendiz” (ver la Figura 2.31).
En el programa Logo, los dibujos son estáticos y para modificar su apariencia
se debe modificar el código fuente. Por lo tanto para verificar si se ha dibujado lo que
se quiere, debe coordinarse un feedback visual de la figura con la evaluación de la
descripción simbólica del código que la origina.
Este proceso de adaptación entre el usuario y el entorno, es decir, la forma
cómo él asume el feedback y las consecuencias de ello, le permite mejorar la
comprensión de su propia actividad de construcción matemática y por ende mejorar su
conocimiento del fenómeno.

Figura 2.31: Interfaz de Logo Writer.

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Con el tiempo se han mejorado los entornos de programación para el
desarrollo y aprendizaje con el lenguaje Logo, una de estas versiones es el WinLogo
(ver la Figura 2.32).
Esta versión de Logo para Windows se creo con el objetivo de facilitar a los
pequeños usuarios su utilización, para ello se beneficia de las funcionalidades del
sistema operativo Windows, se le ha dotado de nuevas y potentes características
como las primitivas 3D para explorar elementos en el espacio tridimensional y es
compatible con las versiones mas populares ya existentes de Logo.

Figura 2.32: Interfaz del WinLogo.
Para el aprovechamiento de este micromundo (en cualquiera de sus versiones)
se requiere que “el alumno construya un sólido puente entre las representaciones simbólicas de los objetos geométricos en el lenguaje Logo y la representación gráfica
que aparece en la pantalla” Balacheff (2000, 95).
Otros micromundos lo constituyen los entornos geométricos dinámicos, que
permiten al usuario la construcción de figuras geométricas partiendo de objetos
matemáticos básicos (punto, línea, segmento, etc.) y de las relaciones elementales
entre ellos (punto medio, perpendicularidad, equidistancia, etc.), luego de escogerlas
de un menú.
Uno de ellos es el Cabrí-géomètre, desarrollado en Francia por Laborde (1995)
y su equipo a mediado de los 80
’
s. Una de sus virtualidades es que una vez dibujada

Capítulo 2 165

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la figura geométrica se puede mover, tomando cualquiera de sus puntos o
componentes básicas y ello permite observar como se mantienen las relaciones
aunque cambien las dimensiones. Así, el usuario válida visualmente las propiedades
geométricas aprendidas teóricamente y puede hacer conjeturas.
Al igual que con el Logo, el Cabri permite la construcción de herramientas más
complejas o macros, que se podrán agregar al menú Construcción como un nuevo
elemento a implementar cuando algún problema así lo requiera (ver Interfaz de Cabri
en la Figura 2.33).
Por supuesto, no descartamos la utilización de materiales manipulativos que
juegan un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría en forma
activa y acorde con la evolución intelectual de los alumnos. Aunque en opinión de
Piaget, el niño no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos
concretos. La abstracción comienza a producirse cuando el niño llega a captar el
sentido de las manipulaciones que hace con el material; cuando puede clasificar
objetos, atendiendo, por ejemplo, al color, deshace la agrupación y puede después
ordenarlos atendiendo a su tamaño.

Figura 2.33: Interfaz de Cabri-géomètre II.
El Cabri es recomendado para chicos en educación secundaria, para los niños
menores se han desarrollado otros micromundos para el aprendizaje de los números y las operaciones aritméticas. Entre ellos tenemos un micromundo desarrollado para la
construcción de fracciones: TIMA (Tools for Interactive Mathematical Activity). Este
programa provee a los chicos del nivel educativo K-8 (en USA) posibilidades para

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mejorar las operaciones con números enteros y fracciones a través de la construcción
de objetos o cadenas con ellos. Unos tienen formas geométricas: triángulos,
cuadrados, pentágonos, hexágonos y heptágonos (llamados toys), otros son
segmentos de líneas (Stick) y hay regiones rectangulares (Bars).
Los chicos(as) pueden manipular estos objetos uniéndolos, partiéndolos,
segmentándolos, repitiéndolos y midiéndolos. Tales procedimientos son básicos para
las cuatro operaciones básicas con enteros y fracciones, así como para los conceptos
de simplificación y equivalencia de fracciones.
El programa se compone de los micromundos o entornos Toys, Stick y Bars, en
los cuales se manipulan las formas con un click del ratón. En Toys, las formas se unen
en cadenas (string) y la unión de éstas forman composiciones en dos dimensiones
(chaín). La intención de los resultados de la repetición es la construcción por los chicos
de la estructura multiplicativa, por ejemplo, un chain de 4 string con 5 toys en cada uno
produce 20 toys en la estructura resultante (ver la Figura 2.34).

Figura 2.34: Interfaz del micromundo TIMA: Sticks.
El entorno Sticks permite reflexionar sobre el concepto de longitud. El chico
puede dibujar segmentos horizontales con un click del botón Draw al mover el ratón.
La extensión de este movimiento determina la longitud del segmento. La asociación
que hace el niño entre la acción motora y el resultado visual construye su experiencia
sensorial de longitud (Olive, 2000). Si el chico particiona el segmento en partes iguales
(con el botón Parts) o les hace marcas (con el botón Marks), luego podrá pintarlas (con

Capítulo 2 167

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LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Y LAS NTIC. UNA ESTRATEGIA DE FORMACIÓN PERMANENTE.
Mariela Sarmiento Santana
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los botones Color y Fill), sacar las partes (con el botón Pull parts) y formar nuevos
segmentos (sin eliminar el todo) que le permitirán comparar las partes con el todo
(relación parte-todo para representar fracciones) y nombrarlos con el símbolo
correspondiente.
El entorno Bars permite manipular las regiones rectangulares, semejante a lo
realizado con los sticks, sólo con marcarlas con un click sostenido del ratón y
arrastrando luego. Esta acción motora y el resultado visual ayuda al niño a establecer
la medida de la región en forma sensorial.
Sistemas de álgebra computacional
También conocidos como manipuladores simbólicos. Se están usando en la
enseñanza del Cálculo y Álgebra pues le permiten al usuario manipular las
expresiones algebraicas, dibujar gráficas de funciones, operar con matrices y listas,
geometría afín y euclídea, etc. Entre ellos tenemos Maple, Derive, MatLab y
Mathematica.
Estas funcionalidades del programa dejan libertad al usuario de concentrarse
en otros aspectos del problema, como el análisis de resultados o la toma de
decisiones, y a la vez cambian sus concepciones sobre el Cálculo, por ejemplo.
Uno de tales programas en Álgebra simbólica es el DERIVE (Figura 2.35), el
cual permite al usuario construir, simplificar y resolver ecuaciones numéricamente y
simbólicamente. También le facilita la oportunidad de graficar las funciones
(sombreando la ecuación y pulsando PLOT) y, a través de un zoom (con SCALE), ver
alguna parte seleccionada de la misma.
El uso de estos programas, han introducido cambios en la instrucción
tradicional, los cuales reflejan resolución de problemas con mayor número de
aproximaciones exploratorias basadas en la interactividad, problemas más adaptados
a la realidad (en lugar de sólo ejemplos donde los resultados son exactos o con
soluciones analíticas conocidas), etc., que le permiten al estudiante cambiar la balanza
desde lo deductivo y algebraico hacia lo inductivo y empírico.
Hay gran diversidad de recursos tecnológicos para la enseñanza de las
Matemáticas, aunque no podemos hablar de todos aquí, los cuales usaremos como
mediadores de la realidad tomando en cuenta que nos interesan materiales no
totalmente isomorfos con ella sino más bien semejantes a las conductas cognitivas

La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 168

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(evocación simbólica, relaciona imágenes-palabras, pensamiento representativo, etc.),
operaciones mentales, habilidades (aplica reglas, presta atención visual y auditiva,
coordina ojo-mano, discrimina, etc.) y destrezas que realizarán los niños (Llicona,
2000), sobre todo los pertenecientes a la II etapa de educación básica con quienes
desarrollaremos nuestra investigación.

Figura 2.35: Interfaz de Derive.
Además debemos tener presente las características de los equipos de que
disponemos, porque no siempre podremos utilizar los últimos programas que
aparezcan en el mercado si los equipos no les dan soporte.
Por otro lado, a pesar de los progresos y promesas que estos recursos
tecnológicos han introducido en el sector educativo, no necesariamente todos pueden
tener acceso a ellos, máxime cuando no todas las escuelas en nuestro país disponen
de equipos con requerimientos adecuados a las exigencias de estos recursos o
cuando no se cuenta con conexión a la red de redes, la cual posee innumerables
recursos educativos.
Procuraremos entonces seleccionar aquellos recursos de interfaz amigable,
bien diseñadas para el estudio de los fenómenos matemáticos, aunque esto no implica
necesariamente que se produzca el aprendizaje. Estos medios permiten otro tipo de
representación simbólica y cambios en las relaciones entre alumnos-medio-profesor a
través de la interactividad que los caracteriza y en las estrategias que entorno a ellos
desarrollemos, y de ello hablaremos a continuación.

Capítulo 2 169

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 170

C.C. Nuevas estrategias didácticas Nuevasestrategiasdidácticas
La enseñanza tradicional de las Matemáticas da al estudiante pocas
oportunidades y limitadas plataformas para la construcción de su conocimiento pues
está orientada a la repetición mecánica de algoritmos, las interacciones entre iguales y
con el docente durante las clases se refieren a la resolución de problemas concretos y
los procesos de construcción se basan en la generalización empírica y horizontal.
Como lo afirma Lehtinen y Repo (1996, 108), “with the help horizontal generalization,
students can solve typical textbook problems, but are not able to construct an adequate
conceptual understanding because their mental models are limited to the level of
concrete mathematical knowledge (entities)”.
Si nuestra acción como docentes consiste en ayudar a nuestros estudiantes a
superar o a profundizar en sus niveles de abstracción matemática entonces
necesitamos cambiar su concepción de los procesos de construcción. Para ello
podemos valernos de los recursos tecnológicos, es decir, procuraremos crear
actividades con apoyo informático adaptadas a nuestras audiencias y desarrollar
nuevas estrategias metodológicas.
Pero como referirnos al punto de las estrategias (el diseño de actividades lo
trataremos en el Capítulo 4) evitando dar un recetario porque cada realidad educativa
es distinta y por lo tanto requerirá de toma de decisiones adaptadas a las condiciones
presentes. Lo intentaremos dando algunas pautas metodológicas (sin ser exhaustivos)
dentro del tercer nivel de concreción del currículo
Sevillano y otros (1995) consideran cuatro fases metodológicas que podrían
facilitar el camino de la enseñanza a los docentes y favorecer en los estudiantes el
desarrollo del pensamiento lógico, en la primera “se toman decisiones sobre objetivos
y métodos a desarrollar en la unidad específica, considerando objetivos y contenidos
generales” (Sevillano y otros, 1995, 267), se toma una decisión sobre los recursos a
utilizar en cada momento “porque unos se revelan más idóneos que otros según la
actividad que se pretende llevar a cabo” (Mena, Porras y Mena, 1996, 97) y demás
detalles relacionados con el currículo. Nos referimos a las estrategias que preparan al
estudiante en relación a qué y cómo va a aprender.
En la segunda fase se determina cuál es la situación en cuanto a niveles de
aprendizaje con respecto a la unidad propuesta y se preparan los materiales
didácticos. También se considera todo lo relativo a los equipos a utilizar, el personal
especializado; si la situación lo exige, preparación de horarios de uso de los equipos

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(si están en el laboratorio de computación o en cada aula) sobre todo en los casos de
alumnos que requieran más tiempo para realizar las actividades planificadas y la
organización de los grupos de trabajo (en la etapa inicial se recomienda el trabajo por
parejas pues un número mayor de usuarios sería inviable dado que cada equipo
cuenta con un teclado y un ratón pero sin descuidar la individualidad de cada escolar).
En esta fase deben fomentarse hábitos de trabajo personales y de equipo
(respeto, intercambio de opiniones, valoración de las ideas de los demás, hábitos de
orden respecto a los materiales y equipos comunes, etc.). La tercera fase corresponde
al desarrollo de las actividades o fase de ejecución, en la cual debe explicarse con
claridad a los estudiantes la tarea, la estructura de las metas y se monitorea el trabajo
de los grupos
.
En esta fase deben incluirse, en primer lugar, estrategias para activar los
conocimientos previos de los alumnos (lluvia de ideas, preinterrogatorios,
organizadores previos y las analogías), que le permiten al docente conocer lo que
saben los alumnos y utilizar tal conocimiento como base para promover nuevos
aprendizajes, asegurando con ellas lograr un mayor significado de los aprendizajes.
Pueden usarse los programas de ejercitación siguiendo una secuencia lineal y
controlada que guíen la obtención de subdestrezas (relativas a contenidos
previamente impartidos) hasta llegar al adiestramiento de la destreza o práctica del
contenido involucrado en el objetivo de la unidad didáctica en ejecución,. El papel del
docente es el de gestor de recursos que interviene en casos excepcionales.
Luego se implementan estrategias llamadas coinstruccionales que apoyan los
contenidos curriculares, en el caso de contenidos conceptuales se pueden usar los
programas multimedia (enciclopedias) y para los procedimentales se recomienda los
de ejercitación en una determinada tarea para facilitar la adquisición de destrezas, los
micromundos para experimentar y descubrir o las simulaciones que le presentan
situaciones a escala del mundo real y le dan el control de los parámetros operativos.
Estas estrategias cubren funciones relativas a organizar la información que se
ha de aprender en forma gráfica (ilustraciones, diagramas, mapas conceptuales o
redes semánticas) o escrita (resúmenes o cuadros sinópticos), conceptualización de
contenidos, detección de información principal, fomentan la motivación y hacen que el
aprendizaje sea más significativo para los alumnos. Para lograrlas se pueden usar
herramientas informáticas tales como: procesadores de texto, bases de datos, etc.,
que ayudan al estudiante en la búsqueda y organización de la información.

Capítulo 2 171

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La Enseñanza de las Matemáticas y las NTIC 172

En una clase tradicional el profesor utiliza estrategias para orientar la atención
de los alumnos y mantener su atención durante la clase, pero en programas de
ejercitación se controla la atención de los usuarios cuando ellos siguen el itinerario que
presenta y en el caso de los micromundos, las estrategias son de tipo constructivo e
indican a los alumnos que las ideas deben centrar sus procesos de atención,
codificación y aprendizaje. Algunas estrategias son: preguntas insertadas, el uso de
pistas o claves y el uso de ilustraciones, gráficos y/o videos.
Y la última fase consiste en evaluar la actividad, tarea un tanto sencilla para el
docente porque el uso autónomo del ordenador por parte de los alumnos le permite
observarlos con más cuidado y tomar notas de cómo se desenvuelven con el
programa, qué discusiones plantean a su pareja, cuáles son las dudas, evalúa el nivel
de logros (muchos de los programas poseen autoevaluación y cuando no fuese el
caso puede hacer preguntas, pedir resúmenes o mapas conceptuales, por ejemplo),
etc., de modo que puede ayudarlos en el momento que lo requieran y puede evaluar a
la vez los materiales que ha diseñado o que ha seleccionado para desarrollar la unidad
didáctica, al indagar si los errores cometidos son producto del análisis hecho por los
niños o por el diseño del material.
El uso de estas estrategias dependerá del contenido de aprendizaje, de las
tareas que deberán realizar los alumnos, de las actividades didácticas efectuadas, de
ciertas características de los aprendices y del entorno tecnológico de que se disponga.
No sólo introduciremos cambios en los materiales, la organización del aula en
cuanto a horarios, tiempos y agrupación; también modificaremos las estrategias que
habitualmente usamos en una clase tradicional y para ello el docente debe estar
dispuesto, modificar su actitud, así como su conocimiento profesional sobre los
recursos tecnológicos pues “el modo en que se evalúa, se da soporte a los estudiantes
debe tener en cuenta las características de la tecnología” (Balacheff, 2000, 93).
Finalizamos esta sección haciendo énfasis en que la formación profesional es
la base para que la introducción de la tecnología en nuestras aulas no se quede sólo
en cuestiones burocráticas, sino que logremos su integración efectiva al currículo.
“Sólo los buenos profesionales pueden redefinir las estrategias de enseñanza,
posibilitar una navegación con buen rumbo, crear y usar nuevos materiales, etc. Sólo
desde el profesorado innovador podrá darse sentido al buen uso tecnológico y eliminar
la tentación tecnocomunicativa de que prive lo formal por encima de lo profundo”
(Alsina, 1998, 11).

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