D10_DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTE.pdf

En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1​ hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

1. PRIMERA UNIDAD
CAPÍTULO II: FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
TEMA:
DERIVADASDIRECCIONALES.VECTORGRADIENTEY
APLICACIONES

2. Objetivos
Interpretarlasderivadasdireccionalesyaplicarala
solucióndeproblemasconrazonesdecambio.
Aplicarlaspropiedadesdelvectorgradienteparahallar
ladireccióndemáximocrecimientodelasfunciones.

3. Derivadas direccionales
Definición: La derivada direccional de la función �(�,�)en el punto (�
0,�
0)
y en la dirección del vector unitario �=(�,�)como
�
??????��
0,�
0=
??????�
??????�
�
0,�
0=lim
ℎ→0
��+ℎ�,�+ℎ�−�(�,�)
ℎ
Observación: Note el parecido con las derivadas parciales, de hecho, las
derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales.

4. Interpretación geométrica de la derivada direccional
Laderivadadireccionalrepresentala
pendientedelarectatangente(roja)ala
curvaintersección�(naranja).
Además,laderivadadireccional
representalarazóndecambiode
�=�(�,�)cuandonosmovemosa
partirde(�
0,�
0)enladirecciónde�.
Esdecirladerivadadireccionalmidela
variacióndelafunción�enelpunto
(�
0,�
0)enladireccióndelvector�.

5. Vector gradiente
Definición: Si �:ℝ
2
→ℝentonces el gradiente de �es el vector:
??????��,�=�
��,�,�
�(�,�)=
??????�
??????�
�,��+
??????�
??????�
�,��
Teorema: Si �es una función diferenciable de �, �entonces �tiene una
derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario �=�,�.
�
??????��,�=??????��,�⋅�
=�
��,�,�
��,�⋅�,�
�
??????��,�=�
��,�.�+�
��,�.�

6. Ejemplo
Determine la derivada direccional de la función ��,�=�
2
�
3
−4�en el punto (2,−1)
en la dirección del vector Ԧ�=(2,5).
Solución:
Vector gradiente:
??????��,�=2��
3
,3�
2
�
2
−4
??????�2,−1=22−1
3
,32
2
−1
2
−4=(−4,8)
Vector unitario:
Ԧ�=2
2
+5
2
=29→�=
2
29
,
5
29
Derivada direccional:
�
??????�2,−1=??????�2,−1⋅�=−4,8⋅
2
29
,
5
29
=
−4.2+8.5
29
=
32
29

7. Maximización de la derivada direccional
Teorema: Suponga que �es una función diferenciable de dos o tres variables. El
valor máximo de la derivada direccional �
??????�(??????)es ??????�(??????)y ocurre cuando
�tiene las misma dirección que el vector gradiente ??????�(??????).
Comprobación:
Tenemos
�
??????�=??????�⋅�=??????��cos??????=??????�cos??????
Donde ??????es le ángulo que forman el vector �y el vector gradiente ??????�. El
máximo valor de cos??????es 1 y ocurre cuando ??????=0, es decir cuando �tiene la
misma dirección que ??????�.

8. OBSERVACIONES:
1) El vector gradiente apunta en la dirección en que la función crece más rápidamente y
su longitud es la razón de crecimiento de la función en esa dirección.
2) El valor máximo de la derivada direccionalse obtiene cuando el vector
está en la dirección del vector gradiente.
3)Elvalormáximodeladerivadadireccionaleselmódulodelvectorgradiente.
4)Latasamáximadedecrecimientodelafunciónsealcanzaenladirecciónopuestadel
vectorgradiente.
5)Enladirecciónperosentidoopuestodelvectorgradientelafuncióndecreceala
máximavelocidad. ()
0X
v
f
→

 →
v

9. EN GENERAL:

10. Ejemplo:
Suponga que la temperatura en un punto (�,�)está dada por ??????�,�,�=200�
41−�
2
−3�
2
−9�
2
donde ??????se mide en °�y �, �, �en metros.
a)Determine la razón de cambio de temperatura en el punto ??????(2,−1,2)en dirección al
punto (3,−3,3).
b)¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en ???????
c)Determine la razón de incremento máxima en ??????.
Solución:
a) Primero calculamos el vector gradiente:
??????
��,�,�=−400��
41−�
2
−3�
2
−9�
2
→??????
�2,−1,2=−800�
−2
??????
��,�,�=−1200��
41−�
2
−3�
2
−9�
2
→??????
�2,−1,2=1200�
−2
??????
��,�,�=−3600��
41−�
2
−3�
2
−9�
2
→??????
�2,−1,2=−7200�
−2
????????????2,−1,2=−800�
−2
,1200�
−2
,−7200�
−2

11. Ahora, encontramos el vector dirección unitario:
Ԧ�=3,−3,3−2,−1,2=1,−2,1; Ԧ�=6⇒�=
1
6
,−
2
6
,
1
6
Por tanto, la derivada direccional es el producto:
�
????????????2,−1,2=−800�
−2
,1200�
−2
,−72002
−2
⋅
1
6
,−
2
6
,
1
6
�
????????????2,−1,2=−
10400??????
−2
6
=−574,60°�/??????
b) El incremento más rápido de temperatura se da en la dirección del vector gradiente:
????????????2,−1,2=−800�
−2
,1200�
−2
,−7200�
−2
=400�
−2
−2,3,−18
c) La razón máxima es:
????????????2,−1,2=400�
−2
−2
2
+3
2
+−18
2
=400�
−2
337
????????????2,−1,2=993.77°�/??????

12. GRACIAS