D17_INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES.pdf

643 views 24 slides Aug 03, 2022
Slide 1
Slide 1 of 24
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23
Slide 24
24

About This Presentation

En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1​ hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción pre...


Slide Content

SEGUNDA UNIDAD
CAPÍTULO IV: INTEGRALES
MÚLTIPLES
TEMA:
INTEGRALESDOBLESSOBREREGIONES
GENERALES

Objetivo
Calcular la integral doble sobre regiones generales, por
medio de integrales iteradas y el teorema de Fubini.
Resolver adecuadamente diferentes integrales dobles en
los cuales deba realizar un cambio en el orden de
integración para obtener una integral más sencilla de
realizar.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES
INTRODUCCIÓN

??????
��,�����=ඵ
??????
�

�,�����

REGIONES DE INTEGRACIÓN
REGIONESDETIPO(II)
??????
2=�,�∈ℝ
2
/�≤�≤�,??????
1(�)≤�≤??????
2(�)
REGIONESDETIPO(I)
??????
1=�,�∈ℝ
2
/�≤�≤�,??????
1(�)≤�≤??????
2(�)

TEOREMA DE FUBINI PARA REGIONES DE
INTEGRACIÓN
Supongamosque�escontinuaen??????.

??????
��,�����=න
�
�

??????1(�)
??????
2(�)
��,�����

??????
��,�����=න
�
�

??????
1(�)
??????
2(�)
��,�����

Ejemplos: Calcular la integral doble sobre la región indicada:
1.׭
??????
(�+2�)�??????;??????estálimitadaporlascurvas�=1+�
2
,�=2�
2
Solución:
??????=ඵ
??????
(�+2�)�??????=න
−1
1

2�
2
1+�
2
�+2�����
??????=න
−1
1
��+�
2
�=2�
2
�=1+�
2
��
??????=න
−1
1
�+�
3
+1+�
22
−2�
3
+4�
4
��
??????=න
−1
1
−3�
4
−�
3
+2�
2
+�+1��
??????=
−3�
5
5

�
4
4
+2
�
3
3
+
�
2
2
+�
−1
1
=
32
15

2.׭
??????
(��)�??????;??????estálimitadaporlascurvas�=�−1,�
2
=2�+6.
Solución:
??????=׬
−2
4
׬�
2
−6
2
�+1
������=׬
−2
4
�
�
2
2
�=
�
2
−6
2
�=�+1
��
??????=න
−2
4
�
2
�+1
2

�
2
−6
2
2
��
??????=න
−2
4
2�
3
+�
2
−4�−
�
5
8
��
??????=
�
4
2
+
�
3
3
−2�
2

�
6
48
−2
4
=36

3.׭
??????
�
3
�
2
�??????;??????estálimitadaporlascurvas�=2,�=�,��=1
Solución:
??????=න
1
2

1
�
�
�
3
�
2
����=න
1
2
�
3

1
�
�=
1
�
�=�
��
??????=න
1
2
�
3

1
�
+���=න
1
2
−�
2
+�
4
��
??????=−
�
3
3
+
�
5
5
1
2
=
58
15

4.׭
??????
1
�+6
�??????;??????eslaregiónenelprimercuadranteyestálimitadaporlascurvas
y=6−2�,�=
�
2
2
,�=4�
2
Solución:
??????=න
0
1

�
2
2
4�
2
1
�+6
����+න
1
2

�
2
2
6−2�
1
�+6
����
??????=න
0
1
1
�+6
�
�=
�
2
2
�=4�
2
��+න
1
2
1
�+6
�
�=
�
2
2
�=6−2�
��
??????=න
0
1
1
�+6
7�
2
2
��+න
1
2
1
�+6
6−2�−
�
2
2
��

??????=
7
2

0
1
�
2
�+6
��−
1
2

1
2
1
�+6
�+6�−2��
??????=
7
2

0
1
�
2
�+6
��−
1
2

1
2
�−2��
??????=
7
2
36????????????7−????????????(6)−
11
2

1
2

1
2
??????=118????????????7−????????????(6)−19
??????=118????????????
7
6
−19

CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Comosevioentemasanteriorespararegionesrectangularesalcambiarelordende
integración,loslímitesdelasintegralesporserconstantessemantieneniguales.
׭
??????
�
2
��
��
����=׬
0
1
׬
0
2
�
2
��
��
����=׬
0
2
׬
0
1
�
2
��
��
����
Sinembargocuandotenemosregionesgenerales,éstasnosiempresepueden
resolverfácilmenteconcualquierordendeintegración.

0
2

�
2
�
−�
2
����
Esdecirquecuandolaregiónesdeformageneralenalgunoscasosexisteunordende
integraciónmasconvenientequeotrosyesimportanteidentificarloparafacilitarel
cálculodelaintegral.

CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN
Alhacerelcambiodeordendeintegraciónsedebetenerencuentaqueloslímites
variablessólopuedenestarpresentesenlaintegralinternayéstosdebenestaren
funcióndeldiferencialexterno;loslimitesdelaintegralexternaseránvalores
constantes.
׬
0
2
׬
�
2
6−�
�(�,�)����Los límites externos son constantes, pero los límites
internos NO son función del diferencial externo
׬
1
�
׬
1+�
4−�
2
�(�,�)����Loslímitesinternossonfuncióndeldiferencialexterno,
peroloslímitesexternosNOsonconstantes.
׬
3
4
׬
3−�
�
2
−2
�(�,�)����Loslímitesinternossonfuncióndeldiferencialexterno
yloslímitesexternossonconstantes.

Ejemplos:En las siguientes integrales cambiar el orden de integración
y evaluar la integral resultante

1.׬
0
2
׬�
2
1
�
�
2
����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
0≤�≤2;
�
2
≤�≤1
Con lo que hacemos el gráfico.
Luegoenelgráficoobservamos:
0≤�≤1; 0≤�≤2�

PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoI

0
1

0
2�
�
�
2
����=න
0
1
�
�
2

0
2�
����

0
1
�
�
2
�
�=0
�=2�
��

0
1
�
�
2
2���
=
1
2
�
�
2
0
1

0
1

0
2�
�
�
2
����=
1
2
�−1

2.׬
0
1
׬
�
�
�
�
�����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
0≤�≤1; �≤�≤�
Luegoenelgráficotenemos:
0≤�≤1; �
2
≤�≤�

PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoII

0
1

�
2
�
�
�
�
����=න
0
1
�න
�
2
�
�
�
�
1
�
����=න
0
1
��
�
�
�=�
2
�=�
��

0
1
��−�
�
��=�׬
0
1
���−׬
0
1
��
�
��
=�
�
2
2
�=0
�=1
−��
�
−�
�
�=0
�=1
=
�
2
−1

3.׬
0
1
׬
�
1
�
2
1+�
4
����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
0≤�≤1; �≤�≤1
Luegodelgráficotenemos:
0≤�≤1; 0≤�≤�

PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoI

0
1

0
�
�
2
1+�
4
����=න
0
1
1+�
4

0
�
�
2
����
=න
0
1
1+�
4
�
3
3
0
�
��=න
0
1
1+�
4
�
3
3
��
=
1
3

0
1
�
3
1+�
4
��=81+�
4
3
0
1
=82
3
−8

4.׬
0
1
׬
0
�
�����+׬
1
2
׬
0
2−�
2
�����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
0≤�≤1; 0≤�≤�
y
1≤�≤2; 0≤�≤2−�
2

Luegodelgráficotenemos:
0≤�≤1; y≤�≤2−�
2
PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoII
׬
0
1
׬
�
2−�
2
�����=׬
0
1�
2
2
�
2−�
2
��

0
11
2
2−�
2
−�
2
��
=
1
2
׬
0
1
2−2�
2
��
=
1
2
2�−
2
3
�
3
0
1
=
1
2
2−
2
3
=
2
3

5.׬
−3
−1
׬
−3+�
3+�
�(�,�)����+׬
−1
5
׬2
2
(�−1)
3+�
�(�,�)����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
−3≤�≤−1; −3+�≤�≤3+�
−1≤�≤5;
2
2
(�−1)≤�≤3+�
Luegodelgráficotenemos:
2≤�≤8; �
2
−3≤�≤2�+1
PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoII

2
8

�
2
−3
2�+1
�(�,�)����

6.׬
−1
0
׬
−�+1
�+1��
�
2
+2
�
2
+�−2
����+׬
0
3
׬
−�+1
−�+1��
�
2
+2
�
2
+�−2
����
Solución:
Delaintegraldobletenemos:
−1≤�≤0; −�+1≤�≤�+1
0≤�≤3; −�+1≤�≤−�+1
Luegodelgráficotenemos:
2≤�≤8; �
2
−3≤�≤2�+1
PlanteandolaintegraldoblecomounaregióntipoI

−2
1

�
2
−1
1−�
��
�
2
+2
�
2
+�−2
����



−2
1

�
2
−1
1−�
��
�
2
+2
�
2
+�−2
����=න
−2
1
��
�
2
+2
�
2
+�−2

�
2
−1
1−�
����

−2
1��
�
2
+2
�
2
+�−2
1−�−�
2
+1��
=−׬
−2
1��
�
2
+2
�
2
+�−2
�
2
+�−2��
=−׬
−2
1
��
�
2
+2
��
=−
1
2
�
�
2
−2
1
=−
1
2
�−�
4
.

GRACIAS
Tags