Decisões sob Risco

Disciplina Teoria da Decisão - EPS - UFSC
Aula 04

1. Avaliação de alternativas
sob risco
Prof. Dr. Mauricio UrionaMaldonado
EPS 7009 –Teoria da Decisão
Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas

2. ProcessoDecisório
Situação
Inicial
Decisão
Cicloda Análisede Decisões
Avaliar a
situação
Elicitaras
alternativas
Avaliar as
alternativas
Plano da
Implantação
Definir o
marco
decisório
Análise
Determinista
Análise
Probabilística
Avaliação
Parnell, G. S.et. al. (2013). Handbook of Decision Analysis(Vol. 6). John Wiley & Sons. Cap 05.
Estamosnaetapa‘avaliaras alternativas’
Sub-etapa‘análiseprobabilistica’

3. Matrizde Resultados+ Probabilidades
Estados da Natureza
Alternativas: a
1, a
2,...,a
n
Estados: s
1, s
2,..., s
m
Decisão s
1 s
2
a
1 Payoffa
1s
1Payoffa
1s
2
a
2 Payoffa
2s
1Payoffa
2s
2
Probabilidades : Ps
1, Ps
2,..., Ps
m

4. Exemplo
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento VPL = R$ 50k VPL = R$ 30k
SalaComercial VPL = R$ 100k VPL =-R$ 40k
Depósito VPL = R$ 30k VPL =R$ 10k
Estados da Natureza
Qual é a melhor decisão?
p1 = 0,60 p2 = 0,40

5. Exemplo
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento VPL = R$ 50k VPL = R$ 30k
SalaComercial VPL = R$ 100k VPL =-R$ 40k
Depósito VPL = R$ 30k VPL =R$ 10k
Estados da Natureza
p= 0,60 1-p = 0,40
Valor Monetário Esperadode cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(.6) + $30.000(.4) = $42.000
E(Sala Com.) = $100.000(.6) –$40.000(.4) = $44.000
E(Depósito) = $30.000(.6) + $10.000(.4) = $22.000

6. Exemplo
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento -50k 0
SalaComercial 0 -70k
Depósito -70k -20k
Estados da Natureza
p= 0,60 1-p = 0,40
Valor Esperado do Arrependimentode cada decisão:
E(Apartamento) = -$50.000(.6) + $0(.4) = -$30.000
E(Sala Com.) = $0(.6) –$70.000(.4) = -$28.000
E(Depósito) = -$70.000(.6) -$20.000(.4) = -$50.000

7. Análisede Sensibilidade
Valor Esperado de cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(p) + $30.000(1-p) = 20.000p + 30.000
E(Sala Com.) = $100.000(p) –$40.000(1-p) = 140.000p –40.000
E(Depósito) = $30.000(p) + $10.000(1-p) = 20.000p +10.000

8. Análisede Sensibilidade

9. Análisede Sensibilidade
p=0 p=1.0
De p=0 a p= 0,44
àApartamento
De p=0,45 a p= 0,54
àApartamento
p> 0,55 àSala

10. Árvores de Decisão

11. Árvores de Decisão
Árvores de decisão são estruturas mais flexíveis
para problemas mais complexos e são
comumente usadas pelos tomadores de decisão
para obter uma melhor representaçãovisual
das alternativas de decisão e suas possíveis
consequências.

12. Árvores de Decisão
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento R$ 50k R$ 30k
SalaComercial R$ 100k -R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
p= 0,60 1-p = 0,40

13. Árvores de Decisão
Decisões/
Alternativas
Estados da
Natureza
Resultado
/Payoff

14. Árvores de Decisão
§Uma estrutura em árvore de quadrados, círculos, arcos e
números
§Nó quadrado: uma decisão
§Um círculo: Um evento do estado da natureza
§Um arco: um resultado de uma decisão ou um evento,
indicando a precedência de decisões e eventos
§Números: a probabilidade de um evento, o pagamento de um
resultado de um evento, ou a suposição de retorno esperado
de uma decisão (ou de uma sequência de decisões)

15. Árvores de Decisão
Decisões/
Alternativas
Estados da
Natureza
Resultado
/Payoff
42M
44M
22M

16. Árvores de Decisão
§Uma árvore de decisão sequencial é usada para
ilustrar uma situação que exige uma sequência de
decisões.
§Normalmente é cronológica e respeita uma ordem
lógica.
§Usado onde uma matriz de resultados, não pode
ser usada.
§Exemplo de investimento imobiliário modificado
para abranger um período de dez anos em que
várias decisões devem ser tomadas:

17. Árvores de Decisão

18. Árvores de Decisão

19. Valor Esperado da
Informação Perfeita

20. Valor Esperado da Informação
Perfeita
§O valor esperado da informação perfeita(VEIP) é o
montante máximo que um tomador de decisão deve
pagar para obter informações adicionais.
§VEIP é igual ao valor esperado dado que se possui a
informação perfeita (informações privilegiadas) menoso
valor esperado calculado sem a informação perfeita
§VEIP é igual ao valoresperado da perda oportunidade
(EPO) para a melhor decisão.

21. Valor Esperado da Informação
Perfeita
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento R$ 50k R$ 30k
SalaComercial R$ 100k -R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
p= 0,60 1-p = 0,40
•Se soubessemoscertamente, que o mercado bom iria prevalecer,
escolheriamosa Sala Comercial (R$ 100.000);
•Se soubessemoscertamente, que o mercado ruim iria prevalecer,
escolheriamoso Apartamento (R$ 30.000);

22. Valor Esperado da Informação
Perfeita
Valor Esperadoda decisãocom informaçãoperfeita(VEcIP):
$100,000(.60) + $30,000(.40) = $72,000
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento R$ 50k R$ 30k
SalaComercial R$ 100k -R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
p= 0,60 1-p = 0,40

23. Valor Esperado da Informação
Perfeita
Relembrando, o Valor Monetário Esperadode cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(.6) + $30.000(.4) = $42.000
E(Sala Com.) = $100.000(.6) –$40.000(.4) = $44.000
E(Depósito) = $30.000(.6) + $10.000(.4) = $22.000
VEIP =$72.000 –$44.000 = $ 28.000
O VEIP é o montante máximo que um tomador de
decisão deve pagar para obter informações adicionais
(por exemplo, por meio de uma pesquisa de mercado).

24. Análisede decisões com Informação
Adicional
§Informaçãoperfeita(completa) éimpossívelde se obter;
§Porém, podemosobterinformaçãoadicional;
§Quandose têm informaçõesadicionais por meio de testes,
pesquisas, experimentos, entre outros, podemos aprimorar
o cálculo das probabilidades dos Estados da Natureza;
§Portanto, podemosaprimorarnossoprocessode decisão.
Para isto, utilizamoso Teoremade Bayes

25. Teoremade Bayes

26. Teoremade BayesP(E∩C)=P(E/C)×P(C)=P(C/E)×P(E)
O Teoremade Bayes mostraa relaçãoentre:
E, portanto:P(E/C)=P(E∩C)P(C)P(C/E)=P(E∩C)P(E)
e
Onde:
E
i= Probabilidadea Priori queo Estado verdadeiroda
Naturezaéo Estado i, parai=1,2,…,n;
C
j= Constataçãoa partirde umaexperimentação(valor
possívelde umaconstataçãoj);
(1) (2)

27. Teoremade Bayes
A partirde:P(Ei/Cj)=P(Ei∩Cj)P(Cj)
Podemosdeterminar:P(Ei∩Cj)=P(Cj/Ei)×P(Ei)P(Cj)=P(Ek∩Cj)k=1
n∑
(1)
(3)
(4)

28. Teoremade Bayes
Substituindo(3) e (4) em(2), temos:
(5)P(Ei/Cj)=P(Cj/Ei)×P(Ei)P(Cj/Ek)×P(Ek)k=1
n∑
Onde:
P(E
i)= Prob. Do Estado da naturezai
P(E
k)= Prob. Do Estado da naturezak

29. Teoremade Bayes: Exemplo
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento R$ 50k R$ 30k
SalaComercial R$ 100k -R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
P(b) = 0,60 P(r) = 0,40
VE(Sala Com.) = R$100.000(.6) –R$40.000(.4) = R$44.000
VEIP= R$72.000 –R$44.000 = R$ 28.000

30. Teoremade Bayes: Exemplo
§Assumimos, agora, que o investidor decidiu contratar um
analista econômico que ajudará com informações adicionais
sobre o mercado futuro;
§O custo da análise é de R$10.000,00
§O analista apresentará um relatório, o qual pode prever
condições de mercado boas mais prováveis, ou, condições
de mercado ruins mais prováveis;
§Com base no histórico de assertividade na previsão de
condições econômicas, o investidor consegue determinar as
probabilidades condicionais dos diferentes possíveis
resultados do relatório;

31. Teoremade Bayes: Exemplo
§As possíveis condições são:
§b= condições do mercado boas;
§r= condições do mercado ruins;
§P= relatório econômico positivo;
§N = relatório econômico negativo;
§As probabilidades condicionais, de cada resultado
possível do relatório, são:
§P(P/b) = 0,80
§P(N/b) = 0.20
§P(P/r) = 0,10
§P(N/r) = 0,90
Porexemplo,seascondiçõesfuturas
domercadofossem,defato,boas,a
probabilidadedequeorelatório,do
analista,tenhasidopositivoéP(P/b)
=0,80.

32. Teoremade Bayes: Exemplo
•Por sua vez, sabemos que as probabilidades prévias
são:
oP(b) = 0,60;
oP(r) = 0,40;
•Dadas as probabilidades prévias, podemos calcular as
probabilidades posteriores, utilizando o Teorema de
Bayes;
•Ou seja, como conhecemos a probabilidade
condicional P(P/b), podemos determinar a
probabilidade de mercado bom, dado um relatório
positivo P(b/P).

33. Teoremade Bayes: Exemplo
Substituindoem(5):P(b/P)= P(P/b)×P(b)P(P/b)×P(b)+P(P/r)×P(r)
P(b/P)= (0,80)×(0,60)(0,80)×(0,60)+(0,10)×(0,40)P(b/P)=0,923

34. Teoremade Bayes: Exemplo
•A probabilidade prévia de ter condições econômicas de
mercado boas é P(b) = 0,60;
•Contudo, ao se obterem informações adicionais, a partir do
relatório positivo do analista econômico, a nova
probabilidade posterior para condições de mercado boas é
0,923;
•As outras probabilidades posteriores são:
oP(b/N) = 0,250
oP(r/P) = 0,077
oP(r/N) = 0,750

35. Teoremade Bayes: Exemplo

36. Exercicio
§Aprobabilidadedeumamulherde40anoster
câncerdemamaé1%;
§Aprobabilidadequeadoençasejadetectada
porumamamografiaéde80%;
§Aprobabilidadedequeoresultadoda
mamografiaapresenteum“falsopositivo”éde
9,6%;
§Seumamulherde40anosétestadaeo
resultadoépositivo,qualéaprobabilidadedela
apresentar,efetivamente,adoença?

37. Árvores de Decisão
Incluindoas probabilidades
posterioresem

38. Passamosde:

39. Para:

40. Para:
P(P)=?
P(N)=?

41. Da Tabela:

44. Árvores de Decisão + ProbPosteriores
•E o custo dos R$ 10.000 do relatório de pesquisa?
•Podemos incluir esse custo no nosso cálculo do valor
esperado;
•Desta forma, podemos identificar a estratégia de decisão:
ESTRATÉGIA DE DECISÃO Alternativa
ótima
Valor Esperado
(excluindo custo
de pesquisa)
Valor Esperado
(incluindo o
custo da
pesquisa)
Se o Relatório Econômico for
Positivo (mercado bom)
ComprarSala
Comercial
R$89.220,00R$ 79.220,00
Se o Relatório Econômicofor
Negativo (mercado ruim)
Comprar
Apartamento
R$35.000,00R$ 25.000,00

45. Valor Esperado da
Informação Adicional
VEIA

46. Valor Esperadoda InformaçãoAdicional
•Relembrando, o valor esperado da informação
perfeita (VEIP) é o montante máximoque um tomador
de decisão deve pagar para obter informações
adicionais.
•O valor esperado da informação adicional (VEIA),
também conhecido como valor esperado da
experimentação, é igual ao montante esperado que
um decisordeve pagar para obter informações
adicionais;
•Em outras palavras, o VEIA responde à pergunta: Vale a
pena pagar para obter informações adicionais do meu
problema decisório?

47. Valor Esperadoda InformaçãoAdicional
!"#"=%&(#=#
()×"+,-.///#1
(
VEIA = VECE –VE
Onde:
VECE = Valor Esperadocom experimentação
VE = Valor Esperado
VEIA = Valor Esperadoda informaçãoadicional

48. Valor Esperadoda InformaçãoAdicional
!"#"=%&(#=#
()×"+,-.///#1
(
VEIA = VECE –VE
Para nossoexemplo:
VECE = P(P)*VE(P) + P(N)*VE(N)
VE(P) = R$ 89.220,00P(P) = 0,52
P(N) = 0,48 VE(N) = R$ 35.000,00
VECE = R$ 63.194,40Portanto: e VE = R$ 44.000,00
VEIA =R$ 19.194,40

49. Valor Esperadoda InformaçãoAdicional
§O valor de R$ 19.194,40 representao valor
potencialda informaçãoadicional(da
experimentação);
§Aocompararmosestevalor com osR$ 10.000,00
de custodo relatório(pesquisacom analista
econômico), percebemosquevale a penarealizar
o estudoe pagarporele, pois:
§VEIA > Custoda experimentação

50. Valor Esperadoda InformaçãoAdicional
§Aorelacionarmoso VEIP e o VEIA podemosobteruma
medidade eficiência.
§Um índice de 100% representaria informação perfeita;
§Portanto, o valor da eficiência terá como limite inferior
“0” e como limite superior “1”
Eficiência=
VEIA
VEIP
= 0,6855
§Índices altos podem indicar que a informação é “tão
boa” quanto a informação perfeita e que informações
adicionais não levarão a melhores resultados.

51. Teoriada Utilidade

52. Teoriada Utilidade
•Emboraa regrade decisãodo VE seja amplamente utilizada, às
vezes a alternativa com o VE mais alto não é a alternativa mais
preferida pelo tomador de decisão;
•Por exemplo, suponha que o custo de dois investimentos fosse
exatamente o mesmo, e que os resultados (payoffs) fossem:
Decisão Estado 1 Estado2
Investimento A R$ 150k -R$ 30k
Investimento B R$ 70k R$ 40k
P(b) = 0,50 P(r) = 0,50

53. Teoriada Utilidade
VE(A) = R$60.000
VE(B)= R$ 55.000
Decisão Estado 1 Estado2
Investimento A R$ 150k -R$ 30k
Investimento B R$ 70k R$ 40k
P(b) = 0,50 P(r) = 0,50

54. Teoriada Utilidade
•De acordocom a regrade decisão de VE, deveríamos
realizaro investimentoA, porqueelatem o maiorVE;
•No entanto, o investimentoA representaum
investimentomuitomaisarriscadoqueo investimento
B;
•Emborao investimentoA gerariao maiorVE a longo
prazo, podemosnão terosrecursosfinanceirospara
suportaras potenciaisperdasde R$ 30.000 porano, o
quepoderiaocorrera curtoprazocom essaalternativa;
•A Teoriada Utilidadeofereceumamaneirade incorporar
as preferênciasdo tomador de decisão em relação ao
risco, de forma a identificar a alternativa mais desejável.

55. Funçãode Utilidade
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Utilidade
Resultado/Payoff ($)
Avessoao
Risco
Neutro
Propensoao
Risco

56. Funçãode Utilidade
Por ex. este indivíduo
valoriza obter $30.000
duas vezes mais do que
obter $10.000

57. Funçãode Utilidade
•Para incorporara funçãode utilidadenum
problemade decisãosob riscoénecessário,
inicialmente, construira função, a partirda
modelagemde preferênciasdo decisor;
•Portanto, cadadecisorterá(oupoderáter)
umafunçãode utilidadediferente.
•Como construira funçãode utilidade?

58. Funçãode Utilidade
•Relembrandonossoexemploanterior:
•Atribua o valor de utilidade 0 para o pior resultado e 1 para
o melhor:
•U(-30k)=0 e U(150k)=1

59. Funçãode Utilidade
•Para encontrarmosa utilidadeassociadaaovalor de
$70,000, identifiquequalo valor da probabilidadep
quetornao decisorindiferenteentre:
•Alternativa 1: Receber $70k com certeza;
•Alternativa 2: Receber $150k com probabilidade pe
perder $30k com probabilidade (1-p);
•Ou seja, qual valor de pfaria com que ambas
alternativas fossem indiferentes?
•Assumimos que, por exemplo, um valor de p= 0,9
faria ambas as alternativas indiferentes.

60. Funçãode Utilidade
•De acordo com o método da loteria
equivalente, um valor de p pode ser
utilizado para estimar o valor de U(M);
•Ou seja:
•Se p = 0.9, o valor de U(70k) = 0.9
•Continuamos este procedimento para
identificar os outros pontos da curva de
utilidade

61. Funçãode Utilidade
•Agora, identificamos o valor para U(40k);
•Fazemos a pergunta: qual seria o valor de pque
faria com que ambas as alternativas fossem
indiferentes:
•Alternativa 1: Receber $40.000 com certeza;
•Alternativa 2: Receber $150.000 com probabilidade
pou perder $30.000 com probabilidade (1-p)
•Assumimos, que por exemplo, um valor dep= 0.65
faria ambas as alternativas indiferentes;
•Portanto, de acordo ao método da LE, o valor de
U(40k) = 0.65.

62. Funçãode Utilidade
Retorno/Payoff
Utilidade

63. Matrizde Resultados-Utilidades
•Agora, substituimosos valores das utilidades na matrixde
decisão anterior.
Decisão 1 2
A 1 0
B 0.90 0.65
Estados da Natureza
p= 0,50 1-p = 0,50
Valor Esperadode cada decisão:
E(B) = (0.5*0.9) + (0.5*0.65) = 0.775
E(A) = (1*0.5) + (0*0.5) = 0.5
Agora B oferecea maiorutilidade

64. FunçãoUtilidade
UtilidadeExponencial

65. FunçãoUtilidade Exponencial
•Em um problema de decisão complicado com
vários valores de retorno possíveis, pode ser
difícil e demorado para um tomador de decisão
determinar os valores diferentes para p*que
são necessários para determinar a utilidade de
cada retorno.
•Por exemplo, se o tomador de decisão for
avesso ao risco, a função utilidade exponencial
pode ser usada como uma aproximação da
função utilidade real do tomador de decisão;
•Esta função representa um comportamento
clássico de aversão ao risco.

66. FunçãoUtilidade Exponencial
U(M)=1−e−MR
Onde:
R= Tolerância ao risco, por parte do
tomador de decisão
M = Valor monetário do retorno (resultado
ou payoff)

67. FunçãoUtilidade Exponencial
•Paraisto,éprecisodeterminarumvalorrazoávelpara
oparâmetrodetolerânciaaoriscoR.
•Ummétodousadoparafazerissoenvolvea
determinaçãodovalormáximodeR,peloqualo
tomadordedecisãoestádispostoaparticipardeum
jogodeazarcomosseguintesresultadospossíveis:
•Ganhar$Rcomprobabilidade0.5;
•Perder$R/2comprobablidade0.5
•Portanto,umtomadordedecisãodispostoaaceitar
esseriscoapenascomvaloresmuitopequenosdeRé
avessoaorisco.

68. FunçãoUtilidade Exponencial
•Paraoexemploanterior,assumimosumvalordeR=
$60.000;
•Aplicandoafunçãodeutilidadeexponencial:

69. Decisão 1 2
A 0.92 -0.65
B 0.69 0.49
Estados da Natureza
p= 0,50 1-p = 0,50
Valor Esperadode cada decisão:
E(A) = (0.5*0.92) -(0.5*0.65) = 0.13
E(B) = (.69*0.5) + (0.49*0.5) = 0.59
A alternativaB continua oferecendoo melhorresultado
Matrizde Resultados
Utilidadescom funçãoExponencial

70. Exercício
§Utilize a a função exponencial da utilidade para calcular a
melhor alternativa, com base na árvore de decisão;
§Assuma um valor R= 22000.
Decisão Mercado BomMercado Ruim
Apartamento R$ 50k R$ 30k
SalaComercial R$ 100k -R$ 40k
Depósito R$ 30k R$ 10k
Estados da Natureza
P(b) = 0,60 P(r) = 0,40

71. Exercício
•Utilize a
árvore de
decisão:

72. Bibliografia
1.Ragsdale, Cliff T. (2015). Modelagemde Planilhae
Análisede Decisão: Uma introduçãopráticaa
business analytics. Cengage Learning. 616p. Cap.
14. Análisede Decisão.
2.Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2015). Introduction to
operations research. 10
th
ed. Cap16. Decision
Analysis, p. 682-730.

73. Bibliografia
3.Taylor, B. W. (2013). Introduction to management
science. Prentice Hall. Cap12. Decision Analysis,
p.545-560 (Decision under risk).
This work is licensed under aCreative Commons Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

74. Prof. Dr. Mauricio UrionaMaldonado
EPS 7009 –Teoria da Decisão
Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas
Avaliação de alternativas
sob risco