Definicion de error

1. DEFINICIÓN DE ERROR
Métodos Numéricos
Clase 01
21-Mayo-2013

2. DEFINICIÓN DE ERROR
•Loserroresnuméricossegeneranconelusodeaproximacionespara
representarlasoperacionesycantidadesmatemáticas

3. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.1Erroresportruncamiento
•Loserroresportruncamientoresultanalrepresentaraproximadamente un
procedimientomatemáticoexacto,porejemplo:paraevaluar�
??????
setiene
unaexpresiónmatemática,dadalasumatoriadetérminosquerepresenta
estafunción.LaexpansióndeseriesdeMaclaurinparaevaluarlaexpresión
�
??????
eslasiguiente:
•�
??????
=1+�+
??????
2
2!
+
??????
3
3!
+
??????
4
4!
+⋯

4. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.1Erroresportruncamiento
•Estaexpresióncontieneunnumeroinfinitodetérminosquedesdeelpunto
devistacomputacional,resultaríaimposibleevaluar.Paraefectosprácticos
seránecesariodecidircuantostérminosdelaserieinfinitadebenutilizarse
paraalcanzarelvalordeprecisióndeseado.Elprocesodeeliminaciónde
términosdelaserieinfinitaseconoceconelnombretruncamiento.

5. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.1Erroresportruncamiento
•Enlatabla1.1puedeobservarsequeconformeaumentaelnumerode
términosincluidosenlaevaluación,ladiferenciaentrelosvalores
consecutivostiendeacero.
•Abrirpre-ejemploenMatlab
•IterMeth.m

6. DEFINICIÓN DE ERROR
Numero de términos ??????
??????
Numero de términos ??????
??????
1 1.0000 6 2.7167
2 2.0000 7 2.7181
3 2.5000 8 2.7182
4 2.6667 9 2.7183
5 2.7083 10 2.7183
Tabla 1.1 Valores de �
??????
de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación
�
??????
=1+�+
�
2
2!
+
�
3
3!
+
�
4
4!
+⋯

7. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.2ErroresporRedondeo
•Loserroresporredondeosurgenderepresentaraproximadamentenúmeros
exactos.Enunacalculadoraocomputadoradigitalesteerroresinevitable
yseoriginaporquelaaritméticarealizadaenunamaquinainvolucra
númerosconsolounnumerofinitodedígitos(locualquieredecirquela
maquinanotieneunacapacidad infinitaparaalmacenarvalores
numéricos).

8. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.2ErroresporRedondeo
•Enlatabla1.1semostraronvaloresobtenidosalevaluarlaexpresión�
??????
usandounenteroycuatrodecimales.Latabla1.2muestralamisma
evaluaciónperocuandoseusanunenteroyochodecimales.

9. DEFINICIÓN DE ERROR
Numero de términos ??????
??????
Numero de términos ??????
??????
1 1.00000000 6 2.71666666
2 2.00000000 7 2.71805555
3 2.50000000 8 2.7182539
4 2.66676667 9 2.7182756
5 2.7083333 10 2.7182784
Tabla 1.2 Valores de �
??????
de acuerdo al numero de términos incluidos en la ecuación
�
??????
=1+�+
�
2
2!
+
�
3
3!
+
�
4
4!
+⋯

10. DEFINICIÓN DE ERROR
•Unacomparacióndelostérminosdelatablas1.1y1.2muestranlas
diferenciasgeneradasalemplearcuatroyochovaloresdecimalesenlos
cálculos.Alusarcuatrodecimalesnohaydiferenciaentrelosvaloresde�
??????
cuandoseusan9010términos;mientrasquecuandoseusanocho
decimalessiexistendiferenciasentreellos.

11. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•Paralosdostiposdeerroresmencionadosenlassecciones1.1y1.2,la
relaciónentreelvalorexactooverdaderoyelvaloraproximadoestadado
porlaexpresión:
•�??????�������??????����=�??????���??????����??????�??????��+�����
•Endondepodemosobservarqueelerrornuméricoesladiferenciaentrelos
valoresverdaderoyaproximado.

12. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•�����=�??????�������??????����−�??????���??????����??????�??????��
•Queserepresentacomo:
•�
??????=�− �
•Donde�
??????seutilizaparadenotarelvalorverdadero(exacto)delerror.
•����������??????���??????�������??????����,�
• ����������??????���??????���??????����??????�??????��

13. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•�����=�??????�������??????����−�??????���??????����??????�??????��
•Queserepresentacomo:
•�
??????=�− �
•Donde�
??????seutilizaparadenotarelvalorverdadero(exacto)delerror.
•����������??????���??????�������??????����,�
• ����������??????���??????���??????����??????�??????��

14. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•Unproblemaquesetienealutilizarestadefinicióndeerroresquemagnitud
nonosindicaquetanrepresentativaesestacantidad.Porejemplo,noeslo
mismocometerunerrordemediciónde1mlenuntanquede
almacenamientode40000litrosqueenlaelaboracióndeunmedicamento
de10ml.Pararesolveresaposibledeficienteinterpretacióndeerrorse
recurrealanormalizacióndelmismousandoelvalorverdaderocomo
referente.

15. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•��������??????�??????����??????��??????��??????�??????�=
�????????????�????????????�??????�??????��??????�
??????????????????�????????????�??????�??????��??????�
•�
??????=
??????− ??????
??????
•Elerrorrelativotambiénpuedeexpresarseenformaporcentualalmultiplicar
porcienelerrorrelativofraccionario.

16. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•�
�=
??????− ??????
??????
∗100
•Amenudoelsignodelerrornotienelarelevanciadesumagnitud,ypara
finesdepodercompararloserroresdeuncálculocontralodeotro,se
prefiereutilizarsuscorrespondientesvaloresabsolutos,teniendoasíque:

17. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•�
??????=�− �
•�
??????=
??????− ??????
??????
•�
�=
??????− ??????
??????
∗100

18. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•Loserroresanteriorestienenelinconvenientedequeparapoderser
evaluadosserequiereelvalorverdadero,hechoquedesafortunadamente
nosucedeensituacionesreales;asíqueserecurreadefinicionessimilareso
paralelasconsecutivas.

19. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•Enlosmétodosnuméricosseusanesquemasiterativosdondeseobtiene
unaaproximaciónactualsobrelabasedeunaaproximaciónanterior.
•Esteprocesoserepitesucesivamenteparacalcularmasymejores
aproximacionesalasolución.Asíqueelerrorsepuedeestimarcomola
diferenciaentrelaaproximaciónpreviaylaaproximaciónactual,teniendo
entonces,comoenloscasosanterioreslassiguientesdefinicionesdeerrores:

20. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•ErrorAproximado
•�
??????=�
??????+1−�
??????
•Errorrelativofraccionarioaproximado
•�
??????=
??????
??????+1−??????
??????
??????
??????+1

21. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•Errorrelativoporcentualaproximado
•�
�=
??????
??????+1−??????
??????
??????
??????+1
∗100
•Lamayoríadelasocasionesnointeresaelsignodelerror,sinomasbiensu
magnitud,porloquequedanentoncesexpresados

22. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.3ClasificacióndelosErrores
•�
??????=�_(??????+1)−�_??????
•�
??????=
??????
??????+1−??????
??????
??????
??????+1
•�
�=
??????
??????+1−??????
??????
??????
??????+1
∗100

23. DEFINICIÓN DE ERROR
•Ejemplo1
•El�������puederepresentarsepormediodelaseriedeMaclaurincomo:
•����=1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+…
•Calculeelvalordeloserroresrelativosporcentuales�
�yerrorrelativoporcentual
aproximado�
�paraelcosenode??????/4.
•TomecomovalorverdaderoelcalculodirectamenteconlafuncióncosenodeExcel.
•Usedesde1hasta5términosdelaseriey8decimalesenloscálculos.

24. DEFINICIÓN DE ERROR
•Abrirejemplo1:
•�=
??????
4
=0.78539816
•cos�=0.70710678
•mne1-1v3

25. DEFINICIÓN DE ERROR
•Comosepuedeobservarenlatabla1.3
??????����??????��������??????�??????����??????�����??????�����??????�
��
�
??????�.����??????�������������
�
�!
1 0 1 1 1 1 1 41.42135624
2 2 0.616850275 2 -1 -0.308425140.6915748622.1965450144.59750553
3 4 0.380504262 24 1 0.0158543440.7074292070.0455978552.241120962
4 6 0.234714159 720 -1 -0.000325990.7071032150.000504360.046102447
5 8 0.144783493 40320 1 3.59086E-060.7071068063.46436E-060.000507824

26. DEFINICIÓN DE ERROR
•Elerroraproximadoesmasconservador(mayor)queelerrorreal,locuales
conveniente,yaqueseaseguraqueseestacometiendounerrormenoral
quepudierarealmenteexistir.
•Tambiénseobservaqueamedidaqueaumentaelnumerodetérminos
agregadosalaserie,laaproximaciónalvalorrealescadavezmejor,detal
formaqueagregandounnumeroinfinitodetérminosobtendríamosla
soluciónreal.

27. DEFINICIÓN DE ERROR
•Estoenprincipioescierto,perodebidoalnumerodecifrassignificativas
limitadoconoperalacomputadora,loserroresderedondeocrecena
medidaqueaumentaelnumerodecálculos,aunqueloserroresde
truncamientodecrecenconformeaumentaelnumerodetérminos;porlo
tanto,sedebeconsiderarque:laestrategiadedisminuirelerrorde
truncamientoagregandotérminosalaserie,llevaaunincrementoenel
errorderedondeo.

28. DEFINICIÓN DE ERROR
•Elproblemaesidentificarelpuntodondesetieneelmínimoerrornumérico
total,esdecir,lamínimasumadeloserroresdetruncamientoyredondeo.
•Enrealidad,laestimacióndeloserroresenelanálisisnuméricoesunaarte,
quedependeengranpartedelassolucionesdepruebayerror,ademásde
laintuiciónyexperienciadelanalista.

29. DEFINICIÓN DE ERROR
•Ejemplo2
•El�������puederepresentarsepormediodelaseriedeMaclaurincomo:
•����=1−
??????
2
2!
+
??????
4
4!
−
??????
6
6!
+…
•Calculeelvalordeloserroresrelativosporcentuales�
�yerrorrelativoporcentual
aproximado�
�paraelcosenode??????/4,usandoaritméticadecuatrodecimales.
•TomecomovalorverdaderoelcalculodirectamenteconlafuncióncosenodeExcel.
•Usedesde1hasta5términosdelaseriey8decimalesenloscálculos.

30. DEFINICIÓN DE ERROR
•Abrirejemplo2:
•�=
??????
4
=0.7854
•cos�=0.7071
•mne1-2v3

31. DEFINICIÓN DE ERROR
•Resultadosdelejemplo2comosepuedeobservarenlatabla1.4
??????����??????��������??????�??????����??????�����??????�����??????�
��
�
??????�.����??????�������������
�
�!
1 0 1.0000 1 1 1.00001.000041.4214
2 2 0.6169 2 -1 -0.30840.69162.196544.5975
3 4 0.3805 24 1 0.01590.70740.04562.2411
4 6 0.2347 720 -1 -0.00030.70710.00050.0461
5 8 0.1448 40320 1 0.00000.70710.00000.0005

32. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.4PrecisiónyExactitud
•Muchasvecescuandoconversamosusandolostérminosprecisióny
exactituddemaneraindistinta.Sinembargo,ambostérminostienenun
significadodiferente.Elterminoprecisiónestarelacionadoconelnivelde
cifrassignificativasdeunamediciónylareproducibilidaddelasmismas.

33. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.4PrecisiónyExactitud
•Elterminoexactitudnosindicalacercaníadeunvalorconelvalor
verdaderooreal.Sisecomparanlasmedicionesdeldiámetrodeunlápiz
usandounvernieryunmicrómetro,sepensaríadeinmediatoquelalectura
delmicrómetroseriamasexacta;peronoseriaasí,enelcasodel
micrómetroestuvieradesajustado.

34. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.4PrecisiónyExactitud
•Conrespectoalaprecisión,elverniernospodríadarunalecturadehasta
milímetrosmientrasqueelmicrómetronosindicaríamilésimasdemilímetro;
porlotantoelmicrómetroesunaparatomasprecisoqueelvernier.

35. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.1Abrirejerciciomnr1-1v3
•Laserieinfinita���+1=�−
??????
2
2
+
??????
3
3
−
??????
4
4
+⋯esvalidaparaelintervalo−1<
&#3627408485;<1ypuedeserusadaparaelcalculodelogaritmosnaturales.
a)Determineelvalordelogaritmonaturalde1.5usandoestaserieinfinitay
20términosdelaserie.
b)Calculeelerrorrelativoporcentualusandoelvalordellogaritmonatural
obtenidoconlafunciónExcel.

36. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.1
c)Marquelosencabezadosdelascolumnasconletrasdecolorrojoyfondo
azul.
d)Usenúmerosconcincodecimalesensutablaparalosvaloresdelos
logaritmos,dosdecimalesparaelerror.Centretodossusvaloresencada
columna.

37. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.2Abrirejerciciomnr1-2v3.xls
•Lafunciónsenopuedesercalculadamediantelaserieinfinita
sen&#3627408485;=&#3627408485;−
??????
3
3!
+
??????
5
5!
−
??????
7
7!
+⋯esvalidaparaelintervalo−∞<&#3627408485;<∞
a)Determineelvalorde&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????/6usandocincotérminosdelaserieinfinita.
b)Calculeelerrorrelativoporcentualusandoelvalorde&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????/6dadopor
lafunciónExcel.

38. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.2
c)Marquelosencabezadosdelascolumnasconletrasdecolorrojoyfondo
azul.
d)Usenúmerosconcincodecimalesensutablaparalosvaloresde&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;??????/6,
dosdecimalesparaelerrorycentrelosnúmerosencadacolumna.

39. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.3Abrirejerciciomnr1-3v3.xls
•Laserieinfinita
ln&#3627408485;=
??????−1
??????
+
1??????−1
2
2??????
+
1??????−1
3
3??????
+⋯esvalidaparax≥0.5,puedeserusadaparaelcalculo
delogaritmosnaturales.
a)Determineelvalordelogaritmode1.5usandoestaserieinfinitay20términosdela
serie.
b)Calculeelerrorrelativoporcentualusandocomovalorverdaderoelvalorde&#3627408473;&#3627408475;1.5
obtenidoconlafunciónExcel.

40. DEFINICIÓN DE ERROR
•1.5Ejercicios–Ejercicio1.5.3
c)Marquelosencabezadosdelascolumnasconletrasdecolorrojoyfondo
azul.
d)Usenúmerosconcincodecimalesensutablaparalosvaloresdelos
logaritmosdosdecimalesparaelerrorycentrelosnúmerosencada
columna.