Deflexion de una_viga_aplicacion_de_ecua
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Mar 13, 2017
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About This Presentation
deflexion de una viga
Slide Content
UNIVERSIDAD AUTÓNO MA DE
CHIHUAHUA
Facultad De Ingeniería
Catedrática: Ing. Karla Bojorquez Gutiérrez
Alumnos Matricula
Irving Martin Salcido Medrano 282103
Alejandro Romo González 281972
Marcos Gallegos Hernández 281834
Materia:
Ecuaciones
Diferenciales
Fecha de entrega 25/11/2014
Deflexión De
Una Viga
Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por
medio de la transformada de Laplace.
CHIHUAHUA
Facultad De Ingeniería
Catedrática: Ing. Karla Bojorquez Gutiérrez
Alumnos Matricula
Irving Martin Salcido Medrano 282103
Alejandro Romo González 281972
Marcos Gallegos Hernández 281834
Materia:
Ecuaciones
Diferenciales
Fecha de entrega 25/11/2014
Deflexión De
Una Viga
Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por
medio de la transformada de Laplace.
Introducción
La transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora
de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden
superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las
matemáticas y de la física.
En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería civil, la
cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la
construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y
tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el
mundo antiguo.
El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con
valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre
estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la
construcción.
Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que
analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales
vamos a solventar el problema que se nos plantea.
Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular,
realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una
vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso
particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del
problema.
La transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora
de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden
superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las
matemáticas y de la física.
En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería civil, la
cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la
construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y
tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el
mundo antiguo.
El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con
valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre
estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la
construcción.
Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que
analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales
vamos a solventar el problema que se nos plantea.
Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular,
realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una
vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso
particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del
problema.
Vigas
La viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre 2
apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso más importante de estas, es
quizás el que se aplica a la estructura de puentes. Son un elemento
estructural, es decir, forma parte del diseño de una estructura rigiéndose
por los principios de la resistencia de materiales y de la ingeniería.
Son elementos lineales, los cuales también son llamados prismas mecánicos
o unidimensionales. Estos son alargados y son sometidos a un estado de
tensión plana.
Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas a una tensión
por lo tanto con los distintos materiales se comportara de una forma
diferente por ejemplo el acero hace a las vigas mas rígidas, las de aluminio
son más flexibles y las de madera tienen mayor elasticidad, no obstante
cualquier viga se romperá cuando se aplica una cantidad de presión
excesiva.
El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual se utilizan en la
construcción desde rascacielos a estadios, aunque también se pueden
utilizar en la construcción residencial por lo tanto existe una gran variedad
de tipos y clasificación de las vigas, que van desde el tipo de material, forma
en que se colocan hasta el tipo de soporte necesario para cada estructura.
Deflexión de una viga
Se entiende por deflexión a la deformación que sufre un elemento por el
efecto de las flexiones internas, tornándose en una curvatura o desviación
de un curso o línea horizontal.
La problemática de la deflexión de vigas y ejes en una determinada
estructura, es un tema muy importante para los ingenieros y en especial para
los ingenieros civiles que al construir una edificación pueden presentar
inconvenientes debido a la deflexión de las vigas de la obra que se esté
realizando.
Para prevenir daños como la deflexión de las vigas es necesario identificar
adecuadamente cada uno de los factores que pueden llegar a tener un gran
impacto en una edificación en el futuro, lo que ocasionaría un colapso de la
edificación.
La deflexión, matemáticamente es una función �(�) que está gobernada por
una ecuación diferencial lineal de cuarto orden.
Considérese una viga de longitud � de un material homogéneo y que
también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la
figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada.
La viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre 2
apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso más importante de estas, es
quizás el que se aplica a la estructura de puentes. Son un elemento
estructural, es decir, forma parte del diseño de una estructura rigiéndose
por los principios de la resistencia de materiales y de la ingeniería.
Son elementos lineales, los cuales también son llamados prismas mecánicos
o unidimensionales. Estos son alargados y son sometidos a un estado de
tensión plana.
Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas a una tensión
por lo tanto con los distintos materiales se comportara de una forma
diferente por ejemplo el acero hace a las vigas mas rígidas, las de aluminio
son más flexibles y las de madera tienen mayor elasticidad, no obstante
cualquier viga se romperá cuando se aplica una cantidad de presión
excesiva.
El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual se utilizan en la
construcción desde rascacielos a estadios, aunque también se pueden
utilizar en la construcción residencial por lo tanto existe una gran variedad
de tipos y clasificación de las vigas, que van desde el tipo de material, forma
en que se colocan hasta el tipo de soporte necesario para cada estructura.
Deflexión de una viga
Se entiende por deflexión a la deformación que sufre un elemento por el
efecto de las flexiones internas, tornándose en una curvatura o desviación
de un curso o línea horizontal.
La problemática de la deflexión de vigas y ejes en una determinada
estructura, es un tema muy importante para los ingenieros y en especial para
los ingenieros civiles que al construir una edificación pueden presentar
inconvenientes debido a la deflexión de las vigas de la obra que se esté
realizando.
Para prevenir daños como la deflexión de las vigas es necesario identificar
adecuadamente cada uno de los factores que pueden llegar a tener un gran
impacto en una edificación en el futuro, lo que ocasionaría un colapso de la
edificación.
La deflexión, matemáticamente es una función �(�) que está gobernada por
una ecuación diferencial lineal de cuarto orden.
Considérese una viga de longitud � de un material homogéneo y que
también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la
figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada.
Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de
simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los
centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o
curva elástica, esto se muestra en la figura b.
La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x
coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión �(�), medida
desde este eje es positiva si es hacia abajo.
En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión �(�) en un
punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud
�(�) mediante la ecuación:
�
�
�
��
�
=�(�)
Además, el momento de flexión �(�) es proporcional a la curvatura de ?????? de
la curva elástica.
�(�)=�????????????
Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young de elasticidad del
material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal
de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga.
La curvatura está dada por ??????=�
′′
/[�+(�
′
)
�
)
�
�. Cuando la deflexión y(x) es
pequeña, la pendiente se acerca a cero, y por tanto �
′′
/[�+(�
′
)
�
)
�
� se acerca
a uno. Si se permite que ??????≈�
′′
, la ecuación �(�)=�???????????? se convierte en �=
�??????�
′′
. La segunda derivada de esta última expresión es:
simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los
centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o
curva elástica, esto se muestra en la figura b.
La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x
coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión �(�), medida
desde este eje es positiva si es hacia abajo.
En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión �(�) en un
punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud
�(�) mediante la ecuación:
�
�
�
��
�
=�(�)
Además, el momento de flexión �(�) es proporcional a la curvatura de ?????? de
la curva elástica.
�(�)=�????????????
Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young de elasticidad del
material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal
de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga.
La curvatura está dada por ??????=�
′′
/[�+(�
′
)
�
)
�
�. Cuando la deflexión y(x) es
pequeña, la pendiente se acerca a cero, y por tanto �
′′
/[�+(�
′
)
�
)
�
� se acerca
a uno. Si se permite que ??????≈�
′′
, la ecuación �(�)=�???????????? se convierte en �=
�??????�
′′
. La segunda derivada de esta última expresión es:
�
�
�
��
�
=�??????
�
�
��
�
�
′′
=�??????
�
�
�
��
�
Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto
orden.
�??????
�
�
�
��
�
=�(�)
Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la
ecuación diferencial) asociadas con esta ultima ecuación depende de los
apoyos extremos de la viga.
Empotrada en ambos extremos
Las condiciones en la frontera en �=� y �=� son �=�,�
′
=�
Libres
Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son �=� y �=� son
�
′′
=�,�
′′′
=�
Apoyados
Las condiciones en la frontera en �=� y �=� son �=�, �
′′
=�
�
�
��
�
=�??????
�
�
��
�
�
′′
=�??????
�
�
�
��
�
Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto
orden.
�??????
�
�
�
��
�
=�(�)
Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la
ecuación diferencial) asociadas con esta ultima ecuación depende de los
apoyos extremos de la viga.
Empotrada en ambos extremos
Las condiciones en la frontera en �=� y �=� son �=�,�
′
=�
Libres
Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son �=� y �=� son
�
′′
=�,�
′′′
=�
Apoyados
Las condiciones en la frontera en �=� y �=� son �=�, �
′′
=�
Planteamiento del problema
El problema que se nos plantea en el proyecto es el siguiente:
Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en
el derecho.
Encuentre la deflexión �(�) cuando la carga está dada por:
�(�)={
�
�
, �<??????<
�
�
�,
�
�
<??????<??????
}
Graficar la solución cuando �
�
=���?????? y la viga mide un metro de largo.
Considere que la viga es de granito y el momento de inercia es de ??????=�??????��
�
Existen varias maneras de resolver este tipo de situaciones, a nosotros se
nos indico que debe de ser resuelta por el método de la transformada de
Laplace y una función llamada función escalón unitario o función de
Heaviside, la cual se explicara mejor.
Función escalón unitario
En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “activadas” o
“desactivadas”. Es conveniente entonces definir una función especial la cual
se llama función escalón unitario o función de Heaviside en honor al
matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función matemática que tiene
como característica, el tener un valor de 0 para todos los números negativos
(desactivado) y de 1 para todos los positivos (activado), esta función se
aplica en la fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje
aplicado a un circuito.
La función escalón unitario ??????(�−�) se define como.
??????(�−�)={
�,�≤�<�
�, �≥�
Para nuestro problema solo tomaremos el eje t positivo tal como muestra la
figura.
Cando una función � definida para �≥� se multiplica por ??????=(�−�), la
función escalo unitario “desactiva” una parte de la grafica de esa función.
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones
definidas por tramos en forma compacta, tenemos 2 tipos distintos los
cuales son:
El problema que se nos plantea en el proyecto es el siguiente:
Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en
el derecho.
Encuentre la deflexión �(�) cuando la carga está dada por:
�(�)={
�
�
, �<??????<
�
�
�,
�
�
<??????<??????
}
Graficar la solución cuando �
�
=���?????? y la viga mide un metro de largo.
Considere que la viga es de granito y el momento de inercia es de ??????=�??????��
�
Existen varias maneras de resolver este tipo de situaciones, a nosotros se
nos indico que debe de ser resuelta por el método de la transformada de
Laplace y una función llamada función escalón unitario o función de
Heaviside, la cual se explicara mejor.
Función escalón unitario
En ingeniería es común encontrar funciones que están ya sea “activadas” o
“desactivadas”. Es conveniente entonces definir una función especial la cual
se llama función escalón unitario o función de Heaviside en honor al
matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función matemática que tiene
como característica, el tener un valor de 0 para todos los números negativos
(desactivado) y de 1 para todos los positivos (activado), esta función se
aplica en la fuerza externa que actúa en un sistema mecánico, o un voltaje
aplicado a un circuito.
La función escalón unitario ??????(�−�) se define como.
??????(�−�)={
�,�≤�<�
�, �≥�
Para nuestro problema solo tomaremos el eje t positivo tal como muestra la
figura.
Cando una función � definida para �≥� se multiplica por ??????=(�−�), la
función escalo unitario “desactiva” una parte de la grafica de esa función.
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones
definidas por tramos en forma compacta, tenemos 2 tipos distintos los
cuales son:
�(�)={
�(�),�≤�<�
�(�),�≥�
}
Estas se puede escribir como: �(�)=�(�)−�(�)??????(�−�)+�(�)??????(�−�)
Y análogamente tenemos.
�(�)={
�,�≤�<�
�(�),�≤�<�
�,�≥�
}
�(�)=�(�)[??????(�−�)−??????(�−�)]
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones
diferenciales lineales y ecuaciones integrales, comúnmente a problemas con
coeficientes constantes.
Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de la transformada,
se cambia de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica.
Sea � una función definida para �≥�, la transformada de Laplace de �(�) se
define como
??????{�(�)}=∫�
−��
�(�)��
+∞
�
Transformada de una derivada
Si necesitamos encontrar la transformada de Laplace de una derivada de
orden � de una funcion �(�) se aplica lo siguiente.
??????{
�
�
��
�
�(�)}=??????
�
�(�)−??????
�−�
�(�)−??????
�−�
�
′
(�)−??????
�−�
�
′′
(�)−⋯−�
�−�
(�)
�(�),�≤�<�
�(�),�≥�
}
Estas se puede escribir como: �(�)=�(�)−�(�)??????(�−�)+�(�)??????(�−�)
Y análogamente tenemos.
�(�)={
�,�≤�<�
�(�),�≤�<�
�,�≥�
}
�(�)=�(�)[??????(�−�)−??????(�−�)]
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones
diferenciales lineales y ecuaciones integrales, comúnmente a problemas con
coeficientes constantes.
Cuando se resuelven estas ecuaciones usando la técnica de la transformada,
se cambia de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica.
Sea � una función definida para �≥�, la transformada de Laplace de �(�) se
define como
??????{�(�)}=∫�
−��
�(�)��
+∞
�
Transformada de una derivada
Si necesitamos encontrar la transformada de Laplace de una derivada de
orden � de una funcion �(�) se aplica lo siguiente.
??????{
�
�
��
�
�(�)}=??????
�
�(�)−??????
�−�
�(�)−??????
�−�
�
′
(�)−??????
�−�
�
′′
(�)−⋯−�
�−�
(�)
Resolución del problema
La función es a tramos por lo tanto convertimos �(�)={
�
�
, �<??????<
�
�
�,
�
�
<??????<??????
}
a su forma compacta a partir de la función escalón, por lo cual para dejar un
cero en la primera parte tal como en la función de Heaviside, de la función a
tramos extraemos �
�
y realizamos la operación necesaria para hacer que la
segunda parte de la función siga siendo cero.
�(�)=��{
�,�<�<
�
�
−��,
�
�
<�<�
}
La segunda parte de la función a tramos es la que se multiplica por la
función de escalón unitario dando como resultado lo siguiente.
�
�
−�
�
??????(�−
�
�
)
Ya que nuestra viga esta empotrada en �=� y apoyado simplemente en �=
� tenemos las siguientes condiciones:
�(�)=�,�
′
(�)=�,�
′′
(�)=� ?????? �
′′′
(�)=�
Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la
deflexión de una viga.
�??????�
′′′′
=�
�
[�−??????(�−
�
�
)]
Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuación anterior.
�????????????{�
′′′′
}=�
�
??????{[�−??????(�−
�
�
)]}
�??????[??????
�
??????(??????)−??????
�
�(�)−??????
�
�
′
(�)−??????�
′′
(�)−�
′′′
(�)]
Aplicando linealidad en la segunda parte de la ecuación.
La función es a tramos por lo tanto convertimos �(�)={
�
�
, �<??????<
�
�
�,
�
�
<??????<??????
}
a su forma compacta a partir de la función escalón, por lo cual para dejar un
cero en la primera parte tal como en la función de Heaviside, de la función a
tramos extraemos �
�
y realizamos la operación necesaria para hacer que la
segunda parte de la función siga siendo cero.
�(�)=��{
�,�<�<
�
�
−��,
�
�
<�<�
}
La segunda parte de la función a tramos es la que se multiplica por la
función de escalón unitario dando como resultado lo siguiente.
�
�
−�
�
??????(�−
�
�
)
Ya que nuestra viga esta empotrada en �=� y apoyado simplemente en �=
� tenemos las siguientes condiciones:
�(�)=�,�
′
(�)=�,�
′′
(�)=� ?????? �
′′′
(�)=�
Igualamos w(x) a la ecuación diferencial de cuarto orden que satisface la
deflexión de una viga.
�??????�
′′′′
=�
�
[�−??????(�−
�
�
)]
Aplicamos la transformada de una derivada a la ecuación anterior.
�????????????{�
′′′′
}=�
�
??????{[�−??????(�−
�
�
)]}
�??????[??????
�
??????(??????)−??????
�
�(�)−??????
�
�
′
(�)−??????�
′′
(�)−�
′′′
(�)]
Aplicando linealidad en la segunda parte de la ecuación.
�
�
[??????{�}−??????{??????(�−
�
�
)}]
Resolviendo.
??????{�}=
�
??????
Con el segundo teorema de traslación.
??????{??????(�−
�
�
)} �(�)=�,�=
�
�
∴(�
−
�??????
�)(
�
??????
)
La expresión total seria.
�??????[??????
�
??????(??????)−??????
�
�(�)−??????
�
�
′
(�)−??????�
′′
(�)−�
′′′
(�)]=�
�[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
Dadas nuestras condiciones en la frontera �(�) y �
′
(�) serán cero por lo
tanto la ecuación se simplifica a lo siguiente.
�??????[??????
�
??????(??????)−??????�
′′
(�)−�
′′′
]=�
�
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
De aquí hacemos �
′′
=??????� y �
′′′
=??????� y despejamos ??????(??????), a continuación se
muestran el resultado de las operaciones antes mencionadas.
�??????[??????
�
??????(??????)−????????????�−??????�]=�
�
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
??????(??????)−????????????�−??????�=
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
??????(??????)=????????????�−??????�+
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????(??????)=
????????????�
??????
�
−
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
�
[??????{�}−??????{??????(�−
�
�
)}]
Resolviendo.
??????{�}=
�
??????
Con el segundo teorema de traslación.
??????{??????(�−
�
�
)} �(�)=�,�=
�
�
∴(�
−
�??????
�)(
�
??????
)
La expresión total seria.
�??????[??????
�
??????(??????)−??????
�
�(�)−??????
�
�
′
(�)−??????�
′′
(�)−�
′′′
(�)]=�
�[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
Dadas nuestras condiciones en la frontera �(�) y �
′
(�) serán cero por lo
tanto la ecuación se simplifica a lo siguiente.
�??????[??????
�
??????(??????)−??????�
′′
(�)−�
′′′
]=�
�
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
De aquí hacemos �
′′
=??????� y �
′′′
=??????� y despejamos ??????(??????), a continuación se
muestran el resultado de las operaciones antes mencionadas.
�??????[??????
�
??????(??????)−????????????�−??????�]=�
�
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
??????(??????)−????????????�−??????�=
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
??????(??????)=????????????�−??????�+
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????(??????)=
????????????�
??????
�
−
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
−
�
−
�??????
�
??????
]
??????
�
??????(??????)=
??????�
??????
�
+
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
�
−
�
−
�??????
�
??????
�
]
Aplicamos la transformada inversa para encontrar �(�).
??????
−�
{??????(??????)}=??????
−�
{
??????�
??????
�
+
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
�
−
�
−
�??????
�
??????
�
]}
??????
−�
{??????(??????)}=�(�)
Aplicando linealidad.
??????
−�
??????�{
�
??????
�
} �=�,�!=� ∴
??????�
�
�
�
??????
−�
??????�{
�
??????
�
} �=�,�!=� ∴
??????�
�
�
�
??????
−�
{
�
??????
�
} �=�,�!=�� ∴
�
��
�
�
??????
−�
−{(�
�??????
�)(
�
??????
�
)} �=�,�!=��,�=
�
�
∴ −
�
��
(�−
�
�
)
�
La expresión general es.
�(�)=
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Tomamos nuestras segundas condiciones �(�)=� y �
′′
(�)=� por lo tanto
igualamos a cero nuestra expresión general y sustituimos nuestras variables
por la longitud �.
Aplicamos la primera condición.
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]=�
Ya que �>
�
�
no “desactiva” la función por lo cual no se multiplica por la
función escalón unitario, entonces:
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
]=�
??????�
??????
�
+
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
�
−
�
−
�??????
�
??????
�
]
Aplicamos la transformada inversa para encontrar �(�).
??????
−�
{??????(??????)}=??????
−�
{
??????�
??????
�
+
??????�
??????
�
+
�
�
�??????
[
�
??????
�
−
�
−
�??????
�
??????
�
]}
??????
−�
{??????(??????)}=�(�)
Aplicando linealidad.
??????
−�
??????�{
�
??????
�
} �=�,�!=� ∴
??????�
�
�
�
??????
−�
??????�{
�
??????
�
} �=�,�!=� ∴
??????�
�
�
�
??????
−�
{
�
??????
�
} �=�,�!=�� ∴
�
��
�
�
??????
−�
−{(�
�??????
�)(
�
??????
�
)} �=�,�!=��,�=
�
�
∴ −
�
��
(�−
�
�
)
�
La expresión general es.
�(�)=
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Tomamos nuestras segundas condiciones �(�)=� y �
′′
(�)=� por lo tanto
igualamos a cero nuestra expresión general y sustituimos nuestras variables
por la longitud �.
Aplicamos la primera condición.
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]=�
Ya que �>
�
�
no “desactiva” la función por lo cual no se multiplica por la
función escalón unitario, entonces:
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
]=�
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
���
�
�
]=�
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos la segunda derivada.
�(�)
′
=??????��+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]=�
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
�
�
]=�
�(�)
′′
=??????�+??????��+
��
�
�
�
��??????
=�
Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguar el valor de
las constantes.
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
??????�+??????��+
��
�
�
�
��??????
=�
Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en la segunda
ecuación.
??????�=−??????��−
��
�
�
�
��??????
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación.
(−??????��−
��
��
�
��??????
)
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
���
�
�
]=�
�(�)=
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
Aplicamos la segunda condición por lo tanto sacamos la segunda derivada.
�(�)
′
=??????��+
??????�
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
(�−
�
�
)
�
]=�
�(�)
′′
=??????�+??????��+
�
�
�??????
[
�
�
�
�
−
�
�
�
�
]=�
�(�)
′′
=??????�+??????��+
��
�
�
�
��??????
=�
Entonces tenemos nuestro sistema de ecuaciones para averiguar el valor de
las constantes.
??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
??????�+??????��+
��
�
�
�
��??????
=�
Resolviendo el sistema de ecuaciones, despejamos “C1” en la segunda
ecuación.
??????�=−??????��−
��
�
�
�
��??????
Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación.
(−??????��−
��
��
�
��??????
)
�
�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
(
−??????��
�
−
��
�
�
�
���??????
)�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
−??????��
�
�
−
��
�
�
�
���??????
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
Dejamos los términos con “C2” de un lado y del otro, los términos
independientes.
−??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
=
��
�
�
�
���??????
−
��
�
�
�
����??????
Sacamos “C2” y “
�
�
�
�
�??????
” como factor común.
??????�(−
�
�
�
+
�
�
�
)=
��
�
�
�
���??????
−
��
�
�
�
����??????
??????�(−
�
�
�
)=
�
�
�
�
�??????
(
�
��
−
�
���
)
??????�(−
�
�
�
)=
�
�
�
�
�??????
(
��
���
)
Ahora despejamos “C2”.
??????�=
�
��
�
�??????
(
��
���
)
(−
�
�
�
)
Realizamos la división y obtenemos el valor de “C2”.
??????�=−(
��
���
)
�
��
�??????
Lo sustituimos en la segunda ecuación.
??????�=−(−(
��
���
)
�
�
�
�??????
)�−
��
�
�
�
��??????
Resolvemos.
??????�=(
��
���
)
�
�
�
�
�??????
−(
�
�
)
�
�
�
�
�??????
−??????��
�
−
��
�
�
�
���??????
)�
�
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
−??????��
�
�
−
��
�
�
�
���??????
+
??????�
�
�
�
+
��
�
�
�
����??????
=�
Dejamos los términos con “C2” de un lado y del otro, los términos
independientes.
−??????�
�
�
�
+
??????�
�
�
�
=
��
�
�
�
���??????
−
��
�
�
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����??????
Sacamos “C2” y “
�
�
�
�
�??????
” como factor común.
??????�(−
�
�
�
+
�
�
�
)=
��
�
�
�
���??????
−
��
�
�
�
����??????
??????�(−
�
�
�
)=
�
�
�
�
�??????
(
�
��
−
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���
)
??????�(−
�
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)=
�
�
�
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�??????
(
��
���
)
Ahora despejamos “C2”.
??????�=
�
��
�
�??????
(
��
���
)
(−
�
�
�
)
Realizamos la división y obtenemos el valor de “C2”.
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��
���
)
�
��
�??????
Lo sustituimos en la segunda ecuación.
??????�=−(−(
��
���
)
�
�
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)�−
��
�
�
�
��??????
Resolvemos.
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��
���
)
�
�
�
�
�??????
−(
�
�
)
�
�
�
�
�??????
??????�=
�
�
�
�
�??????
(
��
���
−
�
�
)
??????�=(
�
���
)
�
�
�
�
�??????
Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.
�(�)=
(
�
���
)
�
��
�
�??????
�
�
�
+
−(
��
���
)
�
��
�??????
�
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Simplificando
�(�)=
��
�
�
�
����??????
�
�
−
���
�
�
����??????
�
�
+
�
�
�??????
[
�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Factorizando
�(�)=
��
�
�
�
����??????
�
�
−
���
�
�
����??????
�
�
+
�
�
���??????
[�
�
−(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
A continuación se observa la representación gráfica de la deflexión de la
viga, con el caso particular de �
�
=���??????,??????=�??????��
�
con la viga de granito y
un metro de largo.
�
�
�
�
�??????
(
��
���
−
�
�
)
??????�=(
�
���
)
�
�
�
�
�??????
Sustituimos los valores de C1 y C2 en la expresión general.
�(�)=
(
�
���
)
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��
�
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�
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+
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���
)
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��
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+
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�
��
�
�
−
�
��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Simplificando
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��
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�
�
����??????
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�
−
���
�
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����??????
�
�
+
�
�
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�
��
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�
−
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��
(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
Factorizando
�(�)=
��
�
�
�
����??????
�
�
−
���
�
�
����??????
�
�
+
�
�
���??????
[�
�
−(�−
�
�
)
�
??????(�−
�
�
)]
A continuación se observa la representación gráfica de la deflexión de la
viga, con el caso particular de �
�
=���??????,??????=�??????��
�
con la viga de granito y
un metro de largo.
Bibliografía:
Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en
la frontera. 7th ed.; 2009.
F.P. Beer & F- Russell. . Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982
Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en
la frontera. 7th ed.; 2009.
F.P. Beer & F- Russell. . Mecánica de materiales. 2nd ed.; 1982
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