Este documento es una versión preliminar de un folleto resultado del estudios de dos tópicos matemáticos inducción matemática y las propiedades de la sumatoria.
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Language: es
Added: Apr 19, 2024
Slides: 27 pages
Slide Content
Principio de Inducción Matemática y Sumatorias.
Para principiantes.
Ejercicios Resueltos
Por: Jonathan Miguel Mendoza
Versión Preliminar
Ejercicio #1:Demostrar que:
??????�:�+�+�+….+�=
��+�
�
??????�:�=
��+�
�
??????�:�+�+�+….+�=
��+�
�
VerdaderoBase de inducción
Hipótesis de inducción
??????�+�:�+�+�+….+�+(�+�)=
(�+�)�+�+�
�
��+�
�
Por Hipótesis de inducción
Prueba
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)
�+�(��+�)
�
=
?
�(�+�)�+�
�
��+�(�+�)
�
=
�(�+�)�+�
�
L.C.Q.D. ■
Ejercicio #3. Demostrar por inducción, que si η es impar, �
??????
+�es
divisible por 8.
Prueba
Antes de aplicar el proceso inductivo conviene hacer algunos cambios,
en particular cambiar el índice: ??????=�??????−�
Luego, si ??????=�,�,�,�,…??????=�,�,�,�,…y el enunciado se transforma
en: �
�??????−�
+�es divisible por 8, ∀??????∈??????
Ahora hemos preparado el enunciado para aplicarle el proceso inductivo:
�
�??????−�
+�es divisible por 8⇒�|�
�??????−�
+�
�|�
�??????−�
+�⇒�
�??????−�
+�=��
Verdadero, Base de inducción
??????�:�|�
�(�)−�
+�⇒�
�(�)−�
+�=�(�)
Propiedad de la Sumatoria.
n
i = 1
[x
i –x
i –1 ]
= [x
1 –x
0 ] + [x
2 –x
1 ] + [x
3 –x
2 ] + [x
4 –x
3 ] + … + [x
n–1 –x
n–2] + [x
n–x
n–1]
= –x
0+ x
n= x
n–x
0
n
i = 1
[x
i –x
i –1 ]= x
n–x
0Propiedad telescópica
Demostrar por inducción la Propiedad telescópica
??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�
Prueba.
Como la sumatoria esta definida podemos escribir:
??????=�
�
??????
??????;�≥�
Base inductiva; n = 1
??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�−??????
�
Hipótesis inductiva; n = k
??????=�
??????
??????
??????+�−??????
??????=??????
??????+�−??????
�
Paso inductivo; �=�+�; ??????(�)⇒??????(�+�)
??????=�
??????
??????
??????+�−??????
??????+
??????=??????+�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????=
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
Usando la hipótesis inductiva del lado izquierdo resulta
(??????
??????+�−??????
�)+??????
??????+�+�−??????
??????+�=
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
−??????
�+??????
(??????+�)+�
=
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
??????
(??????+�)+�−??????
�=
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
Por el principio de inducción matemática, concluimos que
la fórmula es cierta para todo �≥�. ■
??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�;�≥�
Propiedad telescópica
La Propiedad telescópica también es válida para �≥�esto
es:
??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�;�≥�
??????=�
�
??????=
��+�
�
Demostrar la siguientes propiedad de la sumatoria:
Prueba:
Por la propiedad algebraica ??????+�
�
=??????
�
+�??????+�, sabemos que:
�??????+�=??????+�
�
−??????
�
de donde ??????=
�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
??????=�
�
??????=
??????=�
�
�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
Así,
??????=�
�
??????=
�
�
??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−
�
�
??????=�
�
�
Por la propiedad de
linealidad de la
sumatoria
De donde resulta,
??????=�
�
??????=
�
�
??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−
�
�
�
por la propiedad de la sumatoria de una constante.
De igual modo, por la propiedad telescópica de la sumatoria tenemos:
??????=�
�
??????=
�
�
�+�
�
−
�
�
−
�
�
�
Reescribiendo resulta que,
??????=�
�
??????=
�
�
�+�
�
−
�
�
(�+�)
??????=�
�
??????
�
=
�
�
??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−
�
�
??????=�
�
�??????+�Así,
Por la propiedad de linealidad de la sumatoria
De donde resulta,
??????=�
�
??????
�
=
�
�
??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
??????=�
�
??????−
??????=�
�
�
por la propiedad distributiva y linealidad de la sumatoria.
??????=�
�
??????
�
=
�
�
??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
��+�
�
−�
De modo que aplicando la propiedad de la sumatoria de una constante y
la propiedad previamente demostrada,
resulta que:
??????=�
�
??????=
��+�
�
Ahora aplicandolapropiedadtelescópica resulta,