Demostración de Propiedad de la Sumatoria.pdf

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About This Presentation

Este documento es una versión preliminar de un folleto resultado del estudios de dos tópicos matemáticos inducción matemática y las propiedades de la sumatoria.


Slide Content

Principio de Inducción Matemática y Sumatorias.
Para principiantes.
Ejercicios Resueltos
Por: Jonathan Miguel Mendoza
Versión Preliminar

Ejercicio #1:Demostrar que:
??????�:�+�+�+….+�=
��+�
�
??????�:�=
��+�
�
??????�:�+�+�+….+�=
��+�
�
VerdaderoBase de inducción
Hipótesis de inducción
??????�+�:�+�+�+….+�+(�+�)=
(�+�)�+�+�
�
��+�
�
Por Hipótesis de inducción
Prueba
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)

��+�
�
+�+�=
?
(�+�)�+�
�
��+�
�
+
�
�
�+�=
?
(�+�)�+�
�
��+�+�(�+�)
�
=
?
(�+�)�+�
�
�+�(�+�)
�
=
(�+�)�+�
�L.C.Q.D. ■

Ejercicio #2:Demostrar que:
??????�:�+�+�+….+��=
���+�
�
??????�:��=
���+�
�
=
���
�
VerdaderoBase de la inducción
??????�:�+�+�+….+��=
���+�
�
Hipotesis de inducción
??????�+�:�+�+�+….+��+�(�+�)=
�(�+�)�+�+�
�
���+�
�
Por Hipótesis de inducción
Prueba
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)

���+�
�
+��+�=
?
�(�+�)�+�
�
���+�
�
+�
�
�
�+�=
?
�(�+�)�+�
�
���+�
�
+
�
�
�+�=
?
�(�+�)�+�
�
���+�+�(�+�)
�
=
?
�(�+�)�+�
�
�+�(��+�)
�
=
?
�(�+�)�+�
�

�+�(��+�)
�
=
?
�(�+�)�+�
�
��+�(�+�)
�
=
�(�+�)�+�
�
L.C.Q.D. ■
Ejercicio #3. Demostrar por inducción, que si η es impar, �
??????
+�es
divisible por 8.
Prueba
Antes de aplicar el proceso inductivo conviene hacer algunos cambios,
en particular cambiar el índice: ??????=�??????−�

Luego, si ??????=�,�,�,�,…??????=�,�,�,�,…y el enunciado se transforma
en: �
�??????−�
+�es divisible por 8, ∀??????∈??????
Ahora hemos preparado el enunciado para aplicarle el proceso inductivo:
�
�??????−�
+�es divisible por 8⇒�|�
�??????−�
+�
�|�
�??????−�
+�⇒�
�??????−�
+�=��
Verdadero, Base de inducción
??????�:�|�
�(�)−�
+�⇒�
�(�)−�
+�=�(�)

Hipótesis de inducción??????�:�|�
��−�
+�⇒�
��−�
+�=��
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)
⇒�
��−�
+�=��
⇒(�
��−�
+�)(�
�
)=��(�
�
)
⇒�
��+�
+�
�
=�(�
�
�)
⇒�
��+�
+��−��=��
�
�−��
⇒�
��+�
+�=��
�
�−�
Si hacemos que:�
�
�−�=??????

⇒�
��+�
+�=�??????
⇒�|�
��+�
+�:??????�+�
⇒�
��+�
+�es divisible por 8.
L.C.Q.D. ■
Por el principio de inducción matemática, concluimos que:
�
�??????−�
+�es divisible por 8, ∀??????≥�
Así, concluimos que �
??????
+�es divisible por 8, ∀??????∈????????????????????????����

Probaremos por inducción que:
??????�:��
�
−����??????�??????�??????�������
��
�
−����??????�??????�??????�������,??????���??????������|(��
�
−�)
??????�:��
�
−����??????�??????�??????�������Verdadero, Base de inducción
??????�:��
�
−����??????�??????�??????�������Hipótesis de inducción
��
�
−����??????�??????�??????�������⇒�|��
�
−�
�|��
�
−�⇒��
�
−�=�??????
PRUEBA:
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)

�|��
�
−�⇒��
�
−�=�??????
⇒��
??????
−�(��)=�??????(��)
⇒��
??????+�
−��+�=���??????+�
⇒��
??????+�
−�=�(��??????+�)
Si hacemos que: ��??????+�=??????

⇒��
??????+�
−�=�??????

⇒�|��
??????+�
−�
⇒��
??????+�
−�es divisible por 9.
Usando la Hipótesis de inducción

�|��
�
−�⇒�|��
??????+�
−�
L.C.Q.D. ■
⇒��
??????+�
−�es divisible por 9.
Por el principio de inducción matemática, concluimos que:
��
�
−�es divisible por 9, ∀�≥�

Probaremos por inducción que:
??????�:�
�
−����??????�??????�??????�������
�|�
�
−�⇒�
�
−�=�??????;??????∈??????
�)�|�
�
−�⇒�
�
−�=�(�) Verdadero, Base de inducción
�)�|�
�
−�⇒�
�
−�=�??????Hipótesis de inducción
�) ⇒(�
�
−�)(�)=�??????(�)
�) ⇒�
�+�
−�+�=��??????+�
�) ⇒�
�+�
−�=�(�??????+�)
PRUEBA:
Paso inductivo: ??????(�)⇒??????(�+�)

�)�
�+�
−�=��??????+�⇒�
�+�
−�=�??????

�) ⇒�|(�
�+�
−�)
�)�|(�
�
−�)⇒�|(�
�+�
−�)
�)??????���������,�������??????��??????�??????���??????�����??????�����?????����
������??????����:�
�
−����??????�??????�??????�������,∀�≥�
L.C.Q.D. ■

Propiedad de la Sumatoria.
n
i = 1
[x
i –x
i –1 ]
= [x
1 –x
0 ] + [x
2 –x
1 ] + [x
3 –x
2 ] + [x
4 –x
3 ] + … + [x
n–1 –x
n–2] + [x
n–x
n–1]
= –x
0+ x
n= x
n–x
0
n
i = 1
[x
i –x
i –1 ]= x
n–x
0Propiedad telescópica

Demostrar por inducción la Propiedad telescópica

??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�
Prueba.
Como la sumatoria esta definida podemos escribir: ෍
??????=�
�
??????
??????;�≥�
Base inductiva; n = 1

??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�−??????
�

Hipótesis inductiva; n = k

??????=�
??????
??????
??????+�−??????
??????=??????
??????+�−??????
�
Paso inductivo; �=�+�; ??????(�)⇒??????(�+�)

??????=�
??????
??????
??????+�−??????
??????+෍
??????=??????+�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????=෍
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
Usando la hipótesis inductiva del lado izquierdo resulta

(??????
??????+�−??????
�)+??????
??????+�+�−??????
??????+�=෍
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
−??????
�+??????
(??????+�)+�
=෍
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
??????
(??????+�)+�−??????
�=෍
??????=�
??????+�
??????
??????+�−??????
??????
Por el principio de inducción matemática, concluimos que
la fórmula es cierta para todo �≥�. ■


??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�;�≥�
Propiedad telescópica
La Propiedad telescópica también es válida para �≥�esto
es:

??????=�
�
??????
??????+�−??????
??????=??????
�+�−??????
�;�≥�


??????=�
�
??????=
��+�
�
Demostrar la siguientes propiedad de la sumatoria:
Prueba:
Por la propiedad algebraica ??????+�
�
=??????
�
+�??????+�, sabemos que:
�??????+�=??????+�
�
−??????
�
de donde ??????=
�
�
??????+�
�
−??????
�
−�

??????=�
�
??????=෍
??????=�
�
�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
Así,

??????=�
�
??????=
�
�

??????=�
�
??????+�
�
−??????
�

�
�

??????=�
�
�
Por la propiedad de
linealidad de la
sumatoria

De donde resulta, ෍
??????=�
�
??????=
�
�

??????=�
�
??????+�
�
−??????
�

�
�
�
por la propiedad de la sumatoria de una constante.
De igual modo, por la propiedad telescópica de la sumatoria tenemos:

??????=�
�
??????=
�
�
�+�
�

�
�

�
�
�
Reescribiendo resulta que, ෍
??????=�
�
??????=
�
�
�+�
�

�
�
(�+�)

Factorizando por factor común resulta:

??????=�
�
??????=
�
�
�+��+�−�
Simplificando y organizando tenemos:

??????=�
�
??????=
�
�
�+��

??????=�
�
??????=
�
�
��+�⇔෍
??????=�
�
??????=
��+�
�L.C.Q.D. ■


??????=�
�
??????
�
=
��+�(��+�)
�
Demostrar la siguientes propiedad de la sumatoria:
Prueba:
Por la propiedad algebraica ??????+�
�
=??????
�
+�??????
�
+�??????+�, sabemos que:
�??????
�
=??????+�
�
−??????
�
+�??????+�de donde ??????
�
=
�
�
??????+�
�
−??????
�
+�??????+�

??????=�
�
??????
�
=෍
??????=�
�
�
�
??????+�
�
−??????
�
+�??????+�


??????=�
�
??????
�
=
�
�

??????=�
�
??????+�
�
−??????
�

�
�

??????=�
�
�??????+�Así,
Por la propiedad de linealidad de la sumatoria
De donde resulta,

??????=�
�
??????
�
=
�
�

??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−�෍
??????=�
�
??????−෍
??????=�
�
�
por la propiedad distributiva y linealidad de la sumatoria.


??????=�
�
??????
�
=
�
�

??????=�
�
??????+�
�
−??????
�
−�
��+�
�
−�
De modo que aplicando la propiedad de la sumatoria de una constante y
la propiedad previamente demostrada,
resulta que:

??????=�
�
??????=
��+�
�
Ahora aplicandolapropiedadtelescópica resulta,


??????=�
�
??????
�
=
�
�
�+�
�
−�−�
��+�
�
−�
Reescribiendo resulta que,

??????=�
�
??????
�
=
�
�
�+�
�
−�
��+�
�
−�+�

??????=�
�
??????
�
=
�
�
�+���+�
�
−��−�

Simplificando y factorizando por factor común resulta:

??????=�
�
??????
�
=
�
�
�+���
�
+�

??????=�
�
??????
�
=
�
�
�+����+�
Organizando tenemos: ෍
??????=�
�
??????
�
=
��+���+�
�
L.C.Q.D. ■