Demostración matemática por Inducción.pdf

An example (in Spanish) of a mathematical proof by Induction. Made in LaTeX.

1. Demostraci´on por Inducci´on
Jefferson A. Conza Fajardo
6 de diciembre de 2022
Resumen
Ejemplo de un ejercicio de demostraci´on resuelto por inducci´on.
Demuestre por inducci´on la siguiente f´ormula:
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+n
3
=
n
2
(n+ 1)
2
4
Consideremos la proposici´onPn:
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+n
3
=
n
2
(n+ 1)
2
4
1.
Sin= 1, se tiene que:
1
3
=
(1)
2
((1) + 1)
2
4
y
1 = 1
Por lo tanto, se cumple que 1
3
=
(1)
2
((1)+1)
2
4
, siendoP1una proposici´on v´alida.
2.
Para todok∈N, sik≥1 y 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+k
3
=
k
2
(k+1)
2
4
,
entonces 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+ (k+ 1)
3
=
(k+1)
2
((k+1)+1)
2
4
=
(k+ 1)
2
(k+ 2)
2
4
Hip´otesis Inductiva
Supongamos que 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+k
3
=
k
2
(k+1)
2
4
es cierto.
Se debe demostrar
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+ (k+ 1)
3
=
(k+1)
2
(k+2)
2
4
3.
Observemos que para llegar a la demostraci´on hay que sumar (k+ 1)
3
, as´ı
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+k
3
+ (k+ 1)
3
=
k
2
(k+ 1)
2
4
+ (k+ 1)
3
=
k
2
(k+ 1)
2
+ 4(k+ 1)
3
4
=
(k+ 1)
2
[k
2
+ 4(k+ 1)]
4
=
(k+ 1)
2
(k+ 2)
2
4
4.
Por lo tanto, por el Principio de Inducci´on, la proposici´onPnes cierta para todon≥1.
1